Física 2 Hugo Medina Guzmán

7/14/2019 Fsica 2 Hugo Medina Guzmn

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FISICA 2

Autor: Hugo Medina GuzmnProfesor de la Pontificia Universidad Catlica del Per

Agosto 2009


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PRESENTACIN

Me agrad saber que Hugo Medina Guzmn estaba por publicar un texto sobre Fsica. Haba

dos razones suficientes para este sentimiento. Por un lado, tena curiosidad de saber lo quepodra aportar un texto ms de Fsica sobre los otros ya disponibles. Por otro lado, conozco dela larga carrera de Hugo Medina como cultor de la enseanza de [a Fsica, y tena curiosidadde ver cmo este compromiso como docente y experiencia se manifestaran en su texto. Tuvela suerte de conocer al Ing. Jos Castro Mendvil en su taller, donde despleg una destacadalabor en el diseo y construccin de equipo de laboratorio para la enseanza de la Fsica.Considero que Hugo es un digno discpulo del Ing. Castro Mendvil e igualmente ha dedicadouna fraccin considerable de su tiempo a la docencia, y al diseo y construccin de equipo delaboratorio para resaltar los conceptos bsicos de la Fsica.He revisado el contenido de este texto y veo con gran satisfaccin que su autor utiliza unenfoque muy acertado. Toma como punto de partida una observacin experimental y a partir

de all desarrolla los conceptos fsicos que permiten interpretar esta observacin utilizando laformulacin matemtica ms sencilla. Todo esto lo hace con el detalle suficiente de maneraque el lector pueda seguir el argumento lgico con facilidad. Considero que ste es un granaporte de este texto. Este enfoque contrasta con textos que enfatizan la formulacinmatemtica y dejan al alumno hurfano de una orientacin para aplicarla a una realidad fsicaconcreta.El contenido de temas de la Fsica General que son desarrollados en este texto se ajusta al

programa de estudios de la PUCP. El desarrollo de cada tema incluye ejemplos bienseleccionados que son desarrollados con un detalle muy esmerado. Al final de cada captulose incluye un conjunto de preguntas y problemas propuestos; se incluye las respuestas.Algunos problemas plantean configuraciones complejas pero que contienen ciertas

propiedades de simetra que permiten su reduccin a configuraciones sencillas. Al final deltexto encontramos un listado de referencias bibliogrficas a un buen nmero de textos deFsica General que han servido de consulta al autor.En general, considero que este texto constituye una representacin grfica de la obra cotidianaque Hugo ha venido desarrollando durante su carrera docente y, por lo tanto, es un aporte muyvalioso para la comunidad acadmica y pblico en general.

Lima, julio de 2007


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PRLOGO

Los estudiantes a menudo se preguntan por qu llevan un curso de Fsica. La mejor razn por la que seestudia Fsica es porque proporciona un mtodo coherente y lgico para comprender el mundo que nos

rodea; una persona que comprende lo que sucede a su alrededor, es capaz de convivir en su entorno demanera racional y efectiva. Sin embargo, en ocasiones los estudiantes ignoran el potencial que tiene laFsica para explicar el entorno en trminos fciles de entender;Este libro tiene por objeto brindar a los estudiantes de la Fsica General una ayuda para dominar losprincipios fsicos que son la base de la tecnologa moderna. En ste libro se asume que los estudiantestienen una base de lgebra, geometra, y trigonometra. Es mucho ms compacto que los libros detexto tradicionales, proporciona muchos ejemplos trabajados y pide resolver problemasEste libro ser til tambin como texto para una persona que repasa o que consolida su conocimientode la Fsica.La discusin y las explicaciones narrativas son suficientemente claras y completas para poder utilizarel libro o como texto, o como suplemento a un texto ms amplio.La forma de aprender la fsica es trabajar realmente con problemas. Al usar este libro, el estudiantedebe ser activo. Debe intentar trabajar cada uno de los problemas y los ejemplos. Debe mirar lassoluciones solamente si no logra dar con el camino a su solucin.Los ejemplos en este libro estn trabajados exhaustivamente, de modo que puedan servir comomodelos para el propio trabajo de los estudiantes. En este sentido se considera que los estudiantes sebenefician al observar los clculos realizados en ms de una manera, por lo que se han incluido variosmtodos para efectuar los clculos.Adems, se tuvo especial cuidado en incluir problemas y preguntas que combinan el material delcaptulo en cuestin, con material de captulos anteriores. Tales problemas y preguntas destacan elhecho importante de que diversas reas de la Fsica se manifiestan de manera simultnea en el mundoreal. Adems, este mtodo de temas mltiples proporciona una manera para que los estudiantesrepasen lo estudiado y ayuda a mejorar la habilidad para resolver problemas.

El diseo grfico es de gran importancia, y para mejorar su funcin se ha intentado enfocar solamenteuna idea principal en cada figura en lo posible. Por consiguiente, las figuras del libro a menudo sedividen en dos o ms partes, para evitar la confusin de mezclar varias ideas en la misma figura.Los profesores conocen la importancia de los diagramas de cuerpo libre cuando utilizan la segunda leyde movimiento de Newton, y todos los estudiantes aprenden de ellos a medida que estudian Fsica.Tales diagramas se utilizan en todo el libro, no solamente en los primeros captulos en los que sepresenta y aplica la segunda ley de Newton. Por ejemplo, cuando se analiza la relacin en lasoscilaciones, tambin entre la presin y profundidad en un fluido, el anlisis se simplificaconsiderablemente por medio de un diagrama de cuerpo libre. De manera semejante, cuando se deducela expresin para la rapidez de una onda transversal en una cuerda, un diagrama de cuerpo libre esmuy til.Cifras significativas. A lo largo de todo el libro se siguen los procedimientos normales para las cifras

significativas.Se espera que el esfuerzo en la elaboracin de este libro sea de utilidad tanto para los estudiantes comopara los profesores. Toda opinin al respecto ser bienvenida.

Hugo Medina GuzmnLima Per


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AGRADECIMIENTOS

El autor agradece primeramente a los estudiantes, quienes han contribuido bastante en laelaboracin de este libro a travs de su influencia en el establecimiento de las tcnicas y

principios de enseanza y a los profesores que con sus sugerencias y revisiones a lasseparatas de los captulos hicieron notar puntos que necesitaban una mayor aclaracin.

Hugo Medina Guzmn


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CONTENIDO

CAPTULO1.ElasticidadEsfuerzo y deformacin. Rgimen elstico y plstico, Mdulos de elasticidad y tipos de

esfuerzo y deformacin: Deformacin por traccin o compresin longitudinal, Mdulo deYoung, ley de Hooke, aplicaciones: deformacin por peso, aceleracin y rea variable.Deformacin lateral, mdulo de Poisson Deformacin por cizalladura o corte mdulo decizalladura Deformacin volumtrica mdulo de compresibilidad. Fuerza elstica y Energaelstica.CAPTULO 2. Movimiento oscilatorioMovimiento oscilatorio: definicin y caractersticas Ecuacin y ley del movimientooscilatorio: Movimiento armnico simple lineal y angular. Movimiento armnico simple.Movimiento armnico amortiguado: subamortiguado, sobreamortiguado y crtico.Movimiento armnico amortiguado forzado. Resonancia, aplicaciones.CAPTULO 3.Movimiento ondulatorio y ondas

Movimiento ondulatorio, definicin, caractersticas, y tipos de ondas: por la naturaleza de laperturbacin, por la direccin de la perturbacin, por la direccin de la propagacin.Descripcin matemtica de la propagacin de una onda unidimensional. Funcin de onda:onda viajera, ecuacin de onda y velocidad de propagacin: ondas en una cuerda, ondastransversales y longitudinales en una barra, ondas sonoras en un tubo con aire. Fenmenosondulatorios: reflexin de ondas. Principio de superposicin de ondas: 1.-ondas igualesviajando en la misma direccin, superposicin constructiva o destructiva. 2.-ondas igualesviajando en sentidos opuestos, ondas estacionarias: en una cuerda finita y en un tubo o cajaacstica finita. Modos de vibracin y armnicos. 3.-ondas de diferente frecuencia viajando enel mismo espacio, pulsaciones. Interferencia de ondas (sonoras y electromagnticas). Interferencia entre dos fuentes separadas en el espacio con la misma fase, diferencia de

camino. Sonido: intensidad, efecto Doppler, ondas de choque.CAPTULO4.Mecnica de fluidosConcepto, tipos de fluido, caractersticas. Densidad, peso especfico y presin. Hidrosttica:Variacin de la presin con la profundidad en un fluido en reposo. Principios de Pascal.Empuje y flotacin: Principio de Arqumedes. Barmetro y manmetro simple. Aplicaciones:superficies planas y translacin de fluidos. Tensin superficial. Dinmica de Fluidos: Flujode fluido ideal Ecuacin de continuidad, caudal o gasto. Ecuacin de Bernoulli. Aplicaciones:medidor de Venturi y tubo de Pitot. Viscocidad y ley de Stokes.

CAPTULO5. TermodinmicaSistemas Termodinmicos: Variables termodinmica macroscpicas. Ley cero de la

Termodinmica y equilibrio Trmico. Temperatura y escalas Dilatacin trmica: DilatacinLineal, superficial y volumtrica. Fatiga trmica. Calor y trabajo: Definicin de Calor,Equivalente mecnico del calor, calor especfico. Fases de la materia: cambios de estado.Procesos de Transferencia de calor: por conduccin por conveccin, por radiacin. TeoraCintica de gases Ideales: Definicin de un gas Ideal. Ecuacin de estado de un gas ideal,curvas Isotrmicas. Energa Interna de un Gas Ideal: Trabajo realizado por un gas. PrimeraLey de La Termodinmica. Procesos Termodinmicos: isocrico, isobrico, isotrmico yadiabtico. Calor especfico de un gas a volumen constante y a presin constante. Procesosreversibles e irreversibles. Ciclos termodinmicos. Mquinas termodinmicas. Eficiencia ysegunda ley de la termodinmica. Ciclo de Carnot.


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CAPTULO 1

Elasticidad

INTRODUCCIN 1PROPIEDADES MECNICAS DE LOS MATERIALES 1ENSAYO DE TENSIN Y DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACIN 1DEFORMACIN ELSTICA Y PLSTICA 1

DIFERENCIA ENTRE LOS CUERPOS ELASTICOS Y LOS INELASTICOS 2LEY DE HOOKE 2ESFUERZO Y DEFORMACIN UNITARIA 2MODULO ELASTICO O DE ELASTICIDAD 2Viga horizontal sostenida mediante un tirante. 5Deformaciones no uniformes por peso propio. 6Deformaciones por aceleracin 7Deformacin debido a la rotacin 11Deformaciones no uniformes por peso propio y rea variable 12DEFORMACION LATERAL MODULO DE POISSON 18DEFORMACIN POR CIZALLADURA O CORTE. 21

DEFORMACION VOLUMETRICA 24RELACION ENTRE CONSTANTES ELASTICAS 25FUERZA ELASTICA Y ENERGIA ELASTICA 28PREGUNTAS Y PROBLEMAS 29


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CAPTULO 2

MOVIMIENTOOSCILATORIO

INTRODUCCION 1MOVIMIENTO OSCILATORIO 1Definicin y caractersticas 1Oscilaciones Sinusoidales 2DESCRIPCIN DEL MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE 2EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y EL MOVIMIENTO CIRCULARUNIFORME

3

ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 7PROBLEMA BASICO MASA RESORTE 7PENDULOS 11Pndulo simple 11Pndulo compuesto 12Problema del sube y baja 14SISTEMAS DE PENDULOS Y RESORTES 15Problema del Metrnomo 15PENDULO DE TORSIN 19

MOVIMIENTO ARMNICO EN DOS DIMENSIONES 19Medida del desfase entre dos seales 20Medida de la frecuencia 21MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO. 22OSCILACIONES FORZADAS 26PREGUNTAS Y PROBLEMAS 34


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CAPTULO 3

Movimiento ondulatorio y ondas

INTRODUCCIN 1DEFINICIN, CARACTERSTICAS 1Pulso y tren de ondas Onda viajera 1TIPOS DE ONDAS: 1Segn el medio por el que se propaguen 2

Segn el nmero de dimensiones que involucran 2Segn la relacin entre la vibracin y la direccin de propagacin 2EXPRESIN MATEMTICA PARA UNA ONDA VIAJERA 3ONDAS ARMONICAS 4VELOCIDAD DE PROPAGACIN EN FUNCIN DE LAS PROPIEDADES DELMEDIO.

9

ECUACION DE LA ONDA 11ENERGA E INFORMACIN TRANSFERIDA MEDIANTE ONDAS 13REFLEXION DE ONDAS 15PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN DE ONDAS INTERFERENCIA 15ONDAS QUE VIAJAN EN LA MISMA DIRECCION. 16

ONDAS IGUALES VIAJANDO EN SENTIDOS OPUESTOS. ONDASESTACIONARIAS 20

LOS INSTRUMENTOS MUSICALES 27OSCILACION DE VARILLAS. DIAPASN 28ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA VIAJANDO EN EL MISMO ESPACIO 29PULSACIONES O BATIDOS. 29INTERFERENCIA DE DOS ONDAS QUE VIAJAN EN DISTINTASDIRECCIONES

30

EFECTO DOPPLER 34Observador en movimiento 34Fuente en movimiento 34

FORMACION DE UNA ONDA DE CHOQUE 42PREGUNTAS Y PROBLEMAS 43


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CAPTULO 4

Mecnica de fluidos

INTRODUCCIN 1DENSIDAD 1Densidad relativa 1Peso especfico 1LA PRESIN EN LOS FLUIDOS 1Unidades de presin 1HIDROSTTICA 2PRESIN EN UN PUNTO DE UN FLUIDO 2VARIACIN DE LA PRESIN CON LA PROFUNDIDAD EN UN LQUIDO 2

EL PRINCIPIO DE PASCAL. 4MEDIDA DE LA PRESIN. 5Barmetro 5Manmetro simple 5Presin relativa y la presin absoluta 6EL PRINCIPIO DE ARQUMEDES 7CENTRO DE EMPUJE 7EQUILIBRIO ROTACIONAL DE OBJETOS FLOTANTES 8FUERZAS SOBRE LAS PAREDES O COMPUERTAS 15Centro de presin 16Aplicacin: Superficie rectangular 16Aplicacin: Fuerza sobre una superficie de forma rectangular inclinada 17TRASLACIN DE FLUIDOS 19Rotacin uniforme alrededor de eje vertical 20TENSION SUPERFICIAL - CAPILARIDAD 22TENSIN SUPERFICIAL 22ADHESIN Y COHESIN. 24CAPILARIDAD 25DINMICA DE FLUIDOS - MOVIMIENTO DE UN FLUIDO 30CARACTERSTICAS GENERALES DEL FLUJO DE FLUIDOS 30ECUACIN DE LA CONTINUIDAD. 30

ECUACIN DE BERNOULLI. 31Frmula de Torricelli 32EFECTO MAGNUS 32Velocidad de salida de un lquido 33Tiempo de vaciado 34El medidor de venturi 39VISCOCIDAD 41FLUJO VISCOSO EN UNA TUBERIA CIRCULAR 42FRMULA DE STOKES 43Medida del coeficiente de viscosidad 43PREGUNTAS Y PROBLEMAS 44


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CAPTULO5

Termodinmica

INTRODUCCION 1Sistemas Termodinmicos: Variables termodinmicas macroscpicas 1LEY CERO DE LA TERMODINMICA Y EQUILIBRIO TRMICO 1TEMPERATURA Y ESCALAS 2DILATACION TERMICA 4FATIGA DE ORIGEN TRMICO 9CALOR Y TRABAJO 12CAPACIDAD CALORIFICA. CALOR ESPECFICO 12FASES DE LA MATERIA 15

CAMBIOS DE ESTADO. CALOR LATENTE 17Dilatacin trmica y equilibrio trmico 20TRANSFERENCIA DE CALOR 20CONDUCCION 20CONVECCION. 24RADIACION 27DEFINICIN DE UN GAS IDEAL 28LEY DE BOYLE 28LEY DE GAY-LUSSAC 28LEY DE CHARLES. 28ECUACIN DE ESTADO DE UN GAS IDEAL 29TEORA CINTICA DE LOS GASES IDEALES 35ENERGA INTERNA DE UN GAS IDEAL 36TRABAJO REALIZADO POR UN GAS 37PRIMERA LEY DE LA TERMODINMICA 38CALOR ESPECFICO DEL GAS IDEAL 38PROCESOS TERMODINMICOS 39Isocrico o a volumen constante 40Isobrico o a presin constante 40Isotrmico o a temperatura constante 40PROCESO ADIABATICO 47

CICLOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES 50CICLOS TERMODINMICOS. MQUINAS TERMODINMICAS 50CICLO OTTO 52CICLO DIESEL 52SEGUNDA LEY DE LA TERMODINMICA. 55EL CICLO CARNOT 56Motor y Refrigerador 58ENTROPIA 62PREGUNTAS Y PROBLEMAS 63


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BIBLIOGRAFA

THEORETICAL PHYSICS, Mechanics of particles, rigid and elastic bodies, fluids and heat flow. F:Woobridge Constant. Trinity College. Addison Wesley Publishing Company (1959)

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FSICA. Tomos I y II Tercera edicin revisada (Segunda edicin en espaol), Raymond S: Serway, JamesMadison University, Mcgraw-Hill, (1993)PROBLEMAS DE FISICASantiago Burbano de Ercilla, Enrique Burbano de Ercilla, Carlos Gracia Muoz,XXVI edicin, Zaragoza, MIRA editores (1994)ONDAS. Berkeley physics course volumen 3.Frank S. Crawford, Jr. Editorial Revert SA. (1994).FSICA Para las ciencias de la vida, David Jou Mirabent Universidad autnoma de Barcelona, Joseph Enric

Llebot Rabagliati, Universidad de Girona, Carlos Prez garca, Universidad de Navarra. Mcgraw-Hill, (1994)Fsica uno Hugo Medina Guzmn, FIS 104 M365 (Biblioteca PUCP) (1995)APPLIED PHYSICS. Arthur Beiser, Ph. D. Schaums outline series Mcgraw-Hill (1995)TEACHING INTRODUCTORY PHTSICS A Sourcebook. Clifford E: Swartz (State University of New York,Stony Brook) and Thomas Miner (Associate Editor The Physics Teacher 1972 1988). ATP Press Springer.(1996)TEACHING INTRODUCTORY PHYSICS Arnold Arons University of Washington JOHN WILEY &SONS, INC. (1997)FSICA John Cutnell / Kenneth W. Johnson. Southern Illinois University. LIMUSA (1998)FSICA EN LA CIENCIA Y EN LA INDUSTRIA. A . Cromer. Northeastern University. Editorial Revert.(2000)FSICA CONTEMPORANEA Edwin Jones. Richard Childers, University of South Carolina. Mcgraw-Hill, (2001)

PROBLEMAS Y CUESTIONES DE FISICA. Atanasio Lle, Begoa Betete, Javier Galeano, Lourdes Lle,Ildefonso Ruiz Tapiador. Universidad Politcnica de Madrid. Ediciones Mundi prensa (2002)The PHYSICS of every day phenomena.A conceptual introduction to Physics. W. Thomas Griffith, PacificUniversity. Mcgraw-Hill, (2004)FSICA UNIVERSITARIA. Francis W.Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young (Carnegie MellonUniversity) y Roger A. Freedman (University of California. Santa Barbara) Volumen 1, Volumen 2. Undecimaedicin. Pearson - Addison Wesley (2004)FIVE EASY LESSONS Strategies for successful Physics teaching. Randall D. Knight California PolytechnicState University, San Luis Obispo. Addison Wesley (2004)FUNDAMENTALS OF PHYSICS. David Halliday (Univ. of Pittsburgh), Robert Resnick (RensselaerPolytechnic Institute), Jearl Walker (Cleveland State Univ.). 7th Edition (2005)


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Elasticidad Hugo Medina Guzmn

1

CAPTULO 1. Elasticidad

INTRODUCCINHasta ahora en nuestro estudio de mecnica hemosasumido que los cuerpos son indeformables; esto noes cierto, aunque se justifica cuando los efectos de

las deformaciones carecen de importancia.En este captulo trataremos sobre los cambios deforma producidos en un cuerpo cuando est bajo laaccin de una fuerza, esto es, en el sentido delcomportamiento de los materiales bajo la accin dediversos esfuerzos, inicindonos en la tcnica deldiseo.

PROPIEDADES MECNICAS DE LOSMATERIALESMuchos materiales cuando estn en servicio estnsujetos a fuerzas o cargas. En tales condiciones esnecesario conocer las caractersticas del material

para disear el instrumento donde va a usarse de talforma que los esfuerzos a los que vaya a estarsometido no sean excesivos y el material no sefracture. El comportamiento mecnico de unmaterial es el reflejo de la relacin entre su respuestao deformacin ante una fuerza o carga aplicada.Hay tres formas principales en las cuales podemosaplicar cargas: Tensin, Compresin y Cizalladura.

Adems en ingeniera muchas cargas son torsionalesen lugar de slo cizalladura.

ENSAYO DE TENSIN Y DIAGRAMA DEESFUERZO DEFORMACIN. El ensayo detensin se utiliza para evaluar varias propiedadesmecnicas de los materiales que son importantes enel diseo, dentro de las cuales se destaca laresistencia, en particular, de metales y aleaciones.En este ensayo la muestra se deforma usualmentehasta la fractura incrementando gradualmente unatensin que se aplica uniaxialmente a lo largo del eje

longitudinal de la muestra. Las muestrasnormalmente tienen seccin transversal circular,aunque tambin se usan especimenes rectangulares.

Muestra tpica de seccin circular para el ensayo de

tensin - deformacinDurante la tensin, la deformacin se concentra enla regin central ms estrecha, la cual tiene una

seccin transversal uniforme a lo largo de sulongitud. La muestra se sostiene por sus extremos enla mquina por medio de soportes o mordazas que asu vez someten la muestra a tensin a una velocidadconstante. La mquina al mismo tiempo mide lacarga aplicada instantneamente y la elongacinresultante (usando un extensmetro). Un ensayo detensin normalmente dura pocos minutos y es unensayo destructivo, ya que la muestra es deformadapermanentemente y usualmente fracturada.

Ensayo tensin deformacinSobre un papel de registro, se consignan los datos dela fuerza (carga) aplicada a la muestra que estsiendo ensayada as como la deformacin que sepuede obtener a partir de la seal de un

extensmetro. Los datos de la fuerza puedenconvertirse en datos de esfuerzo y as construirseuna grfica tensin deformacin.

Grfica tpica tensin vs deformacin

DEFORMACIN ELSTICA Y PLSTICA


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2

Cuando una pieza se somete a una fuerza de tensinuniaxial, se produce una deformacin del material.Si el material vuelve a sus dimensiones originalescuando la fuerza cesa se dice que el material hasufrido una DEFORMACIN ELASTICA. Elnmero de deformaciones elsticas en un material es

limitado ya que aqu los tomos del material sondesplazados de su posicin original, pero no hasta elextremo de que tomen nuevas posiciones fijas. Ascuando la fuerza cesa, los tomos vuelven a susposiciones originales y el material adquiere su formaoriginal.Si el material es deformado hasta el punto que lostomos no pueden recuperar sus posicionesoriginales, se dice que ha experimentado unaDEFORMACIN PLASTICA.

DIFERENCIA ENTRE LOS CUERPOSELASTICOS Y LOS INELASTICOS. Los

cuerpos elsticos son los cuerpos que despus deaplicarles una fuerza vuelven a su forma normalmientras que los inelsticos tienen su grado deelasticidad muy bajo y si los deforman no vuelven asu forma original.

LEY DE HOOKE.En la parte de comportamiento elstico se cumple laLey de Hooke. Robert Hooke fue el primero enenunciar esta relacin con su invento de un volantede resorte para un reloj. En trminos generales,encontr que una fuerza que acta sobre un resorteproduce un alargamiento o elongacin que es

directamente proporcional a la magnitud de lafuerza.l= kF

El signo menos es porque la fuerza es en oposicin ala deformacin.La constante de la proporcionalidad k vara muchode acuerdo al tipo de material y recibe el nombre deconstante del resorte o coeficiente de rigidez.

l=

Fk , sus unidades son

m

N.

ESFUERZO Y DEFORMACIN UNITARIA.

Esfuerzo. Consideremos una varilla cilndrica delongitud 0l y una seccin transversal de rea 0A

sometida a una fuerza de tensin uniaxial F que

alarga la barra de longitud 0l a l , como se muestra

en la figura.

Por definicin, El esfuerzo Sen la barra es igual alcociente entre la fuerza de tensin uniaxial media F

y la seccin transversal original 0A de la barra.

0A

FS= , sus unidades son

m

N.

Deformacin unitaria: Por definicin, ladeformacin unitaria originada por la accin de unafuerza de tensin uniaxial sobre una muestrametlica, es el cociente entre el cambio de longitudde la muestra en la direccin de la fuerza y lalongitud original.

l

l

l

ll =

= 0 , la deformacin unitaria es una

magnitud adimensionalEn la prctica, es comn convertir la deformacinunitaria en un porcentaje de deformacin oporcentaje de elongacin

% deformacin = deformacin x 100 % = %elongacin

MODULO ELASTICO O DE ELASTICIDAD.A la constante de proporcionalidad, podemosescribir la ley de Hooke en su forma general.

ndeformaci

esfuerzo=ElsticoMdulo

Para el caso de Deformacin por traccin ocompresin longitudinal

El esfuerzo es

A

FS= , la deformacin unitaria es

l

l=

El mdulo elstico es conocido como el MODULODE YOUNG.

SAF

Y =

=

ll

TABLA IMdulo de elasticidad o mdulo de Young.

Nombre Mdulo deelasticidad Y1010 N/m2

Aluminio 6,8Cobre 10,8Oro 7,6Hierro, fundido 7,8Plomo 1,7Nickel 20,6Platino 16,7Plata 7,4Latn 4,6Acero 20,0

Ejemplo 1. Los ortodoncistas usan alambres de bajomdulo de Young y alto lmite elstico para corregir


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la posicin de los dientes mediante arcos tensores.Por qu?

Solucin.Bajo mdulo de Young para que sea relativamentefcil deformarlo elsticamente para montar los arcosen los dientes. La tensin deber ser menor que la

tensin de fluencia del material, de ah que el lmiteelstico tenga que ser alto, ya que si el arco sedeforma plsticamente, su deformacin esirreversible y por lo tanto, no estar tensionando losdientes para corregir su posicin transversal seconvierte en un paralelogramo.

Ejemplo 2. De un alambre de cobre de 1,5 m delongitud y 2 mm de dimetro se cuelga un peso de 8kg. Se pregunta:a) Hemos rebasado el lmite de elasticidad?b) Se romper el alambre?c) En caso de ser negativas las preguntas anteriores,

cul es su alargamiento?Mdulo de Young = 12x1010N/m2

Lmite de elasticidad de 3x107a 12x107N/m2

Lmite de ruptura de 20x107a 50x107N/m2

Solucin.a) y b) La seccin del alambre es:A=r2= 3,14 mm2= 3,14x10-6m2

La fuerza que corresponde a cada m2 de seccin es:

61014,3

8,98

==

A

Mg

A

F

=2

7

m

N1049,2

Que no llega ni al lmite inferior de elasticidad ni alde ruptura.

c)610 1014,31012

5,18,98

==

YA

Fll

m0003,0= = 0,3 mm

Ejemplo 3.Entre dos columnas fue tendido unalambre de longitud 2 l . En el alambre, exactamenteen el centro, fue colgado un farol de masaM. El reade la seccin transversal del alambre esA, el mdulode elasticidad es Y. Determinar el Angulo , depandeo del alambre, considerndolo pequeo.

Solucin.Para encontrar la tensin del hilo.

Por condicin de equilibrio:

Suma de fuerzas verticales:

0= yF 0sen2 =MgT

sen2

MgT= .

Por la ley de Hooke deducimosque

YAT

=

l

l

Igualando:

sen2

MgYA=

l

l

De la figura siguiente:

cos'

ll= y lll +='

De aqu:

lll

+=cos

= 1

cos

1

ll

1cos

1=

l

l

Luego

sen21cos

1 MgYA=

Para ngulos pequeos tenemos quesen y

( ) 212sen21cos22 = .

Reemplazando obtenemos

21

21

12

MgYA =


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4

21

21

2 MgYA =

+

22

2 MgYA =

YA

Mg=3

Finalmente

3

YA

Mg=

Ejemplo 4. Se cuelga una viga de 2000 kg de doscables de la misma seccin, uno de aluminio y otro deacero. Al suspenderla, ambos cables se estiran lomismo. Calcular la tensin que soporta cada uno.Mdulos de Young: acero = 20x1010 N/m2, aluminio=7x1010N/m2

Solucin.Si los cables inicialmente tienen igual longitud y laviga finalmente est horizontal, ambos cables hanexperimentado el mismo alargamiento:

ComoYA

Fll= ,

AY

T

AY

T

2

2

1

1 ll = de aqu

20721 TT =

Donde el subndice 1 se refiere al aluminio y el 2

al acero.Por estar el sistema en equilibrio:T1+ T2=Mg= 2 000 x 9,8 NDe ambasT1= 5 081,5 N T2 = 14 517,5 N

Ejemplo 5. Una barra homognea, de masa m= 100kg, est suspendida de tres alambres verticales de lamisma longitud situados simtricamente.Determinar la tensin de los alambres, si el alambredel medio es de acero y los otros dos son de cobre.El rea de la seccin transversal de todos losalambres es igual.El mdulo de Young del acero es dos veces mayorque el del cobre.

Solucin.Partiendo de los conceptos de simetra, es evidenteque el alargamiento de los hilos ser igual.Designemos este alargamiento por l .De acuerdo con la ley de Hooke, la tensin del hilode acero es

ll

= aaAY

F yladel hilo de cobre, es

ll

= ccAYF

De donde concluimos que la relacin de lastensiones es igual a la relacin de los mdulos deelasticidad correspondientes:

2

1==

a

c

a

c

Y

Y

F

F.

En equilibrio2Fc+ Fa= mg.Por consiguiente,

4

mg

Fc=

= 250 N yFa= 2Fc= 500 N.

Ejemplo 6. Una columna de hormign armado secomprime con una fuerza P. Considerando que elmdulo do Young del hormign Yha, es 1/10 del dehierro Yhy que el rea de la seccin transversal delhierro es 1/20 de la del hormign armado, encontrarqu parte de la carga recae sobre el hormign.

Solucin.Basndonos en la ley de Hooke, escribimos

hahaha YAF

=

l

l y

hhh YAF

=

l

l= = ha

ha YA

1020

l

l

De all deducimos que 2=h

ha

F

F.

De este modo, 2/3 del peso recae sobre el hormignarmado y 1/3, sobre el hierro.

Ejemplo 7. Un peso Wse encuentra sujeto entre dos

barras de peso despreciable, de las mismascaractersticas pero de diferente longitud y como semuestra en la figura. Los extremos de las barras


17/249


5

estn ligados al peso y a los apoyos, los cuales sonindeformables.Encontrar las reacciones que se producen en losapoyos.

Solucin.Diagramas del cuerpo libre del conjunto y de laspartes:

Por equilibrio esttico, 0= yF :021 =+ WRR (1)

Geomtricamente, tiene que cumplirse que losalargamientos sean iguales:

21 ll =

Por elasticidad

AY

R

AY

R 2211 ll =

2211 ll RR = (2)Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), obtenemos:

WL

R 21l

= y WL

R 12l

=

Ejemplo 8. Un perno de acero se enrosca en un tubode cobre como muestra la figura. Encontrar lasfuerzas que surgen en el perno y en el tubo debido al

hacer la tuerca una vuelta, si la longitud del tubo esl , el paso de rosca del perno es hy las reas de laseccin transversal del perno y del tubo son iguales aAa, yAcrespectivamente

Solucin.Bajo la accin de la fuerza de compresin F, el tubodisminuye en AYF /l . y bajo la accin de lafuerza de extensinF, elperno se alarga en el valor

aaYAF /l . La suma ccaa YAFYAF // ll + esigual al desplazamiento de la tuerca a lo largo delperno:

hYAFYAF ccaa =+ // ll , de donde:

+=

ccaa

ccaa

YAYA

YAYAhF

l.

Ejemplo 9. Viga horizontal sostenida mediante untirante.En el sistema mostrado en la figura, cuntobajar el peso Wrespecto a la posicin en la cual eltensor no estaba deformado?

La barra es indeformable y de pesoP.El tensor BC es de peso despreciable, rea A y

mdulo de elasticidad Y.Solucin.

Por equilibrio esttico, 0o=

02-- =lll

WPT 02-- =WPT 2WPT += (1)

Geomtricamente, considerando que el giro que seproduce es pequeo, podemos escribir:

l= 2x

Por elasticidad, el estiramiento l del tensor es:

AY

Tll =


18/249


6

Luego,

AY

Tx

l2= (2)

Reemplazando la expresin (1) en (2):

( )AY

WPx

l22

+=

Ejemplo 10. Deformaciones no uniformes porpeso propio.Determinar la deformacin producida en una barradebido a su peso propio de una barra del largo L,seccinA, mdulo de elasticidad Yy densidad .

Solucin.El elemento diferencial dy soporta el peso 'P de laporcin de barra de longitud y que est sobre l.

AyggVgmP === ''' Siendo la longitud de la barraL, su deformacin ser

L , la deformacin del elemento diferencial dy

debido al peso 'P , ser ( )Ld .

( ) ydyYA

Ag

YA

dyPLd

==

'

= ydyY

g

Luego

( ) == L

ydyY

gLdL

0

=( )

AY

LgAL

Y

gL

2

1

2

1 2=

o( )

AY

LL

=

TotalPeso

2

1

Observamos que esta deformacin es igual a lamitad de la deformacin que se producira, como s,el peso estuviera concentrado en el extremosuperior.

Ejemplo 11. Una barra de masaM, mdulo Y,seccin A y alturaLest sobre el piso. Determine ladeformacin que sufre la atura de la barra por pesopropio. Considere que la densidad lineal de la barra

vara segn y =l

, (es constante eyla altura

medida desde el piso).Datos:M, Y,A,Ly .

Solucin.

El elemento de columna dyes deformado por el pesode la masa m.

( )YA

dymgLd =

Clculo de m.

ydydydm == l

L

y

L

y

yydym

2

2

==

= ( )22

2

yL

Luego:

( ) ( )dyyLYA

gLd 22

2 =

Integrando

( ) ( ) == LL

dyyLYA

gLdL

0

22

0 2

L

yyL

YA

gL

0

32

32

=

= YA

gLL

LYA

g

332

333

=

Como la masa total esL

LL yydydmM

0

2

00 2 ===

=2

2L

YA

MgL

YA

gL

L

ML

3

2

3

2 3

2 ==

Ejemplo 12. Hllese la longitud que ha de tener unhilo de alambre, de densidad 8,93 y mdulo derotura 1020,4 kg/cm2 para que se rompa por supropio peso.


19/249


7

Solucin.1020,4 kg/cm2= 1 020,4x9,8 N/cm2 =108N/m2; = 8930 kg/m3.Para que el hilo se rompa, su peso ha de ser por lomenos de 108AN, siendoAla seccin.O sea:

AgAmgP 810=== l Es decir:

8,98930

1010 88

xgA

A==

l =1143,6 m

Ejemplo 13.Deformaciones por aceleracinUna barra uniforme de acero (Longitud L, rea deseccin rectaAdensidad , mdulo de young Y) se

halla sobre un plano horizontal exento de rozamientoy se tira de ella con una fuerza constanteF.Cul es el alargamiento total de la barra a

consecuencia de la aceleracin?

Solucin.a) Sea m la masa total de la barra

ALm = Tomemos un elemento diferencial dx, cuya masa esdm

Adxdm =

Hagamos los diagramas del cuerpo libre de los tressectores.La fuerza sobre cada uno de los tres sectores seindica en las figura a continuacin

El elemento diferencial dm se mueve conaceleracin adebido a la fuerza (R1R2)Y la fuerza que lo estira es R2. Por lo tanto sudeformacin ser un diferencial de L esto es

( )Ld :

YA

dxRLd 2)( = y =

L

LdL0

)(

Como amR '2= , Axm =' y

AL

F

m

Fa

== , tenemos:

( )LxF

ALFAxR =

=

2

xdxYAL

FLd = )( , y

=

=

==Lx

x

xdxYAL

FLdL

0

)(

De dondeYAFLL

21=

Ejemplo 14.Se tiene una columna de largoL,seccin transversalA, densidad, mdulo deelasticidad Y. Se jala cobre un piso liso de la maneracomo se muestra en la figura. Calcule cuanto estirael cuerpo.

Solucin.Primer mtodo.Aplicando la segunda ley de Newton:

=maF

maFF =3 AL

F

m

Fa

22==

Haciendo el diagrama del cuerpo libre

El elemento diferencial es estirado por la fuerzaR2.

( )AY

dxRLd 2=

Clculo deR2:

amFR '2 =

AL

FAxFamFR

2'2 +=+=

=L

xFF 2+

( ) dxL

x

AY

FLd

+=

21

dxL

x

AY

FL

L

+=

0

21 =

L

L

xx

AY

F

0

2

+

=AY

FL2

Segundo mtodo.El sistema de fuerzas puede ser desdoblado en dospartes cuyas deformaciones parciales sumadas hacen


20/249


8

el efecto total, tal como se muestra en la figurasiguiente:

La primera parte es la deformacin de un cuerpojalado por la fuerza 2F:

( )YA

FL

YA

LFL ==

2

2

11

La segunda parte es la deformacin de un cuerpo

sujeto a la tensinF:

YA

FLL = 2

La deformacin total es la suma de lasdeformaciones parciales:

YA

FL

YA

FLLLL +=+= 21

=AY

FL2

Ejemplo 15. Si la barra se jala hacia arriba con unafuerzaF(F> mg). Cul es el alargamiento total dela barra?Solucin.

El elemento diferencial dm se mueve conaceleracin adebido a la fuerza (R1R2)Y la fuerza que lo estira esR2. Por lo tanto sudeformacin ser un diferencial de L esto es

( )Ld :

YA

dyRLd 2)( = y =

L

LdL0

)(

Como

amgmR ''2 = ( )agmR += '2 ,

Aym =' y

=

= g

AL

F

m

mgFa

,

Tenemos:

( )LyF

ALFAyR =

=

2

ydyYAL

FLd = )( , y

== L

ydyYAL

FLdL

0)(

De donde

YA

FLL

2

1=

Ejemplo 16. Para la barra compuesta mostradadetermine:a) Su aceleracin.b) La deformacin de cada una de sus tres partes ysu deformacin total.

Solucin.

a) LAm 21= , LAm 42= y LAm 23= Aplicando la segunda ley de Newton:

=maF ( )ammmFF32173 ++=

LAaF 104 =

LA

Fa

4,0=

El conjunto se mueve hacia la izquierda.b) La figura siguiente muestra los diagramas delcuerpo libre de cada uno de los elementos delconjunto.

Tomando como positivo hacia la izquierda.Clculo deR2:

amFR 32 3 =

amFR 32 3 +=

= ( )

+

LA

FLAF

4,043

= F6,4 Clculo deR1:

amRR 221 =

amRR 221 +=

= ( )

+

LA

FLAF

4,046,4


21/249


9

= F2,5 Deformacin de 3.La deformacin por fuerza es debido a 3F:

YA

FL

YA

LFL 12

433 ==

La deformacin por desplazamiento es debido a serjalado por la fuerza R2 3F = 1,6F

YA

FL

YA

LFL 2,3

2

46,1'3 ==

Deformacin total de 3:

YA

FL

YA

FL

YA

FLL Total 2,152,3123 =+=

Deformacin de 2.La deformacin por fuerza es debido aR2:

YA

FL

YA

LRL 2,9

222 ==

La deformacin por desplazamiento es debido a serjalado por la fuerzaR1-R2= 5,2F 4,6F = 0,6F

YA

FL

YA

LFL 6,0

2

26,0'2 ==


YA

FL

YA

FLL Total 6,02,92 +=

=YA

FL8,9

Deformacin de 1.La deformacin por fuerza es debido aR1:

YA

FL

AY

LRL 6,2

21

1 ==

La deformacin por desplazamiento es debido a serjalado por la fuerza 7F-R1= 1,8F

YA

FL

AY

FLL 45,0

22

8,1'1 ==


YA

FL

YA

FLL Total 45,06,21 +=

=YAFL05,3

Deformacin total del conjunto.

YA

FL

YA

FL

YA

FLLTotal 05,3`8,92,15 ++=

=YA

FL05,28

Ejemplo 17.Una barra vertical de longitudL, masaM, seccin transversalAy mdulo de Young Y, tienesoldada en su extremo inferior una masa puntualM.

Si la barra se eleva verticalmente mediante unafuerza vertical 5Mg(g = gravedad), aplicada en elextremo superior de la barra. Hallar la deformacinlongitudinal de la barra.

Solucin.Para calcular la aceleracin de la barra aplicamos:

yy maF =

MaMgMgMg 25 = ga2

3=

Tomemos un elemento diferencial de la barra dy

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento delongitudx:

aL

yMg

L

yMRR

=

32

( )agL

yMRR += 32

yL

Mggg

L

yMRR

2

5

2

332 =

+= (1)

Aplicando la segunda ley de Newton a la masa

puntual:gMMaMgR

2

33 ==

MggMMgR2

5

2

33 =+= (2)

Reemplazando (2) en (1):

yL

MgMgR

2

5

2

52 =

+=

L

yMgR 1

2

52

Primer mtodo.

Comenzando con la deformacin del elementodiferencial y luego integrar para toda la longitud.


22/249


10

El elemento diferencial se deforma ( )Ld debido a

la reaccin 2R , ( )21 RR le da la aceleracinga

2

3= , luego:

( )YA

dyRLd 2= =

YA

dyL

yMg

+1

2

5

= dyL

y

YA

Mg

+1

2

5

Integrando:

+= L

dyLy

YAMgL

0 125=

+ L

LLYA

Mg225

2

=YA

MgL

4

15

Segundo mtodo.Comenzando con la deformacin la los efectos delas fuerzas en los extremos de la barra.Nota: EnR3ya est considerado el peso de la masapuntualMcolocada en el extremo inferior de labarra.

Deformacin de la barra por 5Mg:

YA

MgL

YA

MgLL

2

55

2

11 ==

Deformacin de la barra por R3:

YA

MgL

YA

MgLL

4

5

2

5

2

12 ==

Deformacin total: 21 LLL +=

YA

MgL

YA

MgLL

4

5

2

5+=

=YA

MgL

4

15

Aqu no se considera el efecto del peso propio porseparado, porque en el clculo deR2ya est

considerado.

Ejemplo 18.Un cubo como se muestra en la figurade peso W arista L mdulo de Young Y es

arrastrado sobre un plano liso, con una fuerza F=2W.a) Hallar la deformacin longitudinal unitariacuando el plano es horizontal.b)Hallar la deformacin de la dimensin paralela alplano, cuando el bloque sube sobre el plano que esta

inclinado 37.

Solucin.a)

22

2

2

1

YL

W

YL

W

L

L==

b)Resuelto por integracin.Calculo de la aceleracin.

maF=

ag

WWW = 37sen2 a

g

WWW = 6,02

ga 4,1=

El diagrama del cuerpo libre

Clculo deR2:

aL

x

g

W

L

xWR = 37sen2

L

xWg

L

x

g

W

L

xWR 24,1

6,0

2 =+=

El elemento diferencial se deforma Ld :

xdxYL

W

YL

dxRLd

322 2==

Para hallar L integramos desdex= 0 hastax =L.

YL

Wxdx

YL

WLdL

L

=== 032

La deformacin es:

YL

WL=

Resuelto directamente usando resultadosconocidos.


23/249


11

Estiramiento debido a la aceleracin:

Calculo de la aceleracin.

maF=

ag

WWW = 37sen2 a

g

WWW = 6,02

ga 4,1= ( )

YL

W

YL

LWWLa

7,06,02

2

12

=

=

Estiramiento debido al peso:

YL

W

YL

WLLp

3,06,0

2

12

==

Estiramiento total:

YL

W

YL

W

YLL =+=

3,07,0

Ejemplo 19.Deformacin debido a la rotacinUna barra de longitud l , rea A, densidad y

mdulo de Young Ygira con velocidad angularconstante sobre una mesa horizontal sin friccin ypivotado en uno de sus extremos. Determinar elalargamiento producido. Cul ser el esfuerzomximo?

Solucin.

El elemento diferencial se alarga ( )ld , debido ala fuerza centrpeta producida por la masa restantehacia el extremo opuesto al pivote.

Parte 1: Clculo de la fuerza total sobre una seccintransversal a la distancia r del pivote.

Debido a la aceleracin centrpeta se tiene unafuerza:

( ) ( ) rdmadmdF c2==

'Adrdm = ( ) '''' 22 drrArAdrdF ==

Integrando:

== ll

rrrdrAdrrAF 22 ''

( )2222

1rAF = l

Parte 2: Clculo del alargamientoEl alargamiento del elemento dres:

( )YA

Fdrd =l

Y el alargamiento total ser:

( ) == ll

llrr

drrYA

A

YA

Fdr 222

2

3

1)

3-(

2

3233

2

YY

llll

==


24/249


12

Ejemplo 20. Una barra de hierro de 100 mm2 deseccin y 50 cm de longitud gira alrededor de unode sus extremos con una velocidad angular uniformede radianes por segundo. Se pide cul debe seresta velocidad para que la barra se rompa por latraccin que origina la fuerza centrfuga, sabiendo

que el material de que est hecha se rompe portraccin cuando se le carga con 30 kg por mm2.Solucin.Se romper cuandoFc= (30x9,8) x100 = 29400 N.Llamando dm a un elemento de masa situado a ladistanciaxdel eje de giro, ser:

xdVxdmdFc22 == = Axdx2

Integrando:225,0

0

2

2

1AxAxdxFc ==

= ( ) ( )( )262 5,010100780021

Luego:

( ) ( )( ) 294005,01010078002

1 262 =

Por tanto:

301538101950

2940024

2 =

=

, o sea

rad/s549301538== .

Ejemplo 21. Determinar el mximo valor admisiblede la velocidad lineal de rotacin de un anillo finode plomo, si la resistencia del plomo tiene el lmitede rotura P =2000 N/cm2 y la densidad = 11,3g/cm3.Solucin.Durante la rotacin del anillo, en ste surge unatensin T = mv2/2 r .Para el anillo fino m=2rS,donde S es la seccin transversal del anillo. Por lotanto, T/S=v2.De all el valor de la velocidad mxima es

= Pv 41 m/s.

Ejemplo 22.Una barra homognea de cobre de 1 mde longitud gira uniformemente alrededor de un ejevertical que pasa por uno de sus extremos.A qu velocidad de rotacin se romper la barra?

Densidad del cobre 3m

kg8600= , Esfuerzo de

rotura del cobre2

8

m

kg1045,2 =rS

Solucin.La fuerza centrfuga que acta sobre la barra en estecaso es

= l

0

2dmrF

Donde l es la longitud de]a barra, es lavelocidad angular de larotacin; r, la distancia quehay desde el elemento de masa dm hasta el eje de

rotacin. Para una barra homognea Adrdm = ,siendo la densidad de la sustancia que forma labarra yA, su seccin. Integrando, obtenemos

2

22lA

F=

De donde el nmero lmite de revoluciones porsegundo ser

2

22l

==A

FSr 2

2

l r

S= ,

reemplazando valores;( )

( )( ) srad

23918600

10.45,222

8

==

o rev/s382

239=

Deformaciones no uniformes por rea variable.

Ejemplo 23. Calcular cunto se comprime el bloquemostrado en la figura, cuando se le aplica una fuerzaP. Mdulo de elasticidad Y.

Solucin.Tomemos un elemento diferencial dytal como semuestra en la figura.

Segn muestra el diagrama del cuerpo libre delelemento diferencial, es comprimido por la fuerzaP.Este elemento disminuye su longitud d(h), siendohla disminucin de longitud de h debido a lafuerzaP.

YA

Pdy

hd = )(


25/249


13

Usando las figuras anteriores

)2( xaaA += y yh

ax

2= reemplazando

obtenemos;

)()(

yh

aaYa

Pdyhd

+

= o)(

)(2 yhYa

Phdyhd

+=

Luego, como

+==hh

yhYaPhdyhdh

02

0 )()(

Integrando

2ln)ln(202 Ya

Phyh

Ya

Phh h =+=

El bloque se comprime2

692,0Ya

Phh=

Ejemplo 24. Una pirmide truncada de basescuadradas de lados a y 2a respectivamente dealtura hy modulo elstico Yse somete en la

direccin axial a una fuerza de compresinP,Determine la deformacin que sufre la altura poraccin de la fuerzaP.Solucin.

Tomemos un elemento diferencial dytal como semuestra en la figura.

Segn muestra el diagrama del cuerpo libre delelemento diferencial, es comprimido por la fuerzaP.Este elemento disminuye su longitud d(h), siendo

hla disminucin de longitud de hdebido a lafuerzaP.

YA

Pdyhd = )(

Usando las figuras anteriores

2)2( xaA += y yh

ax

2= reemplazando

obtenemos;

22

2

)()(

yhYa

dyPhhd

+=

Luego, como

+==

hh

yhYa

dyPhhdh

022

2

0 )()(

Integrando

22Ya

Phh=

El bloque se comprime22

1

Ya

Phh=

Ejemplo 25. Determine la deformacin debido a la

fuerzaF, sin considerar el peso. El slido mostradode modulo elstico Ytiene alturaHy basescirculares de radiosRy 2R

Solucin.

( )2rrY

FdyHd

= , xRr +=

En los tringulos ABC y ADE:

Hx

Ry = xH

Rx=


26/249


14

( )( )2xRYFdy

Hd+

=

=2

+ x

H

RR

dy

Y

F

= ( ) dyxHYR

FH 2

2

2

+

( )

+==H

dyxHYR

FHHH

0

2

2

2

= ( )

H

xH

YR

FH

0

1

2

2

1

+

YR

FH

HYR

FHH

22

2

22

1

=

=

Deformaciones no uniformes por peso propio y

rea variable.

Ejemplo 26. Determine la deformacin que sufre laaltura de la Gran pirmide de Keops en Egiptodebido a su propio peso, sabiendo que posee unaaltura de 147 m, su base es cuadrada de lado 230 my que fue construida con bloques de piedra caliza ygranito con mdulo de Young = 35 x 109 N/m2 ydensidad = 2400 kg / m3.Solucin.

Tomemos un elemento diferencial dy, tal como deindica en la figura

Este elemento sufre una acortamiento d(h), debidoal peso de la porcin de pirmide que soporta (dealturay, radio base de lado 2x).

El peso que soporta es: )43

1(Peso 2yxg= el

rea de su base es: 24xAx=

ydyY

g

xY

ydyxghd

343

4)(

2

2 ==

Integrando desdey= 0 hastay= h

Y

ghy

Y

gydy

Y

gh

hh

32

1

233

2

0

2

0

===

Como el Peso total es3

gAh, obtenemos:

)baseArea(

)totalPeso(

2

1

Y

hh=

Ejemplo 27. Encontrar cuanto se comprime el cono

de altura hy base de reaAdebido a su propio peso.El cono esta hecho de un material de densidadymdulo de elasticidadY.

Solucin.

Tomemos un elemento diferencial dy, tal como deindica en la figura

Este elemento sufre una acortamiento d(h), debidoal peso de la porcin de cono que soporta (de alturay, radio de la base r).


27/249


15

El peso que soporta es: )3

1( 2yrgpeso = el

rea de su base es: 2rA =

ydyY

g

rY

ydyrghd

33)(

2

2

==

Integrando desdey= 0 hastay= h

Y

ghy

Y

gydy

Y

gh

hh

32

1

233

2

0

2

0

===

Como el Peso total esgAh/3, obtenemos:

)baseArea(

)totalPeso(

2

1

Y

hh=

Ejemplo 28.En la figura se muestra un tronco rectode pirmide regular de base cuadrada. Determinarcunto se comprime el slido homogneo debido asu peso propio.Datos: Densidad =, gravedad =g, mdulo deYoung = YLado de la base menor = 2a; lado de la base mayor =4a

Altura del tronco de pirmide regular =H

Solucin.Para determinar cunto se comprime el slidotomamos un elemento diferencial dyy vemos cuantose comprime por efecto del peso de la parte troncode pirmide que est sobre l (la parte de alturayenel dibujo).

Clculo del peso de la de la parte tronco de pirmideque est sobre el elemento diferencial.Para esto tomamos un elemento diferencial de alturady y lo integramos desdex= 0 hastax =x.

El peso del elemento diferencial es:

( ) ''4 2 dyxaggdVdP +== Del dibujo siguiente:

Obtenemos:

'' xx

yy= y '' dx

x

ydy= :

( ) ''4 2 dxxax

ygdP +=

Integrando desdex= 0 hastax =x:

( ) +=='

0

2 ''4 x

dxxax

ygdPP

=

( ) x

xa

x

y

g0

3

3

'

4

+

= ( )[ ]333

4axa

x

gy+

El elemento diferencial se comprime:

( )YA

PdyHd = , ( ) ( )22 422 xaxaA +=+=

Reemplazando:

( ) ( )[ ]

( ) dy

xa

axa

Yx

gyHd

2

33

43

4

+

+=

Del dibujo siguiente:

Obtenemos:


28/249


16

xa

Hy= , dx

a

Hdy= :

( ) ( )[ ]

( ) dx

xa

axa

a

H

Y

gHd

2

33

2

2

3 +

+=

= ( )[ ]dxxaaxaa

HYg 23

2

2

3++

Integrando desdex= 0 hastax = a:

( ) = HdH

= ( )[ ]

++a

dxxaaxaa

H

Y

g

0

232

2

3

=( )

a

xa

axax

a

H

Y

g

0

32

2

2

23

+++

=

++ 2

22

22

2

223 aaaaaHYg

=Y

gH2

3

1

Ejemplo 29. Determine la deformacin que sufre laaltura debido al peso propioEl slido mostrado tiene pesoF,modulo elstico Y,alturaHy bases circulares de radiosRy 2R

Solucin.

Para determinar cunto se comprime el slido

tomamos un elemento diferencial dyy vemos cuanto

se comprime por efecto del peso de la parte tronco

de cono que est sobre l (la parte de alturayen el

dibujo).

Clculo del pesoPde la de la parte tronco de conoque est sobre el elemento diferencial.Para esto tomamos un elemento diferencial de alturady y lo integramos desdex= 0 hastax =x.

El peso del elemento diferencial es:

( ) '' 2 dyxRggdVdP +== Del dibujo siguiente:

Obtenemos:

'' xx

yy= y '' dx

x

ydy= :

( ) '' 2 dxxRx

ygdP +=

Integrando desdex= 0 hastax =x:

( ) +=='

0

2 ''x

dxxRx

ygdPP

=( )

x

xR

x

yg

0

3

3

'+

= ( )[ ]333

RxRx

yg+

El elemento diferencial se comprime:

( )YA

PdyHd = , ( )2xRA +=

Reemplazando:

( ) ( )

( ) dy

xR

RxR

Yx

ygHd

2

33

3 +

+=

Del dibujo siguiente:

Obtenemos:


29/249


17

xR

Hy= , dx

R

Hdy= :

( ) ( )[ ]

( ) dx

xR

RxR

R

H

Y

gHd

2

33

2

2

3 +

+=

= ( )[ ]dxxRRxRRH

Yg 23

2

2

3++

Integrando desdex= 0 hastax =R:

( ) = HdH

= ( )[ ]

++R

dxxRRxRR

H

Y

g

0

232

2

3

=( )

R

xa

RxRx

R

H

Y

g

0

32

2

2

23

+++

=

++ 2

22

22

2

223 RRRRRHYg

=Y

gH2

3

1

El peso del tronco de cono es:

( ) ( ) ( ) ( ) gHRgHRF 223

122

3

1=

= ( ) gHRgHR 223

718

3

1=

Luego

YgH

gHR

FH 2

2 31

3

7

=

=YR

FH27

Ejemplo 30. Un hemisferio (mitad de una esferaslida) de densidad , radioRy modulo de Young

Yesta sobre el piso descansando sobre su basecircular determine cuanto se deforma por accin desu propio peso.

Sugerencia: Calcule la deformacin de una porcindiferencial del hemisferio formada por un discodelgado paralelo al piso.

Solucin.

Vamos a considerar un elemento diferencial de

rea 2rA = , altura dy

Donde )( 222 yRr =

El elemento diferencial soporta el pesoPde la parte

de hemisferio que est sobre l.

De tal manera que se deforma:

( ) ( )

YA

dyPRd

y=

Clculo de )(yP

Peso del elemento diferencial

( ) ''22)( dyyRgdPy =

El peso )(yP de la porcin de hemisferio es:

= R

yy dyyRgP ')'(

22)( =

+

32

3

33

2 yyR

Rg

Ahora la deformacin total Integrando

( ) ( )YA

dyPRd

y= :

( ) ( )22

32

3

33

2

yRY

dyy

yRR

g

Rd

+

=

)(33

2122

0

32

3

yR

dyyyR

R

YgR

R

+=

=( )

dyyR

yyRyRR

Y

g R

++

022

3223

3

1

3

1

3

2

3

2

=

( ) ( )

( )( ) dyyRyR

yRy

yRR

Y

g R

+

0

222

33

2


30/249


18

=( )

dyyyR

R

Y

g R

+0

22

3

= ( )R

yyRR

Y

g

0

22

2

ln2

3

+

=

2

12ln2

3

2

Y

gR=

Y

gR230,0

La altura del hemisferio disminuye

Y

gRR

230,0 = Debido al peso propio

DEFORMACION LATERAL MODULO DEPOISSON

Adicionalmente, cuando estiramos un bloque en unadireccin ste se contrae en las dimensionesperpendiculares al estiramiento, la contraccin de lascaras laterales es en la misma proporcin para elancho (a) y el alto (h). Por ejemplo, la contraccin

a en el ancho es proporcional al ancho a y tambin

al

l, lo que resumimos en la siguiente expresin:

l

l=

=

-

h

h

a

a

Donde es otra constante del material conocida

como el mdulo de Poisson.

Como valores aproximados para algunos materialesse puede tomar:0,28 para hierro y acero, 0,5 para caucho y 0,25para vidrio.Las dos constantes Y y especificancompletamente las propiedades de un materialhomogneo isotrpico.

Nombre

Mdulo de

Poisson Sin dimensionesAluminio 0,34Acero 0,28

Cobre 0,35Oro 0,41Hierro, fundido 0,28Plomo 0,33Nickel 0,30Platino 0,38

Plata 0,37Latn 0,33

Ejemplo 31.El paraleleppedo de la figura esthecho de un material con mdulo de Young Y, yconstante poisson . Cul es el valor de V/V?

Solucin.Debido a la compresin ocasionada por la fuerza F:

YA

F

L

L=

y como

L

L

b

b

a

a =

=

Obtenemos:YA

F

b

b

a

a=

=

Comob

b

a

a

L

L

V

V +

+

=

Reemplazando

YA

F

YA

F

YA

F

V

V ++=

Finalmente:

)21( =

YA

F

V

V

Ejemplo 32. Al cubo de la figura de lado 50cm sele aplica dos pares de fuerzasFx=100 N yFy=50 Nobteniendo como resultado que la longitud en el ejexaumenta en 0,01% y la longitud en el ejeydisminuye en 0,006%.

a)Determine si el esfuerzo enx,yes de traccin o

compresin.b)Determine el mdulo de Young y la constantede Poisson.

Solucin.

a)( )25,0100=x

S = 400 N/m2,( )25,050=y

S = 200

N/m2


31/249


19

4101100

01,0 ==

a

ax ,

5106100

006,0 ==

a

ay

Haciendo un anlisis de los cambios de longitudes:

El esfuerzo enxes mayor y la longitud enxaumenta mientras que eny disminuye, siendo elesfuerzo enymenor, se puede concluir que elesfuerzo enx es de traccin y el esfuerzo enyes decompresin.

b) El paraleleppedo esta sujeto a esfuerzo por cuatrocaras, como se muestra en la figura siguiente:

Sea S el esfuerzo sobre cada una de las caraslaterales.

La deformacin del lado horizontal xa es:

4101200400 =+=

YYa

ax (1)

La deformacin del lado horizontal ya es:

4

106,0

400200

==

YYa

ay

(2)Restando (1) + (2)/2, obtenemos:

4107,0100400 =YY

4107,0300 =Y

4107,0

300

=Y = 4,28 x 106N/m2

Reemplazando el valor de Yen (1):

466

1011028,4

200

1028,4

400 =

+

28,424 =+

14,0=

Ejemplo 33. a) Calcule la deformacin volumtricadurante la extensin elstica de una barra cilndricasometida a traccin axial. El material es istropo y ladeformacin se supone pequea.b) Para qu valor del mdulo de Poisson, elalargamiento ocurre sin cambio de volumen?c) El mdulo de Poisson de la mayora de metales esaprox. 0,3. El del corcho, aprox. 0,0 y el del cauchocercano a 0,5. Cules son las deformacionesvolumtricas de esos materiales al someterlos a una

compresin elstica 0


32/249


20

( ) 0'31

=SSY

0'3 =SS

SS 3'=

Ejemplo 35.Se tiene el paraleleppedo mostrado en

la figura que encaja perfectamente en una cajargida. Luego de encajo el paraleleppedo se colocaun pesoPsobre ste, tal que lo aplastauniformemente, la caja impide las expansioneslaterales.a) Cul es el esfuerzo sobre las paredes laterales?b) Cul es el cambio en la altura 'HHH = del paraleleppedo?

Solucin.El paraleleppedo esta sujeto a esfuerzo por sus seiscaras, como se muestra en la figura siguiente:

Sea S el esfuerzo sobre la cara superior e inferior yS el esfuerzo sobre cada una de las caras laterales.La deformacin del lado aes:

Y

S

Y

S

Y

S

a

a ++=

'' (1)

La deformacin del ladoHes:

Y

S

Y

S

H

H '2+=

(2)

a) Como la longitud ano cambia, 0=a .De la ecuacin (1):

0''

=++Y

S

Y

S

Y

S

( )SS

=

1'

Siendo2a

PS=

( ) 21

'a

PS

=

b) De la ecuacin (2):

Y

S

Y

S

H

H '2+=

( ) YS

Y

S

H

H

+=

1

2 2

( )

=

121

2

YS

HH

( )H

Ya

PH

=

1

21

2

2

Ejemplo 36.Hallar el valor del mdulo de Poissonpara el cual el volumen de un alambre no vara alalargarse.Solucin.

l

l=

r

r, de aqu el mdulo de Poisson

l

l

= r

r

, siendo r el radio del alambre y l su

longitud. El volumen de dicho alambre antes de

estirarlo es l21 rV = y su volumen despus de

estirado es ( ) ( )ll += 22 rrV Si el volumen no vari con el alargamiento,

tendremos que ( ) ( )lll += 22 rrr . Y

abriendo los parntesis y despreciando lasmagnitudes r y l al cuadrado, hallamos que

ll rrr = 22 , de donde 5,02

1==

l

l

r

r

, luego

= 0,5.

Ejemplo 37. Hallar la variacin relativa de ladensidad de una barra de cobre cilndrica al sercomprimida por una presin p = 9810 Pa. Para el

cobre tmese un mdulo de Poisson = 0,34.Solucin.

La densidad de la barra antes de ser comprimida es

11

V

m= donde l21 rV = . La densidad de la

barra despus de comprimida ser2

2V

m= ,

siendo ( ) ( )ll += 22 rrV . Por

consiguiente la variacin de la densidad ser


33/249


21

==

1212

11

VVm =

12VV

Vm

Como .la compresin no es muy grande,

aproximadamente se puede tomar 2112 VVV =

Se puede considerar que2

1V

Vm= .

Entonces la variacin elativa de la densidad

11 V

V=

. Hallemos pues la variacin de

volumen ( ) ( )lll += 22 rrrV .Abriendo los parntesis y despreciando loscuadrados de las magnitudes r y l , obtenemos

que ( )211

=

l

lVV , .donde es el

mdulo de Poisson. Por lo tanto

( )

21

11

=

=

l

l

V

V. Pero como por la ley

de HookeY

pn=

l

l, tendremos que en definitiva

( )

21

1

=

Y

pn .

En nuestro caso2

3

m

N1081,9 =np ,

211

m

N1018,1 =Y y = 0,34. Poniendo estos

datos obtenemos que %.0,02711

=

=

V

V

.

Ejemplo 38.El slido de la figura (lados a, by c)est sometido a los esfuerzos de compresin ytensin mostrados.Determine la deformacin volumtrica unitaria,

VV/ .Datos:S= esfuerzo, Y= mdulo de Young, = mdulode Poisson.

Solucin.Deformacin de cada uno de los lados:

Consolidado

totalc

ctotal

b

btotal

a

a

V

V

+

+

=

= ( )Y

S

Y

S 64

3 = ( )12

6

Y

S

DEFORMACIN POR CIZALLADURA OCORTE. MODULO DE CIZALLADURA ORIGIDEZ.

Deformacin por cizalladuraYa hemos estudiado el mdulo de elasticidad Y deun material, es decir, la respuesta del material


34/249


22

cuando sobre l acta una fuerza que cambia suvolumen (aumentando su longitud). Ahora,examinaremos la deformacin por cizalladura en elque no hay cambio de volumen pero si de forma.Definimos el esfuerzo comoF/Ala razn entre lafuerza tangencial al reaAde la cara sobre la que se

aplica. La deformacin por cizalla, se define como larazn x/h, donde x es la distancia horizontal quese desplaza la cara sobre la que se aplica la fuerza yhla altura del cuerpo, tal como vemos en la figura.

Cuando la fuerzaFque acta sobre el cuerpo es

paralela a una de las caras mientras que la otra carapermanece fija, se presenta otro tipo de deformacindenominada de cizalladura en el que no hay cambio devolumen pero si de forma. Si originalmente el cuerpotiene forma rectangular, bajo un esfuerzo cortante laseccin transversal se convierte en un paralelogramo.

El mdulo de cizalladura o de rigidez G es unapropiedad mecnica de cada material

Siendo pequeos los ngulos de desplazamientopodemos escribir

== tanhnDeformaci

tS

h

AF

ndeformaci

esfuerzoG ===

La ley de Hooke para la deformacin por cizalladurase puede escribirla de modo siguiente:

GSt= El mdulo de cizalladura G es caracterstico de cadamaterial

NombreMdulo derigidez G1010 N/m2

Aluminio 2,5Cobre 4,3Oro 3,5Hierro, fundido 3,2Plomo 0,6Nickel 7,4Acero 7,5Latn 1,7

Ejemplo 39. Un cubo de gelatina de 30 cmde arista tiene una cara sujeta mientras que a

la cara opuesta se le aplica una fuerzatangencial de 1 N. La superficie a la que seaplica la fuerza se desplaza 1 cm.a) Cul es el esfuerzo de corte?

b) Cul es la deformacin de corte?c) Cul es el mdulo de corte?Solucin.

a)( ) 22 m

N11,11

30,0

1===

A

FSt

b) 033,0301 ===

hx

c) 33,333033,0

11,11===

tSG

Ejemplo 40. Un cubo de acero de 5 cm dearista se halla sometido a 4 fuerzas cortantes,de 1200 kg, cada una, aplicadas en sentidosopuestos sobre caras opuestas. Calcule ladeformacin por cizalladura.

Solucin.G Acero al carbono= 8 x10

9N/m2

tS

h

AF

ndeformaci

esfuerzoG ===

( )( )( )205,0

8,91200==

A

FSt = 4,704 x10

6N/m2

Consideremos solamente las fuerzashorizontales, estas producen una deformacin, como se muestra en la figura

9

6

108

10704,4

==

G

St = 0,588 x10-3

radianes

La cara que se muestra queda como un rombo

con ngulos

2y

+

2

Consideremos ahora solamente las fuerzasverticales, estas producen una deformacintambin , como se muestra en la figura

9

6

108

10704,4

==

G

St = 0,588 x10-3

radianes


35/249


23

El cubo se deforma en el plano del papel ytoma la forma de un rombo con ngulos

2

2y

+

2

2

Ejemplo 41. Una estatua se encuentra soldada a unpedestal de latn, que se muestra en la figura. Alproducirse un movimiento ssmico se observa undesplazamiento lateral de la cara superior delpedestal de 0,25mm.

Calcular:

a) El esfuerzo de corte.b) La magnitud de la fuerza producida por elmovimiento ssmico.El pedestal de latn tiene una altura de 1m y unaseccin cuadrada de 0,5m de lado.El mdulo de Young del latn es 3,5x1010PaMdulo de rigidez G del latn es 1,7 x1010 N/m2

Solucin.Desplazamiento lateral de la cara superior delpedestal de 0,25mm.

a) El esfuerzo de corte.

33

1025,000,1

1025,0

=

=

=h

x

tSG=

GSt= = (1,7 x 1010)(0,25 x10-3)

= 0,425 x 107N/m2b) La magnitud de la fuerza producida por elmovimiento ssmico.

A

FSt=

ASF t= = (0,425 x 107)(0,52)

= 2,65 x 105N

Ejemplo 42. El acero promedio requiere,tpicamente, un esfuerzo de 3,45 x 108N/m2para laruptura por cizalladura. Determine la fuerzarequerida para perforar un agujero del dimetro 2,5

cm en una placa de acero de de pulgada (6,25mm) de espesor.

Solucin.La circunferencia de un crculo del dimetroD= 2,5

cm es m1085,7 2== xDC , El rea del bordedel disco cortado AAAA es el producto de la

circunferencia Cpor el espesor del material, esto es( )( )23 1085,71025,6 = 25 m1006,49 .Una fuerza de la magnitudFse ejerce en el sacador,el esfuerzo de corte (fuerza por unidad de rea) a

travs del borde esA

FS=

ASF .= = ( )( )58 1006,491045,3 = 1,69 x 105N. La hoja de acero se corta por

cizalladura cuando el esfuerzo llega a ser igual 3,45x 108N/m2, es decir, cuandoF = 1,69 x 105N.Esta es la fuerza de 1,69 x 105N, equivalente a 17,3toneladas es requerida para perforar el agujero de2,5 cm de dimetro El sacador y los dados sonoperados por una mquina conocida como prensa;en este caso uno tendra que utilizar una prensa conuna capacidad de 20 toneladas o ms.

Ejemplo 43.Calcular el mdulo de rigidez delmaterial en funcin a las caractersticas geomtricasde un alambre (longitud l y radio R) y del torqueaplicado.

Manteniendo el extremo superior fijo aplicamos untorque que gira al extremo inferior un ngulo.Consideremos una capa diferencial cilndrica de

material concntrica con el eje, de radio interior ryde espesor dr, como se muestra en la figura.

La deformacin es


36/249


24

ll

r==

El esfuerzo cortante es

l

GrGSt ==

Como el esfuerzo cortante es la fuerza tangencialpor unidad de rea, multiplicndolo por el rea de laseccin transversal de la Capa, 2rdr, nos dar lafuerza tangencial dFsobre la base de la Capa

dASdF t= = ( )rdrGr

2

l= drrG 22

l

El torque sobre la base de la Capa cilndrica es

rdFd = =

drrGr 22

l

= drrG 32

l

Integrando de 0 a R, el torque total sobre la base delcilindro es

l

4

2

RG=

De aqu

4

2

RG

l=

O sea, para determinar C bastar con medir elngulo que se produce al aplicar el torque M.

Ejemplo 44.Una varilla de cobre de 40 cm delongitud y de 1 cm de dimetro est fija en su base y

sometida a un par de 0,049 Nm en torno a su ejelongitudinal. Cuntos grados gira la cara superiorrespecto de la inferior?

Solucin.Cobre estirado en fro G = 48,0x109N/m2

l

4

2

RG=

4

2

GR

l=

( )( )( )( )29 105,0100,48

049,04,02

=

= 2,08 x10-4

radianes

Ejemplo 45.Una varilla que tiene 100 cm delongitud y 1 cm de dimetro est sujetargidamente por un extremo y se le somete atorsin por el otro hasta un ngulo de l. Si seaplica la misma fuerza a la circunferencia deuna varilla del mismo material pero que tieneuna longitud de 80 cm y un dimetro de 2

cm, cul es el ngulo de torsin resultante?Solucin.

l

4

2

RG=

l

4

32

DG= ,

Como FD=

l

4

32

DGFD= , de aqu

=

3

32

DG

F l

Para la varilla de 100 cm y de 80 cmrespectivamente son:

=31

11

32DG

F l

Y

=32

22

32DG

F l

De estas ltimas obtenemos:

1

3

2

1

1

22

=

D

D

l

l 1

2

1

100

803

=

= 0,1

DEFORMACION VOLUMETRICA. MODULODE ELASTICIDAD VOLUMETRICO.Mdulo de elasticidad volumtrico.

Consideramos ahora un volumen de material Vsujeto a un esfuerzo unitario 0p (por ejemplo la

presin atmosfrica) sobre toda la superficie.Cuando el esfuerzo a presin se incrementa a

ppp += 0 y el volumen sufre una disminucin

V , la deformacin unitaria es VV=

El esfuerzo es pA

F= .

La razn del esfuerzo de compresin uniforme a ladeformacin por compresin uniforme recibe es elmdulo de elstico que en este caso se conoce como

mdulo de compresibilidad volumtrica ovolumtrico (B).

VV

pB

=

Donde la constante de proporcionalidad B, dependesolamente del material. El mdulo volumtricotiene las dimensiones de la presin, esto es,fuerza/rea y es aplicable tanto para slidos comolquidos. Pero, los gases tienen un comportamientodiferente que ser considerado posteriormente.

Nombre

Mdulo

volumtricoB 1010 N/m2Aluminio 7,5Cobre 14


37/249


25

Hierro 16Plomo 17Nckel 4,1Vidrio ptico 5,0Latn 6,0Acero 16

Agua 0,21Mercurio 2,8

Ejemplo 46. Qu incremento de presin se requierepara disminuir el volumen de un metro cbico deagua en un 0,005 por ciento?Solucin.Por elasticidad volumtrica tenemos:

V

VBp

=

El mdulo de compresibilidad del agua es

2,1 x 10 9N/m 2

=

V

Vp

00005,0101,2 9

= 1,05 x105N/m 2

Ejemplo 47. Calcule densidad del agua del ocano auna profundidad en que la presin es de 3430 N/cm2.La densidad en la superficie es 1024 kg/m3.El mdulo de compresibilidad del agua es 2,1 x

10 9N/m 2 Solucin.

p= 3430 N/cm2

= 3,430 x107

N/m2

,p= 3,430 x107 1,013 x105 3,430 x107N/m2

En la superficie3m

kg1024==

V

m

Cuando cambia el volumen a ( )VVV +=' ,tenemos:

VV

m

V

m

+==

'' =

+

V

VV

m

1

=

+

V

V1

Como

V

V

pB

=

B

p

V

V =

De aqu:

=

+

=

B

p

V

V11

'

=

9

7

101,2

10430,31

1024 = 1041 kg/m3

Ejemplo 48. Si con aluminio se fabrica un cubo de10 cmde lado, se quiere saber las deformacionesque experimentar en una compresin uniforme,perpendicular a cada una de sus caras, de unatonelada, y cundo esta misma fuerza acta

tangencialmente a la superficie de una de sus caras,estando el cubo s1idamente sujeto por la caraopuesta.Solucin.La presin que soporta, cada cara, en el primer caso,ser:

Pa108,91,0

)8,9)(100(2

===A

Fp

Como el mdulo volumtrico del aluminio esB = 3,5x 1010N/m2:

510

5

108,2

105,3

108,9 =

==

B

p

V

V

De donde:V= - 2,8x 10-5V= - 2,8x 10-5x 10-3= - 2,8x 10-8m3.En cuanto a la deformacin, se obtiene a partir de laexpresin de la deformacin de cizalla, que es:

A

F

G

1tan = = 2

3

111 10

)8,9)(10(

10103

1 x

= 3,27x10-5rad

RELACION ENTRE CONSTANTES

ELASTICAS.Relacin entreB, Yy

Muestra sometida a una presin uniforme.

La figura siguiente muestra un bloque bajo presinuniforme en toda su superficie exterior

Como la presin es uniforme, el esfuerzo unitario encada cara es el mismo.Y las deformaciones de cada una de las dimensionesson:Dimensin l:

Y

p=

l

l


38/249


26

Dimensin a:

Y

p

a

a=

Dimensin b:

Y

p

b

b=

Pero, como la deformacin de una dimensin lleva ala deformacin de las otras dimensiones, tenemos.Deformacin de :- Propia:

Y

p=

l

l1

- Debido a la deformacin de a:

Y

p

Y

p

a

a =

=

=

l

l 2

- Debido a la deformacin deb:

Y

p

Y

p

b

b =

==

l

l 3

Deformacin total

l

l

l

l

l

l

l

l 321 +

+

=

= ( )21Y

p

Deformacin dea:- Propia:

Y

p

a

a=

1

- Debido a la deformacin de l:

Y

p

Y

p

a

a =

=

=

l

l2

- Debido a la deformacin deb:

Y

p

Y

p

b

b

a

a =

=

=

3

Deformacin total

a

a

a

a

a

a

a

a 321 +

+

=

= ( )21Y

p

Deformacin deb:

- Propia:

Y

p

b

b=

1

- Debido a la deformacin de a:

Y

p

Y

p

a

a

b

b =

=

=

2

- Debido a la deformacin del:

Y

p

Y

p

b

b =

=

=

l

l3

Deformacin total

b

b

b

b

b

b

b

b 321 +

+

=

= ( )21Y

p

El cambio de volumen es:

bb

aa

VV ++=

l

l

= ( )213

Y

p

Sabemos nosotros que el mdulo de compresibilidades

VV

pB

=

Luego:

( )213 =

YB

Expresin que nos relaciona el mdulo deCompresibilidad, el mdulo de Young y la relacinde Poisson

Ejemplo 49. Se somete a una muestra de cobre deforma cbica con 10 cm de arista a una compresinuniforme, aplicando Un esfuerzo de 106N/m2perpendicularmente a cada una de sus caras. Lavariacin relativa de volumen que se observa es de7,2510-6.a) Determinar el mdulo de compresibilidad (B) delCu en el sistema internacional.b) Determinar el mdulo de Poisson sabiendo que elmdulo de Young del cobre es 120109 Pa.Solucin.a) Como:

24N/m10=p , 61025,7 =

V

Vy

V

V

pB

=

6

6

1025,7

10

=B = 137,7 x 109N/m2

b)


39/249


27

( )213 =

YB ( )

B

Y

321 =

2

31

B

Y

=

( )

2107,1373

101201

9

9

= = 0,35

Relacin entreG, Yy

Muestra sometida a esfuerzo cortante.Determinacin de la relacin entre el mdulo derigidez, el mdulo de Young y el mdulo dePoisson.

Pretendemos analizar la relacin entre los esfuerzoscortantes y los esfuerzos de compresin y detraccin. Para ello consideremos primero el caso delbloque de la Figura que est sometido, por una parte,a un esfuerzo de compresin y en la otra direccin aun esfuerzo de traccin. Sea 1 su longitud en ladireccin horizontal y h su altura.

La deformacin en la direccin horizontal tiene dostrminos: el primero corresponde a la deformacinproducido por el esfuerzo de traccin, mientras queel segundo corresponde a la dilatacin producida porla compresin en la direccin vertical. Por tanto, nosqueda,

YA

F

YA

F

YA

F

l

l)1( +=+=

Por otra parte, la deformacin en la direccin

vertical corresponde a las deformaciones causadaspor un lado por la fuerza de compresin en ladireccin vertical y por otro por la traccin en ladireccin horizontal. Por tanto,

YA

F

YA

F

YA

F

h

h)1( +==

Ahora bien, en la Figura abajo representamos ladeformacin de un bloque sometido a un esfuerzotangencial detallando lo que le ocurre a lasdiagonales de sus caras. Si observamos la figura,vemos que los resultados de los esfuerzostangenciales equivalen a los producidos por las

fuerzas H que producen, por una parte, un esfuerzode traccin sobre el plano Cy un esfuerzo decompresin sobre el planoB.

El esfuerzo de compresin sobre el planoB resultaser

A

G

A

GSB ==

2

2

A e igualmente el esfuerzo de traccin sobre C

A

G

A

GSC ==

2

2

Las deformaciones de las diagonalesB y Cse

escriben entonces

YA

H

D

DB )1( +=

yYA

H

D

DC )1( +=

(1)

Si expresamos el esfuerzo tangencial en trminos delngulo , ya que suponemos que la deformacin espequea resulta

D

D

h

D

h

CC =

= 22

tan

Donde las dos ltimas igualdades surgen a partir deanalizar la geometra esbozada en la Figura arriba.En efecto, si el ngulo entre y D es de 45 gradosse cumple

245sen1 ==

oCD

Y por tanto

C

C

o

C

C

D

D

D

D

h

=

==

2

45sen

2

En estas condiciones, s sustituimos en (1) esteltimo resultado nos queda

YA

H)1(2 +=

Esta ecuacin, si tenemos en cuenta que es la

deformacin tangencial y la comparamos con laecuacin

AHSG == , nos permite obtener


40/249


28

)1(2 +=

YG

Expresin que relaciona el mdulo de rigidez con elmdulo de Young y con el mdulo de Poisson

FUERZA ELASTICA Y ENERGIA ELASTICA.Energa de deformacin.La energa necesaria para estirar una cantidad x unamuestra de material de constante de rigidez k es

Energa = 2

2

1kxkxdxfdx == o en funcin

deF

Energa = Fx2

1

Si la seccin transversal de la muestra es A y sulongitud l entonces podemos escribir la ecuacincomo

ll A

Fx

21

AEnerga

= o

=

ll

x

A

F

21

AEnerga

Energa por unidad de volumen =

unitaria)n(Deformaci(Esfuerzo)2

1

Esta es la energa necesaria para estirar o comprimirla muestra, teniendo en cuenta el mdulo de Youngy la energa por unidad de volumen, puedeexpresarse como

Y

2(Esfuerzo)

2

1

Volumen

Energa=

Ejemplo 50.Una carga de 100 kg est colgada de unalambre de acero de 1 m de longitud y 1 mm deradio. A qu es igual el trabajo de traccin delalambre?Solucin.

Por la ley de Hooke

YA

F=

l

l l

l=

YAF (1)

Pero para las fuerzas elsticas l=kF (2)Comparando (1) y (2) vemos que

l

AYk= (3)

Entonces

( ) ( )

l

ll

22

1 22 ==

AYkW (4)

Calculando la magnitud l por la frmula (1) yponiendo todos los datos numricos en la ecuacin(4) obtenemos definitivamente que W = 0,706J.

Ejemplo 51.Un alambre de acero de 2m de longitudcuelga de un soporte horizontal rgido.

a) Cunta energa almacena cuando se suspende enl una carga de 5 kg?b) Si la carga se aumenta 10 kg, en cuanto aumentaenerga almacenada?

Y= 2 x 1011N/m2,A= rea de la seccin transversal= 10-6m2

Solucin.m2=l , N8,951 =F , N8,9102 =F

2-6 m10=A , 22 N/m102=Y

W= trabajo realizado por la fuerzaF = kxen alargarel alambre una longitudx.

2

2

1kxW= , con kxF=

k

Fx=

k

F

k

FkW

22

2

1

2

1=

=

Para un alambrel

YAk=

Reemplazando:

lYA

F

W

2

2

1=

=AY

F

2

2l

a)AY

FW

2

21

1

l= =

( ) ( )( ) 116

2

102102

28,95

= 0,012 J

b)AY

FW

2

22

2

l= =

( ) ( )( ) 116

2

102102

28,910

= 0,048 J

El incremento en energa almacenada es:

12 WWE = = 0,048 0,012 = 0,036 J.

Ejemplo 52. Demostrar que cuando sesomete un cuerpo elstico a una tensin decorte pura que no supera el lmite elstico decorte para el material, la densidad de energaelstica del cuerpo es igual a la mitad delproducto de la tensin de corte por ladeformacin de corte.Solucin.

La fuerza que deforma por corte o cizalladura

es xh

GAF=

El trabajo para deformar un dxes

xdxh

GA

W

xx

x

=

== 0


41/249


29

( )22

1x

h

GAW = = xF

Física 2 Hugo Medina Guzmán

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