Fisica 2º BT

Fısica 2oBT

Jonathan Estevez

Junio, 2013

Abstract

Al elaborar este libro de Fısica hemos tenido presente que los alumnos a los que va desti-nado se encuentran en el umbral de la Universidad y de los Ciclos Formativos de GradoSuperior. Por ello, hemos procurado que el desarrollo de los contenidos se ajuste a lametodologıa adecuada, con el fin de que los estudiantes de segundo curso de bachiller-ato afronten los estudios superiores con una base solida y bien cimentada. En defini-tiva, se trata de introducir al estudiante en el ambito de la Fısica superior mediante laadquisicion de habilidades para el analisis y la interpretacion de los fenomenos fısicoscon la precision y rigor adecuados.

Contents

0.1 Fısica, tecnologıa, sociedad y medio ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.1 La ciencia y sus metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.2 Evolucion de los conceptos y teorıas fısicas . . . . . . . . . . . . . . 200.1.3 Fısica y tecnologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.4 Fısica y sociedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.5 Fısica y medio ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.6 La comunidad cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.7 Metodos de trabajo cientıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.8 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.9 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

0.2 Cinematica y dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.2.1 Descripcion de los movimientos en varias dimensiones . . . . . . . 210.2.2 Componentes intrınsecas de la aceleracion . . . . . . . . . . . . . . 210.2.3 Principios de la Dinamica de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . 210.2.4 Momento lineal y momento angular de una partıcula . . . . . . . . 210.2.5 El solido rıgido y su movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.2.6 Ecuacion fundamental de la Dinamica de rotacion . . . . . . . . . . 210.2.7 Momento angular de un solido rıgido en rotacion . . . . . . . . . . 210.2.8 Calculos de momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.2.9 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.2.10 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0.3 La teorıa de la gravitacion universal: una revolucion cientıfica . . . . . . . 220.3.1 Teorıas geocentristas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.3.2 El modelo heliocentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.3.3 Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.3.4 La ley de la gravitacion universal de Newton . . . . . . . . . . . . . 220.3.5 Repercusiones de la teorıa de la gravitacion universal . . . . . . . . 220.3.6 ¿Como es el universo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.3.7 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.3.8 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

0.4 El campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.4.1 Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.4.2 Campo gravitatorio terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.4.3 Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.4.4 Energıa potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.4.5 Potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.4.6 Movimiento de satelites y velocidad de escape . . . . . . . . . . . . 230.4.7 Formas y energıa de las trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.4.8 El teorema de Gauss para el campo gravitatorio . . . . . . . . . . . 23

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0.4.9 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.4.10 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

0.5 El movimiento oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240.5.1 El movimiento vibratorio armonico simple . . . . . . . . . . . . . . 240.5.2 Caracterısticas cinematicas del MVAS. Velocidad y aceleracion . . . 240.5.3 Dinamica de MVAS. Oscilador armonico y pendulo simple . . . . . 240.5.4 Energıa del oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240.5.5 El pendulo fısico y las oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . 240.5.6 Experiencias de la fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.6 El movimiento ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.1 El concepto de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.2 Clasificacion de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.3 Propagacion de ondas mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.4 Magnitudes caracterısticas de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.5 Ecuacion de las ondas armonicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.6 Aspectos energeticos del movimiento ondulatorio . . . . . . . . . . 250.6.7 Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.8 Sensacion sonora. Escala decibelica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.9 Contaminacion acustica. Sus fuentes y efectos . . . . . . . . . . . . 250.6.10 Pulsos y trenes de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.11 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.6.12 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.7 Fenomenos ondulatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.7.1 Superposicion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.7.2 Interferencia de ondas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.7.3 Interferencia de ondas en el tiempo. Pulsaciones . . . . . . . . . . . 260.7.4 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.7.5 Principio de Huygens. Difraccion e interferencias . . . . . . . . . . 260.7.6 Refraccion y reflexion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.7.7 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.7.8 Aplicaciones de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.7.9 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.7.10 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

0.8 Optica fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.1 La naturaleza de la luz. El modelo corpuscular . . . . . . . . . . . . 270.8.2 El modelo ondulatorio y la naturaleza dual de la luz . . . . . . . . 270.8.3 Propagacion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.4 Reflexion y refraccion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.5 Laminas de caras plano-paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.6 Prisma optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.7 Dispersion y absorcion de la luz. El espectro visible . . . . . . . . . 270.8.8 Interferencia y difraccion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.9 Polarizacion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.10 Fenomenos opticos en la naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.11 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270.8.12 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

0.9 Optica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280.9.1 Conceptos basicos de optica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 280.9.2 Los dioptrios esferico y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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0.9.3 Espejos esfericos y planos. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 280.9.4 Formacion de imagenes en espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280.9.5 Lentes delgadas. Ecuacion y formacion de imagenes . . . . . . . . 280.9.6 Construccion de instrumentos opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 280.9.7 Optica de la vision. Correccion de defectos . . . . . . . . . . . . . . 280.9.8 Estudio de las aberraciones opticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280.9.9 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280.9.10 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

0.10 El campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.10.1 La carga electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.10.2 Fuerzas entre cargas: la ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . 290.10.3 El campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.10.4 Principio de superposicion de campos electricos . . . . . . . . . . . 290.10.5 Energıa potencial y potencial electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.10.6 Lıneas de fuerza y superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . 290.10.7 Relaciones entre el campo y el potencial electrico . . . . . . . . . . 290.10.8 Movimiento de cargas electricas bajo campos electricos uniformes 290.10.9 El teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.10.10 Aplicaciones del teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.10.11 El campo electrico en la materia: conductores y dielectricos . . . . 290.10.12 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.10.13 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

0.11 Campos magneticos y corrientes electricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300.11.1 Magnetismo e imanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320.11.2 El campo magnetico y la fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 350.11.3 Movimientos de cargas electricas en campos magneticos uniformes 380.11.4 Fuerzas magneticas sobre corrientes electricas . . . . . . . . . . . . 450.11.5 Campos magneticos creados por corrientes electricas: ley de Biot y

aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500.11.6 Campos magneticos creados por corrientes electricas: ley de Ampere

y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540.11.7 Interacciones magneticas entre corrientes electricas . . . . . . . . . 550.11.8 Analogıas y diferencias entre los campos gravitatorio, electrico y

magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550.11.9 La materia y los campos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550.11.10 Calculo de campos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550.11.11 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550.11.12 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

0.12 Induccion electromagnetica. Sıntesis electromagnetica . . . . . . . . . . . . 560.12.1 La induccion electromagnetica: experimentos de Faraday . . . . . 560.12.2 Flujo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560.12.3 Las leyes de Faraday-Henry y de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 560.12.4 Produccion de una fuerza electromotriz sinusoidal . . . . . . . . . 560.12.5 Produccion de energıa electrica mediante fuentes no renovables y

fuentes renovables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560.12.6 Transporte y distribucion de la energıa electrica . . . . . . . . . . . 560.12.7 Sostenibilidad de la produccion y del consumo de energıa electrica 560.12.8 Relaciones historicas entre fenomenos electricos y magneticos . . . 560.12.9 Las ecuaciones de Maxwell y la sıntesis electromagnetica . . . . . . 56

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0.12.10 Ondas electromagneticas: espectro electromagnetico . . . . . . . . 560.12.11 Expresion matematica de las ecuaciones de Maxwell y de las ondas

electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560.12.12 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560.12.13 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

0.13 Elementos de fısica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570.13.1 Movimientos absolutos y relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570.13.2 El experimento de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . 570.13.3 Postulados de la relatividad restringida . . . . . . . . . . . . . . . . 570.13.4 Las transformaciones de Galileo y Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 570.13.5 La contraccion de la longitud y la dilatacion del tiempo . . . . . . . 570.13.6 La suma relativista de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570.13.7 Dinamica relativista. La equivalencia masa-energıa . . . . . . . . . 570.13.8 Introduccion a la relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570.13.9 Repercusiones de la teorıa de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . 570.13.10 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570.13.11 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

0.14 Introduccion a la fısica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580.14.1 La crisis de la fısica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580.14.2 Comportamiento cuantico de la radiacion: la hipotesis de Planck . 580.14.3 El efecto fotelectrico y su interpretacion cuantica . . . . . . . . . . . 580.14.4 Los espectros discontinuos y su interpretacion cuantica . . . . . . . 580.14.5 Los experimentos de Franck-Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580.14.6 Propiedades ondulatorias de las partıculas . . . . . . . . . . . . . . 580.14.7 Una interpretacion de las ondas materiales . . . . . . . . . . . . . . 580.14.8 Relaciones de indeterminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580.14.9 Dispositivos fundamentados en la teorıa cuantica . . . . . . . . . . 580.14.10 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580.14.11 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

0.15 Introduccion a la fısica nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590.15.1 La radiactividad y su naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590.15.2 La desintegracion radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590.15.3 Las fuerzas nucleares y las fuerzas de enlace . . . . . . . . . . . . . 590.15.4 Los modelos nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590.15.5 Las reacciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590.15.6 Aplicaciones y riesgos de las reacciones nucleares . . . . . . . . . . 590.15.7 Peligros y aplicaciones de la radiactividad . . . . . . . . . . . . . . 590.15.8 Introduccion al estudio de las partıculas elementales . . . . . . . . 590.15.9 Experiencias de fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590.15.10 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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Metodos matematicos de la fısica

El pensamiento matematico

En el intento de explorar el universo por parte del hombre, las matematicas han jugadoun papel fundamental. Poco a poco, ha ido enfrentandose a diferentes niveles de com-plejidad que, tanto en el mundo fısico a su alrededor como en su propio mundo mental,se le presentaban. A menudo, el dominio de tal complejidad ha ido ıntimamente unido aimportantes avances matematicos.

A continuacion se recogen algunos de esos momentos.

Mesopotamia (1900 a 1600 a.C.)

El tratamiento simbolico del concepto de numero experimento una profunda revolucioncuando los babilonicos idearon el sistema de numeracion posicional. Es decir, cada cifradel numero 644 tiene doble significado: el propio de su sımbolo y el de la posicion queocupa. Sumas, restas, multiplicaciones, etc., resultan una tarea sencilla en este sistema yuna pesadilla en el romano.

Junto a ello, dispusieron de otro gran intrumento: la base sexagesimal de numeracion,que tiene como unidad el numero 60, al igual que nuestro sistema el 10. Aun perdura susistema en nuestra medicion del tiempo y de los angulos, tal como ellos lo iniciaron.

Grecia (siglos VII a II a.C.)

A la intuicion griega debemos la conviccion de que el universo no es un caos enmaranadosino un cosmos ordenado, inteligente, asequible a una razon y matematizable. ParaPitagoras, “todo es armonıa y numeros” y, en el fondo, esta es tambien la fe subyacenteal pensamiento cientıfico hasta hoy.

A lo largo de cuatro siglos que van desde Tales y Pitagoras (s. VI a. C.) hasta Euclidesy Arquımedes (s. III a. C.) se fraguo la tarea inmensa de dar consistencia al pensamientomatematico, convirtiendolo en modelo y lenguaje de toda la ciencia posterior.

Se dice que el texto de los Elementos de Euclides constituye la obra cientıfica mas in-fluyente de toda la historia de la ciencia, ya que desarrollo el modelo de ciencia deductivaque se impuso despues.

Igualmente, Arquımedes representa un punto singular por la genialidad de sus metodos.El, junto con Newton en el S. XVII y Gauss en el S. XIX, forman el grupo de genios entrelos genios.

El siglo de los genios (S. XVII)

Se da un largo interludio, durante el cual los arabes hacen magnıficas aportaciones alpensamiento matematico. Entre ellas, el algebra, paso previo a la invencion del calculoinfinitesimal.

La acumulacion de talento matematico en el siglo XVII y su profundo maridaje con lafısica parece difıcilmente repetible: Galileo, Kepler, Descartes, Fermat, Pascal, Newton,

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Leibniz, Huygens... han dejado una estela en la que seguimos navegando.

Durante este periodo de tiempo se realizan los siguientes estudios y avances:

• Se inicio la exploracion cuantitativa del cambio y de las transformaciones que sedan en los fenomenos naturales (mecanica).

• Se ponen a punto instrumentos para medir el tiempo y otras magnitudes.

• Se alumbra el concepto de funcion y nace el calculo diferencial, instrumento que harevolucionado la ciencia y la tecnologıa posteriores.

• Comienza en este periodo, con Fermat y Pascal, el estudio del azar y la probabili-dad.

Siglos XVIII y XIX

La caracterıstica mas notable de estos anos es la exloracion de nuevos metodos para elcalculo diferencial e integral y su potente aplicacion a la fısica. Bernoulli, L’Hopital, Eu-ler, y mas tarde Lagrange y Laplace, propusieron grandes tratados de fısica matematica.

Merced a Gauss, el centro del mundo matematico se traslada de Francia a Alemania.Sus aportaciones cubren todo el espectro de la matematica basica y es sin duda uno delos mayores talentos matematicos de la historia.

El siglo XIX fue el del asentamiento de todos los logros conseguidos hasta entonces yculmina con dos cientıficos, cuya breve vida no les impide realizar aportaciones de grantrascendencia posterior:

• Riemann (1826-1866). Trabajo en numerosas ramas de la fısica, integrales, matri-ces... pero sobre todo fue decisivo su etudio sobre la geometrıa no euclidiana, queEisntein adoptara medio siglo mas tarde como modelo de espacio-tiempo para lateorıa de la relatividad.

• Maxwell (1831-1879). Primeramente graduado en matematicas, utiliza sus conocimien-tos para establecer la base matematica de la gran sıstesis electromagnetica, obracapital de la fısica.

Siglo XX

El progreso de la matematica aplicada en este siglo es espectacular y supera con crecesal de cualquier otro siglo anterior. Dicho progreso va muy unido a un cambio profundoen el panorama de la fısica, ya que se ponen en cuestion no pocos de los mas afianzadospostulados clasicos conseguidos en los siglos precedentes.

Habrıa que citar matematicos de la categorıa de Cantor, Poincare, Godel; o las mod-ernas teorıas del caos, que han supuesto una verdadera revolucion cientıfica. Pero eldesarrollo fundamental de la matematica reciente se origina con la irrupcion del orde-nador. Los propios metodos de trabajo de las ciencias estan cambiando, debido a lasposibilidades de experimentacion y modelizacion que ofrece el ordenador. Sin duda, lastransformaciones que ha traıdo consigo constituyen el comienzo de una nueva era.

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Campos de la matematica y analisis de la realidad

A la luz de este panorama historico se puede intuir la conexion entre el planteamientomatematico y el estudio de la realidad propio de la fısica:

• En un principio el hombre se enfrentaba a la multiplicidad y al espacio. Del intentode conseguir su dominio surgen la aritmetica y la geometrıa.

• El algebra surge como intento de simbolizar y representar la realidad.

• El analisis matematico es fruto de la exploracion del campo fısico y del estudio delas relaciones causa-efecto.

• La probabilidad y la estadıstica intentar manejar el azar y aquellas situaciones enque existen demasiadas variables y muy complejas.

• La logica matematica explora la estructura deductiva de la propia mente.

• La teorıa de los sistemas dinamicos explora fenomenos no lineales en los que elefecto no es proporcional a la causa (el caos matematico).

Ası pues, el proceso de matematizacion es un camino de ida y vuelta entre realidade ideas. Quiza, en palabras de Einstein, “lo mas incomprensible del universo es que seacomprensible” y, podrıamos anadir, matematizable.

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EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Estudia el proceso seguido por Eratostenes para medir el radio de la Tierra:

www.e− sm.net/ f 2bach01

Eratostenes tenıa noticia de un hecho que cada ano se producıa en una ciudad de Egipto lla-mada Siena (hoy Asuan). Sucedıa que cierto dıa del ano, al mediodıa, los obeliscos no producıansombra alguna. El agua de los pozos reflejaba como un espejo la luz del Sol. Hoy sabemos que estoes debido a que Asuan se encuentra en el Tropico de Cancer y ese dıa marca el solsticio de verano(este hecho era festivo y muy celebrado por los lugarenos). Sin embargo, Eratostenes observo queen Alejandrıa, ese mismo dıa, los obeliscos sı producıan sombra. Eso solo es posible si la Tierra esredonda, pues el Sol esta tan lejos como para considerar que sus rayos inciden paralelamente sobrela Tierra. Eratostenes penso que midiendo la sombra de un obelisco en Alejandrıa el mismo dıay a la misma hora en que en Siena no proyectaba ninguna sombra, y sabiendo la distancia entreAlejandrıa y Siena podrıa calcularse la circunferencia terrestre, pues da la casualidad de que Sienaesta al sur de Alejandrıa (practicamente en el mismo meridiano).

2.- ¿Que magnitudes conoces que no sigan el sistema decimal para definir sus multiploso submultiplos?

8

TRIANGULOS EN UNA GEOMETRIA ESFERICA (> 180o)O HIPERBOLICA (< 180o)

Antes que la fısica clasica, podemos decir que entro en crisis la geometrıa euclıdea,sobre todo en su postulado V: “Por un punto exterior a un recta no cabe trazar mas de unaparalela”, que trae como consecuencia que los angulos interiores de un triangulo suman180o.

En la geometrıa esferica de Riemann, por un punto exterior a una recta dada no ex-isten paralelas a ella. En ese caso la suma de los angulos interiores de un triangulo es> 180o y la lınea mas corta entre dos puntos no es recta.

9

Cifras significativas en las medidas

La inmensa mayorıa de los numeros que se manejan en la ciencia son el resultado de unamedida cuya exactitud depende de dos factores:

• La sensibilidad y precision del instrumento utilizado.

• La habilidad del propio experimentador.

El numero de dıgitos que se utilizan da una idea de la precision, o incertidumbre, de lamedida.

MEDIDA DE UNA LONGITUD CON DISTINTOS INSTRUMENTOSSi queremos medir la altura de una

pagina de este libro utilizando un metro decostura, cuya precision es de ±1 cm, el resultado sera:

0,29 m ±0,01 mSi lo hacemos con un metro metalico, la

medida resulta: 0,292 m ±0,001 m. Lo queimplica que la imprecision, en este caso, es de 1 mm.

Ası, cuando nos referimos a un libro de 0,290 m de altura, diremos que el primer cero noes significativo porque solo sirve para situar la coma, pero sı lo es el ultimo porque indicala precision al milımetro de la medida.

Las cifras significativas son el conjunto de dıgitos exactos que una medida nos pro-porciona con precision, aceptando que el ultimo dıgito es incierto.

REGLAS PARA DETERMINAR CIFRAS SIGNIFICATIVAS EJEMPLO1. Los dıgitos distintos de cero son siempre significativos. La medida 1,43 g

tiene 3 cifrassignificativas (c.s.).

2. Los ceros que aparecen entre otros dıgitos son siempre significativos

10

Vectores

11

Producto escalar de dos vectores

12

Producto vectorial de dos vectores

13

Trigonometrıa

14

Calculo diferencial

15

Aplicaciones del calculo diferencial a la fısica

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Calculo integral

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Nociones sobre teorıa general de campos

18

Teorema de Gauss

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0.1 Fısica, tecnologıa, sociedad y medio ambiente

0.1.1 La ciencia y sus metodos

0.1.2 Evolucion de los conceptos y teorıas fısicas

0.1.3 Fısica y tecnologıa

0.1.4 Fısica y sociedad

0.1.5 Fısica y medio ambiente

0.1.6 La comunidad cientıfica

0.1.7 Metodos de trabajo cientıfico

0.1.8 Experiencias de fısica

0.1.9 Ejercicios y problemas

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0.2 Cinematica y dinamica

0.2.1 Descripcion de los movimientos en varias dimensiones

0.2.2 Componentes intrınsecas de la aceleracion

0.2.3 Principios de la Dinamica de traslacion

0.2.4 Momento lineal y momento angular de una partıcula

0.2.5 El solido rıgido y su movimiento

0.2.6 Ecuacion fundamental de la Dinamica de rotacion

0.2.7 Momento angular de un solido rıgido en rotacion

0.2.8 Calculos de momentos de inercia



21

0.3 La teorıa de la gravitacion universal: una revolucion cientıfica

0.3.1 Teorıas geocentristas

0.3.2 El modelo heliocentrico

0.3.3 Las leyes de Kepler

0.3.4 La ley de la gravitacion universal de Newton

0.3.5 Repercusiones de la teorıa de la gravitacion universal

0.3.6 ¿Como es el universo?



22

0.4 El campo gravitatorio

0.4.1 Campo gravitatorio

0.4.2 Campo gravitatorio terrestre

0.4.3 Campos conservativos

0.4.4 Energıa potencial gravitatoria

0.4.5 Potencial gravitatorio

0.4.6 Movimiento de satelites y velocidad de escape

0.4.7 Formas y energıa de las trayectorias

0.4.8 El teorema de Gauss para el campo gravitatorio



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0.5 El movimiento oscilatorio

0.5.1 El movimiento vibratorio armonico simple

0.5.2 Caracterısticas cinematicas del MVAS. Velocidad y aceleracion

0.5.3 Dinamica de MVAS. Oscilador armonico y pendulo simple

0.5.4 Energıa del oscilador armonico

0.5.5 El pendulo fısico y las oscilaciones amortiguadas

0.5.6 Experiencias de la fısica

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0.6 El movimiento ondulatorio

0.6.1 El concepto de onda

0.6.2 Clasificacion de las ondas

0.6.3 Propagacion de ondas mecanicas

0.6.4 Magnitudes caracterısticas de las ondas

0.6.5 Ecuacion de las ondas armonicas planas

0.6.6 Aspectos energeticos del movimiento ondulatorio

0.6.7 Ondas sonoras

0.6.8 Sensacion sonora. Escala decibelica

0.6.9 Contaminacion acustica. Sus fuentes y efectos

0.6.10 Pulsos y trenes de ondas



25

0.7 Fenomenos ondulatorios

0.7.1 Superposicion de ondas

0.7.2 Interferencia de ondas en el espacio

0.7.3 Interferencia de ondas en el tiempo. Pulsaciones

0.7.4 Ondas estacionarias

0.7.5 Principio de Huygens. Difraccion e interferencias

0.7.6 Refraccion y reflexion de ondas

0.7.7 Efecto Doppler

0.7.8 Aplicaciones de las ondas



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0.8 Optica fısica

0.8.1 La naturaleza de la luz. El modelo corpuscular

0.8.2 El modelo ondulatorio y la naturaleza dual de la luz

0.8.3 Propagacion de la luz

0.8.4 Reflexion y refraccion de la luz

0.8.5 Laminas de caras plano-paralelas

0.8.6 Prisma optico

0.8.7 Dispersion y absorcion de la luz. El espectro visible

0.8.8 Interferencia y difraccion de la luz

0.8.9 Polarizacion de la luz

0.8.10 Fenomenos opticos en la naturaleza



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0.9 Optica geometrica

0.9.1 Conceptos basicos de optica geometrica

0.9.2 Los dioptrios esferico y plano

0.9.3 Espejos esfericos y planos. Ecuaciones

0.9.4 Formacion de imagenes en espejos

0.9.5 Lentes delgadas. Ecuacion y formacion de imagenes

0.9.6 Construccion de instrumentos opticos

0.9.7 Optica de la vision. Correccion de defectos

0.9.8 Estudio de las aberraciones opticas



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0.10 El campo electrico

0.10.1 La carga electrica

0.10.2 Fuerzas entre cargas: la ley de Coulomb

0.10.3 El campo electrico

0.10.4 Principio de superposicion de campos electricos

0.10.5 Energıa potencial y potencial electrico

0.10.6 Lıneas de fuerza y superficies equipotenciales

0.10.7 Relaciones entre el campo y el potencial electrico

0.10.8 Movimiento de cargas electricas bajo campos electricos uniformes

0.10.9 El teorema de Gauss

0.10.10 Aplicaciones del teorema de Gauss

0.10.11 El campo electrico en la materia: conductores y dielectricos



29

0.11 Campos magneticos y corrientes electricas

Las relaciones entre campos magneticos y corrientes electricas tienen una gran importan-cia practica: produccion de energıa electrica, espectrometros de masas, aceleradores departıculas, trenes de levitacion magnetica, etc. Pero tambien se aplican en objetos tec-nologicos mucho mas comunes en la vida diaria: electroimanes, timbres, altavoces, mo-tores electricos, etc. ¿Te has preguntado cuantos aparatos que aprovechan la interaccionentre campos magneticos y corrientes electricas tienes en tu casa y utilizas a diario?

UN MUNDO DE ELECTROIMANESEl tren de levitacion magnetica (MAGLEV) utiliza una tecnologıa basada en elec-

troimanes que mantienen el tren levitando sobre las vıas. Al no haber friccion, el trenpuede superar velocidades de 500 km/h con un consumo reducido de energıa. Su desar-rollo ha supuesto un hito en el transporte comercial de pasajeros.

Nada de esto se podrıa sospechar cuando hacia 1820 Oersted (1777− 1851) se per-cato de que una aguja imantada se desviaba en las proximidades de un conductor por elque circulaba una corriente electrica. Se relacionaban ası dos campos separados hasta en-tonces, la electricidad y el magnetismo: una corriente electrica produce los mismo efectosque un iman.

Un electroiman es un solenoide (una bobina cilındrica de hilo conductor arrolladoen espiral y cubierto de material aislante) con un nucleo de hierro. Se comporta comoun iman cuando circula la corriente por la bobina y se genera un campo magnetico muyintenso, pero sus efectos magneticos cesan cuando se interrumpe la corriente. El campomagnetico generado se puede regular controlando el valor de la corriente electrica quecircule por la bobina.

El primer electroiman fue construido por Dominique F. Arago (1789−1853) en 1820al comprobar que el hierro dulce se imantaba con la corriente electrica. William Sturgeon(1783− 1850) presento en 1825 un electroiman que podıa levantar 4 kilos de hierro. En1834 B. S. Jacobi construyo un motor electrico con electroimanes. En 1837 se diseno elprimer telegrafo electromagnetico; su uso a partir de 1844 para transmitir el codigo Morserevoluciono las comunicaciones.

30

Desde entonces los electroimanes no han dejado de perfeccionarse y de utilizarse ennumerosas aplicaciones. Son los componentes fundamentales de muchos dispositivostecnologicos habituales en la vida diaria: motores, altavoces, timbres, tubos de television,alternadores de los automoviles, frenos y embragues electromagneticos, reles y circuitosautomaticos de control, controladores de puertas cortafuegos, etc. Tambien tienen impor-tantes aplicaciones en la industria: gruas para levantar chatarra (como en los desguacesde automoviles) y manejar piezas de toneladas de peso, alternadores de las centraleselectricas, etc.

Los electroimanes desempenan tambien un papel importante en muchas tecnologıasde vanguardia. En los aceleradores de partıculas se utilizan gigantescos electroimanespara acelerar y controlar la trayectoria de las partıculas.

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0.11.1 Magnetismo e imanes

Los fenomenos magneticos son conocidos desde la Antiguedad; hace mas de dos milanos, los griegos descubrieron que un mineral, actualmente denominado magnetita, atraıatrozos de hierro. La magnetita es un iman natural. Tambien hay constancia de que desdeantes del siglo XII se utilizaba la propiedad de una aguja imantada de senalar siempre alnorte para fabricar brujulas con las que orientarse en la navegacion.

SUSTANCIAS MAGNETICASSe denominan sustancias magneticas a las que son atraıdas por la magnetita

, como el hierro, el acero, el cobalto o el nıquel. Las sustancias magneticas,a su vez, pueden convertirse en imanes mediante diferentes formas de imantacion:

– Si las sustancias se frotan con magnetita, se convierten en imanes artificiales que puedenser temporales o permanentes. En este ultimo caso, conservan mucho tiempo

su poder magnetico.– Si se someten a una corriente electrica, tambien se comportan como imanes; si esto

sucede, mientras dura el paso de la corriente se denominan imanes artificialestemporales o electroimanes. La imantacion tambien puede ser permanente.

Los imanes mantienen sus propiedades magneticas sin necesidad de que exista contactocon las sustancias con la que interaccionan. Las interacciones magneticas, por tanto, semanifiestan a distancia.

Si se espolvorean limaduras de hierro o se situan pequenas agujas imantadas sobreuna cartulina colocada encima de un iman, se observa claramente la distribucion de laslimaduras o de las agujas en las lıneas que se denominan lıneas de fuerza magneticas.

Figure 1: Las agujas imantadas de cada brujula se orientan tangencialmente a las lıneasde fuerza magneticas.

En las zonas donde las lıneas de fuerzas estan mas juntas, el efecto del iman es masintenso. Estas zonas se localizan en los extremos de iman y se denominan polos, queconvencionalmente se llaman polo norte y polo sur.

Cuando se acerca el polo de un iman a una sustancia magnetica, en la zona cercana aliman se induce un polo momentaneo contrario al del iman; el iman y la sustancia seatraen aunque esta no sea un iman. Cuando se retira el iman, desaparece el magnetismoque manifestaba esa sustancia.

Si se rompe un iman en dos trozos, cada uno de ellos se comporta como un nuevo

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Figure 2: Imagen, obtenida con ordenador, de la distribucion de las lıneas de fuerza delcampo magnetico en la region comprendida entre dos imanes.

iman que presenta sus propios polos norte y sur: es imposible separar los polos de uniman (no existen los monopolos magneticos; si se reduciese un iman a un atomo, esteactuarıa como dos polos magneticos). Este comportamiento sugiere que el magnetismose debe a la estructura interna de la materia.

LA TIERRA: UN GIGANTESCO IMANWilliam Gilbert (1544−1603) senalo que la propiedad de una aguja imantada de ori-

entarse hacia el norte geografico muestra que la Tierra es un gigantesco iman permanente:su polo sur magnetico esta en las proximidades del polo norte geografico.

Convencionalmente se denomina polo norte de un iman al que se orienta hacia elnorte geografico.

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EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Explica el fundamento cientıfico de la utilizacion de la brujula para la orientacion.

La brujula es un iman natural que se orienta en el campo magnetico terrestre senalandola direccion de los polos magneticos de la Tierra.

2.- Senala la diferencia entre imanes naturales e imanes artificiales y entre imanespermanentes y temporales.

Los imanes naturales son aquellos que se encuentran en la naturaleza sin intervencionhumana. El iman natural mas conocido es la magnetita. Algunas sustancias se magneti-zan cuando se frotan con magnetita o se someten a corrientes electricas; en este caso, setratara de imanes artificiales.

De entre las sustancias que se magnetizan, es posible encontrarse materiales que pre-sentan magnetizacion al estar en contacto con un iman permanente, pero que dejan detenerla cuando desaparece el contacto; se trata de imanes temporales. Los imanes per-manentes son aquellos que mantienen la magnetizacion aunque se encuentren lejos de lafuente que lo magnetizo.

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0.11.2 El campo magnetico y la fuerza de Lorentz

Trozos de hierro o pequenas agujas imantadas son atraıdos por un iman, mientras que enausencia del mismo permanecen inmoviles; se dice, por tanto, que el iman produce uncampo magnetico en el espacio que lo rodea.

• Una carga electrica en reposo (que produce un campo electrico) dentro de un campomagnetico, no experimenta fuerza.

• Una carga electrica en movimiento dentro de un campo magnetico sufre una fuerza.Experimentalmente se comprueba que esta fuerza magnetica ejercida por el campoes proporcional al valor de la carga y a su velocidad, y que la direccion de la fuerzaes perpendicular a la velocidad de la carga.

~F = q(~v×~B)

donde ~F es la fuerza que actua sobre una carga electrica en movimiento que seintroduce en el campo, q es el valor de dicha carga,~v es su velocidad y ~B es el vectorinduccion magnetica, tambien denominado vector campo magnetico.

Si α es el angulo que forman en un punto del espacio los vectores~v y ~B, se tiene queel modulo de la fuerza que actua sobre la carga en ese punto es:

F = qvBsin(α)

La unidad de induccion magnetica, ~B, en el Sistema Internacional es el tesla (T). Untesla es el valor de la induccion magnetica de un campo que ejerce una fuerza de 1 Nsobre una carga de 1 C que se mueve a una velocidad de 1 m/s perpendicular al campo.

Una forma grafica de representar la induccion magnetica ~B es mediante vectores tan-gentes a las lıneas de fuerza en cada punto del campo.

Si el valor de la induccion magnetica ~B es el mismo en todos los puntos del campomagnetico, se dice que este es uniforme.

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REGLA DE LA MANO DERECHA (I)Para determinar el sentido de la fuerza magnetica, puede recurrirse a la llamada

“regla de la mano derecha” . Cuando el dedo ındice de la mano derecha apunta en ladireccion de~v y el dedo corazon en la de ~B, el pulgar apunta en la direccion y sentido de~F para una carga positiva. Cuando la carga es negativa , el sentido de ~F es el contrario.

Fuerza de Lorentz

Si una carga electrica q se mueve en una region del espacio en la que coexisten un campoelectrico de intensidad ~E y un campo magnetico ~B, actuaran sobre la carga una fuerzaelectrica q~E y una fuerza q(~v× ~B) debida al campo magnetico; la fuerza total sobre lacarga sera la suma de ambas y se llama fuerza de Lorentz.

La fuerza de Lorentz o fuerza que actua sobre una carga electrica en un espacio dondecoexisten un campo electrico y un campo magnetico es:

~F = q~E +q(~v×~B)

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EJERCICIOS PROPUESTOS3.- ¿Cuanto vale la fuerza magnetica sobre una carga en reposo situada en un campo

magnetico ?¿Por que?4.- ¿Cuanto vale la fuerza magnetica sobre una carga que penetra en un campo magnetico

uniforme con una velocidad paralela a la direccion del campo? ¿Por que?

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0.11.3 Movimientos de cargas electricas en campos magneticos uniformes

Las cargas electricas que se mueven dentro de campos magneticos experimentan la fuerzade Lorentz. Segun la orientacion relativa de los vectores ~v y ~B, pueden presentarse lossiguientes casos:

• Velocidad paralela a ~B. Cuando una partıcula cargada penetra en un campo magneticocon velocidad~v paralela a la induccion magnetica ~B, no aparece sobre ella ningunafuerza (F = qvBsin(0o) = 0) y, por tanto, se movera con movimiento rectilıneo uni-forme de velocidad~v.

• Velocidad perpendicular a ~B. Cuando una partıcula con carga electrica q y masam penetra en un campo magnetico uniforme, perpendicularmente a la direccionde ~B, actua sobre ella una fuerza de modulo constante F = qvBsin(90o) = qvB y dedireccion perpendicular a~v y a ~B en todo momento.

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La partıcula efectua un movimiento circular uniforme donde la fuerza magnetica esla fuerza centrıpeta. Si R es el radio de la trayectoria, la fuerza centrıpeta es:

F =mv2

R= qvB

donde:R =

mvqB

El tiempo, T, que tarda la partıcula en recorrer la circunferencia (periodo) es:

T =2πR

v=

2πmqB

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• Velocidad que forma un angulo α con ~B En este caso actua sobre la partıcula unafuerza de modulo F = qvBsinα. La velocidad~v se descompone en:– Una componente~vp paralela a ~B responsable del avance de la partıcula:

vp = vcosα

– Una componente~vn perpendicular a ~B responsable del giro de la misma:

vn = vsinα

La partıcula seguira una trayectoria helicoidal que se proyecta en un plano per-pendicular a ~B segun una circunferencia de radio:

R =mvsinα

qB

En cada giro la partıcula avanza un paso de rosca, d:

d = vpT = vcosα2πR

vsinα=

2πmvcosα

qB

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EJERCICIO RESUELTO1.- En un acelerador de partıculas, un proton (q = 1,6 ·10−19C, m = 1,7 ·10−27kg) pen-

etra con una velocidad de 2,5 ·106m/s en direccion perpendicular a un campo uniformede 6 T. Calcula la fuerza magnetica sobre el, el radio de la circunferencia que describe ycuantas vueltas da cada segundo.

Fuerza magnetica:

F = qvBsinα = 1,6 ·10−19 ·2,5 ·106 ·6 · sin(90o) = 2,4 ·10−12N

Radio:

R =mvqB

=1,7 ·10−27 ·2,5 ·106

1,6 ·10−19 ·6= 4,4 ·10−3m

Periodo:

T =2πmqB

=2π ·1,7 ·10−27

1,6 ·10−19 ·6= 1,1 ·10−8s

Numero de vueltas por segundo (frecuencia):

v =1T

=1

1,1 ·10−8 = 9,1 ·107Hz

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Aplicaciones del movimiento de cargas electricas en campos magneticos

El movimiento de cargas electricas bajo campos magneticos uniformes tiene importantesaplicaciones practicas.

• Aceleradores de partıculas. En estos dispositivos las partıculas se aceleran hastaque adquieren una elevada energıa cinetica. Posteriormente estas partıculas de altaenergıa colisionan con nucleos atomicos u otras partıculas produciendo reaccionesnucleares que permiten estudiar la composicion de la materia a escala subatomica.Las trayectorias de las partıculas cargadas en los aceleradores se controlan medi-ante campos magneticos.

El ciclotron es un tipo de acelerador de partıculas que consta de dos piezas huecasmetalicas semicirculares denominadas “D”(D1 y D2) de radio R. En el interior deestas piezas se ha hecho el vacıo y existe un campo magnetico uniforme generadopor un electroiman. Entre ambas “D” se establece una ddp, V, que cambia en eltiempo con un periodo igual al tiempo de permanencia de la partıcula en cada D.

— Una partıcula entra en D1 con una velocidad v1 y describe una semicircunferencia

de radio R1 =mv1

qBen un tiempo t =

T2=

πmqB

.

— Entre D1 y D2, el campo electrico acelera la partıcula hasta una velocidad v2. Lapartıcula recibe una energıa E = qV .

— La partıcula entra en D2 con una velocidad v2 > v1 y describe una semicircunfer-encia de radio R2 > R1.

— Justo al salir de D2 cambia la polaridad de la ddp entre las “D”, la partıcula sevuelve a acelerar y adquiere una v3 > v2, entra en D1. El proceso se repite.

La aceleracion termina cuando el radio de la trayectoria circular llega hasta R. Enese momento la partıcula sale del acelerador e impacta sobre el blanco.

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• Espectrometros de masas En los espectrometros de masas se utiliza un campomagnetico para medir las masas de los distintos isotopos de un elemento quımico.Los iones de los isotopos tienen la misma carga electrica pero masa diferente, por loque si estos iones se introducen perpendicularmente en un campo magnetico uni-forme con velocidades iguales, describiran trayectorias circulares de radios difer-entes en funcion de su masa:

R1 =m1vqB

R2 =m2vqB

Conociendo los valores de v y B, se pueden determinar la relacion entre la carga yla masa de los iones midiendo el radio de la trayectoria que describen:

mq=

Bv

R

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EJERCICIOS PROPUESTOS5.- Una partıcula de masa m y carga q penetr con una velocidad v en direccion per-

pendicular a un campo magnetico B. Demuestra que la frecuencia con la que gira en elcampo, denominada frecuencia ciclotronica, no depende del valor de la velocidad.

6.- Un proton (q= 1,6 ·10−19C, m= 1,7 ·10−27kg) penetra con velocidad~v= 6,0 ·105(~j+~k)m/s en un campo magnetico uniforme ~B = 7,5~jT . Calcula la fuerza magnetica sobre elproton y el radio de la circunferencia que describe.

7.- Un electron (e=−1,6 ·10−19C, 9,1 ·10−31kg) penetra con una velocidad de 3 ·106m/sen direccion perpendicular a un campo uniforme de 6T de un acelerador de partıculas.Calcula el radio de la circunferencia que describe el electron y el numero de vueltas queda cada milisegundo.

8.- Un electron se mueve en una orbita circular de 2mm de radio dentro de un campomagnetico de 0,3T . Calcula:

a) Su velocidad.b) La energıa cinetica del electron.c) El periodo de su movimiento.

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0.11.4 Fuerzas magneticas sobre corrientes electricas

Puesto que el campo magnetico ejerce una fuerza sobre las cargas en movimiento y lacorriente electrica es un movimiento ordenado de cargas, puede concluirse que sobre unconductor inmenso en el interior de un campo magnetico actuara tambien una fuerza.

Fuerza magnetica sobre un conductor rectilıneo

El caso mas sencillo para calcular el valor de la fuerza magnetica ejercida por el camposobre una corriente electrica es el de un conductor rectilıneo.

Se tiene, como se muestra en la figura, un segmento de longitud L de un conductorrectilıneo de seccion S por el que circula una intensidad de corriente I. Si se considerael cilindro de base S y longitud L = v∆t, siendo v la velocidad media de las cargas en elconductor y ∆t un intervalo de tiempo, las cargas contenidas en ese cilindro se desplazanuna longitud L en el tiempo ∆t y, por tanto, todas ellas pasaran por la seccion S en dichotiempo.

Si se denomina ∆q a la carga total que atraviesa S en el tiempo ∆t, la intensidad decorriente es:

I =∆q∆t

La fuerza de Lorentz sobre la carga ∆q es:

F = ∆qvBsinα = (I∆t)vBsinα = I(v∆t)Bsinα

Por tanto:F = ILsinα

Esta es la fuerza magnetica sobre el conductor de longitud L por el que circula la corrienteI y que forma un angulo α con el vector ~B. Tambien puede escribirse la expresion anterioren su forma vectorial.

Ley de Laplace. La fuerza magnetica sobre un conductor rectilıneo de longitud L porel que circula una corriente I situado en un campo amgnetico ~B es:

~F = I(~L×~B)

El sentido del vector~L es el de la corriente. La fuerza es perpendicular al conductor y alcampo magnetico.

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EJERCICIO RESUELTO2.- Calcula el modulo de la fuerza magnetica ejercida por un campo uniforme de 5T

sobre un conductor rectilıneo de 40 cm de longitud que forma un angulo 30o con laslıneas de fuerza del campo y por el que circula una corriente electrica de 0,4A.

El modulo de la fuerza magnetica que actua sobre el conductor es:

F = ILBsinα

Por tanto:F = 0,4 ·0,40 ·5sin30o = 0,4N

EJERCICIOS PROPUESTOS9.- Halla el modulo de la fuerza magnetica que actua sobre un conductor recto de 20

cm de longitud situado en un campo magnetico de 6T con el que forma un angulo de 45o

cuando circula por el una corriente de 0,3A.

10.- Un conductor recto, de longitud L, por el que circula una corriente I, esta situadoen un campo magnetico uniforme B0, en direccion perpendicular a las lıneas de fuerzadel campo. Calcula la fuerza magnetica sobre el conductor.

46

Momento sobre una espira

El comportamiento de una espira en un campo magnetico tiene una gran importanciapractica. Se considera el caso de una espira rectangular, como la mostrada en la figura,de dimensiones L1 y L2, por la que circula una corriente I.

Las fuerzas magneticas sobre los lados L2 de la espira son iguales en modulo y di-reccion, y tambien de sentidos opuestos. Tienen un valor:

F2 = IL2B

Estas fuerzas se anulan al coincidir su lınea de accion.Las fuerzas sobre los lados L1 de la espira son iguales en modulo y direccion, y

tambien de sentidos contrarios. Tienen un valor:

F1 = IL1B

Su lınea de accion no es la misma, por lo que contribuyen un par de fuerzas que produciraun movimiento de giro en la espira.

El momento ~M del par de fuerzas sobre la espiral es M = F1d, siendo d el brazo delpar (d = L2 sinα), por lo que el modulo del momento sera:

M = F1d = (IL1B)(L2 sinα)

Denominando S al area de la espira (S = L1L2):

M = ISBsinα

Aunque este resulltado se ha obtenido para una espira rectangular, es valido para espirasplanas de otras formas geometricas. La expresion anterior puede escribirse en su formavectorial.

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El momento del par de fuerzas sobre una espira de area S por la que circula unacorriente I situada en un campo magnetico de induccion ~B es:

~M = I(~S×~B)

Se denomina momento magnetico ~m de la espira al producto I~S; en consecuencia, el mo-mento del par ejercido sobre una espira es el producto vectorial del momento magneticode la espira por el vector induccion magnetica:

~M = ~m×~B

Galvanometro de cuadro movil

Es un aparato que mide la intensidad de la corriente electrica y es el fundamento delos amperımetros y voltımetros. Consta de una bobina situada en un campo magneticoradial con objeto de que el angulo α entre el campo y la bobina sea siempre de 90o grados.Al circular la corriente electrica por la bobina se genera un par de fuerzas que la hace girary que es proporcional a la intensidad de la corriente.

La bobina tiene acoplado un resorte que genera un par contrario al giro de la misma;el momento de este par es proporcional al angulo girado. La bobina se detiene cuandoambos pares son iguales. Resulta ası que la intensidad de la corriente que circula por labobina es proporcional al angulo girado; de esta forma una aguja acoplada a la bobinamide directamente intensidades de corriente sobre una escala debidamente calibrada.

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ACTIVIDADES PROPUESTAS11.- Indica cuales son las unidades de las siguientes magnitudes en el SI:Fuerza magnetica, area de una espira, momento del par de fuerzas sobre una espira

y momento magnetico de una espira.12.- Calcula el momento del par de fuerzas sobre una espira cuadrada de 10 cm de

lado situada en un campo magnetico uniforme de 0,5T cuando circula por ella una corri-ente de 500mA, sabiendo que el plano de la espira forma un angulo de 30o con la direcciondel campo.

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0.11.5 Campos magneticos creados por corrientes electricas: ley de Biot y apli-caciones

REGLA DE LA MANO DERECHA (II)Cuando el dedo pulgar apunta en la direccion de la corriente, el sentido de las lıneas

del campo magnetico que rodean al conductor viene determinado por el que indican losotros dedos de la mano.

Las investigaciones de Oersted (1777− 1851) mostraron en 1820 que una corrienteelectrica desvıa una aguja imantada de la misma forma que lo hace un iman; se ponıa asıde manifiesto, como habıa sugerido Ampere (1775− 1836), que las corrientes electricasproducen campos magneticos.

Campo magnetico debido a un conductor rectilıneo. Ley de Biot y Savart

Los cientıficos franceses J. B. Biot (1774−1862) y F. Savart (1791−1841) midieron el valorde la induccion magnetica B debida a un conductor rectilıneo largo por el que circula unacorriente I en un punto situado a una distancia r del mismo:

Llegaron a la conclusion de que el campo es directamente proporcional a la intensidadde la corriente e inversamente proporcional a la distancia r:

B = kIr

La constante de proporcionalidad k, que depende del medio material, suele escribirsepara el vacıo como:

k =µ0

2π

Con ello:B =

µ0I2πr

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que es la expresion del campo magnetico debido a un conductor rectilıneo, donde µ0es una constante denominada permeabilidad magnetica del vacıo cuyo valor es:

µ0 = 4π ·10−7NA−2 =1

c2 · ε0sF−1

Si el medio no es el vacıo, habrıa que sustituir µ0 en la expresion anterior por la perme-abilidad magnetica µ del medio en el que se encuentre el conductor.

El vector ~B es tangente en cada punto a una circunferencia centrada en el conductor;el sentido de ~B depende del sentido de la corriente I.

A partir del resultado anterior, Biot y Savart supusieron que el campo magnetico de-bido al conductor era la suma de los campos magneticos creados por cada uno de loselementos de la corriente en los que se podıa dividir el conductor original, llegando ası aestablecer la ley que lleva su nombre.

El valor de la induccion magnetica ∆B debida elemento de conductor de longitud ∆Lpor el que circula una corriente I en un punto P a una distancia r del mismo es:

∆B =µ0I4π

∆Lsinα

r2

siendo α el angulo que forman los vectores ∆~L y~r.

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La direccion de ∆~B es perpendicular a ∆~L y a~r, es decir, tiene la direccion del productovectorial ∆~L×~r.

Por ello, la ley de Biot y Savart puede expresarse en forma vectorial:

∆~B =µ0I4π

∆~L×~rr3

Campo magnetico debido a una corriente circular

La ley de Biot y Savart permite calcular facilmente el campo magnetico en el centro deuna espira circular de radio R recorrida por una corriente I.

Dado que el campo magnetico es perpendicular a todos los elementos de corriente enque puede descomponerse la espira, es perpendicular al plano que la contiene; el anguloα vale 90o para todos los elementos.

La induccion magnetica total B en el centro de la espira es igual a la suma de loscampos magneticos generados por cada elemento de corriente. Por tanto:

B = ∑∆B = ∑

(µ0I∆L4πR2

)de donde:

B =µ0I

4πR2 ∑∆L

y, dado que la suma ∆L de las longitudes de todos los elementos de la corriente es iguala la longitud de la circunferencia (2πR), resulta:

B =µ0I2R

El modulo del campo magnetico ~B en el centro de una espira circular es directamenteproporcional a la intensidad de la corriente e inversamente proporcional a su radio. Ladireccion de ~B es perpendicular al plano de la espira, y su sentido esta determinado por

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el del avance de un sacacorchos que gire en el mismo sentido de la corriente o por elque indiquen los dedos de la mano derecha salvo el pulgar, que senala el sentido de lacorriente.

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0.11.6 Campos magneticos creados por corrientes electricas: ley de Ampere yaplicaciones

La expresion del campo magnetico creado por un conductor rectilıneo se puede escribirde la forma B ·2πR = µ0I. El primer miembro se denomina circulacion del vector a lo largode la circunferencia. Ampere demostro que esta expresion es valida para cualquier lıneacerrada que englobe una o mas corrientes.

La circulacion del vector ~B es la suma a lo largo de la lınea de los productos ~B ·d~L endonde d~L son los elementos diferenciales de longitud de la lınea cerrada. En este caso,la suma se extiende a un conjunto infinito de elementos diferenciales y se transforma enuna integral.

La circulacion de ~B es:∮~B ·d~L

Ley de Ampere. La circulacion de B a lo largo de una lınea cerrada es igual a µ0 vecesla intensidad de la corriente o corrientes encerradas por ella:∮

~B ·d~L = µ0 ∑ I

El termino ∑ I se interpreta tomando como positivas las corrientes encerradas por la lıneacon sentido de avance de un sacacorchos que gira en sentido de la circulacion, y negati-vas, las corrientes con sentido contrario.

La ley de Ampere permite calcular el campo magnetico debido a conductores electricosen determinados casos, siempre que la geometrıa permita calcular facilmente la circu-lacion a lo largo de una lınea cerrada. Sin embargo, no es valida cuando las corrientes noson constantes.

Campo magnetico debido a un solenoide

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0.11.7 Interacciones magneticas entre corrientes electricas

0.11.8 Analogıas y diferencias entre los campos gravitatorio, electrico y magnetico

0.11.9 La materia y los campos magneticos

0.11.10 Calculo de campos magneticos



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0.12 Induccion electromagnetica. Sıntesis electromagnetica

0.12.1 La induccion electromagnetica: experimentos de Faraday

0.12.2 Flujo magnetico

0.12.3 Las leyes de Faraday-Henry y de Lenz

0.12.4 Produccion de una fuerza electromotriz sinusoidal

0.12.5 Produccion de energıa electrica mediante fuentes no renovables y fuentesrenovables

0.12.6 Transporte y distribucion de la energıa electrica

0.12.7 Sostenibilidad de la produccion y del consumo de energıa electrica

0.12.8 Relaciones historicas entre fenomenos electricos y magneticos

0.12.9 Las ecuaciones de Maxwell y la sıntesis electromagnetica

0.12.10 Ondas electromagneticas: espectro electromagnetico

0.12.11 Expresion matematica de las ecuaciones de Maxwell y de las ondaselectromagneticas



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0.13 Elementos de fısica relativista

0.13.1 Movimientos absolutos y relativos

0.13.2 El experimento de Michelson-Morley

0.13.3 Postulados de la relatividad restringida

0.13.4 Las transformaciones de Galileo y Lorentz

0.13.5 La contraccion de la longitud y la dilatacion del tiempo

0.13.6 La suma relativista de velocidades

0.13.7 Dinamica relativista. La equivalencia masa-energıa

0.13.8 Introduccion a la relatividad general

0.13.9 Repercusiones de la teorıa de la relatividad



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0.14 Introduccion a la fısica cuantica

0.14.1 La crisis de la fısica clasica

0.14.2 Comportamiento cuantico de la radiacion: la hipotesis de Planck

0.14.3 El efecto fotelectrico y su interpretacion cuantica

0.14.4 Los espectros discontinuos y su interpretacion cuantica

0.14.5 Los experimentos de Franck-Hertz

0.14.6 Propiedades ondulatorias de las partıculas

0.14.7 Una interpretacion de las ondas materiales

0.14.8 Relaciones de indeterminacion

0.14.9 Dispositivos fundamentados en la teorıa cuantica



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0.15 Introduccion a la fısica nuclear

0.15.1 La radiactividad y su naturaleza

0.15.2 La desintegracion radiactiva

0.15.3 Las fuerzas nucleares y las fuerzas de enlace

0.15.4 Los modelos nucleares

0.15.5 Las reacciones nucleares

0.15.6 Aplicaciones y riesgos de las reacciones nucleares

0.15.7 Peligros y aplicaciones de la radiactividad

0.15.8 Introduccion al estudio de las partıculas elementales



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Bibliography

[1] ESTEVEZ FERNANDEZ, JONATHAN, Fısica 2oBT

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Fisica 2º BT

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