FUNDAMENTOS DE MATEMTICAS

Fernando Zalamea

Departamento de Matemticas Facultad d Ciencias

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot

FUNDAMENTOS DE MATEMTICAS

Fernando Zalamea

Departamento de Matemticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemticas

Primera edicin, 2007 Segunda reimpresin, 2012 Bogot, Colombia

ISBN 978-958-701-831-8

Impresin: Proceditor proceditorOyahoo.es Bogot, Colombia Diagramacin en Ink,X. : Fernando Zalemea, con el soporte de Gustavo Rubiano Grficas interiores: Margoth Hernndez y el autor Diseo de cartula: Andrea Kratzer

x, 164 p. : 78 fi. ISBN 978-958-701-831-8

ndice general

II NDICE GENERAL

4.4. Ejercicios

5. Operaciones entre conjuntos

50

54

5.1. Complemento, unin, interseccin, partes 55

5.2. Imgenes directa e inversa 57

5.3. Ejercicios 60

6. Tamaos de infinitud 62 1 6.1. Inyecciones entre conjuntos infinitos 62 2 6.2. Ejercicios 67 4

7 7. Nmeros naturales 68

12 7.1. Axiomas y principio de induccin 68

7.2. Pruebas por induccin 70 14 7.3. Buen orden 74

15 7.4. Ejercicios 76 19

24 8. Nmeros enteros y racionales 78

8.1. Construccin de los nmeros enteros 79 27 8.2. Ms sobre divisibilidad en Z 86 27 8.3. Nmeros racionales 89 31 8.4. Ejercicios 92 33

9. Nmeros reales 94

36 9.1. Sucesiones de racionales 94

37 9.2. Vecindades fundamentales 96

42 9.3. Completamiento de los racionales 98 ,V 9.4. Propiedades fundamentales de los reales 99

Prlogo

1. El mundo de las matemticas: sorpresa, invencin, rigor

1.1. La sorpresa

1.2. La invencin

1.3. El rigor

1.4. Ejercicios

2. Conjuntos finitos y proposiciones 2.1. Conjuntos, pertenencia e inclusin 2.2. Proposiciones

2.3. Ejercicios

3. Conjuntos infinitos y cuantificadores 3.1. Conjuntos de nmeros 3.2. Cuantificadores

3.3. Ejercicios

4. Relaciones y funciones

4.1. Relaciones

4.2. Funciones

NDICE GENERAL III

10.1. Los conjuntos de nmeros 105 10.2. El universo conjuntista 107 10.3. Ejercicios 109

11.M:rus sobre reales 112 11.1. Grficas de funciones 113 11.2. Algebraicidad y trascendencia 122 11.3. Ejercicios 125

12.Polinomios y fracciones racionales 128 12.1. Polinomios 128 12.2. Irreducibilidad 136 12.3. Fracciones racionales 138 12.4. Ejercicios 140

13.Nmeros complejos 142 13.1. Nmeros complejos 143 13.2. Representaciones geomtricas 144 13.3. Exponencial compleja 147 13.4. Ejercicios 151

14.Ms sobre complejos 152 14.1. Propiedades del conjunto de los complejos 152 14.2. Ejemplos de funciones de variable compleja 154 14.3. El teorema fundamental del lgebra 157 14.4. Ejercicios 160

Bibliografa anotada 163

VII

3); pero, a su vez, observamos que no contamos con las herramientas nece-sarias para el manejo del infinito, y nos abrimos a la relacionalidad y a la funcionalidad (captulo 4); en otras instancias sucesivas, ya con esas herra-mientas en mano, aprendemos a educar nuestra frgil intuicin infinitaria (captulos 6 y 10). En forma similar, observamos cmo, ms all de las proposiciones (captulo 2), requerimos cuantificadores (captulo 3) para los manejos conjuntistas. Las diversas limitantes de los conjuntos de nmeros dan lugar a las construcciones arquitectnicas de los enteros (captulo 8), los racionales (captulo 8), los reales (captulo 9) y los complejos (captu-lo 13), con las cuales se pueden ir subsanando progresivamente las diversas obstrucciones encontradas en cada piso del edificio numrico. Finalmente, se revisan algunas de las mltiples fronteras algebraicas que pueden explorarse gracias a manejos polinomiales (captulo 12), hasta llegar a la mejor reso-lucin posible de esas limitantes, con el teorema fundamental del lgebra para los nmeros complejos (captulo 14). A lo largo del texto, en el mo-mento de introducir conceptos, pruebas o ejemplos, se enfatizar a menudo ese primer motivo fundamental, alrededor d las limitantes del saber, donde el proceder matemtico tiene muchsimo para ofrecernos.

El segundo principio bsico alrededor del cual evoluciona el texto consiste en manejar pragmticamente las fronteras de la nocin de demostra-cin. La pragmtica consiste aqu en ir y venir alrededor de los supuestos bagajes previos del estudiante, sin nunca asumir del todo ni una determina-da carencia, ni un determinado logro, sino aumentando a lo largo del texto su capacidad para manejar conceptos y para escribir pruebas ligadas a esos conceptos. La evolucin de las pruebas es patente, empezando desde ar-gumentos sencillos y bloqueos esperados (captulo 1), pasando por pruebas ms sofisticadas (teoremas de Cantor, captulo 4; buen orden, captulo 7; identidad de Bzolit, captulo 8), y llegando a la magnfica prueba de Gauss del teorema fundamental del lgebra (captulo 14). En todo este proceso, nunca se alcanza un rigor formal (o fundamentalista) de prueba, un ri-gor al que se ir acercando poco a poco el estudiante en su Carrera. Una supuesta fundamentacin definitiva del saber matemtico no es ms que una quimera, y el estudiante deber ir incesantemente revisando y reacon-dicionando la adquisicin de sus conocimientos a lo largo de la Carrera. Sin embargo, luego de este primer acercamiento a la nocin de demostracin, se confa en que el estudiante ser capaz de detectar niveles de dificultad en las pruebas, y de manejar cada nivel de acuerdo con los problemas, conceptos, ejemplos y mtodos que se le provean.

VID

Organizacin del curso. El material est diseado para ser dictado en un semestre, en 14 semanas correspondientes a cada uno de los 14 captulos, ms un par de semanas adicionales para revisiones, o para ampliar con mayor comodidad el tiempo dedicado a alguno de los captulos, a juicio del instruc-tor. La organizacin de cada semana puede estructurarse alrededor de: (i) cuatro horas presenciales de clase magistral, donde el instructor presenta el material terico, con abundantes ejemplos; (ii) dos horas presenciales de ejercicios con el instructor, ya sea en grupos o en forma individualizada; (iii) dos horas opcionales de ejercicios con el monitor. El estudiante promedio debe tener sin embargo muy claro que sin un nmero importante de horas diarias adicionales de estudio, por fuera del horario presencial de clase, no tendr ningn xito en un curso como FUNDAMENTOS. El estudiar eficiente y concienzudamente por fuera de clase resulta ser algo imprescindible, que el estudiante tendr que saber sortear en los estudios universitarios desde el primer semestre.

El texto incluye un nmero muy amplio de ejercicios para trabajar en forma autocontenida, pero es tambin recomendable contar al tiempo con otros libros de preclculo o de teora elemental de conjuntos (ver bibliografa anotada). Los ejercicios son parte imprescindible del texto, y constituyen el complemento natural, la extensin necesaria, de los desarrollos avanzados en el cuerpo expositivo principal. Debe sealarse aqu que los ejercicios del

-)(- texto deben acompaarse de una importante cantidad adicional de clculos particulares con objetos concretos. Ejemplos de esas situaciones aparecen en las tablas incluidas en el trabajo, pero deben completarse con diversos ejercicios adicionales de clculo concreto. Cada instructor del curso debe ser responsable de esos ejemplos calculatorios e instrumentales, fundamentales para el estudiante. ste, por su parte, siguiendo los ejemplos concretos del texto, y aquellos adicionales presentados en el tablero, puede (y debe) repetir situaciones similares con ligeras variaciones.

El uso repetido de expresiones en cursiva y de expresiones entre corche-tes responde a los siguientes criterios precisos que debe tener en cuenta el estudiante: las cursivas enfatizan la importancia de una idea o un concepto, mientras que, en cambio, los corchetes se usan alrededor de ideas y conceptos que en el momento de su aparicin an no han sido definidos, y que, en la gran mayora de los casos, no resultarn siquiera definibles en el curso completo de FUNDAMENTOS. Las palabras y los trminos entre corchetes deben quedar sin embargo resonando para cursos superiores (pues, al fin y al cabo, la matemtica constituye un entramado de contraposiciones armnicas en el mbito de la inteligencia).

IX

Otra recomendacin importante consiste en leer, paralelamente, algunos libros de historia de la matemtica. Slo al descubrir y ver la matemtica encarnada en las figuras de sus grandes inventores y gestores, puede empezar a sentirse la rica viveza y la extraordinaria ingeniosidad del pensamiento matemtico. A lo largo del texto, el estudiante encontrar algunas notas a pie de pgina con brevsimos resmenes de vida y obra de matemticos que han cambiado los rumbos de la disciplina. Las notas slo aparecen como una incitacin a imprescindibles lecturas complementarias en historia de las matemticas, que debe realizar el estudiante.

Como el estudiante observar repetidamente a lo largo del texto, estare-mos delineando un panorama esencialmente incompleto, que slo se ir pre-cisando mejor a medida que el estudiante recorra la Carrera de Matemti-cas. En muchos momentos del texto, proyectamos situaciones que habrn de entenderse plenamente slo en ciertos cursos posteriores. Hemos intentado dejar claramente explcitos esos lugares de apertura hacia el futuro, ayudan-do as, en lo posible, a construir una gua que le pueda servir al estudiante para orientarse dentro de un relieve complejo, que a menudo no le permite ver sino infranqueables montaas en derredor.

Los procesos de aprendizaje, como ir descubriendo el estudiante, nece-sitan de una permanente revisin de los conceptos, definiciones, demostra-ciones y ejemplos en juego. El entendimiento no surge de una vez por todas, en forma absoluta o emanada de alguna iluminacin superior, sino a travs de una tarea paciente de reelaboracin constante, producida por la dura te-nacidad de los seres humanos. El edificio del saber va asentndose poco a poco, a partir de ideas intuitivas que van refinndose progresivamente. El hecho de contar con ejemplos intuitivos de reales en los primeros captulos, por ejemplo, no rie con que esos ejemplos vuelvan a ser reeutendidos sobre nuevas bases, y con un rigor mayor, en los captulos posteriores. El estudiante debe rehacer las demostraciones, primero observndolas, luego dejando de lado sus apuntes, y situndose sin ms ayudas ante un papel en blanco. De la misma manera, los ejemplos y ejercicios que proveen los instructores en el tablero deben incesantemente reescribirse. Escribir correctamente (no slo matemticamente, sirio en espaol) es un bagaje imprescindible en una carrera de precisin como la que emprende el estudiante (tanto una carrera contra el tiempo, corno una Carrera disciplinar exigente). Un sabio mane-jo de las jornadas diarias de estudio y una dedicacin plena a las labores universitarias son aqu primordiales. Muchos sacrificios son finalmente re-compensados por la amplitud de miras, el rigor de pensamiento y la fluidez metodolgic,a, que consigue el matemtico.

Agradecimientos. Estas notas de clase hubiesen sido imposibles sin la extraordinaria generosidad del Profesor Gustavo Rubiano. Gustavo puso a mi disposicin todo su extenso conocimiento y su incesante ejercicio prcti-co del LaTeX, sin los cuales elaborar estas notas me habra tomado muchos semestres ms. Sin el menor reparo, Gustavo me instal los paquetes necesa-rios, me ayud en los primeros pasos (mi conocimiento del LaTeX era, si se puede decir, antediluviano, habiendo realizado mi tesis doctoral en las pri-meras versiones del TeX, plagadas de comandos y sin interfaces grficas), y, sobre todo, me ofreci los archivos completos correspondientes a sus libros, as como los macros que ha estado utilizando para sus propias publicaciones: una inaudita amplitud que nunca sabr agradecerle lo suficiente.

En segundo trmino, agradezco las extensas lecturas de este material por las Profesoras Myriam Acevedo, Margarita Ospina y Clara Helena Snchez. Su conocimiento del curso, su amplia experiencia y sus enfoques pedaggi-cos orientaron muchas correcciones, numerosos esclarecimientos y algunas adiciones en el material. Las atentas lecturas de los Profesores Alexander Cruz, Arnold Oostra y Andrs Villaveces mejoraron tambin los ejemplos y la precisin del texto. Su extensa visin me permiti explicitar mejor los desarrollos y los eventuales aportes del trabajo. Es claro, sin embargo, que el encadenamiento de este material, as como todos los errores no vislumbrados y los nfasis adoptados quedan bajo mi nica responsabilidad. Como con-secuencia de las diversas miradas de mis colegas, se puede concluir que tal vez necesitemos renovar nuestro currculum en las Carreras de Matemticas a nivel colombiano (o latinoamericano). Ojal este texto pueda situarse en esa direccin.

Agradezco aqu tambin a mis estudiantes del curso FUNDAMENTOS 2005-II, quienes supieron encarnar con humildad y trabajo el espritu de este texto, as como a mis estudiantes del curso FUNDAMENTOS 2007-1, quienes ayudaron a enmendar una gran cantidad de erratas diversas, y pudieron responder a las exigencias filosficas y conceptuales del texto, no fciles para un primer semestre.

Finalmente, agradezco a Lorenzo Acosta, anterior Director del Departa-mento de Matemticas, el que me incitara a acercarme al curso de FUNDA-MENTOS, as como a Leonardo Rendn, actual Director del Departamento, por el reconocimiento de un tiempo precioso para elaborar estas NOTAS DE CLASE.

2 CAPTULO 1. EL MUNDO DE LAS MATEMTICAS: SORPRESA, INVENCIN, RIGOR

1.1. La sorpresa

Captulo 1

El mundo de las matemticas: sorpresa, invencin, rigor

Contenido 1.1. La sorpresa

2 1.2. La invencin

4 1.3. El rigor

7 1.4. Ejercicios 12

En este primer captulo presentamos algunas de las problemticas profun-das a las que debe abocarse el conocimiento matemtico, y las ilustramos con algunos ejemplos clsicos derivados de la matemtica griega. El manejo de ciertos razonamientos -en particular, la expansin imaginativa obtenida mediante las pruebas por contradiccin- se entrelaza con conceptos, defini-ciones y ejemplos, alrededor de una idea fundamental que vertebra toda la disciplina: las matemticas constituyen un instrumentario tcnico y concep-tual sofisticado para capturar trnsitos y obstrucciones entre el mundo fsico real y las urdimbres ideales del saber.

1

La matemtica se mueve en una incesante oscilacin pendular entre reco-nocer singularidades y rupturas dentro de un contexto dado y, luego, tratar de superarlas e integrarlas como regularidades o continuidades dentro de otro nuevo contexto ampliado. La fuerza del mundo real, con su enorme complejidad multiforme, donde todo es mezcla, subyace en los intentos de delimitacin, anlisis y conocimiento de esa realidad por diversas comu-nidades de intrpretes. Mediante mltiples filtros de representacin, en el mundo alterno de las ideas se detectan entonces colecciones de estructuras y relaciones generales entre ellas, que dan lugar a valiosos grmenes de orden, simetra y continuidad con los que se intenta comprender el medio ambiente, tanto natural como interpretativo, donde circulan los fenmenos y el saber.

Una de las blondas preguntas filosficas detrs del conocimiento matem-tico consiste en cuestionarse acerca del irrazonable xito de las construccio-nes ideales matemticas en su aplicabilidad al mundo real. Aparentemente ajenas a la circunstancia, las matemticas de los griegos, de los chinos, de los hindes, de los rabes mantienen an su vigencia y subsisten an sus ejemplos, definiciones, teoremas. De forma muy diferente a lo que sucede en otros mbitos de la cultura, donde no rigen ni la evolucin ni la acumula-cin del saber, en las matemticas se avanza en cambio en la elaboracin de un gran edificio, donde a lo largo de la historia se acumulan fragmentos de conocimiento universal que trascienden sus acotados cronotopos de origen. Tanto los acordes como los contrastes entre lo ideal y lo real impulsan los desarrollos de las matemticas, y una constante sensacin de sorpresa nos sumerge al contemplar la estabilidad de nociones y conceptos matemticos que habran podido estar destinados al deterioro y al olvido.

Uno de los primeros grandes desajustes dentro del conocimiento matem-tico emerge cuando en la escuela de Pitgorasi se descubre que la diagonal d de un cuadrado de lado 1 es inconmensurable, con el lado: no existen nmeros a y b (para los griegos, nmeros naturales mayores o iguales que 2) que conmesuran d y 1, es decir, tales que d b = 1 a. Mientras

Pitgoras (Grecia, siglo VI a.C.) es uno de los fue- 1 dadores de la matemtica corno mtodo general

del saber. Sabio universal, impuls las conexiones de la matemtica con la filosofa, la msica y la cosmologa.

4 CAPTULO 1. EL MUNDO DE LAS MATEMTICAS: SORPRESA, INVENCIN, RIGOR 1.1. LA SORPRESA 3

que en las matemticas previas a Pitgoras todo deba ser armona y razn (como en el caso de las relaciones que el mismo Pitgoras encuentra entre las matemticas y la msica), el descubrimiento de la inconmensurabilidad de d introduce, con un ejemplo irrefutablemente sencillo, aquello que no es capturado por la razn. De hecho, si entendemos (con la matemtica rabe medieval) los nmeros racionales como primeras coordenadas de la razn, nmeros que se expresan como razones a/b donde a y b son dos enteros (b # O), el desajuste de la razn se expresa matemticamente diciendo que 1/2 (igual a d por el teorema de Pitgoras) no es un nmero racional. En esas condiciones, emerge una gigantesca sensacin de sorpresa en el pensamiento griego, a la vez que se abren los linderos fascinantes de la negacin, del revs de la razn. Como veremos en la tercera seccin de este captulo, el hecho de que esos linderos de lo no dado se abran as al razonamiento y al riguroso control matemtico constituye el comienzo de las altas aventuras del pensamiento matemtico.

Ante un desajuste, una irregularidad, un desequilibrio, el matemtico procede entonces a construir todo un gran andamiaje de conceptos, re-presentaciones, definiciones, deducciones, ejemplos para captar parcialmente aspectos de la singularidad percibida. Esto da lugar a profundos desarrollos matemticos donde la sorpresa inicial pasa a ser entendida con mayor propie-dad, permitiendo explicar en parte los desajustes observados en una primera instancia. Una ampliacin en forma de espiral es propia entonces del saber matemtico: cada vez que se avanza a lo largo de la espiral del conocimiento, se regresa a la problemtica inicial desde una nueva perspectiva, con nuevas herramientas que permiten ver ms y mejor. En ese proceso, no existe un fundamento ltimo, ni una visin superior nica que resuelva todos los problemas.

Si la matemtica se preocupa por un tipo de sorpresa ligada a lo singular, a lo incomprensible en primera instancia, una fuerte oscilacin del pndulo la acerca de manera natural tambin al estudio de ciertas formas de equilibrio y de simetra con las que pueden codificarse regularidades profundas, tanto en el mundo real, como en el conjunto de urdimbres ideales con las que se intenta cartografiar esa realidad. La geometra de los nmeros en la matemtica griega combina de manera vistosa algunos ejemplos elementales de simetra.

Tanto los nmeros cuadrados (C,,, = n2) como los nmeros triangulares (Tn = 1 + 2 + + n), construidos gracias a claras representaciones geomtricas, se combinan adecuadamente entre s. De hecho, una primera constatacin recursiva permite observar que Tn =

Tn_i+n, un tipo de enlace aritmtico muy primario, que puede ser pronto su-perado por relaciones geomtricas ms interesantes. En efecto, un desplaza-miento invertido de Tn_, sobre Ta muestra inmediatamente que Tn_i+Tn = C., as como otro desplazamiento muestra que Tn+Tn = n(n +1), de donde Tn = n(n+ 1)/2.

La extensin infinita de ciertos conceptos es otra de las fuentes centrales de sorpresa en la matemtica griega. La prueba clsica de la infinitud de los nmeros primos (ver seccin 3) -una joya de sencillez que se abre tanto al revs del razonamiento (prueba por contradiccin) como al anlisis estructu-ral de un problema (factores y factorial)- abre compuertas insospechadas en la matemtica. La prolongacin indefinida, la extra-limitacin de lo acotado incitan a la bsqueda prolongada e incesante de aquello que se nos escapa. La imaginacin matemtica empieza entonces a explorar oquedades, cesuras y fronteras del entendimiento de las que nunca podr volver a retrotraerse.

1.2. La invencin

Los cauces de la invencin matemtica son multiformes y multifacticos. Un concepto matemtico merece entenderse como un complejo hipercubo n-dimensional, que va siendo capturado progresivamente gracias a diversos cortes transversales. Las perspectivas desde las que se percibe cada corte cambian incesantemente, y es casi imposible entrelazar unitariamente todas las secciones a partir de las cuales podra reconstruirse el concepto completo.

La emergencia de la inventividad matemtica estuvo, en los comienzos de la cultura griega, ligada profundamente con la filosofa. Herramientas, ambas, de comprensin general del mundo, buscaron en un mismo tiem-po armonas y equilibrios entre el aparente caos circundante. Las paradojas

e

* n 1. * I I

a al

1.2. LA INVENCIN 5

de Zenn de Elea2 se inventaron como argumentos lgico-matemticos so-fisticados para sostener una posicin filosfica fascinante pero difcilmente defendible: la visin piirmenfdea de que el movimiento no existe y de que la mayora de nuestras percepciones no son ms que ilusiones en un mundo esttico, uno, permanente, sin flujos de ningn tipo. La lectura filosfica del mundo segn Parmnides va claramente en contra de nuestro sentido comn, ya que sin cesar creemos percibir flujos, cambios, movimiento. Sin embargo, nuestro sentido comn es el que podra estar engandonos: nada, a priori, nos asegura que nuestra percepcin no nos est jugando una mala pasada. Los argumentos de Zenn intentan abrir la posibilidad de que las tesis de su maestro Parmnides puedan representar una alternativa vlida en la filosofa.

Zenn procede por un argumento dialctico, que evoluciona hacia lo que pronto llamaremos prueba por contradiccin. Zenn quiere demostrar que no hay movimiento; si sus contendores consideran que se trata de una posicin absurda, l les demostrar que la posicin de ellos tampoco puede consi-derarse como muy firme. Asuma, por lo tanto, que el movimiento s existe. Suponga, por ejemplo, que hemos de lanzar una flecha entre un punto (A) y otro punto (B); la experiencia prctica y el sentido comn nos aseguran que, con un buen arquero, la flecha se mover, partir de (A) y llegar a (B). Sin embargo, nos dice Zenn, para cubrir ese trecho, la flecha habr antes de llegar a la mitad del camino, y, antes, a la mitad de la mitad de ese camino, y, antes, a la octava parte de ese camino, y, antes, a la dieciseisava parte del camino, y as sucesivamente. Siguiendo el razonamiento al infinito, la flecha no lograr superar entonces sus supuestos primeros desplazamientos y no podr entonces empezar a moverse: el movimiento no existe, es una ilusin. Se trata de mi argumento lgico-matemtico sofisticado, una inven-cin que ampla los lmites de la razn humana, que no es fcil de rebatir de una manera rigurosa. Si confiamos en nuestro sentido comn, sabemos que las paradojas de Zenn tienen que poder ser refutadas, pero no es fcil lograrlo mediante argumentos elementales. De hecho, slo un pleno control del infinito permite resolver cuidadosamente las paradojas, algo que apenas

6 CAPITULO 1. EL MUNDO DE LAS MATEMTICAS: SORPRESA, INVENCIN, RIGOR

se conseguir con la invencin del clculo diferencial e integral en el siglo XVII, ms de 2000 aos despus de Zennl

Las dos grandes corrientes impulsadas por el pensamiento matemtico griego, ligadas a los desarrollos del nmero y del espacio, dan lugar a pro-fundas invenciones en cada vertiente. Por el lado de los nmeros, el solo tratamiento de las propiedades multiplicativas de los naturales da lugar a un complejsimo edificio. Consideremos, en efecto, al conjunto de los natu-rales, entendido intuitivamente, por ahora, con un comienzo en el O (sta es una lectura posterior: los nmeros, para los griegos, empezaban desde el 2) y generado por la operacin de sucesor n H n -1- 1. Denotemos por 1 la relacin de divisibilidad entre naturales (n 1 en

n+1

3 8

10 .25 2

1.3. EL RIGOR 7 8 CAPITULO 1. EL MUNDO DE LAS MATEMTICAS: SORPRESA, INVENCIN, RIGOR

rablemente nuestros panoramas (Lqu tanto se abre hacia los lados y hacia arriba el retculo de divisibilidad?: mucho: ver ejercicios 1.8, 1.9). Entra-mos entonces en mbitos de la imaginacin de los cuales nunca querr volver a escapar el matemtico.

La invencin matemtica explota cuando se dirige particularmente hacia la negacin del entorno finito y positivo del que emerge en primera instancia (matemtica sumeria y egipcia). Con los griegos, lo no finito (el apeiron: lo infinito, lo ilimitado) y lo negativo (la dialctica y el revs de los argu-mentos) ampliad para siempre la capacidad inventiva de la razn humana. La superacin de los pretendidos lmites del mundo y de las limitantes del saber harn que la matemtica no cese de explorar nuevos territorios de lo imaginario y de lo real. El control mismo ejercido con cada vez mayor preci-sin en esas exploraciones, mediante el rigor creciente de las demostraciones, permitir seguir ampliando incesantemente un panorama inexhaustible.

1.3. El rigor

Despus de los procesos de la invencin -o, mejor, entrelazados con ellos los procesos de prueba afianzan la prctica del matemtico. Las pruebas no

surgen de una manera nica, normativa o iluminadora, sino que emergen a travs de andares y venires sinuosos, de rodeos por la oscuridad, de sedi-mentaciones y decantaciones. Las formas mismas de prueba cambian con el paso de los siglos. Hoy sabemos distinguir demostraciones completamente rigurosas de otras que lo son menos, gracias a una serie de avances en la formalizacin de la matemtica, emprendidos desde mediados del siglo XIX hasta mediados del XX. Sin embargo, la demostracin rigurosa ha limitado en algunos casos la capacidad de visin, libre y desprejuiciada, del matemti-co. Si observamos, a continuacin, la demostracin geomtrica original del teorema de Pitgoras y una demostracin algebraica ms moderna del mismo, resulta inmediatamente evidente que la demostracin antigua permi-te entender mejor (=entrever: ver a travs de los intersticios) las simetras y las regularidades en juego, mientras que, a su vez, la demostracin moderna permite controlar mejor los pasos sutiles del razonamiento. Entre la visin y el control debe debatirse en buena medida la prctica matemtica, y un adecuado equilibrio entre ambos resulta ser indispensable.

Prueba geomtrica original. La redistribucin de los cuatro tringulos (iguales) en las figuras siguientes muestra que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos:

Prueba trigonomtrica/algebraica moderna. Dados a, b (catetos) y c (hipotenusa) como en cualquiera de los cuatro tringulos anteriores, sea a el ngulo entre el cateto medido por a y la hipotenusa (medida por c). Tenemos entonces: cos a = a/c, sin cx = b/c, lo que implica ecos a a, csin a = b,

por tanto c2cos 2a = a2, c2 sin' a = b2, es decir c2(cos 2,+sin2 a) = az + bz,

lo que equivale al teorema general de Pitgoras e2 = a2 + b2.

Obsrvese sin embargo que esta prueba, basada en la ley bsica de la trigonometra, cos 2a + sine a = 1, podra verse como una demostracin que incorpora un crculo vicioso ya que esa ley bsica consiste precisamente en una forma especfica del teorema de Pitgoras, aplicada a un tringulo

1.3. EL RIGOR 9

rectngulo de catetos iguales a 1. De hecho, lo anterior sugiere el hecho (cier-to) de que el teorema de Pitgoras y la ley bsica de la trigonometra son proposiciones equivalentes, es decir demostrables la una a partir de la otra. En la edificacin de la matemtica, deber entonces asumirse en algn mo-mento uno de los dos enunciados como ms elemental que el otro, y entonces, al demostrar el enunciado de ms bajo nivel de complejidad, podr rpida-mente deducirse el otro con un argumento similar al indicado arriba.

As como los estratos de informacin matemtica se sedimentan unos sobre otros, los tipos de razonamiento lgico tambin se encadenan entre s. Los argumentos dialcticos de Zenn dan lugar a mtodos rigurosos de razonamiento. Las pruebas por contradiccin, fundamentales para el desa-rrollo de la matemtica griega, como inmediatamente veremos, esquematizan de manera muy sencilla la dialctica de Zenn: para demostrar algo, basta con asumir lo contrario y llegar a una contradiccin. Es lo que hace Zenn, al querer mostrar que no hay movimiento: asume lo contrario (la flecha se mueve) y llega a una contradiccin (la flecha est en reposo). El esquema de la prueba se escribe entonces: (no p implica contradiccin) implica p. En el captulo 2 introduciremos unos operadores ms cmodos de negacin e implicacin para poder controlar mejor este tipo de frases, y podremos observar cmo la prueba por contradiccin se encuentra estrechamente ligada con la prueba por contrarrecproca: para probar p implica q basta con probar que no q implica no p (atencin a la fundamental inversin de los trminos).

Podemos ahora demostrar la gran sinrazn que tanto perturb a la escue-la pitagrica, a saber que la hipotenusa de un tringulo rectngulo de catetos iguales al no puede ser medida por un nmero racional. A partir del teorema de Pitgoras sabemos que ,J2 mide esa hipotenusa, pues (N/2)2 = 2 = 12 +12. Por otro lado, mediante una prueba por contradiccin, procedemos a demostrar la irracionalidad de N/2. Supngase por tanto lo contrario, es decir que 1/2 es racional: N/2 = b, con a, b naturales, b l O. Puede suponerse que a y b no tienen factores comunes (llamemos (*) a esta condicin), ya que, si los tuvieran, esos factores comunes podran eliminarse al simplificar repetidamente la fraccin. A partir de N/2 = t se deducen entonces las igualdades bN/2 = a y, elevando al cuadrado, 2b2 = a2 (**), por lo tanto a2 es par. Ahora bien, si a2 es par, entonces a es ba: deghecho, una'' elemental prueba por contrarrecproca muestra que si un nmero 2n + 1 es impar, su cuadrado (2n+1)2 = 4n2 +4n+1 es impar. Tenemos entonces que r, a = 2k y, reemplazando en la ecuacin el, se deduce(2b2 = (2k)2 = por tanto b2 = 2k2, es decir que b2

es par, lo que obliga a que b sea par. Se concluye que a y b son ambos pares, lo que contradice la condicin (5),

10 CAPTULO 1. EL MUNDO DE LAS MATEMTICAS: SORPRESA, INVENCIN, RIGOR

La riqueza de la prueba anterior, ms que en su manipulacin ecuacional propiamente dicha, radica en el entrelazamiento de diversos tipos de prueba (contradiccin, contrarrecproca), de diversos estratos de prueba (argumen-to principal alrededor de la descomposicin de N/2, argumento secundario alrededor de la divisibilidad de un cuadrado por 2, hecho luego generalizable en forma idntica para cualquier nmero primo), de diversos ambientes de conceptualizacin matemtica (espacio y nmero, geometra y aritmtica) y, finalmente, de diversos contextos de apertura para el conocimiento (mundos de posibilidad y fronteras de imposibilidad, limitaciones de las representa-ciones).

Otra antigua prueba griega, muy rica en informacin matemtica y en sofisticacin lgica es la demostracin de la existencia de una infinitud de nmeros primos. En trminos modernos, la prueba se inscribe dentro del retculo de divisibilidad de los naturales (ver seccin anterior). Un nmero primo, por definicin, es un nmero mayor o igual que 2, cuyos divisores son solo 1 y el mismo nmero: p es primo si y slo si p > 2 y n p implica n = 1 o n = p. La criba usual (Eratstenes) para determinar el comienzo de la sucesin de los primos nos indica que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, son nmeros primos. Pero cmo asegurar que la sucesin se extiende indefinidamente?

De nuevo, una prueba por contradiccin es aqu muy til. Supngase, por contradiccin, que slo hay un nmero finito de primos. Sea p el mayor de esos nmeros. Demostraremos que existe q primo, q > p, contradiciendo el hecho de que p era (supuestamente) el mayor de los primos. Obsrvese que los primeros ensayos ingenuos para construir ese nmero q, a partir de p, no funcionan: (1) si q = p 1, q resulta ser par, por lo tanto no primo (pues p es impar, ya que todo primo estrictamente mayor que 2 debe ser impar: en efecto, por contradiccin, si no lo fuese, sera divisible al menos por 1, 2 y p( 2), contradiciendo p primo); (2) si q = p-4-2, en algunos casos q podr resultar primo (por ejemplo, en el caso de las parejas_ (p, q) iguales a (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), etc.), pero en otros casos q no resultar ser primo (casos (7,9), (13,15), por ejemplo); de hecho uno de los grandes pro-blemas abiertos en la aritmtica consiste en saber si existe una infinitud de parejas (p,p + 2) formadas por nmeros primos (una famosa conjetura enuncia que s existe una tal infinitud). As, los primeros ensayos ingenuos que llevan a intentar construir q a partir de p, sumando algo, no llevan a ningn lado. Realmente, esto no es extrao, pues la estructura importante que est en juego es la estructura multiplicativa de los naturales (ligada a la relacin de divisibilidad) y no la estructura aditiva. Puede entenderse que

1.3. EL RIGOR 11

12 CAPTULO 1. EL MUNDO DE LAS MATEMTICAS: SORPRESA, INVENCIN, RIGOR

surja entonces ahora en el curso de la prueba la idea de trabajar con p!, el nmero que, por definicin, captura toda la estructura previa multiplicativa por debajo de p: p! = 1 2 - 3 - (p 2) (p 1) - p.

Claramente, pi est lo ms lejos posible de ser primo, pues tiene una enorme cantidad de divisores, pero considrese entonces, de nuevo ingenua-mente, el nmero pl + 1. La prueba contina, dividindose en dos casos. Primer caso: p! + 1 es primo; tmese entonces q = pl +1, pues claramente q = p! +1 > p. Segundo caso: pi + 1 no es primo (en principio, no tenemos modo de saber cul de los dos casos va a darse, pero asumimos aqu una ley lgica fundamental: el principio del tercio excluso, segn el cual algo es o no es). Si estamos en ese segundo caso y p! + 1 no es primo, debe entonces existir otro primo q que divide a p! +1 (esto no es obvio en primera instancia, pero un argumento iterado de divisin debe llevar a convencernos de esa existencia). Afirmamos que para ese primo q se tiene entonces q > p, como se deseaba.. Probamos de nuevo esto por contradiccin. Supngase que q < p; entonces q es un nmero entre 2 y p, por lo tanto divide a pt; pero q tambin divida a pi +1 (pues as fue cmo se construy); entonces q divide a la resta de los dos nmeros ((p! + 1) p! = 1), es decir q 1 1, contradiccin con q > 2 (pues q es primo).

De nuevo, estamos ante una prueba de una enorme riqueza, tanto por la informacin matemtica incluida, como por la organizacin lgica de la misma. El razonamiento en diversos estratos, las invocaciones sucesivas de pruebas y subpruebas por contradiccin dan la medida de lo que puede em-pezar a vislumbrarse como la riqueza del pensamiento matemtico. Cierta-mente, comienza aqu a edificarse un muy complejo edificio. En lo que sigue de estas NOTAS DE CLASE se presentarn, an de manera intuitiva, algunos de los FUNDAMENTOS elementales de ese edificio. A otros cursos posteriores (CONJUNTOS, LGICA) en la Carrera de Matemticas les corresponder es-tudiar los Fundamentos ya axiomticos y rigurosos del edificio. Por ahora, en las NOTAS DE CLASE DE FUNDAMENTOS slo nos adentraremos en algunos de los temas tocados en esta breve introduccin:

(i) razonamientos lgicos proposicionales y conjuntos finitos (ii) cuantificadores elementales y conjuntos infinitos (iii) relaciones, funciones y operaciones entre conjuntos (iv) construcciones de los conjuntos de nmeros usuales.

1.4. Ejercicios Nota. Los ejercicios de este primer captulo enfrentan los diferentes bagajes de los estudiantes con la nocin central de demostracin. Se pretenden ma-nejar aqu nociones intuitivas de prueba y de propiedades numricas que, a lo largo del texto, se decantarn luego con todo el cuidado necesario. Las obstrucciones naturales que encuentren los estudiantes en estas primeras pruebas debern irse subsanando paulatinamente a lo largo del curso. Aqu, dependiendo de cada nivel y de cada bagaje para cada estudiante del curso de FUNDAMENTOS, debern producirse importantes crisis, que debern ser poco a poco superadas. Sin una crisis (del griego krisis, decisin), y sin la conciencia del no saber, difcilmente puede procederse al saber, ya que sin una crisis es difcil decidir conscientemente qu caminos adoptar en el aprendizaje. 1.1. Demuestre que si p es primo, N/p es irracional (calque la prueba de que N/2 es irracional, y use la propiedad fundamental de los nmeros primos -ver ejercicio 1.5-: p primo y p 1 ab implica p1 aopl b). 1.2. Demuestre que N/6 es irracional. 1.3. Considere los nmeros piramidales (o tetradricos) P,, definidos por -Pn = Tr +T2 -I- +T,, (suma de los n primeros nmeros triangulares). Explique visualmente el trmino asignado (.piramidal) y encuentre (sin demostrarla) una frmula general para P,,. 1.4. Demuestre la existencia de un par de nmeros a, b tales que se tengan (a la vez): a, b irracionales, ab racional. Ayuda: considere VT/7 y realice un argumento por casos, dependiendo del resultado de esa exponenciacin (racional o irracional). 1.5. Asumiendo el teorema de descomposicin en primos (n natural, n > 2 implica que existen primos pi y exponentes al >1 tales que n = Hp7') demuestre que p es primo si y slo si (p 1 ab implica pl a o p b). 1.6. Estudie otra prueba visual del teorema de Pitgoras basada en los des-plazamientos de los dos tringulos A y B en la figura adjunta:

rW

1.4. EJERCICIOS 13

1.7. Demuestre (para a, b, e naturales): a lbyalc implica al b+c, a I bc, a I be. 1.8. Proporcione ejemplos de nmeros naturales situados en los niveles 8 y 9 del diagrama de Hasse de los naturales con divisibilidad. Puede siempre situar algn natural en el nivel n del diagrama? Puede situar inflados naturales en cada nivel n?

1.9. Existe algn natural a # O tal que en el diagrama de Hasse de los naturales con divisibilidad no exista ningn natural entre a y 0?

1.10. Recuerde que O es divisible por todo natural. Demuestre sin embargo, por contradiccin, que O no divide a ningn natural diferente de O.

1.11. Demuestre, por contradiccin, que 3 I n3 implica 3 / (n -I- 1)3 (donde/ significa no divide). 1.12. Demuestre, por contradiccin, que no existen naturales z, y > 1 tales que x2 1/2 = 1.

1.13. Demuestre, por contradiccin, que si los lados (no nulos) a, b, e de un tringulo satisfacen a2 b2 = c2 entonces el tringulo es recto (contra-rrecproca del teorema de Pitgoras). 1.14. Escriba con cuidado alguna de las paradojas de Zenn no sealadas en el texto, y explique cmo intenta Zenn demostrar por contradiccin la imposibilidad del movimiento.

Hemos visto en el captulo precedente cmo la matemtica se enriquece al empezar a explorar los linderos de la negacin: lo no finito, lo no racional, lo no demostrable de manera positiva o elemental. Sin embargo, antes de adentramos en lo infinito y en lo no positivo/elemental, es importante fijar algunos ncleos de razonamiento primordial dentro de lo finito y lo elemen-tal. En este captulo presentamos la nocin de conjunto desde un punto de vista intuitivo, concentrndonos por el momento en conjuntos finitos. Asociadas al manejo elemental de los conjuntos finitos, aparecen las com-binaciones de proposiciones entre s, es decir las manipulaciones intuitivas' que subyacen al clculo proposicional clsico. El captulo esencialmente precisa un mnimo lenguaje de referencia para poder expresar, representar y controlar lo finito y lo proposicional.

14

Captulo 2

Conjuntos finitos y proposiciones

Contenido 2.1. Conjuntos, pertenencia e inclusin 15 2.2. Proposiciones

19

2.3. Ejercicios 24

2.1. CONJUNTOS, PERTENENCIA E INCLUSIN 15

2.1. Conjuntos, pertenencia e inclusin Desde un punto de vista intuitivo, las nociones de conjunto y de elemento no pueden definirse en una primera instancia. Su tratamiento axiomtico est reservado para una comprensin posterior de los FUNDAMENTOS en la Carrera de Matemticas. Para nosotros, se tratar entonces de dos nocio-nes primitivas, que no pueden capturarse mediante un instrumentado de definiciones, pero que pueden ser caracterizadas por su uso apropiado (lo que, en otros contextos, se denomina su pragmtica). Un conjunto y un elemento del conjunto deben verse intuitivamente entonces como un con-glomerado (coleccin, amalgama, etc.) y como un ingrediente (punto, tomo, etc.) de ese conglomerado: una intuicin ciertamente no muy diciente, que slo la prctica logra resolver de manera eficaz. Un elemento de un conjunto se dice que pertenece al conjunto.

En una aproximacin inicial, un conjunto puede ser definido de dos for-mas complementarias: por extensin, gracias a una lista completa de sus elementos, o por intensin, gracias a una propiedad que defina adecua-damente las caractersticas de los elementos del conjunto. As, por ejemplo A = {1, 2} por extensin, o A = {n natural : 1 < n < 3}, o A = {n natural > 1 : existen x, y, z naturales no nulos tales que xn + y" = z"} definen al mis-mo conjunto A, por extensin o por intensin (la ltima representacin est muy lejos de ser obvia, y requiere la prueba del famoso Teorema de Fermat1).

Esencialmente, los conjuntos matemticos se definen mediante propieda-des, a su vez expresables por frmulas, es decir por intensin (o por com-prensin, como tambin se le llama a este proceso); los desarrollos matem-ticos tienden luego a tratar de precisar la extensin correspondiente a las propiedades iniciales. En buena medida, el paso de lo implcito (intensio-nal) a lo explcito (extensional) se convierte en una de las tareas centrales del pensamiento matemtico. Por supuesto, un vaivn plenamente pendular entre lo intensivo y lo extensivo cubre perspectivas ms amplias dentro de

Pierre de Fermat (Francia, 1601-1665) fue uno de los precursores del clculo diferencial e integral, fundador de la teora de las probabilidades y gran aficionado a la teora de nmeros, en una poca en la que la matemtica todava poda ser desa-rrollada por hombres universales (Fermat era abo-gado de profesin).

16 CAPITULO 2. CONJUNTOS FINITOS Y PROPOSICIONES

la historia de la matemtica, pero el trnsito de lo implcito a lo explcito debe entenderse como una suerte de honda corriente principal que afecta las mareas en la superficie.

La relacin bsica indefinible entre elementos y conjuntos es la relacin de pertenencia. Denotamos e e A para indicar que a es un elemento del conjunto A (o que e pertenece a A) si a est en la lista de los elementos de A (cuando A est dado por extensin) o si a verifica las frmulas definito-rias de A (cuando A est dado por intensin). De manera complementaria, denotamos a A para sealar que a no pertenece a A. Nuestras conven-ciones de notacin manejarn usualmente las minsculas para elementos y las maysculas para conjuntos, pero, como pronto veremos, se trata slo de convenciones genricas, pues en muchos casos particulares intuitivos de gran importancia los conjuntos son elementos de otros conjuntos (y en realidad resulta que, en una fundamentacin axiomtica posterior, en la cual no po-demos aqu adentramos, todos los conjuntos son obligatoriamente elementos de otros conjuntos).

Una vez dadas las nociones indefinibles de conjunto, elemento y perte-nencia, podemos ahora s proceder a construir y elevar el edificio mediante definiciones. Definicin 2.1. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A est incluido en B (o que A es subconjunto de B, o que A est contenido en B), lo que denotamos por A C B, si y slo si todo elemento que pertenece a A es un elemento que pertenece a B. La relacin A C B entre conjuntos se llama la relacin de inclusin (o de contenencia).

De manera complementaria, denotamos A B para indicar que A no est incluido en B. Es fundamental observar aqu (por ahora de manera intuitiva, explicaremos esto mejor en el captulo 3) que A B corresponde a negar la frase (todo elemento de A es elemento de B), es decir, a afirmar que existe algn elemento de A que no es elemento de 13,

Es fundamental distinguir aqu de manera muy clara los signos funda-mentales de la escritura conjuntista, y no mezclarlos arbitrariamente. Las distinciones entre los signos positivos { , } , E , C , = son imprescindibles. En particular, nunca deben confundirse la pertenencia (E, relacin entre un elemento y un conjunto) y la inclusin (C, relacin entre dos conjuntos, que involucra a todos los elementos del primer conjunto). A su vez, deben distin- guirse claramente los signos negativos , , y, en particular, hay que distinguir la relacin de no pertenencia (que solo se refiere a un elemento y a

n O n=1 n = 2 n = 3

2.1. CONJUNTOS, PERTENENCIA E INCLUSIN 17

un conjunto dados) de la relacin de no inclusin (que involucra una prueba de existencia de un elemento para separar a dos conjuntos). Merece sealarse aqu que el uso tradicional en matemticas del trmino smbolo correspon-de generalmente a una degeneracin del trmino conecto (asigno): un mal uso que, en instancias superiores del pensamiento (semitica: teora de los signos), lleva a considerables dificultades y que debe irse corrigiendo desde un comienzo.

Ejemplo 2.2. El conjunto vaco, denotado por O, se define como el conjunto sin elementos: su propiedad caracterstica es que para todo a se tiene a / 0, una propiedad que incita a trabajar con pruebas por contradiccin. Para muchos objetos usuales A de la matemtica se tiene que O / A (aunque en el ejemplo siguiente veremos que O s pertenece a una ubicua coleccin de objetos en la matemtica), pero, en cambio, siempre se tiene O C A para todo conjunto A. Esto se puede confirmar observndolo por contradiccin: O A equivaldra a asegurar que existira algn elemento en el vaco que a su vez no fuese elemento de A, pero ya el comienzo de la frase es contradictorio pues no puede haber nada en el vaco.

Ejemplo 2.3. Sea A un conjunto. El conjunto partes de A, o conjunto potencia de A, denotado por p(A), se define como el conjunto de los sub-conjuntos de A, es decir, de manera intensional: p(A) = {X : X C A). Los elementos de p(A) son aqu por tanto los subconjuntos de A: un mis-mo objeto es, en un nivel, subconjunto, y, en otro nivel superior, elemen-to. Para fijar las ideas, en el caso A2 = {1, 2}, se obtiene, por exten- sin, p(A2)

{O, {1}, {2}, {1, 2}} y en el caso A3 = {1, 2, 3}, se obtie- ne p(A3) = {O, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. El hecho de que p(A2) resulte ser un conjunto con cuatro elementos y de que p(A3) resulte

tener ocho elementos indica un patrn de crecimiento uniforme del nmero de elementos de p(A) a medida que aumenta el nmero de elementos de A. De hecho, puede intuirse que el nmero de elementos de p(A) es exacta-mente 2" si el nmero de elementos de An es n, algo que se confirma con los dos primeros casos: si Ao = O, p(A0) = {0} tiene 1 = 2 elemento, y si Al = {1}, p(A,) = {0,{1}} tiene 2 = 21 elementos. La prueba de esta intuicin, o de este patrn detectado, tomar ms tiempo y requerir de las herramientas fundamentales para poder hacer pruebas sobre el conjunto de los nmeros naturales: las pruebas por induccin del captulo 7.

Dentro de un conjunto de partes p(A), dos elementos del conjunto de partes pueden compararse gracias a la relacin de inclusin, ya que ellos mismos son conjuntos. Podemos entonces imaginar un diagrama de Hasse

18 CAPITULO 2. CONJUNTOS FINITOS Y PROPOSICIONES

en el cual un conjunto est por debajo de otro si el de abajo est incluido en el de arriba. De esta manera, es fcil obtener los primeros diagramas de Hasse para p(A,,) con la relacin de inclusin

Obsrvese, en particular, el cuadrado obtenido para el caso n = 2 y el cubo obtenido para el caso n = 3: las representaciones geomtricas obte-nidas en los diagramas de Hasse de p(A') se conectan plenamente con los clculos aritmticos que miden el nmero de elementos. Se trata de una de las mltiples interconexiones entre espacio y nmero que recorren todo el tejido de la matemtica.

Definicin 2.4. Un conjunto A so dice finito si su lista extensional puede ser contada por un nmero natural. Veremos ms adelante, en el captulo 4, que esto quiere decir que A es del mismo tipo que alguno de los Ar, = {1, 2, , n}, esto es, que puede ponerse en una adecuada correspondencia con An.

Una ventaja importante de un conjunto finito es que, a menudo, puede explicitarse el conocimiento del conjunto por extensin. Esto es algo que nunca podr realizarse en cambio con los conjuntos infinitos, para los cuales ninguna lista puede en realidad concretarse (an para conjuntos finitos de gran tamao, la exhibicin de una tal lista podra llegar a superar el nmero mismo de partculas en el universo, segn algunos de los actuales modelos cosmolgicos). En el infinito (o en finitudes de gran tamao) no podemos entonces dejar de involucrarnos con propiedades y relaciones matemticas, en vez de mantenernos en una cierta combinatoria de lo puntual como puede hacerse con algunos conjuntos finitos.

2.2. PROPOSICIONES 19

2.2. Proposiciones

Por medio del trmino proposicin, entenderemos en este texto cualquier tipo de asercin matemtica usual para la cual podemos intuitivamente afir-mar que posee un valor verdadero (V) o falso (F). Por ejemplo, las aserciones 2 es un entero impar, 3 1 9 (3 divide a 9), o O O son proposiciones, la pri-mera con un valor falso, la segunda con un valor verdadero, la tercera con un valor falso. Las aserciones 2 1, x = 7, o A =}1, 2 no son proposiciones, ya que no son verdaderas ni falsas, la primera porque est incompleta (i2 divide qu?), la segunda porque el valor de verdad depender de qu substituyamos por x, la tercera porque es una sucesin de signos gramaticalmente incorrec-ta. Denotaremos usualmente por p, q, r, ... ciertas proposiciones genricas: estos signos se denominan letras proposicionales.

Restringiremos aqu la nocin de proposicin al mundo matemtico elemental, y no nos andentraremos en el manejo ms vago de proposiciones aplicadas a eventos externos del mundo en general, que adquieran valores verdaderos o falsos, como por ejemplo ahora llueve, o mi padre canta. Son tantos los ejemplos y es tan amplio el universo de las matemticas que, en primera instancia, no slo no es necesario salir de ese mundo, sino que es altamente recomendable sumergirse plenamente en l, en un primer curso de FUNDAMENTOS.

La trama de los razonamientos lgicos elementales, como vimos en el pri-mer captulo, est en buena medida determinada por ciertas transferencias de informacin ligadas a las ideas de negacin y de implicacin. A continua-cin, convertimos esas transferencias en operadores precisos sobre los que puede establecerse un adecuado control matemtico.

Definicin 2.5. Sean p, q letras proposicionales. Definimos los conectivos proposicionales negacin implicacin (), conjuncin (A), disyuncin (V) y equivalencia (s) mediante las siguientes tablas definitorias (tablas de verdad):

p - p V F

20 CAPTULO 2. CONJUNTOS FINITOS Y PROPOSICIONES

p q p-4q pAq pVq pf->q VV V V V V y F F F V F FV y F y F F F V y F .V

Obsrvese que si queremos pensar en los conectivos como operadores que mantienen (en algunos casos) o intercambian (en otros casos) lo verdadero y lo falso, para cubrir todos los casos tendremos que estar construyendo tablas cuyo nmero de lneas es una potencia de 2, pues tendremos que recorrer el conjunto {V, F} tantas veces como tengamos letras proposicionales. Este resulta ser el caso en las definiciones anteriores, con una tabla de dos lneas para el operador de negacin (aplicado a una sola letra proposicional), y con una tabla de cuatro lneas para los dems operadores (aplicados a dos letras proposicionales). Obsrvese que, aunque aqu slo nos ocupamos de los 4 conectivos binarios ms usuales (--> , H , A , V), hay en realidad 24 = 16 conectivos binarios posibles. No nos ocuparemos de todas estas posibilidades aqu (aunque vase el ejercicio 2.10).

El punto crucial en las definiciones anteriores de los conectivos se encuen-tra sealado con 11. en la tercera lnea de la segunda tabla. Todas las defi-niciones dadas en las tablas de verdad corresponden a nuestras intuiciones naturales, excepto en el caso de la implicacin matemtica. La implicacin, dentro del mbito de las matemticas elementales, se entiende a travs de un paradigma fundamental: lo nico que se le pide en matemticas a una implicacin correcta es que no transforme verdades en falsedades. Todo el resto puede en cambio ser perfectamente razonable desde un punto de vista matemtico. Esa apertura a todo lo otro, al mundo de todos los posibles, es imprescindible para la inventividad matemtica. Obsrvese que esta mirada es bastante diferente del manejo ms ambiguo que tienen las proposiciones lingsticas, donde, por ejemplo, una frase del tipo si mi padre es mi hijo entonces yo soy el padre de toda la humanidad no tiene ningn sentido, mientras que si la esquematizamos matemticamente como una implicacin entre letras proposicionales, la primera falsa y la segunda falsa, la frase completa resulta ser verdadera. No enfrentaremos aqu este tipo de extrapoj lociones al lenguaje coloquial diario, que nos acercan al absurdo, ya que nos restringiremos solamente a las proposiciones de la matemtica.

Mediante combinaciones de conectivos y de letras proposicionales pueden construirse proposiciones ms sofisticadas. Sin entrar en una rigurosa defi-nicin (recursiva>) de tales combinaciones (algo que se realizar en los cur-

2.2. PROPOSICIONES 21

sos posteriores de LGICA), llamaremos frmulas a aquellas combinaciones construidas a partir de letras, conectivos y parntesis de forma coherente e iterada. La prctica provee numerosos ejemplos y un control natural en la conformacin de las frmulas, sin necesidad de muchas elaboraciones: por ejemplo, las cadenas de signos p -> (q -> p), (p q) -> p, p A

p V -13, p --> (29 V q) son todas frmulas. Hay que resaltar aqu que las frmulas slo se refieren a la adecuada construccin gramatical de la cadena lingstica y no a su posible sentido, ya sea ste verdadero o falso. Por otro lado, cier- tas cadenas de signos como p --->,

qV --> p son ejemplos de cadenas gramaticalmente incorrectas, es decir, no son frmulas.

Definicin 2.6. Una frmula es una tautologa si, al realizar su tabla de verdad, todas las entradas en la columna final de la tabla (correspondiente a los valores de verdad de la frmula) son entradas verdaderas.

Las tautologas representan por tanto formas de razonamiento siempre verdaderas, cuando las aplicamos al mundo clsico elemental de las ma-temticas. Debe sealarse sin embargo aqu que, ms all de lo clsico y de lo elemental, existe un gran nmero de lgicas no clsicas que gobiernan otros espacios de las matemticas. En esos mbitos alternos -no aborda-dos en el curso de FUNDAMENTOS, pero tampoco, desafortunadamente, en las carreras usuales de Matemticas- muchas tautologas clsicas dejan de valer.

Ejemplo 2.7. Los razonamientos por contradiccin y por contrarrecproca corresponden a esquematizaciones proposicionales (frmulas) que son tau-tologas. Podremos entonces usar las pruebas por contradiccin y por con-trarrecproca de manera totalmente segura en el mbito clsico de las mate-mticas elementales. Esta codificacin de hechos generales (razonamientos en el mundo de las matemticas) por medio de hechos particulares (cier-tas frmulas que resultan ser tautologas), y la consiguiente extrapolacin de esas certezas locales al universo global de la matemtica, muestran la riqueza del proceder matemtico.

En efecto, obsrvese que la prueba por contradiccin corresponde al es- quema (-p (q A -,q)) p, y que la prueba por contrarrecproca co-

rresponde al esquema (-iq -> (p q). Realizando las tablas de

verdad correspondientes a ambas frmulas se concluye inmediatamente que ambas son tautologas.

22 CAPTULO 2. CONJUNTOS FINITOS Y PROPOSICIONES

p q -,q q A -,q --151 --13 -+ (q A -'q) (-y --> (q A -9)) --, p

V V F F F V V V F V F F V V F V F F y F V F F V F V F V

p q -'p -9 -9 -4 -y p -1 q (-9 -, -Ip) -4 (p -4 q) V V F F V V V V F F V F F V F V V E V V V F I, V y V V V

Ejemplo 2.8. Otros ejemplos importantes de tautologas corresponden a las siguientes frmulas:

p V -9 (ley del tercio excluso) p (ley de la doble negacin)

(p q) (-p V q) (implicacin a partir de negacin y disyuncin) (p A q) -,(-qo V -,q) (leyes de De Morgan).

En efecto, resulta muy fcil chequear que las tablas de verdad corres-pondientes a estas frmulas son tablas de verdad de tautologas.

Ejemplo 2.9. Ya que, al azar, no es fcil que las tablas de verdad terminen en columnas con entradas verdaderas, parecera que la mayora de las frmulas no fueran tautologas (sin embargo, vase el ejercicio 2.11). Algunas frmulas que no son tautologas, y que corresponden a errores tpicos de razonamiento son las siguientes:

(-ti, -4 -9) -+ (p -a q) - (P

-> (q V r)) (p q).

Podemos ahora desglosar la relacin bsica de contenencia entre con-juntos de la siguiente manera, haciendo entrar explcitamente en juego las nociones fundamentales de este captulo (conjunto, elemento, contenencia, pertenencia, implicacin) y una de las nociones fundamentales del prximo captulo (cuantificador, universal para todo):

2.2. PROPOSICIONES 23 24 CAPTULO 2. CONJUNTOS FINITOS Y PROPOSICIONES

Hay que observar la gran diferencia que se tiene entre el anlisis o des-glose de la relacin de inclusin (que involucra al cuantificador universal para todo, la implicacin y la pertenencia positiva), y el anlisis de la relacin de no inclusin, que involucra el cuantificador existencial existe, la conjuncin y la pertenencia negativa:

La diferencia entre el recto (C)y el verso (%) de la situacin puede verse mediante los tiles y bien conocidos diagramas de Velan:

Obsrvese cmo en el primer diagrama (inclusin) se representa un patrn general (lneas unas dentro de otras), mientras que el segundo diagrama re-presenta una situacin particular (un punto situado en una franja especifica). Pasaremos a estudiar en el prximo captulo esas nociones de generalidad y particularidad, codificadas en los cuantificadores universal y existencial.

En los anteriores anlisis y desgloses de los signos, stos nunca deben confundirse, ni mezclarse sin control. La contenencia funciona entre con-juntos, no tiene sentido entre proposiciones. La implicacin funciona entre proposiciones, no tiene sentido entre conjuntos. Un cuantificador habla sobre los elementos de un conjunto, no tiene sentido cuantificar proposiciones. Y as sucesivamente. La claridad en el manejo de los signos (y, por lo tanto, de los conceptos) es un imperativo en el curso de FUNDAMENTOS y en toda la Carrera de Matemticas.

Por otro lado, tanto el estudiante, como cualquier instructor, deben en-tender claramente que, en un curso inicial como un curso de FUNDAMENTOS, es sana, diramos casi indispensable, una cierta mixtura entre un lenguaje informal y fragmentos de nuevos lenguajes que intentan progresivamente in-troducir controles contextuales. El problema no se encuentra en las mezclas, sino en el descontrol que se tenga al manejar esas mezclas. Poco a poco el estudiante sabr ir encontrando un adecuado equilibrio entre lo informal y lo formal, as como analizarlo rigurosamente. Toda la Carrera de Matemti-cas le llevar a estudiar ese deslinde. A menudo, entonces, en lo que sigue del texto, combinaremos ciertas expresiones semiformales, con expresiones informales. De hecho, al revs de lo que a menudo se cree, la matemtica es esencialmente impura, y en sus mezclas radica toda su energa. Todo esto conduce hacia un perfectamente manejable y pragmtico rigor informal que es aquel que se quisiera poder implementar en un curso como FUNDA-MENTOS.

2.3. Ejercicios

2.1. Proporcione ejemplos concretos de conjuntos A, B, C, D, E, que ve-rifiquen las siguientes relaciones de inclusin (donde una flecha ascendente corresponde a una inclusin C, y donde la ausencia de lneas en un mismo nivel corresponde a no inclusin):

2.3. EJERCICIOS 25 26 CAPTULO 2. CONJUNTOS FINITOS Y PROPOSICIONES

E O D E

2.2. Encuentre todos los subconjuntos de A4 = {1, 2,3, 4} y realice el diagra-ma de Heme de (p(A4), C) (conjunto de partes con la relacin de inclusin entre los subconjuntos). 2.3. Averige si las siguientes aserciones son verdaderas o falsas, justificando en cada caso sus respuestas:

(i) 0 E p(p(X)) para todo conjunto X () {0} E p(p(X)) para todo conjunto X (iii) {{0}} E p(p(X)) para todo conjunto X.

2.4. Exhiba algn conjunto X para el cual X p(X). Demuestre que, para cualquier conjunto finito X, p(X) X. 2.5. Sea X un subconjunto de nmeros naturales. Demuestre que si X C p(X) entonces X = O (ayuda: prubelo por contrarrecproca). 2.6. D ejemplos de conjuntos A, B, C tales que A E B C C E A. Alguno de esos conjuntos puede verse como un conjunto conocido de nmeros? 2.7. Demuestre que las frmulas del ejemplo 2.8 son tautologas. Demuestre que las frmulas del ejemplo 2.9 no son tautologas. 2.8. Decida si las siguientes frmulas son, o no, tautologas, y demustrelo en cada caso:

(P V 9) (-1/) 9) ((7, --> 9) P) 19 (P (P ---> P)) ,p (7,--> 0\47 --)p).

2.9. Demuestre que el conectivo no puede ser definido a partir de los conectivos A, V, +4, es decir, que no existe ninguna frmula construida slo con p y A, V, 4-4 que sea equivalente a .p. Ayuda: proceda por

contradiccin y observe el comportamiento de las combinaciones de A, V, --+, 4-+ para el valor de verdad V.

2.10. Descubra cules son las dos nicas posibilidades de tablas de verdad para un conectivo binario >14 que pretenda poder reconstruir, con slo com-binaciones del mismo conectivo >14, a todos los dems conectivos (piense, en particular, en las exigencias que tienen que asumirse para poder reconstruir la negacin: considere combinaciones de 14 y p y comprelas con p). 2.11. Explique por qu, aparentemente, hay ms frmulas no tautolgicas que frmulas tautolgicas. Sin embargo, intente explicar por qu, en realidad, hay exactamente tantas tautologas como no tautologas.

2.12. Defina una familia cei, a2, . de frmulas de la manera siguiente: al = (p p), a+1 = (a, p) p. Qu puede decir de los an: son o no tautologas, y por qu?

28 CAPITULO 3. CONJUNTOS INFINITOS Y CUANTIFICADORES

Naturales: N -= {O, 1,2,3, ,n,n + 1, }. Se trata de los nmeros desarrollados a partir del cero (0), mediante

sumas sucesivas de una unidad (proceso sucesor: n1). n -I- 1). Enteros: Z = {, , n 1, n, , O, ,n,n + 1, }. Se trata de los nmeros naturales y de sus inversos para la suma (nme-

ros negativos). Racionales: Q ={"b :aEZAbEZAb 0}. Se trata de los nmeros enteros y de sus inversos para la multiplicacin

(fracciones), cuando esa inversin es posible. Reales: IR = completatniento de los racionales.

Se trata de los racionales y de nmeros adicionales (expansiones deci-males no peridicas) que intentan cubrir los huecos existentes en la lnea racional (discreta), para convertirla en un continuo.

Por construccin, tenemos una cadena de conjuntos: N C Z C Q C R, con claras contenencias estrictas en cada caso:

Z / N pues, por ejemplo, 1 E Z y 1 / N; Q Z pues, por ejemplo, 2 E Q y 2 Z; IR Q pues, por ejemplo, N/2 E IR y N/2 / Q. Obsrvese cmo las no contenencias se establecen mediante ejemplos, es

decir mediante objetos existenciales concretos, tal como lo sealbamos al final del captulo anterior.

Para cada uno de los conjuntos de nmeros anteriores, pueden describirse mltiples subconjuntos notables de esos conjuntos dados. Dentro de los na-turales, por ejemplo, son muy tiles los subconjuntos formados por primos, pares, impares, o mltiplos de un nmero dado: {n : n E N A n es primo}, {n : n E NAn es par}, {n : n E NAn es impar}, mN = {n : n E NAn es mlti-plo de nt}. Obsrvese que cada uno de los subconjuntos anteriores es infinito, excepto en el caso de los mltiplos de O, donde ON = {0}. El nico caso de-licado es el de la infinitud de los primos, que demostramos ya en el captulo 1. Dentro de los enteros, son de fundamental importancia, como veremos en diferentes instancias 'a lo largo del curso, los subconjuntos de mltiplos de un nmero dado: mZ = {n : n E Z A n es mltiplo de m}. Distinga los sub-conjuntos de mltiplos en N y en Z: por ejemplo, 3N = {0, 3, 6, , 3n, }, mientras que 3Z = {. , 3n, , 3,0,3, , 3n, }.

Captulo 3

Conjuntos infinitos y cuantificadores

Contenido 3.1. Conjuntos de nmeros 27 3.2. Cuantificadores 31 3.3. Ejercicios 33

Una vez concretado un cierto ncleo finito / proposicional de las matemti-cas elementales, como lo hicimos en el captulo anterior, podemos ahora s tratar de empezar a expandimos hacia sus bordes: hacia lo no finito y hacia lo no proposicional, es decir hacia lo infinito y lo cuantificacional. La idea fundamental es que, una vez entrados en el mundo de los conjuntos infinitos (como es el caso de los principales conjuntos de nmeros, de los que nos ocupamos en el curso de FUNDAMENTOS), un primer control del infinito se consigue, de manera positiva, mediante el cuantificador universal, y, de manera negativa, mediante el cuantificador existencial. Un segundo control se obtendr, en los captulos posteriores, mediante las nociones de relacin y funcin.

3.1. Conjuntos de nmeros Presentamos aqu de manera intuitiva los principales conjuntos de nmeros, e introducimos los smbolos usuales para representarlos:

27

.q>

3.1. CONJUNTOS DE NMEROS 29

Definicin 3.1. Un conjunto es infinito si contiene un subconjunto simi-lar a N. Intuitivamente, el conjunto es infinito si un listado de sus elementos, sin repeticiones, no se acaba. En el captulo 4 introduciremos las herramien-tas para definir rigurosamente la nocin de similaridad y en el captulo 6 revisaremos con cuidado las similaridades y las no similaridades entre los conjuntos infinitos l'anales.

Ya que N C Z CQC R, los conjuntos de nmeros enteros, racionales y reales son infinitos puesto que contienen un subconjunto similar a N, a saber el mismo N. Los conjuntos de mltiplos rnZ (para m # O) son tam-bin infinitos puesto que sus subconjuntos {0, m, 2m, 3m, } son similares a {0, 1,2, 3, } = N. De hecho, como indicaremos en el captulo 6, la pro-piedad de que un conjunto sea similar a una de sus partes propias (como el caso de N similar a 3N) es otra manera de caracterizar a los conjuntos infinitos (definicin 6.3). Esta peculiaridad de los conjuntos infinitos se hace visible en la famosa paradoja de Galileo, segn la cual, por un lado, hay ms nmeros naturales que pares (puesto que en la coleccin de los natura-les aparece 3, mientras que en la de los pares 3 no aparece), pero, por otro lado, los naturales y los pares pueden contarse por igual ya que los podemos asociar uno a uno en los dos conteos similares

O 1 2 3 n

O 2 4 6 2n 2ri + 2 .

La propiedad paradjica de poder asociar la parte al todo es carac-terstica de los conjuntos infinitos, y, como veremos ms adelante, consiste en el corazn mismo de lo infinito. La bellsima frase de Pascal', el corazn posee razones que la razn no conoce, no slo debe abrirnos a una razn extendida a la imaginacin, como lo hemos sealado en el captulo 1, sino que puede aplicarse a la comprensin compleja misma de la infinitud: el infinito posee razones que la razn finita no conoce.

Blaise Pascal (Franela, 1623-1662) es uno de los exponentes mayores del gran espritu de fineza del pensamiento francs. Notable filsofo, matemti-co y ensayista, su pluma y su razn son ejemplo de extrema concisin y claridad. El estudiante no podr sino aprender exponencialmente, al acercar-se, aunque sea vagamente, a la limpieza mental y expresiva de Pascal.

30 CAPTULO 3. CONJUNTOS INFINITOS Y CUANTIFICADORES

En el caso de un conjunto infinito X, la coleccin de sus subconjuntos (1 decir, p(X)) no puede diagramarse de manera tan sencilla como lo hielan en el captulo 2 para los conjuntos A = {1, 2, , n}. Veremos en el prxin captulo que, en realidad, gs(X) literalmente explota cuando X es infinit Sin embargo, ciertas colecciones de subconjuntos de un conjunto pueden veces diagramarse bien, como es el caso de los subconjuntos de mltiplos In (In > O) contenidos en Z (en el diagrama siguiente, las lneas ascendent corresponden a inclusiones):

Z(m = 1)

pZ

4Z 6Z

.

Ppi (in = O) El estudiante podr observar lo mucho que este diagrama se parece

tructurahnente al diagrama de Hasse de (N, 1) (naturales con la relacin divisibilidad) que introdujimos en el captulo 1. De hecho, los diagramas s exactamente inversos uno del otro, y coinciden perfectamente si se los tn lapa por medio de una reflexin. Esta inversin de los dos diagramas pue expresarse de una manera completamente precisa mediante la constataci fundamental:

mZ C nZ si y slo si u I m.

32 CAPTULO 3. CONJUNTOS INFINITOS Y CUANTIFICADORES 3.2. CUANTIFICADORES 31

En efecto, si mE C nZ entonces, como m E mE, resulta ni E nZ, es decir = nk para algn[ k, por tanto n 4 ni. Viceversa, suponga que n m; esto

implica inmediatamente que todo nmero divisible por m es divisible por n, es decir que todo mltiplo de m es mltiplo de n: mE C nZ.

As, la relacin de contenencia en un diagrama de Hasse de subconjuntos corresponde (invertida) a la relacin de divisibilidad en un diagrama de Hasse de nmeros. La matemtica, en buena medida, intenta ir descubriendo este tipo de correlaciones estructurales entre los objetos, como el estudiante lo ir ampliamente observando a lo largo de su Carrera.

3.2. Cuantificadores

Entendemos aqu por cuantificadores los cuantificadores para todo y existe, en su uso intuitivo dentro del mbito de los conjuntos de nmeros y en su uso en las pruebas sencillas del estilo introducido en el captulo 1. En momentos posteriores de la Carrera de Matemticas, se realizar tanto un tratamiento axiomtico de los cuantificadores (curso de LGICA), como un tratamiento extendido de los mismos (curso de TEORA DE MODELOS), que permiten ampliar la intuicin y abrirse a otros cuantificadores alternativos, en el mundo de las matemticas avanzadas.

Los cuantificadores que manejamos a este nivel son:

nombre smbolo concepto caracterstica cono

cuantificador universal V para todo cubrir todo (9 cuantificador existencial 3 existe detectar algo O

Las relaciones de inclusin y no inclusin entre conjuntos, que habamos desbrozado al final del captulo 1, pueden ahora escribirse de una manera completa gracias a los cuantificadores:

ACBsiyslosiVa(aEA->aEB) A%B si y slo si 3a(aEAAastB). Algunas propiedades que habamos descrito en lenguaje informal podran

ahora codificarse en un pleno lenguaje simblico, mediante los conectivos y los cuantificadores. Por ejemplo, p es primo se codifica mediante la frmula p E N Ap > 2 Vn(n ENAnip n= 1V n= p). Por ejemplo, la caracteri-

nacin fundamental de los nmeros primos (ejercicio 1.5) puede codificarse mediante la siguiente frmula: Vn(n E NAn > 2 -+ (n es primo H VaVb(a E NAb ENAn I ab -> n aVni b))). Por ahora, al nivel bastante intuitivo del curso de FUNDAMENTOS no habr necesidad de seguir insistiendo en este tipo de codificaciones, aunque se le invita al estudiante a que realice algunas codificaciones por su cuenta. Lo importante es poder contar con la seguridad de un control bastante razonable de los smbolos, donde no se mezclen arbitrariamente los objetos de la matemtica (como los elementos de los conjuntos de nmeros) con los signos de un lenguaje (como los conectivos y los cuantificadores) construido para hablar sobre esos objetos.

As como ciertas tautologas nos permitieron codificar y demostrar la validez de ciertos razonamientos generales en el mbito de las matemticas (como pV-ip codificando el tercio excluso y (-I) (q A -I)) p codificando las pruebas por contradiccin), ciertas combinaciones de cuantificadores y conectivos nos permiten codificar algunos razonamientos generales vlidos sobre los trnsitos entre lo universal y lo particular. Sin embargo, mientras en el captulo 2 pudimos introducir adecuados mtodos de control y prueba para los conectivos (las tablas de verdad), no podemos an en esta instancia introducir mtodos de control para los cuantificadores. Un curso posterior de LGICA remediar estas deficiencias.

Podemos sin embargo sealar algunas leyes vlidas para los cuantifica,-dores. Sin poder probarlas por el momento, stas corresponden no obstante a un entendimiento intuitivo natural de los cuantificadores. Sea P(x) una propiedad que se refiere a un cierto universo de elementos matemticos; tenemos entonces:

- x P (x) 3x-,P(x) -2xP(x) 4-> Vx,P(x) Vx(P(x) --> Q(x)) -) (VxP(x) --->VxQ(x)) 3x(P(x) A Q(x)) -> (3sP(x)) A (3xQ(x)). Obsrvese que en la tercera y en la cuarta lnea las implicaciones no

pueden invertirse y que no se trata de equivalencias. Por ejemplo, tomando P como la propiedad ser par y Q como la propiedad ser impar, en el universo de los nmeros naturales, para falsear la supuesta recproca de la cuarta lnea, basta con observar que existen naturales pares e impares por separado, pero que no existe un natural par e impar a la vez; y para falsear la supuesta recproca de la tercera lnea basta con observar que la implicacin de la derecha VxP(x) VxQ(x) es verdadera ya que empieza por una falsedad

e

3.3. EJERCICIOS 33

(todo natural es par) mientras que la implicacin de la izquierda Vx(P(x) Q(x)) es falsa (no todo par es impar).

Teniendo en cuenta los diversos comentarios que hemos hecho en el captulo, debe entenderse ahora que, cuando nos enfrentamos a conjuntos infinitos, en muchos casos va a resultar ms fcil ocuparse de los aspectos negativos que de los aspectos positivos de esos conjuntos. En efecto, mien-tras que para mostrar, de manera positiva, una inclusin A C B habra que chequear que todo elemento de A es elemento de B, explorando una lista infinita de elementos de A, o verificando una propiedad en un espectro in-finito, procesos que podran ser muy difciles de realizar, en cambio, para mostrar, de manera negativa, A B, bastar con exhibir un elemento de A que no est en B.

De esta manera, en lo que se refiere a contenencias entre conjuntos, ser ms fcil tratar el cuantificador existencial, ligado a pruebas negativas, que el cuantificador universal, ligado a pruebas positivas. Con la existencia (3) podrn distinguirse conjuntos mediante contraejemplos. Con la univer-salidad (V) debern en cambio identificarse contenencias mediante pruebas generales. Todo esto se resume entonces en el viejo adagio, que ha quedado suficientemente sustentado por el momento en este captulo, segn el cual:

lontenencia

un ejemblo infbastdpara 'demostrar una

3.3. Ejercicios

3.1. Demuestre, de dos maneras distintas, que 3Z es infinito: (i) exhibiendo un subconjunto de 3Z similar a N; (fi) exhibiendo una parte propia de 3Z similar a 3Z.

3.2. Demuestre que el conjunto de los nmeros irracionales es infinito, exhi-biendo explcitamente una similitud entre N y un subconjunto de nmeros irracionales. Ayuda: basta con dar una lista explcita infinita de irracionales (recuerde el ejercicio 1.1).

34 CAPTULO 3. CONJUNTOS INFINITOS Y CUANTIFICADORES

3.3. Considere el conjunto de los nmeros egipcios (estudiados con cuidado en el Antiguo Egipto) definido por : q E NAq # 0}. Demuestre, de acuerdo con la definicin 3.1, por qu el conjunto de los nmeros egipcios es infinito. 3.4. Complete la tabla siguiente (poniendo en cada casilla C o %, con lectura de izquierda a derecha). Explique con cuidado en cada caso por qu se tiene contenencia (proporcionando una prueba universal) o por qu se tiene no contenencia (exhibiendo un contraejemplo particular).

/ N Z 2Z 3Z N

{p : p es primo } Q

Busque usted, por su cuenta, otras inclusiones o no inclusiones entre los conjuntos infinitos que desee. 3.5. Demuestre que un conjunto finito no puede ser similar a una de sus partes propias. Observe la vaguedad del artculo indefinido un: puede en-tenderse como para todo conjunto finito (prueba general), o como para algn conjunto finito (ejemplo particular). El resultado es vlido en cual-quier caso. Mustrelo para un caso particular y demustrelo en general.

3.6. Escriba las siguientes frases formalmente, con cuantificadores, e intente, en cada caso, demostrar la frase (en un caso cul? el intento de prueba no podr completarlo en este curso por qu?).

(i) no todo natural es suma de dos cuadrados (fi) todo natural es suma de cuatro cuadrados (iii) no todo natural mayor que 2 es divisible por dos primos distintos (iv) todo entero diferente de 1 o -1 es divisible por un primo.

3.7. Proporcione ejemplos de propiedades, y de universos donde encarnen (es decir, se interpreten) esas propiedades, para los que no valga la implica- cin V a(P (a,) V Q (a)) (V aP (a) V VaQ(a)). 3.8. Encuentre una frase formal, con conectivos, cuantificadores, igualdad y una sola propiedad binaria P(x, y), que valga en N con la divisibilidad, y que no valga en p(X) con la contenencia (X conjunto arbitrario).

3.3. EJERCICIOS 35

3.9. Encuentre una frase formal, con conectivos, cuantificadores y una sola propiedad binaria P(a, b), que valga en N con el orden usual, y que no valga en Z con el orden usual.

3.10. Puede usted encontrar una frase formal, con conectivos, cuantificado-res y una sola propiedad binaria P(a, b), que valga en Q con el orden usual, y que no valga en R con ese mismo orden? Intntelo, pero tal vez unos semes-tres debern pasar antes de responder con todo rigor. Descubra por qu el problema parece ser realmente difcil al nivel de un curso de FUNDAMENTOS.

Captulo 4

Relaciones y funciones

Contenido 4.1. Relaciones 37

4.2. Funciones 42

4.3. Teoremas de Cantor 47

4.4. Ejercicios 50

El mundo de las matemticas es un mundo orientado hacia la bsqueda de correlaciones entre conceptos. A fines del siglo XIX, con las obras de Peirce y Schr5der, se sistematiza la lgica de relaciones, y, con Peano y Russell, las relaciones se integranl dentro del panorama conjuntista abierto por Cantor. En la sistematizacin actual de las matemticas, las definiciones conjuntis-tas de relacin y funcin subyacen detrs de todos los dems conceptos.

Charles Sanders Peirce (Estados Unidos, 1839-1914), Giuseppe Peano (Italia, 1858-1932) y Bertrand Russell (Inglaterra, 1872-1970) constituyeron una plyade de bri-llantes lgicos matemticos que permitie-ron asentar firmemente la disciplina. El lo-gos de Peirce slo se compara, en la his-toria de la lgica, con Aristteles y con Leibniz. La vigencia de la obra de Peano es an patente en toda nuestra sirubologa matemtica. La influencia de Russell en la filosofa analtica cambi el pensamiento en el siglo XX.

36

38 CAPTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES 4.1. RELACIONES 37

Como el estudiante observar al recorrer el nmero de ejercicios incluidos, este captulo es absolutamente esencial para una comprensin del curso de FUNDAMENTOS.

4.1. Relaciones

Definicin 4.1. Sean A, B dos conjuntos. El producto (cartesiano) de A y B es el conjunto de parejas ordenadas A x B = {(a, b) :aEAAbEB}. Una relacin R de A en B es un subconjunto de A x B: R C A x B.

Ejemplo 4.2. Las relaciones recorren ubicuamente el espectro de las mate-mticas. Pueden considerarse, por ejemplo, todo tipo de relaciones trivia-les entre conjuntos finitos (conjuntos de parejas al azar), la relacin de orden (G) entre naturales, la relacin de divisibilidad (I) entre enteros, la relacin de inclusin en los conjuntos de partes p(X), etc.

Una relacin puede verse co-rno una coleccin de puntos en un plano conceptual:

Definicin 4.3. El dominio y el codominio de una relacin R C A x B se definen, respectivamente, como el subconjunto de elementos de A re-lacionados con algn elemento de B, y. como el subconjunto de elemen-tos de B relacionados con algn elemento de A. Utilizando los conectivos y los cuantificadores, dom(R) = {a :a E AA 319(b E B A (a, b) E R)}, cod(R) {b : b E B A3a(a E A A (a, 8)ER)}.

En el caso de tener una relacin sobre un mismo conjunto, y cuando ese conjunto es finito, una relacin puede diagramarse cmodamente mediante flechas:

En el diagrama anterior, para el caso A = {1, 2, 3, 4}, se tiene que R {(i,1), (1, 2), (2,1),(3,4)), dom(R) = {1, 2, 3}, cod(R) = {1,2,4}.

Definicin 4.4. Sea R una relacin sobre un conjunto A (R C A x A) (A finito o infinito). Para mayor comodidad en la notacin, denotamos aRb cada vez que se tenga (a, b) E R. Diremos que:

R es reflexiva s y slo si Va(a E A aRa) R es simtrica si y slo si VaVb(a, b EA A aRb bRa) R es transitiva si y slo si VaVbVc(a, b, c E A A aRb A bRc aRc) R es antisimtrica si y slo si VaVb(a, b E AA aRb A bRa a = 8).

Ejemplo 4.5. En la tabla siguiente pueden observarse algunos ejemplos de relaciones, con sus propiedades respectivas:

relacin reflexiva simtrica transitiva antsimtrica (N,

4.1. RELACIONES 39

40 CAPITULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES

Dentro de la inmensa variedad de relaciones que aparecen en matemti-cas, dos de los tipos principales son las relaciones de equivalencia (rela-ciones que verifican refiexividad, simetra y transitividad) y las relaciones de orden (u rdenes: relaciones que verifican reflexividad, antisimetra y transitividad). Tanto las unas como las otras aparecern incesantemente a lo largo de la Carrera de Matemticas, las primeras para capturar clases de similitudes entre objetos y estructuras, las segundas para codificar desarro-llos y comparabilidades. La igualdad entre los elementos de un conjunto es el arquetipo de =a relacin de equivalencia; la contenencia entre subcon-juntos de un conjunto es el arquetipo de una relacin de orden. Como puede observarse eu la tabla anterior, la segunda y la tercera lineas corresponden a relaciones de orden, mientras que la cuarta y la sexta lneas corresponden a relaciones de equivalencia.

Sobre las relaciones de equivalencia volveremos repetidamente en los captulos posteriores (esenciales para la construccin de enteros, racionales y reales: vanse los captulos 8 y 9, particularmente la seccin 8.1). Tambin en los captulos posteriores estudiaremos los rdenes de naturales (particu-larmente seccin 7.3), enteros, racionales y reales (particularmente, fin de las secciones 8.3 y 9.4), as como el no orden de los complejos (fin de la sec-cin 14.1). Los rdenes de los subconjuntos de R son sin embargo demasiado especficos (rdenes totales segn la definicin siguiente), y vale la pena realizar una corta excursin por el abanico de algunos rdenes ms gene-rales. Despus de la amplia definicin siguiente, que cubre mltiples casos que pueden darse dentro de los rdenes, veremos con ejemplos cmo pueden concretarse en la prctica todas las situaciones posibles.

Definicin 4.6. Sea R una relacin de orden en A (reflexiva, simtrica, transitiva). Denotaremos aRb mediante a < b, y adoptaremos el lenguaje convencional usual, segn el cual a es menor que b, y b es mayor que a. Sea a E A; a es un elemento maxirnal (para el orden

4.1. RELACIONES 41

situaciones de rdenes (aunque, en realidad, esta supuesta otredad no es tal: son slo disfraces de aspectos parciales de la situacin anterior, con las mismas correlaciones entre los entes, pero con distintas caretas; vase tambin, a este propsito, la discusin que precede a la definicin 4.13). Sea, por ejemplo, A = {1,2, 3, 4} y sea S C p(A) definido por S -= {{2}, {3}, {2, 3, 4}}; chequee que min(S) = inf (S) {2}, max(S) = sup(S) = {2,3, 4}, inf ({{2}, {3}}) = O S, sup({{2}, {3}}) = {2,3} i S. Observe que S con el orden de contenencia es esencialmente lo mismo (con distintas caretas) que el conjunto {2,3,12} con el orden de divisibilidad (compare, por ejemplo, sus diagramas de Hasse respectivos).

De las subdefiniciones incluidas en la definicin 4.6, se deducen algu-nas correlaciones elementales entre los conceptos. As, la existencia de un mnimo (respectivamente, mximo) fuerza la existencia de un (nico) mi-nimal (respectivamente, maximal), mientras que, en cambio, pueden existir mltiples minimales o maximales sin que existan mnimo o mximo. A su vez, si un subconjunto posee un mnimo (respectivamente, mximo) enton-ces posee nfimo (respectivamente, supremo), mientras que, en cambio, la existencia del nfimo (o supremo) no asegura la existencia del mnimo (o mximo), como se vio en el ejemplo 4.7. Por otro lado, todo orden total es inmediatamente un retculo, mientras que no todo retculo es un orden total (y est muy lejos de serlo, en general, como lo indica el retculo de divisibilidad de los naturales). Para otras situaciones de rdenes vanse los ejercicios 4,18 y 4.19, as como el ejercicio 10.2 (que puede realizarse desde ya si lo desea el estudiante, pero que Be sita de forma ms natural en el ambiente de los tomos conjuntistas del captulo 10).

Si elaborar una urdimbre sofisticada de relaciones es uno de los objetivos del conocimiento matemtico, resulta natural poder contar entonces con operaciones elementales entre relaciones, de tal forma que ciertas relaciones en un nivel dado den lugar a otras nuevas relaciones en un nivel superior. Las dos maneras fundamentales para construir nuevas relaciones, a partir de relaciones dadas, se dan en la siguiente definicin.

Definicin 4.9. Sea R una relacin de A en B (R C A x B). La inversa de R se define por: = {(b, a) : (a, b) E R}. Observe que, por definicin,

R-1 CBxA. Sea R una relacin de A en B (R C A x B), sea S una relacin de B en C (S C B x C). La compuesta de R y S se define por: S o R = {(a, c) : 3b(aRb A bSc)}. Por la definicin, se tiene que S o R C A x C. Tngase cuidado con la notacin, que invierte el orden intuitivo de la composicin: primero est R y luego S, pero escribimos esa composicin

42 CAPITULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES

S o R al revs. Se trata de una notacin que puede parecer artificial por el momento, pero que muy pronto resultar natural, al componer cierto tipo de relaciones: las funciones.

Ejemplo 4.10. En las tablas siguientes pueden observarse algunos ejemplos de inversas y de compuestas, para casos elementales con conjuntos finitos:

A B R R-1

{1, 2} {3, 4, 5} {(1, 3), (2, 4)} {(3, 1), (4, 2)} O {i} O O A B C R S S o R

{1, 2} {3, 4} {5, 6} { (1, 3), (2, 4)} {(3, 5), (4, 6)} {(1, 5), (2, 6)} {1} {2,3} {4} { (1, 2)} {(3,4)} O

O {2} {3} 0 {(2,3)} 0

El dominio y el codominio de las relaciones obtenidas por inversas o por composicin estn estrechamente conectados con los dominios y codominios de las relaciones originales:

dom(R-1) = cod(R) cod(R-1) = dom(R) dom(S o R) C dom(R) cod(S o R) C cod(S). Las primeras dos igualdades son inmediatas: por ejemplo, para la prime-

ra, si a E dom(R-1) entonces existe b tal que aR-lb, es decir bRa, por tanto a E cod(R). Igualmente, las contenencias tercera y cuarta son consecuencias directas de las definiciones: por ejemplo, para la tercera, si a E dom(S o R) entonces existe c tal que a(S o R)c, es decir existe b tal que aRb y bSc, pe-ro entonces a E dom(R). Obsrvese que esas tercera y cuarta contenencias pueden ser estrictas: en el segundo ejemplo de la segunda tabla anterior, se observa que O = dom(S o R) C dom(R) = {1}.

4.2. Funciones

Las funciones son cierto tipo de relaciones en las que se conserva una suerte de canonicidad simple en la composicin, de tal manera que los elementos correlacionados se sitan dentro del mbito de lo uno y no dentro del mbito

t de lo mltiple. Desde comienzos del siglo XIX, toda la matemtica moderna

s

no

y

A

4.2. FUNCIONES 43

depende en forma imprescindible del concepto de funcin.

Definicin 4.11. Sea R una relacin de A en B. R es una funcin (de A en 13) si y slo si se cumplen las dos condiciones: (i) dom(R) =