Los tres tipos básicos de gráficas

Simón Mochón

Las gráficas son representaciones pictóricas de datos, generalmente numéricos. Una gráfica engloba toda la información contenida en los datos y los presenta de tal manera que varias conclusiones importantes resultan evidentes.

Para dar un ejemplo sencillo, observa el par de gráficas siguientes y trata de extraer dos o tres conclusiones (las gráficas muestran las cantidades de escuelas y estudiantes inscritos en México en los años anotados en sus ejes horizontales).

Por ejemplo, entre 1870 y 1874 el número de escuelas se duplicó pero no así en número de estudiantes inscritos. ¿Quién era presidente en ese periodo? ¿Por qué crees que el número de estudiantes no se incremento a la par, quedando muchas escuelas medio vacías? ¿Crees que había suficientes maestros? (Como dato interesante, en ese periodo, sólo uno de cada veinte niños iban a la escuela y sólo el 20% de ellos eran mujeres.)

Aquí estudiaremos los tres tipos de gráficas más frecuentemente utilizadas en la vida diaria:

De barras

Circulares

Lineales

Para esto, primero el maestro necesita: a) percatarse de las dos variantes de tablas de datos que se pueden hallar, b) entender cómo obtener y organizar datos y c) comprender los elementos esenciales de la recta numérica para el eje de valores de las gráficas. Esto lo cubriremos en las siguientes tres secciones, antes de entrar de lleno a los tres tipos de gráficas arriba mencionados.

Dos paradigmas de tablas

Una de las labores más importantes del maestro de matemáticas en todos los niveles es el enseñar a los alumnos a leer e interpretar tablas y sus gráficas respectivas. Así, una de mis recomendaciones más fuertes es que se dedique suficiente tiempo en clase para construir, leer e interpretar tablas y gráficas de varios tipos. Sus alumnos se lo van agradecer en el futuro cada vez que lean periódicos y revistas y puedan entender las tablas y gráficas en ellos.

Hay tablas de muchas formas, pero conceptualmente, existen dos variedades que los niños deben poder diferenciar con el tiempo. La siguiente da un ejemplo de la primera clase: tablas de variación, que es la más común e intuitiva.

Día de la semana D L M M J V S

Número de personas que entraron a un museo 543 0 146 172 104 279 428

Esta tabla se generó simplemente observando y anotando en cada día de una semana el número de personas que entraron a un museo. En este tipo hay una asociación con un significado directo entre cada dos elementos de las dos cantidades relacionadas (el día y el número de personas). Por ejemplo, el domingo entraron 543 personas al museo y el jueves entraron 104.

La otra modalidad de tablas aparece cuando se hacen encuestas y se analizan sus resultados. La siguiente da un ejemplo de estas tablas de frecuencias.

Día de la semana D L M M J V SNúmero de personas que dan

este día como respuesta 49 0 0 7 2 4 38

El procedimiento que da origen a esta tabla es muy diferente (al anterior de variación). A 100 personas se les preguntó qué día de la semana es su preferido. Así, está generada por una serie de 100 datos como: “Domingo”, “Domingo”, “Sábado”, “Domingo”, “Sábado”, “Miércoles”, “Domingo”, “Domingo”… … … … …. … Estos 100 datos se fueron anotando y agrupando en una tabla como la de abajo (utilizando una barrita / para cada dato y agrupándolas de 5 y 5 para su más fácil lectura). Al finalizar, sus totales se anotaron en la tabla de arriba.

Domingo //// //// //// //// //// //// //// //// //// ////

Lunes

Martes

Miércoles //// //

Jueves //

Viernes ////

Sábado //// //// //// //// //// //// //// ///

Así, la tabla da el número de veces que cada dato ocurrió. Pero, ¿qué significa ahora el primer resultado de la tabla que 49 personas dan como respuesta el domingo? Un poco de reflexión nos hará ver que este número no tiene un significado absoluto sino relativo al número total de personas que respondieron la pregunta (100). Si hubiéramos encuestado en vez a 1,000 personas, éste mismo dato hubiera cambiado, por ejemplo a 493 personas (de hecho, la tabla de marcas va cambiando cada vez que se anota una barrita). Así, a diferencia de la primera tabla, no hay un significado directo entre cada dos elementos de las dos cantidades relacionadas (el día y el número de personas), sino sólo un significado relativo entre los datos y el número total de datos tomados.

Esta segunda clase de tablas y sus gráficas respectivas aparecen cuando analizamos datos de manera estadística. La siguiente sección describe con mayor profundidad estas situaciones.

Tomando y organizando datos estadísticos

Antes de que los niños construyan gráficas, deben saber porqué éstas pueden ser de utilidad y cuál es la fuente de su contenido. Para esto, conviene que los niños tomen datos por medio de encuestas sencillas y los organicen. Lo primero a aprender es que pueden encontrarse con dos tipos diferentes de datos: los “numéricos” y los “no numéricos” los cuáles generan las categorías correspondientes. Por ejemplo, las preguntas, ¿cuántos hermanos tienes?, o ¿cuántos días saliste en tu último viaje de vacaciones?, generarán datos numéricos, y las preguntas, ¿en qué mes naciste?, ¿qué color te gusta más? o ¿tienes mascotas en tu casa (si o no)?, darán datos no numéricos. De preferencia, las preguntas a encuestar deben ser llamativas para los niños y que, después de analizar los datos, se pueda llegar a una conclusión interesante (por ejemplo, saber la distribución del número de hermanos resulta interesante por sí misma, pero además porque el maestro podría realizar esta misma indagación con gente mayor, posiblemente con resultados muy diferentes que llevarían a una reflexión).

Construyamos una tabla de frecuencias preguntando a 50 niños: ¿cuántos hermanos tienes?, y anotemos las respuestas en la tabla siguiente (cuando acabemos de esto, podemos contar los totales y anotarlos en la última columna de la tabla). Es recomendable hacer ver al niño que organizando los datos en una tabla, puede dar mucha más claridad a cómo están distribuidos. Por ejemplo, hay más niños con 2 hermanos que cualquier otra respuesta, etc.

Número de hermanos

Respuestas a ese número Totales

0 //// /// 8

1 //// //// // 12

2 //// //// //// /// 18

3 //// //// 9

4 /// 3

5 0

Si seguimos tomando más datos, todos los valores de la tabla seguirán cambiando. Esto confirmará o rectificará las hipótesis inicialmente avanzadas.

Número de hermanos

Totales de respuestas a ese número

0 16

1 25

2 38

3 19

4 6

5 1

¿Qué conclusiones puedes obtener de la tabla anterior? La idea aquí no es dar una conclusión “correcta”, sino hacer que los niños piensen acerca de un conjunto de datos y formen hipótesis.

Para los niños (sobre todo pequeños), una tabla de categorías numéricas (primera columna) como la anterior puede resultar difícil de leer e interpretar por el significado diferente de las dos columnas numéricas. Es por esto que conviene primero realizar varias tomas con categorías no numéricas, para que el niño se vaya acostumbrando al significado de la segunda columna de valores. Por ejemplo:

Mes de nacimiento Cantidad total de respuestas a ese mes

Enero 18

Febrero 17

Marzo 16

Abril 24

Mayo 26

Junio 13

¿Qué conclusiones hipotéticas (suposiciones) puedes proponer acerca de esta tabla?

En casos sencillos se pueden empezar a construir gráficas de columnas, simultáneamente con sus tablas correspondientes. Cada dato se representa en la tabla por una marca como “/” y en la gráfica por un “ladrillito” rectangular , uno sobre el anterior, en la categoría respectiva.

La recta y el eje de valores numéricos

Como ya observamos en la sección anterior, una tabla de frecuencias (ya sea de categorías numéricas o no-numéricas) se genera contando el número de veces que el dato ocurre, así que sus valores son siempre enteros. Sin embargo, las tablas de variación pueden tener tanto valores enteros como no-enteros. Para representar gráficamente estas cantidades utilizamos como modelo a la recta numérica.

Como ya sabemos, para dibujar una recta numérica, típicamente trazamos una línea horizontal y colocamos marcas uniformemente espacias para posicionar los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… Esta propiedad de separar estos números enteros a igual distancia uno del siguiente es esencial ya que debemos respetar en ella la distancia de “una unidad” entre ellos.

ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Lo que NO debemos hacer es colocar números ordenados pero no distanciados apropiadamente, como se muestra en la recta siguiente:

ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ NO 0 1 2 5 8 12 20 30 40⟶

Esto sólo sería válido si los números fueran considerados como simples etiquetas, pero entonces no tendríamos una recta numérica propia.

Una consecuencia adicional que debemos de reconocer de esta propiedad de la recta es:

Se necesitan sólo dos valores en la recta numérica para determinar la posición de todos los demás números.

Para explicar esto, observa la recta numérica siguiente en la que se han colocado solamente los números 2 y 6.

ǀ ǀ 2 6

Con esto, sabemos que el 4 debe ser colocado exactamente a la mitad entre las dos marcas, que el 3 debe colocarse a la mitad entre el 2 y el 4, que el 5 debe estar exactamente a la mitad entre el 4 y el 6 y que entre cualquiera de estos números consecutivos tenemos definida “la unidad” de la recta (pensando de otra forma, la distancia entre los puntos 2 y 6 es 4 unidades y que por lo tanto “la unidad” debe ser una cuarta parte de ella).

Ejercicio: Coloca en la recta de arriba los números 4, 3, 5, 7, 8, 1 y 0.

Lo más importante a recordar de lo anterior es que cada recta numérica tiene su “unidad” definida, la cual se debe respetar a través de ella. Observa la recta de abajo y piensa dónde colocarías los números 5, 15, 25 y 35.

ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ 0 10 20 40

Ejercicio: Coloca en la recta de arriba los números 30, 5, 15, 22 y 36.

¿Por qué son importantes estas observaciones? Pensemos en el siguiente ejercicio.

Construye una gráfica de las temperaturas máximas (en grados centígrados) durante la semana registrada en la tabla de variación siguiente:

Día de la semana D L M M J V S

Temperatura máxima 25° 28.2° 31.6° 32° 29.2° 18° 11°

Para responderla, lo primero que habría que hacer es definir los ejes de valores de acuerdo con sus cantidades (Día: de Domingo a Sábado y Temperatura cuyo rango va de aproximadamente 10° hasta 35°). Podríamos utilizar cualquier posibilidad apropiada para el eje de los valores de la temperatura (hay muchas). A continuación mostramos dos de ellas.

ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ 0 10 20 30 40

ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ 10 15 20 25 30 35 40

La primera de ellas fue utilizada en la gráfica de barras siguiente:

Para contrastar, la segunda gráfica, a continuación, muestra la aplicación inapropiada de los datos al eje vertical. En ella los datos se utilizan sólo como etiquetas (categorías) sin respetar una unidad consistente sobre el eje (de esta manera no se puede apreciar en la gráfica las diferencias reales entre los valores).

El problema con esto es que este eje no da la proporción correcta y por lo cual pierde su valor para presentar información de manera fiel. Por ejemplo, si en un día la temperatura hubiera ascendido hasta 50°, se debería notar en la gráfica que este valor es muy grande con una posición vertical adecuadamente alta sobre el eje.

Tipos de gráficas

De barras . Presenta los valores de alguna cantidad clasificados en categorías. El valor de cada categoría se representa por medio de una barra de tamaño correspondiente (en matemáticas las barras se trazan usualmente de manera vertical, a las cuáles se les denomina también columnas, pero en general, las barras pueden ser horizontales).

Como ejemplo en la siguiente gráfica, las mascotas que se tienen en casa (la cantidad indagada) se agruparon por su clase y las columnas representan los valores obtenidos.

De esta gráfica se puede apreciar directamente cuáles mascotas son las más elegidas, sus cantidades y sus diferencias. Nótese que en este primer ejemplo el orden de las categorías en el eje horizontal de la gráfica puede ser cualquiera.

En la siguiente gráfica los accidentes en una carretera en la primera mitad del año se agrupan por el mes en el que ocurrieron y las columnas representan la cantidad de ellos. Nuevamente, la gráfica ayuda a visualizar los datos y sacar conclusiones. En este segundo ejemplo el orden de las categorías en el eje horizontal de la gráfica está definido por las mismas categorías que involucran el tiempo (aún cuando se podría alterar este orden si se desea).

Nótese que si se hubieran tomado los datos respectivos, estos mismos accidentes podrían haberse clasificados por hora del día en el que ocurrieron, resultando en una gráfica completamente diferente.

Como ya observamos, las categorías pueden tener o no su orden propio. Frecuentemente es provechoso seleccionar un orden lógico. Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra las ventas

mundiales (en millones) de los productores líderes de automóviles en 2014. Aún cuando el orden puede ser arbitrario, frecuentemente es más valioso ordenarlos de mayor a menor.

La siguiente tabla muestra el incremento del peso de una mujer durante sus nueve meses de embarazo (en este caso, el orden de las categorías está definido por el tiempo).

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Incremento peso (Kg) 0 1 2.5 5.5 8 11 13.5 14.5 15.5

La gráfica de barras (columnas) correspondiente se da a continuación:

Mes

Nota que el eje vertical es una recta numérica apropiada para los datos. En este caso, se eligió el eje vertical de 0 a 18 Kg con sus marcas espaciadas uniformemente de dos en dos. Las

alturas de las columnas se acoplan entonces a esta escala. Verifica esto comparando los valores de la tabla y de la gráfica.

Como otro ejemplo, en vez de platicarles del clima donde vivo, les muestro las siguientes dos gráficas. La primera da las temperaturas promedio, baja y alta, de cada mes en grados Fahrenheit (°F).

Ejercicio: Escribe brevemente toda la información que puedas extraer de esta gráfica (para ayudarte, haz una tabla de conversión de °F a °C, utilizando los siguientes valores para los °F: 41°, 50°, 59°, 68°, 77°, 86°, 95°).

La segunda gráfica da la cantidad de lluvia en pulgadas (“Precipitation”) y el número de días lluviosos (“Rainy days”) promedios por mes.

Ejercicio: Escribe brevemente toda la información que puedas extraer de esta gráfica y compárala con lo que sabes sobre la ciudad donde vives.

Circulares : Al igual que las gráficas de barras, presenta los valores (o porcentajes) de alguna cantidad clasificados en categorías. Los valores asociados se representan por medio de

sectores de un círculo (en forma proporcional), lo cual nos permiten compararlos entre sí y con el total.

En el caso del primer ejemplo de las mascotas que se tienen en casa, la gráfica circular equivalente sería la mostrada a continuación (los porcentajes pueden o no aparecer).

Es muy obvio de esta gráfica que la tercera parte de las casas tiene un perro, más de la quinta parte tiene un gato y que la cuarta parte tiene una mascota “atípica” (roedor, reptil u otro).

Para el caso del segundo ejemplo de los accidentes en una carretera, la gráfica circular correspondiente sería la siguiente.

Pero, ¿cómo calcular el tamaño de los sectores circulares?

Desde luego que Excel (u otra hoja electrónica) puede hacer todo el trabajo por ti (como lo hizo para mí con las gráficas anteriores). Sin embargo, hay muchos conceptos importantes involucrados en estos cálculos que los estudiantes deben aprender. A continuación recomendaré una manera de hacer esto.

Tomemos el ejemplo de la tercera gráfica que muestra las ventas mundiales de los productores líderes de automóviles en 2014 y transformémosla en una gráfica circular. Primero debemos obtener el total de ventas. Para esto, debemos sumar todos los valores que aparecen en esa gráfica:

10.23 + 10.14 + 9.92 + 8.47 + 7.71 + 6.32 + 4.75 + todos los demás = 73.75 millones

(Claro que utilicé una calculadora. Aquí se puede apreciar la conveniencia de una calculadora para realizar cálculos engorrosos para concentrarnos en el procedimiento global.)

Enseguida debemos obtener el porcentaje que cada valor representa. Esto es relativamente sencillo y no requiere de la regla de tres. Simplemente* se divide el valor entre el total como lo muestro a continuación para los primeros dos valores (nuevamente utilizo la calculadora y redondeo al tercer decimal). Esta división nos da el porcentaje en forma decimal (su forma medular). Si se desea, multiplicando después por 100 o recorriendo el punto dos cifras a la derecha llegaremos al porcentaje en su forma común.

10.23 ÷ 73.75 = 0.139 o equivalentemente 13.9%

10.14 ÷ 73.75 = 0.137 o equivalentemente 13.7%

Verifica los resultados de arriba y calcula de la misma manera el porcentaje asociado a las siguientes dos cantidades de la tabla: 9.92 y 8.47.

9.92 ÷ 73.75 = __________ o equivalentemente _________%

8.47 ÷ 73.75 = __________ o equivalentemente _________%

Obtener ahora el ángulo del sector correspondiente para la gráfica es también bastante directo (utilizando la forma decimal del porcentaje). Sólo + se multiplica el porcentaje en forma decimal por 360° como se muestra a continuación para los primeros dos porcentajes calculados arriba.

0.139 × 360° = 50.0°

0.137 × 360° = 49.3°

Verifica los resultados de arriba y calcula de la misma manera el ángulo asociado a las siguientes dos cantidades de la tabla: 9.92 y 8.47 para las cuáles ya calculaste su porcentaje correspondiente.

* “Simplemente” se refiere aquí al proceso operativo pero para su entendimiento debe haber un soporte conceptual, el cual daré brevemente en esta nota.Cuando dividimos dos cantidades, una interpretación posible es que el resultado nos da ’ cuántas veces’ cabe la primera cantidad en la segunda. Así,

6 ÷ 3 = ‘2’ nos indica que el 6 cabe ‘2’ veces en el 3,9 ÷ 6 = ‘1.5’ nos indica que el 9 cabe ‘una y media’ veces en el 6,4 ÷ 8 = ‘0.5’ nos indica que el 4 cabe ‘la mitad’ de veces en el 8…

Si extendemos esta idea aún más,7 ÷ 20 = ‘0.35’ nos indica que el 7 es una fracción de ‘0.35’ del 20, es decir, 7 es el 35% de 20,

7 ÷ 21 = ‘0.333…’ nos indica que el 7 es una fracción de ‘0.333…’ del 21, es decir, 7 es el 33.3…% de 21Ésta es precisamente la idea que usamos en el texto para calcular el porcentaje que una cantidad es del total.++ Nuevamente “Sólo” se refiere al proceso operativo. Para entender la idea utilizada aquí (que realmente es la misma que la anterior pero invertida), considera lo siguiente:

0.5 × 8 = ‘4’ nos indica que ‘la mitad’ de 8 es 40.35 × 20 = ‘7’ nos indica que ‘la fracción 0.35’ de 8 es 7

0.333… × 21 = ‘7’ nos indica que ‘la tercera parte’ de 21 es 7Así, al multiplicar 0.25 por un número nos dará su cuarta parte y en general, al multiplicar un número por una fracción (ya sea común o decimal) no dará esa parte fraccionaria del número. ¿Qué te daría la multiplicación de 0.1 por un número?

0.135 × 360° = _______°

0.115 × 360° = _______°

Ejercicio: Obtén por este método el porcentaje y ángulo correspondientes a las siguientes cuatro cantidades de esa gráfica. Con ellos llena la tabla siguiente:

Marca CantidadPorcentaje decimal

Porcentaje común

Ángulo correspondiente

Toyota 10.23 0.139 13.9% 50.0°

Volkswagen 10.14 0.137 13.7 49.3°

GM 9.92 0.135 13.5% 48.6°

Renault-Nissan 8.47 0.115 11.5% 41.4°

Hyundai-Kia 7.71

Ford 6.32

Fiat-Chrysler 4.75

Honda 4.36

Como podrás notar, la forma decimal de un porcentaje (0.25) es mucho más útil que su forma común (25%) para realizar cálculos directos y por lo cual es un concepto que los alumnos deben manejar con soltura#.

Continuando de esta manera para todas las cantidades y generando la gráfica circular correspondiente obtendremos la siguiente gráfica.

Como sugerencia, en general no se deben utilizar muchos sectores (más de 6 o 7) en una gráfica circular ya que pierde algo de su objetivo de mostrar la información claramente. En la gráfica anterior se podría por ejemplo agrupar las 5 últimas categorías en una llamada “otras”.

## Por ejemplo, calcular el 18% de $345, es simplemente multiplicar 0.18 × 345.

Lineales: Primero que nada tenemos que resaltar que se utilizan dos tipos muy diferentes de gráficas lineales: las basadas en categorías (ya sea numéricas o no numéricas) y las de variación continua que requieren de una recta numérica real en el eje horizontal (de éstas daremos un ejemplo hasta al final solo para contrastar).

Las primeras, basadas en categorías, son gráficas de líneas idénticas a las de barras excepto que en vez de las barras se utilizan segmentos de rectas para conectar los valores de las categorías. Un ejemplo de esto es el siguiente.

Otro ejemplo es la gráfica siguiente, que es una copia de la gráfica de barras dada anteriormente sobre el incremento de peso durante el embarazo, pero ahora, los valores están conectados por líneas (nótese que el eje horizontal sólo tiene las categorías de los meses como números ordinales y no es propiamente una recta numérica).

Mes

Eligiendo el tipo correcto de gráfica

La diferencia esencial entre las gráficas de barras y las circulares es que, por lo general, las primeras muestran valores absolutos y las segundas muestran valores relativos (porcentajes). Por otro lado, como ya dijimos, la lineales descritas hasta ahora son esencialmente las mismas que las de barras pero con una apariencia diferente. Hasta lo que hemos discutido, no hay diferencias muy fundamentales entre estos tres tipos de gráficas.

Ventas

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

¿Cuál tipo de gráfica debemos elegir? Esta es una pregunta difícil de contestar porque existen un sinnúmero de situaciones diferentes, pero la respuesta más acertada sería: “la que refleje con mayor claridad y veracidad lo que queremos mostrar”.

Para dar un ejemplo de una gráfica que puede resultar engañosa, la siguiente muestra los datos de una bolsa de valores durante un día. La gráfica es lineal con una variación en el tiempo. Observando y analizando esta gráfica, trata de estimar el porcentaje que esta bolsa de valores cayó durante ese día. ¿A qué llegaste? Posiblemente hayas percibido que la gráfica cayó un gran porcentaje y al final del día quedó sólo un porcentaje pequeño su valor inicial. Tratando de cuantificar, por las alturas de la gráfica al inicio y al final de día, podríamos decir que, a las 4PM, llegó a sólo un 15 o 20% de su valor inicial del día.

Esta gráfica da una impresión falaz porque su eje vertical no comienza de cero (sólo se muestra un intervalo pequeño del eje). La realidad es que la bolsa sólo cayó un 1% (175 puntos de los 17,550). Esta reducción (corte) del eje se hace comúnmente al diseñar gráficas compactas, pero para que no sean engañosas hay que aprender a leerlas. El punto principal aquí es que una buena gráfica debe ser clara y veraz.

Alguien que presente muchos datos pierde a su auditorio. Así, conviene transformar estos valores en una gráfica adecuada que los revele de manera pictórica para que las conclusiones que se quieren mostrar resulten evidentes.

Fin

Este pequeño recuento de gráficas realmente no termina aquí. Lo anterior se centró en la toma de datos llamados discretos y su análisis. Las otras caras de esta moneda se ilustran brevemente en las siguientes dos hojas, si estás interesado en leerlas.

Cantidades discretas y continuas

Para elegir ejemplos apropiados, el maestro debe tener claro las dos clases de datos numéricos que pueden aparecer. La cantidad de hermanos que tiene un niño, posee una propiedad muy diferente que por ejemplo, la estatura. En la primera se esperan números enteros (3 hermanos), pero en la segunda, números no enteros (1.27 m). Más aún, la estatura varía de manera continua y por lo cual este dato es solamente una aproximación.

Hablamos de “cantidades” como algo que se puede medir, por ejemplo, longitud, altura, área, tiempo, peso, días, meses, cantidad de casas, de coches, de personas, etc. Estas cantidades pueden variar por lo que en matemáticas se conocen como “variables” (aquí utilizaremos ambos nombres indistintamente).

Algunas cantidades pueden variar solamente en números enteros como la cantidad de coches (no tiene sentido hablar de “medio coche”), la cantidad de personas… A estas cantidades se les denomina “cantidades discretas”.

Ejercicio: Piensa en otras cinco cantidades discretas más.

Otras cantidades pueden variar continuamente (no en saltos de uno en uno como las discretas) a través de cifras fraccionarias o decimales como por ejemplo, la cantidad de leche en un vaso o el peso de fruta (“Tres kilos y un cuarto de naranjas.” o “Los aguacates varían en peso desde 225 gramos a 2 kilos.)… A este tipo se les denomina “cantidades continuas”.

Ejercicio: Piensa en otras cinco cantidades continuas más.

Podemos tomar datos tanto de cantidades discretas (niños que llegaron a clase cada día: 25, 23, 19, 25, 24…) como de cantidades continuas (la hora en la que tomamos un camión cada día por la mañana: 6:47, 7:12, 6:55, 6:42…) Sin embargo, a nivel de primaria conviene tomar datos de cantidades ya sea no-numéricas o numéricas pero solamente discretas. La toma de datos de cantidades continuas tiene obstáculos adicionales de medición, agrupamiento, etc. que las hace no recomendables.

Variaciones continuas

El objetivo de esta pequeña sección es el de mostrar un segundo tipo de gráficas “lineales” que no son propiamente lineales ni de frecuencias ya que contienen una variación continua sobre el eje horizontal (para lo que se requiere de una recta numérica real en este eje).

Para ilustrar este tipo, pensemos en una alberca llena de agua con una capacidad de 50 m 3

(metros cúbicos) que se empieza a vaciar a razón de 0.5 m3 por minuto. Después de un minuto, la alberca tendrá 49.5 m3 de agua. Después de dos minutos, la alberca tendrá _____ m3 de agua. Calcula ahora la cantidad de agua que tendrá la alberca después de 10 minutos.

Si hacemos una tabla del tiempo (digamos, cada 10 minutos) con el correspondiente volumen de agua y trazamos la gráfica asociada, obtendremos la figura siguiente. Nótese como esta gráfica tiene sentido en cualquier valor intermedio del tiempo, por ejemplo, 43 minutos y medio o cualquier fracción decimal o en segundos (53.75 minutos o 53 minutos y 45 segundos o incluso,

78 minutos y 33.47 segundos). Es decir, la gráfica es una recta continua que representa la variación en el tiempo que es también continuo).

Observando la gráfica siguiente, obtén de ella tantas conclusiones como puedas (por ejemplo, cuando se vacía la alberca completamente, qué volumen de agua contiene después de una hora de empezarse a vaciar, qué volumen de agua tenía inicialmente, qué pasa después de 100 minutos y cómo se puede trazar esto en la gráfica, etc.)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Volumen

Tiempo

Para comparar, la gráfica siguiente es también de otra alberca que se está vaciando. ¿Se está vaciando en la primera hora a la misma razón que la anterior? ¿Qué crees que pasa después de 60 minutos, donde vemos una gráfica horizontal? ¿Se termina de vaciar?)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Volumen

Tiempo

Por ser de suma importancia, este tipo de gráficas se discuten con mayor profundidad en el tema de “Pre-algebra”.