Determinacion Numerica de Eigenvalores y Eigenvectores.

Jose Mara Rico Martnez

Departamento de Ingeniera Mecanica.

Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.

Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.

CP 36730, Salamanca, Gto., Mexico

Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.

E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx

1Introduccion

Estas notas tienen como objetivo presentar los conceptos fundamentales de la teora de Eigenvalores y Eigen-vectores, tambien conocidos como valores y vectores caratersticos o como valores y vectores propios, de una matriz cuadrada, as como una revision somera de los metodos numericos empleados para su determinacion.

2Establecimiento del problema y definiciones.

Considere una matriz A nn dada por

a11

a12

a13

. . . a1n

a21

a22

a23

. . . a2n

a31

a32

a33

. . . a3n

(1)

A =

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

an1

an2

an3

. . . ann

n

Definicion: Eigenvalor y Eigenvector. Un vector b

que b = 0, se dice que es un eigenvector,

, tal 1

vector propio o vector caracterstico, de la matriz A si y solo si

donde

C.

(2)

Ab = b,

Ademas, se dice que el escalar es el eigenvalor, valor propio o valor characteristico de la matriz A

asociado al eigenvector b; de manera recproca, se dice que b es un eigenvector de A asociado al eigenvalor . Debe notarse que, aun cuando la matriz A es real, los eigenvalores asociados a la matriz pueden ser numeros complejos.

Teorema I. El conjunto de todos los eigenvectores b asociados al eigenvalor constituyen un subespacio

vectorial de n , concido como el eigenespacio asociado al eigenvalor .

Prueba: Es suficiente mostrar que el conjunto de vectores

n

|

E = {b

Ab = b}

esta cerrado respecto a la adicion de vectores y la multiplicacion por escalar.

1Debe notarse que la ecuacion (2) requiere necesariamente que la matriz deba ser cuadrada.

1

E, por lo tanto

1. Sean b1

, b2

y

Ab1

= b1

Ab2

= b2

Puesto que la multiplicacion de matrices es una operacion lineal, se tiene que

A b1 + b2 = Ab1 + Ab2 = b1 + b2 = b1 + b2

por lo tanto, el conjunto esta cerrado respecto de la adicion.

E y , por lo tanto

2. Sea b1

Ab1

= b1.

Puesto que la multiplicacion de matrices es una operacion lineal, se tiene que

A b1 = Ab1 = b1 = b1 = b1 .

por lo tanto, el conjunto esta cerrado respecto a la multiplicacion por escalar.

Estas dos pruebas parciales verifican que el conjunto de todos los eigenvectores asociados al eigenvalor

b

constituyen un subespacio vectorial de n

Considere ahora la ecuacion (2), que puede reescribirse de la siguiente forma

o

o

(3)

Ab = b,

Ab = Inb,

[A In] b

= 0

donde In es la matriz identidad de orden n. Puesto que, por definicion, b = 0, la unica posibilidad para que

la ecuacion (3) se satisfaga es que, la matriz [A In] sea singular y que sea un elemento del espacio nulo o

b

kernel de la matriz. Una condicion necesaria y suficiente para que la matriz [A In] sea singular es que su determinante sea cero; es decir

p() =| A In |= 0.

(4)

Expandiendo el determinante de la ecuacion (4), se obtiene una ecuacion polinomial real de n-esimo orden en . Esta ecuacion se denomina la ecuacion caracterstica de la matriz A. Las raices de la ecuacion caracterstica son los eigenvalores de la matriz y los vectores que satisfacen la ecuacion (3) son los eigenvectores asociados a los eigenvalores respectivos.

Es importante senalar que si la matriz A es real, la ecuacion caracterstica de orden n es real. Del teorema fundamental del algebra, se sabe que la ecuacion (4) tiene n raices cuando se analiza en el campo de los numeros complejos, tomando en cuenta la multiplicidad de una raiz; es decir, cuantas veces aparece como repetida una raiz. Ademas, si la ecuacion (4) tiene una raiz compleja o imaginaria, el complejo conjugado de esa raiz, tambien es raiz de la ecuacion. En otras palabras, las raices complejas o imaginarias de una ecuacion polinomial real siempre aparecen como pares conjugados.

Metodo directo de determinacion de los eigenvalores y eigenvec-tores de una matriz.

Las observaciones indicadas al termino de la seccion 2, constituyen las bases de la determinacion de eigenvalores y eigenvectores por el metodo directo. Los pasos necesarios para esta determinacion se indican a continuacion.

1. Determine la ecuacion caracterstica de la matriz; es decir determine

p() =| A In |= 0.

2. Encuentre las n raices de la ecuacion caracterstica. Estas raices son los eigenvalores de la matriz.

2

3. Para cada uno de los eigenvalores determine el subespacio solucion de la ecuacion

[A In] b = 0.

Estos subespacios solucion constituyen el eigenespacio asociado al eigenvalor .

Ejemplo 1.

Considere la matriz dada por

82 4 1

A =

2

6 2 1

4 3 8 0

2 3 4 5

La ecuacion caracterstica de la matriz A esta dada por

0 =| A I4 |= p() = 1636 + 756 49 2 11 3 + 4

La figura 1 muestra la grafica de la ecuacion caracterstica, es evidente, de la figura que existen 4 raices reales Las raices de la ecuacion caracterstica y, por lo tanto, los eigenvalores de la matriz A estan dadas por

2,000

1,000

lambda

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

0

1,000

2,000

3,000

4,000

Figure 1: Grafica de la Ecuacion Caracterstica de la Matriz A.

1 = 8.382430513, 2 = 3.094656787, 3 = 6.339424118, 4 = 9.948349608.

Para la determinacion de los eigenvectores asociados a 1 = 8.382430513, se tienen que realizar los siguien-tes calculos.

1. Determinar la matriz A 1 I4, dada por

16.38243051

2

4

1

2

14.38243051

2

1

A

1 I4

=

4

3

0

0.382430513

2

3

4

13.38243051

3

2. Obtener la forma escalonada reducida de la matriz A 1 I4, dada por

16.38243051

2.0

4.0

1.0

0

14.13826650

2.488328029

0.8779179928

0

0

13.30306562

5.059299318

0

0

0

0.0000000009

Este resultado parece contradictorio, si los calculos se hubieran realizado de manera exacta, la matriz A 1 I4 debe ser singular, y el termino (4, 4) de la forma escalonada reducida debera ser igual a 0. La diferencia es el resultado de no realizar los calculos de manera exacta.

3. Despreciando el error indicado en el punto anterior, el eigenvector asociado al eigenvalor 1 esta dado por la solucion del sistema

16.38243051

2.0

4.0

1.0

x1

0

0

14.13826650

2.488328029

0.8779179928

x2

=

0

x

3

0

0

0

5.059299318

13.30306562

x4

La solucion esta dada por

T b1 = 0.2453188593 0.1996149746 1 0.3803107842 .

Es importante senalar que cualquier multiplo escalar de es igualmente un eigenvector de la matriz A b 1

asociado al eigenvalor 1.

Procediendo de manera semejante con los restantes eigenvalores, se tiene que

1.

Para 2

= 3.094656787, se tiene que

b2 =

0.06478833904

0.4579574956

0.1004735120

1

T .

2.

Para 3

= 6.339424118, se tiene que

b3 =

0.5802494150

0.2153771052

0.1168015068

1

T .

3.

Para 4

= 9.948349608, se tiene que

b4 =

1 0.3756429166 0.2856490351 0.05446763308

T .

Determinacion de Eigenvalores y Eigenvectores de Matrices Si-metricas.

Esta seccion inicia definiendo de manera formal una matriz simetrica.

Definicion. Una matriz A nn se dice que es simetrica, si y solo si, su transpuesta es igual a la matriz

original, es decir:

AT = A.

Si la matriz cuyos eigenvalores y eigenvectores se desea determinar es simetrica, entonces es posible encontrar interesantes resultados teoricos que simplifican esa determinacion. Por ejemplo, en la seccion 2, se coment que

4

los eigenvalores de una matriz real pueden ser reales o complejos, sin embargo, si la matriz es simetrica, puede probarse que todos sus eigenvalores son reales. Sin embargo, para probar estos resultados, es necesario emplear algunos resultados acerca de matrices definidas sobre el campo de los numeros complejos y de espacios vectoriales complejos.

Definicion. Considere el espacio vectorial Cn , definido sobre el campo de los numeros complejos, C, es posible definir la siguiente forma cuadratica

q : Cn q(v) = vv,

donde la barra indica la transpuesta conjugado del vector.

Es necesario probar que la imagen de este mapeo es efectivamente un numero real

n

n

n

q(v) =

T v =

j vj =

v

(aj + i bj )(aj + i bj ) = (aj2 + bj2)

v

j=1

j=1

j=1

Teorema II. La forma cuadratica definida en la definicion anterior es positiva definida. Prueba: Es evidente que

q(v) 0 v Cn .

En particular, si q(v) = 0, entonces

n

aj = bj = 0j = 1, 2, . . . , n.

(aj2 + bj2) = 0

j=1

Por lo tanto,

q v v .

( ) = 0= 0

Ahora se analizaran algunas propiedades de matrices complejas.

Definicion. Considere el algebra de matrices cuadradas, Cnn, definidas sobre el campo de los numeros complejos. Una matriz A Cnn se denomina hermitiana si

A = A.

Donde, A representa la transpuesta conjugada de la matrix A. Es decir, una matriz es hermitiana, si la matriz es igual a su transpuesta conjugada.

Puesto que el campo de los numeros reales es un subcampo de los numeros complejos, < C, entonces si a , entonces a = a, y se tiene el siguiente resultado.

Teorema III. Una matriz simetrica, real, es una matriz hermitiana.

Prueba: Suponga que A nn < Cnn es simetrica, entonces A = AT , y se tiene que

A = AT = A.

por lo tanto es hermitiana.

Teorema IV. Sea A Cnn una matriz hermitiana. Entonces

x A x es un numero real para todo x Cn , y

Todos los eigenvalores de A son reales.

Prueba: Para la primera parte, considere el numero complejo

x A x = x A x = x A x

5

puesto que el numero complejo satisface la propiedad de que su conjugado es igual al numero, entonces el numero complejo es, en realidad, un numero real.

Para la segunda parte considere, un eigenvalor de la matriz A hermitiana y sea x un eigenvector de A asociado a y con la propiedad que su forma cuadratica q(x) = x x = 1, entonces

Ademas

A x = x

= x x = x x = x A x.

Debe notarse que por el primer resultado de este teorema es un numero real.

Debe recordarse que como indica el Teorema III, todas las matrices simetricas son hermitianas, de manera que todos los resultados del Teorema IV son aplicables a todas las matrices simetricas.

Puede, ademas, mostrarse que si la matriz es simetrica los eigenvectores son ortogonales, sin embargo, la prueba de este resultado requiere de conceptos bastante mas complicados.

Ejemplo 2.

Considere la matriz dada por

82 4 1

A =

2

6 2 1

4 2 8 0

11 0 5

La ecuacion caracterstica de la matriz A esta dada por

0 =| A I4 |= p() = 2444 + 946 60 2 11 3 + 4

La figura 2 muestra la grafica de la ecuacion caracterstica, es evidente, de la figura que existen 4 raices reales Las raices de la ecuacion caracterstica y, por lo tanto, los eigenvalores de la matriz A estan dadas por

3,000

2,000

1,000

lambda

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

Figure 2: Grafica de la Ecuacion Caracterstica de la Matriz A.

6

1 = 9.325502313, 2 = 4.446795311, 3 = 5.915205526, 4 = 9.963501476.

Para la determinacion de los eigenvectores asociados a 1 = 9.325502313, se tienen que realizar los siguien-tes calculos.

1. Determinar la matriz A 1 I4, dada por

17.32550231

2

4

1

2

15.32550231

2

1

A

1 I4

=

4

2

0

1.325502313

1

1

0

14.32550231

2. Obtener la forma escalonada reducida de la matriz A 1 I4, dada por

17.32550231

2.0

4.0

1.0

0

15.09462877

2.461747074

0.8845632315

0

0

14.21594747

0.0866122253

0

0

0

0.00000000332

Este resultado parece contradictorio, si los calculos se hubieran realizado de manera exacta, la matriz A 1 I4 debe ser singular, y el termino (4, 4) de la forma escalonada reducida debera ser igual a 0. La diferencia es el resultado de no realizar los calculos de manera exacta.

3. Despreciando el error indicado en el punto anterior, el eigenvector asociado al eigenvalor 1 esta dado por la solucion del sistema

17.32550231

2.0

4.0

1.0

x1

0

0

15.09462877

2.461747074

0.8845632315

x2

=

0

x

0

0

14.21594747

3

0

0.0866122253

x4

La solucion esta dada por

T b1 = 0.2500102856 0.1627305853 1 0.006092610111 .

Es importante senalar que cualquier multiplo escalar de es igualmente un eigenvector de la matriz A b 1

asociado al eigenvalor 1.

Procediendo de manera semejante con los restantes eigenvalores, se tiene que

1.

Para 2

= 4.446795311, se tiene que

b2 =

0.07156723992

0.4816374493 0.05439198782

1

T .

2.

Para 3

= 5.915205526, se tiene que

b3 =

0.5818315235

1

0.3109782378

0.4569120971

T .

3.

Para 4

= 9.963501476, se tiene que

b4 =

1 0.4961701156

0.1674317099

0.3014344054

T .

7