Dos masas de 1 y 2 kg estn unidas por una cuerda inextensible y sin masa que pasa por una polea sin rozamientos. La polea es izada con velocidad constante con una fuerza de 40 Nw. Calcular la tensin de la cuerda.Este problema fue propuesto en el examen de Selectividad de septiembre de 1998 y , en mi opinin, no es un problema adecuado a un examen de Selectividad pues el enunciado es incongruente; la pregunta del problema debera ser:Calcular las tensiones en la cuerda.Como el enunciado no especifica la masa de la polea, se tiende a suponer que la masa de la polea es despreciable frente a las otras masas y al resolver el problema se llega a una incongruencia con los datos del problema:La aceleracin con que se desplazan las masas ser:a = F/m = (m2.g - m1.g)/(m2+ m1) = (2.g -1.g)/(2+1) = g/3 = 3'27 m/s2Las tensiones T1T2son iguales:T1= m1.g + m1.a = m1.g .(1 + (m2- m1)/(m2+ m1)) = 2.g. m2.m1/(m2+ m1)T2= m2.g - m2.a = m2.g .(1 - (m2- m1)/(m2+ m1)) = 2.g. m2.m1/(m2+ m1)En este caso T1= T2= 2.g.2.1/(2+1) = 4.g/3 = 13'166 NwSi se desea levantar la polea con velocidad constante no existe aceleracin que influya en las tensiones de la cuerda y la fuerza que hay que hacer es la tensin que soporta el eje de la polea que es la suma de T1y T2:F = T1+ T2= 2.13'666 = 26'13 Nwque no coincide con los 40 N del enunciado, por lo que hay que rehacer el problema aplicando el teorema fundamental de la dinmica de rotacin, M = I. determinando no slo las tensiones de la cuerda, que resultan ser distintas, sino la masa M de la polea.T1= m1.g + m1.aT2= m2.g - m2.ael momento total que acta sobre la polea es:M = T2.R - T1.R = (T2- T1).R = (m2.g - m2.a - m1.g - m1.a ).Rel momento de inercia de una polea, disco, es: I = M.R2/2la relacin entre la aceleracin angular y la lineal es:= a / RM = I. (m2.g - m2.a - m1.g - m1.a ).R = (M.R2/2 ) . a / Rm2.g - m2.a - m1.g - m1.a = M. a /2 m2.g - m1.g = M. a /2 + m2.a + m1.aa = ( m2 - m1).g / (m2+ m1+ M/2)T1= m1.g + m1.( m2 - m1).g / (m2+ m1+ M/2) = m1.g.[1 + ( m2 - m1) / (m2+ m1+ M/2) ]T1= m1.g.[ ( m2+ m1+ M/2 + m2 - m1) / (m2+ m1+ M/2) ] = m1.g..[ (2. m2+ M/2 ) / (m2+ m1+ M/2) ]T1= 1.9'8.[( 2.2 + M/2) / (2 + 1 + M/2) ] = 9'8. [( 8 + M) / (6 + M) ]T2= m2.g - m2.( m2 - m1).g / (m2+ m1+ M/2) = m2.g.[1 - ( m2 - m1) / (m2+ m1+ M/2) ]T2= m2.g.[ ( m2+ m1+ M/2 - m2+ m1) / (m2+ m1+ M/2) ] = m2.g.[ ( 2. m1+ M/2 ) / (m2+ m1+ M/2) ]T2 = 2.9'8.[ ( 2.1 + M/2 ) / (2 + 1 + M/2) ] = 19'6.[ (4 + M ) / (6 + M) ]las tensiones son distintas.Si se levanta la polea con una fuerza de 40 N y con velocidad constante no existe aceleracin que influya en las tensiones de la cuerda y la fuerza que hay que hacer, en este caso 40 N, es la tensin que soporta el eje de la polea que es la suma de T1y T2ms el peso de la polea:F = T1+ T2+ M.g40 = 9'8. [( 8 + M) / (6 + M) ] + 19'6.[ (4 + M ) / (6 + M) ] + 9'8.M40.(6 + M) / 9'8 = ( 8 + M) + 2.(4 + M ) + M.(6 + M) 24'45 + 4'08.M = 16 + 9.M + M2M2+ 4'92.M - 8'49 = 0 M = 1'35 kga = ( 2 - 1 ).9'8 / (2 +1 + 1'35 /2) = 2'67 m/s2T1= 9'8. [( 8 + 1'35) / (6 + 1'35) ] = 12'47 NT2= 19'6.[ (4 + 1'35 ) / (6 + 1'35) ] = 14'27 NUna esfera rueda sobre una barra, con seccin en forma de U, inclinada. Determinar la aceleracin.Las fuerzas que actan sobre la esfera son el peso, P, la reaccin normal del plano, R, y la fuerza de rozamiento Fr.Como la reaccin R y el el rozamiento Fr estn aplicados en el eje instantneo de rotacin no realizan ningn momento, slo el peso:M = h. m. g. sen , siendo h = (r2- b2)1/2El momento de inercia de la esfera con relacin al eje instantneo de rotacin esI = 2. m. r2/5 + m. h2Aplicando la ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin:a= M / I = h. m. g. sen /( 2. m. r2/5 + m. h2) = h. g. sen /( 2. r2/5 + h2)la aceleracin lineal ser:a =a.h = h2. g. sen /( 2. r2/5 + h2) = g. sen /(2. r2/(5h2) + 1 ) = 5. (r2- b2). g. sen /(7. r2 - 5. b2) Sea un cilindro de masa m, radio r y altura h, rodando por un plano inclinadogrados. Determinar su aceleracin.El cilindro est apoyado por su generatriz, siendo en cada instante su eje de giro.El Momento de inercia del cilindro respecto a su generatriz ser: I = Io+ m.r2= m.r2/2 + m.r2= 3.m.r2/2El Momento total respecto al eje instantneo de giro de las fuerzas aplicadas slo se debe al peso pues la fuerza de rozamiento y la reaccin del plano estn aplicadas en el eje de apoyo y sus momentos son nulos: M = m.g.r. senLa aceleracin lineal ser la angular por el radio de giro. a =.r = M.r / I = m.g.r2. sen/(3.m.r.2/2) = 2.g.sen/3 Sea una polea en forma de disco de masa m y radio r con una cuerda sin masa enrollada de cuyo extremo pende una masa m'. Calcular la aceleracin de giro de la polea.La polea gira debido a la tensin que ejerce la cuerda debido a la cada de m'. La tensin ser igual al peso menos la fuerza de inercia, y el momento que ejerce sobre la polea ser: T = m'.g -m'.a -> M = m'.(g-a).rLa polea est sujeta por su eje por lo que existir una fuerza reactiva en dicho eje, pero su momento ser cero al estar en el eje.El momento total ser: M = m'.(g-a).rEl momento de inercia de la polea (disco) es: I = m.r2/2La ecuacin de la Dinmica de rotacin resultar:= M / I = m'.(g-a).r / (m.r2/2) = 2.m'.(g-a) / m.rpero a =.r ->= 2.m'.( g -.r ) / m.r-> m.r.+ 2.m'..r = 2.m'. g ->2.m'. g / (m.r + 2.m'.r) Determinar la ecuacin del movimiento de un aro de radio r que rueda sin deslizar por un plano inclinado.Si rueda sin deslizar es porque existe una fuerza de rozamiento que lo impide.El eje instantneo de rotacin es el punto de contacto del crculo con el plano.La fuerza de rozamiento Fry la reaccin del plano R tienen su punto de aplicacin en el eje instantneo de rotacin, por lo que el momento que ejercen es cero.El momento total de las fuerzas aplicadas slo se debe al peso:M = m.g.r.senSea Ioel momento de inercia del sistema, esfera, cilindro, aro, ..., con relacin a su eje. El momento de inercia del aro con relacin al punto de apoyo ser el momento de inercia respecto a su eje ms el trmino de Steiner; es decir:I = Io+ m.r2Sustituyendo en la ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin, resulta:M = I.m.g.r.sen=. (Io+ m.r2).r = m.g.r2.sen/ (Io+ m.r2)a = g .sen/ (1 + Io/m.r2)El movimiento es uniformemente acelerado.En el caso particular de un aro: Io= m.r2 a = g.sen/2Un objeto est colgado de un hilo. Al aplicarle un momento de 5 N.m el cuerpo gira, retorcindose el hilo 12. Se le deja oscilar y su perodo es 0'5 seg. Determinar el momento de inercia del objeto y el ngulo que ha girado al cabo de 3'2 seg. El momento recuperador es proporcional y opuesto a la deformacin, en este caso al ngulo girado. Si k es la constante de proporcionalidad: M = - k. Si al aplicar un momento de 5 N.m gira 12, 0'20944 radianes, el valor de k ser: k = 5 / 0'20944 = 23'87 N.m/rad La ecuacin del movimiento, aplicando la ley fundamental de la dinmica de rotacin, ser:

que es la ecuacin de un movimiento armnico simple, cuya solucin es:

siendomconstantes a determinar segn las condiciones iniciales.

en este caso: w = 2./0'5 = 12'57 rad/s I = k/w2= 23'87/12'572= 0'151 kg.m2si el origen de tiempos lo ponemos cuando se suelta el sistema, entonces para t=0,m= 0'20944 radianes y la velocidad cero por lo que= -/2La ecuacin de la posicin resulta ser:= 0'20944. sen(12'57.t +/2) = 0'20944. cos (12'57.t) al cabo de 3'2 seg. el ngulo ser:= 0'20944. cos (12'57.3'2) = - 0'17 radianes

Una regla uniforme de longitud L est en el plano vertical de modo que puede girar por un eje horizontal, perpendicular a la regla, y a una distancia d del centro de masas. Calcular el valor de d que da perodo mnimo de oscilaciones pequeas.Si denominamos : ICM momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masa. I momento de inercia respecto al eje asctual d distancia entre ejes,el perodo de oscilacin de un pndulo fsico es:

si el perodo debe ser mnimo, la derivada del perodo respecto a la distancia d debe ser cero:

es decir: m.d2= ICMEl momento ICMde la regla es m.L2/12, por lo que: m.d2= m.L2/12 -> d = L .12-1/2Un disco de 2 Kg de masa y 10 cm de radio gira alrededor de su eje a 180 r.p.m.. Encima, pero sin que exista contacto, se encuentra otro disco de 1 Kg de masa, del mismo radio y en reposo. Cuando el disco superior se deja caer, ambos se mueven solidariamente. Calcular la velocidad angular final.Cuando el disco superior se posa sobre el inferior, el momento de las fuerzas sigue siendo nulo por lo que se conserva el Momento angular, I.w.(I.w)antes= (I.w)despusI1.wi= (I1+ I2).wfwf= I1.wi/(I1+I2)como el Momento de inercia de un disco es .m.R2se obtiene:wf= .m1.R2wi/( .m1.R2+ .m2.R2) = m1.wi/(m1+m2)En este caso particular:wf= 2 Kg . 180 rpm / (2 kg + 1 Kg) = 120 r.p.m.Un disco circular en reposo de 0'5 m de radio y 4 Kg.m2de momento de inercia, puede girar por su eje y lleva una cuerda enrollada en su periferia. Se tira de la cuerda con una fuerza constante de 2 N, durante 10 seg. Calcular, suponiendo nulo el rozamiento, la longitud de cuerda desenrollada en ese tiempo.Aplicando la ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin:a =M / Ia =F . R / Ia =a .R = F . R2/ Icomo inicialmente est en reposo:e = . a . t2= . F . R2. t2/ Ien este caso:e = . 2 . 0'52. 102/ 4 = 6'25 metrosUn patinador, con los brazos extendidos y las piernas abiertas y con un momento de inercia respecto a su eje vertical de 7 Kg.m2, inicia un giro sobre si mismo con una aceleracin de 2 rad/s2durante 6 segundos, momento en el cual encoge los brazos y acerca sus piernas al eje hasta tener un momento de inercia de 4 Kg.m2. Determinar su velocidad de giro final.Despus de un tiempo t de iniciar el giro, su velocidad angular ser:wt= .a. t2= . 2. 62= 36 rad/sal acercar brazos y piernas al eje, el Momento de las fuerzas sigue siendo nulo, por lo que se conserva el momento angular, I.w(I . w)antes= (I . w)despuswdespus= (I . w)antes/ Idespus= 7.36 / 4 = 63 rad/s

Una polea doble, de momento de inercia 0'6 kg.m2est formada por dos poleas de radios 4 cm y 8 cm solidarias. En cada una de ellas hay una cuerda sin masa enrollada de la que cuelgan masas de 40 y 60 kg. Calcular la aceleracin angular del sistema y las tensiones de las cuerdas.El momento que produce la masa de 40 kg es mayor que el producido por la masa de 60 kg, por lo que el sistema, de girar, girar a izquierdas:M1= 40. 0'08 = 3'2 N.mM2= 60. 0'04 = 2'4 N.mLas tensiones en las cuerdas son:T1= m1.g - m1.a1= m1.g - m1.a.r1 T2= m2.g + m2.a2= m2.g + m2.a.r2Aplicando la ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin,M = I.a :T1. r1- T2. r2= I.a (m1.g - m1.a.r1). r1- (m2.g + m2.a.r2). r2= I.am1.g.r1- m2.g.r2- m1.a. r12- m2.a. r22= I.aa = g. ( m1.r1- m2.r2) / ( I + m1.r12+ m2.r22)a = 9'8. (40.0'08 - 60.0'04) / (0'6 + 40.0'082+ 60.0'042) = 8'235 rad /s2T1= m1.g - m1.a.r1= 40.9'8 - 40.8'235.0'08 = 365'65 NT2= m2.g + m2.a.r2= 60.9'8 + 60.8'235.0'04 = 607'76 NUna rueda de 6 cm de radio tiene un eje de 2 cm. El conjunto tiene un momento de inercia 0'004 Kg.m2y una masa de 3 kg. La rueda est apoyada sobre el suelo, existiendo rozamiento. Determinar el sentido de giro de la rueda y su aceleracin lineal si se tira horizontalmente de una cuerda enrollada en el eje con una fuerza de 5 N.Al estar la rueda apoyada en el suelo, el eje instantneo de giro es la recta de apoyo con el suelo, por lo que ni la fuerza de rozamiento Frni la reaccin del suelo, R, ni el peso, P, ejercen momento alguno sobre la rueda, por estar aplicados en el eje de giro. Slo ejerce momento la fuerza F.Aplicando la ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin:M = I.a F.(r1- r2) = I.aa= F.(r1- r2) / I = 5.(0'06 - 0'02) / 0'004 = 50 rad /s2a =a. r1= 50 . 0'06 = 3 m /s2