Figueroa - Funciones Inversas.pdf

Captulo I : Funciones

trffi FUNGToNEs cREcTENTES y DEcREGTENTES

Una,.funcin: : .- -r.nmerosx,,x,e|a.l,secmple'.::.''

xij.< irt:'i"5.:t (xi)..s.f(t'j)'cu* qu.

, etonct:i ai:qu i,,, :.: :: , :: :, : . .,. : . . ..::: ::: .:. :Es decir , una funcin es creciente o no decreciente en ta , b) ,si al crecer la

variable r los valores de la funcin tambin crecen (Figura 1.95) o permanecen constantes[Figura 1.94 : !(x,) = f (x.) en el tramo CD]

1.94 : Func'in nt 1.95 : Funcitin Lrecientc

'nmersi,,.x,'|a,b]secumpIe::,,,' :,., , : ,.' - . :, : - .

':

,i di.ii' i-e,euu,/ Ji|iicti,

Es decir , una funcin es decreciente o no creciente en I a , ] , si al crecer lavariable , los valores de la funcin decrecen (Figura 1.97) o perrnanecen constantes IFi-gura 1.96 : f (xr) = f(xr) en el tramo CDI

Seccin l.ll : Funciones crecientes y tlccrecienles 95

Un...f[!in..,s9..d.ir..Qeesnn.nnt1aenuninterVa

i v+

Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones

a) Si /(-r) = ax +,entoncesx, 0 , la Gr(g) es una parbola cncava hacia arriba ,

donde h = - !-y k=.ry;L

l.,

(Def. 1.20)

(Def. l.2l)

FIGURA 1.98

FfGURA 1.96 : Fun.ckin no creciente FIGURA 1.97 '. Funcin decreciente

96 Captulo I : Funciones

Segn la Figura 1.98 , g no es una funcin montona pues, parar (-- , h] g es decreciente ypara-r [h,+*),gescreciente.Luego,V(p)= Fy como el Ran(g) = [k, +-), entoncesv(q) = v.Por lo que el valor de verdad de la proposicin es : V(F -+ V) = F

.d'uFS.iliit# i6 : una funcin / : IR + fR es inyectiva o univalente si una lneahorizontal I intercepta a su grfica en un punto.

FIGURA 1.99'. Funcin inyectiva FIGURA 1.100 : Funcin rut inyectiva

il6Bj#ftffiHi6iffiffiI Una funcin que es creciente o decreciente en un intervalo [a ,b] esadems inyectiva.

En ef'ecto, en la Figura L l0lxt

Seccin l.ll : Funciones crecientes y decrecientes 97

,l1.:r)

:fla)

:.t:: ..'

r(l.tr.l, 1.:,.::

.ttr,' , 'i,.T{pI

I7}'\:iii:i: : 'lt :!:;:, t:'l

FIGURA 1..I01

ol ,! .f, Xt,:.,I l.,,i"il,;."llii.l ifi

FIGURA 1.102

iiCIB5B$.VdGit$l r D e t e r min ac i n d e I ran g o d e Luru f u n c i n i ny e c t iv a.Si una funcin inyectiva / es continua en un intervalo [a , ] ,. su

rango se determina calculando los valores /(a) y /().AsenfaFigura l.l0l ,f escreciente Yxe ia,l .+ Ran(J) = tf@),f(b))EnlaFigural.l02,f esinyectiva Vxe[a,] .+ Ran(f) = lf(b),f(a))

i$$Stffri:id$iiiiil$i pu.o verificar si una funcin f : A -r B es inyectiva se toman (x , y)e f y (z,y)e f ysedemuestraquer=z

Sealafuncin/: R + R.lf() = 2x+ 5.Es/inyectiva?

:!$"fijjHffiir Seanx,,x,e Dom(/),talesque,/(x,) = 2xt*5 y f(xr) = zx,+5.Debemosprobarquesi /(x,) = f(xr) 4 xt = xz

Enefecto,.f(,) = f(xr) + 2x,+5 = 2x,*5 + Lr, = 2x,^ rr = x2 ' J es Inyectrva'

Determinarsilafuncin/:(-*,-21-+ R l/() = i+4x - I esinyectivaV e (-e' -ll

ii$f.#,F#,$ sif() = (.t'+ 4x+4)-5 r+ /(x) = (x+2)2-5Sean.r, ,,t" e (-e ,-zllf@) = (,* 2), -5 y f(xr) = (x,+2)2 - 5

Sif(,) = f(xr) e (x,+2)2-5 = (*+2)'z -5 '+ lx, +21= lx,+21Dadoquexe (--,-2l,esdecir,


Dadalafuncin/: R -+ R.l/(r) = 2+2x-x2, restringirsudominiodemodo tal que f sea inyectiva.

l:tst"i,ilffi Sif() = -(x2-2x)+2 e f(x) = -(x- l)2+3.La Gr(f) es una parbola con vrtice en V( I , 3) . Figura 1.103).

Seanx,,.rre Dom(f) = R,talesque f(x,) = f(xr) e -(x,- l)t*3 = - (x2'l)2+3.+ lx,-ll= lr-ll 0.+>l

'+ f,() = 3 -(x- If ,xe [],+-),esinyectiva .b) Para signos negativos (a la izquierda del vrtice) :

x-l

Seccin l.ll : Funciones crecientes y decrecientes

a) /, es inyectiva y creciente en [a ,b], por lo que su rango es [/,(a) , f ,(b),b) /, es inyectiva y decreciente en b, cl, por lo que su rango es [fr(c), f ,(b)]Adems,dea)yb),seobservaqueRan(/,) fl Ran(Jr) = S;luego,/esinyectiva. r

99

;-!I z-U ,sie[-2,1)

Determinar si la funcin /(r) = I| -"'+4x-3,sixe12,4)

es inyectiva o no. Dibujar su grfica.

is;-ttllffiii sean/,(x) = 3-x,xe [-2,1) y f ,(x) = 1-( -2)"xe [2,4)i) En/,:si/,(.r,) = f ,(xr) + 3-2x,-3-b,

xt= xz, V q l-2 , 1), f, es inyectiva _EnJ" : fr(x,) = fr(xr) * l- (r - 2)t = 1 -(rr-2), 2 * x -2>0, luegolx-2li = x -2Entoncesen(l): xr-2 = x,-2 xt = x2,Yxe12,4,fresinyectiva

ii) Determinacin de los rangos de f ,y f ,En /,(x) = 3 -2x, x e [-2, l)Si-20 r+ l+51 = x +5


Luego,en(1) :r, *5 = \+ 5 tr+ xr=x.,Yx e l-5,-21,J, esinyectivaEn /, , eliminando las barras de valor absoluto obtenemos

-fr(x)= -(x-3)-l

= -**1 ?r+r *+ = -l*;il'xe (l ,31Si/,(.x,) = f,(x.,) =+ -t+rh = r;fi * ah =;h

tr+ rl + | = xr+ I r+ x, = xr.,f ,es inyectivaii) Determinacin de los rangos de f ,y f ,

La funcin l, es decreciente vx e l-5 , -2), pues su grfica es una parbola con vrticeen V(-5 ,-2) y cncava hacia abajo a la.derecha del vrtice. Entonces, Ran(/,) =lf

'(-2), /,(-5)l = [-4 , 5]

Enfr:sixe (l ,31 .+ l

Seccin LII : Funciones crecientes y decrecientes 101

Sealafuncin/; R.-+ R lf(r) = f -1.Determinarsiesonosobreyec-tiva.

,#ittf l. Sea y e fR (conjunto de llegada) y = x2 - |2. Despejamosr:r = + \5,+ l'+ f c+ y+ l>0 + Ran(f) = [-l,+o)3. Aplicamos/acadaladode (2):f(x) = f(l{t+ I ) + /(x) = 1+r/y.. y- 1

.+ f(x) = 1,,V) e [-l , +-)4. Como el conjunto de llegada es R. y Ran(/) = [- I , +o) c [R, entonces / no es sobreyectiva.

Obsrvese que toda funcin es sobreyectiva sobre su rango , es decir , toda funcin de laforma f : A + Ran(/) es siempre sobreyectiva. En consecuencia, para saber si una funcin essobreyectiva bastar hallar su rango y comprobar si coincide con el conjunto de llegada. I

Sea la funcin / : [-1, 5) -+ (-7, 5] l/(x) = 3 - 2x .Probarque/essobreyectiva.

:if{l,f: l. Sea y e (-'7,51 (conjunto de llegada) y = 3 -2x2. Sie [-l ,5)


Por lo que J es sobreyectiva.

5. En consecuencia , de (2) y (4) queda probado que / es biyectiva.

Determinarsi Iafuncinf : [-l , Q-->(-9,8]l/(x) = 5 - 3xesbiyectiva.

illtffiiffi L Sean xt,x2e t-t,4),+ /(x,) = 5-3x,y f(xz) = 5-3xz2. Si /(x,) = f(xr) r+ 5 - 3"r, - 5 -3x. * -3x,- -3*,

xr=x, Vxe [-l,4),/esinyectiva.3. Sea y e (-9, 8l (conjunto de llegada) ,+ y = 5 - 3x4. Como/esdecreciente(porque?),entoncespara.re [-1,4),Ran(/) =

Seccin L12 : Funcin inversct

Sea la funcin f : l-2 ,1) + R.l f (*)=2r+ 3 . Hallar, siexiste, la funcin/x y dibujaren un mismoplano las grficas de f y f*.

i:S:li,Ifiji"iffi Como el conjunto de llegada es [R no podemos afirmar directamente que / essobreyecti va. Previamente hallaremos el Ran(/)

l. Six el-2,1) e -ZSx< I r+ -l3Lr+3


En la Figura 1.106 obsrvese que el punto P(0, 3) e Gr(J)

esel reflejo delpunto Q(3 ,0) e Gr(J'F) respecto de I(),o sea la recta ) = es la mediatriz del segmento de rectaque une P con Q. En general el punto P(a ,b) e Gr(/) esel reflejo del punto Q(b , a) e Gr(/*) respecto de la recta

) = . De aqu que la Gr(/*) se obtiene por reflexin dela Gr(f) , respecto de la recta ' = x. I

106

@ pRoprEDADEs DE LA FUNGTN tNvERsA

I. Si lafuncin/: A+B esbiyectivaysi/*: B -+Aes lafuncin inversade/,entonces:FI.l : J*of = I o f*["f()] = x,Yxe A,siendoDom(Io) = Dom("f)Fl.2: f ofl'= Io o f[f*(x)] = l',V'e B,siendoDom(In) = Ran(f)

[I. Si/,g y h son funciones inyectivaso univalentes, entoncesFI.3: /ogesunivalenteFI.4: (/oB)* = g*o/*

n:nl*iui,,,

FI.l: Sea e Dom(f) + f(a) = D,donde (a,b)e fEsto implica que ( , a) e f* , o sea f*() = aLuego,paraa Dom(f):f*[f(a)] = f*(b) = aSixe Dom(/) .+ f*[f(x)] = /*()) =

Seccitt 1.12 : Funcin inversa

FI.4 : Demostraremos gue (/ o g)* = g* o.f*En efecto, de FI.3, /o g es univalente, entonces existe (/o g)*De la definicin de funcin inversa , si ;' = (-f o gXx) E) r = (/ o g)*(y) (2)

. Si y = -flg()l .+ g(r) = f*(y) r+ r - gn[l*(y)] = (g*o/*Xy) (3)De(2)y(3)setiene:("f og)*(f ) =(g*o/"Xy),V,ye Ran(-f oB)= = Dom(/oB)*

.+(Jog)*=g'*of*

i:d"diii$ifi Sif , g y h son funciones univalentes, talesque (-f o goh)x existeenronces:(.f ogoh)* = h*og*o.f*

FI.6: Demostraremosquesi :h = f og .+ g -.fxohEn efecto :

l. Si h = f og t+ f *oh =.f*oog) (Composicinporlaizquierdacon/*)2. '+.f*oh=(f*o-f)og (Leyasociativa)3. .+/*oh=(Ior)og (Propiedadl")4. (f* oh)(x) = (Io"og)(x)

J

= Ior[S(x)J = g(x), sig(x) e Dom(/)5. PeroDom(/og) = {xlxe Dom(g) ^ g(r)e Dom(/)}6. Entonces : (/* o hX) = g(x) , six e Dom(f o g)

'+.f*oh = g,V-reDom(Jog) r

E'dF,-." Dadalafuncinf = {(1,3),(2, 5), (4,7),(3, 8)} ; hallar f*, o J yf of".

:itfi,i::,i l. SeaA= {1,2,3,4} =Dom(f) yB = {3,5,7,8i = Ran(-f)Por simple inspeccin / es inyectiva , pues no existe dos pares con la misma

segunda somponente , entonces existe /*Por definicin : /* = {(3, l), (5,2), (7, 4), (8, 3)} =; Dom(/*) = Ran(/) = {3, 5, 7, 8}

2. f* oc = {(1, /*[/(l)]), (2, f*tf(2))), (4, f*[f(4)]), (3, /*t/(3)l)]= {(l, -f*(3)), (2, f*(5)), (4, fr,QD, (3, f*(8))}= {(l , t),(2,2),(4,4),(3 ,3)} = Io= Idenridad sobre A = Oom(f) = {l ,2, 3 , 4}

3. f of* = {(3,ftl*)l), (5,/t/*(s)l),(7, flf*(1)l), (8,/t/*(8)l)}= {(3 , f( l)) , (5 , f(2)) , (7 , f(4)), (8 , /(3))}= {(3,3), (5,5),(7,7),(8,8)} = r,= IdentidadsobreB=Dom(-f*)={3,5,7,8} r


Sean f y g funciones inyectivas tales que f*(x) =si (g* o.fXu) = 3 , hallar (/* o g)(u + 2).

x+3.x-3'

2xx-3 g(x) =

, hallar /*(-r) y dibu-

t$A'i*8ffii l. si/*(x)=).+ x=fy):pero, t=:3 o*=fiLuego, f(y)= #,cambiandovariables : 1x= Lx-2

2. Ahora,siy - g() -+ x=g*(y),perocomo , = # r+ r= j#

Entonces : s*( )) = +f

Seccin l.l2 : Funcin inversct,

Luego,aplicando f*k)alaecuacin("f(x) = 2x-3tendremos:/*[l(x)] = 2f*(x)-3

e x = 2f*(x)-3,dedonde: f*(x) = {1x+:,xe R -{-1,-1,1)

Sealafuncin/definidapor/(x) = [] +: t"T,xe [-1, 3]a) Hallar la funcin /*b) Graficar / y /* en un mismo plano.

$,iif.'.I' ii a) Dadoque-r- [x ] >0, vx e [R, enronces si[x] = n c].r(x


i.*$=ERV,4.ICN,.!tt22',i F u nc i n i nv e r s a d e u n a f u n c i tt s e c c i o n a d aSea J una funcin seccionada definida por :

-,1f ,(x) ,x e Dom(/,)

f ,(x),x e Dom(/r)

f ,::,. e Dom(/,)

f ,(x),x e Dom(f")

talque/:A-+B,dondeA= Dom(/) y B= Ran(/;)' i=l =l

-J'

Entonces se dice que / tiene inversa /* : B -+ A , si slo sii) Lasfunciones f{x),i = 1 ,2,3, . . , n, son inyectivasii) Ran(f) f1 Ran(f,) = 0,Vi*j

Es decir, los rangos de las funcionei , deben ser disjuntos dos a dos.

Hallar , si existe , Ia funcin inversa de_| {2+x-xz + l,sixe L-l ,l/2)

f(x) = 1 -7l r- ii ,sixe(2,4)

Si existe f* , dibujar / y /* en el mismo plano.,'f#"tii.t"ffi l. Probemos la inyectividad de /a) Sean :f ,(x) = 1a.tgA:@.j/fi y xt,x2e Dom(/,)

Si /(x,) = f(xr) -+ I + .'lrl4 -6;W = 1 ^l9p - lyrjfi.1 (r, - ll2)2 =(xr- l/2)2 .+ lx, - l/21 = lx"- l/21

Comox e l-l ,l/21 ,xSl/2.+ -(r, - ll2)=-(x,_l/2) e r, = x* f ,esinyectivab) Sean : fr(x)=r- * ,xt,x2e Dom(/r)

Si/r(r,) = fr(xr) + 2- =4 , = 2- ='xl+t *rfr tr+'rr +l=x"+le xt = xz , .fresinyectiva2. Determinacin de los rangos de f ,y f ,

f,escrecienteen [-1 ,l/12) + Ran(/,) = [f,(-t) ,f ,(lt2)] = U,S/21f, es crecienteen(2,4) + Ran(/r) = (fr(2) , f ,(4)) =

Seccin l.l2 : Funcin inversa 109

(Verificar analticamente la obtencin de los rangos de f ,y f ,)Siendo f ,y frinyectivasyRan(/,) ll Ran(/,) =S,/esinyectiva .+ 3f*

3. Obtencin de la funcin /*a) Enf,,siy =.f,(.r) E+ t="f,*(f)

Pero,y = 1 a..[94 - 1 - y2y x= ] x''fu+ a, ry = i ti\E + 8t-?ttComoetDom(/,) =l-t,l/2l,osear< l/5 "+ .f,*(r) = { 11 -r/5agr:l/),Vye tt,5t2)o bien : /,*(x = | ft -./sT u:+F)

b) En f ,siy = f r(x) E+ r= f r*(y)Dadoque: y=2 * o *= fr

'r'+ 5+ /r*(l') = 6,ye(-t13,315)L

| |tt {S;ax-77),sixe lt,stzl.'. f*(x) = (

l# ' sixe (-ll3 ' 3/5)4. Obsrvese en la Figura 1 . I 09 que las grficas d" f , y .f , * son partes de las circunferen-

cias (6,:(x- ll2)2 +(y- l)t =914 y (6r:(x- l)t+(y - l/2)2= 9/4,respectivamente. I

Seanlasfunciones:g(x) = "{Tl:4 -3,xe C-,-41 U (0,2) yI z-r' ,sie [!3 ,z]

f(x) = I ,talesque'/ =h*ogI t -.At - -, sixe (-o, -41

a) Demostrar que / y g son funciones inyectivasb) Hallar la funcin h.

iif"f,i"gJg ri a) Sean f ,(x)=2-x2,xe t!5,21 y f,(x) = t-^[f 4,.re (-,-4]

f . En/,:sif,(x,) = f,(xr)2-x,2 =2-x22.+ lx, |= lxrlComox t\i3 ,2],esdecir,>0 =+ x, = xz, f,esinyectivaEnfr:si/r(x,) = fr(xr).+ l-'li].4 =1-../x;l .+ lr,l= lrrlDadoquexe (--,-4],estoesx


fr(x) = | -{7 4 es creciente en (--, -41 a Ran(/,) = (/r(--), (-4)l= (--, I -2{51

Siendo Ran(/,) f-l Ran(/") = Q , / es inyectiva , entonces existe f*I f -4,si2)4 e (x2)

3. Eng:lt-al = {| 4-r',six2

EJERCICIOS . Grupo 6 : Funcitin inver.su ltl

3. (glofr*)(x)Peroxe (--(8, o f,x1x;

= g,[/r*(x)] = g,l-l|i-2x+51= {pp-[t*54 -3 = l- l | -3,l -z'[t),esdecir,< I ,+ (g,o/r*1x=- (x- l)-3=-x-2= grlf,*(x)J = 9,1^12-x) = "[4:QA -3 = {a2 -3

l,t;*z -3 , si xel-2,-t).'. h() =g[/*(x)] = { t

f-*-2 ,sixe(--,t-2,b)

1. Sea fa funcin / : I l, 4) -+ [a,b], talque /() = f - 2x + 3 . Demostrar que la funcin fes inyectiva y hallar y para que sea biyectiva.

Si /,g y hsonfuncinesdelRen R,definidasporlasecuaciones: /(x) = 2lxl -x,wr I

g@) = i:; , h(x) = 2x + 3 . Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones

a) /es inyectiva b) g es sobreyectiva c) h es inyectiva

Sean lasfuncionesirytivas :f(x)=3f -6x+4,xe [l ,+-) y g()= .!J ,*-1.x+ |Si /*[g*()] = 2, hallar el valorde n= flg(a + 8/5)l .

Demostrarquelafuncinf : R +(-l,l)lf(,r) = . j-r esbiyectiva.I +llSi g : A -+ B y / : B + C, son funciones inyectivas, demostrar que (/ o g) : A -+ C esinyectiva.

Si f, g y h son funciones inyectivas , demostrar que sih=.f o C f =hog* (Propiedad FI.5)

Analizar si las funciones reales / y g son inyectivas.

| -u* l0 ,ll2

a) Sih(x) = f(x) +f*(x) = *, - Z ,hallaray

b) Sig() = l+31 - l+ I l,hallar,siexiste,f og.

4.

5.

7.

tt2 Captulo I : Funciones

9. Six es una funcin biyectiva tal que f. (+: ) = . , hallar el conjunto solucin delainecuacin f(c) > L

10. Sea la funcin / inyectiva , definida en [R por la ecuacin(-l-{t- ,x

EJERCICOS . Grupo6 : Funcininversu

19. Si f(x) = 2x-3a,hallarlosvaloresdeademodoque f(q- l) = t*@2+2)20. Si-f() = (l.r-51 + I +x)./5-x ,hallarsiexiste,lafuncin/*(x)

* En los ejercicios 2l a|34, se dan las funciones reales /, probar que son inyectivas yhallar , en cada caso , la funcin /*

113

| +-"17+tu+n ,x0

I x'?+2x-2 ,xe L-3,-2)23. f(x)= J l.r+s

I lx-21 J '*e (l '2)

| *++x-5,xe -2,1,25. f(x) = I

L -5 ,xe [5,+-)

| **'+l,xet-4,-2>22. f(x)= 1'

| +2 ,xel-2,21

| -r*+Bx-7,x

tt4 Captulo I : Funciones

l-*-+x-3,xe(-*,-2137. f(x) = I

I f+{x ,xe[],+-)I lx'?-al ,xe[0,2)

38. /(x)= j ,L - it'+x- l,xe [2,+-)

41. seanrasfunciones: /(x) = {x'-t 'x4

Si t = h o g o.f , hallar las funciones gy g*, si es que existen.Sean las funciones g y / definidas por :

a

| "l8l Sgn(.r -3)+ f ,x+s.Haarg+/*lo9Jl[ {T*IT+T,">o

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