UNIDAD DIDACTICA

NUMEROS RACIONALES

Grado: sexto

Área: Matemáticas

Periodo: 2

Intensidad Horaria: 5 Hs

Docente: Ovidio puerta

¿QUE VAS A APRENDER?

ESTANDARES BASICOS DE COMPETENCIAS

PENSAMIENTO NUMERICO Y SISTEMAS NUMERICOS

Identifico las características de los números fraccionarios.

Realizo operaciones básicas empleando los números fraccionarios

Planteo problemas cuya solución requiere de la realización de operaciones con números fraccionarios.

Aplico operadores fraccionarios en la resolución de problemas.

DESARROLLO TEORICO

FRACCION COMUN:

Cuando se presentan situaciones cuya solución requiere un reparto equitativo, no basta con disponer de los números naturales para hacer la representación del resultado y otros cálculos que sean necesarios. ¿Qué otros números se requieren? Cuando se tiene que realizar un reparto equitativo y el dividendo no es múltiplo del divisor, el cociente no puede ser un numero natural. Este caso se presenta en una infinidad de ocasiones y no puede quedar sin solución. Puede partirse de ejemplos muy sencillos para resolverlos, como es el siguiente:• Juan y Andrés regaron el jardín de su casa y en recompensa recibieron 5 manzanas,que deben repartirse equitativamente. ¿Cuántas manzanas corresponden a cadauno de ellos?Si se realiza la división de números naturales que corresponde a esta situación, se tiene:

5∟21 2

Es decir, 2 manzanas para cada uno y una para dividirla entre los dos, como lo muestra el residuo de la operación. En el residuo de la división se aprecia que es necesario dividir 1 entre 2 para terminar la operación, pero en los números naturales no existe un resultado para esa división, puesto que no existe ningún número natural que multiplicado por 2 dé como resultado 1. Lo que se ha convenido para estos casos es representar a “uno entre dos” como: 1÷ 2 = ½ La fracción 1 /2 expresa el cociente 1÷2 y, desde luego, es necesario insistir en ello, dicha fracción no representa un número natural.

Se le conoce con el nombre de fracción común y se lee “un medio”. Ella puede tener diferentes significados según sea la situación que la origina. Al número que se coloca sobre la raya horizontal se le llama numerador y representa el número de partes que se han tomado de la unidad. Al número que se coloca debajo de la raya horizontal se le llama denominador y representa el número de partes en que se ha dividido la unidad o “el todo”considerado. O sea: Fracción 1 Numerador _________

común 2 Denominador

Observa este otro ejemplo

En la fracción 2 el 2 corresponde al numerador y ------ 3 el 3 al denominador. En la expresión el denominador indica que un todo, ya sea una unidad de medida, un objeto o un conjunto de elementos, se ha dividido en 3 partes iguales, y el numerador indica que se están tomando en cuenta sólo 2 de esas partes.

Para una mejor comprensión se puede recurrir a modelos físicos en los que se señalen las partes en que se ha dividido la unidad o el todo y las que se han tomado. Generalmente se utiliza el área de figuras geométricas: observa

3/6 4/4 3/2

En la figura (a) la unidad se ha dividido en 6 partes iguales y se tomaron 3 , en la figura (b) observamos que la unidad se dividió en 4 partes iguales y se tomo todo osea la unidad (1) en la figura (C) observamos que el numerador es mayor que el denominador entonces hay que hacer Varios grupos y subrayar las unidades que nos piden.

Considerando todo lo anterior:Observemos en las fracciones 2/5 y 3/6 cuyo valor es menor que la unidad , se llaman fracciones propias.

Entonces, una fracción propia se caracteriza porque el numerador es menor que el denominador.Observa este otro ejemplo Cinco quintos 5/5 , significa que la unidad se ha dividió en 5 partes iguales y de ellas se tomaron 5.Una fracción como 5/5 en la que el numerador es igual al denominador, representa a la unidad.Tal es el caso de 2/2, 3/3 , 7/7 , 9/9 , 11/11,,,,,, etcétera

Observa esta fracción cuatro sobre uno 4/1 significa que se tienen 4 unidades y ninguna de ellas se ha dividido. A las expresiones con denominador uno se les utiliza por conveniencia, porque son útilesen la realización de algunas operaciones que más adelante te darás cuenta Cuando el denominador es uno, la fracción representa un número natural, ya que

3/1 = 32/1 = 2 ;etcétera.

Entonces, una fracción común es una expresión de la forma a/b donde a y b son números naturales y b es diferente de cero.

Observa estas fracciones tan especiales nueve sextos 9/6 significa que las unidades se han dividido en 6 partes iguales y se han tomado nueve. Es obvio que se requiere tener dos unidades divididas en seis partes iguales cada una. La fracción 9/6 tiene un valor mayor que la unidad y se le llama impropia. Así que son fracciones impropias aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, como 5/2 , 8/3, 17/5,,,,etcétera. En las siguientes graficas podrás entender mejor la situación, representemos las anteriores fracciones geométricamente y en la recta numérica.

De este tipo de fracciones nos resulta un nuevo concepto. Hay que considerar que 9/6 es un entero y tres sextos, que se escribe 13/6 , 5/2 es dos enteros y un medio que se escribe 21/2 Estas

expresiones se llaman números MIXTOS, recuerda que para obtenerlos debes dividir el numerador con el denominador de la FRACCION IMPROPIA. FRACCIONES EQUIVALENTES:

Dos fracciones a y c son equivalentes si a x b = c x d ---- ----- b d

Las fracciones equivalentes tienen aplicaciones en situaciones cotidianas y nos hacen más fácil su comprensión. Obsérvese el siguiente problema:• Juanita hizo una reunión y para la cena compró un paquete de gelatina. A la fiesta asistieron 3 amigas, si con Juanita eran cuatro personas, ¿qué parte de la gelatina le tocó a cada una? Como sólo había un paquete de gelatina y se repartió entre 4 personas, esto se puede expresarcomo una división, esto es:

1÷ 4 = 1/4

Con lo que se observa que a cada una le tocó un cuarto de gelatina. Días después, Juanita hizo otra reunión y en esta ocasión invitó a 4 personas más. Si ella desea repartir la misma parte de gelatina a cada invitado, ¿cuántos paquetes de gelatina deberá comprar? Ella observa que si asiste el doble de personas debe comprar el doble de gelatina del mismo tamaño, esto es, dos paquetes que al repartirlos se indicaría:

2÷ 8 = 2/8

Y a cada persona le corresponden dos octavos. ¿En cuál de las dos reuniones recibieron los invitados una porción mayor de gelatina? ¿Será la fracción 2/8 mayor que ( ˃ ) ¼ ?

Con lo que se puede afirmar que:

¼ = 2/8

Por lo tanto, los invitados recibieron la misma porción de gelatina. A las fracciones anteriores se les conoce como fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número. Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada se aplica el mecanismo anterior, esto es, el numerador y el denominador se multiplican o dividen por un mismo número natural, diferente de 0, y la fracción resultante es equivalente a la primera. Con este criterio se pueden encontrar fracciones equivalentes a las anteriores. ¼ = 2/8 = 3/12 = 4/16 = 5/20 ...Un mismo número fraccionario tiene una cantidad infinita de expresiones numéricas fraccionales que lo representan, ya que siempre que se multiplique o divida el numerador y el denominador por un mismo número resultará una fracción equivalente. La siguiente grafica nos ayuda a tender mejor las fracciones equivalentes

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Al realizar cálculos con fracciones comunes, en algunos casos resulta conveniente manejarlas en su expresión más simple. Al reducir una fracción a su expresión más simple, lo que en realidad se hace es obtener un nombre diferente para el mismo número. Para ilustrar lo que se ha expresado, considérese el siguiente ejemplo de la figura sombreada:

En la figura se aprecia que 6/15 y 2/5 representan la misma área de la figura, por lo cual se puede afirmar que:

6/15 = 2/5 Es decir, se trata de dos nombres diferentes para el mismo número. Pero de estas dos expresiones, la que está expresada de manera más simple es 2/5 Se puede ver que 2 es la tercera parte de 6 y 5 es la tercera parte de 15. Esto significa que si se tienen 6/15 , se puede obtener una forma más simple de ese número dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo número, que en este caso es 2 como se muestra en seguida.

6 = 6÷3 = 2---- 15 15 ÷3 5

A este proceso se le llama simplificación de fracciones comunes. La fracción inicial 6/15 y la que se obtiene al realizar la simplificación 2/5 son fracciones equivalentes.Veamos el siguiente ejemplo, que muestra cómo simplificar una fracción. Simplificar 60 --------- 90 Se observa que tanto el numerador como el denominador son divisibles entre 10. Entonces:60÷ 10 = 6 ------

90 ÷10 9

Pero el numerador y el denominador de la nueva fracción son múltiplos de 3. Por lo tanto:

6 = 6÷3 = 29 9÷3 3 Nótese que en la fracción común ya no existe la posibilidad de dividir el numerador y el denominador entre un mismo número. En ese caso se dice que la expresión más simple de

60/90 es 2/3

Con base en lo anterior, se puede afirmar que:

Para simplificar una fracción, se divide tanto el numerador como el denominador entre un mismo número natural distinto de cero. Cuando el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir entre un mismo número natural distinto de 0, la fracción se puede simplificar. En ese caso se dice que la fracción es reducible. Cuando el numerador y el denominador de una fracción no se pueden dividir entre un mismo número natural distinto de 0, la fracción no se puede simplificar. En ese caso se dice que la fracción es irreductible.

Representación fraccionaria o fraccional de un decimalObtención de la forma fraccional de un decimal:

Un fraccionario que tiene denominador 10 o potencia de 10 se llama fracción decimal.

Toda fracción decimal puede representarse mediante una expresión decimal.

Lee detenidamente el siguiente texto:

Un número fraccionario puede representarse, entre otras formas, como fracción común y mediante una expresión decimal. Para la resolución de algunos problemas es necesario hacer la conversión de una forma a otra.Véase el siguiente problema:Se adquiere, en el mercado, leche en dos envases diferentes; uno contiene 0,375 y el Otro ½ ; ¿cuál es el total de leche comprada?

Para conocer el total, debe hacerse una adición y para realizarla es necesario que las expresionesnuméricas tengan igual forma, es decir, que las dos sean fracciones comunes o las dos sean expresiones decimales.expresión decimal 0,375 , fracción común ½

Conviértase la expresión decimal a fracción común. La expresión 0,375 se lee trescientos setenta y cinco milésimos, y escrito en fracción comúnes: 375 ---------- 1 000 se lee trescientos setenta y cinco milésimosEsta fracción, llamada también fracción decimal

En este tipo de fracciones se tiene en cuenta lo trabajado en los números decimales trabajados anteriormente

El total de leche comprada fue de por que la fracción se simplifico 7/8 de manera general se puede afirmar: Para establecer la fracción común equivalente a una expresión decimal dada, se anota como numerador la expresión decimal, sin el punto; como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya y la fracción resultante se simplifica siempre que sea posible.

Ejemplos:

a) Convertir a fracción común la expresión decimal:0.75Se trata de 75 centésimas, es decir, que el numerador es 75 o sea la parte entera y el denominador es 100. Así la fracción común o decimal es 75/100 y se simplifica nos queda 3/4 por lo que 0,75 = ¾

a) Convertir a fracción común la expresión decimal siguiente: 4,38 , en fracción común nos queda así : 438 ---------

100Las conversiones son necesarias para realizar operaciones entre fracciones comunes ydecimales o para compararlas y establecer el orden entre ellas.

REPRESENTACIÓN DECIMAL DE UNA FRACCIÓN COMÚN

En algunas ocasiones, es conveniente expresar una fracción común mediante una expresión decimal para facilitar y simplificar algunas operaciones. Como toda fracción común puede ser considerada un cociente, entonces, representar una fracción común mediante una expresión decimal implica dividir el numerador entre el denominador hasta hallar un cociente exacto o la repetición infinita de una cifra o grupo de cifras.Ejemplo 1:Hallar la expresión decimal correspondiente a 7/8

La división 7 entre 8 no tiene un cociente entero exacto. Por lo tanto se coloca un 0 en la parte entera del cociente y el punto decimal a la derecha de éste. Al dividendo se le agrega un 0 y las 7 unidades quedan convertidas en 70 décimas. Por eso la primera cifra significativa del cociente ocupa el lugar de las décimas observa la division7∟ 8

70∟860 0,875400

Se efectúa la división y, si hay décimas como residuo, se agrega un 0 para convertirlas a centésimas; se continúa con el proceso hasta hallar un 0 o la repetición infinita de una cifra o grupo de cifras. De esta forma, se tiene que 0.875 es la expresión decimal correspondiente a 7/8 = 0,875

POTENCIACION DE NUMEROS RACIONALES

No te asustes por este nuevo tema, realmente es muy fácil, basta con recordar el concepto de la potenciación es igual como lo trabajaste con los números naturales, no olvides que es una multiplicación abreviada y para elevar un numero racional a cualquier potencia se eleva el numerador y el denominador a la potencia dada. Observa algunos ejemplos.Ejemplo

( 2 )3 = 2 x 2 x 2 = 8 3 3 x 3 x 3 27(4 )2 = 4 x 4 = 16 5 5 x 5 25

RAICES DE NUMEROS RACIONALES

Como la radicación es una operación inversa de la potenciación tal como te diste cuenta con los números naturales de igual manera se trabaja en los números racionales hallando la raíz del numerador y el denominador observa los siguientes ejemplos.

3

a) √16 = 4 b) √8 = 2 25 5 64 4

COMPARACION DE FRACCIONES

Hay tres casos:

fracciones que tienen el mismo denominador; fracciones que tienen el mismo numerador; fracciones que tienen distinto numerador y denominador.

Primer caso: dos o más fracciones que tienen igual denominador es mayor la que tiene mayor numerador. Ejemplo: 2/6 , 3/6 , 4/6

La mayor es 4/6

Segundo caso: dos o más fracciones que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador. 2/3 , 2/6, 2/12

La mayor es 2/3

Tercer caso: dos o más fracciones con distinto numerador y denominador hay que reducir fracciones a común denominador y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto.

ejemplo

Compara las fracciones y ordénalas de menor a mayor. Las reducimos a común denominador, m.c.m.(7,5)=35

Se obtiene como resultado , las ordenamos de menor a mayor OPERACIONES CON FRACCIONES

ADICION DE FRACCIONES

Como se recordará, en una fracción el denominador le da nombre a ésta de acuerdo con el número de partes en que se dividió “el todo” ( la unidad) , en tanto que el numerador señala las partes que de ellas se tomaron. Así, para realizar adiciones con fracciones de igual denominador,no se presentará ningún otro problema que el hecho de saber sumar.Observemos el siguiente ejemplo:

Doña Sara compró una torta y la partió en tajadas, equitativamente, como muestra lafigura. De ella tomó tres tajadas para sus amigos y cuatro para sus hijos. ¿Qué partede la torta se consumió?

Observemos que la torta se partió en 12 partes de igual tamaño. Decimos en 12 doceavos. De los 12/12 o sea la unidad ofrece 3/12 de la torta a las amigas y 4/12 a sus hijos. En total se han consumido: 3 + 4 = 7 12 12 12, es decir, 7 de las 12 tajadas. Entonces podemos concluir que para sumar fracciones que tienen igual denominador basta con sumar los numeradores entre si y se coloca el mismo denominador porque es común para ambas fracciones.

Pon mucha atención en este nuevo ejemplo, la situación cambia un poco, pero no te asustes es muy fácil sumar fracciones con distinto denominador.

Pero doña Sara no siempre parte sus tortas en doceavos. En otra ocasión, hizo la siguiente repartición:A su vecina Carmen le obsequió ¼ de una torta y repartió 2/6 para su familia. Ahoraquieres saber qué parte de la torta se ha consumido observa con atención la figura

En este caso, doña Sara debe sumar1 + 2 de la torta. No puede sumar directamente, porque no son del mismo tamaño. Debe buscar 4 6 fracciones equivalentes, es decir, tajadas del mismo tamaño. Para ello, se convierten las fracciones en otras equivalentes con el mismo denominador. Porque así es más fácil . Observa con atención la operación:

Tomamos la fracción 1/4 y la multiplicamos por el denominador de la segunda fracción, luego tomamos la segunda fracción 2/6 y la multiplicamos por el denominador de la primera fracción para obtener las fracciones comunes y luego sumar como en el ejemplo anterior.

1 x 6 = 6 2 x 4 = 8 6 + 8 = 14 4 x 6 24 6 x 4 24 24 24 24 Simplificamos y nos queda 7 ------ 12

1 = 6 y 2 = 8--- ---- ----- ------4 24 6 24

Tercer ejemplo:

Cuando son más de tres fracciones con distinto denominador:Buscamos el mínimo común múltiplo que hay entre las tres fracciones y luego se divide por cada uno de los denominadores y se multiplica por el numerador respectivo, luego sumamos cada uno de los resultados y obtenemos una nueva fracción, observa el ejemplo

1 + 3 + 4 = 15 + 36 80 = 131 No se puede simplificar porque 131 es un numero primo4 5 3 60 60

Cuarto ejemplo

Cuando debemos de sumar números mixtos:

Convertimos cada número Mixto a fracción, como la parte entera no tiene denominador entonces agregamos la unidad y tal como si hizo en el ejemplo de adición de fracciones procedemos a hallar el resultado sumando cada fracción. Observa el ejeplo

21/3 + 31/4 =

2 + 1 = 7 3 + 1 = 13 1 3 3 1 4 4

Sumamos los dos resultados

7 + 13 = 28 + 39 = 67 No se puede simplificar porque 67 es un número Primo3 4 12 12 12

DIFERENCIA DE FRACCIONES ( RESTA )

Para restar fracciones comunes se utiliza un proceso muy semejante al que realizaste en la suma Observa los ejemplos a, b y c.

a) Juan llevó al colegio 5/8 de una resma depapel carta. En el recreo Lucía se dio cuentaque necesitaba papel para hacer un trabajo yle pidió a su hermano 1/8 de resma ¿Concuánto papel quedó Juan?

SoluciónPara determinar la cantidad de papel con quese quedó Juan, se debe restar a la cantidadque tenía originalmente Juan la cantidad quele sacó Lucía.

Esto puede resumirse en el siguiente esquema

Restamos 5 --- 1 = 5 --- 1 = 4 Simplificamos y nos queda 1 de la resma ----- ---- ---- ----- 8 8 8 8 2

b) Juan llevó al colegio 5/8 de una resma depapel carta En el recreo, su hermana Lucía sedio cuenta que necesitaba papel para hacerun trabajo y pidió 1/4 de resma ¿Con cuántopapel se quedó Juan?

SoluciónPara determinar la cantidad de papel con quese quedó Juan, se debe restar a la cantidadque tenía originalmente, la cantidad que le sacóLucíaEsto puede resumirse en el siguiente esquema:

Procedimiento:

Expresar ambas fracciones y con un denominador común tal como se hizo en la suma procedemos a restarlas. Luego simplificamos. Ya sabes cómo se simplifica una fracción, si se te olvido vuelve a leer el tema simplificación de fracciones.

Operación y resultado:

5 ---- 1 = 20 ---- 8 = 12 simplificamos 12 ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 ------- ---- ----- ----- ---- ---- ---- 8 4 32 32 32 32 ÷ 2 16÷ 2 8Respuesta:

Juan se quedó con 3 de resma ---- 8

c) Juan llevó al colegio 5/8 de una resma de papel carta .En el recreo Juana se dio cuenta que necesitaba papel para hacer un trabajo y le sacó a su hermano 2/5 de resma ¿Con cuánto quedó Juan?

SoluciónLa cantidad de papel con que quedó Juan equivale a la diferencia entre la cantidad de papel que llevó al colegio y la cantidad de papel que le sacó su hermana Esto puede resumirse en el siguiente esquema:

Procedimiento:

Restamos 5 --- 2 = Hallamos el mínimo común múltiplo ( m c m ) que existe entre las dos fracciones 8 5 para igualar los denominadores y como lo hiciste en la suma de fracciones con Distinto denominador procedes a realizar la resta.El mcm entre 8 y 5 es 40

5 ---- 2 = 25 ---- 16 = 9 No simplificamos porque no tiene factores primos 8 5 40 40

Entonces a Juan le quedo 9 de resma 40Recuerde que los denominadores no se restan, pues solo dan nombre a las fracciones

MULTIPLICACION DE FRACCIONES

Lee detenidamente los siguientes ejemplos y veras que es muy fácil multiplicar fracciones

Siete alumnos del grupo del Sexto van a vender jugos de frutas con leche en el colegio. Cada uno aporta 1 litro de leche. ¿Cuántos litros de leche se reunieron? 2

7 cajas de ½ litro son 7 litros o sea, 31/2 litros . Recuerda que esta es una fracción impropia y se 2 convierte en Mixto.

7 veces 1 son 7 7 x 1 = 7 2 2 1 x 2 2

Lucas comió 2/5 de1/4 de kilo de maní ¿Qué fracción de kilo comió?

SoluciónLucas comió la porción correspondiente a dos veces la quinta parte de ¼ Esto puede resumirse en el siguiente esquema:

Procedimiento:Debemos multiplicar 2 por 1 = 2 Simplificamos 1 5 4 20 10 Lucas comió 1/10 de kilo de maní.Que conclusión puedes hacer para multiplicar fracciones

FRACCION DE UN NÚMERO

Si se necesitan 5/6 de hora para llenar undepósito de agua, ¿cuántos minutos senecesitan para llenarlo?

SoluciónSe necesita 5/6 del número de minutos quetiene una hora.

Esto puede resumirse en el siguiente esquema:Procedimiento:Una hora tiene 60 minutos por lo que hay queCalcular 5/6 de 60 minutos lo que equivale.

60÷ 6 = 10 esto quiere decir que cada rectángulo de la unidad que es 60 equivale a 10 y se toman 5 = 50 tarda 50 minutos para llenarlo.

También lo puedes hacer de la siguiente forma. Observa

60 x 5 = 300 luego lo divides por el denominador en este caso 6

300 ÷ 6 = 50

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyoNumerador es el producto de los numeradores de losFactores y el denominador producto de losDenominadores.

DIVISION DE FRACCIONES:

Cuando repartimos un número entero de objetos entre un número de personas, la división resulta tan sencilla como cuando debes partir y repartir las tajadas de un pastel entre tus amigos. Pero cuando se trata de repartir una fracción de algo entre un entero, o un entero entre una fracción o una fracción entre otra fracción, el cociente no es tan inmediato y quizá convenga sistematizar los procedimientos para aligerar los cálculos. Observa los siguientes ejemplos.

La mitad de un giro de media vuelta es :

Este cálculo se puede hacer de dos maneras:

a) 1 de 1 vuelta = 1 x 1 = 1 de vuelta , la mitad de 1 vuelta es 1 de vuelta --- ---- ---- ---- ---- ---- ---2 2 2 2 4 2 4

b) 1 vuelta ÷ 2 ; como resolver 1 ÷ 2 ----- ----- 2 2

Observa que dividir entre 2 da lo mismo que multiplicar por 1 --- que es el inverso multiplicativo del divisor 2 2

Uso de la Geometría

¿Qué voy a aprender?

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMETRICO

Identifica los poliedros sus componentes y características.

Identifica los cuerpos redondos sus componentes y características.

DESARROLLO TEORICO

Poliedro: Poliedros. Un poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas" y -edro significa "cara"). Cada cara plana (simplemente ...

Poliedro Regular: Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, que se juntan en la misma forma alrededor de cada vértice del polígono.

Entre ellos tenemos los cinco poliedros platónicos

Tetraedro: Constituido por cuatro caras, cada una en forma de triángulo equilátero. Platón lo relaciono con el fuego

El cubo o hexaedro. Tiene seis caras, cada una de ellas forma un cuadrado. Platón lo relaciono con la tierra

El octaedro: Tiene ocho caras, cada una en forma de triángulo equilátero. Platon lo relaciono con el aire

El dodecaedro. Presenta doce caras que son pentágonos regulares. Platon lo relaciono con el agua

El icosaedro. Formado por veinte caras que son triángulos equiláteros. universo

CARATERISTICAS DE LOS CUERPOS GEOMETRICOS

Caras: Son los polígonos regulares que forman al cuerpo geométrico.

Vértices : Son los puntos donde se unen las aristas del poliedro

Aristas: son los bordes, líneas donde se unen las caras del poliedro

Ángulos Diedros : son las líneas donde se unen las caras del poliedro

Ángulos poliedros : Son las puntas donde se unen las caras del poliedro.

Prisma : En geometría, un prisma es un sólido determinado por dos polígonos paralelos y congruentes que se denominan bases y por tantos paralelogramos ( cuadriláteros ) como lados tengan las bases, denominados caras; el nonbre del prisma lo recibe de acuerdo a la base ej : prisma de base pentagonal

Pirámide : Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.

El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan. La pirámide recibe el nombre de acuerdo asu base ej: pirámide de base cuadrangular

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

Usa medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.

Representa datos en el plano cartesiano y en el diagrama de árbol.

DESARROLLO TEORICO

MEDIDAS DE DENDENCIA CENTRAL

La media, la mediana y la moda

El conjunto de datos que obtenemos al hacer cualquier encuesta o votación, podemos representarlo gráficamente, mediante un diagrama de barras o un gráfico de sectores, o bien mediante tres valores que llamamos media, mediana y moda.

LA MEDIA O PROMEDIO

Para hallar la media de un conjunto de datos, dividimos la suma de todos ellos entre el número de datos que hay.

Para poder calcular la media, los datos han de ser valores numéricos. No podemos, por ejemplo, hallar la media en un estudio que hemos hecho sobre el color de pelo de los alumnos de clase, pues moreno, rubio... son cualidades, no números.

Veamos con un ejemplo cómo se calcula la media.

En la prueba de salto de longitud, los 22 alumnos de clase hemos obtenido los siguientes resultados aproximados:

170 cm – 160 cm – 150 cm – 170 cm – 160 cm – 160 cm – 170 cm – 150 cm – 190 cm – 160 cm – 170 cm – 180 cm – 160 cm – 180 cm – 190 cm – 200 cm – 190 cm – 180 cm – 160 cm – 170 cm – 180 cm – 190 cm

Hacemos el recuento de los datos. Los ordenamos de menor a mayor y vemos el número de veces que se ha dado cada salto:

150 - 150 – 160 - 160 - 160 - 160 - 160 - 160 – 170 – 170 – 170 – 170 – 170 – 180 – 180 – 180 – 180 – 190 – 190 – 190 – 190 - 200

La frecuencia absoluta es el número de veces que se da cada salto, y su suma ha de ser igual al número total de saltos: 2 + 6 + 5 + 4 + 4 + 1 = 22Ahora completamos la tabla con un

a nueva columna a la derecha en la que multiplicamos el valor del salto por su frecuencia absoluta:

La suma de estos valores es la suma de todos los saltos: 300 + 960 + 850 + 720 + 760 + 200 = 3.790

Y la media de los saltos de longitud será:

Vemos que la media no coincide con ninguno de los valores que se habían obtenido, es un valor no entero y comprendido entre dos de ellos: 170 cm y 180 cm.

LA MEDIANA

La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que ocupa la posición central de ellos. Si el número de datos es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición central. Si el número de datos es par, la mediana es igual a la media de los dos datos centrales.

En el ejemplo anterior, como el número de datos es par (son seis valores de la longitud del salto), la mediana será la media del tercer y cuarto valor:

LA MODA

Llamamos moda de un conjunto de datos al valor que más se repite; o dicho de otra forma, el que tiene la mayor frecuencia absoluta de entre ellos.

En el ejemplo anterior, el valor con mayor frecuencia (el que más se repite) es el salto de 160 cm.

Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.

En la prueba de natación de 100 metros libres, los tiempos aproximados obtenidos por los 22 alumnos de la clase han sido los siguientes:

150 s – 140 s – 130 s – 120 s – 140 s – 140 s – 160 s – 150 s – 130 s – 120 s – 130 s – 140 s – 130 s – 150 s – 140 s – 150 s – 160 s – 160  s – 160 s – 140 s – 150 s – 160 s

La suma de todos los tiempos empleados en nadar los 100 metros libres es: 240 + 520 + 840 + 750 + 800 = 3.150

Y la media será: 

Puesto que el número de datos es impar (5), la mediana será el valor que ocupa la posición central, en este caso la tercera posición: 140 s.

La moda o valor que más se repite es 140 s, pues su frecuencia absoluta es la mayor, 6.

DIAGRAMA CARTESIANO

En una infinidad de ocasiones, se utilizan los números naturales para contar los objetos que forman parte de una colección, con la única finalidad de saber cuántos son en total. A veces no es fácil o no es posible contar directamente, pues se requiere realizar algunas operaciones, por ejemplo: El comité de actividades sociales está preparando un cuadro de danzas folklóricas para el festival del día de la madre. Se han registrado como voluntarios Juan, Andrés, Pedro, María, Luz y Santa. Al iniciar los ensayos, no se ponen de acuerdo en la forma de integrar las diferentes parejas de baile.De esta situación surge una pregunta: ¿Cuántas parejas diferentes podrán formarse con el número de voluntarios disponibles? Para contar el número de parejas diferentes, representamos simbólicamente a cada persona con la inicial de su nombre; se tiene por una parte a los hombres (j, a, p) y por la otra a las mujeres (m, I, s). Las parejas de baile que se pueden integrar son:(j, m), (j, I), (j, s), (a, m), (a, I), (a, s), (p, m), (p, l), (p, s) Es decir, se pueden formar nueve parejas diferentes. Esta forma de conteo se puede representar por medio de un arreglo rectangular, al cualse le llama cartesiano (la palabra “cartesiano” se emplea en recuerdo del matemático francés René Descartes, que vivió de 1596 a 1650). Se traza una cuadrícula, es decir, líneas horizontales y verticales. Se coloca al primer integrante de cada pareja en el eje horizontal y al segundo integrante, en el vertical. Cada pareja queda representada por un punto, todo lo anterior se muestra en seguida.

b) Elena tiene tres faldas: una negra, una azul y una amarilla; así como dos blusas: una blanca y una azul. ¿De cuántas maneras diferentes puede combinar estas prendas? Empleando los nombres de los colores y considerando el orden en que se mencionan en el enunciado de la situación (falda, blusa), se pueden formar las siguientes parejas:(negra, blanca), (negra, azul), (azul, blanca)(azul, azul), (amarilla, blanca), (amarilla, azul)Es decir, que Elena se puede vestir de seis maneras diferentes con dichas prendas.En un diagrama cartesiano, se ve así:

Obsérvese cómo, en los casos anteriores, el número de parejas se puede hallar medianteuna multiplicación.

DIAGRAMA DE ARBOLExisten otras situaciones en las que es necesario utilizar una técnica de conteo distintadel diagrama cartesiano, ya que comprenden una mayor cantidad de datos.Por ejemplo:El delegado de una comunidad clasifica a los habitantes mayores de edad del lugar, deacuerdo con:a) Sexo: masculino m, femenino f.b) Edad: 18 a 30 años p, 30 a 60 años q, mayores de 60 años r.c) Alfabetización: saben leer y escribir x, no sabe leer ni escribir z.Aquí se están considerando tres aspectos diferentes. Esta situación se puede representarpor medio de un diagrama de árbol, como se muestra a continuación.¿Cuántos grupos diferentes de adultos se forman?

X ( m, p,x )

P Z ( m,p,z ) M X ( m, q, x ) Q H Z ( m, q, z )A RB X ( m , r , x )IT Z ( m, r , z )A P N X ( f , p ,x )T F E Z ( f, p, z )S Q X ( f, q , x ) Z ( f, q,z )

R x ( f, r,x )

Z ( f, r, z )

Esta forma de representación se llama diagrama de árbol y en él se aprecia que hay doce combinaciones diferentes, las cuales sirven de base para concentrar la información. Es decir, se puede saber cuántos hombres y mujeres de cada edad saben leer y escribir, o no saben. Estas técnicas de conteo se aplican en las diferentes ramas de las matemáticas y en otras disciplinas al estudiar diferentes hechos y fenómenos que forman parte de la vida del género humano.

CUADERNILLO DE TRABAJO

TAREA A :

Anota la fracción correspondiente en cada una de las figuras

Fig 1 fig 2 fig 3 fig 4

Fig 5

Fig 6

TAREA B :

Representa geométricamente y en la recta numérica las siguientes fracciones

a) ½ b) 4/10 c) 5/9 d) 17/5 e) 15/4 f) 7/12 g) 20/6 h) 8/3 i) 19/5

TAREA C :

Convierte en número Mixto las siguientes fracciones Impropias

a) 7/4 b) 8/3 c) 12/5 d) 15/7 e) 18/5 f) 24/7 g) 14/3 h) 34/8 i) 43/9

TAREA D :

Escribe 5 fracciones equivalentes a cada una de las que se te dan.

a) ¾ =b) 10/25 =c) 2/9 =d) 7/5 =e) ½ =f) 1/3 =g) ¼ =h) 1/5 =i) 1/6 =

TAREA E:

Simplifica las siguientes fracciones

a) 100/50 b) 80/30 c) 45/9 d) 20/60 e) 40/120 f) 50/80 g) 120/100

TAREA F:

Convierte las siguientes expresiones decimales a fracciones comunes que tenga como denominador una potencia de 10

a) 0,8 b) 0,125 c) 0,55 d) 2,5 e) 3,6 f) 0,35 g) 6 0,35 h) 0,9 i) 0,85 j) 0,325 k) 4,725

TAREA G :

Pasa a decimal las siguientes fracciones decimales

a) 234/10 b) 34/10000 c) 4/100 d) 56324/1000000 e) 12/1000 f) 543/10

TAREA H:

Pasa a decimales las siguientes fracciones COMUNES

a) ½ b) ¾ c) ¼ d) 1/3 e) 5/6 f) 2/5 g) 4/9 h) 1/5 i) 3/7

TAREA I :

Calcula las potencias y las raíces de las siguientes fracciones 3 5

a) √ 16 b) ( 4 )3 c) √ 27 d) ( 2 )2 e) √ 1 36 3 125 6 32

TAREA J:

Completa las expresiones colocando el signo mayor que ( > ) , menor que ( < ) o = según sea el caso entre cada pareja de fracciones:

a) 2 3 b) 11 12 c) 4 7 d) 2 6 e) 3 14 f) 2 6 g) 8 23 5 4 5 9 9 7 21 4 16 4 10 24 6

TAREA K :

Resuelve los siguientes problemas aplicando las operaciones entre números fraccionarios

Problema 1:Doña Carmen necesitaba rellenar dos cojinespor lo que compró espuma.Para rellenar el primero, ocupó 2/5 de las espumaY para rellenar el segundo cojín, utilizó 3/5 deLas espuma. ¿Qué fracción del total de espumaOcupó doña Carmen en rellenar los dos cojines?.

Problema 2:En una carrera de relevos cuatro amigosCompitieron por su colegio. Mario corrió 1/8 delRecorrido total, Ricardo 1/8 , Roberto3/8 , yGonzalo 1/8 . ¿Llegaron a la meta estos cuatroAtletas?.

Problema 3:Verónica compró una bandeja de 12 huevos.Ocupó 1/12 del total en preparar mayonesa,4/12En hacer una tortilla y para hornear un pan 5/12¿Qué cantidad de huevos ocupó Verónica?.

Problema: 4Carolina compró un melón para la hora deAlmuerzo y lo repartió de la siguiente forma: ledio a su hija Daniela 2/5, a su hijo Vicente 2/5 yElla comió 1/5 .¿Se comieron todo el melón Carolina y sus dosHijos?.

Problema : 5

Marta compró un corte de género paraConfeccionar un juego de sábanas. En la sábanade abajo ocupó 3/10 del corte, en la de arriba 2/5y en las fundas 1/10 . ¿Qué fracción del corte deGénero utilizó?

Problema :6Luisa compró 1/5 Kg. de chocolate amargo y 7/15Kg. de chocolate dulce ¿Cuánto compró en total

Problema 7:En su testamento, una mujer le dejó a suEsposo 6/13 de sus bienes y a sus hijos 11/26 . ¿Le dejó algo a otras personas?

Problema 8:

Dos amigos decidieron compartir una botellaDe jugo. El primero tomó 1/4 de la botella, elsegundo 5/8 de ella. ¿Qué parte de la botellade jugo bebieron?

Problema :9

Pedro tarda 5/12 de hora de su casa al colegio.¿Cuántos minutos tarda Pedro en llegar alColegio?

Problema :10

Miguel viaja de Bello a Barbosa en 1/3 de día.¿Cuántas horas dura en el recorrido?

Problema: 11Jaime gana $300.000 al mes. Si destina 14/15 desu sueldo en alimentación, ¿cuánto dinero gastamensualmente en ese rubro?

Problema 12:

Un taxi colectivo gasta a la semana 4/5 de suestanque de 60 litros de capacidad. ¿Cuántoslitros de combustible gasta semanalmente elvehículo?

Problema 13:

Un jugador de fútbol corrió con el balón 3/4 dela cancha. Si la cancha tiene 100 metros delargo, ¿cuántas metros corrió el jugador?

problema 14:

Para prepararle el tetero a su bebé,Marcela ocupa los 3/4 de capacidad de lamamadera, que es de 1/5 de litro. ¿Qué fracciónde litro de leche prepara Marcela?

Problema 15:

Ricardo pasa 1/3 del día en el colegio, de esaParte 7/8, está en la sala de clases, y el restoestá en recreo. ¿Qué fracción del día pasaRicardo en la sala de clases?

Problema 16:Un panadero ocupa 3/10 de un saco de harinaal día. Si los 3/4 de la harina la usa para prepararpan. ¿Qué fracción del saco de harina utilizael cocinero para hacer pan diariamente?

Problema 17:

Si Anita reparte 3/4 de una torta en partesiguales entre sus 3 hijos, ¿qué fracción de latorta le corresponde a cada hijo?

Problema 18:Don Domingo quiere repartir 1/2 de unterreno en partes iguales entre sus 3 hijos.¿Qué parte del terreno le corresponde a cadahijo?

Problema 19:Una profesora repartió 1/4 kilo de quesoentre los 5 alumnos que contestaron bien unproblema. ¿Qué fracción de un kilo de quesorecibió cada uno de estos alumnos?

Problema 20:Don Manuel debe repartir las 3/8 partes de lasganancias que obtuvo su empresa, en partesiguales entre los 13 empleados que trabajanpara él. ¿Qué parte de las ganancias lecorresponde a cada empleado?

Problema 21Tengo 15 /16 de kilogramos de té y lo reparto enpaquetes de 1/8 . ¿Cuántos paquetes obtuve?

Problema 22:Tengo 5/2 litros de bebida ¿Cuántas botellasllenas de 3/4 litros puedo obtener? Con lo quesobra, ¿qué parte de otra botella puedo llenar?

Problema 23:Tengo 3/4 kilo de maní y lo quiero repartir entrevarias personas dándole 1/20 de kilo a cada una,¿para cuántas personas me alcanza?

Problema 24:

Marcelo está entrenando para una competenciaDeportiva y ha bajado de peso. Si el primerMes bajó 21/2 kilos, el segundo 13/4 kilos, y elTercero 1/2 kilo, ¿cuánto peso ha perdido hastaahora Marcelo?

Problema 25:

Doña Luisa tejió un chaleco para su esposoJuan. Si usó 51/2 ovillos para la espalda, 51/4

ovillos para los delanteros y 42/7 ovillos para lasmangas, ¿cuántos ovillos ocupó Luisa paratejer el chaleco?

TAREA L :

Elabora la tabla y registra el número de caras, aristas, vértices, ángulos diedros y ángulos poliedros que tiene cada uno de los siguientes cuerpos geométricos.

Nombre del cuerpo geométrico

# de caras

# de vértices

# de aristas # de ángulos diedros

# de angulos poliedros

Tetraedro

Cubo o Hexaedro

Octaedro

Prisma de base hexagonalPirámide débase pentagonal

TAREA M:

Estudia las situaciones que se te plantean y elabora los diagramas cartesianos correspondientes

a) Los integrantes de un equipo de fútbol van a adquirir uniformes nuevos. En la tienda que los vende, les muestran una camiseta blanca, una verde, una azul y una roja; una pantaloneta negra y una blanca. ¿Cuántas combinaciones diferentes pueden hacer con esas prendas para escogersu uniforme?

b) Para escoger el menú del día se ofrece sopa de arroz o de fideos y guisado de milanesa, pollo o pescado. ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger? Haz eldiagrama cartesiano correspondiente.

analiza la siguiente situación y elabora un diagrama de árbol que la represente.

El administrador de una fábrica clasifica a su personal para elaborar la nómina de pago, considerando los siguientes aspectos:

a) Antigüedad: más de 15 años (m) menos de 15 años (n)b) Categoría: ejecutivo (p), obrero (q), trabajador manual (r)c) Sueldo: superior al mínimo (w), mínimo (x)¿Cuántos grupos de trabajadores resultarán?