final12 OLIMPIADAS
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26 a OLIMPIADA MEXICANA DE MATEM ´ ATICAS FINAL ESTATAL 2012, Primer d´ ıa Tiempo l´ ımite: 4:30 horas. Escribe todos los razonamientos. No puedes usar calculadora. Las soluciones de problemas distintos deben quedar en hojas distintas. Puedes preguntar por escrito las dudas que tengas sobre los enunciados de los problemas. 1. Dos jugadores A y B juegan alternadamente en una cuadr´ ıcula de n × n. Una tirada consiste en escoger un entero 2 ≤ m ≤ n y una subcuadr´ ıcula de m × m contenida en la cuadr´ ıcula inicial, y pintar todos los cuadritos de 1 × 1 que est´ an en una de las dos diagonales de dicha subcuadr´ ıcula. Adem´as se tiene la restricci´ on de que no se puede escoger una subcuadr´ ıcula que contenga cuadritos pintados previamente (ver el ejemplo que se ilustra abajo en la figura). Pierde el jugador que ya no puede borrar cuadritos. Si B es el segundo en tirar, ¿qui´ en de A o B puede asegurar que ganar´ a si juega apropiadamente y ¿c´omo debe hacer para asegurar su triunfo? jugada de A, m =2 jugada de B, m =5 jugada de A, m =3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Se tienen 11 tarjetas numeradas del 1 al 11. Determinar todas las formas de distribuir las tarjetas en 3 montones de tal manera que la suma de las tarjetas de cada mont´ on sea 22 y que en ninguno de los montones haya dos tarjetas una de las cuales tenga un n´ umero primo y la otra est´ e numerada con un n´ umero m´ ultiplo de ese primo (por ejemplo, la tarjeta que lleva el 10 no puede estar en el mismo mont´on que la que lleva el 5). 4. Encontrar todas las soluciones de la ecuaci´ on a 3 (b 2 - p)= a 3 + b 2 - 1 con a y b enteros positivos y p n´ umero primo.
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26a OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMATICASFINAL ESTATAL 2012, Primer dıa
Tiempo lımite: 4:30 horas.
Escribe todos los razonamientos.
No puedes usar calculadora.
Las soluciones de problemas distintos deben quedar en hojas distintas.
Puedes preguntar por escrito las dudas que tengas sobre los enunciados de los problemas.
1. Dos jugadores A y B juegan alternadamente en una cuadrıcula de n × n. Una tiradaconsiste en escoger un entero 2 ≤ m ≤ n y una subcuadrıcula de m × m contenida enla cuadrıcula inicial, y pintar todos los cuadritos de 1 × 1 que estan en una de las dosdiagonales de dicha subcuadrıcula. Ademas se tiene la restriccion de que no se puede escogeruna subcuadrıcula que contenga cuadritos pintados previamente (ver el ejemplo que se ilustraabajo en la figura). Pierde el jugador que ya no puede borrar cuadritos. Si B es el segundoen tirar, ¿quien de A o B puede asegurar que ganara si juega apropiadamente y ¿como debehacer para asegurar su triunfo?
jugada de A, m = 2 jugada de B, m = 5 jugada de A, m = 3
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2. ¿Existe un triangulo ABC y un punto P en su interior que cumplan que toda recta quepasa por P divide a ABC en dos figuras de igual area?
3. Se tienen 11 tarjetas numeradas del 1 al 11. Determinar todas las formas de distribuir lastarjetas en 3 montones de tal manera que la suma de las tarjetas de cada monton sea 22 yque en ninguno de los montones haya dos tarjetas una de las cuales tenga un numero primoy la otra este numerada con un numero multiplo de ese primo (por ejemplo, la tarjeta quelleva el 10 no puede estar en el mismo monton que la que lleva el 5).
4. Encontrar todas las soluciones de la ecuacion
a3(b2 − p) = a3 + b2 − 1
con a y b enteros positivos y p numero primo.
26a OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMATICASFINAL ESTATAL 2012, Segundo dıa
Tiempo lımite: 4:30 horas.
Escribe todos los razonamientos.
No puedes usar calculadora.
Las soluciones de problemas distintos deben quedar en hojas distintas.
Puedes preguntar por escrito las dudas que tengas sobre los enunciados de los problemas.
5. Mostrar que el siguiente tablero de 5× 5 no se puede completar con los numeros del 1 al25 (usando exactamente una vez cada uno) de modo que en cada columna y en cada renglonla suma sea la misma.
7 17 3
5 9 13
15 1 11
6. Encontrar todas las parejas de enteros positivos a ≤ b que satisfagan la siguiente ecuacion:
a!b! = a2b2.
7. Sea ABC un triangulo equilatero y sea D cualquier punto en la prolongacion del lado BC(con C entre B y D). Sea P la interseccion de la bisectriz del angulo ∠BAD con BC. SeaX la interseccion del circuncırculo del triangulo APC con AD. Probar que AX = AC.
8. Sea P un polıgono regular de 20 lados. Determinar cuantos triangulos T con vertices enlos vertices de P cumplen que ningun lado de T es tambien lado de P .
