Productos Vectoriales� Producto Escalar (Producto Punto)

Sean los vectores A y BA �B = abCos�SiA = axi + ayj + azkB = bxi + byj + bzkA �B = (axi + ayj + azk) � (bxi + byj + bzk)A �B = axibxi + axibyj + axibzx

1. +ayjbxi + ayjbyj + ayjbzk

+azkbxi + azkbyj + azkbzk

A �B = axbx + ayby + azbz ! Escalar

Example 1 Sean los vectores

A = 3i+ 2j + 3kB = 3i� 4j + 5kA �B = (3� 3) + (2� (�4)) + (3� 5)kA �Bk = 9� 8 + 15kA �Bk = 16Ángulo entre A y Ba = 2

p32 + 22 + 32 =

p22 = 4: 690 4

b = 2p32 + 42 + 52 = 5

p2 = 7: 071 1

Cos� = kA�Bkab

� = Cos�1 16(4:96�7:07)

� = Cos�10:48� = 61

�50

Example 2 Sean los vectores

A = 2i� 3j + 5kB = 3i� 0j � 2kA �B = (2� 3) + ((�3)� 0) + (5� (�2))kA �Bk = 6� 10kA �Bk = �4

Ángulo entre A y Ba = 2

p22 + 32 + 52 =

p38 = 6: 164 4

b = 2p32 + 02 + 22 =

p13 = 3: 605 6

1

Cos� = kA�Bkab

� = Cos�1 �4(6:16�3:60)

� = Cos�1 �0:180 38� = 100

�23

0

� Producto Vectorial (Producto Cruz)

Sean los vectores A y B= kA�Bk = abSen�f es el ángulo entre A y B

Example 3 Sean los vectores A y B

A = axi + ayj + azkB = bxi + byj + bzkA�B = (axi + ayj + azk) + (bxi + byj + bzk)A�B = axbx(i� i) + axby(i� j) + axbz(i� k)

+aybx(j � i) + ayby(j � j) + aybz(j � k)+azbx(k � i) + azby(k � j) + azbz(k � k)

i� j = k j � i = �kj � k = i k � j = �ik � i = j i� k = �j

A�B = axbx(k) + axbz(�j)+aybx(�k) + aybz(i)+azbx(j) + azby(�i)

A�B = (aybz � azby)i+ (azbx � axbz)j + (axby � aybx)k !VectorkA�Bk = abSen�

A�B =i j kax ay azbx by bz

Example 4 Sean los vectores

A = 3i+ 5j � 3kB = 2i� 3j + 8ka = 2

p32 + 52 + 32 =

p43 = 6: 557 4

b = 2p22 + 32 + 82 =

p77 = 8: 775 0

A�B = ((5�8)�((�3)�(�3)))i+((3�8)�((�3)�2))j+((3�(�3)�(2�5)))kA�B = 31i+ 30j � 19kC = 31i+ 30j � 19kc = 2

p312 + 302 + 192 =

p2222 = 47: 138

2

Sen� = kA�Bkab = c

ab� = Sen�1 47:13

(6:55�8:77) = Sen�10:820 46

� = 55�70

Exercise 5 Sean los vectores

A = 3U 30�

B = 5U 60�

C = 3U 120�

D = 8U 150�

E = 7U 60�

R = Rx +RyRx =

Pni=1 Vy

Ax = 3Cos�30�= 2:59

Bx = 5Cos�60�= 2:5

Cx = 3Cos�120�= �1:5

Dx = 8Cos�150�= �6:92

Ex = 7Cos�60�= 3:5

Rx = 0:17

Ay = 3Sen�30�= 1:5

By = 5Sen�60�= 4:33

Cy = 3Sen�120�= 2:59

Dy = 8Sen�150�= 4

Ey = 7Sen�60�= 6:06

Ry = 18:48

R = Rx +Ryr = 2

p(0:17)2 + (18:48)2

r = 18: 481Tan� = 18:48

0:17� = Tan�1 18:480:17� = Tan�1108: 71� = 89

�28

0

CINEMÁTICA

� Sistemas de Referencia

3

�Cartecianos (2D, 3D)

�Polar

� Trayectoriay = f(x)

� Variación de la posiciónPB � PA

� Desplazamiento�!�p =

�!Pb �

�!PA

� �!�r ! Vector

� �!�r ! Distancia

Ecuaciones

� Velocidad�!V =

�!rb��!ratb�ta

�!V = �r

�t =longitudtiempo = m

s

� Aceleración�!a = V b�V a

tb�ta�!a = �v

�t =longitud=tiempo

tiempo = ms2

Movimiento Rectilíneo Uniforme

� En una competencia de rally un vehículo debe salir a las 8:00 am y deberecorrer una distancia de 20km en 20min, la segunda estación que seencuentra a 10km debe pasar a las 8 : 25am y la meta �nal, se espera queel vehículo termine a las 9 : 00am viajando a una velocidad de 75km=h

t0 = 8am

krk = 20km�t = 20mn

� Velocidad InicialV1 =

20km0h20mn =

20km0;3Hr = 60km=Hr

�r = 10km

t = 8Hr25mn

V2 =�r�t =

10Km=Hr8Hr2mn�8Hr20mn =

10Km0Hr5mn = 120Km=Hr

4

�r =?

t = 9Hr0mn

V = 75Km=Hr

V3 =�r�t

�r = V3�t

�r = 75Km=Hr � 0Hr35mn�r = 43:75Km

� Distancia Total�rt = �r1 +�r2 +�r3

�rt = (20 + 10 + 43:75)Km

�rt = 73:75Km

� Velocidad MediaV =

Pni=1

V in

V = (60+120+75)Km=Hr3 = 85Km=Hr

Movimiento Rectilineo Uniformente Acelerado (MRUA)

� Un vehículo viaja a 60km=Hr y aplica sus frenos de tal manera que en20m adquirió el reposo. Cuál es la desaceleración y que tiempo gasto?

V = 60Km

X = 20m

V f = 0Km=Hr

a =?

t =?

V0 =60:000m3:600s = 16:66m=s

a =�V 2

o

2x

a = �(16:66m=s)22�20m = �6:94m=s2

V = Vo + at

0 = Vo � att = Vo

a

t = 16:66m=s6:94m=s2 = 2:4s

5

� Un vehiculo tiene por función del movimiento x = 5 + 4t � 6t2 , cualla posición inicial, velocidad inicial,desaceleración, que velocidad lleva altranscurrir 30s

x = xo + vot+12at

2

x = 5 + 4t� 6t2

xo = 5

vo = 412a = �6a = �12v = vo + at

v = 4� 12(30s)v = 4m=s� 12m=s2(30s)v = 360m=s

� Una particula se mueve segun la siguiente funcion x = 3Sen2t. Cual es lavelocidad, aceleración, cuanto vale v en los 10 primeros segundos y a los25s.

x = 3Sen2t

v = dxdt

v = d(3Sen2t)dt

v = 3Cos2t(2)

v = 6Cos2t

a = dvdt =

d(6Cos2t)dt

a = �12Sen2tvt10s = 6Cos2(10s)

vt10s = 2:45m=s

at25s = �12Sen2(25s)at25s = 3:15m=s

2

� Dos vehiculos en la misma dirección y se encuentran separados por unadistancia de 20m, el de adelante puede acelerar a 1:2m=s2, el de atraspuede acelerar a 1:8m=s2. Le da alcance, donde y en que tiempo?

1. x1 = x+ x2 ! 1

x1 =12a1t

21 ! 2

x2 =12a2t

22 ! 3

12a1t

21 = x+

12a2t

22

t1 = t212a1t

2 = x+ 12a2t

2

6

( 12a1 �12a2)t

2 = x

(~a1 � ~a2)t2 = 2x(1:8m=s2 � 1:2m=s2)t2 = 2x(0:6m=s2)t2 = 2(20m)

t2 = 40m0:6m=s2

t = 2

q40m

0:6m=s2 = 8:16s

x1 =12a1t

2

x1 =12 (1:8m=s

2)(8:16s)2

x1 = 59:93m

x2 =12a2t

2

x2 =12 (1:2m=s

2)(8:16s)2

x2 = 39:93m

� En un sistema de calle y carrera ortogonal de una ciudad, 2 vehiculosse acercan a una esquina, el primero esta a 50m y viaja a 20km=Hr, elsegundo a 80m y viaja a 30Km=Hr. Calcular la velocidad relativa

ta =xava= 50m

3:5m=s

ta = 9:009s

tb =xbvb= 80m

8:33m=s

tb = 9:604s

~V r = ~V a+ ~V b

V r = 2pV a2 + V b2

V r = 2p5:52 + 8:32

V r = 9:98m=s

� Una particula tiene por funcion de movimiento v = 3m=s+2:5xt. Encon-trar la funcion del desplazamiento

v = 3 + 2:5t

v = dxdt

dx = v dt

dx = (3 + 2:5t)dt

dx = 3dt+ 2:5t dtR xxodx =

R tto3dt+

R tto2:5t dt

x� xo = 3(t� to) + 2:5( 12 (t2 � t2o))

Si to = 0

x = xo + 3t+ 1:25t2

Caida Libre

7

� Se deja caer un objeto y se observa que en los 5m ultimos metrosde llegaral piso gastó un tiempo de 0:08s. Calcular la altura

y = 12gt

2

v = gt2gh = v2

(H � h)2g = v2H�h2gH = v2H

h = �12 gt

2

vb = �va � gtH = �vat� 1

2gt2

H + 12gt

2 = �vatva =

12 gt

2�Ht

va =12 (9:81m=s

2)(0:08s)2�5m0:08s

va = �62:06m=s

�2gH = v2b � v2avb =

2pv2a � 2gH

vb =2p(�62:06m=s)2 � 2(9:81m=s2)� 5m

vb = 62:85m=s

�2gh = v2bh =

v2b2g

h = (62:85m=s)2

2(9:81m=s2) = 201:33m

� Se lanza un objeto verticalmente hacia a bajo con una velocidad de 15m=s.Qué tiempo emplea en llegar al piso si la altura desde donde se lo lanzóes de 100m.

h = vot� 12gt

2

v = vo � gt�2gh = v2 � v2o

h = �vot� 12gt

2

�12 gt

2 � vot� h = 0g2 t2 + vo + h = 0

at2 + bt+ c = 0ti =

�b� 2pb2�4ac2a

ti =�15� 2

p152+4(4:9)(100)

9:81

ti1 =�15+ 2p2:18

9:81 = 3:23

ti2 =�15� 2p2:18

9:81 = �6:29

8

� Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20m=s.Calcular la altura a la que llega el objeto, tiempo de subida, tiempo de ba-jada, tiempo de vuelo, velocidad de llegada, velocidad media de la altura,tiempo en la mitadad de la altura.

ts =�Vo�g =

�20m=s�9:81m=s2 = 2:04s

tb =�20m=s�9:81m=s2 = 2:04s

tv = ts + tbtv = 4:08

h = vot� 12gt

2

h = 20m=s(2:04s)� 12 (9:8m=s

2)(2:04s)2

h = 20:4m

vf = vo � gtvf = 20m=s� 9:8m=s2(2:04s)vf = �20m=s

vh2=>

�2gh = v2 � v2o�2gh+ v2o = v22p�2gh+ v2o = v

2p�2(9:8m=s2)(10:21m) + (20m=s)2 = v

2p199:68m2=s2 = v

v = 14; 13m=s

h2 = vot

h2 �

12g(t

h2 )2

12gt

2 h2 � vot

h2 +

h2 = 0

th2 i =�b� 2pb2�4ac

2a

th2 i =�20� 2

p202�4(4:9)(10:21)2(4:9)

th2i = �20� 2p199:88

9:8

t1 =�20+14:13

9:8 = 34:139:9 = 3:48s

t2 =�20�14:13

9:8 = 5:879:8 = 0:6s

Movimiento Parabólicoy = tvosen� � 1

2gt2

vy = vosen� � gtx = vo cos �t

9

� Tiempo de Subida

vy = voSen� � gt0 = vosen� � gtsts =

vosen�g

� Tiempo Bajada

tb = ts =voSen�

g

� Tiempo Vuelo

tv =2voSen�

g

y = votsen� � 12gt

2

H = votssen� � 12gt

2s

H = vovosen�g sen� � 1

2g(vosen�g )2

H =v2osen

2�g � 1

2v2osen

2�g

H =vosen2�2g

x = votx = vo cos �trx = vo cos �(2

vosen�g )

rx =2v2o cos �sen�

g => 2 cos �sen� = sen2�

rx =v2osen2�

g

� Trayectoria

y = f(x)y = votsen� � 1

2gt2

x = vot cos �t = x

voCos�

y = vo(x

voCos�)sen� � 1

2g(x

vo cos �)2

y = x tan � � g2v2o cos

2 �x2

� Se lanza un objeto con un angulo de 30� y una velocidad inicial de 20m=s.Calcular tiempo de subida, tiempo de vuelo, altura máxima, alcance máx-imo, ecuacion de la trayectoria

10

ts =vosen�g

ts =(20m=s)sen30�

9:81m=s

ts =20m=s0:59:81m=s

ts = 1:02s

tv = 2tstv = 2:04s

H = (20m=s)2sen230�

2(9:81m=s2)

H = 400m2=s20:52

19:62m=s2

H = 5:1m

rx =v2osen2�

g

rx = (20m=s)2sen2(30)9:81m=s2

rx = 400m2=s2sen60�

9:81m=s2

rx = 35:07m

y = x tan � � gx2

2v2o cos2 �

y = tan 30�x� 9:81m=s2x2

2(20)2 cos2 30

y = 0:58x� 0:016x2

v = vo cos �v = (20m=s) cos 30�

v = 17:32m=s

� Desde la plataforma de un camion que viaja a una velocidad de 30km=hse la nza un objeto con un angulo de elevacion de 60� y una velocidad de15m=s.

v = 30km=hv = 30000m

3600s = 8:33m=s

Rx =v2osen2�

g

Rxc = (15m=s)2sen2(60)9:81m=s2 + (8:33m=s)tv

tv =2vosen�

g

tv =2(15m=s)sen60�

9:81m=s2

tv = 2:64sRxc = 19:86m+ 8:33m=s(2:64s)

11

Rxc = 19:86m+ 22mRxc = 41:86m

� Un futbolista patea un balon con un angulo de 8� y una velocidad de80m=s, si lo hace de una distancia de 37m al arco. Hay gol?

y = votsen� � 12gt

2

y = x tan � � g2v2o cos

2 �x2

y = 37m tan 8� 9:81m=s2

2(80m=s)2 cos2 8� (37m)2

y = 5:18m� 0:000781(37)2y = 5:18� 1:07y = 4:11m

� Desde lo alto de un edi�cio se lanza un objeto con una velocidad de 20m=s.Calcular alcance, tiempo de vuelo, velocidad en el lugar de impacto

y = � g2v2ox2

x = (2v2oy�g )

12

x =h2(20m=s)2(�60m)

�9:81

i 12

x = 69:95m

Rx = vtvtv =

Rxv

tv =69:95m20m=s

tv = 3:50s

v =qv2x + v

2y

vx = 20m=s

vy = �gtvvy = �9:81m=s2(3:5s)vy = �34:34sv =

p202 + (34:34)2

v = �39:74m=s

12