4dCB30213.55. Cada uno de los dos péndulos que se muestran consiste en una esfera sólida uniforme de masa M sostenida por un cordón sin masa; no obstante, la esfera del péndulo A es muy pequeña, en tanto que la esfera del péndulo B es mucho más grande. Obtenga el periodo de cada péndulo para desplazamientos cortos. ¿Qué esfera tarda más en completar una oscilación?

13.63. MAS en un motor de combustión. El movimiento del pistón de un motor de automóvil es aproximadamente armónico simple. a) Si la carrera del pistón (el doble de la amplitud) es de 0.1 m y el motor trabaja a

3500 rev /min, ¿qué aceleración tiene el pistón en el extremo de su carrera?

b) Si el pistón tiene una masa de 0.45 kg, ¿qué fuerza neta debe ejercerse sobre él en ese punto? c) ¿Qué rapidez y energía cinética tiene el pistón en el punto medio de su carrera?d) ¿Qué potencia media se requiere para acelerar el pistón desde el reposo, hasta

la rapidez determinada en el inciso c)? d) Repita los incisos b), c) y d) con el motor trabajando a 7000 rev/min.

13.91. Una varilla metálica delgada y uniforme con masa M pivota sin fricción sobre un eje que pasa por su punto medio y es perpendicular a la varilla. Un resorte horizontal con constante de fuerza k se conecta al extremo inferior de la varilla, y el otro extremo del resorte se fija a un soporte rígido.

La varilla se desplaza un ángulo pequeño θ con respecto a la vertical y se suelta. Muestre que se mueve en MAS angular y calcule su periodo. (Sugerencia: suponga que θ es suficientemente pequeño para que las aproximaciones senθ < θ y cos θ < 1 sean válidas.

El movimiento es armónico simple si θ̈+ω2θ=0 y el periodo es entonces

T=2π /ω.)

13.89. La esfera superior se suelta del reposo, choca contra la esfera inferior estacionaria y se pega a ella. Ambos cordones tienen 50cm de longitud.La esfera superior tiene masa de 2kg y está inicialmente 10cm más alta que la inferior, cuya masa es de 3kg. Halle la frecuencia y el desplazamiento angular máximo del movimiento después del choque.

13.93. Dos varillas delgadas idénticas, cada una con masa m y

longitud

L, se unen en ángulo recto para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la

cúspide de un triángulo agudo. Si el objeto en forma de L se desvía un poco, oscila. Halle la frecuencia de oscilación.

13.95. Una varilla uniforme de longitud L oscila con ángulo pequeño alrededor de un punto a una distancia x de su centro. a) muestre que su frecuencia angular es b) muestre que su frecuencia angular máxima se da cuando c) ¿Qué longitud tiene la varilla si la frecuencia angular máxima es 2πrad /s

13.101. Se determina que el periodo de un péndulo físico alrededor de un punto pivote es T. Luego se encuentra otro punto pivote en el lado opuesto del centro de masa que da el mismo periodo. Los dos puntos están separados una distancia L. Use el teorema de ejes paralelos para demostrar que g=L¿

(Este resultado sugiere una forma de calcular g sin conocer la masa ni ningún momento de inercia del péndulo físico.)

15.4. Imágenes por ultrasonido. Se llama ultrasonido a las frecuencias más arriba de la gama que puede detectar el oído humano, esto es, aprox… mayores que 20,000 Hz. Se pueden usar ondas de ultrasonido para penetrar en el cuerpo y producir imágenes al reflejarse en las superficies. En una exploración típica con ultrasonido, las ondas viajan con una rapidez de 1500 m>s. Para obtener una imagen detallada, la longitud de onda no debería ser mayor que 1 mm. ¿Qué frecuencia se requiere entonces?

14.72. El bloque A cuelga mediante un cordón de la balanza de resorte D y se sumerge en el líquido C contenido en el vaso de precipitados B. La masa del vaso es 1.0 kg; la del líquido es 1.8 kg. La balanza D marca 3.5 kg, y la E, 7.5 kg. El volumen del bloque A es de 3.8 x10−3m3. a) ¿Qué densidad tiene el líquido? b) ¿Qué marcará cada balanza si el bloque A se saca del líquido?

14.84. Un recipiente cilíndrico con un líquido incompresible (de densidad ρ) gira con rapidez angular constante ω alrededor de su eje de simetría, que tomamos como eje y.a) Muestre que la presión a una altura dada dentro del fluido aumenta en la dirección radial (hacia fuera desde el eje de rotación) de acuerdo con la ecuación ∂ p∂ r

=ρω2 r b) Integre esta ecuación diferencial parcial para determinar la presión como función de la distancia del eje de rotación a lo largo de una línea horizontal en y=0.c) Combine el resultado del inciso b) con la ecuación (p=p0+r gh ) para demostrar que la superficie del líquido en rotación

tiene forma parabólica, es decir, la altura del líquido está dada por h (r )=ω2r 2

2g.

(Esta técnica se usa para hacer espejos de telescopio parabólicos; se hace girar vidrio líquido, dejando que se solidifique mientras gira.)

14.87. Hay agua hasta una altura H en un tanque abierto grande con paredes verticales. Se perfora un agujero en una pared a una profundidad h bajo la superficie del agua. a) ¿A qué distancia R del pie de la pared tocará el piso el chorro que sale?b) ¿A qué distancia sobre la base del tanque debería hacerse un segundo agujero de manera que el chorro que salga por él tenga el mismo alcance que el que sale por el primero?

14.89. Fluye agua continuamente de un tanque. La altura del punto 1 es de 10m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2m.

El área transversal en el punto 2 es de 0.048m2; en el punto 3 es de 0.016m2. El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Suponiendo que puede aplicarse la ecuación de Bernoulli, calcule

a) la rapidez de descarga en m3/s;b) la presión manométrica en el punto 2.

15.5. Luz visible. La luz es una onda, pero no una onda mecánica.Las cantidades que oscilan son campos eléctricos y magnéticos. La luz que es visible para los seres humanos tiene longitudes de onda de entre 400 nm (violeta) y 700nm (rojo), en tanto que toda la

luz viaja en el vacío a una rapidez c=3 x 108m / s. a) ¿Cuáles son los límites de la frecuencia y el periodo de la luz visible? b) ¿Usando un cronómetro podría usted medir el tiempo que dura una sola vibración de luz? 15.8. Una onda de agua que viaja en línea recta en un lago queda descrita por la ecuación

y (x , t)=3.75cm cos (45mm−1 x+5.4 s−1t)donde y es el desplazamiento perpendicular a la superficie tranquila del lago. a) ¿Cuánto tiempo tarda un patrón de onda completo en pasar por un pescador en un bote anclado, y qué distancia horizontal viaja la cresta de la onda en ese tiempo? b) ¿Cuál es el número de onda y el número de ondas por segundo que pasan por el pescador? c) ¿Qué tan rápido pasa una cresta de onda por el pescador y cuál es la rapidez máxima de su flotador de corcho cuando la onda provoca que éste oscile verticalmente?

15.22. Umbral del dolor. Imagine que investiga un informe del aterrizaje de un OVNI en una región despoblada de Nuevo México, y encuentra un objeto extraño que radia ondas sonoras uniformemente en todas direcciones. Suponga que el sonido proviene de una fuente puntual y que puede despreciar las reflexiones. Está caminando lentamente hacia la fuente. Cuando está a 7.5 m de ella, determina que la intensidad es de 0.11W /m2.

Comúnmente, se considera que una intensidad de 1W

m2 es el “umbral del dolor”.

¿Cuánto más podrá acercarse a la fuente antes de que la intensidad del sonido alcance ese umbral?

15.24. Imagine que un compañero con dotes matemáticas le dice que la función de onda de una onda viajera en una cuerda delgada es

y ( x , t )=2.3mmcos [(6.98 radm ) x+(742 rad /s )t ]

Usted, que es una persona más práctica, efectúa mediciones y determina que la cuerda tiene una longitud de 1.35 m y una masa de 3.38 x10−3 kg. Ahora le piden determinar lo siguiente: a) amplitud; b) frecuencia; c) longitud de onda; d) rapidez de la onda; e) dirección en que viaja la onda; f) tensión en la cuerda; g) potencia media transmitida por la onda.

15.20. Un alambre de piano con masa de 3 g y longitud de 80 cm se estira con una tensión de 25 N. Una onda con frecuencia de 120 Hz y amplitud de 1.6 mm viaja por el alambre. a) Halle la potencia media que transporta esta onda. b) ¿Qué sucede con esta potencia si la amplitud de la onda se reduce a la mitad?

15.34. Los antinodos adyacentes de una onda estacionaria en una cuerda están separados 15 cm. Una partícula en un antinodo oscila en movimiento armónico simple con amplitud de 0.85 cm y periodo de 0.075 s. La cuerda está en el eje +x, fija en x=0 a) ¿Qué tan separados están los nodos adyacentes?b) ¿Cuáles son la longitud de onda, la amplitud, la rapidez de las dos ondas viajeras que forman este patrón?c) Calcule las rapideces transversales máxima y mínima de un punto en un antinodo. d) ¿Cuál es la distancia mínima en la cuerda entre un nodo a un antinodo?

15.65. Una onda senoidal transversal viaja por una cuerda de longitud 8m y masa 6 g. Su rapidez es de 30m /s y su longitud de onda es de 0.2m. a) ¿Qué amplitud debe tener la onda para que su potencia media sea de 50 W? b) En esta misma cuerda, si la amplitud y la longitud de onda son las del inciso a), ¿qué potencia media tendrá la onda si la tensión se aumenta de modo que la rapidez de la onda sea el doble?

15.68. Una cuerda de 50 cm de longitud vibra sometida a una tensión de 1 N. La figura muestra cinco imágenes estroboscópicas sucesivas de la cuerda. La lámpara produce 5000 destellos por minuto y las observaciones revelan que el desplazamiento máximo se dio en los destellos 1 y 5, sin otros máximos intermedios. a) Calcule la longitud de onda, el periodo y la frecuencia de las ondas que viajan por esta cuerda.b) ¿En qué modo normal (armónico) está vibra la cuerda? c) Calcule la rapidez de las ondas viajeras en la cuerda.d) ¿Con qué rapidez se está moviendo el punto P cuando la cuerda está en i) la posición 1 y ii) la posición 3? e) Calcule la masa de la cuerda.

17.78. El tamaño de las estrellas. La superficie caliente luminosa de las estrellas emite energía en forma de radiación electromagnética.Es una buena aproximación suponer e=1 para estas superficies.Calcule los radios de las estrellas siguientes (supóngalas esféricas):a) Rigel, la estrella azul brillante de la constelación de Orión, que radia energía a una tasa de 2.7x 1032W y tiene una

temperatura superficial de 11,000K ; b) Procyon B (visible sólo con un telescopio), que radia energía a una tasa de 2.1 x1023W y tiene temperatura superficial de 10,000 K. c) Compare sus respuestas con el radio de la Tierra, el del Sol y la distancia entre la Tierra y el Sol. (Rigel es un ejemplo de estrella supergigante; Procyon B es un ejemplo de estrella enana blanca.)

17.86. Usted vierte 108cm3 de etanol, a una temperatura de −10.0 °C , en un cilindro graduado inicialmente a 20.0 °C , llenándolo hasta el borde superior.

El cilindro está hecho de vidrio con un calor específico de 840J

KgK y un coeficiente de expansión de volumen de

1.2 x10−5 K−1; su masa es de 0.110 kg. La masa del etanol es de 0.0873kg.a) ¿Cuál será la temperatura final del etanol, una vez que se alcanza el equilibrio térmico? b) ¿Cuánto etanol se desbordará del cilindro antes de alcanzar el equilibrio térmico?

17.89. a) La ecuación (17.12) da el esfuerzo requerido para mantener constante la longitud de una varilla cuando su temperatura cambia. Demuestre que, si se permite que la longitud cambie una cantidad ∆ L cuando la temperatura cambia una cantidad ∆T , el esfuerzo será igual a

FA

=Y (∆ LL0

−α ∆ L)

donde F es la tensión en la varilla, L0 es su longitud original, A es el área de la sección transversal, α es su coeficiente de

expansión lineal y Y es su módulo de Young. b) Una barra de latón gruesa tiene proyecciones en sus extremos Dos alambres finos de acero, tendidos entre las proyecciones, tienen tensión cero cuando el sistema está a 20 °C . Calcule el esfuerzo de tensión en los alambres, si el sistema se calienta a 140 °C. Haga supuestas simplificaciones si es necesario, pero especifíquelas.

17.100. La capacidad calorífica molar de cierta sustancia varía con la temperatura, según la ecuación empírica:

C=29.5 Jmol K

+8.2x 10−3 Jmol K

T

¿Cuánto calor se necesita para calentar 3.0mol de la sustancia de27 ° C a 227 ° C? (Sug. use la ecuación (Q=nCdT ) en la forma dQ=nCdT e integre.)