F´ISICA 2 - TEOR ´IA
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F ´ ISICA 2 - TEOR ´ IA CIRCUITOS RL En la primer parte de la materia fue de nuestro inter´ es analizar lo que suced´ ıa con el capacitor cuando se conectaba a una fuente y un resistor donde pudimos realizar un an´ alisis temporal de todo el circuito RC. Ahora ser´ a de nuestro inter´ es volver a hacer un an´ alisis similar pero con un inductor cuando es conectado a una fuente de tensi´ on y hay una resistencia de por medio. ´ Este tipo de circuitos los denominaremos “Circuitos RL” y se dividen en dos grandes an´ alisis temporales: - Energizaci´ on del Inductor. - Desenergizaci´ on del Inductor. En los circuitos RC el par´ ametro m´ as importante del capacitor era la tensi´ on del mismo, an´ alogamente en el inductor el par´ ametro m´ as importante es la corriente ya que un inductor es un elemento circuital que se opone a los cambios en la corriente dentro de un circuito. Veamos el circuito sobre el cu´ al estaremos trabajando: Figura 1 Como podemos ver la llave S 1 se cerrar´ a para un tiempo t = 0 y ah´ ı empezaremos nuestros an´ ali- sis. La llave S 2 nos permitir´ a usar el mismo circuito para las dos situaciones que debemos ver. Una aclaraci´ on no menor es que las l´ ıneas curvas de la llave S 2 indican que ´ esta llave nunca se puede abrir completamente, es decir, siempre est´ a en “a” o en “b” (la aclaraci ´ on es porque si el circuito queda abierto mientras circula una corriente provocar´ ıa un corte abrupto de la misma y eso podr´ ıa terminar da ˜ nando el inductor ya que el mismo se opone a los cambios bruscos de corriente) Comencemos a realizar el desarrollo. Energizaci´ on de un Inductor Supongamos que S 2 se pone en “a” en t = 0, es decir, en el mismo momento en que S 1 se cierra. Bajo esa condici ´ on tendremos el siguiente circuito: Figura 2 1
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FISICA 2 - TEORIACIRCUITOS RL
En la primer parte de la materia fue de nuestro interes analizar lo que sucedıa con el capacitorcuando se conectaba a una fuente y un resistor donde pudimos realizar un analisis temporal de todoel circuito RC. Ahora sera de nuestro interes volver a hacer un analisis similar pero con un inductorcuando es conectado a una fuente de tension y hay una resistencia de por medio. Este tipo de circuitoslos denominaremos “Circuitos RL” y se dividen en dos grandes analisis temporales:- Energizacion del Inductor.- Desenergizacion del Inductor.En los circuitos RC el parametro mas importante del capacitor era la tension del mismo, analogamenteen el inductor el parametro mas importante es la corriente ya que un inductor es un elemento circuitalque se opone a los cambios en la corriente dentro de un circuito.Veamos el circuito sobre el cual estaremos trabajando:
Figura 1
Como podemos ver la llave S 1 se cerrara para un tiempo t = 0 y ahı empezaremos nuestros anali-sis. La llave S 2 nos permitira usar el mismo circuito para las dos situaciones que debemos ver. Unaaclaracion no menor es que las lıneas curvas de la llave S 2 indican que esta llave nunca se puede abrircompletamente, es decir, siempre esta en “a” o en “b” (la aclaracion es porque si el circuito queda abiertomientras circula una corriente provocarıa un corte abrupto de la misma y eso podrıa terminar danando elinductor ya que el mismo se opone a los cambios bruscos de corriente)
Comencemos a realizar el desarrollo.
Energizacion de un InductorSupongamos que S 2 se pone en “a” en t = 0, es decir, en el mismo momento en que S 1 se cierra.
Bajo esa condicion tendremos el siguiente circuito:
Figura 2
1
Comenzaremos aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla que tenemos, para ello vamos aredibujar el circuito con la corriente y las caıdas de potencial:
Figura 3
Recordar que las leyes de Kirchhoff se cumplen incluso si las corrientes o tensiones son variantes enel tiempo:
ε − VR − VL = 0 (1)
Donde podemos analizar los terminos de tensiones. Por un lado la tension en la resistencia puede serreemplazada por la ley de Ohm:
VR = i.R (2)
Mientras que la tension en el inductor sabemos que depende de la taza de cambio de la corriente, esdecir de su derivada.
VL = Ldidt
(3)
Lo que nos queda por realizar es colocar lo recien explicado en la ecuacion 1:
ε − i.R − Ldidt
= 0 (4)
Vamos a buscar una solucion matematica de la corriente y que sea dependiente del tiempo, veamos comodespejamos para llegar a lo deseado:
ε − i.R = Ldidt
(5)
ε − i.Rdi
=Ldt
(6)
diε − i.R
=dtL
(7)
Vamos a integrar estos terminos para continuar.∫ i
o
diε − i.R
=
∫ t
o
dtL
(8)
La integral del termino de la izquierda la tendremos que resolver por cambio de variable, llamaremos auna nueva variable “g”, donde tendremos lo siguiente:
g = ε − i.Rdg = −Rdi⇒ di = − 1
R dgi = 0⇒ g = ε
i = i⇒ g = ε − i.R
(9)
En base al cambio de variable y a los nuevos limites de integracion tendremos que:∫ i
o
diε − i.R
=
∫ ε−i.R
ε−
1R
1g
dg = −1R. ln
(ε − i.Rε
)(10)
2
Reemplazamos la ecuacion 10 en la 8 y ademas desarrollamos el termino que tiene al tiempo:
−1R. ln
(ε − i.Rε
)=
tL
(11)
ln(ε − i.Rε
)= −
t.RL
(12)
ε − i.Rε
= e−(RL ).t (13)
Surge una particularidad en este punto, el cociente entre la resistencia y la inductancia tiene como unidad1s , y ademas al ser parametros fijos en el circuito nace una contante que llamaremos “TAU”(al igual queen los transitorios de capacidad), la diferencia es que esta constante de tiempo en los circuitos RL estaradada por:
τ =LR
y ademas [τ] = s (14)
Reemplazamos en la ecuacion 13:ε − i.Rε
= e−tτ (15)
ε − i.R = ε.e−tτ (16)
ε − ε.e−tτ = i.R (17)
i(t) =ε
R
(1 − e−
tτ
)(18)
Donde el cociente entre la fuente de tension y la resistencia es el valor maximo de corriente que puedetener el circuito, para este caso serıa el valor final de la energizacion del inductor.
Corriente en fun-cion del tiempo
i(t) = Imax.(1 − e−
tτ
)(19)
Presentamos el grafico correspondiente a la ecuacion de la corriente:
Figura 4
3
Para continuar podemos encontrar la derivada de la corriente de tal forma que obtengamos la ecua-cion de la tension en el inductor. Usaremos la ecuacion 3, y dara como resultado:
Tension delinductor enel tiempo
VL(t) = ε.e−tτ (20)
Donde ε = Imax.RVeamos graficamente como varıa la tension en el inductor:
Figura 5
Para poder encontrar la tension en el resistor usaremos la ecuacion 2:
Tension del resis-tor en el tiempo
VR(t) = ε.(1 − e−
tτ
)(21)
Si analizamos las dos ecuaciones anteriores detectaremos que la tension del resistor y la del inductorsi las sumamos siempre dara como resultado la tension de fuente ε. Lo anteriormente mencionado estaclaramente definido en la ley de Kirchhoff que presentamos en la formula 1, todo el tiempo se cumplirala misma. Usemos un ejemplo para reafirmar esta idea, supongamos que la fuente de tension es de 100V,osea ε = 100V . Si en un instante de tiempo t1 > 0 la tension en el inductor vale 30V entonces la tensionen la resistencia debera ser necesariamente 70V ya que en cualquier instante de tiempo se cumplira la leyde Kirchhoff. Si en otro tiempo t2 > 0 tenemos que VL(t=t2) = 85V entonces resultara que VR(t=t2) = 15Vy ası se cumplira para cualquier t > 0. Visualizaremos esto al tener los dos graficos, presentemos latension en el resistor graficamente:
4
Figura 6
Como podemos analizar al ver los graficos 5 y 6 en cualquier punto de las curvas si sumamos lastensiones de ambos en el mismo tiempo el resultado sera ε.En resumen, durante el proceso de energizacion el inductor no permite los cambios bruscos en la co-rriente, por ello al conectar el circuito la corriente empezara a aumentar gradualmente desde un valornulo. Ya que en t = 0 la corriente es nula por la ley de Ohm sabemos que la tension en el resistorsera nula tambien, y por lo tanto por la ley de Kirchhoff sabemos que la tenson sobre el inductor serala maxima posible, osea la tension de fuente. A medida que la corriente va aumentando la tension enel resistor aumenta tambien mientras que la tension en el inductor ira bajando. Cuando lleguemos alfinal de la parte temporal (osea cuando hablemos de un tiempo mayor o igual a 5τ) el inductor estaracompletamente energizado por lo que tendra un campo magnetico almacenado maximo implicando quela corriente circulante sea la maxima posible, es decir ε/R. Como la corriente es maxima la tension enla resistencia sera maxima (tension de fuente) y gracias a entender la ley de Kirchhoff sabremos que latension sobre el inductor sera nula. Veamos un resumen rapido:
Figura 7
5
Desenergizacion de un InductorSupongamos que S 2 se pone en “b” en t′ = 0, siendo t′ un tiempo que comienza en la desenergi-
zacion. Por simplicidad seguiremos utilizando el tiempo con la letra t. Bajo esa condicion tendremos elsiguiente circuito:
Figura 8
Comenzaremos aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla que tenemos, para ello vamos aredibujar el circuito con la corriente y las caıdas de potencial:
Figura 9
Como vemos en el esquema la corriente no cambia el sentido de circulacion, ya que el inductor nolo permite. En el proceso de energizacion el inductor almaceno energıa en forma de campo magneticoy por mas que cambiemos el circuito la energıa sigue almacenada. Recordar que las leyes de Kirchhoff
se cumplen incluso si las corrientes o tensiones son variantes en el tiempo (en este caso recorremos lamalla en sentido antihorario):
VR + VL = 0 (22)
Donde podemos analizar los terminos de tensiones. Por un lado la tension en la resistencia puede serreemplazada por la ley de Ohm:
VR = i.R (23)
Mientras que la tension en el inductor sabemos que depende de la taza de cambio de la corriente, esdecir de su derivada.
VL = Ldidt
(24)
Lo que nos queda por realizar es colocar lo recien explicado en la ecuacion 22:
i.R + Ldidt
= 0 (25)
Vamos a buscar una solucion matematica de la corriente y que sea dependiente del tiempo, veamos comodespejamos para llegar a lo deseado:
− i.R = Ldidt
(26)
6
−dtL
=dii.R
(27)
Aplicamos integrales a ambos terminos: ∫ t
o−
dtL
=
∫ i
io
dii.R
(28)
−tL
=1R. ln
(iio
)(29)
−RL.t = ln
(iio
)(30)
Como paso antes el cociente entre la resistencia y la inductancia tiene como unidad 1s , y ademas al ser
parametros fijos en el circuito nace una contante que llamaremos “TAU”(al igual que en los transitoriosde capacidad), la diferencia es que esta constante de tiempo en los circuitos RL estara dada por:
τ =LR
y ademas [τ] = s (31)
Por lo tanto tendremos:
−tτ
= ln(
iio
)(32)
e−tτ =
iio
(33)
Finalmente encontramos la ecuacion de la corriente en funcion del tiempo:
Corrienteen funciondel tiempo
i(t) = io.e−tτ (34)
Donde el valor inicial de la corriente es el valor que trajo de un circuito de energizacion, ese valor puedeser cualquiera. Si el proceso de energizacion estuvo un tiempo mayor a 5τ (el τ es el de energizacion quepuede ser distinto al de esta parte) entonces el valor que trajo del circuito anterior es el valor de corrientemaxima al cual se energizo el inductor, si estuvo un tiempo menor sera un valor de corriente menor almaximo. Veamos la curva que tendra la corriente:
Figura 10
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Si realizamos la derivada de la corriente y lo multiplicamos por L obtendremos la expresion de latension en el inductor:
Tension eninductor en eltiempo
VL(t) = −Vo.e−tτ (35)
Donde sabemos que la corriente inicial multiplicada por la resistencia sera la tension inicial del resistory del inductor (ya que estan en paralelo), osea Vo = io.R.El valor negativo de la tension en el inductor representa el hecho de que la misma cambia la polaridadentre el primer circuito y el segundo. Veamos el grafico de la tension en el inductor:
Figura 11
Finalmente nos queda encontrar la tension en la resistencia, para ello usaremos la ecuacion 23:
Tension delresistor en eltiempo
VR(t) = Vo.e−tτ (36)
Cuando analicemos las dos tensiones del circuito nos daremos cuanta que en todos los instantes detiempo la suma de ambas dara un valor nulo, resulta logico ya que ası esta definida la ley de Kirchhoff.Veamos un ejemplo para reafirmar estos temas, si tenemos una corriente inicial de io = 10A y unaresistencia de R = 5Ω tendremos que la tension inicial sera Vo = io.R = 50V . Esta tension inicial serael valor inicial de VL y de VR, osea que VL(t=0) = −50V y VR(t=0) = 50V y podrıamos corroborar queVL(t=0) + VR(t=0) = 0.Veamos el ultimo grafico en donde representaremos la tension sobre la resistencia:
8
Figura 12
Si analizamos los dos graficos anteriores veremos que son iguales y contrarios, por lo tanto siemprese cancelaran las tensiones.Se deja un resumen rapido de todo el proceso de energizacion:
Figura 13
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