Filtros Wiener

Escuela Superior Politécnica de Chimborazo Ing. Electrónica Telecomunicaciones y Redes

FILTRO WIENER

L. Caiza, S. Asadovay, M. Tixi, L. MartínezESPOCH, Riobamba- Ecuador

1. Introducción

Los filtros de Wiener son los mejores filtros lineales de mínimos cuadrados, que pueden ser usados para predicción, estimación, interpolación, filtrado de señal y ruido, etc. Para diseñarlos se necesita tener un conocimiento previo apropiado de las propiedades estadísticas de la señal de entrada.

El problema reside en que este conocimiento generalmente no se puede obtener. En su lugar se usan filtros adaptativos, que hacen uso de los datos de entrada para aprender los datos estadísticos requeridos. En cualquier caso, la teoría de Wiener es importante para el presente estudio porque los filtros adaptativos que serán empleados convergen asintóticamente (en media) en las soluciones de Wiener.

2. Filtro adaptativo

Es un sistema digital compuesto por: filtro lineal programable de entrada x(n) y salida ŷ(n).

Los coeficientes se reprograman de una muestra a la siguiente a través de un algoritmo de adaptación.

Los coeficientes cambian su valor dinámicamente en el tiempo.

El sistema puede ser inestable por lo que se utiliza con mucha frecuencia los sistemas FIR

Son incondicionalmente estables.

3. Filtro de Wiener

En su forma más general, consiste en una señal de entrada, f(k), una respuesta deseada, d(k), y un filtro lineal de respuesta impulsional h*(k). Este filtro es

alimentado por f(k) y produce a su salida g(k). La diferencia entre la señal de salida del filtro, g(k), y la señal deseada, d(k), es el error de la estimación, e(k).

Fig.1 Filtro Digital Wiener

El objetivo del filtrado de Wiener es determinar la respuesta impulsional h(k) de forma que el error e(k) sea, en un sentido estadístico, "lo más pequeño posible". El criterio elegido es la minimización del valor cuadrático medio del error

x = E{|e(n)|2}

El filtro digital tiene una señal de entrada y produce una señal de salida. El filtro será un filtro de Wiener si su respuesta impulsiva se elige para minimizar el error cuadrático medio. El error se define como la diferencia entre la salida del filtro y la respuesta deseada:

Cuando se trabaja con filtros de Wiener, generalmente la respuesta deseada existe sólo de forma conceptual. Las propiedades estadísticas de la respuesta deseada y sus relaciones estadísticas con la señal de entrada al filtro se asume que son conocidas por el diseñador.

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La situación es bastante diferente cuando se trata con filtros adaptativos. En éstos, la respuesta deseada existe como una señal que puede ser obtenida como entrada en tiempo real al algoritmo adaptativo, para conseguir aprender y adaptarse. Los filtros de Wiener no aprenden.

Su diseño es fijo, basado en un primer conocimiento estadístico.

La respuesta impulsiva del filtro de Wiener se obtiene encontrando una expresión para el error cuadrático medio y minimizándola con respecto a la respuesta impulsiva. Elevando al cuadrado en ambas partes, se obtiene:

Sabiendo que:

Se puede sustituir:

Si tomamos valor medio en ambos lados, encontramos una expresión para el error cuadrático medio (MSE, mean square error):

Siendo mm la auto correlación y mnΦ Φ la correlación cruzada de dos señales m y n. si derivamos con respecto a h, que es la respuesta impulsiva del filtro, e igualamos a cero para minimizar el error:

Esta es la ecuación de Wiener-Hopf , que en forma de convolución queda:

Tomando transformada Z en ambas partes:

Con la solución de Wiener se puede encontrar la función de transferencia del filtro H*(z) a partir de la transformada z de la función de autocorrelación de la señal de entrada, de la correlación cruzada de la señal de entrada, y de la respuesta deseada. Si se sustituye esta ecuación en la expresión del error se obtiene el valor del mínimo MSE:

3.1. Tipos

Existen diversas estructuras para el filtro de wiener. Comenzaremos con el caso en que el filtro puede ser no causal y de duración infinita, el filtro IIR no causal.

Posteriormente añadiremos la restricción de causalidad para obtener un filtro IIR causal. Por ultimo, la restricción de longitud finita nos conducirá al filtro FIR.

3.1.1. Filtro de Wiener IIR

Nuestro propósito es diseñar un filtro h(n) que produzca una salida:

y(n) = x(n) * h(n)

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Tan cercana como sea posible, en sentido cuadrático-medio, a la respuesta deseada, d(n).

El enunciado del problema es idéntico para filtros FIR y para IIR, pero existe una gran diferencia que cambia la solución.

Para el filtro FIR, existe un número finito de posibles coeficientes del filtro, mientras que con el filtro IIR, el número de incógnitas, es decir, de valores de h(n) para todo n, es infinito.

Vamos a considerar dos situaciones:

• Primero el caso en que no aplicamos restricciones a la solución. Obtendremos que el filtro óptimo es, en general, no causal, y por tanto, irrealizable: Filtro Wiener IIR no causal.

• Posteriormente, aplicaremos la condición de causalidad, y para ello forzaremos h(n) a cero para valores de índice n negativos: Filtro Wiener IIR causal.

3.1.2. Filtro de Wiener IIR no causal

Para un filtro de Wiener IIR no causal (sin restricciones), debemos determinar la respuesta impulsional, h(n),

que minimice el error cuadrático medio

donde e(n) es la diferencia entre la respuesta deseada d(n) y la salida del filtro de Wiener,

Para encontrar la respuesta derivamos x respecto a h*(k) para todo k e igualamos las derivadas a cero. Así, obtenemos

Esta ecuación se conoce como principio de ortogonalidad, y establece que x es mínimo y los coeficientes del filtro asumen sus valores óptimos cuando e(n) está incorrelado con cada muestra de entrada x(n) que es utilizada para el cálculo de la estimación. Como consecuencia, el error también es ortogonal a la salida del filtro. Este principio establece una condición suficiente y necesaria para la optimización.

Ordenando términos llegamos a:

Observamos que el valor medio esperado en la izquierda es la autocorrelación de x(n), y que el término de la derecha es la correlación cruzada entre x(n) y d(n). Por tanto, podemos escribir la ecuación anterior como

Y así obtenemos las ecuaciones de Wiener-Hopf para el filtro de Wiener IIR no causal.

3.1.3. Filtro de Wiener IIR causal

En esta sección vamos a aplicar la restricción de causalidad al filtro de Wiener. La respuesta impulsional, por tanto, será cero para valores de n menores de cero, y la estimación de d(n) tomará la forma

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Debemos encontrar los coeficientes que minimizan el error cuadrático medio, y para ello, derivamos x respecto a h*(k) con k = 0 e igualamos las derivadas a cero. Así obtenemos las ecuaciones de Wiener-Hopf para el filtro de Wiener IIR causal:

3.2. Aplicaciones

La primera aplicación tiene que ver con el problema de recuperación de una portadora en ruido aditivo y gaussiano de potencia 2σ

Otra aplicación de interés del filtrado de Wiener esta en los denominados canceladores de ruido. En esta ocasión, se supone que la señal deseada s(t) (habitualmente voz o audio) se ve afectada por un ruido aditivo h(t)*w(t), donde h(t) es el canal de propagación del ruido hasta el micrófono. Si dicho ruido puede captarse (muy importante) libre de señal deseada, vía otro micrófono (o un galga extensiométrica si

Se trata de una superficie vibrante, caso de ruido de baja frecuencia), entonces puede usarse de referencia para cancelar este a la salida Lo que se espera del filtro de Wiener es que sea capaz de lograr una copia adecuada del canal h(t).

Nótese que en este caso, bajo un diseño óptimo del filtro, el error será precisamente la señal deseada libre de ruido. Esto ocurrirá cuando el filtro copie perfectamente el canal de propagación del ruido. Es crucial que el canal, denominado de datos en la figura, no contenga señal deseada s(n), de otro modo se

Produciría la cancelación de ésta. Por esta razón es recomendable

el usar sensores de vibración en paneles vibrantes o micrófonos direccionales con un nulo en la dirección donde se recoge la señal deseada. Para comprobar el correcto funcionamiento del filtro se calculara la coherencia espectral de los datos con la referencia.

El filtro de Wiener como cancelador de ecos. Por falta de aislamiento en el transformador híbrido cercano al origen de la conversación 2, la conversación de 1 vuelve después de atravesar el híbrido (modelado como un canal lineal). El cancelador debe generar una réplica de dicho canal para eliminar el eco.

4. Programa en Matlab

La siguiente función implementada en Matlab se encarga de calcular los coeficientes de un filtro FIR según el método de Wiener.

Una utilidad puede ser la cancelación de ruido donde, teniendo acceso a la fuente de ruido, podemos conseguir el filtrado

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de la señal contaminada, siendo imprescindible que el ruido de la señal contaminada esté lo suficientemente correlado con el ruido de la fuente a la que tenemos acceso. Usando, tal y como se explica en la ayuda de la función, el siguiente código, podremos obtener un filtro de orden 'p' con el que realizar una estimación del ruido aditivo de la señal información, restando finalmente este a la señal contaminada.

Definimos la señal de entrada:

P=15; Orden del filtroN=200; Número de muestrask=1: N; Vectorw0=0.45; Frecuencia del filtrod=sin(w0*k)'; Señal deseadaeps=1;Varianza del ruido Blancon=eps*randn(N,1);x=d+n; Señal más ruidoplot(x,'r'); pause;

Aplicar el filtrado de Wiener:

r=xcorr(x); Correlamos la señal de entradaR=toeplitz(r(N:N+P-1)); Calculamos la matriz Rptemp=xcorr(x,d);p=ptemp(N:N+P-1); Calculamos el vector Pw=R\p

w =

0.12080.10700.09050.0416-0.0104-0.0574-0.0774-0.0922-0.0831-0.0703-0.02690.01720.06130.07230.0783

Estos son los coeficientes que mejor filtran el ruido de la señal. Obviamente, la respuesta que te dará es diferente, ya que no estamos utilizando la matriz de autocorrelación real, sino una estimación en base a las muestras de que disponemos, que cambian cada vez que creamos la señal x al tener una componente aleatoria.

Vamos a ver cómo queda la señal después de filtrarla con nuestro filtro recién calculado, y lo compararemos con la señal deseada.

xrec=filter(w,1,x);plot(xrec);hold on;plot(d,'g');hold off;

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No está mal, comparándolo con la señal original.

A continuación se muestra un ejemplo de la utilización del filtro Wiener en procesamiento de imágenes.

5. Conclusiones

En tecnología digital el diseño mediante filtros FIR, el filtrado MSE se implementa en prácticamente todas las aplicaciones de procesado de señal. Desde receptores de comunicaciones, codificadores de fuente, prospección acústica, etc. todos los sistemas incluyen de un modo u otro un filtro de Wiener.

El filtro Wiener determina la respuesta impulsional de forma que el error sea lo más pequeño posible.

El filtro se basa en el principio de ortogonalidad de datos que consiste en derivar e igualar a cero la función.

En tecnología digital el diseño mediante filtros FIR, se implementa en las aplicaciones de procesado de señales, desde

receptores de comunicaciones, codificadores de fuente, etc. Todos los sistemas incluyen de un modo u otro un filtro de Wiener.

El filtrado lineal óptimo (filtro de Wiener) aparece en multitud de problemas de comunicaciones.

El filtro de Wiener extrae de la entrada la parte correlada con la señal deseada (si p=0, w=0).

La señal de error resultante está incorrelada con la entrada (y con la salida del filtro): Principio de ortogonalidad.

6. Recomendaciones

Para el estudio del filtro Wiener es necesario tener previos conocimientos de Estadística y Transformada Z.

Al programar en Matlab, tomar en cuenta que la matriz de correlación debe tener su inversa.

7. Referencias

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/cursosanteriores/02-03/segundociclo/redesdeneuronas/Temas/7FiltrosAdaptativos.pdf

http://physionet.cps.unizar.es/~eduardo/docencia/tds/librohtml/adapt1.htm



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