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CURSO: CLCULO 4

Tema: PROCEDIMIENTO SISTEMTICO DE ENSAMBLAJE DE ELEMENTOS 1D

UNIVERSIDAD

PRIVADA DEL NORTEN

1. EL RESORTE ELEMENTAL.

1. Ecuaciones basicas.

El resorte elemental es un elemento finito unidimensional en donde las coordenadas localesy globales coinciden. Cabe senalar que el resorte elemental es el elemento finito mas simpledisponible. Cada resorte elemental posee dos nodos, como se muestra en la Fig. 1. Denotemosla rigidez del resorte por k. En este caso la matriz rigidez del elemento viene dada por

k =

[k k

k k

](1)

k

x

i j

Figura 1: El resorte elemental.

Es evidente que la matriz de rigidez del elemento del resorte elemental es una matriz de2 2, ya que en este caso el elemento tiene solo dos grados de libertad- uno en cada nodo. Enconsecuencia, para un sistema de resortes elementales con n nodos, el tamano de la matriz derigidez global K sera de n n (ya que tenemos un grado de libertad en cada nodo). La matrizde rigidez global K es obtenida por ensamblaje a partir de las matrices de rigidez elementaleski (i = 1, . . . , n) usando la aproximacion de rigidez directa. Por ejemplo, la matriz de rigidezelemental k para los nodos 4 y 5 de conexion del resorte, en el sistema sera ensamblado dentrode la matriz de rigidez global K mediante la adicion de sus filas y columnas a las filas 4 y 5 ycolumnas 4 y 5 de K. Una funcion especial llamada SpringAssemble esta escrito especficamentepara este proposito. Este proceso se ilustra en detalle en los ejemplos.

Una vez que ha sido obtenida la matriz de rigidez global K, tendremos el siguiente sistema deecuaciones:

Facultad de Ingeniera Departamento de Ciencias

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[K] {U} = {F} (2)

donde U es el vector global de desplazamientos nodales y F es el vector de fuerzas global nodal.En este paso las condiciones de contorno se aplican manualmente a los vectores U y F .

A continuacion, el sistema (2) es resuelto por particionamiento seguido de eliminacion Gaussiana.Por ultimo una vez que los desplazamientos y reacciones desconocidas han sido encontradas, lasfuerzas de los elementos se obtienen para cada elemento de la siguiente manera:

{f} = [k] {u} (3)

en donde f es un 2 1 vector elemental de fuerzas y u es un 2 1 vector elemental de despla-zamientos.

2. Uso de las funciones de MatLab.

Las tres funciones de MatLab usadas para el caso del resorte elemental son:

SpringElementStiffness(k) Esta funcion calcula la matriz de rigidez elemental por cadaresorte con rigidez k.

SpringAssemble(K, k, i, j) Estas funciones ensamblan la matriz de rigidez elementalk del resorte, uniendo los nodos i (del extremo izquierdo) y j (del extremo derecho) en lamatriz global de rigidez K. Se retorna una matriz global de rigidez K n n cada vez quees ensamblado un elemento.

SpringElementForces(k, u) Esta funcion calcula el vector elemental de fuerzas usandola matriz de rigidez elemental k y el vector elemental de desplazamiento u. Se retorna un2 1 vector elemental de fuerzas f .

La siguiente es una lista de codigos fuente en MatLab para cada funcion:

function y = SpringElementStiffness(k)

% SpringElementStiffness Esta funcion retorna una matriz de rigidez


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% elemental para un resorte con rigidez k.

% La dimension de la matriz de rigidez elemental es

% es 2 x 2.

y = [k -k; -k k];

function y = SpringAssemble(K,k,i,j)

% SpringAssemble Esta funcion ensambla la matriz de rigidez elemental k

% del resorte con nodos i y j dentro de la matriz de rigidez global K.

% Esta funcion retorna la matriz de rigidez global K.

% luego que la matriz de rigidez elemental k sea ensamblado.

K(i,i) = K(i,i) + k(1,1);

K(i,j) = K(i,j) + k(1,2);

K(j,i) = K(j,i) + k(2,1);

K(j,j) = K(j,j) + k(2,2);

y = K;

function y = SpringElementForces(k,u)

% SpringElementForces Esta funcion retorna el vector elemental nodal de

% fuerzas dada la matriz de rigidez elemental k y el vector elemental

% nodal de desplazamiento u.

y = k * u;

Ejemplo 1 Considerar el sistema de dos resortes elementales (Fig. 2)

Dados k1 = 100kN/m, k2 = 200kN/m y P = 15kN , determinar:

1. la matriz de rigidez global del sistema.

2. los desplazamientos de los nodos 2 y 3.

3. la reaccion en el nodo 1.

4. la fuerza en cada resorte.


3

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k1 k2P

12 3

j

Figura 2: Sistema de dos resortes elementales.

SOLUCION

Paso 1. Discretizacion del dominio:

Este problema ya esta discretizado. El dominio ha sido dividido en dos elementos y tres nodos.La Tabla 1 muestra la conectividad elemental para este ejemplo:

TABLA 1. Conectividad elemental para el ejemplo 1.

Numero de elemento Nodo i Nodo j

1 1 2

2 2 3

Paso 2. Escritura de las matrices elementales de rigidez:

Las dos matrices de rigidez elemental k1 y k2 son obtenidas por medio de la funcion de MatLabSpringElementStiffness. Cada matriz tiene dimension 2 2.

>> k1=SpringElementStiffness(100)

k1 =

100 -100

-100 100

>> k2=SpringElementStiffness(200)

k2 =

200 -200

-200 200


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Paso 3. Ensamble de la matriz de rigidez global.

Dado que el sistema de resortes tiene tres nodos, el tamano de la matriz de rigidez global es de3 3. Por lo tanto para obtener K primeramente debemos construir una matriz nula de 3 3luego hacer dos llamados a la funcion de MatLab SpringAssemble dado que tenemos dos resorteselementales en el sistema. Cada llamada a la funcion ensamblara un elemento,

>> K=zeros(3,3)

K =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

>> K=SpringAssemble(K,k1,1,2)

K =

100 -100 0

-100 100 0

0 0 0

>> K=SpringAssemble(K,k2,2,3)

K =

100 -100 0

-100 300 -200

0 -200 200

Paso 4. Aplicacion de las condiciones de contorno.

El sistema (2) para este caso es obtenido utilizando la matriz de rigidez global del paso anterior:

100 100 0

100 300 200

0 200 200

U1

U2

U3

=

F1

F2

F3

(4)


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Las condiciones de contorno para este caso son tomadas del siguiente modo:

U1 = 0, F2 = 0, F3 = 15kN (5)

Insertando ambas condiciones en (4), obtenemos:

100 100 0

100 300 200

0 200 200

0

U2

U3

=

F1

0

15

(6)

Paso 5. Resolviendo las ecuaciones.

La solucion del sistema de ecuaciones (6) se llevara a cabo mediante un particionamiento (ma-nual) y posterior eliminacion Gaussiana (con MatLab). Primeramente particionamos (6) extra-yendo la submatriz en las filas 2 y 3 y columnas 2 y 3. Obteniendo:

[300 200

200 200

]{U2

U3

}=

{0

15

}(7)

La solucion de ambos sistemas es obtenido usando MatLab del siguiente modo. Notar que eloperador \ (backslash) es usado para la eliminacion Gaussiana.

>> k=K(2:3,2:3)

k =

300 -200

-200 200

>> f=[0;15]

f =

0

15

>> u=k\f


6

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u =

0.1500

0.2250

Ahora esta claro que los desplazamientos en los nodos 2 y 3 son 0,15 m y 0,225 m respectiva-mente.

Paso 6. Post-procesamiento.

En este paso obtenemos la reaccion en el nodo 1 y la fuerza en cada resorte usando MatLab delsiguiente modo. Primeramente creamos el vector global de desplazamientos nodales U y luegocalculamos el vector global de fuerzas nodales F

>> U=[0 ; u]

U =

0

0.1500

0.2250

>> F=K*U

F =

-15.0000

-0.0000

15.0000

As, la reaccion en el nodo 1 es una fuerza de 15 kN (dirigida hacia la izquierda). Finalmenteestablecemos los vectores elementales de desplazamiento nodal u1 y u2; luego calculamos el vectorelemental de fuerzas f1 y f2 por medio de la funcion de MATLAB SpringElementForces:

>> u1=[0 ; U(2)]

u1 =


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0

0.1500

>> f1=SpringElementForces(k1,u1)

f1 =

-15.0000

15.0000

>> u2=[U(2) ; U(3)]

u2 =

0.1500

0.2250

>> f2=SpringElementForces(k2,u2)

f2 =

-15

15

Por lo tanto, es claro que la fuerza en el elemento 1 es de 15 kN (traccion) y la fuerza en elelemento 2 es tambien de 15 kN (traccion).

Indice

1. Ecuaciones basicas. 1

2. Uso de las funciones de MatLab. 2


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