Filt Ro Kalman
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ElltrodeKalman
JosAntonioCamarenaIbarrola
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QueesunFiltrodeKalman? Esunalgoritmorecursivop?modeprocesamientodedatos Haymuchasformasdedenirp?mo ElltrodeKalmanesp?morespectoacasicualquiercriterio
quetengasen?do ElltrodeKalmantomaencuentatodalainformacinquese
tenga. Procesatodaslasmedicionessinimportarsuprecisinpara
es?marelvalordelasvariablesdeinters Haceusode:1. Conocimientodelsistemaydeladinmicadelos
instrumentosdemedicin,2. Ladescripcinestads?cadeloserroresdemedicinydela
incer?dumbredelosmodelosdinmicos.3. Cualquierinformacindisponibledelascondicionesiniciales
delasvariablesdeinters
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Ejemplo
ParadeterminarlavelocidaddeunaaeronavepodramosdisearunltrodeKalmanquetomeencuenta:
1. UnradardeefectoDoppler2. Velocmetrodenavegacininercial3. Lapresinest?ca4. Vientorela?vo5. Loquedigaelpiloto
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Filtrorecursivo?
Esrecursivoporquenorequierealmacenartodoslosdatospreviosyreprocesarloscadavezquellegaunanuevainformacin
Esunltroenelsen?dodequeesunprogramaquetrabajaconmuestrastomadasen?empodiscretoenlugardeentradasen?empocon?nuo
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UsodelltrodeKalman
Lasvariablesdeintersusadasparadescribirelestadodelsistemanosepuedenmedirdirectamenteysedebenes?marapar?rdelainformacindisponible
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PorqunecesitamosalltrodeKalman? Lossistemasestnnormalmentecontroladospormas
variablesquelasqueeldiseadordelossistemasproveencomovariablesdecontrol
Larelacinentrelasvariablesdeestadoylasvariablesquesemidenseconocesoloconciertogradodeincer?dumbre
Lasmedicionessoncorrompidasenciertogradoconruido,desviacioneseimprecisionesdedisposi?vos
Lasdiferentesdinmicasdelosdiferentesinstrumentosdemedicinu?lizadossepuedenconfundirconladinmicadelsistema
ElltrodeKalmanproduceunaes?macinp?maestads?camente
Tomaencuentatodoslasmedicionesmaslainformacinaprioriquesetengadelsistemaydelosdisposi?vosdemedicin
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EnfoqueBayesiano Elltrodebepropagarladensidaddeprobabilidad
condicionaldelascan?dadesdeseadascondicionadoalconocimientodelosdatosqueprovienendelosdisposi?vosdemedicin.
Considereladensidaddeprobabilidadcondicionaldelvalordeunavariablexenuninstantei(x(i)),condicionadaalconocimientodequeunavariablemedidaenelinstante1(z(1))tomelvalorz1yalmedirlaenelinstante2(z(2))tomelvalorz2,etc.
Porejemplox(i)pudieraserlaposicindeunvehculoenunasoladimensinenelinstanteiyz(j)pudieraserlaposicindelvehculoendosdimensionesreportadapordosradaresseparadosenelinstantej
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Ladensidadcondicional Ladensidad
condicionalcon?enetodalainformacindisponibleacercadex(i).
Indicalaprobabilidaddex(i)deasumircualquiervalorespecco,paraelvalordadodetodaslasmedicionestomadashastaelinstantei.
Escondicionalporqueelvalorreportadodependedetodaslasmedicionestomadas
Sifueraunpicotendramoscertezadelvalordex(i)
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Restricciones UnltrodeKalmanrealizalapropagacindela
densidaddeprobabilidadparaproblemasenlasqueelsistemapuedeserdescritomedianteunmodelolinealylosruidosenlasmedicionessongaussianos
Bajoestasrestricciones,elltrodeKalmanesp?mo Alhacerlapropagacinpodemosu?lizarlamedia,la
medianaolamoda Enladistribucingaussianaestas3medidascoinciden Siseeliminalapresuncindegaussianidad,elltrode
Kalmanesunltroconelmenorerrordelaclasedeltrosnosesgados
Paramuchasaplicacionesestasrestriccionessecumplen
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Presuncionesbsicas Unmodelolineal.Sepuedeajustaralinealcuandohayno
linealidades. Lossistemaslinealessonmuydeseablespueshaymuchas
herramientasyteoramascompletayprc?ca Ruidoblancosignicaqueno?enecorrelacinconel?empo(en
nadaayudaconocerel?empoenlaprediccindelvalordelruido) Alconsiderarqueelruidoesblancosevuelvetratableel
problema,detodosmodosalsistemaledalomismoelruidoblancoqueelruidodeanchodebandaampliaparaelanchodebandaalquerespondeelsistema
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Presuncionesbsicas
Unadistribucingaussianaquedadeterminadasoloconlosprimerosdosmomentosdeladistribucinloscualessonfcilesdeaveriguarnormalmente
Lastrespresuncionesjuntasconviertenelproblemaentratable
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Ejemplo Supongaqueno?eneideadesuposicinenelmar Localizaunaestrellaenelcieloparatratardeubicarse Supongaporsimplicidadqueelsistemaesdeunasoladimensin Enelinstantet1,determinasquetuposicinesz1 Debidoalasimprecisionesinherenteslaposicinesincierta Supongamosquedecidesquetuprecisinestalqueladesviacin
estndares Entoncespodemosestablecerquelaprobabilidadcondicional
de,condicionadaalvalorobservadodelamedicinesz1
1z
)( 1tx
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Ejemplo(cont) Hastaestemomentolamejores?macindelaposicines
ylavarianzaes Enseguida,unmarinoconmasexperienciatomaotramedicin
enelinstantet2muypocodespusdet1demaneraquelaposicinrealnohacambiadoyob?enez2convarianzamenorpuestoqueesmasexperimentado
11)( ztx =2
12
1)( zx t =
2z
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Actualizandoladistribucin
Observeque
2
1
z
z