UNIVERSIDAD DE ORIENTE – ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS – VENEZUELA

Control Adaptativo por Escalamiento de Pasos

Ing. Dulmar TovarUniversidad de Oriente

dulmar.tovar@gmail.com

Resumen – El objetivo de este documento es realizar un breve estudio sobre el control adaptativo utilizando para ello la metodología de escalamiento de pasos, esto para controlar el nivel dentro de un tanque cónico dada una entrada irregular, puesto que se busca escoger la ganancia adecuada dependiendo del valor actual en dicha entrada.

Términos de búsqueda – Tanque, Control Adaptativo, Escalamiento de Pasos, Ganancia Programada, Tabla de Ganancias, Cono.

Abstract – The aim of this paper is a brief study on the adaptive control using the gain schedule methodology, to control the level in a conical tank given an irregular entry, since it seeks to choose the correct gain depending on the value present in the entry.

Index Terms – Tank, Adaptive Control, Scaling Steps, Gain Schedule, Gain Table, Cone.

I. INTRODUCCIÓN

EL Control de Procesos consiste básicamente en la implementación de un dispositivo (controlador) que permita garantizar que la variable a controlar se ajuste a un valor (set point) dado. Sin embargo en la realidad no siempre se tiene una entrada fija, sino que la misma usualmente obedece a valores cambiantes con el tiempo (por ejemplo, la altura de un avión), por lo que un controlador diseñado para un rango en específico no siempre funciona para otro, por lo que se hace necesario diseñar un controlador de tipo adaptativo, es decir, aquel que ajusta sus valores de acuerdo a la entrada dada y/o salida deseada.

Este tipo de control se puede realizar de varias maneras, entre las cuales se tienen las siguientes:

Escalamiento de Pasos (Gain Schedule) Por Modelo de Referencia Autoajustable.

En este documento se tratará sobre el primero de ellos, es decir, el Escalamiento de Pasos (también conocido como Ganancia Programada), el cual consiste en “compensar las variaciones en el proceso mudando los parámetros del controlador en función de las condiciones de operación” [1].

II. CARACTERÍSTICAS DEL TANQUE

El presente estudio se realiza sobre un tanque cónico, ya que “en los tanques rectangulares, el área transversal es constante en todo el rango de variación del nivel, esto no ocurre en los esféricos o cónicos cuya sección transversal

cambia con la altura del líquido dentro del tanque, ocasionando cambios en la ganancia total del proceso. Esta característica resulta de interés para la aplicación de sistemas de control que se adapten a un proceso no lineal.” [2]

En este sentido, el tanque objeto del presente estudio (ver Fig. 1) tiene las siguientes características:

Altura: 12 metros. Radio Máximo: 6,928 metros. Ángulo: 60º Diámetro de tubería: 0,10 metros. Flujo de entrada (qin): Variable.

Fig. 1. Características del Tanque Cónico [1]

III. DEFINICIÓN DEL RANGO DE VALORES

Dado que se tiene una altura de 12 metros, se ha optado por subdividirlo en 6 partes, definidas así:

TABLA IDefinición del rango de valores y valor medio

Nº Rango (m) Valor Medio1 0 – 2 12 2 – 4 33 4 – 6 54 6 – 8 75 8 – 10 96 10 – 12 11

IV. MODELO MATEMÁTICO

El modelo matemático del tanque se define con la siguiente fórmula:

dh(t )

dt= q¿

A (h)−

a√2 gh( t)

A(h)

(E1)

Luego de un proceso de linealización sobre el punto q, se obtiene:

POSTGRADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA – CÁTEDRA CONTROL ADAPTATIVO

2 UNIVERSIDAD DE ORIENTE – ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS – VENEZUELA

∆ H(s)

∆ Q¿(s)=

βs+α

(E2)

Donde:

α=a√2 gh0

2 A ( h0 ) ho y β= 1

A (h0 ) (E3, E4)

V. DISEÑO DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO

A. Cálculo del Rango de Radios y Áreas

Para calcular el radio se puede utilizar la siguiente relación:

rR

=h0

H(E5)

Donde r es el radio en un rango dado, R es el radio máximo del tanque, h0 es la altura del rango y H es la altura total. También hay que acotar que para obtener R fue necesario visualizar dicho tanque como un triángulo con ángulo y altura conocidos, por lo que se empleó la identidad trigonométrica “tangente”:

tg (30 )= R12

→ R=12tg(30) (E6)

El ángulo es 30º debido a que se utiliza solo la mitad, a efectos de cálculo.

De las ecuaciones (E5) y (E6) se obtiene:

r=R h0

H=

12 tg (30 ) h0

12=tg (30)h0 (E7)

En cuanto al área, se utiliza la fórmula mostrada a continuación:

A (h0 )=πr2(E8)

De (E7) y (E8) se obtiene la siguiente tabla de valores:

TABLA IIRadios y Áreas por Rango de Altura

Nº Rango h0 Radio Área1 0 – 2 1 0,577 1,0472 2 – 4 3 1,732 9,4253 4 – 6 5 2,887 26,1804 6 – 8 7 4,041 51,3135 8 – 10 9 5,196 84,8236 10 – 12 11 6,351 126,711

B. Cálculo de Alfa y Beta

Los valores de Alfa y Beta se calculan utilizando las ecuaciones (E3) y (E4), obteniéndose la siguiente tabla:

TABLA IIIValores de Alfa y Beta por Rango de Altura

Nº Rango h0 Alfa Beta1 0 – 2 1 0,212 0,9552 2 – 4 3 0,014 0,1063 4 – 6 5 3,782e-3 0,0384 6 – 8 7 1,630e-3 0,0195 8 – 10 9 8,698e-4 0,0126 10 – 12 11 5,266e-4 0,007

C. Elección del Controlador y cálculo de K y Ti

En primer lugar se elige el controlador a utilizar en el diseño. Para efectos de estudio y por su sencillez, se ha optado por emplear un controlador PI de la forma:

Gc=K+ KT i

(E9)

Entonces GMF queda:

GMF=(K+

KT i ) β

s+α

1+(K+ KT i ) β

s+α

=(K T i(s)+K ) β

T i(s )2+( α T i+βK T i ) s+ Kβ

(E10)

Como se puede observar, se obtiene una función de transferencia de segundo orden. En ese sentido, se desea que el sistema se comporte como la siguiente ecuación:

GMF=ωn

2

s2+2 ζ ωn s+ωn2 (E11)

Y de (E10) y (E11) se obtiene:

K=2ζ ωn−α

β y T i=

2ζ ωn−αωn

2 (E12,

E13)

Lo que permite generar la siguiente tabla de valores:

TABLA IVK y Ti por Rango de Altura

Nº Rango h0 K Ti

POSTGRADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA – CÁTEDRA CONTROL ADAPTATIVO

UNIVERSIDAD DE ORIENTE – ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS – VENEZUELA

1 0 – 2 1 11,506 0,22422 2 – 4 3 105,528 0,22833 4 – 6 5 294,637 0,22844 6 – 8 7 589,388 0,22855 8 – 10 9 933,261 0,22866 10 – 12 11 1419,092 0,2287

Como se puede observar, K es proporcional al área de la sección del tanque (aquí se asume que n = 7 y = 0.8).

VI. ELABORACIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES

Ahora que se tienen los componentes necesarios, se elabora el diagrama de bloques utilizando la herramienta Simulink (ver Fig. 2, 3 y 4)

Fig. 2. Diseño del sistema en Simulink

Fig. 3. Diseño de la Planta

Fig. 4. Diseño del bloque para el cálculo del área

VII. SIMULACIÓN

Para la simulación del sistema, se ha elaborado un archivo .m (Fig. 5) que permite la selección de los parámetros (ver Tabla IV), los cuales varían según la entrada.

Fig. 5. Programa elaborado en MATLABComo entrada ejemplo se ha elaborado una consistente en

una serie sucesiva de escalones combinados entre sí, la cual genera se muestra a continuación:

Fig. 6. Entrada al Sistema

Con ella se tiene la siguiente salida para el sistema a lazo abierto:

Fig. 7. Salida del Sistema a Lazo Abierto

POSTGRADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA – CÁTEDRA CONTROL ADAPTATIVO

4 UNIVERSIDAD DE ORIENTE – ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS – VENEZUELA

En cuanto al sistema controlado, se tiene el siguiente resultado:

Fig. 8. Salida del Sistema Controlado vs. Referencia

Evidenciándose que el controlador permite que un sistema evidentemente inestable (Fig. 7) se adecue a los requerimientos del diseño, acercándose al valor deseado, notándose igualmente que dicho control se estabiliza en apenas un par de segundos. Sin embargo hay que tener cuidado, pues luego de varias pruebas sucesivas se ha descubierto que, en ocasiones, la simulación llega a un punto de singularidad, ya sea por la presencia de alguna raíz negativa, división entre 0 o valor infinito. Es posible corregir tales casos con una investigación exhaustiva del sistema, y probablemente sea necesaria la incorporación del elemento derivativo del controlador.

VIII. CONCLUSIONES

Se ha llegado a la conclusión de que un controlador adaptativo es una herramienta muy útil para un control mucho más realista de procesos, ya que las condiciones no siempre suelen ser las ideales, por el contrario, tienden a ser muy cambiantes con el tiempo.

Con respecto a la metodología empleada, es útil en sistemas pequeños o con fines académicos, debido a su simplicidad en el desarrollo, aunque la misma puede llegar a ser un poco imprecisa puesto que se trabaja con rangos de valores y no hay garantías de que en cierto valor las ganancias varíen en forma abrupta.

BIBLIOGRAFÍA

[1] Rengel, J. Introducción a Control Adaptativo. Barcelona, Junio de 2014.

[2] Pérez A., De Conno A., Enríquez A., Desarrollo de un sistema de control adaptativo tipo programador de ganancia para la regulación del nivel de un tanque esférico. Revista Ingeniería UC, Vol. 16, Nº 3. Valencia, Diciembre de 2009.

DATOS BIOGRÁFICOS

Dulmar Tovar, nacida en Cumaná, Sucre – Venezuela, el 19/12/1981. Egresada de la Universidad de Oriente (UDO), Núcleo de Anzoátegui, obtuvo el título Ingeniero en

Computación en abril de 2008, además es estudiante de Postgrado en Ingeniería Eléctrica, realizando una especialización en Informática y Automatización Industrial, UDO Anzoátegui – XIII Cohorte. Actualmente se desempeña como docente en la UDO Anzoátegui, Extensión Región Centro-Sur Anaco.

Sus intereses son: Informática, programación, y tecnología en general. e-mail: dulmar.tovar@gmail.com

POSTGRADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA – CÁTEDRA CONTROL ADAPTATIVO