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CAPÍTULO IV Figuras inversas

Dado un punto fijo O y dado también un número k, el inverso, o trasformado por rayos

vectores recíprocos, de un punto M es el punto M’ de la recta OM tal que:

.kOM'OM =⋅

O se el polo de inversión y k. la potencia de inversión.

OM’ tendrá el mismo sentido que OM o el sentido contrario según k sea positivo o

negativo.

Es manifiesto que:

i) Todo punto posee un inverso, salvo el polo, cuyo inverso se considera el punto

del infinito;

ii) Si M’ es el inverso de M, recíprocamente M es el inverso de M’.

La figura inversa, F’ de una figura F consta de los inversos de los puntos de F.

Teorema.- Dos figuras inversas de una misma con respecto al mismo polo son homotéticas

entre sí.

En efecto, sean M’ y M” los inversos del punto M de F con respecto a sendas inversiones

de polo común O y potencias k’ y k”. Las identidades .k"OMOM" ,k'OMOM' =⋅=⋅

. k"

k'

OM"

OM' división por dan =

Se ve que la potencia no influye en la forma de las figuras.

Cuando la potencia de inversión k es positiva el círculo con centro en O y radio k recibe

el nombre de círculo de inversión: es claro que comprende todos los puntos que coinciden

con sus inversos. Dos puntos inversos son conjugados con respecto al círculo de inversión y

yacen en un mismo diámetro.

Todo círculo que pasa por dos puntos inversos corta bajo ángulo recto al círculo de

inversión. (Pues si dos círculos se cortan ortogonalmente, el cuadrado del radio de cada

unos es igual a la potencia del centro respecto el otro, es decir a k). Recíprocamente, si M y

M’ son tales que toda circunferencia que pasa por uno de esos puntos es ortogonal a un

círculo dado, los puntos inversos el uno del otro con respecto a este último.

Si dos puntos son simétricos con respecto a una recta, porque esta es un diámetro. Por

consiguiente, la simetría con respecto a una recta es un caso límite de la inversión, ya que el

círculo de inversión se reduce a la recta y el polo es el punto del infinito.

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Dos puntos cualesquiera A, B y sus inversos A’, B’yacen en una misma circunferencia. Por

consiguiente, el ángulo que forma AB con el vector OAA’ es igual pero de sentido

contrario al ángulo entre A’B’ y el punto vector OBB’.Se tiene pues la dirección de A’B’ si

se conoce la de AB y los vectores.

A’B’ se dice antiparalela a la dirección de AB con respecto al ángulo AOB∠ . Es paralela a

la recta simétrica de AB con respecto a la bisectriz del ángulo AOB∠ , puesto que en la

simetría OA se convierte en OB y el ángulo BAO∠ se transforma en uno de igual y de

sentido contrario.

Problema.- Conocida la distancia entre los puntos A y B y conocidos sus radios vectores,

se pide la distancia entre los respectivos inversos A’ y B’.

Solución.- De la semejanza entre ∆ OAB y ∆ OA’B’ se deduce . OB

BA

OA'

B'A' = Remplazando

OA’ por OA

k tenemos .

OBOA

kBA B'A'

⋅

⋅=

Nota.- El razonamiento no puede aplicarse cuando A, B y O están sobre una recta, pero el

resultado es válido en magnitud y signo (Una vez definido un sentido positivo sobre el

vector común).

En efecto, basta con notar: que OA'OB' − = B'A'OA

k

OB

k =− , y BAOBOA =− .

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Teorema.-Las tangentes en los puntos correspondientes de dos líneas inversas forman

ángulos iguales, pero en sentido contrario con el vector común de los puntos de contacto.

Sea A un punto de una curva C y sea A’ el punto correspondiente de la curva inversa C’.

Sea M un punto de C próximo de A, con inverso M’. Sean AB, A’B’ las tangentes a la

circunferencia de los A, A’, M, M’. Si M se acerca al punto A y por consiguiente si M’ se

aproxima al A’ los ángulos MAA'∠ , AM'A'∠ tienden a anularse, así como sus iguales

MAB∠ , B'.A'M'∠ Es decir, si AM tiende a una posición límite AT, AB tenderá hacia esta

misma posición límite y la recta A’B’ tenderá también a una posición A’T’, la cual

conformará con el vector OAA’ el mismo ángulo que AT, pero en sentido contrario y como

B'A'M'∠ tiende a cero, A’M’ tiende a A’T’.

Corolario.- Las tangentes en puntos correspondientes a dos curvas inversas son simétricas

con respecto a la perpendicular en ele punto medio de la recta que une los puntos de

contacto.

Nota.- La conclusión anterior es evidentemente valedera si la inversión se torna en una

simetría con respecto a una recta.

Teorema.- Dos curvas se cortan bajo el mismo ángulo que sus inversas (o que sus

simétricas), salvo el sentido de la rotación.

En efecto, el ángulo de las tangentes en un punto común A, y el ángulo de las curvas

inversas en el punto correspondiente A’ son simétricos respecto a la perpendicular en el

medio de AA’.

Corolario.- Si dos curvas son tangentes, también lo son sus inversas.

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Inversión de la recta.

Teorema.- La figura inversa de una recta es una circunferencia que pasa por el polo de

inversión.

Sea xy la recta dada cuya inversa queremos. Sea O el polo y sea A un punto cualquiera de

inverso A’. Si ahora M es un punto de xy con inverso M’, el ángulo de M’A’ con OM’ es

igual y de sentido contrario al ángulo entre AM y OA. De modo que es constante si M varía

sobre la recta y el lugar de M’ es una circunferencia por O y A’.

En particular, si A = H, la proyección de O sobre xy, de inverso H’, el ángulo OM’H’ es

recto y vemos que la circunferencia inversa tiene su tangente en O paralela a la recta dada y

su diámetro es δ

k siendo k la potencia de inversión y δ la distancia OH del polo a la recta.

Nota.-La figura inversa de una circunferencia que pasa por el polo es una recta, a saber, la

perpendicular levantada al diámetro del polo en el inverso del punto diametralmente

opuesto al polo.

Inversa de una circunferencia

Teorema.- La inversa de una circunferencia (arbitraria) que no pasa por el polo es una

circunferencia.

1º. Si la potencia de inversión k es igual a la potencia p del polo con respecto a la

circunferencia dada, ésta es su propia inversa, pues cualquier secante por el polo corta la

circunferencia en dos puntos mutuamente inversos.

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2º. Si la potencia k es arbitraria, la figura inversa es una circunferencia homotética a la

primera con el polo por centro de similitud yp

k por razón de similitud.

Recíprocamente, dos circunferencias dadas pueden ser miradas como inversas una de la

otra y de dos maneras diferentes, puesto que son homotéticas de dos maneras, El polo de

inversión es entonces un centro de similitud y la potencia de inversión es igual a la potencia

de ese polo con respecto a la primera circunferencia multiplicada por la razón de similitud.

Ambas inversiones son las únicas que transforman una en la otra las dos circunferencias

dadas. Pues si son inversas con respecto a cierto polo, al ser una su propia inversa con

respecto a ese polo, son ambas homotéticas respecto ese punto.

De acuerdo al anterior razonamiento si una secante que parte del centro de similitud S corta

la circunferencia C en M, N y la C’ en M’, N’, siendo estos últimos homólogos de los

primeros en ambas circunferencias consideradas como figuras homotéticas, los puntos

inversos serán M, N’ por otra parte M’, N por otra. Esos puntos se apellidan

“Antihomólogos”.

Los únicos puntos a la vez homólogos y antihomólogos son los puntos de contacto de las

tangentes comunes que parten de S.

Los puntos comunes a ambas circunferencias si existen sus propios antihomólogos. La

cuerda antihómologa de una cuerda de la primera circunferencia es la cuerda de la segunda

que liga los puntos respectivamente antihomólogos de los dos primeros.

Dos pares de puntos antihomólogos yacen sobre una misma circunferencia y por

consiguiente dos cuerdas antihomólogas se cortan sobre el eje radical.

Aún más, dos cuerdas antihomólogas corten las polares del centro de similitud, con

respecto a sus respectivas circunferencias, en dos puntos homólogos. Puesto que la cuerda

N’P’, antihómologa de MQ es homóloga con NP, la cual corta MQ en un punto I situado

sobre la polar de S con respecto al círculo C y cuyo homólogo I’ es la intersección de N’P’

con la polar de S respecto a C’.

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Esta doble propiedad permite trazar la antihómologa de una cuerda dada sin necesidad de

hacer ni intervenir las extremidades de esas cuerdas.

Claramente se aplica a las tangentes en los puntos antihomólogos, que son un caso límite de

las cuerdas anteriores.

Nota.- Si ambos círculos se confunden, las cuerdas MQ y NP que unen respectivamente

dos puntos y sus inversos sobre la polar del polo de inversión S. Desde ese punto de vista la

polar juega el papel de eje radical de ambos círculos confundidos, desde el momento en

que se los considera como inversos el uno del otro respecto de S.

Si ambas circunferencias son iguales, con el centro de similitud externo desplazado al

infinito, la homotecia correspondiente se reduce a una traslación y la inversión respectiva a

una simetría; por lo demás, las propiedades de los puntos antihomólogos son las mismas

que en el caso general.

Una recta y una circunferencia pueden considerarse también como dos figuras inversas de

dos maneras diferentes.

Los polos de inversión serán los extremos del diámetro perpendicular a la recta. La teoría

de los puntos antihomólogos nos lleva pues a considerar esos puntos como centros de

similitud de la circunferencia y de la recta.

De las dos cuerdas antihomólogas una es la recta dada y, por lo tanto, puede todavía decirse

que ambas cuerdas se cortan sobre el eje radical.

En fin, dos rectas son simétricas una de la otra de dos maneras distintas, al ser las

bisectrices de los ángulos formados por las rectas los ejes de simetría, Las cuerdas

antihomólogas son las propias rectas y concurren por lo tanto a un punto fijo.

En el caso de dos circunferencias inversas una de la otra toda circunferencia Σ que pasa por

dos puntos antihomólogos es su propia inversa puesto que la potencia del polo con respecto

a ese círculo es igual a la potencia de inversión. Ese círculo corta a los dos círculos dados

bajo un mismo ángulo; si es tangente a uno, lo es también al otro. Recíprocamente, toda

circunferencia que corta a otras bajo el mismo ángulo las corta en puntos antihomólogos de

dos en dos.

En efecto, sean A, B; A’, B’ los cuatro puntos de intersección, elegidos de tal suerte que los

ángulos iguales (por hipótesis) que forman los círculos C, Σ en A, por un lado, C’ y Σ en A’

por otro, sean de sentido contrario; y lo mismo para B, B’. Si S es el punto de intersección

de AA’, BB’ y k la potencia de es punto con respecto al círculo Σ; y trueca A en A’, B en

B’ convierte pues el círculo C en uno que pasa por A’ y B’ y toca A’ al círculo C’ (por

hipótesis), es decir, coincide con C’.

Esa conclusión subsiste si el círculo es tangente a C y a C’. Para verlo basta repetir el

anterior razonamiento tomando S como la intersección de AA’ y BB’, Siendo A y A’ los

puntos de contacto, B y B’ los segundos puntos de encuentro de C, C’ respectivamente con

un círculo cualquiera por A y A’.

En este último caso la propiedad anterior resulta del teorema; pues los puntos de contacto

son los centros de similitud, una para Σ y C, el otro para Σ y C’, están pues en la línea

recta con el centro de similitud S es externo si los contactos son de la misma especie,

internos en caso contrario.

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Las conclusiones anteriores siguen siendo válidas si uno de los círculos C, C’ o son

reemplazados por rectas.

Si corta C y C’ bajo ángulo recto podría asociar arbitrariamente.

Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.