7/23/2019 Finito s

1/7

INTRODUCCIONPara resolver los problemas de clculo estructural se necesita una serie deherramientas como son los Principios, los Teoremas, los Mtodos los Procedimientos!"a teor#a de estructuras, al i$ual %ue la Resistencia de Materiales la &lasticidad seasienta sobre una serie de Principios!

Utili'ando los Principios se establece un con(unto de Teoremas %ue dan suporte a uncon(unto de Mtodos! ) su ve' el desarrollo operativo de los Mtodos se concreta enuna serie de Procedimientos! Pasamos por lo tanto a establecer una secuencia demaor $eneralidad a maor concreci*n, %ue ser#a+Principio - Teorema - Mtodo - Procedimiento!.amos a re/erir se$uidamente los Principios sobre los %ue se apoa la materia %ue nosocupa+ la teor#a de estructuras!!0! PRINCIPIO D& 1)INT.&N)NTCorresponde a 1aint.enant 2345436678 el enunciado del principio %ue lleva sunombre acerca de la actuaci*n de un sistema de /uer'as sobre una secci*n!9 ) cierta distancia de la secci*n donde act:a un sistema de /uer'as, la distribuci*n detensiones es prcticamente independiente de la distribuci*n del sistema de /uer'as,siempre %ue su resultante momento resultante sean i$uales 9&ste principio permite el %ue podamos calcular las tensiones en /ibras estudiar lassecciones en barras, en base a los dia$ramas de solicitaciones 2a;iales, cortantes,/lectores torsores8!&l procedimiento para obtener tales dia$ramas se basa en el concepto de reducci*n deun sistema de vectores en punto desarrolado en la teor#a de vectores %ue puedeverse en cual%uier te;to de Mecnica $eneral!

7/23/2019 Finito s

2/7

&l principio de los traba(os virtuales 2P!T!.!8 se encuentra en la base del teorema deCasti$liano, %ue es mu importante para la determinaci*n de de/ormaci*n resoluci*nde estructuras hiperestticas, especialmente en el con(unto de las estructuras planasde nudos articulados mi;tas!

! PRINCIPIO D& @&RNOUI""I

&s importante este principio para establecer la distribuci*n de tensiones en /ibras!Corresponde /undamentalmente a 1antia$o @ernouilli 237B34E8 se re/iere a %uelas secciones transversales de una barra %ue se de/orma por /le;i*n permanecenplanas normales a las /ibras de/ormadas !

Femos de citar como cient#/icos %ue traba(aron sobre en la enunciaci*n, demostraci*n comprobaci*n de este principio, adems del anteriormente re/erido, a 1aint.enant,a Naiver a &uler!

3! PRINCIPIO D& 1UP&RPO1ICIGN&l principio de superposici*n /ue e;plicado por &uler 234E4346

7/23/2019 Finito s

3/7

0! T&OR&M) D& M)H&""@&TTI9 &n un sistema elstico, el traba(o reali'ado por un sistema de /uer'as 2)8, al aplicarotro sistema de /uer'as 2@8, es i$ual al reali'ado por el sistema 2@8 al aplicar el sistemade /uer'as 2)89Tambin es denominado Teorema de la Reciprocidad puede enunciarse as#+

9 &l traba(o e/ectuado por las /uer'as correspondientes a un estado de car$a 2)8durante los despla'amientos ori$inados por un se$undo estado de car$a 2@8, es i$ual sila car$a /uera 2@8 los despla'amientos los correspondientes al sistema 2)8!9

x=1

E[xv (y+x )]

y=1

E[yv (x+z)]

z= 1

E[zv (x+y)]

Yxy=1

Cxy

Yyz=1

Cyz

Yzx= 1

Czx

7/23/2019 Finito s

4/7

De donde & es el m*dulo elstico, v es el m*dulo de Poisson es el m*dulo decortante se relacionan por+

G=

2(1+v )

&sta ecuaci*n matricialmente se puede escribir como+E=C

De donde C se de/ine como+

C=I/E

[

1 v v

v 1 v

v v 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

E/G

0 0

0 E /G 0

0 0 E/G

]Una relaci*n inversa se puede de/inir como+=D

D=C1=C1

[ 1 C2 C2

C2 1 C2C2 C2 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

G/C1

0 0

0 G/C1

0

0 0 G /C1]

De donde+ C1=E 1v

(1+v )(12 v )

C2=

v

(1v)

7/23/2019 Finito s

5/7

&LUI"I@RIO &N &" CONTORNO)dems de las ultimas ecuaciones debe de cumplirse las condiciones de contorno,sobre la super/icie del s*lido, %ue relacionan el vector normal a la misma n= (nx , ny , nz)2 diri$ido hacia el e;terior8 con las /uer'as por unidad de super/icie %ue act:an en elmismo punto de la super/icie f= (fx, fy, fz) +

xxnx+xyny+xznz=fx

yx nx+yy ny+yz nz=fy

zx nx+zy ny+zz nz=fz

PRO@"&M) &"1TICOUn problema elstico lineal %ueda de/inido por la $eometr#a del s*lido, laspropiedades de dicho material, unas /uer'as cortantes unas condiciones de contorno%ue imponen restricciones al movimiento del cuerpo! ) partir de esos elementos esposible encontrar un campo de tensiones internas sobre el s*lido 2%ue permitiridenti/icar los puntos %ue soportan ms tensi*n 8 un campo de despla'amiento 2 %uepermitir encontrar si la ri$ide' del elemento resistente es la adecuada para su uso8!

Para plantear el problema elstico son necesarias las nociones %ue han sido descritasen las secciones anteriores, %ue describen las tensiones, las de/ormaciones losdespla'amientos de un cuerpo! Todas estas ma$nitudes vienen descritas por 3/unciones matemticas + "as seis componentes del tensor de tensiones + ;, , ' ;, ', '; "as tres componentes del vector de despla'amiento+ u;, u, u' "as seis componentes del tensor de de/ormaciones + ;, , ' ;, ', ';

Para comprobar si se cumplen estas relaciones, /ormadas por 3 /unciones, elsi$uiente paso es comprobar si las relaciones descritas hasta ahora bastan paradescribir completamente el estado de un cuerpo! Una condici*n necesaria para ello es%ue el n:mero de ecuaciones disponibles coincida con el n:mero de inc*$nitas! "as

ecuaciones disponibles son+ "as tres ecuaciones de e%uilibrio de Cauch! "as seis ecuaciones de compatibilidad de 1aint.enant, %ue ase$uran %ue si loselementos despla'ados de/ormaciones estn adecuadamente relacionados! "as seis ecuaciones constitutivas, para un material elstico lineal is*tropo homo$neo estas ecuaciones vienen dadas por las ecuaciones de "amFooJe!

&stas 3 ecuaciones i$ualan e;actamente el n:mero de inc*$nitas! Un mtodo com:nde sustituir las relaciones entre despla'amientos de/ormaciones en las ecuaciones

7/23/2019 Finito s

6/7

constitutivas, lo cual hace %ue se cumplan las ecuaciones de compatibilidadtrivialmente! ) su ve' el resultado de esta sustituci*n se puede introducir en lasecuaciones de e%uilibrio de Cauch lo cual convierte al anterior sistema en un sistemade tres ecuaciones en derivadas parciales tres despla'amientos como inc*$nita!

De esta manera se lle$a a un sistema de 3 ecuaciones con 3 inc*$nitas! "a/ormulaci*n ms simple para resolver el problema elstico es la llamada /ormulaci*nde Navier, esta /ormulaci*n reduce el sistema a un sistema de tres ecuacionesdi/erenciales para los despla'amientos! &sto se lo$ra insertando en las ecuaciones dee%uilibrio las ecuaciones propias del material, las ecuaciones de los despla'amientos las ecuaciones de las de/ormaciones podemos e;presar nuestro sistema de ecuacionesen un sistema de tres ecuaciones di/erenciales parciales! 1i lo reducimos hacia lascomponentes del vector de despla'amiento lle$amos a las ecuaciones de Navier+

G [ 2ux x2 + 2ux y2 + 2 ux z2 +1

12v

x ( ux x + uy

y+

uz

z)]+bx=0

G [ 2 uy x2+ 2 uy y2+ 2uy z2 +1

12 v

y ( ux x + uy

y+

uz

z)]+by=0

G

2

uz x

2+

2

uz y

2+

2

uz z

2+

1

12v

z (ux x

+ uy y

+ uz z)

+bz=0

Lue con el operador Nabla el operador de "aplace se de(an escribir como+

G [u+ 112v(u )]+b=0Mediante consideraciones ener$ticas se puede demostrar %ue estas ecuacionespresentan una :nica soluci*n!

&")1TICID)D DI1&O M&CNICO&n in$enier#a mecnica es /recuente es /recuente plantear problemas elsticos paradecidir la adecuaci*n de un diseAo! &n ciertas situaciones de inters prctico no esnecesario resolver el problema elstico completo, sino % basta con plantear un modelosimpli/icado aplicar los mtodos de resistencia de materiales para calcularapro;imadamente tensiones despla'amientos! Cuando la $eometr#a involucrada enel diseAo mecnico es comple(a la resistencia de materiales suele ser insu/iciente laresoluci*n e;acta del problema elstico es inabordable desde el punto de vista

7/23/2019 Finito s

7/7

prctico! &n esos casos se usa habitualmente mtodos numricos como el Mtodo delos &lementos >initos el Mtodo de &lementos de >rontera para resolver el problemaelstico de manera apro;imada!

Un buen diseAo normalmente incorpora re%uisitos de+Resistencia adecuada

Ri$ide' adecuada&stabilidad $lobal elstica!