FÍSICA APLICADA I

PRÁCTICAS DELABORATORIO DE FÍSICA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I

CURSO 2014-2015

1 Práctica 1. Cálculo de errores:medidas directas e indirectas.Representación gráfica

1.1. Fundamento teórico

La física es una ciencia experimental basada en la medida de determinadasmagnitudes. Se denomina magnitud física a toda aquella propiedad física suscep-tible de ser medida. Por otra parte, medir una magnitud física no es más quecompararla con un patrón. Por ejemplo, para medir la distancia entre dos puntospodemos utilizar como patrón una vara, el paso de una persona... Siempre quese realice una medida tenemos que dar como resultado un número con su uni-dad correspondiente, que determina el patrón que hemos utilizado. Además, encualquier medida habrá que añadir otro número que nos informe acerca del errorcometido al realizarla.

En una primera aproximación, las medidas podrían dividirse en medidas direc-tas y medidas indirectas:

Medidas directas: Se denomina medida directa aquella que se realiza,por comparación directa, con la ayuda de los instrumentos adecuados, dela magnitud desconocida con el correspondiente patrón. Como ejemplo demedidas directas tenemos:

• masas: comparando el cuerpo cuya masa queremos determinar con elpatrón de 1 kg mediante una balanza.

• longitudes: comparando la longitud bajo estudio con el patrón 1mmediante una cinta métrica.

• fuerzas: comparando la fuerza bajo estudio con 1N mediante el uso deldinamómetro

Medidas indirectas: Se denomina medida indirecta aquella que se ob-tendría mediante una relación matemática o ley física a partir de medidasdirectas. Como ejemplo de medidas indirectas tenemos:

• volúmenes: si se quiere determinar, por ejemplo, el volumen de unaesfera se mide su diámetro y aplicamos la expresión matemática V =π6d3.

• densidades de cuerpos: para determinar la densidad de un cuerpo pri-mero habría que medir su masa (medida directa) y su volumen (que

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica

en si misma ya es una medida indirecta) y a continuación calcular ladensidad como ρ = m/V

Al realizar una medida directa siempre se pueden cometer varios tipos de errores:

Errores sistemáticos: Los errores sistemáticos tienen siempre el mismosentido. Este tipo de errores puede y debe evitarse. Ejemplos de este tipode errores son el error de paralaje, la mala calibración del aparato....

Errores accidentales: son errores de tipo aleatorio. Son debidos a fluc-tuaciones y perturbaciones, no controlables por el experimentador y que nose pueden evitar ni eliminar. Su carácter es puramente probabilístico.

1.1.1. Valores de una magnitud física o valor de unamedida

Debido a que siempre está presente algún tipo de error experimental, no sepuede conocer el valor exacto de una magnitud física. A continuación vamos adefinir algunos parámetros que nos permitirán tener cierta información acerca decuál es el valor exacto de una magnitud y del error que se comete al hallarlo.

Valor verdadero de una magnitud física, xv, es su valor exacto, quesuponemos que existe aunque no lo podemos conocer.

Valor real de una magnitud física, xr, es el valor más probable deuna magnitud. Se puede obtener utilizando aparatos de medida y técnicasestadísticas.

Valor hallado, x, es el valor que se encuentra al hacer una medida.

Desviación de una medida, ∆x, es la diferencia entre el valor hallado yel valor real

∆x = x− xr (1.1)

Para cuantificar los errores que se cometen al realizar una medida, se definen lossiguientes parámetros:

Error absoluto: Es el valor absoluto de la desviación de una medida. Tienelas mismas unidades que la magnitud física.

Ea = |∆x| (1.2)

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor real de lamedida. Es un número sin dimensiones, que a menudo se expresa en tantopor ciento ( %).

Er =Ea

xr

(1.3)

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1.1.2. Estimación del error del valor real de una medida

Error asociado a una medida directa

Al estimar el error del valor real de una medida directa pueden darse dos casos:

Medidas únicas o de resultados repetidos: Por convenio se acepta queel error que se comete es igual a lo que se denomina Límite Instrumentalde error (LIE) y que coinciden con la división más pequeña del aparatode medida que estemos utilizando. Al LIE también se denomina error deescala.

Medidas múltiples de una magnitud en las que se obtienen dife-rentes resultados: En este caso se toma como valor verdadero la mediaaritmética de las N medidas realizadas:

xr = x =

N∑i=1

xi

N(1.4)

y como error absoluto se le asigna el siguiente valor:

Ea =

√(LIE)2 + (σx)2 (1.5)

donde la desviación estándar del valor medio σx viene dada por:

σx =

√√√√√ N∑i=1

(xi − x)2

N (N − 1)(1.6)

Es importante aclarar que en este caso cuando se dice que una medidatiene un valor real xr y un error absoluto σx, no se está afirmando que elvalor verdadero de esta magnitud esté entre xr − σx y xr + σx. En realidad,haciendo uso de la estadística, lo que se demuestra es que la probabilidadde que el valor verdadero de una magnitud esté en el intervalo señalado esdel 68%.1En la expresión (1.6) se pone de manifiesto que el error, cuando seefectúan muchas medidas distintas, disminuye conforme aumenta el númerode medidas, N . Por otro lado, en la expresión (1.5) cuando la desviaciónestándar del valor medio es mucho más pequeña que el LIE, la podemosdespreciar frente a éste y tomar como error absoluto el error de escala delaparato de medida y viceversa, cuando el LIE sea muy pequeño comparadocon la desviación estándar del valor medio, se puede despreciar y el errorabsoluto coincidirá con la desviación estándar del valor medio.

1Si en lugar de tomar como error absoluto σx tomamos 2σx, se puede demostrar que la pro-babilidad de que el valor verdadero de la magnitud esté entre xr − 2σx y xr + 2σx es del95%.

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1.1.2.1. Error asociado a una medida indirecta

Vamos a ver a continuación que error se le asocia a una medida indirecta.Supongamos que se tiene una magnitud V que se obtiene mediante una relaciónmatemática de las variables independientes x, y, z .... mediante una expresión deltipo:

V = F (x, y, z, ....) (1.7)

y donde se conocen las magnitudes x, y, z .... y sus respectivos errores absolutosσx, σy y σz. Se define el error absoluto asociado a V como:

σV =

√(∂F

∂x

)2

σ2x +

(∂F

∂y

)2

σ2y +

(∂F

∂z

)2

σ2z + ... (1.8)

Esta es la ecuación general que nos permite calcular los errores absolutos quese cometen en las medidas indirectas. Veamos algunos casos particulares.

En los casos siguientes, supondremos que σx y σy son los errores absolutoscometidos al medir directamente los parámetros x e y, respectivamente.

Adición y sustracción: V = x± y

σV =

√(∂F

∂x

)2

σ2x +

(∂F

∂y

)2

σ2y (1.9)

En este caso,∂V

∂x= 1

∂V

∂y= ±1 (1.10)

Por tanto, se obtiene que el error absoluto en la suma o en la sustracciónvendrá dado por:

σV =√σ2x + σ2

y (1.11)

Producto: V = xy

σV =

√(∂F

∂x

)2

σ2x +

(∂F

∂y

)2

σ2y (1.12)

Ahora se tiene que:∂V

∂x= y

∂V

∂y= x (1.13)

y por lo tanto, el error absoluto, σV , vendrá dado por:

σV =√

y2σ2x + x2σ2

y (1.14)

Cociente: V = x/y

σV =

√(∂F

∂x

)2

σ2x +

(∂F

∂y

)2

σ2y (1.15)

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En este caso se tendrá que:

∂V

∂x=

1

y

∂V

∂y= − x

y2(1.16)

El error absoluto vendrá dado por:

σV =

√1

y2σ2x +

x2

y4σ2y (1.17)

1.1.3. Redondeo y cifras significativas

Redondear un número consiste en sustituirlo por otro con menos cifras (ennuestro caso, las que consideremos significativas); pero lo más parecido posibleal original. El proceso de redondeo es muy sencillo, por lo que con poca prácticase puede realizar mentalmente. Supongamos que queremos redondear un númerocon muchas cifras (como los que suelen salir en las cuentas de la calculadora)a cierto número de cifras, n. Para tenerlo presente, podemos subrayar esas nprimeras cifras pero, ¡cuidado! redondear no es tan fácil como tachar el resto delas cifras de la derecha. En ocasiones hay que cambiar un poco esas cifras que nosquedamos. Más allá de trucos y reglas, no hay que olvidar nuestro objetivo: elnúmero n de cifras que nos quedemos ha de ser el más parecido posible al original,es decir, el más cercano.

Echemos un vistazo a la primera cifra tras las n que nos vamos a quedar. Siestá entre 0 y 4 inclusive, está claro que lo correcto es simplemente tachar lascifras sobrantes. Esto es lo que se llama redondear a la baja. Ejemplo: 17,3264redondeando a tres cifras es 17,3, pues la siguiente es un 2. Claramente, 17,3 esel número con tres cifras significativas más cercano al original.

Por el contrario, si la primera cifra tras las n que vamos a conservar está entre6 y 9, está claro que hay que añadir una unidad a la última cifra que nos hemosquedado, pues estamos más cerca de 10 que de 0. A esto se llama redondear a loalto. Ejemplo: 0,03472 redondeado a dos cifras significativas es 0,035. Nótese que0,034 tiene también dos cifras significativas; pero está más lejos del original queel número que nos hemos quedado.

La duda surge cuando la primera cifra tras las n que nos vamos a quedar esun 5, que está tan cerca de 0 como de 10. Sin embargo, si hay otras cifras detrásde ese 5, está claro que hay que redondear a lo alto, pues cincuenta y tantos estámás cerca de 100 que de 0. Ejemplo: 0,7524 redondeando a una cifra significativaes 0,8. En efecto, 0,7 estaría más lejos del original que el valor que nos hemosquedado. En el caso excepcional en que solo queramos redondear la última cifray sea un 5, lo anterior no nos sirve de ayuda. En ese caso tan bueno es redondeara la baja como a lo alto. Ejemplo: 0,045 redondeado a una sola cifra puede sertanto 0,04 como 0,05, pues ambos están igual de cerca del original.

Ahora ya sabemos redondear cualquier número. Para expresar correctamenteuna medida, sólo nos falta saber cuantas cifras consideramos significativas en elerror absoluto y en el valor real. Siempre hay que comenzar por redondear el errorabsoluto, sólo después se redondea el valor real de la medida.

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Para expresar el error absoluto, basta conservar una o, en algunas ocasionesespeciales, dos cifras significativas. Esto es así porque es inútil concretar conmucha precisión el error cometido en la medida. En la mayoría de los casos nosquedaremos con una sola cifra significativa. Ejemplo: un error absoluto Ea =0,0462 debe ser redondeado a Ea = 0,05. Solamente cuando la cifra significativaque nos queda es 1 ó 2, se conserva una cifra más.2Ejemplos: Ea = 0,0236 seredondea a Ea = 0,024, no a 0,02; Ea = 1,027 se redondea a Ea = 1,0 que tienedos cifras significativas (el cero es importante).

Una vez redondeado el error absoluto, ya podemos redondear el valor real, queviene afectado por dicho error. Se trata de conservar sólo las cifras que nos daninformación. Por eso sería inútil quedarnos con cifras decimales más allá de lasafectadas por el error absoluto. En efecto, lo que importa ahora es el número dedecimales: redondearemos el valor real de la medida de tal forma que el númerode decimales conservados coincida con el número de decimales del error absolutoya redondeado. Ejemplo: si la medida es xr = 24,3582 y el error Ea = 0,04(dos decimales), el valor real correcto (es decir, ya redondeado) es xr = 24,36(también dos decimales). En cambio, si el error fuera 0,013, el valor real correctosería xr = 24,358.

Una vez que el error absoluto y el valor real han sido redondeados correcta-mente, la forma correcta de expresar la medida es:

x = (xr ± Ea) unidades

1.2. Representaciones gráficas y ajustes

El problema que se plantea una ciencia experimental, como es la física, noes solamente medir ciertas cantidades con mucha precisión. también es objetode una ciencia experimental la búsqueda de las leyes que relacionan dos o másmagnitudes que varían de forma correlacionada. Para cumplir este objetivo, esmuy útil representar gráficamente unos parámetros frente a otros. A partir de laforma que presenta la gráfica se puede obtener la ley que relaciona los parámetrosrepresentados.

Como ejemplo de relaciones entre distintas magnitudes se tienen los siguientescasos:

Para un gas ideal, existe una relación entre la presión, el volumen y latemperatura durante cualquier transformación termodinámica: PV = nRT

Existe una relación entre el periodo de oscilación de un péndulo, su longitudy la gravedad: T = 2π

√l/g

Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar depende de dos magnitudes,x e y. La ley que gobierna el fenómeno relaciona estas dos magnitudes de formaque se pueden obtener una serie de valores experimentales de y para una serie

2El redondeo sería muy severo en ese caso. Si tenemos 9 euros y nos quitan 0,5, no notamosmucho. Más grave es el caso en que tenemos 2 euros y nos quitan 0,5.

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de valores dados de x. En general, para una función y = f (x), al realizar unexperimento se obtiene un conjunto de pares de valores xi, yi:

x1, y1

x2, y2

. .

. .

xn, yn

En algunos casos, la función y = f (x) es conocida de antemano mediante unadeducción teórica de la misma mientras que en otros casos, esta función se deducedirectamente a partir de los resultados experimentales. Para realizar la deducciónexperimental de la relación entre las variables x e y se representan la mismas enuna gráfica. La forma de esta gráfica determinará la relación y = f (x).

Para hacer una gráfica se representa en papel milimetrado (o utilizando cual-quier programa de ordenador Excel, Origin) una de las variables frente a la otra.Una de las variables recibe el nombre de variable independiente y se representaen el eje de abscisa (eje x). Esta variable está relacionada con la causa en el fenó-meno que estamos estudiando y suele ser la variable que menos error presenta. Laotra variable recibe el nombre de variable dependiente y se hace coincidir con eleje de ordenadas de la gráfica (eje y). Esta variable está relacionada con el efectoy es la variable que se determina con más error.

En física, existen muchas variables que representan una relación lineal entreellas. Es decir, existen muchas variables cuya relación entre sí es del tipo y =mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es el valor que representa laordenada (eje y) cuando x sea igual a cero, tal como se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1: Parámetros que representan una relación lineal

A continuación veremos cómo se puede determinar m y b. Existen dos métodospara llevar a cabo el cálculo de los parámetros:

Método gráfico

El método gráfico de determinación de m y b consiste en medir estos parámetrosdirectamente sobre la gráfica. Para ello, lo primero que se debe hacer es represen-tar el conjunto de pares de valores (xi, yi) obtenidos experimentalmente (figura1.2) . A continuación, se traza la recta que mejor ajusta estos puntos. Esto se

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hace intentando dejar el mismo número de puntos por encima que por debajo dela recta. Para determinar b, se mide el corte de esta recta con el eje de ordenadas(eje y), lo cual nos dará directamente este parámetro. Para la determinación dela pendiente m, se toman dos puntos de la recta trazada y se aplica la ecuación(1.18).

m = tanα =cateto opuestocateto contiguo

=y2 − y1x2 − x1

(1.18)

Es importante aclarar que estos puntos se toman de la recta trazada, y noson, por lo tanto, dos puntos experimentales cualesquiera. Por otra parte, parareducir el error en la determinación de m, estos dos puntos deben tomarse alejadosentre sí. En la figura (1.2) se muestran dos puntos cualesquiera tomados para ladeterminación gráfica de m y en esta figura también se muestra cómo se puededeterminar gráficamente b.

Figura 1.2: Determinación gráfica de los parámetros m y b de la recta que rela-ciona las variables x e y.

Método de los mínimos cuadrados

Supongamos que al realizar un experimento se obtienen los siguientes pares devalores para las variables xi e yi

x1,y2

x2,y2

..

..

xn,yn

y supongamos también que existe una relación lineal entre estas variables. Seay = mx+ b la ecuación de la recta que mejor se ajusta a este conjunto de puntos.Veamos ahora qué pasos han de seguirse para hallar una ecuación que nos permitacalcular m y b de forma analítica.

Seanyi = mxi + b (1.19)

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los valores experimentales obtenidos y sean

y′i = mxi + b (1.20)

los valores que se obtienen en los puntos de abscisa xi utilizando la recta deajuste. La diferencia ri = yi − y′i nos dará una idea de la calidad del ajuste. Siesta diferencia es pequeña el ajuste será bueno mientras que si esta diferencia esgrande, los valores calculados mediante la recta diferirán mucho de los resultadosexperimentales y el ajuste será malo. Pues bien, los parámetros m y b para larecta de ajuste mediante el método de mínimos cuadrados se obtiene exigiendoque el error cuadrático medio definido como:

n∑i=1

r2i =n∑

i=1

[yi − (mxi + b)]2

sea mínimo. Para ello, debe cumplirse que:

∂ri∂m

= 0∂ri∂b

= 0 (1.21)

lo que proporciona las siguientes ecuaciones para el cálculo de los parámetros my b de la recta de ajuste por mínimos cuadrados:

m =n∑

xiyi −∑

xi

∑yi

n∑

x2i − (

∑xi)

2 (1.22)

b =

∑x2i

∑yi −

∑xi

∑xiyi

n∑

x2i − (

∑xi)

2 (1.23)

El error en la determinación de los parámetros m y b, σm y σb, respectivamente,puede determinarse mediante las siguientes ecuaciones:

σm =

√∑(yi − (mxi + b))2

n− 2

n

n∑

x2i − (

∑xi)

2 (1.24)

σb =

√∑(yi − (mxi + b))2

n− 2

∑x2i

n∑

x2i − (

∑xi)

2 (1.25)

Finalmente, es conveniente tener algún parámetro que nos informe si los valoresobtenidos experimentalmente están alineados o no sin que sea necesario represen-tarlos. Existe un parámetro denominado coeficiente de regresión r de Pearson,cuya expresión viene dada por:

r =n∑

xiyi −∑

xi

∑yi√[

n∑

x2i − (

∑xi)

2] [n∑y2i − (

∑yi)

2] (1.26)

y que nos informa acerca de lo bueno que es el ajuste. Para un conjunto de pun-tos perfectamente alineados, el módulo de este coeficiente valdrá uno. A medidaque los puntos se alejan de la línea recta, el módulo de este coeficiente disminuye.Por lo tanto, este coeficiente de regresión nos permite cuantificar lo buena que

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es la recta de regresión. Cuanto más próximo a la unidad esté el módulo de estecoeficiente, tanto más alineados estarán los puntos representados y mayor será lavalidez de la recta de regresión de mínimos cuadrados.

1.2.1. Obtención de una ley física

Veamos a continuación cómo se puede utilizar la representación gráfica para laobtención de una ley física. Para representar el método a seguir, vamos a ver unejemplo:

Ejemplo

Se tiene un depósito lleno de agua hasta una cierta altura h. El depósito tieneun orificio en una de sus paredes verticales y el agua sale por dicho orificio conuna velocidad v que varía con el nivel del agua. Se quiere determinar la ley físicaque determina la dependencia de la velocidad de salida del agua con la altura de lamisma en el depósito a partir de los siguientes datos obtenidos experimentalmente(tabla 1.1):

h(cm) v(cm/s)

10 140.116 177.220 198.125 221.530 242.643 290.5

Cuadro 1.1: Datos del experimento

Solución:Experimentalmente, lo que se puede controlar y medir (de alguna manera) es

la velocidad de salida, v. Luego, h es la variable independiente y v es la variabledependiente. Se representa entonces v frente a h (ver figura 1.3)

Figura 1.3: Gráfica que se obtiene al representar v frente a h.

Como puede observarse en la figura 1.4, la relación entre v y h no es lineal.Supongamos que esta relación es del tipo:

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v = Cha

Si esta relación es correcta, para determinar esta ley física deberíamos calcu-lar los valores de C y a. Para ello, transformaremos esta ley en otra ley lineal.Tomando logaritmos neperianos en la ecuación anterior, se tiene que:

ln v = ln C + a ln h

Esta es una ecuación lineal del tipo y = mx+ b donde:

y = ln v m = a x = lnh b = lnC

Si ahora se representa yi = ln vi frente a xi = lnhi se obtiene que los puntosobtenidos experimentalmente están alineados (figura 1.4).

Figura 1.4: Gráfica que se obtiene al representar yi = ln vi frente a xi = lnhi

Calculemos ahora m = a y b = lnC mediante una recta de regresión de mínimoscuadrados. Para ello lo primero que debemos hacer es construir la siguiente tabla:

hi(cm) vi(cm/s) xi = lnhi yi = ln vi xiyi x2i y2i

10 140.1 2.303 4.942 11.381 5.304 24.42316 177.2 2.773 5.177 14.356 7.690 26.80120 198.1 2.996 5.289 15.846 8.976 27.97425 221.5 3.219 5.400 17.383 10.362 29.16030 242.6 3.401 5.491 18.675 11.567 30.15143 290.5 3.761 5.672 21.332 14.145 32.172∑

xi

∑yi

∑xiyi

∑x2i

∑y2i

18.453 31.971 98.973 58.044 170.681

Cuadro 1.2: Datos para la recta de regresión

Utilizando las ecuaciones (1.22) y (1.23) se pueden determinar la pendiente my la ordenada en el origen de la recta ajustada por mínimos cuadrados:

m = 0,50 =⇒ a = 0,50

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b = 3,790 = lnC =⇒ C = eb = 44,26

Por lo tanto, la ley que se obtiene experimentalmente que relaciona v y h es

v = 44,26h0,50

donde h se expresa en centímetros y v en centímetros por segundo.

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2 Práctica 2. Cálculo de erroresy ajustes

1. Se quiere determinar la densidad de un cuerpo cuya masa medida con unabalanza de precisión es m = (225,34±0,01) g y el volumen también se mideobteniendo un valor de V = (327,43± 0,18) cm3. Calcular 1) El valor de ladensidad y 2) el error absoluto y relativo.

2. Calcular la intensidad de corriente que circula por una bombilla de (60 ±4)W de potencia, si posee una resistencia de (8,2 ± 0,5) × 102Ω. Calcularel error absoluto y relativo con que se ve afectada la medida. NOTA: Sedefine la potencia consumida por una bombilla como P = I2R.

3. Se han medido los lados de un paralelepípedo rectangular y se han obtenidolos siguientes valores:

a = (10,15± 0,05) cm

b = (3,35± 0,05) cm

c = (1,45± 0,01) cm

Determinar:

a) El área de la base (determinada por los lados a y b ) del paralelepípedocon su error correspondiente.

b) El volumen del mismo con su error correspondiente

c) Si la masa del paralelepípedo es (87,52±0,01) g, determinar la densidadcon su error.

4. Se quiere determinar la aceleración experimentada por un cuerpo al caerpor un plano inclinado, partiendo de una velocidad inicial nula, medianteel uso de la expresión e = 1

2at2, donde e es el espacio recorrido, a es la

aceleración del cuerpo y t el tiempo que tarda en recorrer la distancia e.El espacio recorrido se fija midiendo con una regla de LIE = 0,01 cm y elresultado es e = 23,57 cm. El tiempo que se tarda en recorrer este espaciose mide seis veces con un cronómetro de LIE = 0,01 s obteniéndose lossiguientes valores: 4,35 s, 4,39 s, 4,27 s, 4, 30 s, 4, 40 s y 4, 29 s.

a) Determinar el valor de la aceleración con su error

b) Si la velocidad adquirida por el cuerpo durante el movimiento vienedada por la expresión v =

√2ae, determinar la velocidad cuando haya

recorrido 23, 57 cm, con su error correspondiente.

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2 Práctica 2. Cálculo de errores y ajustes

5. Supongamos que medimos el tiempo de caída de una piedra desde 960,4mde altura. En cinco medidas independientes con un cronómetro obtenemoslos valores 15,18, 15,07, 15,11, 15,21, 15,15 segundos. Calcular el valor realde t y su error. El LIE del cronómetro es de 0,01 s y el del aparato empleadopara medir la distancia 0,1m.

6. Calcular la velocidad de un coche que recorre un espacio de (150 ± 2) kmen un tiempo de 1 h y 45min, con un error de 5min.

7. Sea un rectángulo de lados a = (3,2±0,1) cm y b = (10,0±0,5) cm. Calcularel área del mismo con su error absoluto y relativo.

8. Calcular el perímetro de un triángulo con su error correspondiente sabiendoque sus lados miden a = (3,2 ± 0,1) cm, b = (5,7 ± 0,2) cm y c = (8,00 ±0,15) cm.

9. Supongamos que medimos el tiempo de caída de una piedra desde 960,4mcon un reloj defectuoso. En seis medidas independientes obtenemos: El LIE

t(s)

15.115.014.815.215.014.9

Cuadro 2.1: Problema 9

del cronómetro es de 0,01 s y el del aparato usado para medir la distanciade 0,1m. Calcular:

a) El valor real de t con su error

b) Utilizando las ecuaciones de la cinemática calcular el tiempo de caída(g = 9,81m/s2)

c) Comparar los resultados y discutir que tipo de error se está comen-tiendo.

10. Supongamos que queremos saber si la resistencia de un determinado mate-rial depende de la temperatura a partir de estas dos medidas: ¿Cuál será la

R(Ω) t(ºC)90.20 1090.26 20


conclusión correcta si el error de la medida de la resistencia es de 0,01Ω? ¿Y si es de 0,8Ω?

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11. Aplicando las fórmula de propagación de errores, encontrar σF en los si-guientes casos:

a) F = xmyp

b) F = ln x

c) F = ex

d) F = cos x

e) F = x+ y − z

f ) F = xy

g) F = xy

12. En un experimento realizado sobre un plano inclinado de ángulo α se mi-dió la velocidad v adquirida por un cuerpo que desliza sobre el mismo entiempos distintos desde que el cuerpo comienza a deslizarse con velocidadv0 desconocida. Si la dependencia se conoce de la forma v = v0 + g senαt .Determínese los valores de v0 y α

v(m/s) t(s)

5.3 1.010.4 2.015.1 3.020.0 4.022.6 4.5


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13. Se desea analizar la dependencia del periodo de oscilación de un péndulocon su longitud. El experimento se ha llevado a cabo para seis longitudesdiferentes del péndulo, entre 0,5 y 1,0m, midiendo el tiempo que tarda endar 30 oscilaciones para cada longitud. Los resultados se dan en la tablaadjunta, siendo l la longitud del péndulo y t el tiempo de las 30 oscilaciones.Encontrar la forma analítica de la dependencia entre el periodo y la longitud.

l(m) t(s)

0.50 42.580.65 48.510.75 52.110.85 55.500.93 58.051.00 60.30


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3 Práctica 3. Medidas coninstrumentos de precisión

3.1. Objetivos

Los objetivos de esta práctica son:

Describir los diversos instrumentos de precisión y su manejo que vamos autilizar en el laboratorio.

Hacer medidas de varias magnitudes físicas

Aplicación del cálculo de los diversos tipos de errores que hemos aprendidoen las prácticas anteriores en la obtención de diversas magnitudes físicas.

Obtener a partir de medidas experimentales una ley física.


En esta práctica se trata de aprender a manejar determinados instrumentos demedida que serán descritos un poco más adelante.

Antes de especificar los instrumentos que serán utilizados así como las medidasa realizar, veamos la descripción de un tipo de error muy importante con el quenos encontraremos al realizar las medidas.

3.2.1. Error de cero

Para entender qué es el error de cero, veamos un ejemplo de medida. Supon-gamos que se quiere medir la masa de un cuerpo utilizando una determinadabalanza. Supongamos también que aún cuando no hemos puesto el cuerpo en labalanza, ésta no marca cero, sino que marca una cierta cantidad. Por ejemplo,supongamos que la balanza marca 0,5 g. En este caso, al depositar el cuerpo so-bre la balanza, ésta nos dará una masa que será 0,5 g mayor que la masa real delcuerpo. Al error que se comete en este caso se denomina error de cero.

Para tener en cuenta el error de cero basta medir qué marcan los instrumentosde medida en ausencia del cuerpo problema. Debe descontarse al resultado de lamedida (si es positivo) o sumarse (si es negativo).

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3 Práctica 3. Medidas con instrumentos de precisión

3.2.2. El calibre

El calibre es un instrumento de precisión para la medida de longitudes (figura3.1). Consiste en una barra fija y otra móvil, denominada nonius. En nuestro casola regla móvil está dividida en veinte partes (figura 3.2)1.

Figura 3.1: Calibre, también llamado pie de rey

Figura 3.2: Nonius del calibre

Esto significa que la cantidad más pequeña (LIE) que se puede medir con uncalibre es 1mm/20 = 0,05mm. Veamos a continuación los diversos pasos que debenseguirse para realizar una medida con el calibre.

Consideremos que hemos medido con el calibre uno de los lados del trapecio quepodemos observar en la figura 3.1. Para la descripción de cómo hacer la medidavamos a fijarnos en la figura 3.2.

1. Miramos en la escala fija del calibre y observamos donde queda el cero delnonius. En el ejemplo de la figura, la división correspondiente al cero delnonius está entre las marcas correspondientes a 21 y 22mm en la escalafija. Luego sabemos que la longitud medida es mayor de 21mm y menorque 22mm. Utilizando la regla móvil del nonius podemos precisar algo más.

1Existen otros tipos de nonius en los que la regla móvil tiene diez divisiones

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2. A continuación, buscamos en el nonius la primera división del mismo quecoincida con alguna de las divisiones de la regla fija. En este ejemplo ladivisión 9 del nonius coincide con una de las divisiones de la regla fija.Entonces podremos decir que la medida que hemos hecho con el calibre secorresponde con:

(21,90± 0,05) mm

3.2.3. El pálmer o tornillo micrométrico

El pálmer o tornillo micrométrico está compuesto por una regla fija y un tornilloque gira alrededor de ella (figura 3.3).

Figura 3.3: Palmer o tornillo micrométrico

El límite instrumental de error de este aparato es de 0,01mm. En este caso, cada0,05mm de la regla fija está dividido en cincuenta partes (una vuelta completadel tornillo hace que avancemos 0,5 cm en la regla fija). Por lo tanto, el LIE =0,5mm/50 = 0,01mm (tiene mayor precisión que el calibre). Veamos a continuacióncomo se mide con este instrumento. Para ello vamos a considerar la figura 3.4

Figura 3.4: Cómo medir con el pálmer

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1. La regla fija del micrómetro está dividida en milímetros, en la parte dearriba. Debajo de la línea horizontal, cada milímetro está divido por lamitad. Según esto para leer una medida, tenemos que ver en que posición,de la regla fija, queda el tornillo. En el caso de la figura, el tornillo quedapasado un poco los 13mm y si miramos por debajo de la línea horizontalno hemos llegado a la marca que divide este milímetro por la mitad, porconsiguiente la medida estará entre 13,00mm y 13,50mm. Ahora tenemosque afinar más la medida.

2. Para afinar, miramos el tornillo y buscamos la división del mismo que coin-cide con la línea horizontal de la regla fija. Mirando en la figura 3.4 secorresponde con la división 30. Por consiguiente la medida será

(13,30± 0,01) mm

3. Si hubiéramos sobrepasado la marca inferior de 0,5, es decir que el tornillose hubiera parado entre 13,50 y14,00mm, la medida sería:

[(13,50 + 0,30)± 0,01] mm = (13,80± 0,01) mm

3.2.4. Medidas de ángulos. Goniómetro

El instrumento utilizado para medir directamente ángulos se denomina go-niómetro. Este instrumento consta básicamente de dos partes que pueden giraralrededor de un eje común.

(a) Goniómetro (b) Detalle del goniómetro (c) Colocación de la pieza para me-dir ángulos

Figura 3.5: Aparato utilizado para medir ángulos

En las figuras (3.5) se representa el goniómetro. El límite instrumental de errores de 1º . En la figura (3.5c) se observa la forma en que se debe de situar elgoniómetro para medir un ángulo.

3.3. Material y método

El material empleado en esta práctica es: guión de la práctica, PC con applets deentrenamiento para el calibre y el palmer, flexómetro, calibre, palmer, goniómetro,balanza, pieza problema, péndulos con diversas longitudes y cronómetro.

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Cálculo de la densidad de la pieza problema

Para determinar la densidad de un determinado material tenemos que medir sumasa y su volumen. En nuestro caso vamos a considerar una pieza como la de lafigura, cuya densidad queremos determinar.

Figura 3.6: Pieza cuya densidad queremos determinar

Para ello mediremos los lados mayores con el calibre y anotaremos los resultadoscon su correspondiente error. A continuación mediremos el espesor de la pieza,utilizando el tornillos micrométrico, esta medida la haremos por los menos en seispuntos diferentes de la pieza.

Con estos datos podremos calcular el volumen de la pieza y su error correspon-diente.

Posteriormente mediremos la masa de la pieza en una balanza de precisión.Anotaremos este valor con su correspondiente error. Por último calcularemos ladensidad del material de la pieza problema utilizando la expresión:

ρ =m

V

Daremos este valor con su error correspondiente.

Medidas del periodo de oscilación de un péndulo

Un péndulo simple está compuesto de un hilo, de una longitud cualquiera, delque cuelga una pequeña esfera. El periodo de oscilación del mismo, tiempo quetarda en dar una oscilación completa, no depende de la masa y si el ángulo deseparación del hilo con la vertical es pequeño tampoco depende de este ángulo.

Comenzaremos midiendo el periodo de oscilación del péndulo. Para minimizarel error en la medida del periodo, tomaremos el tiempo que tarda en péndulo endar diez oscilaciones, llamando a este dato T10. Para hacer esta medida usaremosun cronómetro cuyo LIE = 0,01 s. Repetiremos esta medida por lo menos seisveces. A continuación calcularemos el valor real del periodo del péndulo con suerror correspondiente.

Mediremos la longitud de nuestro péndulo, usando una regla graduada en mi-límetros para medir la cuerda y el calibre para medir el diámetro de la esfera.Determinaremos la longitud total del péndulo y le asignaremos su error corres-pondiente.

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Figura 3.7: Péndulo simple y cronómetro

Teniendo en cuenta los resultados de nuestras medidas y sabiendo que el periodode oscilación de un péndulo viene dado por:

T = 2π

√l

g

podemos determinar el valor de g y su error correspondiente.Por otro lado en el laboratorio se encuentran péndulos con diferentes longi-

tudes. Hacer la medida del periodo con otros péndulos o bien intercambie consus compañeros los datos de periodo y longitud hasta completar un conjunto depor lo menos cinco medidas. Haga una tabla con los datos del periodo y la raízcuadrada de la longitud. Representa gráficamente el periodo, T frente a

√l . Si la

tendencia es lineal, calcule la pendiente de esta recta usando el método de ajustede mínimos cuadrado. Obtener a partir de esta pendiente el valor de la gravedad.Compárelo con el resultado obtenido anteriormente.

Links con applets de entrenemiento para el calibre y el tornillomicrométrico.

http://www.galileo.fr.it/marc/varie/calibro_ventisimale/calibro_ventisimale.htmhttp://www.galileo.fr.it/marc/varie/micrometro/micrometro.htm

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4 Práctica 4. Medida del calorespecífico de diversosmateriales

4.1. Objetivo

El objetivo de esta práctica es medir el calor específico de varios metales me-diante el uso de un método calorimétrico. Previamente debemos determinar elequivalente en agua del calorímetro utilizado.


Un calorímetro es un recipiente aislado del exterior que se emplea para realizarmedidas calorimétricas, tales como calores específicos, calores de fusión, ebulli-ción. . . etc. Se define el equivalente en agua de un calorímetro como la masa deagua que absorbería la misma cantidad de calor que el calorímetro para la mismavariación de temperatura.

Vamos a utilizar el método de las mezclas para encontrar este valor. Supon-gamos inicialmente el calorímetro a temperatura ambiente, tamb, añadimos unacantidad de agua m, también a temperatura ambiente, tamb. A continuación aña-dimos la misma cantidad de agua, magua a una temperatura inferior, tfrıa. Espe-ramos un tiempo hasta que se alcanza la temperatura de equilibrio, teq. Entoncesse debe verificar que el calor cedido por el calorímetro y el agua añadida seráigual al calor absorbido por el agua fría:

(K +m)Ce (agua) (tamb − teq) = maguaCe (agua) (teq − tfrıa) (4.1)

donde K es el equivalente en agua del calorímetro, que podremos obtener sim-plemente despejando.

Para medir el calor específico del metal -cantidad de calor que hay que añadir aun gramo de una sustancia para aumentar su temperatura un grado centígrado-procedemos de forma análoga. Mezclamos una masa de agua ma, a una ciertatemperatura ta, por debajo de la temperatura ambiente, con la pieza de metal demasa ms, y a una temperatura tpieza (temperatura ambiente). El calor cedido porel metal será absorbido por el agua y el calorímetro.

msCe (tpieza − teq) = Ce (agua) (ma +K) (teq − ta) (4.2)

donde Ce es el calor específico del metal. Consideraremos el calor específico delagua igual a 1 cal/gºC

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4 Práctica 4. Medida del calor específico de diversos materiales

4.3. Material

Dos recipientes con agua. Uno de ellos conteniendo agua a temperaturaambiente y el otro conteniendo agua enfriada con hielo.

Calorímetro con su termómetro y agitador.

Probetas para medir los volúmenes de agua necesarios.

Piezas metálicas problemas

4.4. Método Operativo

4.4.1. Determinación del equivalente en agua delcalorímetro

1. Medir la temperatura ambiente del laboratorio, taire. Consideraremos queesta es la temperatura a la que se encuentran las piezas problemas de lasegunda parte de la práctica.

2. Echar en el calorímetro 250ml de agua y medir la temperatura de la mismauna vez en el calorímetro, esta temperatura se corresponde con tamb de laexpresión (4.1).

3. Añadir a continuación otros 250ml de agua fría al calorímetro (enfriada conhielo). Recordar medir la temperatura de esta agua fría antes de añadirlaal calorímetro, tfrıa

4. Cerrar el calorímetro, mover un poco para que se produzca la mezcla ymedir la temperatura de equilibrio, teq.

5. Obtener el valor de K usando la ecuación (4.1).

4.4.2. Determinación del calor específico de las piezasmetálicas

1. Pesar la pieza de metal, ms

2. Echar 300ml de agua fría (enfriada con hielo) al calorímetro. Esperar unpoco y medir la temperatura, ta.

3. Introducir la pieza de metal en el calorímetro. Consideraremos que se en-cuentra a temperatura ambiente, taire, le podemos llamar a esta temperaturats.

4. Cerrar el calorímetro, mover un poco y medir la temperatura del conjunto.Esta será la temperatura de equilibrio, teq.

5. Usar la ecuación (4.2) para obtener el calor específico del metal.

Repetir los pasos anteriores para cada una de las piezas metálicas.

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5 Práctica 5. Propiedadestermométricas de unaresistencia

5.1. Introducción

Se define como propiedad termométrica aquella propiedad física que dependede la temperatura. Estas propiedades se usan básicamente para la construcciónde termómetros. Idealmente a una buena propiedad termométrica se le exige trescondiciones añadidas:

la primera es la repetitividad: a iguales condiciones debe tener la mismarespuesta, evitando efectos memoria, histéresis, etc

la segunda es la velocidad de respuesta: ante un cambio de condiciones larespuesta debe adaptarse rápidamente

la tercera es la linealidad: el cambio de la propiedad frente a la temperaturadebe responder a un comportamiento lineal

Se define la resistencia eléctrica como un parámetro de freno al paso de electronesde un determinado cuerpo. Esta resistencia va a depender de tres parámetros;directamente de su longitud, inversamente de su área transversal y directamentede su resistividad, siendo ésta una característica del material del cual está hechoel cuerpo. La resistividad es función de la temperatura a la que se encuentra elcuerpo y por tanto es una propiedad termométrica.

Un termómetro eléctrico es el termómetro de resistencia, que se compone deuna bobina de hilo delgado generalmente dentro de un tubo metálico de paredesfinas que sirve de protección. Mediante hilos de cobre se une el termómetro a undispositivo para medir resistencia (óhmetro). Como la resistencia eléctrica (R)puede medirse con gran precisión, este termómetro es uno de los instrumentosmás precisos para medir la temperatura, siempre y cuando conozcamos la curvacaracterística de cambio. En general esta curva característica (T frente a R) no eslineal para ninguna propiedad termométrica de los materiales pero para pequeñosintervalos de temperatura se puede considerar que el comportamiento es lineal.

La importancia de transformar cualquier medida de una magnitud en paráme-tros eléctricos radica en la ventaja de su uso para controles digitales, lo cual haceque este tipo de termómetros esté especialmente extendido en el uso cotidianoactual.

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5 Práctica 5. Propiedades termométricas de una resistencia

5.2. Descripción de la práctica

La resistencia que utilizaremos está formada por un hilo de platino envueltoen una vaina metálica que le sirve de protección. La conexión exterior se realizamediante dos terminales de latón que conectaremos al aparato de medida (óh-metro). Mediante un termómetro de termopar calibrado previamente mediremosla temperatura de un volumen determinado de agua caliente introducido en uncalorímetro junto con la resistencia, con objeto de aislarlo del medio exterior ypor tanto ralentizar el enfriamiento del agua y por tanto de la resistencia.

Mediante medidas simultáneas de resistencia y temperatura podremos reprodu-cir la curva característica de la resistencia para su posterior uso como termómetro.

5.3. Método Operativo

En recipiente de vidrio calentar 800ml de agua en el microondas (apro-ximadamente diez minutos) para obtener una temperatura inicial de unos70ºC.

Introducir suficiente agua en el calorímetro para que cubra el termopar yla resistencia (sonda).

Tomar simultáneamente la lectura del termómetro y del óhmetro.

Ir enfriando el agua, bien añadiendo agua fría o hielo y repetir las medidasde temperatura y resistencia unas 10 veces.

Representar gráficamente los valores de la temperatura frente a la resistenciay ajustar a una línea recta por el método de los mínimos cuadrados paraobtener su pendiente y su ordenada en el origen.

Determinar el valor de la temperatura del material cuando su resistencia esde 101,0Ω, 115,0Ω y 112,5Ω. ¿Cuánto vale la resistencia es de 0ºC?

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6 Práctica 6. Ley de Ohm

6.1. Objetivos y fundamento teórico.

En esta práctica vamos a comprobar experimentalmente la ley de Ohm aplicadaa una resistencia comercial. Para hacer esto aprenderemos hacer uso del polímetroen sus tres facetas: voltímetro, amperímetro y óhmetro.

La carga en un conductor tiene cierta libertad para moverse. Si aplicamos unadiferencia de potencial entre los extremos de un conductor, fluye por él ciertaintensidad de corriente. En muchos conductores se cumple la ley de Ohm, V =I R, que relaciona la caída de potencial entre los extremos del conductor,V y laintensidad de corriente que circula por él, I. La constante de proporcionalidadrecibe el nombre de resistencia. En los conductores óhmicos, la resistencia sólodepende del material y de la temperatura; pero no de V ni de I.

La ley de Ohm es lineal: si representamos V frente a I, obtenemos una rectacuya pendiente es R.

La resistencia indica la dificultad que opone el material conductor al paso dela corriente.

Figura 6.1: Resistencias comerciales

Las resistencias comerciales suelen ser cilíndricas y pequeñas (como se muestraen la figura 6.1).

Llevan impresas cuatro líneas transversales de colores que indican el valor dela resistencia (tres primeras líneas) y la tolerancia que garantiza el fabricante(última línea). Es el llamado código de colores universal de las resistencias. Susignificado se expresa en la figura.(6.2)

Las dos primeras líneas dan un número de dos cifras. La tercera es la potenciade diez que corresponde a su código. La línea de tolerancia es la última, y puedeser de color oro (tolerancia del 5%) o plata (tolerancia del 10%). Por ejemplo si

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Figura 6.2: Código internacional de colores para una resistencia

los colores son naranja, verde, rojo y oro; la resistencia vale R = 35×102 = 3500Ωcon una tolerancia del 5%.

El paso de corriente por una resistencia la calienta. La potencia disipada esP = V I. Teniendo en cuenta la ley de Ohm, podemos expresarla de otras formas:

P = V I = I2 R =V 2

I(6.1)

6.2. Material necesario.

Tenemos una fuente de alimentación que suministre un cierto voltaje, que po-dremos variar; un polímetro con el que mediremos voltaje, intensidad y resisten-cia; una plaqueta de ensayos para electrónica, en la que se pueden pinchar lasresistencias y formar los circuitos y varias resistencias comerciales.

6.3. Procedimiento práctico.

Valor nominal de las resistencias

Hallar el valor nominal de cada resistencia y la tolerancia utilizando el código decolores.

Medida directa de las resistencias

Medir directamente cada resistencia disponible usando el polímetro. Para ello:

1. Pinchar la resistencia en la plaqueta, sin utilizar fuente de alimentación.

2. Seleccionar en el polímetro la opción para medir resistencias (símbolo Ω).Identificar la escala apropiada.

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3. Medir la resistencia aplicando las pinzas del polímetro a las patillas de laresistencia. Comparar el resultado con el valor nominal.

Para una resistencia dada vamos a medir varios valores de voltaje frente a laintensidad. Podemos variar el voltaje que llega a nuestra plaqueta regulando lafuente de alimentación. Seguir los siguientes pasos:

1. Seleccionar en el polímetro la opción para medir voltaje (V ), en la escalaapropiada para este caso (10V). Así el polímetro se comporta como unvoltímetro.

2. Móntese un circuito con una resistencia, un voltímetro (¡siempre en para-lelo!) y los polos de la fuente de alimentación. El polo positivo (rojo) delvoltímetro debe ser el más cercano al polo positivo de la fuente de alimen-tación.

3. Ajuste la fuente de alimentación hasta 4V. Anote este valor.

4. Quite el voltímetro.

5. Convierta el polímetro en amperímetro, eligiendo la opción y escala indicada(250mA).

6. Mida la intensidad que circula por la resistencia, I1 Tiene que colocar elamperímetro en serie con la resistencia.

7. Repita los pasos anteriores con voltajes e intensidades diferentes. Obtenervalores para cinco o seis medidas más.

8. Construir la tabla Vi frente a Ii. Represente V frente a I utilizando cual-quiera de los programas de cálculo que haya en el laboratorio. Encontrarla recta de mejor ajuste. La pendiente se corresponderá con el valor de laresistencia.

Uso del amperímetro y del voltímetro.

Para medir la intensidad de corriente que circula a través de una resisten-cia, una vez seleccionada la opción de medir intensidad con el polímetro debemosmedir colocando éste en serie con la resistencia, de tal forma que toda la in-tensidad que circula por la resistencia pasa también por el amperímetro. Esto sepone de manifiesto en la figura (6.3). Debemos de tener cuidado con la polaridad,normalmente el polo positivo coincide con el terminal rojo y el polo negativo decolor negro.

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Figura 6.3: Uso del polímetro como amperímetro

Figura 6.4: Uso del polímetro como voltímetro

Para medir la caída de tensión o diferencia de potencial entre dos puntos seusa el polímetro en la opción de voltímetro (figura 6.4). Para hacer la medidadebemos de situarlo en paralelo con el elemento cuyo voltaje queramos medir.

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Figura 6.5: Uso del polímetro como óhmetro

Para medir la resistencia se utiliza el óhmetro (figura 6.5)que se coloca enparalelo con el elemento cuya resistencia vamos a medir. Para medir la resistenciade un elemento nos aseguraremos de que dicho elemento esté desconectado delcircuito, de lo contrario obtendremos una medida errónea y podremos dañar elaparato.

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7 Práctica 7. Asociaciones deresistencias

7.1. Objetivos y fundamento teórico.

En esta práctica vamos a medir la resistencia equivalente, intensidad y caídade potencial de asociaciones de resistencias en serie y en paralelo. Para hacerestas medidas usaremos el polímetro en sus tres facetas: voltímetro, amperímetroy óhmetro.

Las resistencias comerciales suelen ser cilíndricas y pequeñas (como se muestraen la figura 7.1).

Figura 7.1: Resistencias comerciales

Llevan impresas cuatro líneas transversales de color que indican el valor dela resistencia (tres primeras líneas) y la tolerancia (última línea) que garantizael fabricante. Es el llamado código de colores universal de las resistencias. Susignificado se expresa en la figura (7.2).

Figura 7.2: Código de colores para calcular el valor de las resistencias

Las dos primeras líneas dan un número de dos cifras. La tercera es la potenciade diez que corresponde a su código. La línea de tolerancia es la última, y puedeser de color oro (tolerancia del 5 %) o plata (tolerancia del 10 %). Por ejemplo si

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7 Práctica 7. Asociaciones de resistencias

los colores son naranja, verde, rojo y oro; la resistencia vale R = 35 × 102Ω conuna tolerancia del 5 %.

Las resistencias se pueden asociar entre si. El conjunto puede verse como sifuera una única resistencia, llamada resistencia equivalente, que depende de lasresistencias que lo componen y del modo de asociarlas. Hay dos formas básicasde asociación de resistencias: en serie y en paralelo.

Asociación de resistencias en serie

Dos o más resistencias están en serie cuando la intensidad de corriente que pasapor todas ellas es la misma. La caída de potencial entre los extremos de unaasociación en serie es la suma de las caída de potencial en cada resistencia (figura7.3)

Figura 7.3: Asociación de resistencias en serie

V = V1 + V2 + .... (7.1)

Por consiguiente la resistencia equivalente será:

Req = R1 +R2 + .... =∑

Ri (7.2)

Asociación de resistencias en paralelo

Dos o más resistencias están en paralelo (figura 7.4) cuando todas ellas provocanla misma caída de potencial. En este caso, la intensidad total que pasa por laasociación es la suma de las intensidades que pasan por cada resistencia

I = I1 + I2 + .... (7.3)

y la resistencia equivalente vendrá dada por:

1

Req

=1

R1

+1

R2

+ .... (7.4)

7.2. Material necesario

Tenemos una fuente de alimentación que suministre un cierto voltaje. Un po-límetro con el que mediremos voltaje, intensidad y las resistencias; una plaquetade ensayos para electrónica, en la que se pueden pinchar las resistencias y formarlos circuitos y varias resistencias comerciales.

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Figura 7.4: Asociación de resistencias en paralelo

7.3. Método operativo.

Valor nominal de las resistencias

Hallar el valor nominal de cada resistencia y la tolerancia utilizando el código decolores.

Medida directa de las resistencias

Medir directamente cada resistencia disponible usando el polímetro.

Asociación en serie

• Montar un circuito con dos resistencias en serie (coger una resistenciade 1000Ω y otra de 1200Ω), sin conectar la plaqueta a la fuente dealimentación.

• Medir directamente con el polímetro la resistencia equivalente del cir-cuito.

• Comparar este resultado con el valor teórico.

• Conectar ahora el circuito a la fuente de tensión (Consultar con elprofesor para hacer este paso).

• Usando el polímetro como amperímetro, medir la intensidad que cir-cula por cada una de las resistencias y por el circuito completo.

• Cambiando el polímetro a voltímetro, medir la caída de potencial encada resistencia y en el circuito completo.

• ¿Se verifican las condiciones para la intensidad y voltaje que deben decumplir las asociaciones en serie?

• Hallar los valores de las resistencias usando la ley de Ohm.

Asociación en paralelo

• Montar un circuito con dos resistencias en paralelo (coger una resis-tencia de 1000Ω y otra de 1200Ω), sin conectar la plaqueta a la fuentede alimentación.

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• Medir directamente con el polímetro (en óhmetro) la resistencia equi-valente del circuito.

• Comparar este resultado con el valor teórico.

• Conectar ahora el circuito a la fuente de tensión (consultar con elprofesor para hacer este paso).

• Usando el polímetro como amperímetro, medir la intensidad que cir-cula por cada una de las resistencias y por el circuito completo.

• Cambiando el polímetro a voltímetro, medir la caída de potencial encada resistencia y en el circuito completo.

• ¿Se verifican las condiciones para la intensidad y voltaje que deben decumplir las asociaciones en paralelo?

• Hallar los valores de las resistencias usando la ley de Ohm.

RecordatorioPara medir la caída de tensión o diferencia de potencial entre dos puntos se

usa el polímetro en la opción de voltímetro. Para hacer la medida debemos desituarlo en paralelo con el elemento cuyo voltaje queramos medir

Figura 7.5: Polímetro en versión voltímetro y amperímetro

Para medir la intensidad de corriente que circula a través de una resistencia,una vez seleccionada la opción de medir intensidad con el polímetro debemosmedir colocando éste en serie con la resistencia.

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8 Práctica 8. Cálculo de losparámetros característicos deun generador de corriente.

8.1. Fundamento teórico.

Para que exista una corriente estacionaria en un circuito conductor, éste debeformar una malla cerrada o circuito completo. De otro modo la carga se acumularáen los extremos del conductor, el campo eléctrico resultante variará con el tiempoy la corriente no podrá ser constante.

Sin embargo, tal circuito no puede estar constituido solamente por una resis-tencia. La corriente en una resistencia necesita un campo eléctrico y un potencialasociado. El campo realiza siempre trabajo positivo sobre la carga, la cual se mue-ve siempre en la dirección del potencial decreciente. Pero después de una vueltacompleta en torno al circuito, la carga vuelve a su punto de partida y el potencialentonces ha de ser igual a cuando salió de dicho punto. Esto no puede ocurrir asísi su recorrido por el circuito solo implica disminución del potencial.

Por tanto, tiene que haber una parte del circuito en la que la carga pase deun potencial menor a otro mayor, a pesar de la fuerza electrostática que intentaempujarla de un potencial mayor a otro menor. El influjo que hace mover la cargade un potencial menor a otro mayor se llama fuerza electromotriz. Todo circuitocompleto en el que haya una corriente estacionaria debe tener algún dispositivoque proporcione la fuerza electromotriz.

Ejemplos de tales dispositivos son las baterías, generadores, células fotovoltai-cas y termopares, que reciben el nombre de generadores de fuerza electromotriz.Cualquiera de ellos puede transmitir energía al circuito al que está conectado; porello, a veces se les denomina fuente, aunque es preferible el término convertidorde energía. La fuerza electromotriz suele expresarse abreviadamente fem.

La figura (8.1) es una representación esquemática de un generador de fuerzaelectromotriz (fem), como una batería o un generador. Un dispositivo de estetipo tiene la propiedad de poder mantener una diferencia de potencial entre losconductores a y b, llamados terminales del dispositivo. En la figura (8.1) no haycircuito conductor fuera del dispositivo que conecte a y b y se dice que está encircuito abierto.

El terminal a, marcado +, se mantiene por la fuente a un potencial más alto queel terminal b, marcado -. Asociado a esta diferencia de potencial hay un campoelectrostático Ee en todos los puntos entre y alrededor de los terminales, tantodentro como fuera de la fuente. El campo electrostático Ee dentro del dispositivoestá dirigido, como se muestra, desde a hacia b. Sin embargo, la propia fuente

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8 Práctica 8. Cálculo de los parámetros característicos de un generador de corriente.

es un conductor y si la única fuerza que actuase dentro de ella sobre las cargaslibres fuera la ejercida por el campo electrostático, las cargas positivas se moverándesde a hacia b (o las cargas negativas desde b hacia a). El exceso de cargas en losterminales disminuirá, y la diferencia de potencial entre ellos también disminuiráy acabará por anularse.

Figura 8.1: Modelo de generador

Pero no es así como funcionan realmente las baterías y los generadores; dehecho, mantienen una diferencia de potencial incluso cuando hay una corrienteestacionaria. De esto sacamos la conclusión de que debe existir una fuerza adi-cional sobre las cargas del interior de la fuente, que tiende a empujarlas desde unpunto de menor potencial a otro de mayor potencial, en oposición a la tendenciade la fuerza electrostática. El origen de esta fuerza no electrostática depende de lanaturaleza de la fuente. En un generador es el resultado de la acción de un campomagnético sobre las cargas en movimiento. En una batería está asociada con lasconcentraciones del electrolito, que varían debido a las reacciones químicas. Enuna máquina electrostática como un generador de Van de Graaff o de Wimshurst,se trata de una fuerza mecánica aplicada por el movimiento de una correa o deuna rueda.

Independientemente del origen de la fuerza no electrostática, que podemosllamar F su efecto es el mismo que si hubiera un campo eléctrico adicional En,de origen no electrostático, relacionado con la fuerza por F = qEn. Es decir, lafuerza no electrostática es la misma que si hubiera un campo no electrostáticoEn, además del puramente electrostático Ee.

Cuando la fuente está en circuito abierto, como en la figura (8.1), las cargasestán en equilibrio, y el campo resultante E, suma vectorial de Ee y En, debe sernulo en todos los puntos:

E = Ee + En = 0

Ahora bien, la diferencia de potencial electrostática Vab se define como el trabajopor unidad de carga realizado por el campo electrostático Ee sobre una carga quese mueve de a a b. De la misma forma puede considerarse el trabajo realizado porel campo no electrostático En. Suele hablarse del trabajo (positivo) de este campo

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durante el desplazamiento desde b hasta a en vez de al contrario. Específicamente,se llama fuerza electromotriz ϵ de la fuente al trabajo realizado por En por unidadde carga cuando la carga se mueve desde b hasta a.

Cuando Ee = −En , tenemos que Vab = ϵ. Por consiguiente, para una fuente encircuito abierto, la diferencia de potencial Vab, es decir, el voltaje de sus terminalesen circuito abierto, es igual a la fuerza electromotriz:

El término fuerza electromotriz, aunque muy utilizado, no es muy afortunado,en el sentido de que el concepto al que se refiere no es una fuerza sino un trabajopor unidad de carga. Lo más frecuente es utilizar simplemente la expresión fem.

La unidad SI de En es la misma que la de Ee esto es, un voltio por metro (Vm),de modo que la unidad de fem es la misma que la del potencial o que la diferenciade potencial, es decir, un voltio (V). De todas formas, una fuerza electromotrizno es lo mismo que una diferencia de potencial, pues esta última es el trabajo deun campo electrostático y la otra es el de uno no electrostático.

Como veremos más adelante, el campo electrostático en el interior de una fuen-te, y por tanto la diferencia de potencial entre sus terminales, depende de la co-rriente de la fuente. El campo no electrostático, y en consecuencia la fem de lafuente, es, en la mayoría de los casos, una constante independiente de la corriente,por lo que la fem representa una propiedad determinada de la fuente. A menosque se diga lo contrario, de ahora en adelante consideraremos que la fem de unafuente es constante.

Figura 8.2: Generador en circuito cerrado

Supongamos ahora que los terminales de la fuente están conectados por un ca-ble, como se muestra esquemáticamente en la figura (8.2), formando un circuitocompleto. La fuerza de arrastre sobre las cargas libres del cable se debe exclusi-vamente al campo electrostático Ee creado por los terminales cargados a y b dela fuente. Este campo crea una corriente en el cable de a a b. Las cargas de losterminales disminuyen ligeramente, así como los campos electrostáticos dentrodel cable y de la fuente. En consecuencia, el campo electrostático del interior dela fuente se hace menor que el campo no electrostático (constante). Por tanto, las

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cargas positivas del interior de la fuente son llevadas hacia el terminal positivo, yhay una corriente en el interior de la fuente de b hacia a. El circuito se estabilizaen un estado estacionario en el que la corriente es la misma en todas las seccionestransversales.

Si la corriente pudiera circular sin impedimento por la fuente (es decir, si lafuente no tuviera resistencia interna), la carga que entra al circuito externo através del terminal a sería reemplazada inmediatamente por el flujo de carga quepasa por la fuente. En este caso, el campo electrostático interior de la fuente novariará en condiciones de circuito completo, y la diferencia de potencial entre losterminales Vab sería todavía igual a ϵ. Como Vab está también relacionada conla corriente y la resistencia del circuito externo por la ecuación (9.1), entoncestendríamos:

Vab = ϵ = IR (8.1)

donde R es la resistencia del circuito externo. Esta relación determina la co-rriente en el circuito una vez especificadas ϵ y R.

El sentido condicional del párrafo anterior se debe a que toda fuente real tienealguna resistencia interna que podemos designar por r. En condiciones de circuitocerrado el campo eléctrico total Ee+En, dentro de la fuente no puede ser exacta-mente nulo porque es necesario algún campo neto que empuje la carga a través dela resistencia interna. Por tanto, Ee debe tener una magnitud algo menor que En

y en consecuencia Vab es menor que ϵ; la diferencia es igual al trabajo por unidadde carga realizado por todo el campo, que es simplemente Ir. Así, en condicionesde circuito cerrado, la diferencia de potencial entre los terminales está dada por

Vab = ϵ− Ir (8.2)

donde r es la resistencia interna de la fuente. La ecuación que determina lacorriente del circuito completo es entonces

ϵ− Ir = IR (8.3)

y, por tanto

I =ϵ

(r +R)(8.4)

Es decir, la corriente es igual a la fem de la fuente dividida entre la resistenciatotal del circuito, la externa mas la interna.

Si los terminales de la fuente están conectados por un conductor de resistencianula (o despreciable), se dice que la fuente está en cortocircuito. (Sería extrema-damente peligroso hacer esto con los terminales de la batería de un automóvil ode una red eléctrica). Entonces R = 0, y en virtud de la ecuación del circuito, lacorriente Ic en cortocircuito es

Ic = ϵ/r (8.5)

El voltaje entre los terminales es entonces nulo:

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Vab = ϵ− Ir = 0 (8.6)

El campo electrostático dentro de la fuente es nulo, y la fuerza de arrastre queactúa sobre las cargas interiores es debida únicamente al campo no electrostático.

Una fuente está totalmente descrita por su fem y su resistencia interna r. Es-tas propiedades pueden determinarse (al menos en principio) midiendo el voltajeentre los terminales en circuito abierto, que es igual a ϵ, y la corriente en corto-circuito, la cual permite calcular r por la ecuación (8.5).

8.2. Materiales

Para la realización de esta práctica se dispone de:

Batería de 9V

Conector para la batería.

Reostato y resistencia.

Placa de prototipos.

Cables de conexionado.

8.3. Método operativo

1. Comprobar que el circuito que se va a usar para la realización de la prácticacoincide con el mostrado en la figura (8.3).

Figura 8.3: Esquema del circuito

2. Fijar el cursor del reostato en un extremo.

3. Medir simultáneamente las medidas del amperímetro y del voltímetro.

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4. Mover el cursor del reostato y volver a repetir las medidas.

5. Repetir el punto 4 intentando barrer con el cursor toda la longitud delreostato y tomando, al menos, seis medidas simultáneas distintas.

6. Representar gráficamente (en el ordenador) la diferencia de potencial frentea la intensidad.

7. Identificar la fem y la resistencia interna de generador así como el errorcorrespondiente.

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9 Práctica 9. Carga de uncondensador

9.1. Objetivos.

Montar un circuito para cargar lentamente un condensador, estudiar la curvaintensidad de corriente frente a tiempo y, a partir de ella, determinar la capacidaddel condensador.

9.2. Fundamento teórico.

Los condensadores tienen interés tecnológico por su capacidad para almacenarcarga eléctrica. Consta de dos conductores enfrentados y separados por un aislante(dieléctrico).

Figura 9.1: Esquema de un condensadorde placas paralelas

En la figura (9.1) se muestra un con-densador de láminas planas paralelas,de sección A, y separación d. Se defi-ne la capacidad C de un condensadorcomo el cociente entre la carga almace-nada, Q, y la diferencia de potencial Ventre las placas: C = Q/V . Su unidadde medida es el faradio (F). Para uncondensador plano puede demostrarseque

C =ϵA

d(9.1)

donde ϵ es la constante dieléctrica de la lámina aislante. En los condensadorescomerciales (figura 9.2) las láminas planas son alargadas y muy delgadas, y seenrollan sobre sí mismas, formando cilindros, para ahorrar espacio.

Características de un condensador comercial:

Capacidad nominal, según el fabricante, que suele darse con una toleranciagrande (± 20 %).

Diferencia de potencial máxima que es capaz de soportar sin que se produzcala ruptura del dieléctrico.

Polaridad (polos positivo y negativo). Los condensadores electrolíticos, co-mo el de nuestra práctica, tienen una polaridad que hay que respetar.

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9 Práctica 9. Carga de un condensador

Figura 9.2: Condensador comercial

Circuito de carga de un condensadorLa figura (9.3) muestra el circuito de carga de un condensador. En el instante

de conectar el interruptor S (t = 0), el condensador está descargado, y sólo laresistencia R limita la corriente inicial, que valdrá:

I0 =Vs

R

Figura 9.3: Circuito de carga de un condensador

A medida que transcurre el tiempo, se acumula carga en el condensador y dis-minuye la intensidad de la corriente que circula, hasta que finalmente se anula. Elcondensador queda completamente cargado entonces, y la diferencia de potencialentre sus placas será Vs. Puede demostrarse que la variación con el tiempo de laintensidad de corriente sigue la siguiente ley:

I(t) = I0e− t

RC (9.2)

El producto RC tiene dimensiones de tiempo, y se conoce como tiempo caracte-rístico del proceso de carga. Transcurrido un tiempo t = 3RC, la intensidad quecircula se ha reducido hasta solo ∼ 0,05I0.

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9.3. Material necesario

Regleta para circuitos, condensador electrolítico de C ∼ 2200µF , resisten-cia de 100 kΩ, polímetro analógico, generador de corriente continua (de voltajeajustable), interruptor y cronómetro digital (con opción de lecturas parciales sindetención de la medida).

9.4. Método operativo

Interpretar el código de colores de la resistencia y determinar su valor conel polímetro.

Montar con los materiales disponibles el circuito de carga del condensadormostrado en la figura (9.3). Asegúrese de que el condensador está comple-tamente descargado (cortocircuitando sus patillas con un hilo conductor)antes de montarlo en el circuito.

Para fijar con precisión el valor de I0 , retire el condensador, pero mantengael circuito cerrado con el amperímetro (conectado ahora directamente a laresistencia). Parta de la escala mayor, pero tendrá que ajustar la tensión dela fuente hasta conseguir que el amperímetro en la escala de 50µA indiquefondo de escala (tendremos entonces I0 = 50µA). La fuente de tensión yano debe tocarse. Desconectamos el interruptor.

Montamos el circuito completo, con el condensador, y preparamos el cronó-metro. Al conectar el interruptor tendremos t = 0 e I0 = 50µA. Tendremosque anotar los tiempos parciales (sin detener el cronómetro) para valoresprefijados de la intensidad, completando la tabla de toma de datos quefigura al final.

Utilice el PC para representar la intensidad frente al tiempo. Añada a latabla una columna con ln(I/I0) y represéntela frente al tiempo. De acuerdocon la ecuación (9.2) tendremos:

ln

(I

I0

)= − 1

RCt

Deberá obtener así una recta, cuya pendiente (resuelta por el método delos mínimos cuadrados) valdrá m = −1/RC. Como R es conocido, podráobtener finalmente el valor de la capacidad C del condensador. Compáresecon el valor nominal que proporciona el fabricante.

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I (µA) t (s) ln (I/I0)

5045403530252015105

Cuadro 9.1: Tabla de resultados

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10 Práctica 10: Balanza decorriente. Fuerza de Lorentz

1 Objeto de la práctica.

En esta práctica se medirá mediante una balanza la fuerza de origen magnético,que actúa sobre un hilo conductor por el que pasa una corriente cuando éste seencuentra en el seno de un campo magnético uniforme. Estudiaremos cómo varíaesta fuerza en función de la longitud del hilo conductor para una intesidad decorriente dada. Igualmente para una longitud dada veremos como se comporta lafuerza para distintas intensidades y por último veremos cuál es el comportamientode la fuerza en función del ángulo que forman la intensidad de corrriente y elcampo magnético.

2 Fundamento teórico

La fuerza que un campo magnético ejerce sobre un hilo conductor por el quecircula una corriente I viene dada por:

F = IL× B

Donde:

F es la fuerza de origen magnético en newtons

I es la intensidad de corriente que circula por el hilo con-ductor en amperios

L tiene como módulo la longitud del hilo en metros, su di-rección es paralela al hilo y su sentido es el de la corriente.

B intensidad del campo magnético en teslas.

La fuerza sobre el hilo conductor es perpendicular al hilo y al campo magnético.Si el campo magnético es perpendicular a la corriente, el módulo de la fuerzaserá:

F = I LB

Cuando la corriente y el campo no sean perpendiculares, el módulo será:

F = I LB senθ

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10 Práctica 10: Balanza de corriente. Fuerza de Lorentz

3 Material y método

Para la realización de la práctica contamos con el siguiente material:

Balanza de corriente I (bloque con seis imanes permanentes, soporte conbrazo basculante y seis conductores de diferente longitud)

Fuente de alimentación 0− 30V CC/ 0− 5A

Balanza digital 300 g/0, 01 g

Cables de conexión

Base soporte y varilla

Balanza de corriente II (bloque on cuatro imanes permanentes y bobinamontada en soporte graduado giratorio)

Figura 10.1: Balanza de corriente I y accesorios

Figura 10.2: Balanza de corriente II

Fuerza magnética en función de la corriente.

Debemos configurar el equipo (mostrado en la figura 1) de forma que el imándescanse sobre el platillo de la balanza y el brazo de la balanza de corriente secoloque de forma que el conductor esté completamente dentro de la región delcampo magnético uniforme. Cogeremos cualquiera de los conductores, por ejemplo

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el de mayor longitud L = 8 cm. Tarar la balanza para ponerla a cero y ajustarla corriente también a cero. Mantener el hilo conductor y variar la intensidad decorriente, para cada una de ellas leer el valor correspondiente de la balanza. Losvalores observados pueden ser positivos o negativos dependiendo de la orientacióndel campo magnético o del sentido de la corriente. Si queremos obtener siemprevalores positivos debemos cambiar el sentido de la corriente.

Longitud del conductor (metros) = mIntensidad (A) gramos Fuerza (N)

Cuadro 10.1: Fuerza magnética frente a la corriente

Representar gráficamente la fuerza frente a la intensidad y obtener el valor delcampo magnético.

Fuerza magnética en función de la longitud del hilo conductor.

Debemos configurar el equipo igual que en el caso anterior. Debemos de sercuidadosos para colocar el conductor completamente dentro de la región de campomagnético uniforme. Fijamos un valor constante para la intensidad de corriente,por ejemplo I = 4A, y vamos intercambiando los conductores empezando por elde menos longitud. Para cada uno de ellos tomamos la lectura de la balanza. Loscambios de los hilos conductores debe hacerse con la balanza y la fuente de tensiónapagadas. Cada vez que cambiemos el conductor debemos tarar la balanza.

Intensidad (amperios) = ALongitud del conductor (m) gramos Fuerza (N)

0, 010, 020, 030, 040, 060, 08

Cuadro 10.2: Fuerza magnética en función de la longitud del hilo conductor

Representar la fuerza magnética frente a la longitud del hilo conductor y obte-ner de nuevo el valor del campo magnético. Comparar este valor con el obtenido

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anteriormente.

Fuerza magnética en función del ángulo entre la dirección del campomagnético y la intensidad de corriente.

En este caso debemos utilizar el accesorio de la figura 2. Este accesorio llevauna bobina en lugar de un único conductor y está conectado a un goniómetro,debemos de colocarlo en el lugar donde antes colocabamos los hilos conductores.En este caso debemos de ser cuidadosos de ajustar el goniómetro de forma queel indicador móvil del goniómetro esté en cero cuando la bobina y el campomagnético sean paralelos. Para hacer esto debemos de girar la bobina hasta que labalanza marque cero, en esa posición colocamos el indicador móvil del goniómetroa cero y a partir de este punto podemos comenzar a hacer las medidas. Fijamosuna corriente constante, por ejemplo I = 4A, y vamos ajustando el ángulo entrela corriente y el campo magnético de 10 en 10 grados, para cada uno de ellosapuntamos la lectura de la balanza.

Intensidad (amperios) = AÁngulo gramos Fuerza (N)

0102030405060708090

Figura 10.3: Fuerza magnética frente al ángulo

Representar gráficamente la fuerza frente al ángulo y frente al seno del ángulo.¿Cómo varía la fuerza en función del ángulo?

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FÍSICA APLICADA I

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