Filtros Digitales. Bolet´ın 3. Filtros IIR o Ingenier´ıa Electr´onica...
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scola ècnica uperior nginyeria Departament d´Enginyeria Electrònica Filtros Digitales. Bolet´ ın 3. Filtros IIR 4 o Ingenier´ ıa Electr´onica. Universitat de Val` encia. 1. Determine qu´ e orden debe tener un filtro de Butterworth para que la pendiente de la zona de transici´ on entre la banda pasante y atenuada sea - 5 2 √ 2 para Ω/Ω c = 1, Ω c = 1. Soluci´ on: N=5 2. Determine el orden de un filtro de Butterworth de manera que la atenuaci´ on para frecuencias normalizadas hasta 0’9 sea menor que 0’9. Soluci´ on: N=7 3. Compruebe que los filtros de Butterworth de orden impar pueden escribirse de la forma factorizada siguiente: H(s)= 1 1+ s k 1 s 2 +2cos( kπ 2N )s +1 ,k =2, 4, 6,...,N - 1(N impar) 4. Determine los valores A yΩ 0 para que el filtro pasa–baja H(s) se transforme en un filtro pasa–banda H(p) haciendo corresponder Ω c aΩ u y -Ω c aΩ l , con la transformaci´ on indicada: H(s) s= p 2 +Ω 2 0 pA ------→ H(p), siendo Ω l yΩ u las frecuencias inferior y superior de la banda, respectivamente. Soluci´ on: Ω 0 = √ Ω l Ω u y A = Ω u - Ω l Ω c 5. Un filtro de Butterworth de orden dos tiene por funci´ on de transferencia H(s)= 1 s 2 + √ 2s +1 . Transforme este filtro en un filtro digital utilizando el m´ etodo del impulso invariante. Considere frecuencias de muestreo Ω m1 =8rad/s yΩ m2 = 16rad/s. Realice un ajuste para que las ganancias de ambos filtros a frecuencias bajas coincidan. Represente gr´ aficamente la respuesta en frecuencia del filtro anal´ ogico y los dos digitales obtenidas. Soluci´ on: Para T 1 =2π/8 H 1 (z)= 0 ′ 3541z −1 1 - 0 ′ 9752z −1 +0 ′ 3293z −2 Para T 2 =2π/16 H 2 (z)= 0 ′ 1169z −1 1 - 1 ′ 4570z −1 +0 ′ 5739z −2 6. Se desea dise˜ nar un filtro digital pasa–baja de Butterworth de orden dos con frecuencia de corte 1 rad/s y frecuencia de muestreo 10 rad/s. Utilice la transformaci´ on bilineal. Soluci´ on: H(z)= 0 ′ 0675 + 0 ′ 1349z −1 +0 ′ 0675z −2 1 - 1 ′ 1430z −1 +0 ′ 4128z −2 7. Un sistema de dos ceros y tres polos tiene por respuesta impulsional h(n)= e 1/(n+1) u(n). Determine la funci´ on de transferencia mediante el m´ etodo de Pad´ e. Soluci´ on: H(z)= 2 ′ 7182 - 2 ′ 5815z −1 +0 ′ 4673z −2 1 - 1 ′ 5562z −1 +0 ′ 6024z −2 - 0 ′ 0387z −3 8. Utilizando un prototipo anal´ ogico de Butterworth de orden dos, determine la respuesta en frecuencia en m´ odulo y la funci´ on de transferencia de los siguientes filtros anal´ ogicos: 1 Problemas de Filtros Digitales M. Martínez, L. Gómez, A.J. Serrano, J. Vila, J. Gómez
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scola ècnica uperior nginyeriaDepartament d´Enginyeria Electrònica
Filtros Digitales. Boletın 3. Filtros IIR4o Ingenierıa Electronica. Universitat de Valencia.
1. Determine que orden debe tener un filtro de Butterworth para que la pendiente de la zona de transicion
entre la banda pasante y atenuada sea −5
2√
2para Ω/Ωc = 1, Ωc = 1.
Solucion: N=5
2. Determine el orden de un filtro de Butterworth de manera que la atenuacion para frecuencias normalizadas
hasta 0’9 sea menor que 0’9.
Solucion: N=7
3. Compruebe que los filtros de Butterworth de orden impar pueden escribirse de la forma factorizada siguiente:
H(s) =1
1 + s
∏
k
1
s2 + 2cos(kπ
2N)s + 1
, k = 2, 4, 6, . . . , N − 1 (N impar)
4. Determine los valores A y Ω0 para que el filtro pasa–baja H(s) se transforme en un filtro pasa–banda H(p)
haciendo corresponder Ωc a Ωu y −Ωc a Ωl, con la transformacion indicada:
H(s)s=
p2+Ω20
pA−−−−−−→ H(p),
siendo Ωl y Ωu las frecuencias inferior y superior de la banda, respectivamente.
Solucion: Ω0 =√
ΩlΩu y A =Ωu − Ωl
Ωc
5. Un filtro de Butterworth de orden dos tiene por funcion de transferencia
H(s) =1
s2 +√
2s + 1.
Transforme este filtro en un filtro digital utilizando el metodo del impulso invariante. Considere frecuencias
de muestreo Ωm1 = 8rad/s y Ωm2 = 16rad/s. Realice un ajuste para que las ganancias de ambos filtros
a frecuencias bajas coincidan. Represente graficamente la respuesta en frecuencia del filtro analogico y los
dos digitales obtenidas.
Solucion:
Para T1 = 2π/8 H1(z) =0′3541z−1
1 − 0′9752z−1 + 0′3293z−2
Para T2 = 2π/16 H2(z) =0′1169z−1
1 − 1′4570z−1 + 0′5739z−2
6. Se desea disenar un filtro digital pasa–baja de Butterworth de orden dos con frecuencia de corte 1 rad/s y
frecuencia de muestreo 10 rad/s. Utilice la transformacion bilineal.
Solucion: H(z) =0′0675 + 0′1349z−1 + 0′0675z−2
1 − 1′1430z−1 + 0′4128z−2
7. Un sistema de dos ceros y tres polos tiene por respuesta impulsional h(n) = e1/(n+1)u(n). Determine la
funcion de transferencia mediante el metodo de Pade.
Solucion: H(z) =2′7182 − 2′5815z−1 + 0′4673z−2
1 − 1′5562z−1 + 0′6024z−2 − 0′0387z−3
8. Utilizando un prototipo analogico de Butterworth de orden dos, determine la respuesta en frecuencia en
modulo y la funcion de transferencia de los siguientes filtros analogicos:
1
Problemas de Filtros Digitales M. Martínez, L. Gómez, A.J. Serrano, J. Vila, J. Gómez
scola ècnica uperior nginyeriaDepartament d´Enginyeria Electrònica
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
|H(Ω
)|
Ω (rad/s)
Filtro AnalógicoF. Dig Ω
m=8 rad/s
F. Dig Ωm
=12 rad/sF. Dig Ω
m=16 rad/s
1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.070.66
0.67
0.68
0.69
0.7
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
|H(Ω
)|
Ω (rad/s)
Detalle de la zona de la frecuencia de corte
Filtro AnalógicoF. Dig Ω
m=8 rad/s
F. Dig Ωm
=12 rad/sF. Dig Ω
m=16 rad/s
Figura 1: (a) Respuesta en frecuencia (modulo) del filtro analogico y los correspondientes digitales para distintas
frecuencias de muestreo del ejercicio 5. En (b) se muestra una ampliacion de la zona de la frecuencia de corte.
a) Pasa–baja con frecuencia de corte 10 rad/s.
b) Pasa–alta con frecuencia de corte 10 rad/s.
c) Pasa–banda como Ωl = 0′618rad/s y Ωu = 1′618rad/s.
d) Elimina–banda como Ωl = 0′618rad/s y Ωu = 1′618rad/s.
Solucion:
a) H(s) =100
s2 + 10√
2s + 100
b) H(s) =s2
s2 + 10√
2s + 100
c) H(s) =1
s4 +√
2s3 + 3s2 +√
2s + 1
d) H(s) =(s2 + 1)2
s4 +√
2s3 + 3s2 +√
2s + 1
0 5 10 15 200.2
0.4
0.6
0.8
1Pasa Baja
|H(Ω
)|
Ω(rad/s) 0 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Pasa Alta
|H(Ω
)|
Ω(rad/s)
0 5 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1Pasa Banda
|H(Ω
)|
Ω(rad/s) 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Elimina Banda
|H(Ω
)|
Ω(rad/s)
Figura 2: Respuesta en frecuencia (modulo) de los distintos filtros analogicos disenados en el problema 8.
9. Utilizando un prototipo analogico de Butterworth de orden dos, determine la funcion de transferencia y la
respuesta en frecuencia en modulo (en dB.) de los siguientes filtros digitales:
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a) Pasa–baja con frecuencia de corte 10 rad/s.
b) Pasa–alta con frecuencia de corte 10 rad/s.
c) Pasa–banda como Ωl = 0′618rad/s y Ωu = 1′618rad/s.
d) Elimina–banda como Ωl = 0′618rad/s y Ωu = 1′618rad/s.
utilizando la transformacion bilineal. Realice las transformaciones en frecuencia en el dominio analogico.
La frecuencia de muestreo es de 80 rad/s.
Solucion:
a) H(z) =0′0976 + 0′1953z−1 + 0′0976z−2
1 − 0′9428z−1 + 0′3330z−2
b) H(z) =0′569 − 1,1381z−1 + 0′569z−2
1 − 0′9428z−1 + 0′3330z−2
c) H(z) =0′0015 − 0′0029z−2 + 0′0015z−4
1 − 3′8771z−2 − 3′6675z−3 + 0′8949z−4
d) H(z) =0′9460 − 3′7723z−1 + 5′6527z−2 − 3′7723z−3 + 0′9460z−4
1 − 3′8771z−1 + 5′6497z−2 − 3′6675z−3 + 0′8949z−4
0 20 400
0.5
1
1.5Pasa Baja
|H(ω
)|
ω(rad)0 20 40
0
0.5
1Pasa Alta
|H(ω
)|
ω(rad)
0 20 400
0.5
1Pasa Banda
|H(ω
)|
ω(rad)0 20 40
0
0.5
1
1.5Elimina Banda
|H(ω
)|
ω(rad)
Figura 3: Respuesta en frecuencia de los filtros implementados utilizando la transformacion bilineal en el ejercicio
9.
10. Disene un filtro digital pasa–banda a partir de un prototipo de Tchebyshev I que verifique las siguientes
especificaciones:
Frecuencia inferior de la banda pasante 700 Hz.
Frecuencia superior de la banda pasante 800 Hz.
Rizado en la banda pasante de 1dB.
Atenuacion mayor que 20 dB en la banda no pasante.
Anchura de las bandas de transicion 200 Hz.
Frecuencia de muestreo de 3 kHz.
Solucion: H(z) =0′0096 − 0′0193z−2 + 0′0096z−4
1 + 1′7521z−2 + 0′7954z−4
11. A partir de las transformaciones en frecuencia en el dominio analogico, verifique las expresiones de dichas
transformaciones en el dominio digital utilizando la transformacion bilineal.
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12. Disene un filtro pasa–banda digital como una combinacion en cascada de un filtro pasa–baja y un pasa–
alta de Butterworth de orden 1, utilizando la transformacion bilineal (ver Fig. 4) con Ω1 = 0′15Ωm,
Ω2 = 0′35Ωm. La ganancia debe ser aproximadamente la unidad para Ωm/4. Se pide:
a) Determinar la funcion de transferencia del filtro.
b) Calcule su magnitud y fase para w = 0, w = w1, w = Ωm/4, w = w2 y w = Ωm/2.
c) Dibuje su respuesta en magnitud y fase en el intervalo 0 ≤ w ≤ Ωm/2.
1
2
1
Ω1 Ωm/4 Ω2 Ωm/2
)(wH
Figura 4: Diseno de un filtro pasa–banda como combinacion de un pasa–baja y un pasa–alta de Butterworth.
Ejercicio 12.
Solucion:
a) H(z) = 0′5528(z2 − 1)
z2 − 0′1056
b)
w = 0 H(0) = 0, φ = π/2
w = 0′30π H(w = 0′30π) = 0′8621 · ej0′5314
w = 0′50π H(w = 0′50π) = 1 · ej0
w = 0′70π H(w = 0′70π) = 0′8621 · e−j0′5314
w = π H(w = π) = 0, φ = −π/2
c) Graficas
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|H(ω
)|
ω/π
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Φ(ω
)(ra
d)
ω/π
(b)
Figura 5: Respuesta en frecuencia aproximada del sistema del ejercicio 12 en (a) magnitud y (b) fase.
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