FIS101M - Física Ifis101m/D_apuntes/Cinematica.pdf · Un automovil viaja a una rapidez constante...

FIS101M - Fısica I

Cinematica

FIS101M - Fısica I Instituto de Fısica - UC

Cinematica

La Cinematica estudia los movimientos de objetos en el espacio como funciondel tiempo, pero no considera las causas del movimiento.

El movimiento representa el cambio continuo en la posicion de un objeto.

El movimiento es relativo, depende del marco de referencia que se tome.

El movimiento de un objeto se conoce por completo si su posicion seconoce en todo momento.


Posicion, distancia y desplazamiento

Posicion, x, es la ubicacion del objeto respecto del punto de referencia elegido.

Desplazamiento, ∆x, es el cambio en la posicion del objeto.

Distancia recorrida, d, es la longitud del camino recorrido por el objeto.



Posicion, x, es la ubicacion del objeto respecto del punto de referencia elegido.

Distancia recorrida, d, es la longitud del camino recorrido por el objeto.

Desplazamiento, ∆x, es el cambio en la posicion del objeto.

∆x = xf − xi

xf : posicion final xi : posicion inicial



distancia recorrida 6= desplazamiento

∆x = xf − xi desplazamientoImportante! ... Al calcular el desplazamiento siempre debemos establecer elsistema de referencia


Grafico de posicion-tiempo

Veamos el caso de un auto que se mueve a lo largo de una lınea recta.Tomemos como referencia el cartel y supongamos que el auto inicia sumovimiento a 30 m a la derecha del cartel.Se registra la ubicacion del auto cada 10 s.


Velocidad media o promedio

v ≡ ∆x∆t

=xf − xi

tf − ti

∆x/∆t corresponde a lapendiente de la recta que unelos puntos inicial y final.

La v depende del intervalo detiempo que se tome.

El movimiento de un objeto se conoce por completo si se conoce suposicion en el espacio en todo momento.


Ejemplo 1

¿Cual sera la velocidad media del helicoptero en los desplazamientos antesanalizados, si cada uno de los trayectos se realizan en 1 hora?

Trayecto 1: parte del origen y viaja 150 km rumbo al este

v ≡ xf − xi

tf − ti

v =150 km − 0 km

1 h= +150 km/h


Ejemplo 1

¿Cual sera la velocidad media del helicoptero en los desplazamientos antesanalizados, si cada uno de los trayectos se realizan en 1 hora?

Trayecto 1: parte del origen y viaja 150 km rumbo al este

v ≡ xf − xi

tf − tiv =

150 km − 0 km1 h

= +150 km/h


Ejemplo 1 - continuacion

Trayecto 2: parte del origen y viaja 150 km rumbo al oeste

v ≡ xf − xi

tf − tiv =

−150 km − 0 km1 h

= −150 km/h


Ejemplo 1 - continuacion

Trayecto 3: parte del km 20 al este del punto de referencia, viaja 30 km rumboal este y desde ahı viaja 130 km rumbo al oeste

v ≡ xf − xi

tf − tiv =

−80 km − 20 km1 h

= −100 km/h


Velocidad instantanea

La velocidad media NO es un buen descriptor del detalle del movimiento.

El valor que el velocımetro indica en un instante dadorepresenta la rapidez instantanea, ~v(t), del auto en esemomento.

¿Como podemos calcular la velocidad instantanea, ~v(t)?

Consideramos ∆t cada vezmas pequenos, ∆t → 0.

Pendiente de la rectatangente en cada punto de lagrafica posicion-tiempo


Aceleracion

Cuando la velocidad de una partıcula cambia con el tiempo, decimos queesta acelerando.

La aceleracion, ~a, se define como el cambio de velocidad dividido por elintervalo de tiempo durante el cual ocurre el cambio.

~a ≡ ∆~v∆t

=~vf − ~vi

tf − tiFIS101M - Fısica I Instituto de Fısica - UC

Velocidad y aceleracion

Representacion estroboscopica de un auto moviendose de izquierda a derechaa lo largo de una carretera.

Los intervalos de tiempo entre destellos son iguales

~v > 0~a = 0

~v > 0~a > 0

~v > 0~a < 0


Tipos de movimiento

Movimiento rectilıneo uniforme

v = v(t)

Velocidad constante

Movimiento rectilıneo no uniforme

v 6= v(t)

Velocidad variable↑ ↑

Movimiento aceleradoFIS101M - Fısica I Instituto de Fısica - UC

Ecuaciones cinematicas del movimiento en 1-D

Analizaremos el caso general de un movimiento con aceleracion constante.

a = constante

a(t) = a = a =vf − vi

tf − ti

La velocidad de un objeto en cualquier momento t , conociendo la velocidadinicial y la aceleracion

Tomamos ti = 0.

vf = vi + a t

v(t) = vo + a t


Ecuaciones cinematicas del movimiento en 1-DComo la aceleracion es constante, la velocidad promedio es igual a la mediaaritmetica entre las velocidades inicial y final.

v =xf − xi

tf − ti=

vi + vf

2El desplazamiento como funcion del tiempo sera

∆x = v ∆t =

(vi + vf

2

)∆t = xf − xi

Tomamos ti = 0,

xf − xi = v t =12

(vi + vf ) t

xf − xi = vi t +12

a t2

x(t) = xo + vo t +12

a t2


Ecuaciones cinematicas del movimiento en 1-D

Las ecuaciones anteriores nos muestran como varıa la posicion y la velocidadcon el tiempo, x(t) y v(t).

Podemos usar la variable tiempo, t , como intermediario para encontrar unarelacion entre la posicion y la velocidad.

De la ecuacion de velocidad, v(t), despejamos el tiempo y lo reemplazamos enla ecuacion de posicion, x(t), y obtendremos la relacion x(v).

v(t) = vo + a t −→ t =v(t)− vo

a

x(t) = xo + vo t +12

a t2 = xo + vo

(v(t)− vo

a

)+

12

a(

v(t)− vo

a

)2

Despues de un poco de algebra,

v2 = v2o + 2 a (x − xo)


Resumen de ecuaciones para el movimiento conaceleracion constante


Ejemplo 2

Suponga que se encuentra conduciendo su auto a una velocidad de 90 km/h,cuando repentinamente ve un perro en medio de la carretera 50 m adelante.Aplica los frenos hasta el fondo para conseguir la desaceleracion maxima de7.5 m/s2, esto es -7.5 m/s2. Que distancia recorre antes de detenerse? Puedeevitar atropellar al perro?

¿Datos? a = -7.5 m/s2 vf = 0

¿Incognita?

xf − xi =v2 − v2

o

2 a≈ 42 m


Ejemplo 3Un avion despega desde la pista de un portaaviones, como muestra la figura.Inicia su despegue desde el reposo y logra una aceleracion de 31 m/s2 a lolargo de una lınea hasta alcanzar una velocidad de 62 m/s, justo antes deelevarse. Encontrar el desplazamiento del avion.

El tiempo que se demora en alcanzar la velocidad necesaria para despegar,

vf = vo + a tdespegue −→ tdespegue =vf − vo

a= 2 s

El desplazamiento, x − xo, durante la aceleracion, partiendo de vo = 0, vienedado por

x − xo =12

a(tdespegue

)2= 62 m


Ejemplo 4Una persona tira una pelota hacia arriba con unavelocidad inicial de 15 m/s. Calcular la altura quealcanza y el tiempo que la pelota estuvo en el airehasta caer nuevamente en la mano de la persona.¿Cual es la velocidad de la pelota cuando llega a lamano?

~a = ~g = - 9.8 m/s2

v(t) = vo − g t y = yo + vo t − 1/2 g t2

y = ymax cuando v = 0 para un cierto tiempo t∗

v(t∗) = vo − g t∗ = 0 → t∗ = vo/g = 1.53 s

ymax = y(t∗) = v2o /(2 g) = 11.5 m

taire = 2 t∗ = 3.06 s ~vC = −vo = - 15 m/s


Ejemplo 5

Un automovil viaja a una rapidez constante de 45 m/s y pasa por un anuncio,detras del cual se oculta una motociclista de transito. Un segundo despues deque pasa el automovil, la motociclista parte para interceptarlo, acelerando auna relacion constante de 3 m/s2. ¿Cuanto tarda ella en rebasar al automovil?

Rta.: 31 s.


Movimiento con aceleracion constante en 2-D

~r = x ı + y ~v = vx ı + vy ~a = ax ı + ay

~r(t) = ~ro + ~vo t +12~a t2 = x(t) ı + y(t)

~v(t) = vx(t) ı + vy(t)

x(t) = xo+vxo t+12

ax t2

y(t) = yo+vyo t+12

ay t2

vx(t) = vxo + ax t

vy(t) = vyo + ay t


Movimiento con aceleracion constante en 2-D


Ejemplo 6

Una partıcula parte del origen en t = 0 con una velocidad inicial que tiene unacomponente x de 20 m/s y una componente y de -15 m/s. La partıcula semueve en el plano xy con una aceleracion cuya componente x es ax = 4 m/s2 yla componente y es nula.

Determinar las componentes del vector velocidad en cualquier instante detiempo y el vector velocidad total en cualquier instante.Determinar las coordenadas x y y de la partıcula en cualquier tiempo t .Calcular la posicion, la velocidad y la rapidez de la partıcula en t = 5.0 s.¿Cual es el desplazamiento de la partıcula para ese tiempo?

La velocidad esta dada por ~v(t) = vx(t) ı + vy(t)

vx (t) = vxo + ax t

vx (t) = (20 + 4 t) m/s

vy (t) = vyo + ay t

vy (t) = −15 m/s


Ejemplo 6

La posicion viene dada por ~r(t) = x(t) ı + y(t)

x(t) = vxo t +12

ax t2

x(t) = (20 t + 2 t2) m

y(t) = vyo t

y(t) = −15 t m

En t = 5.0 s, la velocidad y la posicion son

~v(5.0 s) =[(20 + 4× 5.0) ı + (−15)

]m/s

[40 ı− 15

]m/s

~r(5.0 s) =[(20× 5.0 + 2× 5.02) ı + (−15× 5.0)

]m =

[150 ı− 75

]m

La rapidez es la magnitud de la velocidad

v(5.0 s) =|| ~v(5.0 s) ||=√

v2x + v2

y =√

(40)2 + (−15)2 m/s = 43 m/s


Movimiento bajo aceleracion de gravedad

Todos los objetos sobre la superficie de la Tierra experimentan una aceleracionque resulta de la fuerza de atraccion gravitatoria que la Tierra ejerce sobre elobjeto.

Combinacion de un movimiento acelerado en la direccion vertical y unmovimiento con velocidad constante en la direccion horizontal.

En el sistema de coordenadas convencional,

aceleracion de gravedad

~g = −g

g = 9.8 m/s2

g

y

x

¿Como quedan escritas las ecuaciones cinematicas para este caso?



~a = −g

~r(t) = x(t) ı + y(t) ~v(t) = vx ı + vy (t)

x(t) = xo + vxo t

y(t) = yo + vyo t − 12 g t2

vx (t) = vxo

vy (t) = vyo − g t



Distintas condiciones iniciales

En el caso de la izquierda (caıda libre)

vo = 0 yo = H

En el caso del centro (tiro vertical)

vo 6= 0 yo = ho ~vo = vo

En el caso de la derecha (mas general)

vo 6= 0 yo = ho ~vo = vox ı + voy



Supongamos que conocemos vo y θo

vox = vo cos θo

voy = vo sin θo

¿Cual es la altura maxima, hmax , alcanzada?

¿Cual es el alcance o rango, R, del proyectil?

¿Cuanto tiempo esta en el aire?

hmax ⇐⇒ vy(t) = 0 R ⇐⇒ y(t) = 0FIS101M - Fısica I Instituto de Fısica - UC


hmax =(vo sin θo)2

2 gR =

(vo)2

gsen(2θo)

La trayectoria, y(x), que describe el objeto es una parabola, cuyascaracterısticas dependen de las condiciones iniciales.

Se obtiene despejando t(x) y reemplazandolo en y(t).

x(t) = vo cos θo t =⇒ t(x) =x

vo cos θo

y(x) = yo + θo x − g2 (vo cos θo)2 x2


Ejemplo - Exploradores extraviados

Un avion de rescate deja caer un paquete de provisiones a un grupo deexploradores extraviados, como se muestra en la figura. Si el avion viaja a 40m/s y a una altura de 100 m sobre el suelo, ¿donde cae el paquete en relacioncon el punto en que se solto?


Ejemplo - Exploradores extraviados

Movimiento horizontal del paquetex(t) = vox t = (40m/s) t

Movimiento vertical del paquete

y(t) = yo + voy t − 12

g t2

Tomando en cuenta que voy = 0 y que cuando el paquete golpea el sueloy(tv ) = −100m, siendo tv el tiempo que el paquete esta en el aire,

y(tv ) = −12

g (tv )2 = −100m =⇒ tv = 4.52s

Con el valor de tv en la ecuacion para la coordenada x(t),

xf = x(tv ) = (40m/s)(4.52s) = 181m

El paquete golpea el suelo 181 m mas adelante de la posicion en que fuelanzado.


Ejemplo - Jugada de beisbol

Una pelota de beisbol lanzada hacia arriba deja la mano del jugador a unaaltura de 1.60 m sobre el nivel del campo de juego. La pelota tiene unavelocidad inicial de 28.0 m/s y un angulo de 45o sobre la horizontal. Que tanlejos chocara la pelota en el campo?


Ejemplo - Jugada de beisbol

Condiciones iniciales el problema

xo = 0 yo = 1.60m ay = −g = −9.8m/s2

vox = vo cos 45o = 19.8m/s voy = vo sin 45o = 19.8m/s

Llamemos t∗ al tiempo durante el cual la pelota esta en el aire y D aldesplazamiento de la pelota paralelo al campo de juego,

0 = yo + voy t∗ − 12

g (t∗)2 =⇒ t∗ = 4.11 s

x(t∗) = D = xo + vox t∗ = vox t∗ =⇒ D = 81.4 m

La pelota recorre una distancia horizontal de 81.4 m antes de caer alsuelo.


Ejemplo - Jugador de basquet

¿A que rapidez inicial debe un jugador de basquet lanzar la pelota, con unangulo θo = 55o encima de la horizontal, para marcar un tanto?. La distanciashorizontales marcadas en la figura son d1 = 0.3 m y d2 = 4.2 m y las alturasson h1 = 2.1 m y h2 = 3.0 m.


Ejemplo - Jugador de basquet

Consideraremos un sistema de coordenadas convencional con el origen en elpunto de lanzamiento.

Condiciones iniciales el problema

xo = 0 yo = h1 ay = −g = −9.8m/s2

vox = vo cos 55o voy = vo sin 55o

Para que el jugador enceste la pelota se debe cumplir que

xf = d2 − d1 yf = h2 yf = y(xf ) = h2 = y(d2)

Usando la expresion de la trayectoria obtenemos

yf (xf ) = h2 = h1 +θo (d2−d1)− g2 (vo cos θo)2 (d2−d1)2 −→ vo = 51.5 m/s2


Ejemplo - Disparo de canon

Un canon se encuentra a una distancia D de un edificio. Para un angulo deelevacion conocido, θo = 37o, determinar la rapidez inicial de la bala, vo, y laaltura, h, a la cual el proyectil entrarıa horizontalmente por la ventana deledificio. Desprecie la altura del canon.

Nota: sin 37o = 3/5 y cos 37o = 4/5.

CAPITULO 3. CINEMATICA EN DOS Y TRES DIMENSIONES 103

una piedra.

17. Una pelota sale rodando del descanso de una escalera con velocidad horizontalv0 = 1.52 m/s. Los escalones son de 20 cm de alto y 20 cm de ancho. ¿Cualsera el primer escalon al que llegue la pelota? Dibuje una figura para ilustrar elproblema.

18. Un canon se encuentra a una distanciaD de un edificio. Encuentre el angu-lo de elevacion !0 y la velocidad v0 dela bala de manera que el proyectil en-tre horizontalmente por la ventana quese encuentra a una altura h (ver figura3.18).

Figura 3.18

19. Considere un rıo de ancho L en el cualel agua fluye con velocidad v0. Un na-dador recorre el trayecto A !" B !"A, mientras que un segundo nada eltrayecto C !" D !" C (ver figu-ra 3.19). Los puntos C y D estan an-clados fijamente al fondo del rıo y laseparacion entre C y D es la mismaque entre A y B. Si ambos nadan conla misma velocidad v respecto al agua,¿quien ganara la carrera?

Figura 3.19

20. Un pato vuela horizontalmente enlınea recta con velocidad vp a unaaltura h. Un nino con una honda,que puede disparar piedras con unavelocidad v0, hace uso de su arma enel instante que el pato lo sobrevuela.

(a) ¿Cual es el angulo respecto ala normal con el cual debe dis-parar la piedra?

(b) ¿Que distancia d alcanza a re-correr el pato antes de ser al-canzado por el proyectil?

Figura 3.20


Ejemplo - Futbolista

Un futbolista cobra una falta, marcada en una zona situada a 50 m de distancia,directamente frente al arco. Logra patear el balon con una velocidad inicial de25 m/s, en angulo de lanzamiento de 45o con la horizontal. Sabiendo que eltravesano del arco esta a 2.44 m del suelo y que el arquero se encontraba muyadelantado,

a) Verifique si la falta se convirtio en gol.b) ¿A que distancia de la lınea de gol cae la pelota?c) ¿Cuanto tiempo esta la pelota en el aire?


Movimiento circular uniforme

La figura muestra un auto en una trayectoria circular con rapidez constante, v .

La velocidad, ~v , es tangente a la trayectoria y cambia contınuamente dedireccion.

Si ~v cambia, existe aceleracion!

aceleracion centrıpeta, ~ac

~ac es perpendicular a la trayectoria y siempre apuntahacia el centro del cırculo.


Magnitud de la aceleracion centrıpeta

~vf y ~vi solo difieren en la direccion

~a =∆~v∆t

=~vf − ~vi

tf − ti

El triangulo de lados ∆r y r y el triangulo de lados ∆v y v son semejantes,

∆vv

=∆rr

Entonces,

a =∆v∆t

=v ∆rr ∆t

=⇒ ac ≡v2

r

La ~ac se dirige hacia el centro del cırculo y tieneuna magnitud dada por v2/r , donde v es el modulode la velocidad y r es el radio del cırculo.


Otros parametros caracterısticos

El perıodo es el tiempo que se demora en dar una vueltacompleta y se mide en segundos ... τ

La frecuencia es el numero de revoluciones completas porsegundo (unidad de tiempo) y se mide en Hertz, Hz = seg−1.

f =1τ

La velocidad angular es el angulo girado por segundo (unidad detiempo) y se mide en radianes por segundo.

ω =2 πτ

= 2 π f


Velocidad y aceleracion en el movimiento circular

v =longitud de una vuelta

tiempo que tarda=

2 πRτ

= ωR = 2 π f R

ac =v2

R=

4 π2 Rτ2 = ω2 R


Ejemplos 10 y 11

Una rueda de molino industrial con diametro 25.4 cm gira a unavelocidad de 1910 revoluciones por minuto, ¿cual es la rapidez deun punto en la rueda?

R = 0.127 m f = 1910rev/min = 1910revmin× 1min

60s= 31.83 rev/seg

v = 2πR f = 2× π × 0.127 m× 31.83 rev/seg = 25.4 m/s

Un automovil, cuyo velocımetro indica en todo instante 72 km/h,recorre el perımetro de una pista circular en un minuto. Determinarel radio de la misma. ¿Cual es el modulo de la aceleracion?.

v = 72 km/h = 20 m/s ω =2πτ

=2π

60 s= 0.104 rad/s

v = ωR −→ R =vω

= 191 m ac = ω2 R = 2.09 m/s2


Ejercicio adicional de proyectiles - 1

Un camion cargado de sandıas se detiene subitamente para evitar caer por elborde de un puente destruido, ver figura. El frenado brusco hace que variassandıas salgan del camion. Una sandıa rueda del borde con una rapidez inicialvi = 10 m/s en direccion horizontal.Consideremos un sistema de coordenadas con origen en el borde del puentedestruıdo. La seccion transversal de la cuenca del rıo puede describirse con larama inferior de la parabola y2 = 16 x , donde x y y se miden en metros, y cuyovertice esta en el origen de coordenadas.¿cuales son las coordenadas de la sandıa cuando toca el suelo?

Rta.: (18.8 m, -17.3m)


Ejercicio adicional de proyectiles - 2

El coyote otra vez esta listo para intentar capturar al elusivo correcaminos. Elcoyote porta un par de patines de ruedas con propulsion a chorro marca Acme,que dan una aceleracion horizontal constante de 15 m/s2. El coyote parte delreposo a 70.0 m del borde de un precipicio en el instante en que elcorrecaminos lo pasa rapidamente en direccion del precipicio.

a) Si el correcaminos se mueve con rapidez constante, determine la rapidezmınima que debe tener para llegar al precipicio antes que el coyote. En laorilla del precipicio el correcaminos escapa haciendo un giro repentino,mientras que el coyote continua hacia el frente.

b) Si el penasco esta a 100 m sobre el fondo del canon, determine dondeaterriza el coyote en el canon (suponga que los patines siguenfuncionando cuando el coyote esta cayendo).

c) Determinar la velocidad del coyote en el instante que llega al fondo delprecipicio.


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