FASE 3 TRABAJO COLABORATIVO

ECUACIONES DIFERENCIALES

Presentado Por

Yoldy Gisell Lpez CC.Jorge Luis Quintero Parra CC. 1109381699Didimo Cala Mejia CC. 1117496522Cristian Andrs Gmez Rodrguez CC. 1116920540Willington Prez CC.

Presentado a:

JUAN CARLOS AMAYATutor

Grupo:

No. 100412_224

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNADEscuela de Ciencias Bsicas Tecnologas e Ingenieras ECBTI

CEAD Florencia

INTRODUCCION

En unaecuacin diferencialintervienenderivadasde una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de laingenierapara el modelado de fenmenos fsicos. Su uso es comn tanto enciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (fsica, qumica,biologa) omatemticas, como eneconoma.Cada una de estas actividades enriquece nuestro conocimiento matemtico y ensanchan nuestra capacidad analtica a la hora de enfrentarnos en nuestras vidas cotidianas con situaciones que requieren de gran nivel de anlisis para su ptima resolucin.

Jorge1. Resolver el problema de valor inicial a travs del mtodo de series de Taylor.

1. Revisar la convergencia de las siguientes series.

4. Resolver por series la ecuacin diferencial.

Didimo cala3. Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencial alrededor del punto x=0

Reemplazando en la ecuacin

Si

,

Ahora, si k=1, tenemos

Si Si Si Si Si Si Si Si Entonces, la solucin general es

Simplificando

Luego,

Ahora, alrededor de x=0,

5. Solucin en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario

Las dos son analticas en R. por lo tanto podemos hallar una solucin para el punto ordinario X = 0

Remplazamos en la ecuacin

io ordinario X = =llar una solucion

Para k=2, K=3, k=4, k=5, k=6

Cristian1 ejercicio:

Luego:

Hallemos hasta la quinta derivada

Como

Supongamos que la ecuacin dada tiene una sola solucin en serie de potencias

Sustituyendo las expresiones 2 y 4 en la ecuacin dada tenemos:

Es decir : Igualando las potencias iguales

Luego la solucin en series de potencias viene dada por

2 ejercicio

Luego por el criterio del cociente

Luego :

Por el criterio del cociente:

Luego:

Como L =1 , entonces no se puede determinar la convergencia de la serie

Por el criterio del cociente

Luego:

5 ejercicio

Luego:

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

Yoldy1. Revisar la convergencia de las siguientes series.

1.

1.

Problema planteadoSe lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variacin del campo gravitacional con la altura, encontrar la menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape. (Ver figura 1.)

Solucin:Aplicando la segunda ley de Newton se tiene:

Se define el peso de un cuerpo como entonces el peso del cuerpo de masa m en la superficie de la tierra es: Entonces por lo tanto el peso del cuerpo a una distancia x de la superficie de la tierra es: Por lo tanto la ecuacin diferencial de Newton es: donde el signo menos indica que la direccin de la fuerza es hacia el centro de la tierra.

Utilizando la regla de la cadena se tiene: Ahora reemplazamos en la ecuacin de newton y cancelamos la masa m:

Ahora resolvemos esta ecuacin diferencial con el mtodo de variables separables:

Integrando a ambos lados de la ecuacin y aplicando las condiciones iniciales, en t = 0, x = 0 y v = v0, se llega a que:

Reemplazando el valor de la constante C y despejando la velocidad v se tiene:

De aqu concluimos que la velocidad de escape .

CONCLUSIONES

Con el desarrollo de la actividad colaborativa No 3., podemos concluir que la enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemticas y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigacin de muchos problemas de ciencia y tecnologa puede reducirse a la solucin de tales ecuaciones. Se pudo adquirir conocimientos tericos sobre el estudio de series y funciones especiales para poder desarrollar los ejercicios planteados.

BIBLIOGRAFA

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Desarrollo_serie_taylor/Desarrollo_en_serie_de_taylor.htm http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/ap/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/apmat4g/06b.html http://datateca.unad.edu.co/contenidos/203040/Manual_de_Normas_APA.pdf