FERMIONES (y fin) fe10C

• Magnetismo y gas de Fermi: paramagnetismo de Pauli, dia-magnetismo de Landau, efecto Hass-van Alphen.

• Propiedades del gas electrónico en metales: calores específi-cos; efectos magnéticos; coeficientes de transporte, número deLorentz.

Introducción

Las propiedades magnéticas de la materia son consecuencia esencialmentede los electrones (libres o ligados),[1] luego el estudio de las propiedadesmagnéticas de un gas (ideal) de electrones es relevante.

Electrones en presencia de un campo, tanto si son libres como si estánligados a los átomos, presentan dos efectos importantes conceptualmentedistintos:

• tienden a describir órbitas cuantizadas, lo que origina diamagnetismo,caracterizado por susceptibilidad,

χ ≡ limH→0

∂Mz

∂H ,

negativa; M = (Mx,My,Mx ≡MH) es la magnetización con que re-sponde el sistema al campo aplicado;

• sus espines tienden a alinearse con H, originando paramagnetismo,con χ > 0.

(Además, si H muy intenso y baja T, χ manifiesta comportamiento oscilato-rio.)

Estos efectos coexisten en los sistemas reales, que manifiestan el resultadode la competencia, pero pueden imaginarse independientes (lo que simplificasu estudio) si la interacción espín-órbita es despreciable.

1

Paramagnetismo de Pauli

El paramagnetismo “clásico” (ee, en el contexto de la estadística de M-B)se dice de Langevin. Suponiendo además que el m intrínseco de la partpuede ‘tomar cualquier orientación en el espacio’, que tampoco es realista,vimos (fe8) que la teoría de Langevin describe muy bien el comportamientode muchas sustancias a T 0s altas. Todavía mejora la situación suponiendo elespacio cuantizado en el sentido usual.

Se obtiene:

Mz = nµBJ (x) , x ≡ µHkT

con n =densidad de part, µ = gµBJ, g =factor de Landé, µB =magnetón deBohr, J =nocuánt de m angular total, BJ (x) =función de Brillouin.

Esto implica el comportamiento de χ fuertemente condicionado por T :

(1): T 0s altas, χ = C/T, con C =cte. de Curie, de acuerdo con experimentosa T ‘suficientemente alta’;

(2): T 0s bajas: si x crece, BJ (x)→ 1, luego se tiende al estado de saturaciónmagnética:

Mz = nµ = ngµBJ =⇒ χ = 0

(pues agitación térm es despreciable, y casi todos los mm estarán ori-entados en dirección de H).

Pero la situación 2, a bajas T 0s, no se observa: con generalidad, el

paramagnetismo se hace independiente de T al ir disminuyendo la T.

2

Pauli (1927) explicó este desacuerdo como consecuencia de que los elec-trones de conducción de metales alcalinos son gas de Fermi muy degenerado.Incluso suponiendo que el gas es ideal, el resultado es entonces acorde conlos dalos.[2] Veámoslo:

El hamilt de un electr libre no-relat en campo magn externo, H es

1

2m

³p+

e

cA´− µ · H

con µ el ope mm intrínseco del electr (∝ ope de espín). El primer tno originadiamagnetismo, como vemos luego. Para tener en cuenta la contribuciónparamagnética restante, sean N fermiones libres de spín ~/2 y energía

=p2

2m− µ · H

En estas condiciones, µ paralelo o antip a H, luego µ ·H = µσ ·H (donde losvp de σ ·H son σH con σ = ±1) y pueden distinguirse dos tipos de partículasen el gas con energía respectivas

=p2

2m± µH

y procede estudiar esta ‘mezcla’:[4]

Sea n±p = # part con m p cuyo mm es paralelo (antip) al campo. Laenergía total del gas es

E =Xp

∙µp2

2m− µH

¶n−p +

µp2

2m+ µH

¶n+p

¸=Xp

p2

2m

¡n+p + n−p

¢− µHXp

¡n+p − n−p

¢=Xp

p2

2m

¡n+p + n−p

¢− µH ¡N+ −N−¢

3

y la función de partición se sigue de

Z =X

N=N++N−=P

p n+p +

Pp n−p

n±p =0,1

exp (−βE)

que puede calcularse fijando N+ (que fija N− = N − N+), sumando sobretodos los posibles n±p , y sumando sobre N

+, desde N+ = 0 hasta N+ = N,ee,

Z =NX

N+=0

⎡⎢⎢⎢⎢⎣eβµH(2N+−N)

⎛⎜⎜⎜⎜⎝Xn+p

(P

n+p =N+)

e−βP

pp2

2mn+p

⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝

Xn−p

(P

n−p =N−)

e−βP

pp2

2mn−p

⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎥⎥⎦

= e−βµHNNX

N+=0

he2βµHN

+

Z0¡N+¢Z0¡N −N+

¢i

donde

Z0 (N ) =X

np=±1(P

np=N )

e−βP

pp2

2mnp ≡ exp [−βA0 (N )]

representa la f. de part de un gas ideal de Fermi de N part ‘sin espín’ demasa m, y A0 (N ) es la e. libre de este sist ficticio.Tomando logarirmos:

1

NlnZ (N) = −βµH+ 1

Nln

NXN+=0

exp£2βµHN+ − βA0

¡N+¢− βA0

¡N −N+

¢¤| z ≡ f(N+)

4

Las prop de la distribución f (N+) nos son familiares.[5] Se tiene

1

NlnZ (N) = −βµH+ 1

Nln f

¡N+¢

donde N+ es el valor de N+ que hace f (N+) máximo.

El número medio de part con espín paralelo en el estado de equilibrio,N+, se sigue de la condición de máximo[6],

2µH−∙∂A0 (N

+)

∂N+

¸N+

−∙∂A0 (N −N+)

∂N+

¸N+

= 0,

que equivale a[7]

µ0¡N+¢− µ0

¡N −N+

¢= 2µH

con µ0 (N ) el potencial químico del sist ficticio.[8]Conocido N+, la magnetización se sigue (N− = N −N+) de

M = µ¡N+ −N−¢ ≡ µNr, (0 ≤ r ≤ 1)

ee,

N+ =1 + r

2N, N− =

1− r

2N,

y se tiene

µ0

µ1 + r

2N

¶− µ0

µ1− r

2N

¶= 2µH

5

Para H = 0, no hay dirección preferida por los espines, luego M = 0y r = 0 ⇒ si H suficientemente pequeño, puede desarrollarse alrededor der = 0 para escribir:

µ0

µN

2

¶+

µ1 + r

2− 12

¶ ∙∂µ0 (xN)

∂x

¸x= 1

2

+ · · ·− µ0

µN

2

¶−

µ1 + r

2− 12

¶ ∙∂µ0 (xN)

∂x

¸x= 1

2

+ · · · = 2µH

de donde[9]

χ =1

VlimH→0

∂M

∂H =2µ2nh

∂µ0(xN)∂x

ix= 1

2

Para hacer explícito este resultado, hay que usar aquí la expresión adecuadapara el pot químico del sist de part sin espín; en particular, se tiene

• cerca del cero absoluto (µ ' F ), de modo que,[10] al hacer T → 0K:

χ0 =3

2µ2

n

F

que es no-nula e independiente de T (pero depende de n);

• a T 0s bajas, pero finitas, es

µ ' F

"1− π2

12

µkT

F

¶2#

y se sigue que

χ ' χ0

"1− π2

12

µkT

F

¶2#

6

• para discutir T 0s mayores, recordemos (lec. fe9) la ec de estado paramétricapara el gas ideal de fermiones:

n = gΛ−32√π

Z ∞

0

dxx1/2

exp (x− µ/kT )− θ

=g

Λ3

µz − z2

23/2+

z3

33/2+ · · ·

¶,

donde la segunda igualdad es para z ≡ eµ/kT ¿ 1. En consecuencia,

— si T →∞ :

z = eβµ ' Λ3

g

N

V=⇒ µ ' kT ln

µNΛ3

gV

¶.

Así, para el sist ficticio con g = 1 es: µ0 (xN) ' kT ln (xNΛ3ÁgV ) ,de donde∙

∂µ0 (xN)

∂x

¸x= 1

2

=

∙kT

1

xNΛ3ÁgV

µNΛ3

V

¶¸x= 1

2

= 2kT

y se sigue la ley de Curie,

χ∞ =nµ2

kT

— si T es alta, pero finita, es apropiado quedarse con más términosen el desarrollo de n y se tiene

χ = χ∞

µ1− nΛ3

25/2+ · · ·

¶,

que indica explícitamente la dependencia en n y T.

7

Diamagnetismo de Landau

El diamagnetismo es consecuencia de la libertad de mov que tienen los elec-trones en presencia de un campo. Pero (T. de Bohr-van Leeuwen) la teoríaclásica es incapaz de explicar efectos magnéticos, luego ha de estar asociadoa fenómeno cuántico. Landau (1930): asociado con cuantización órbitas depart cargadas en presencia de H, ee, con el hecho de que la Ecinética de laspart asociada con el mov ⊥ a H no puede tomar cualquier valor. Esta cir-cunstancia =⇒ χ adicional a la paramagnética, cualitativamente semejantea ésta, pero negativa.

Sea gas de electrones libres, salvo que interaccionan con H, sin espín (yaconocemos las consecuencias de este grado de libertad), confinado en volumenV. Con notación usual, el hamiltoniano es

H =1

2m

³p− e

cA´2+ ϕ (r) .

Resolviendo ec. de Scrodinger[22], sus vp son[11]

(j, pz) =e~Hmc

µj +

1

2

¶+

p2z2m

, J = 0, 1, 2, . . . (1)

con degeneración[12]

g = LxLyeHhc

La FPM es

8

lnΞ =X

ln¡1 + z e−β

¢=

∞Xj=0

Xpz

g ln£1 + z e−β (j,pz)

¤

=

Z ∞

−∞d pz

Lz

hLxLy

eHhc

∞Xj=0

ln£1 + z e−β (j,pz)

¤

=V eHh2c

Z ∞

−∞d pz

∞Xj=0

ln£1 + z e−β (j,pz)

¤(2)

y se tiene para el # electrones en equilibrio:

N ≡∙z∂

∂zlnΞ

¸H,V,T

=V eHh2c

Z ∞

−∞d p

∞Xj=0

z e−β

1 + z e−β| z 1

z−1 eβ +1

Implicaciones:

• T ’s altas: N es finito luego, a T ’s altas, cuando tienden a ocuparselos estados con nocuántico j alto, es necesario z ¿ 1 para asegurarconvergencia.[13] Entonces[14][15],

lnΞ 'zV

Λ3x

senh x, x ≡ βµBH (µB = magnetón de Bohr)

y[16]

M ≡ 1

β

µ∂

∂H lnΞ¶= −µB N L (x)

donde L (x) ≡ cothx − 1xes la función de Langevin que ya apareció

antes. De hecho, este resultado coincide con el paramagnético, salvoque ahora esM < 0 (¡independientemente del signo de la carga elétricade la part!), como se observa en situaciones diamagnéticas.

9

• T ’s altas y campos débiles: µBH ¿ kT =⇒ x ≡ µBHkT

¿1, luego:1

M ' −µB Nx

3= −Nµ2BH

3kT

y

χ∞ = −nµ2B

3kT

que es el equivalente magnético de la ley de Curie;[17][18]

• sea, al contrario que hasta ahora, kT¿ F (gas muy degenerado).Tenemos:2

z ≡ exp³ µ

kT

´= exp

³F

kT+ · · ·

´À 1.

Si, además el campo es débil (µBH ¿ kT ), puede aproximarse lasuma en (2) por una integral,[19] con el resultado

χ0 = −12nµ2BÁ F ,

otra vez independiente de la carga y del mismo orden que el efectoparamagnético (suponiendo µ del orden de magnitud de µB).

1cothx = 1x +

x3 − x3

45 +2x5

945 − · · · =⇒ L (x) = x3 − x3

45 + · · ·2µ ' F

∙1− π2

12

³kTF

´2¸

10

• Efecto Haas-van Alphen (1930): para T ’s muy por debajo de la deFermi y campos relativamente fuertes, ee,

kT ≈ µBH¿ F

la FPM tiene una parte oscilatoria de la forma:[20]

(lnΞ)osc ∝ (µBH)3/2∞X=1

(−1)3/2

cos³

πµBH F − π

4

´senh

³π

µBHπkT´

de donde se sigue una susceptibilidad oscilatoria,

χosc =1

βVHµ

∂

∂H lnΞ¶osc

.

Es notable el coseno del numerador, que predice violentas oscilacionescon 1ÁH :

— las oscilaciones son despreciables para µBH ¿ kT, como conse-cuencia de la función hiperbólica en el denominador, y se tienenpropiuedades suaves como predice el diamagnetismo de Landau;pero

— estos términos oscilatorios serán apreciables si µBH ≈ π2kT, loque corresponde a H ∼ 105T Oersted,∗ luego han de ser observables para campos suficientemente in-tensos a muy bajas T ’s, lo que explica oscilaciones descritaspor primera vez en 1930, conocidas como efecto Haas-vanAlphen.∗ Parte de su importancia radica en que el período de la os-cilación es función de F .[21]

11

Propiedades del gas electrónico en metales

Drude (1900-1902) y Lorentz (1904-1909) trataron el gas electrónico3 como ungas de Boltzmann. Se consiguen así descripciones cualitativamente correctasa veces, pero hay fallos importantes.

Calores específicos

La primera dificultad del modelo clásico ocurre con el calor específico: M-B =⇒ los electrones han de satisfacer el principio de euipartición, ee, cadaelectr ha de contribuir 3× 1

2k al C, lo que implica independencia con la T. Las

medidas muestran que todos los sólidos tienden a presentar C independientede T para T suficientemente alta (es la ‘ley de Dulong y Petit’, discutida enotra parte), pero

• el valor experimental es aproximadamente 3R por mol para sólidosmonoatómicos, en lugar de la predicción 9

2R4

• si la T no es tan alta, CV presenta decidida dependencia en T.

Einstein y Debye notaron cómo los modos de vibración de la red tienennaturaleza bosónica y (como se vió en otra parte) contribuyen con un C:

Cv =12π4

5k

µT

θD

¶3, θD = temp de Debye (3)

Pero ¿y la contribución del gas electrónico? Si sumamos a esto una contribu-ción cte, como la que produciría un gas clásido, no se obtiene acuerdo conlos datos para metales.

3Los metales se caracterizan por altas conductividades eléctrica σ y térmica κ. Alrede-dor de 1990 quedó claro que la carga tenía naturaleza discreta y que altas σ en metaleseran consecuencia de que los electr exteriores en átomos estaban muy débilmente ligados.A este conjunto de elctr prácticamente libres se le llamó gas electrónico, y comenzarona aplicarle los métodos de TC y ME.

4MB establece queelectrones: 3 grados lib. =⇒ 3× k

2 =32k

red (como oscil. armón.): 3 gl × 2 tnos. cuadrát. =⇒ 3× 2× k2 =

62k

luego la predicción es CV =92Nk = 9

2R

12

Sommerfeld (1928) notó que era muy importante tratar el gas electrónicocomo un gas de Fermi degenerado. En efecto, tomando g = 2, tenemos

electrF =

1

22/3

µ3N

4πV

¶2/3h2

2m,

donde es N/V = nena/a3 (ne = # electr de conducción por átomo; na = #

átomos por celda unidad; a = espaciado de la red). Si usamos los valorespara el átomo de Na, por ejemplo, ee, ne = 1, na = 2, a = 4029 , se siguen = 2053× 1022 cm−3, y haciendo m igual a 0’98 veces la masa del electrónpara compensar que la teoría trata a este gas como ‘ideal’,[23] se tiene

F ' 50146× 10−12 erg = 3021 eV

Si definimos la temperatura de Fermi5:

TF ≡ F/k ' 303× 104K

para el sodio.[24]

Todos los metales tienen TF en el rango 104−105K >> temperatura am-biente (' 3× 102K), luego el gas electrónico está, en efecto, completamentedegenerado, y el nomedio de ocupación correspondiente diferirá muy poco dela función paso para 0K : sólo las esquinas estarán ligeramente redondeadasen una región del orden de kT, despreciable comparada con F .[25]

En estas condiciones, como se vió, hemos de asumir para el gas electrónico:

CV =π2

2k

µkT

F

¶. (4)

5ee, la T que hay que asociar con el momento medio que tienen los fermiones en el ceroabsoluto consecuencia del PP

13

Pero, a T ’s orinarias, es (kTÁ F ) ≡ TÁTF ∼ O (10−2) , ee, esta contribuciónes del orden de 10−2 R por mol, despreciable frente a la de la red, 3R por mol.En consecuencia, los metales a T ’s ordinarias han de presentar la contribuciónbosónica (3), lo que confirman los experimentos.

La contribución bosónica (3) decrece rápidamente con T (reflejando cómolos osciladores van ‘congelándose’) de modo que, a bajas T ’s, puede hacersecomparable a la fermiónica (4); la predicción es:

CV = γT + δT 3

que es confirmada muy bien en metales y aleaciones:6

Comparando con (3) y (4): la pendiente δ de estas rectas (a muy baja T )permite determinar θD (temp de Debye), mientras que el conte γ con el ejevertical está relacionado con F .[26]

6Se confirma comportamiento lineal de CVÁT en función de T 2 en el rango 1-4 K. Porejemplo, Corak et al, Phys. Rev. 98, 1699 (1955); ver también Pathria p. 234.

14

Efectos magnéticos

El comportamiento de los metales (en fase paramagnética) puede ahora en-tenderse a la luz de los resultados para distintos modelos.

Electrones ‘clásicos’ con espín (ee, satisfacen la estad M-B pero tienen mmintrínseco de magnitud µ que puede orientarse ±H)7 sabemos que presentanuna susceptibilidad acorde con Curie,

χclás. =nµ2

kT

a T ’s altas, mientras que se tiende a saturación magnética (que implica, enparticular, χ = 0) a T ’s bajas (y campos intensos, del orden de 104 gauss a1 K, o bien 105 − 106 gausss a T ambiente).Se esperaba que los electr de un metal a T ambiente presentaran este

comportamiento clásico, pero sólo ocurre en la práctica para T ’s altas ycampos débiles. Excluyendo este caso límite, en un amplio rango de T ’s(desde cerca de 0 K hasta 103 K o más), los metales en fase paramagnéticapresentan χ independiente de T y con valor típicamente 1% del clásico.Pauli (1930): tiene que ver con el PP, pues dos electr en el mismo estado

no pueden ‘alinear sus espines’ en dirección H, lo que impide saturación a“bajas” T ’s (ee, T ¿ TF ), cuando hay mucha degeneración. En consecuencia,la χ de un metal ha de ser suma de la contribución de Pauli (debida al espínde electrones degenerados) y de la de Landau (originada por el m orbital delos electr en presencia de H):

χPauli =3nµ2

2 F, χLandau = −nµ

2B

2 F

donde µ = gµBJ = µB en este caso. De acuerdo con los experimentos, esteresultado es mucho menor que χclás., independiente de T, y explica el efectoHaas-van Alphen (periodicidad con ) a bajas T ’s y H’s intensos.[27]

Coeficientes de transporte7El mismo resultado se obtiene como límite T →∞ de la suscept de un gas de Fermi,

como se vió.

15

Como se ha dicho, las conductividades eléctrica σ y térmica κ son ‘anor-malmente’ altas en los metales, lo que los distingue de otros sólidos.8 Unapropiedad de σ y κ es la ley (fenomenológica) de Wiedemann-Franz (1853)que establece que L = κ/σT es independiente de T y del metal en cuestión.9

El cálculo de Lorentz se refiere a electrones clásicos con sus velocidadesdistribuidas maxwellianamente; la predicción es

L = 3

µk

e

¶2= 2023× 10−8WΩK−2,

a comparar con valores experimentales recientes (en WΩK−2):

0C 100CPb 2’47 2’56Pt 2’51 2’60Ag 2’31 2’37Au 2’35 2’40

Ee, la ley W-F sólo parece aproximada, y el valor clásico de Lorentz subvaloralos datos en un 10% aproximadamente.

La situación se aclara y la discrepancia desaparece calculando σ y κ medi-ante teoría de transporte. En particular, son necesarios conceptos cuánticos.Aquí vamos a ver sólo el argumento más sencillo que permite estimar Laceptablemente:

Puesto que el gas es muy degenerado, sólo los electrones en el nivel defermi pueden ser excitados térmicamente (con una energía de exc kT ¿ kTF ),

8Estas conductividades son ejemplos típicos de coeficientes de transporte (otros sonviscosidad, movilidad, coeficiente de difusión) y, por tanto, su estudio sistemático se hacea partir de las ecuaciones de transporte que involucran situaciones fuera del equilibrio.Sin embargo, bajo las hipótesis de cuasi-equilibrio o equilibrio local, es posible desarrollarargumentos que explican algunas de las propiedades de esas conductividades. Vamos ailustrar este hecho.

9A esta relación se le conoce como número de Lorentz puesto que éste fue el primeroen calcularla teóricamente.

16

luego tendrán velocidad vF = (2 F/m)1/2 . Si su rlm es λF , se sigue un t medio

entre colis τF = λFÁvF .

Si el gas está sometido a c eléctrico E, cada part sufre aceleración a =eE/m, viajando una distancia 1

2at2 en cualquier tiempo t, o

una distancia media1

2a­t2®

en el tiempo característico hti

Si calculamos estos promedios usando la función que nos dice cómo se dis-tribuyen los rlm (entre colisiones), tendremos que

1

2a­t2®

es la distancia media que recorren

los electr antes de sufrir otra colisión

y

hvi = 1

2a­t2®Á hti es la velocidad media de arrastre,

ee, la velocidad neta que resulta de las aceleraciones a = eE/m y de lasdeceleraciones que se producen en las colisiones.

La teoría general, mediante un argumento independiente,10 establece quela fracción de rlm que terminan en el int temp (t, t+ d t) es

f (t) d t =1

τe−t/τ d t.

Usando esta distribución con τ = τF para calcular aquellos promedios,

10Hecho en NE0-4

17

­t2®=1

τF

Z ∞

0

t2 e−t/τF d t = (integrando por partes)

= 2

Z ∞

0

t e−t/τF d t = 2τF1

τF

Z ∞

0

t e−t/τF d t = 2τF hti

luego

hvi =12a ht2ihti = aτF =

eE

mτF =

eEλFmvF

Puesto que

conductividad eléctrica = densidad de carga × movilidad

densidad de carga = # cargas por u. vol (n) × e

movilidad ≡ veloc media de arrastre por u. de campo = eλFmvF

se tiene finalmente:

σ =ne2λFmvF

(5)

Para calcular κ, supongamos tres superficies de área unidad (A, P y B)en el seno del gas, paralelas entre sí separadas λF , tq 1 y 2 son las energías

18

típicas de las partículas en las proximidades de A y B, respectivamente

Suponiendo que la dirección de la velocidad es aleatoria, puesto que hay6 direcciones, la sup P será atravesada en promedio por 1

6nvF electr por u.

de tiempo viniendo de A y otros tantos viniendo de B.

Así, et transporte neto de enrgía por u. de tiempo a través de P es

dQ

d t=1

6nvF ( 1 − 2) =

1

6nvF 2λF

µ−∂

∂z

¶ ¯signo menos =⇒ flujo energíasentido contrario gradiente

= −13nvF λF

µ∂

∂T

¶µ∂T

∂z

¶

Pero la conductividad se define

dQ

d t≡ −κ

µ∂T

∂z

¶

luego

κ =1

3nvF λF

µ∂

∂T

¶=1

3nvF λF

π2

2

µk2T

F

¶,

19

usando (4) para el calor específico por electr, ∂ Á∂T, y escribiendo F =12mv2F :

κ =16nvF λF π2k2T

12mv2F

=nπ2k2λF T

3mvF.

Combinando esto con (5),

L =κ

σT=

π2

3

µk

e

¶2= 2044× 10−8WΩK−2

que, aunque difiere poco del clásico, lo mejora e involucra un cálculo másacorde con la situación.

20

References[1] El núcleo influye poco, salvo en formación de la ψ electrónica, pues

resulta pesado para tener mm orbital apreciable y el intrínseco es unas10−3 veces el del electrón.

[2] El momento medio de los electrones es siempre muy alto, propiedaddel gas de Fermi incluso en el 0K, consecuencia del PP, por lo que nopuede alcanzarse saturación magnética: si dos electrones están en elmismo estado, es imposible que tengan sus espines en la dirección H.Por lo tanto, ha de esperarse una susceptibilidad límite, χ0, que seráindependiente de T aunque probablemente con fuerte dependencia en ladensidad del gas.

[3] El signo menos corresponde al caso paralelo.

[4] Sin necesidad de llegar a hacer un tratamiento general, podemos concluiracerca de los caso extremos de mayor interés:11

en el cero absoluto,

e. total ≤ F

e. cinética 0 ≤ p2

2m≤ ( F ± µH)

momento 0 ≤ p ≤ [2m ( F ± µH)]1/2

Así, el # part de cada tipo (# estados ocupados en el cero abs) vienedado en función de los parámetros del sist como:12

11En el átomo de T-F , escribíamos que la máx energía de un electrón en el nivel deFermi es max = F −eϕ, mientras que aquí escribimos max = F = p2Á2m±µH. Esto es,un factor externo (H) cambia el nivel de Fermi, mientras que el interno ϕ debido al núcleono lo cambia. (De hecho, F la tenemos definida para un sist sin interacciones mutuas, yϕ las contiene.)12Recordad que, puesto que los vp del momento son px = (h/L)nx, con nx =

0,±1,±2, . . . , a cada celda de una red cúbica le corresponden L3/h3 = V/h3 estados.

21

N± =4π

3

V

h3[2m ( F ± µH)]3/2

de donde el mm del gas en 0K es

M = µ¡N+ −N−¢ = 4πµV (2m)3/2

3h3

h( F + µH)3/2 − ( F − µH)

i3/2

que implica la susceptibilidad por u de vol:13

χ0 = limH→0

∂

∂HµMz

V

¶=4πµV (2m)3/2

3h3limH→0

½3

2µh( F + µH)1/2 + ( F − µH)

i1/2¾=4πµV (2m)3/2

h31/2F =

3

2µ2

n

F

a temperaturas altas, sin embargo, sist se comporta como gasde B (estadística de MB), y se sigue lo obtanido ya en contexto deparamagnetismo de Langevin, ee, Mz = N (µ2/3kT ) (1 + 1/J)H luego,para J = 1

2, es Mz = Nµ2HÁkT, de donde:

χ∞ =nµ2

kT=CT, C = nµ2Ák.

13En la última igualdad aquí hemos usado que

F =³6π2

g

´2/3~22mn2/3

g = 2

)=⇒ 3/2

F =6π2

g

~3

(2m)3/2n =⇒

1/2F =

n

F3π2

~3

(2m)3/2=3

2

n

F

h3

4π (2m)3/2

22

[5] El logaritmo de esta suma es igual al logaritmo del tno mayor salvocontribuciones de O (lnN) , luego despreciables para sist macroscópico(N ∼ 1022) y en el lím-T. De hecho, puede interpretarse el sisten la macrocanónica debido a la

PNN+=0 . En estas condiciones,

hemos mostrado que la aproximación es rigurosamente válida para sistmacroscópicos.

[6] Puede comprobarse que esta ecuación sólo tiene una solución real entre0 y N, que corresponde a un máximo.

[7] En efecto:

∂A0 (N −N+)

∂N+=

∂A0 (N −N+)

∂ (N −N+)

∂ (N −N+)

∂N+= −∂A0 (N −N+)

∂ (N −N+)

[8] Se está imaginando aquí al sist real como una mezcla (termodinámica)de componentes + y − entre las que hay un continuo intercambio departículas. Puede entonces llegarse a la misma conclusión con el siguienteargumento termodinámico:

El estado de euilibrio del sist real (part con espín) está gobernado porla igualdad de potenciales químicos: µ+ = µ−. Pero

=p2

2m

½+µH (antiparalelo) (N− partículas)−µH (paralelo) (N+ partículas)

luego

µ− = µ0¡N−¢+ µH (paralelas)

µ+ = µ0¡N+¢− µH (antiparalelas)

23

y se sigue lo indicado

[9] En efecto, se tiene

r→ 2µHh∂µ0(xN)

∂x

ix= 1

2

para H→ 0,

luego

M = µNr → 2µ2NHh∂µ0(xN)

∂x

ix= 1

2

para H→ 0

y se sigue lo indicado.

[10] En efecto, es

µ ' F =

µ3N

4πgV

¶2/3h2

2m

luego se tiene para el sistema ficticio (g = 1, y cambia N → xN):

µ0 (xN) = x2/3µ3N

4πV

¶2/3h2

2m

y para el sistema real (g = 2)

24

realF =

1

22/3

µ3N

4πV

¶2/3h2

2m.

Así: ∙∂µ0 (xN)

∂x

¸x= 1

2

=2

3

£x−1/3

¤1/2| z

24/3/3

µ3N

4πV

¶2/3h2

2m=22

3realF

y se sigue:

χ0 =2µ2n3

22 realF

=3

2µ2

nrealF

[11] La interpretación de (1) es que el mov del electrón puede descomponerseen:

·dirección z (la de H): mov con m pz; está cuantizado, pero separaciónde niveles es despreciable para sist macroscópico y no produce efectosinteresantes;

·plano (x, y) : describe círculos bajo acción de la fuerza de Lorentz queorigina veloc angular constante ω = eHÁmc. La energía asocida estácuantizada en unidades ~ω = e~HÁmc.

[12] Esto es, g niveles cuando H = 0 se transforman en un solo (j, pz)cuando H 6= 0. Puede estimarse:

g =

Z Zen un círculo

dnx dny =p= h

Ln

LxLy

h2

Z Ze~Hmc

j≤ p2x+p2y

2m≤ e~H

mc(j+1)

d px d py

(integrando en coordenadas polares)

=LxLy

h2π

∙2m

e~Hmc

(j + 1)− j¸= LxLy

eHhc

,

25

que es una medida de la libertad que tiene la part para acomodar elcentro de su órbita en el área LxLy del espacio físico.

[13] De hecho, ya sabemos que z ¿ 1 corresponde al comportamiento ‘gasde Boltzmann’ característico de T ’s altas.

[14] Si α ≡ z e−β con > 0 (e−β < 1) y z ¿ 1, se tiene α ¿ 1, luegopodemos usar aquí que ln (1 + α) ' α.

[15] Se tiene sucesivamente que:

lnΞ ' V eHh2c

Z ∞

−∞d p

∞Xj=0

z exp [−β (j, pz)]

=zV eHh2c

Z ∞

−∞d p

∞Xj=0

exp

∙−β p2

2m− β

e~Hmc

µj +

1

2

¶¸

=zV eHh2c

Z ∞

−∞d p exp

µ−β p2

2m

¶| z

integral gausiana

∞Xj=0

exp

∙−β e~H

mc

µj +

1

2

¶¸| z

serie geométrica

=zV eHh2c

integralz | µ2πm

β

¶1/2 seriez | ∙2 senh

µβe~H2mc

¶¸−1

=zV

Λ3x

senhx,

y también que

26

N = lnΞ =zV

Λ3x

senh x

[16] En efecto, se tiene sucesivamente:

1

β

µ∂

∂H lnΞ¶=1

β

zV

Λ3(βµB) senh x− (βµB) x cosh x

senh2 x

= µBzV

Λ3

∙1

senh x− x coshx

senh2 x

¸

= µB

Nz | zV

Λ3x

senh x

∙1

x− cothx

¸

[17] La susceptibilidad neta se sigue entonces como

χ∞ = χPauli∞ + χLandau∞

[18] Notemos también que x ∝ µB ∝ ~, de manera que los desarrollos aquípueden interpretarse como desarrollos en la cte de Planck, y se tiene

M ∼ ~2 +O ¡~4¢ ,ee, este efecto diamagnético desaparece para ~→ 0, de acuerdo con el Tde Bohr-van Leeuwen. Es evidente que teníamos que esperar este hecho,pues el diamagnetismo es consecuencia directa de la cuantización de lasórbitas como acabamos de ver.

27

[19] Se usa la fórmula de Euler,

∞Xj=0

f

µj +

1

2

¶'Z ∞

0

f (x) d x+1

24f 0 (0)

(ver más términos en otra parte de los apuntes) y se hacen varias inte-graciones; hay detalles en Pathria p. 229-230.

[20] Algunos detalles en Pathria p. 231.

[21] En consecuencia, F puede determinarse experimentalmente, de manerarelativamente sencilla, por este método.

[22] La solución es como sigue (puede verse también Huang p.239, o Goldmanet al, ‘Problems in QM’, problema 6.3). Sea

H =1

2m

³p− e

cA´2+ ϕ (r)

donde conviene considerar el potencial vector14

Ax = 0, Ay = Hx, Az = 0.

Se sigue la ec de Schrodinger:

∂2ψ

∂x2+

µ∂

∂y− ieHx

~c

¶2ψ +

∂2ψ

∂z2+2mE

~2ψ = 0. (6)

14que origina un campo uniforme de intensidad H en la dirección z

28

puesto que esta ec no contiene explícitamente ni y ni z, tomamos

ψ (x, y, z) = ei(kyy+kzz) u (x)

y se sigue para u :

u00 +

"2mE1~2

−µky − eH

~cx

¶2#u = 0, (7)

donde E1 ≡ E − ~22m

k2z es la enrrgía asociada con el mov en el planotransversal. Pero esta ecuación es formalmente similar a la ecuaciónde onda de un oscilador armónico de frecuencia eHÁmc y centro enx0 = ~ckyÁeH, de lo que se sigue (la frecuencia es 2ωL = eHÁmc y setiene E1 = (2j + 1)~ωL) que los vp son

E1 =

µj +

1

2

¶~eHmc

y

E =

µj +

1

2

¶e~Hmc

+~2k2z2m

QED.

Para determinar la degeneración (ver también [12]) han de considerarsecondiciones en los límites. (En efecto, si el plano (x, y) , donde ocurrenlas órbitas circulares, es ∞, habrá ∞’s estados correspondientes a cadavp E1, consecuente con el hacho de que la órbita circular clásica puedepuede localizarse en cualquier parte del plano. Si el área es limitada, losestados que quedan fuera no existen –o tienen gran energía, consecuen-cia del potencial repulsivo en las paredes–; algunos, localizados cercade las paredes, tendrán un corrimiento de su energía, pero son estadís-ticamente insignificantes.)

29

Supongamos condiciones cíclicas en las direcciones y y z, lo que permitevalores para ky y kz que sean múltiplos de 2π/L2 y 2π/L3 respective-mente. No conviene incluir condición cíclica en dirección x, pues (6) y(7) dependen de x, luego no tienen soluciones periódicas. En su lugar,suponemos al sistema limitado por paredes a distancias L1 en la direc-ción x.

[Si L1 es grande, comparado con la extensión de la función oscilatoriaun (x− x0) , que es del orden del radio orbital r = mcv/eH = v/2ωL, lasfunciones para las que el centro x0 queda dentro del volumen no seránafectadas por la presencia de las paredes.No existen soluciones si x0 queda fuera del volumen. Para un pequeñorango de x0 cerca de las paredes, a uno y otro lado, la presencia de lapared modifica la función de onda y E1. Para un campo de 103 Gaussy un electrón de 2 eV, el radio es de unos 5×10−3 cm, luego esta regiónpuede generalmente despreciarse.]

El intervalo permitido de ky es eH~c L1. Se siguen entonces L1L2eHÁ2π~c

estados para cada energía, QED.

[23] Aquí, y en otras muchas aplicaciones del modelo gas de Fermi, se estádespreciando la posible energía de interacción, en particular, la debida ala presencia de un potencial producido por los iones (ej. los localizadosen los nudos de la red), que produce efectos importantes –como comen-tamos luego–, y las interacciones entre electrones. Respecto de éstas,hay que notar que la interacción entre dos electr aislados es coulombiana,nada despreciable y, sin embargo, la teoría resultante parece suficiente-mente fina.

Esta aparente paradoja queda resuelta al notar (como se ve explícita-mente en la T. de plasmas –de modo cualitativo– y en el T. del límitetermod –de modo riguroso) que, en un sist com muchos electr, comoconsecuencia del potencial coulombiano entre cada dos de ellos, apareceun efecto cooperativo que consiste en una especie de ‘nube de polar-ización’ que apantalla la interacción coulombiana de largo alcance, re-sultando una interacción efectiva entre cada dos electrones del ‘gas’ quedisminuye muy rápidamente –dominada por una exponencial– con ladistancia.

En consecuencia, en relación con algunas aplicaciones, es conveniente

30

(aunque no debe de pensarse en otras implicaciones, en principio) con-siderar un conjunto de partículas efectivas –en lugar de electr– conmasa efectiva m0, ligeramente distinta de la del electrón, m, tq m0/mdepende del metal, pues pueden influir detalles estructurales del metal,etc. La relación adecuada para el sodio resulta ser m0/m ' 0098.

[24] Balescu cita

F (erg) TF (K)Litio 6’34×10−12 4’84×104Sodio 4’32×10−12 3’30×104

[25] Se llega al mismo resultado tomando como criterio el valor de la fugaci-dad. Sabemos que z < 1 corresponde a comportamiento clásico, mies-tras que z À 1 cuando los efectos cuánticos son notables para fermiones(ver luego el rango de variación de z para bosones). Suponiendo quepudiera usarse la expresión para un gas perfecto monoatómico, z =(h2Á2πmkT )

3/2(NÁV ) , y usando los valores típicos m = 10−27 gr,

V = 10 cm2/mol, se sigue z ≈ 106 !

[26] Para el cobre se obtiene así θD = (34308± 005) K, que se compara muybien con θD = 345K obtenido a partir de las constantes elásticas –segúnprocedimiento descrito en otra parte– y γ = 7× 104 J / mol grado2. Apartir de F , suponiendo que el gas es ideal, se segue γ = 504× 104 J /mol grado2. La diferencia desaparece suponiendo una ‘masa efectiva paralos electrones del cobre’ 1’3 veces la electrónica. (Insisto, sin embargo,que este concepto de masa efectiva parece tener una validez bastanterestringida.)

[27] Admitir la degeneración del gas electrónico es, pues, esencial paracomprender sus propiedades. Esto es, como norma general, hay parejasde electr con la misma energía que, por el PP, no pueden alinearsimultáneamente sus espines en dirección H.

31

Pero ¿cómo es posible que electrones muy –inclusomacroscópicamente– separados en un hilo conductor, por ejem-plo, sepan acerca de sus estados respectivos para poder satisfacer elPP?

Respuesta: el PP no requiere que una tal pareja de electr afectenmutuamente sus movimientos. El estado (de movimiento) a que serefiere el PP involucra la posición y el momento, magnitudes afectadaspor el P de incertidumbre. Así, si podemos asegurar que dos electr estánen regiones diferentes del espacio, estamos restringiendo la precisióncon que conocemos sus momentos, lo que impide concluir acerca de lasimplicaciones del PP sobre sus espines.

Este argumento puede hacerse cuantitativo; ver R. Peierls, Surprises inTheoretical Physics, Princeton 1979, p. 52.

[28] El modelo ‘gas ideal de Fermi’ ha de completarse, como se ha señaladoantes, considerando interacciones. Las más relevantes en este contextoson

• electrón-electrón: no decisiva, debido al apantallamiento de la interac-ción coulombiana debido a coperatividad; para conseguir descripcionescuantitativamente muy buenas es suficiente introducir masa efectivapara el electrón, por ejemplo;

• electrón-fonón: muy importante, induce interesantes fenómenos, comolas parejas de Cooper que permiten comprender la superconductividada bajas T ’s;

• electrón-ión: introducida por Bloch (1928), conduce al concepto debandas de energía (como se ve explícitamente en el modelo de Kronig-Penney) que permite explicar semiconductores, por ejemplo.

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