FISICA ATOMICA - Apuntes

Departamento de Fsica Fundamental II

Universidad de La Laguna

FSICA ATMICAGUA DE LA ASIGNATURA

CURSO 2012-2013

NDICE

TEMA 1: Interaccin de materia y radiacin.......................................................................1

- Emisin y absorcin de fotones por tomos y molculas.- Intensidad de las lneas espectrales.

TEMA 2: Atomos de un solo electrn...............................................................................11

- El tomo de hidrgeno e hidrogenoides.- Teora norelativista del tomo de un electrn.- Teora relativista del tomo de hidrgeno.- Influencia del ncleo en los niveles energticos del tomo de hidrgeno.- El espectro del tomo de hidrgeno e hidrogenoides. Sistemas hidrogenoides especiales.

TEMA 3: Atomos de dos electrones. El tomo de helio......................................................37

- Teora no relativista del tomo de dos electrones. - Tratamiento del tomo de helio mediante la teora de perturbaciones estacionarias. - Otros mtodos aproximados en el estudio del tomo de dos electrones.- Correcciones relativistas en el tomo de dos electrones.- El espectro del tomo de dos electrones.

TEMA 4: Atomos polielectrnicos. La aproximacin de Campo Central................................55

- La ecuacin de Schrdinger para tomos polielectrnicos. - Configuraciones electrnicas en la aproximacin de Campo Central. - El mtodo del Campo Autoconsistente de Hartree-Fock.

TEMA 5: Correcciones a la aproximacin de Campo Central: acoplamientos LS y jj..............71

- El acoplamiento LS. - Estructura fina en acoplamiento LS.- El acoplamiento jj.

TEMA 6: Espectros de tomos polielectrnicos..................................................................79

- Transiciones radiativas en tomos polielectrnicos.- Configuraciones electrnicas y espectros.- Influencia del ncleo en los espectros atmicos.

TEMA 7: Atomos en campos externos..............................................................................89

- El tomo de hidrgeno en un campo magntico externo.- Atomos polielectrnicos en un campo magntico externo.- El tomo de hidrgeno en un campo elctrico externo.- Atomos polielectrnicos en un campo elctrico externo.

TEMA 1: Interaccin de materia y radiacin.

- Emisin y absorcin de fotones por tomos y molculas.- Intensidad de las lneas espectrales.

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TEMA 2: Atomos de un solo electrn.

- El tomo de hidrgeno e hidrogenoides.- Teora norelativista del tomo de un electrn.- Teora relativista del tomo de hidrgeno.- Influencia del ncleo en los niveles energticos del tomo de hidrgeno.- El espectro del tomo de hidrgeno e hidrogenoides. Sistemas hidrogenoides especiales.

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TEMA 3: Atomos de dos electrones. El tomo de helio.

- Teora no relativista del tomo de dos electrones. - Tratamiento del tomo de helio mediante la teora de perturbaciones estacionarias. - Otros mtodos aproximados en el estudio del tomo de dos electrones.- Correcciones relativistas en el tomo de dos electrones.- El espectro del tomo de dos electrones.

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TEMA 4: Atomos polielectrnicos. La aproximacin de Campo Central.

- La ecuacin de Schrdinger para tomos polielectrnicos. - Configuraciones electrnicas en la aproximacin de Campo Central. - El mtodo del Campo Autoconsistente de Hartree-Fock.

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TEMA 5: Correcciones a la aproximacin de Campo Central: acoplamientos LS y jj.

- El acoplamiento LS. - Estructura fina en acoplamiento LS.- El acoplamiento jj.

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TEMA 6: Espectros de tomos polielectrnicos.

- Transiciones radiativas en tomos polielectrnicos.- Configuraciones electrnicas y espectros.- Influencia del ncleo en los espectros atmicos.

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TEMA 7: Atomos en campos externos.

- El tomo de hidrgeno en un campo magntico externo.- Atomos polielectrnicos en un campo magntico externo.- El tomo de hidrgeno en un campo elctrico externo.- Atomos polielectrnicos en un campo elctrico externo.

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PROBLEMAS.

- Tema II.- Tema III.- Tema IV.- Tema V y VI.

Pablo CPTypewritten text- 103 -

PROBLEMAS DE FISICA ATOMICA (Tema II) (Curso 2010 2011)

II. 1. Considrese un tomo de hidrgeno en un estado estacionario )(,, rmln

r . La distancia ms probable entre el electrn y el ncleo es aquella que hace mxima la densidad de probabilidad radial Dn,l(r). a) Obtener la relacin entre Dn,l(r) y la densidad de probabilidad de presencia

2,, )(rmln

r . Para el electrn de un tomo de hidrgeno en el estado 2s, b) cul es la distancia electrn - protn ms probable ?. c) Cul es el valor de r de mayor densidad de probabilidad?. d) Cul es la distancia media protn - electrn ?. Discutir los resultados obtenidos.

Ayuda: ( )02/3

02 2/exp2

1221)( aZr

aZr

aZr

os

=

r .

II. 2. Un tomo de hidrgeno se encuentra en su estado fundamental. Calcular la probabilidad de que el electrn se encuentre entre dos esferas de radios R1 y R2. II. 3. Probar, estudiando el valor medio de la distancia del electrn al origen de coordenadas (ncleo) y la dispersin cuadrtica media de dicha magnitud, que el electrn del tomo de hidrgeno, cuando se encuentra en un estado n l m n n m, , , ,= 1 , con n suficientemente grande, est prcticamente localizado

sobre una capa esfrica de radio n2a0. II. 4. Comparar las probabilidades de presencia del electrn del tomo de hidrgeno dentro del ncleo, supuesto una esfera de radio RN , cuando los estados de dicho tomo corresponden a valores del nmero cuntico principal n = 1, 2, 3. II. 5. Escribir la funcin de onda del tomo de hidrgeno cuya energa corresponde al valor n = 2 y tal que una medida sobre ese estado de la componente Lx del momento angular orbital sea h=xm . II. 6. El electrn y el ncleo de un tomo hidrogenoide de carga Z interaccionan no solo a travs del potencial electrosttico sino tambin de la interaccin gravitatoria. Usando la teora de perturbaciones estacionarias al primer orden, obtener el desplazamiento de energa relativo E/E1s , siendo E el cambio en la energa debido a la energa de interaccin gravitatoria y E1s la energa del nivel fundamental. Discutir el resultado obtenido.


II.7. El hamiltoniano de estructura fina de un tomo monoelectrnico de ncleo con carga Ze e infinitamente pesado con respecto al electrn se puede escribir como:

H H W H W W Wmv LS D= + = + + +0 0 donde H

pm

V r02

2= + ( ) , con V r Ze

r( ) =

2

, es el hamiltoniano electrosttico del tomo,

Wpm cmv

= 4

3 28, es el llamado trmino de variacin de la masa con la velocidad,

Wm c r

dVdr

L SLS = 121

2 2

r r. , es el trmino de acoplamiento spin - rbita y

Wm c

V rD = h2

2 28 ( ) , siendo )(4)( 2 rZerV r= , es el llamado trmino de Darwin.

a) Calcular separadamente, mediante la aplicacin de la teora de perturbaciones al primer orden, las correcciones de los niveles de energa sin perturbar.

b) Analizar el comportamiento para l = 0 de cada una de las contribuciones perturbativas.

c) Demostrar que los niveles de energa de H en primer orden perturbativo se pueden escribir, en forma compacta, como:

Eme

Zn

Zn j n

n j, = ++

4

22

2

2 2

21

11

12

34h

II. 8. El hamiltoniano hiperfino del tomo de hidrgeno es:

hff WHH += siendo fH el hamiltoniano de estructura fina y

Chf

diphf

Lhfhf WWWW ++= la correccin de

estructura hiperfina, con

320 .2

4 rLIgW INBLhf

rr

h

= ,

= 3520 .).)(.(3

24 r

SIr

rSrIgW INBdiphf

rrrrrr

h

y por ltimo,

)(..3

824 2

0 rSIg

W INBChfrrr

h

= . a) Demostrar utilizando la teora de perturbaciones al primer orden, que el nivel fundamental del tomo de hidrgeno se desdobla en dos subniveles hiperfinos separados por un intervalo energtico hEH = con = 1.42 GHz. b) Probar que el desdoblamiento hiperfino del nivel fundamental del tomo de deuterio,

DE , es HD EE 23.0 .


II. 9. Considrese un electrn en el campo electrosttico de un ncleo de carga eZq y de nmero msico A. Supongamos que la carga nuclear est uniformemente distribuida dentro de una esfera de radio R = roA1/3, siendo ro 1.2 10-15 m. Obtener, utilizando el Teorema de Gauss, la energa potencial de interaccin y, demostrar, aplicando la teora de perturbaciones a primer orden, que la correccin energtica viene dada por:

332

24 152

4 naRqZE

o

e

= , con l = 0. 0=E , con 0l

II. 10. Mediante tcnicas de Radioastronoma se han detectado varias lneas de emisin del espectro del H atmico correspondientes a transiciones n+1 n, con valores de n que van de 100 a 200. Encontrar la frecuencia y la longitud de onda de la lnea de n = 101 a n = 100 expresando el resultado en MHz y en metros, respectivamente. RH = 109677.6 cm-1. II. 11. Se han realizado investigaciones espectroscpicas de la estructura fina del He+ (HeII) principalmente en la lnea n=3 n=4 ( = 4686 ), estudiada por primera vez por Paschen. Construir el diagrama de trminos espectrales y encontrar las componentes de estructura fina de esta lnea especificando los cambios entre los nmeros cunticos involucrados en cada transicin. Calcular la diferencia de nmeros de onda entre las distintas lneas componentes. Qu ocurrira con estas componentes si se considerara el efecto Lamb?. II. 12. Utilizando las tablas de coeficientes de Clebsch Gordan apropiadas: a) obtener una expresin explcita de los seis coeficientes no nulos:

),(),(),();,;,( ,,1,* mlqml YYYqmlmlA =

b) demostrar las siguientes relaciones para los coeficientes A(l, m; l, m; q):

A l m l m m mllm

( , ; , ; ) = ++2 3

41

2 1 si l = l +1.

A l m l m m mllm

( , ; , ; ) = +2 3

4 2 1 si l = l -1. II. 13. a) Encontrar, con la ayuda de los resultados del problema anterior, el ritmo de transicin para la absorcin de radiacin istropa no - polarizada por un tomo hidrogenoide desde un nivel (n,l) a los 2l+1 niveles degenerados (n,l) y demostrar que es independiente del nmero cuntico magntico m del nivel inicial. b) Calcular la fuerza de oscilador para la transicin 2p 1s en un tomo hidrogenoide. Obtener el ritmo de emisin espontnea y el tiempo de vida medio del nivel 2p.


II.14. Demostrar que la razn entre las probabilidades de transicin np3/2 ns1/2 y np1/2 ns1/2 en el hidrgeno atmico es de 2 /1. II. 15. Sabemos que las vidas medias de los estados excitados del tomo de hidrgeno estn comprendidas entre 10-8 y 10-3 s (con n = 2 y n = 100, respectivamente). Calcular las anchuras naturales de las lneas de emisin correspondientes a transiciones entre dichos niveles y el nivel fundamental y comparar la resoluciones naturales relativas, / , de las lneas. II. 16. Estudiar cualitativamente la estructura hiperfina de la primera lnea de la serie de Lyman de los istopos protio y deuterio del tomo de hidrgeno. Tngase en cuenta el efecto Lamb.


PROBLEMAS DE FISICA ATOMICA (Tema III)

(Curso 2010 2011)

III.1. Sea H H Hii

= + = 0

1

2

el hamiltoniano electrosttico del tomo de dos electrones,

donde: 2,1,2

220 == i

rZe

mpH

i

ii y H

er

=2

12. Demostrar que { }H L L PZ, , ,2 12 , siendo

r r rL L L= +1 2 el momento angular electrnico orbital total y P12 el operador permutacin, forman un conjunto completo de observables que conmutan. III.2. En el tomo de dos electrones se definen las integrales de Coulomb Jn l, y de canje o intercambio Kn l, como:

( ) ( )J dr dr r r rn l nlm, = r r r r1 2 100 1 2 2 2 121

( ) ( ) ( ) ( )K dr dr r r r r rn l nlm nlm, * *= r r r r r r1 2 100 1 2 100 2 1 121

siendo ),()()( mlnlnlm YrRr = r las funciones de onda monoelectrnicas hidrogenoides. Haciendo uso del desarrollo multipolar de 1 12/ r demostrar que:

( ) ( ) >

+==0 0 1

210111

210

211

22

222210

210

2112

2220 2,

2

2

)()(1)(1r

rnlnllnrRrdrrRrdr

rrRrdr

rrRrdrrRrdrJ

y

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++=

=+=

++

+>

III.4. El in Li+ (LiII) es un tomo de dos electrones cuyo potencial de ionizacin vale 610078 cm-1. a) Obtener mediante la teora de perturbaciones estacionarias al primer orden, utilizando la repulsin interelectrnica como hamiltoniano perturbativo, el trmino fundamental y los dos primeros trminos excitados del in. Denotar los niveles de energa obtenidos con la notacin espectroscpica. b) Construir las funciones de onda aproximadas para cada uno de los trminos. c) Los primeros niveles de energa exactos del in son (en cm-1): 0, 476034, 491374, tomando como origen el trmino fundamental. Comparar, construyendo el correspondiente diagrama, los valores aproximados con los exactos y discutir la aproximacin hecha. Cmo interpreta que el clculo perturbativo a primer orden d un resultado razonable para el valor del potencial de ionizacin?. Ayuda: las integrales de Coulomb y canje necesarias para resolver el primer apartado son: 8/150,1 =J a.u., 81/510,2 =J a.u., 720/480,2 =K a.u. III.5. Obtener mediante un clculo variacional la energa del estado fundamental del tomo de helio. Utilizar como funcin de prueba el producto de dos funciones hidrogenoides 1s en las que el parmetro variacional es la carga nuclear Z. Ayuda: utilizar los resultados del problema III.3. III.6. Se excita un tomo de helio desde el estado fundamental al estado autoionizante 2s4p mediante la absorcin de radiacin ultravioleta. a) Estimar la energa correspondiente a este nivel autoinizante. Para ello se construir un hamiltoniano aproximado para el que se supondr que el electrn 2s se mueve en el campo de Coulomb no apantallado del ncleo mientras que el electrn 4p lo hace en el potencial de Coulomb totalmente apantallado (-1/r). Obtngase tambin la correspondiente longitud de onda de la radiacin ultravioleta utilizada. b) Hallar la velocidad del electrn emitido en este proceso de autoionizacin en el que el nivel autoionizante 2s4p decae en un electrn libre y un ion He+ en el estado fundamental 1s. III.7. El trmino de polarizacin de masa del hamiltoniano del tomo de helio es:

Hp pM11 2=

r r donde M es la masa del ncleo y rp1 y

rp2 son los momentos lineales de los dos electrones. La correccin energtica producida por este trmino contribuye al llamado desplazamiento isotpico especfico. Se denomina desplazamiento isotpico normal al asociado a la variacin de la constante de Rydberg con la masa. Demostrar, mediante la aplicacin de la teora de perturbaciones independiente del tiempo, que, si se utilizan funciones de onda construidas como productos convenientemente simetrizados de funciones de onda monoelectrnicas, este trmino slo afecta a los niveles P del tomo. Estimar la correspondiente contribucin al desplazamiento isotpico especfico.


PROBLEMAS DE FISICA ATOMICA (Tema IV)

(Curso 2010 2011) IV.1. Probar que el hamiltoniano de campo central HC dado por:

( )H V r hCi

N

r i ii

N

i= + =

= = 121 2 1 con ( )h V ri r ii= +

12

2

conmuta con el momento angular orbital totalrL de los electrones.

IV.2. Probar que [ ]H L, r = 0 , siendo H es el hamiltoniano electrosttico del tomo, dado por la expresin

HZr rr ii

N

iji j

N

i=

+=

PROBLEMAS DE FISICA ATOMICA (Temas V y VI) (Curso 2010 2011)

V, VI. 1. La configuracin fundamental del tomo de calcio es [Ar] 4s2 y su potencial de ionizacin vale 6.11 eV. Los trminos espectrales tripletes correspondientes a las dos primeras configuraciones excitadas [Ar] 4s4p y [Ar] 4s3d del tomo son (en cm-1): 3P2 = 33989 3D3 = 28933 3P1 = 34095 3D2 = 28953 3P0 = 34147 3D1 = 28969 a) Construir el correspondiente diagrama de Grotrian especificando explcitamente el trmino fundamental del tomo. b) Comprobar la Regla del Intervalo de Land en cada multiplete. c) Calcular el nmero de ondas y la longitud de onda (en nm) de las lneas del primer triplete compuesto de la serie difusa del espectro del Ca.

V, VI. 2. Medidas realizadas sobre el espectro de lneas emitido por un cierto tomo de nmero atmico Z intermedio muestran que la separacin entre niveles de energa adyacentes, en orden creciente de energa y en un multiplete particular, se encuentran en razn de 3 a 5. Utilice la Regla del Intervalo de Land para asignar los nmeros cunticos J, L, y S a dichos niveles.

V, VI. 3. Medidas hechas sobre el espectro del tomo de carbono neutro (CI), cuya configuracin fundamental es [He] 2s2 2p2, muestran que cierto trmino consiste en tres niveles de estructura fina que tienen energas (en cm-1) 60333, 60353, 60393 por encima del nivel fundamental, que se ha tomado como origen de energas a) Suponiendo vlido el esquema de acoplamiento de Russell - Saunders, identificar los valores de L, S y J para estos niveles. Averiguar, con la ayuda de la base de datos del NIST, la configuracin electrnica de la que proceden. b) El trmino fundamental del carbono se desdobla en tres subniveles de estructura fina con energas: 0, 16 y 43 cm-1. Calcular las longitudes de onda de las lneas del multiplete que surgen a partir de transiciones dipolares elctricas entre el multiplete fundamental y el considerado en el apartado a). Especificar en cada caso las Reglas de Seleccin. Determinar la paridad de ambos trminos y discutir la Regla de Laporte.

V, VI. 4. Considrese el tomo de Boro (Z=5). a) Escribir como determinantes de Slater (o combinacin lineal de ellos) las funciones de onda del trmino fundamental considerando la estructura fina. b) Se han medido las siguientes longitudes de onda de lneas dipolares elctricas (en ): 2496.8, 2497.7, 1825.9, 1826.4, que corresponden a transiciones entre el estado fundamental y los primeros trminos excitados del tomo. Proponer una asignacin al espectro medido y, sabiendo que el potencial de ionizacin del tomo es de 8.3 eV, calcular los niveles de energa involucrados en dichas transiciones. c) En el mismo tomo se han identificado otras lneas dipolares elctricas que proceden tambin de transiciones entre el trmino fundamental y trminos complejos (o desplazados). Una lnea, cuya longitud de onda es de 1379 se ha asignado a una transicin procedente de los niveles que surgen de la configuracin 2p2 (3P) 2s, mientras que las lneas de 2090.2 y 2089.6 se han asignado a transiciones de trminos asociados a la configuracin 2p2 (1D) 2s. Proponer una asignacin a las lneas medidas y


calcular las energas de los niveles involucrados. Ordenar energticamente todos los trminos obtenidos en el problema. Existe algn nivel metaestable?, y algn nivel autoionizante?.

V, VI. 5. a) Obtener la funcin o funciones de onda escritas como determinantes de Slater o combinacin lineal de ellos, asociadas al trmino fundamental del tomo de Nitrgeno (N) cuya configuracin fundamental es: [He] 2s2 2p3. b) El potencial de ionizacin de este tomo es 117300 cm-1. Se han medido las siguientes longitudes de onda (en ) de las lneas de su espectro: 1200.7 1492.6 1742 1200.2 1494.6 1745 1199.5

Suponiendo un mecanismo de interaccin materia radiacin de tipo dipolar elctrico, proponer una asignacin de dichas lneas a las transiciones correspondientes entre los trminos asociados a la configuracin de estado fundamental y los de la configuracin excitada [He] 2s2 2p2 (3P) 3s. Especificar las reglas de seleccin de cada transicin. Calcular, siempre que sea posible, los trminos espectrales y dibujar el correspondiente diagrama de Grotrian. c) Encontrar tambin las funciones de onda escritas como determinantes de Slater o combinacin lineal de ellos, asociadas al trmino menos estable de los que proceden de la configuracin excitada dada en el apartado anterior. Ayuda: [ ] 1,)1()1(, 2/1 += mjmmjjmjJ h , teniendo j y m los significados habituales.

V, VI. 6. Los primeros niveles energticos del tomo de Oxgeno (OI) son, en cm-1: 0, 153, 223, 15873, 33826, 73611, 76793, 86472, 86474, 86478 y 88633. El 0 se ha tomado en el trmino fundamental. Estos trminos se asignan a los niveles que surgen de la configuracin fundamental del tomo: [He] 2s2 2p4 (los cinco primeros), y excitadas [He] 2s2 2p3 3s y [He] 2s2 2p3 3p. a) Obtener estos trminos y comprobar, cuando proceda, la Regla del Intervalo de Land. b) Calcular las longitudes de onda de las lneas espectrales permitidas por un mecanismo de interaccin materia - radiacin dipolar elctrico entre los trminos propuestos del OI.

V, VI. 7. Los valores experimentales de las energas correspondientes a ciertos trminos espectrales del Bi+ (BiII) (en cm-1) son: 0, 13324, 17030, 33963, 44173, 69133, 69598, 88769, 89883. El origen de energas se establece en el trmino fundamental. Estos trminos espectrales se han asignado a la configuracin electrnica fundamental [Xe] 4f14 5d10 6s2 6p2 (los cinco primeros) y [Xe] 4f14 5d10 6s2 6p1 7s1 (los cuatro ltimos). [Xe] denota la configuracin fundamental del tomo de Xe. Considrese primero el acoplamiento LS. a) Determinar los trminos espectrales que se originan a partir de las configuraciones fundamental y excitada mencionadas anteriormente. b) Determinar los multipletes (spin rbita) en que se separan los distintos trminos espectrales obtenidos en la cuestin anterior. c) Asignar a cada trmino, en este esquema LS, la energa experimental correspondiente. Suponer que los multipletes son normales, se cumple la Regla del Intervalo de Land?.


d) Determinar en el esquema de acoplamiento j j los trminos del BiII que se originan a partir de las configuraciones fundamental y excitada mencionadas al principio del problema y proponer una asignacin de los trminos basada en este esquema. Cul es el esquema de acoplamiento que mejor describe estos trminos?. e) Considerar las excitaciones electrnicas entre los trminos espectrales correspondientes a la configuracin electrnica fundamental y a la excitada. Cules de stas excitaciones estn permitidas?. Supngase un acoplamiento materia radiacin de tipo dipolar elctrico.

V, VI. 8. La configuracin fundamental del tomo de Ti es [Ar] 3d2 4s2. a) Cules son los trminos espectrales que se originan a partir de esta configuracin?. Escribir al menos una funcin de onda de cada trmino. b) Suponiendo un esquema de acoplamiento de tipo Russell - Saunders encontrar los distintos multipletes en los que se descompone cada trmino y ordenarlos energticamente. c) Suponer ahora un acoplamiento j j. Escribir los distintos trminos espectrales.

V, VI. 9. Los trminos de menor energa del tomo de Vanadio (V) correspondientes a la configuracin fundamental [Ar] 3d3 4s2 son, en cm-1: 0, 137.4, 323.5, 553.0. El 0 corresponde al trmino fundamental. Proponer una asignacin a dichos trminos y comprobar el grado de cumplimiento de la Regla del Intervalo de Land.

V, VI. 10. La configuracin electrnica fundamental del Manganeso (Mn) es [Ar] 3d5 4s2. a) Demostrar que el trmino fundamental de este tomo es un 6S. b) Los valores experimentales de las energas obtenidas en el anlisis del multiplete espectral situado en torno a 3807.9 son en cm-1: 0, 229.7, 399.2, 516.2, 584.9, 26260.9, 26376.2, 26471.7, 26543.1, 26592.1 y 26620.6. Estos trminos se han asignado a las configuraciones electrnicas excitadas 3d6 4s 6D, los cinco primeros, y 3d6 4p 6F, los seis ltimos. Asignar a cada energa el trmino que le corresponda suponiendo que el esquema LS es vlido para estos multipletes. c) Obtenga los valores de las constantes de multiplete correspondientes. d) Escribir la longitud de onda de cada una de las lneas del multiplete espectral.

V, VI. 11. La configuracin electrnica del estado fundamental del tomo de Fe (FeI) es [Ar] 3d6 4s2. Demostrar que el trmino fundamental es un trmino 5D. La estructura fina de ste tiene cinco subniveles con energas relativas 0, 415.9, 704.8, 888.1 y 978.1 cm-1. Investigar el grado de cumplimento de la regla del Intervalo de Land.

V, VI. 12. La configuracin electrnica fundamental del tomo de Co (CoI) es: [Ar] 3d7 4s2. Hallar los trminos espectrales, con su correspondiente estructura fina, que se originan a partir de esta configuracin y ordenarlos energticamente.

V, VI. 13. La configuracin electrnica fundamental del Ru es [Kr] 4d7 5s y la del ion Ru- es [Kr] 4d7 5s2. Clculos tericos publicados (P. L. Norquist et al, Phys. Rev A, 59, 1896 (1999)), confirmados en parte por experimentos, predicen la existencia en el Ru- de cuatro trminos ligados, cuyas energas, en eV, medidas con respecto al cero tomado en el trmino fundamental del Ru, son: -1.076, -0.905, -0.795, -0.725. a) Cul es el trmino fundamental del Ru?


b) Proponer una asignacin de las energas calculadas y representar el diagrama de Grotrian correspondiente. Comprobar el grado de cumplimiento de la Regla del Intervalo de Land. c) La afinidad electrnica de un tomo se define como la energa necesaria para capturar un electrn y llenar una subcapa vaca (lo que le confiere estabilidad al sistema). Cul es la afinidad electrnica del Ru?.

V. VI. 14. Los primeros niveles de energa del tomo de Ni son (en cm-1):0 (*); 204,8; 879,8; 1332,2 (*), 1713,1; 2216,6 (*); 3409,9. Los trminos marcados con el asterisco (*) corresponden al nivel ms estable que surge de la configuracin fundamental del tomo [Ar] 3d8 4s2 mientras que los dems se atribuyen a la primera configuracin excitada [Ar] 3d9 4s. Proponer una asignacin al esquema de niveles. Representar el mismo (incluyendo como referencia los niveles de campo central) y discutir la asignacin propuesta en el marco del cumplimiento (o no) de las Reglas de Hund. Obtener, cuando proceda, la constante de multiplete correspondiente.

V. VI. 15. Se han publicado (G. Modugno et al., Phys. Rev. A. 60, R3373, (1999)) los resultados de un experimento en el que se enfriaba, mediante tcnicas lser en una trampa magneto ptica, el sistema ferminico formado por un conjunto de tomos 19K40 (I=4) a una temperatura por debajo de 15 5 K . La figura muestra la estructura hiperfina de la componente D2 de la primera lnea de la serie principal del tomo registrada en dicho experimento. El cero corresponde a la frecuencia de resonancia. Sabiendo que la estructura de niveles hiperfinos es invertida, asignar el espectro medido y calcular las energas relativas del multiplete excitado. Escribir la degeneracin de cada uno de los subniveles y las correspondientes funciones de onda. Datos: longitudes de onda de la primera lnea de la serie principal del 19K40 : ( ) . , ( ) .D nm D nm1 2769 9 766 7= = .

V, VI. 16. Los primeros niveles de energa del praseodimio simplemente ionizado, PrII, son (en cm-1): 0, 441.94, 1649.01, 1743.65, 2998.31, 3403.12, 4437.09, 5079.31. Estos se pueden asignar a los trminos ms bajos que nacen de la configuracin fundamental del ion: [Xe] 4f3 6s. a) Suponer que el acoplamiento es J1 - j. Proponer una asignacin a los niveles. (Ayuda: J1 es el correspondiente nmero cuntico asociado a los trminos ms bajos de la configuracin f3). b) La figura, tomada del artculo de L. Maosheng et al, Physical Review A, 62, 052504, (2000), muestra la estructura hiperfina de la lnea, cuya longitud de onda se indica, del 141PrII (I=5/2), nico istopo estable del praseodimio. Sobre la figura se escriben los


nmeros cunticos F de los trminos inferiores y F de los superiores asignados a las transiciones. Obtener el valor de los nmeros cunticos J de los niveles de estructura fina involucrados y construir el correspondiente diagrama de niveles. Qu valores de F y F estn asociados a la lnea hiperfina de mayor intensidad relativa?.

V. VI. 17. Los primeros niveles de energa del gadolinio doblemente ionizado (GdIII) son (en cm-1): 0, 2354, 43043, 43615, 47253, 48248, 48857, 49221. Dichos trminos corresponden a la configuracin fundamental [Xe] 4f7 6s y a la primera excitada [Xe] 4f7 6p. En la figura se representan los distintos niveles que surgen de la configuracin excitada en funcin de los valores posibles del momento angular J. a) Suponer vlido el esquema de acoplamiento LS y asignar los niveles de energa. Discutir la validez de este esquema de acoplamiento. b) Proponer, si procede, una asignacin basada en un acoplamiento J1-j. (J1 es el momento angular electrnico total asociado a la configuracin 4f7). Discutir tambin esta propuesta.

V. VI. 18.- La configuracin fundamental del tomo de calcio es [Ar] 4s2. Los primeros niveles de energa del tomo son (en cm-1): 0, 15157.901, 15210.063, 15315.943, 20335.360, 20349.260, 20371.000, 21849.634, 23652.304. El origen de energa se toma en el nivel fundamental. a) Proponer una asignacin de los trminos sabiendo que este tomo est bien descrito por un acoplamiento LS. b) Estudiar la paridad de los tres primeros trminos excitados.


c) Obtener una base del subespacio propio asociado al trmino correspondiente a 20335.360 cm-1 escribiendo las funciones de onda correspondientes en funcin de determinantes de Slater. d) En el artculo publicado por A. Mortensen et al. Phys. Rev. A 69, 042502, (2004) se ha estudiado experimentalmente la estructura hiperfina y el desplazamiento isotpico de la segunda lnea de la serie principal de singletes del espectro de absorcin utilizando un dispositivo lser y con una muestra con composicin isotpica natural del Ca. La transicin se produce a la longitud de onda nm272 . La muestra est formada por istopos con masa, en u.m.a., M=40, el ms abundante, M=42, 43, 44, 46, y 48. De todos ellos, slo el de masa impar tiene un momento magntico no nulo correspondiente al spin nuclear I = 7/2. i) Suponiendo que el desplazamiento isotpico es normal (efecto que se debe a la variacin de la constante de Rydberg con la masa del ncleo), estimar el orden de magnitud del mismo y la separacin isotpica relativa con respecto a la transicin asociada al istopo ms abundante. ii) Estudiar el multiplete hiperfino asociado a la citada transicin sabiendo que la constante de estructura hiperfina del nivel de llegada vale MHzA 40 . Supngase que el multiplete hiperfino se debe solamente al acoplamiento magntico con el ncleo.

V. VI. 19. En la figura se presenta el espectro experimental de estructura hiperfina obtenido con espectroscopa laser libre de efecto Doppler correspondiente a la transicin entre el trmino fundamental 4f76s2 8S7/2 y el excitado 4f76s6d 8D11/2 del europio. Las frecuencias de los distintos picos, en GHz, denotados (entre parntesis) segn aparecen en el registro experimental son: 21,96 (3); 19,14 (4); 15,61 (5); 11,76 (a), 11,37 (6); 10,51 (b); 8,94 (c); 7,06 (d); 6,42 (7); 4,86 (e); 2,35 (f); 0,77 (g). El europio tiene dos istopos de nmeros msicos 151 y 153 que se presentan en una mezcla natural con porcentaje de abundancia ligeramente superior a favor del istopo 153. Asignar el espectro medido y obtener el valor del spin nuclear de los dos istopos del europio. Como primera hiptesis de trabajo, agrpense las lneas correspondientes a cada una de las especies isotpicas en funcin del etiquetado (letras o nmeros). Ayudas: IJAH hf

rr.= . La constante de estructura hiperfina del trmino fundamental del

europio es A(8S7/2 ) = 20 MHz. Considrese que A(8D11/2 )>> A(8S7/2 ).


I._Interaccion_materia-radiacion.pdfII._Atomos_de_un_solo_electron.pdfIII._Atomos_de_dos_electrones.pdfIV._Atomos_polielectronicos.pdfV.Correcciones_a_la_aproximacion_de_campo_central.pdfVI._Espectros_de_atomos_polielectronicos.pdfVII._Atomos_en_campos_externos.pdf

FISICA ATOMICA - Apuntes

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