Filtros DigitaisFiltros DigitaisFIR FIR

(Finite Impulse Response)(Finite Impulse Response)

Prof. José Mauricio Netomauricio@cear.ufpb.br

1

Filtros FIR (Finite Impulse Response)

• Para um sistema FIR de ordem M

• Com função de transferência

• E resposta ao impulso

1

0

[ ] [ ]M

kk

y n b x n k

1

0

( )M

kk

k

H z b z

2

, 0 1[ ]

0,nb n M

h ncasocontrario

Estrutura FIR: Forma Direta I

1

0

[ ] [ ]M

kk

y n h x n k

3

Projeto de Filtros Digitais FIR

• O projeto de filtros, implica na seleção de uma sequência finita que represente a resposta ao impulso de um filtro ideal

• Os filtros FIR sempre são estáveis, e com fase linear (atraso no tempo)

• Métodos comuns para o projeto de filtros FIR:

– Janelas, usando a resposta ao impulso dos filtros ideais– Amostragem em frequência– Projeto iterativo baseado em restrições ótimas

4

Projeto de Filtros FIR por Transformada de Fourier

• Para uma resposta ideal de um filtro passa-baixo

5

6

Função de Transferência:

Simetria

Projeto de Filtros FIR por Transformada de Fourier

7

Função de Transferência (simetria):

Projeto de Filtros FIR por Transformada de Fourier

8

Projeto de Filtros FIR por Transformada de Fourier

Exemplo 1

• Calcular os coeficientes do Filtro Passa-Baixo FIR de comprimento 3, com frequência de corte 800 Hz e frequência de amostragem 8000 amostras/s

9

8002 28000 5

2 1 3

0 (0)

sin sin 0.20 ( )

cc

s

c

c

frad

fM tap

Para n h

n nPara n h n

n n

tamanho

10

Exemplo 1

• Resposta em Frequência

11

Exemplo 1

• Em genal, o filtro FIR com coeficientes simétricos têm uma resposta de Fase Linear, dado por

12

Exemplo 1

• Magnitude e Fase

13

Exemplo 1

14

Exemplo 1

15

Exemplo 1fc = 800;fs = 8000;M = 1;tap = 2*M+1;omega = 0:0.001:pi;hertz = omega*fs/(2*pi)moduloH = 20*log10(abs(0.2+0.3742*cos(omega)));for i = 1:length(omega) if (0.2+0.3742*cos(omega(i)))>0 faseH(i) = -M*omega(i); elseif (0.2+0.3742*cos(omega(i)))<0 faseH(i) = -M*omega(i)+pi; endend figureplot(hertz,moduloH)axis([0 4000 -80 0]),gridfigureplot(hertz,faseH*180/pi), grid

16

Exemplo 1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Hz

|H| d

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Hz

grad

os

• Magnitude e Fase

• Para M = 1 (2M + 1 = 3 tap)• Para M = 8 (2M + 1 = 17 tap)

17

Exemplo 1

Exemplo 2

• Calcular os coeficientes do Filtro Passa-Faixa FIR de comprimento 5, com frequência de corte inferior 2000 Hz, frequência de corte superior 2400, e frequência de amostragem 8000 amostras/s

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2 1 520002 28000 22400 32 28000 5

0( )

sin sin0 2 2

LL

s

HH

s

H L

H L

M tapf

radff

radf

nh n

n nn n

Exemplo 2

• Calculo dos coeficientes:

19

Exemplo 2

• Função de Transferência:

• Resposta em Frequência:

20

2 3 4

2 2 2

2 2 2

2

0.09355 0.01558 0.1 0.01558 0.09355

0.09355 0.01558 0.1 0.01558 0.09355

2cos( )

0.09355( ) 0.1 0.01558( )

j j j j j

j j j j j j

jx jx

j j j j j j

j j

H e e e e e

H e e e e e e

e e x

H e e e e e e

H e e

0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( )

• Magnitude e Fase

21

Exemplo 2

2 0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( )j jH e e

0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( )

2 0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( ) 02 0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( ) 0

j

j

H e

siH e

si

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Hz

|H| d

B

• Se realiza o truncamiento da resposta ao impulso ideal h[n] por uma janela w[n]:

[ ] [ ] [ ]wh n h n w n

( ) ( ) ( )wH F H F W F

22

Multiplicação emtempo discreto

Convolução na Frequência

Projeto de Filtros FIR pelo Método de Janelas

• Características das Funções que caracterizam Janelas

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M n M

[ ] 1w n

[ ] 1n

w nM

[ ] 0.5 0.5cos nw nM

[ ] 0.54 0.46cos nw nM

2[ ] 0.42 0.5cos 0.08cosn nw nM M

JANELAS

Boxcar

Blackman

Barlett

Hanning

Hamming

Projeto de Filtros FIR pelo Método de Janelas

• Processo de Projeto:

1. Obter os coeficientes do Filtro FIR utilizando o Método da Transformada de Fourier

2. Multiplicar os Coeficientes do Filtro FIR pela sequência da janela selecionada

3. Aplicar o atraso à resposta truncada de M amostras

24

Projeto de Filtros FIR pelo Método de Janelas

( ) ( ) ( ) ,....,0,1,....,wh n h n w n n M M

( ) 0,1,..., 2n wb h n M Para n M

( )wh n

Exemplo 3

• Projetar um filtro FIR passa-baixo de 3-Coeficientes, com frequência de corte de 800 Hz e frequência de amostragem 8000 amostras/s, utilizando a janela de Hamming.

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8002 28000 5

2 1 3

0 (0)

sin sin 0.20 ( )

cc

s

c

c

frad

fM tap

Para n h

n nPara n h n

n n

26

Exemplo 3

• Calculo dos coeficientes do filtro FIR

27

Exemplo 3

• Calculo dos coeficientes da Janela de Hamming

28

Exemplo 3

• Multiplicando os coeficientes do filtro FIR com os coeficientes da Janela de Hamming

29

Exemplo 3

• Atrasando a resposta truncada por M = 1

• Função de Transferência1 2

0 1 2( )H z b b z b z

30

Exemplo 3

• Resposta em Frequência

31

Comparação da Resposta em Frequência

32

Especificações de Projeto de Filtros FIR Passa-Baixo Usando a Janela de Hamming

• Especificações da resposta em frequência.

• Banda de Transição Normalizada

stop pass

s

f ff

f

33

Especificações de Projeto de Filtros FIR Passa-Baixo Usando a Janela de Hamming

• O comprimento do Filtro é dada por

• Ripple na banda passante

• Ripple na banda de parada

• Frequência de Corte

2pass stop

c

f ff

34

Especificações de Projeto de Filtros FIR Passa-Baixo

• Projetar um filtro FIR passa-baixo, utilizando a janela rectangular, com as seguintes especificações:

• Banda de transição normalizada

35

Exemplo 4

8000 /sf amostras seg

• Usando uma janela rectangularjanela rectangular, o Ripple na banda passante é de 0.74 dB e a atenuação na banda de parada é de 21 dB

• A seleção desta janela satisfaz os requerimentos de ripple na banda passante de 1 dB e atenuação na banda de parada de 20 dB.

36

Exemplo 4

• O comprimento do Filtro é:

• É escolhido um valor maior N=25 para garantir as especificações do projeto.

• Frequência de Corte

37

Exemplo 4

1850 2150 20002cf Hz

• O comprimento do Filtro 25-tap• Frequência de Corte fc = 2000 Hz• Frequência de amostragem fs = 8000 amostras/s• Janela Rectangular

• Projetar o Filtro FIR passa-baixo usando o método de janelas

38

Exemplo 4

• Frequência de corte normalizada

39

Exemplo 4

20002 28000 2

2 1 2512

12 12

0 (0)

sin sin 0.50 ( )

cc

s

c

c

frad

fM tap

Mn

Para n h

n nPara n h n

n n

• Calculo dos coeficientes (M=12)

40

Exemplo 4

(0) 0.5(1) 0.3183 ( 1)(2) 0 ( 2)(3) 0.106 ( 3)(4) 0 ( 4)(5) 0.0636 ( 5)(6) 0 ( 6)(7) 0.0454 ( 7)(8) 0 ( 8)(9) 0.0353 ( 9)(10) 0 ( 10)(11) 0.0289 ( 11)(12) 0 ( 12)

hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh h

fc = 2000;fs = 8000;M= 12;tap = 2*M+1;i=1;for n=-12:12 if n==0 h(i)=(pi/2)/pi; else h(i)=sin(0.5*pi*n)/(n*pi); end i= i+1;endfreqz(h,1,tap,fs)

41

Exemplo 4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-1500

-1000

-500

0

Frequency (Hz)

Pha

se (d

egre

es)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-60

-40

-20

0

20

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (d

B)