PROBLEMASi la barra mostrada pesa 30 N y a esta se le aplica una fuerza vertical F = 25 N, determinar el valor del momento resultante respecto del punto O.

RESOLUCIONEl momento resultante respecto de un cierto punto es la resultante de los momentos generados por cada una de las fuerzas. En este caso, se obtiene sumando algebraicamente cada uno de ellos.

 _

 _ 

Luego: _________

Como el momento resultante de las fuerzas respecto del punto O es positivo, la barra experimentará un efecto de rotación en sentido antihorario.

 

PROBLEMADeterminar el valor del momento de la fuerza oblicua F = 100 N respecto del punto O.

 

 

RESOLUCIONEste problema vamos a resolverlo por dos métodos diferentes pero equivalentes.

El primer método consiste en determinar previamente la distancia del centro de momentos a la línea de acción de F.

Por criterios puramente geométricos se deduce qued = 4 m.

Luego el momento de la fuerza F respecto del punto O será:

El signo positivo es porque la rotación que la fuerza produce el cuerpo es en sentido antihorario.

El segundo método implica en descomponer previamente la fuerza F en una componente horizontal y una componente vertical y luego determinar el momento producido por cada una de estas y finalmente sumar algebraicamente estos.

 _ 

 _ 

Luego: _________

El momento resultante, es el momento producido por la fuerza F que es la resultante de los componentesFx y Fy.

7.3.5. TEOREMA DE VARIGNON.

Èl momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O.

Esto es, si las fuerzas    ,  ; se aplican en un punto P, como se indica en la figura 109, podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, que:

FIGURA 109.

Debemos anotar que esta propiedad fue establecida por primera vez por el matemático francés Pedro Varignon (1654-1722), mucho antes de la introducción del álgebra vectorial, y de allí surgió el nombre para este teorema. No sobra destacar como la matemática crea instrumentos cada vez mas refinados y ágiles que permiten la formalización de propiedades validadas empiricamente como la anteriormente citada.

El resultado anterior permite sustituir la determinación directa del momento de una fuerza  , por la determinación de los momentos de dos o más fuerzas componentes. Esto es particularmente util en la descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. Sin

embargo, puede resultar más útil en algunos casos descomponer   en componentes que no sean paralelas a los ejes coordenados.

7.3.6. COMPONENTES RECTÁNGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA.

En general la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica notablemente si se procede a la descomposición en sus componentes rectángulares en los ejes coordenados, para el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza, y de ésta

respectivamente. Consideremos el momento   de una fuerza   de componentes       respectivamente como se indica en la figura 110 y cuyo punto de aplicación corresponde a P

FIGURA 110.

Se tiene por lo tanto que:

 

y en consecuencia 

 

 

Donde los escalares  ,   y   de  , indican la tendencia de la fuerza   a imprimir a un sólido rígido un movimiento de rotación alrededor de los ejes coordenados en su respectivo orden.

Calculemos a su vez las componentes de 

esto significa que:

 

 

Destaquemos aquí una aplicación importante que corresponde al caso de fuerzas coplanarias. En

este caso podemos asumir que la fuerza   está contenida en el plano   como se indica en la

figura 109 y en consecuencia   y 

Al sustituir estos valores en la ecuación     y   se tiene       

por lo tanto 

 que corresponde a un vector perpendicular al plano   como se esperaba.

Finalmente queremos resaltar, para esta situación, dos elementos importantes.

1. Un valor positivo de   indica que el vector   apunta "hacia afuera del plano" (la fuerza   tiende a hacer girar el cuerpo en sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor de O), y un

valor negativo indica que el vector   apunta hacia adentro del plano (la fuerza   tiende a hacer girar el sólido en sentido de las agujas del reloj alrededor de O).

2. Si P  designa un punto de cualquiera de la línea de acción de la fuerza  , entonces la

ecuación  nos representa la ecuación de dicha recta:   o en forma

equivalente 

FIGURA 111.

Ilustración 2.

En la figura 112 se tiene una fuerza   de magnitud igual a 15N que se aplica a un cuerpo en un

punto A. La fuerza está contenida en el plano   y forma un ángulo de 50º con el semieje  . El

vector de posición  forma un ángulo de 25º con respecto al semieje   y su magnitud es igual a 80cm.

Calcular el torque de la fuerza respecto al punto O y la ecuación de la línea de acción de ésta.

FIGURA 112.

Solución.

Podemos utilizar dos procedimientos diferentes así:

En el primero procedemos a la determinación de las componentes rectángulares de   y   respectivamente.

 

 

 

 

esto es   

Lo que indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario es decir   está "saliendo

del plano  ".

Ahora la ecuación de la linea de acción de  , se obtiene, considerando un punto genérico P

perteneciente a ella, como:

o también 

En la segunda forma, recurrimos a la definición de la magnitud 

 como podemos observar en la figura 113 tenemos:

FIGURA 113.

 (¿Porqué?).

Luego 

 

  , con el signo positivo de acuerdo al sentido del producto vectorial (regla de la mano derecha).

Ilustración 3.

Determine la fuerza resultante, el torque resultante respecto al punto O y la ecuación de la linea de acción de la fuerza resultante, para el sistema de fuerzas coplanarias que se indica en la

figura 114, siendo las magnitudes de las fuerzas:       

 y la longitud de cada cuadrícula es igual a 10cm.

FIGURA 114.

Solución.

Expresemos inicialmente cada fuerza, en sus componentes rectangulares.

 

 (¿Porqué?) 

 (¿Porqué?) 

Luego,

 

 

 

en consecuencia 

 y   

¿Corresponde el sistema anterior a un sistema de fuerzas concurrentes?. Justifique su afirmación.

Determinemos a continuación, las componentes rectangulares de cada vector de posición para el punto de aplicación de cada fuerza.

 

 

 

Calculemos ahora el torque de cada fuerza, respecto al punto O.

 

 

 

Por lo tanto el torque resultante   es:

 esto es   lo cual nos indica

que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario, es decir que   está "saliendo del

plano  ".

La ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante es:

, correspondiendo a:

 y en consecuencia

Si E(0.2, 0.3) entonces, ¿es E un punto de la linea de acción de  ?

Grafique la recta anterior.

¿Se cumple que   Justifique su respuesta.

Ilustración 4.

Hallar el momento respecto al origen de una fuerza   en la cual sus componentes estan dadas en Newtons, cuando se aplica en un punto A; asumiendo que el vector de posición de A es:

a.   

b.   

c.   donde todas las componentes estan expresadas en metros.

Determine en cada caso, la ecuación de la línea de acción de 

Solución.

Resolvamos el primer caso.

, donde cada componente está expresada en 

luego 

Si P  es un punto cualquiera de la línea de acción de   se cumple:

   ¿Porqué?.

y en consecuencia se tiene:

 Ecuaciones paramétricas de la linea de acción de 

Ilustración 5.

Una fuerza   de 50 Kgf actua en una esquina de una placa y en el mismo plano de ésta como se indica en la figura 115. Halle el momento de esta fuerza respecto al punto A en las siguientes formas:

a. Empleando la definición. 

b. Descomponiendo la fuerza en componentes paralelas a   y  . 

c. Descomponiendo la fuerza en componentes paralela a   y perpendicular a respectivamente.

FIGURA 115.

Solución.

Aplicando la definición, tenemos incialmente que   luego   

siendo   el ángulo determinado entre   y   como se indica en la figura 116.

FIGURA 116.

Podemos observar que  , por

tanto  ¿Porqué?.

Luego   

 

Puede verificarse que el vector   está "saliendo del plano de la placa" y genera una rotación en sentido antihorario alrededor del punto A.

Dejamos al lector el desarrollo del literal b.

Evaluemos el torque mediante la forma sugerida en el literal c; para ello utilizamos la figura 117.

FIGURA 117.

Descomponemos a   en dos componentes con las caracteristicas solicitadas que designamos

por   y  respectivamente, y partiendo de la definición tenemos:

como   (¿Porqué?), entonces 

y en consecuencia:

 

 

   

 

Ilustración 6.

Se aplica una fuerza vertical   de 150 Kgrf al extremo de una palanca que está unida a un eje en O como se indica en la figura 118.

Halle:

a. El momento de   respecto al punto O.

b. La magnitud de una fuerza horizontal aplicada en A, que produce el mismo momento anterior, respecto a O.

c. La fuerza mas pequeña que aplicada en A crea el mismo momento anterior respecto a O.

d. A que distancia del eje debe actuar una fuerza vertical   de 250 Kgrf para producir el mismo momento anterior, respecto a O.

FIGURA 118.

Solución.

Tenemos inicialmente que  , luego   (¿Porqué?) como se indica en la figura 119.

FIGURA 119.

donde  , en consecuencia

   y el vector   está entrando al plano que contiene a la

palanca y a  , generando una rotación en sentido horario alrededor del punto O.

Designemos por   la fuerza horizontal que aplicada en A, produce el mismo momento,

entonces se cumple que   y   como se indica en la figura 120.

FIGURA 120.

con   en consecuencia   

y     

¿Qué ocurre si en lugar de la fuerza   se toma su opuesta?.

¿Variaría el resultado?. Analice y justifique su respuesta.

Determinemos ahora la fuerza mínima que aplicada en A, genera el mismo momento. Para ello analicemos cada término de la ecuación básica:

, despejando   tenemos:

, como   y   son constantes en este caso, el valor mínimo de   

se obtiene cuando el denominador alcanza su valor máximo y esto sucede cuando   

correspondiendo al ángulo   En consecuencia la fuerza mínima que designamos

por   es perpendicular a   como se indica en la figura 119 y su valor corresponde a:

 

¿Qué ocurre si en lugar de la fuerza   se toma su opuesta?.

¿Variaría el resultado?. Analice y justifique su respuesta.

FIGURA 121.

Para abordar la solución del literal d, designemos por X el punto de aplicación de la fuerza   que genera el mismo momento como se indica en la figura 122 y analicemos una vez mas la ecuación básica.

FIGURA 122.

 y   (¿Porqué?).

Despejando para   tenemos   obteniendo

finalmente que  , lo que nos indica que la fuerza   debe aplicarse a 54cm del eje O.

Ilustración 7.

Una viga uniforme de 50N de peso y 4m de longitud se encuentra en reposo y descansa sobre dos caballetes como se indica en la figura 123. Calcular las fuerzas que los caballetes ejercen sobre la viga.

FIGURA 123.

Solución.

Determinemos el diagrama del sólido libre en la figura 124, en el cual podemos ubicar el peso de

la viga que designamos por   en el centro de gravedad de la misma. Designamos también

por   y   las fuerzas ejercidas por los caballetes.

FIGURA 124.

Se tiene por lo tanto un sistema de fuerzas coplanarias, no concurrentes y en consecuencia las condiciones de equilibrio son:

[1]   [2] , esto es la suma de los torques respecto a un punto cualquiera de la viga debe ser igual al vector nulo.

Asumamos que la viga se orienta sobre el eje x y las fuerzas estan orientadas en el eje y; en consecuencia la ecuación [1] se reduce a:

       y por lo

tanto   [1'].

Como los torques se pueden tomar en cualquier punto, seleccionemos el punto A pues en esta

forma el torque generado por   es igual al vector nulo. Así, en la ecuación [2] tenemos:

     

Al analizar el sentido de los productos, podemos concluir que estos vectores tienen sentido opuesto. (¿Porqué?), y en consecuencia tenemos que :

 luego   [2'].

despejando para   se tiene :

 

Sustituyendo este valor en la ecuación [1] despejamos 

 

Plantee la ecuación de los momentos tomando como referencia el punto B o el punto C y verifique que el resultado es el mismo.