Física cuántica COMPLETO - Robert Martin Eisberg, Robert Martin Resnick

823
física cuántica ÁTOMOS, MOLÉCULAS, SÓLIDOS, NÚCLEOS Y PARTÍCULAS Eisberg •Resnick K K K K m ¡lil HLIMUSA WILEY© B&K

Transcript of Física cuántica COMPLETO - Robert Martin Eisberg, Robert Martin Resnick

  • fsica cunticaTOMOS, MOLCULAS, SLIDOS, NCLEOS Y PARTCULAS

    Eisberg Resnick

    K K

    K K

    m l i l

    HLIMUSA WILEYB&K

  • H^HTSJUs^ rm

    i \ >

    JUinx\ vj n \ r

    i r K l v

    v \ i i , x \ i \ i \* UN

    MTEMAS QUE TRATA LA OBRA:

    - Radiacin trmica y el postulado de Planck

    - FotonesPropiedades corpusculares de la radiacin

    - Postulado da BrogliePropiedades ondulatorias de las partculas

    - Teora de Schrdinger de la mecnica cuntica

    - tomos con un electrn

    - Momentos magnticos dipolares, spiny razones de transicin

    - tomos multielectrnicosEstados base y excitaciones de rayos X

    - tomos multielectrnicosExcitaciones pticas

    - Estadstica cuntica

    - Molculas

    - SlidosConductores y semiconductores

    - SlidosSuperconductores y propiedades magnticas

    - Modelos nucleares

    - Partculas elementales

    - Apndices de Ja A a la N

    r K i a tn\ s! n y

    Ni

    1X1 rr o j i

    l'T'Tl

    N I L V

    ' T i l U \ N

    \

    'v f l

    XNiNN [KrNiK 1 A ' A r""7\ r l ' n \ j I KT v r l

    B&K

  • fsica. cunticaTOMOS, MOLCULAS, SOLIDOS, NUCLEOS Y PARTICULAS

    Robert EisbergU niversidad d e Californ ia , Santa Brbara

    y

    Robert ResnckInslifulo P o litcn ico P en sse lacr

    VA LIMUSANORIEGA EDITORES

    M X IC O Espaa Venezuela * Colombia

    B&K

  • V e r s i n a u t o r iz a d a e n e s p a o l d e la o b r aPUBLICADA EN INGLS CON EL TTULO!QUANTUM PHYSICS OF ATOMS, MOLECULES.SOLIDS, NUCLEI AND PARTIOLES J o h n W ile y & S o n s , In c .

    C o l a b o r a d o r e n la t r a d u c c i n :LEONEL COTA ARAIZAFsico in v e s t ig a d o r en e l I n s t i t u t o de F s i c a yPRO FESO R EN LA FACULTAD DE C lEN C IA S DE LAU n iv e r s id a d N a c io n a l A u t n o m a d e M x ic o . M a e s t r a y d o c t o r a d o e n f s ic a d e s o l id o s p o rla U n iv e r s id a d d e W a r w ic k , In g l a t e r r a ..

    R e v is i n :GUILLERMO AGU1LAR SAHAGND o c t o r en f s ic a . In v e s t ig a d o r en e l In s t it u t o d eF s ic a y p r o f e s o r en la F a c u lt a d d e C ie n c ia s d e laU n iv e r s id a d N a c io n a l A ut n o m a d e M x ic o .

    L a p r e s e n t a c i n y d is p o s ic i n en c o n ju n t o df.

    FSICA CUNTICA. to m o s , MOLCULAS,S L ID O S , N C L E O S Y P A R T C U L A S

    SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NlNGUNA PARTE DE ES AOBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA O MTODO. ELECTRONICO O MECNICO (INCLUYENDO EL FDTOCOPAOO, LA GRABACIONO CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACION Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACIN), SIN CONSENTIMIENTO PORESCRITO DEL EDITOR.

    D e r e c h o s r e s e r v a d o s :

    2000. EDITORIAL LIMUSA, S.A. de C.V.GRUPO NORIEGA EDITORESBalderas 9 5 , M xico , D F.C P . 0 6 0 4 0' t (5 )5 2 1 - 2 1 - 0 5

    0 1 ( 9 0 0 ) 7 - 0 6 - 9 1 - 0 0( B l ( 5 )5 1 2 - 2 9 - 0 3w limosa nonega.com mxi www.noriega.com.mx

    C A N IE M N u m . 121

    D e c im o q u in t a r e im p r e s i n

    H e c h o en M x ic oISBN 968-16-0419-8

    B&K

  • Prlogo

    El propsito bsico de este libro es presentar el estudio claro y vlido de las propiedades de la gran mayora de los sistemas cunticos importan tes desde el punto de vista de la mecnica cuntica elemental. Slo se desarrolla la mecnica cuntica necesaria para cumplir este fin. Por lo tanto, hemos decidido hacer nfasis en las aplicaciones de la teora ms que en la teora misma. De esta manera, esperamos que el libro se adapte bien a las necesidades de los estudiantes contemporneos en un curso que trate sobre los fenmenos de Ja fsica cuntica. A la vez que los estudiantes adquieren una perspectiva de las grandes aplicaciones de la mecnica cuntica, se vern motivados a aprender ms acerca de La teora. Por lo tanto, esperamos que el libro tambin se adapte bien a un curso que vava seguido por otro ms avanzado sobre mecnica cuntica formal.

    En principio, el libro est pensado para usarse en un curso anual con estudiantes que ya hayan estudiado los conceptos elementales del clculo diferencial e integral v la fsica clsica que los utiliza, aunque tambin se puede usar en cursos ms cortos. En los captulos del 1 al Ase presentan los distintos fenmenos de la fsica cuntica moderna y se desarrollan las ideas esenciales de la teora cuntica antigua. Estos captulos se pueden cubrir muy rpidamente, sobre todo con aquellos estudiantes que bar recibido una introduccin previa a la fsica cuntica. La clave de la mecnica cuntica y sus aplicaciones a Jos tomos con uno y dos electrones se encuentra en Jos captulos del 5 al R y las cuatro primeras secciones del captulo 9. Es posible cubrir bien esta parte en menos de un semestre. Por lo tanto, el profesor puede formar una gran variedad de cursos cortos aadiendo a este material central algunos de los lemas que se presentan de manera independente en otros captulos como son: tomos inullielec- Irnicos y molculas, estadstica cuntica y slidos, ncleos y partculas,

    Los profesores (pie requieren un tratamiento similar de la mecnica cuntica, pero ms exlensn v a mayor nivel, y quienes puedan usar un tratam iento ms formal de las aplicaciones de la teora, pueden u sa ren vez de este lihro el texto "FUNDAM ENTOS DE FISICA MODERNA por Robert Eisherg {Editorial LIMUSA, 1973). A los prof esores que requieran nn estudio ms completo de la relatividad especial que el que se expone en

    5B&K

  • 6 (ROI OCjQ

    (.4 apndice A, pero sim ilar en nivel y estilo pedaggico al p resen tado en este l ibro , les reeo me miamos usar com o com plem ento el texto " IN T R O D U CCIO N A LA TKORIA E SPEC IA L DE LA R E L A T IV ID A D " por Roherl Resniok (Editorial LIM LSA, 1977).

    M ediante un experim ento que consisti en realizar p ruebas in tensivas con los a lu m n o s de nuestras respectivas insl t i ldones as como en otras cu a tro esencias desarrollarnos u n a serie de ediciones prelim inares. D u ran te este proceso R obert Eisberg com plet este libro m edian te una revisin exliausliva y u n a ex tens in considerab le de la ltim a edicin preliminar. Por lo tan to , l es el au to r principa! de esta obra. P o r su pa ite . Kobeit kesmek ha Lomado la iniciativa de revisa: y extender la ultim. edicin preliminar con el fin de p iepa ta r el m anuscrito pura un libro di: fsica m oderna a u n nivel u n poco inferior. Por tanto, l sera ese au to r principal de este libro.

    Las carac ters ticas pedaggicas del libro, a lgunas de las cuales no se en cu en tran por lo general en libros de este nivel, dem ostra ron ser muy eficientes cuando se probaron en el aula. Estas caractersticas son : descripciones detalladas al principio de caria captu lo , num erosos ejemplos resueltos, secciones opcionales en los captu los y apndices tambin opcionales: re sm enes y tablas, co n ju n to s de p regun tas al final de cada captulo y con junto? extensos y variados de problemas cu idadosam ente verificados al final de cada captulo con snben n ju n to s de respuestas al final del libro. Por lo tanto , pensamos que este libro es adecuado tan to para cursos de autoapj 'endu.ajr como para cursos autorregiilados.

    l iem os empleado el sis tem a de unidades M KS (o SI) pero de ura m anera flexible, donde la experiencia en un campo particu la r lo indica se bar utilizado unidades a lternativas .

    Es una gran satisfaccin expresar nu es tro agradecim iento a los D octores Harriet Forsler , Ruste!! llobbie , S tua r t M eyer, G erhard Saiingcr y Paul Yergin por sus revisiones construc tivas , al D octo r David Syledlow por su ayuda en la evaluacin v solucin d lo s problem as, al D octo r Benjamn Cbi por su ayuda con las liguras, al seor Dimald Deneck por su ayuda editorial y a las seoras Cnssie Young y Carolyn C lem ente por el trabajo de mecanografa y o tros servicios secretariales.

    Santa Brbara, Gal forma Trov, Nueva York

    R ofm t Fisberp Rohr.ri Resnick

    B&K

  • Contenido

    1

    R a d ia c i n trm ica y e l p o s tu la d o d e P la n c k 17

    1-1 Introduccin 191-2 Radiacin trmica 191-3 Teora clsica de la cavidad radiante 241-4 Teora de Planck de la cavidad radiante 311-5 Aplicacin de la ley de Planck de la radiacin en termometra 381-6 El postulado de Planck y sus implicaciones 391-7 Breve historia del quantum 41

    2F o to n e s P r o p ie d a d e s c o r p u s c u la r e s d e la r a d ia c i n 4 5

    2-1 Introduccin 472-2 El efecto fotoelctrico 472-3 Teora cuntica de Enstcn dd dedo oioddeo 502-4 El efecto Compton 552-5 Naturaleza dual de la radiacin electromagntica 612-6 Fotones y emisin de rayos X 622-7 Produccin y aniquilacin de pares 652-8 s Secciones transversales para absorcin y dispersin de fotones 70

    P o s tu la d o d e d e B r o g lie . P r o p ie d a d e s o n d u la to r ia sd e la s p a r tc u la s 7 9

    3-1 Ondas de materia 813-2 Dualidad onda-partcula 883-3 El principio de incertidumbre 913-4 Propiedades de las ondas de materia 953-5 Algunas consecuencias del principio de incertidumbre 1053-6 Filosofa de la teora cuntica 106

    7

  • 8 CONTENIDO

    4

    4-14-24-34-44-54-64-74-84-94-104-114-12

    5-15-2

    5-35-45-55-65-75-8

    6-16-26-36-46-56-66-76-86-96-10

    7-17-2

    M od elo a t m ico d e B o h r

    Modelo de Thomson 115M odelo d e R u th e r f o r d 119E stab i l id ad del to m o n u c le a r 126E s p e c t ro s a t m ic o s 126P o s tu la d o s de B o h r 129M odelo de B o h r 130C o r re c c i n po r m asa n u c le a r f in i ta 136E s ta d o s de ene rg a a t m ic a 139I n te r p r e ta c i n de las reg las de c u a n t iz a c i n 142M odelo de S o m m e rfe ld 146El p r in c ip io de c o r r e s p o n d e n c ia 149U n a c r t ic a a la t e o r a c u n t i c a a n t ig u a 151

    5T e o r a d e S c h r d in g e r d e la m ec n ic a cu n tica

    I n t r o d u c c i n 159A r g u m e n to s de p laus ib il idad q u e c o n d u c e n a la e c u a c i n de S c h r d in g e r 162I n te r p r e ta c i n de B orn de las f u n c io n e s d e o n d a 169V alo res de e x p e c ta c i n 176La e c u a c i n de S c h r d in g e r in d e p e n d ie n te del t iem p o 187P ro p ie d a d e s re q u e r id a s p a ra las e ig e n fu n c io n e s 192C u a n t iz a c i n de la en e rg a en la te o r a de S c h r d in g e r 194R e s u m e n 203

    6S o lu c io n e s a las e c u a c io n e s d e S c h r d in g e r

    in d e p e n d ie n te s d e l tiem p o

    In t ro d u c c i n 217El p o ten c ia l c e ro 218P o te n c ia l e sca l n (ene rg a m e n o r q u e la a l tu r a del esca ln ) P o te n c ia l e sca l n (energ a m a y o r q u e la a l tu r a del e sca l n )La b a r r e r a de p o ten c ia l 2 4 0E jem p lo s de p e n e t r a c i n d e b a r re ra por p a r t c u la s 247P o te n c ia l de pozo c u a d ra d o 251P o te n c ia l de pozo c u a d ra d o in f in i to 257P o te n c ia l de o sc i lad o r a rm n ic o s im p le 265R e su m e n 2 6 9 _

    A tom os c o n u n e le c tr n

    In t ro d u c c i n 2 7 9D esa rro l lo de la e c u a c i n de S c h r d in g e r 280

    1 1 3

    1 5 7

    2 1 5

    2242 3 4

    277

  • CONTENIDO 9

    7-3 S eparac in de la ecu ac i n in d e p e n d ie n te del tiem po 2827-4 So luc in de las ecu ac io n es 2847-5 E igenva lo res , nmeros cunticos y degeneracin 2867-6 E ig en fu n c io n es 2897-7 D ensidades de probabilidad 2927-8 Im pulso an g u la r orbita l 3037-9 E cuac iones de e igenva lo res 308

    8M om entos m agn tico s d ip o la res, sp in y

    razones d e tran sic in

    8-1 In t ro d u c c i n 3178-2 M om en tos m agnticos d ipo la res orb ita les 3178-3 E x p e r im en to de S te rn -G erlach y spn del e lec tr n 3228-4 In te ra c c i n sp n - rb ita 3288-5 M om en to ang u la r to ta l 3318-6 E nerg a de in te racc i n sp n - rb ita y niveles de energ a

    del h id rgeno 3358-7 Razones de t rans ic in y reglas de selecc in 3408-8 C om parac in e n t re las teo ras cu n t icas an t ig u a y m o d e rn a 347

    9A tom os m u ltie lec tr n ico s-e sta d o s base y

    e x c ita c io n e s d e rayos X

    9-1 In tro d u c c i n 3559-2 P a r t c u la s idn ticas 3569-3 El p r incip io de exc lus in 3629-4 El tom o de helio y las fuerzas de in te rcam bio 3659-5 T eora de H ar tree 3749-6 R esu ltados de la teo r a de H ar tree 3789-7 Estados base de tom os m u lt ie le c tr n ic o s y la tabla

    perid ica 3859-8 E sp ec tro s de lneas de rayos X 393

    10

    A tom os m u ltie le c tr n ic o s -e x c ita c io n e s p tica s

    10-1 In t ro d u c c i n 40710-2 A tom os a lca l inos 40810-3 A tom os con varios e lec tro n es p t icam en te activos10-4 A coplam ien to LS 41610-5 Niveles de energ a del tom o de ca rb o n o 42210-6 El e fec to Z eem an 42510-7 R esum en 432

    3 1 5

    3 5 3

    405

  • 10 CONTENIDO

    11-1m11-311-411-511-6

    11-711-811-911-101 1 - 1 1

    11-1211-13

    12-112-212-312-412-512-612-712-812-9

    13-113-213-313-413-513-613-713-813-9

    11

    E sta d s tic a cu n tica

    I n t r o d u c c i n 4 3 9IndslinguibiMad y esadsica cuntica 440F u n c io n e s de d i s t r ib u c i n c u n t i c a s 44 4C o m p a ra c i n d e las fu n c io n e s de d i s t r ib u c i n 4 4 7C a lo r e spec f ico de u n s lido c r i ta l in o 452La d is t r ib u c i n de B o l tzm an n com o u n a a p ro x im a c i na las d i s t r ib u c io n e s c u n t ic a s 4 5 6El lser 45 7Gas de fo to n e s 463Gas de fo n o n e s 4 6 4C o n d e n sa c i n de Bose y Helio l qu ido 465El gas de e le c t ro n e s l ib res 471P o ten c ia ] de c o n ta c to y em is i n te rm i n ic a 4 7 4D e sc r ip c io n e s c ls ica y c u n t i c a del e s ta d o deun s is te m a 4 7 6

    12

    M o lcu la s

    I n t ro d u c c i n 485E n laces i n ico s 485E n laces c o v a le n te s 4 8 8E sp e c t ro s m o le c u la re s 492E sp e c t ro s ro ta c io n a le s 493E sp e c t ro s v ib ro - ro ta c io n a le s 496E sp e c t ro s e le c t r n ic o s 5 0 0El e fec to R a m a n 503D e te rm in a c i n del sp n n u c le a r y c a ra c te r s t ic a s de s im e tr a 504

    13S lid o s C o n d u cto re s y s e m ic o n d u c to r e s

    I n t r o d u c c i n 515T ipos de s lidos 515T e o r a de b an d as d e los s lidos 517C o n d u c c i n e lc tr ica en m e ta le s 522M odelo c u n t ic o del e le c t r n l ib re 524M o v im ien to de e le c t ro n e s e n u n a red p e r id ica 530M asa e fec t iv a 5 3 4S e m ic o n d u c to re s 538D ispo s i t iv o s s e m ic o n d u c to re s 544

    437

    4 8 3

    5 1 3

  • CONTENIDO 1 1

    14S l id o s S u p e r c o n d u c to r e s y p r o p ie d a d e s

    m a g n tic a s

    14-1 S u p e r c o n d u c t iv id a d 55714-2 P r o p ie d a d e s m a g n t ic a s de s l id o s 5 6 614-3 P a r a m a g n e t i s m o 5 6 714-4 F e r r o m a g n e t i s m o 57114-5 A n t i f e r r o m a g n e t i s m o y f e r r im a g n e t i s m o 577

    15M o d elo s n u c le a r e s

    15-1 I n t r o d u c c i n 58515-2 G e n e ra l id a d e s s o b re a lg u n a s p ro p ie d a d e s

    n u c le a r e s 58715-3 D im e n s io n e s y d e n s id a d e s n u c le a r e s 59115-4 M asas n u c le a r e s y s u s a b u n d a n c ia s 59515-5 M o d e lo d e g o ta 6 0 415-6 N m e r o s m g ico s 6 0 715-7 M o d e lo del gas de F e rm i 6 0 915-8 M o d e lo d e cap as 6 1 215-9 P r e d ic c io n e s de l m o d e lo de c a p a s 6 1 815-10 M ode lo c o le c t iv o 6 2 215-11 R e s u m e n 6 2 8 |

    D e c a im ie n to n u c le a r y r e a c c io n e s n u c le a r e s

    16-1 I n t r o d u c c i n 63516-2 D e c a im ie n to Alfa 63 516-3 D e c a im ie n to B e ta 64216-4 I n t e r a c c i n p o r d e c a im ie n to B e ta16-5 D e c a im ie n to G a m m a 6 6 016-6 El e fe c to M s s b a u e r 66616-7 R e a c c io n e s n u c le a r e s 6 6 916-8 E s ta d o s e x c i ta d o s de los n c le o s16-9 1 F is i n y r e a c to r e s 6 8 316-10 F u s i n y o r ig e n d e los e le m e n to s

    17-1 I n t r o d u c c i n 70117-2 F u e rz a s n u c le n ic a s 70117-3 Iso sp n 7 1 517-4 P io n e s 71717-5 M u o n e s 7 2 517-6 E x t r a e z a 7 2 7

    653

    67 9

    68817

    P a r tc u la s e le m e n ta le s

    5 5 5

    5 8 3

    6 3 3

    699

  • 1 2 CONTENIDO

    17-7 I n t e r a c c io n e s f u n d a m e n ta l e s y le y e s de c o n s e r v a c i n 732

    17-8 F am il ia s d e p a r t c u la s e le m e n ta le s 7 3 617-9 H ip e rc a rg a y C u a r k s 7 3 9

    A p n d ic e AT e o r a e s p e c ia l d e la re la tiv id a d

    A p n d ic e BR a d ia c i n d e u n a ca rg a a c e le r a d a

    A p n d ic e C D is tr ib u c i n d e B oltzm an ri

    A p n d ic e DT r a y e c to r ia s e n la d is p e r s i n d e R u th e r fo r d

    A p n d ic e E C a n tid a d e s c o m p le ja s

    A p n d ic e F

    S o lu c i n n u m r ic a d e la e c u a c i n d e S c h r o d in g e r in d e p e n d ie n te d e l t iem p o

    para u n p o te n c ia l d e p o z o c u a d r a d o

    A p n d ic e GS o lu c i n a n a lt ic a d e la e c u a c i n d e

    S c h r o d in g e r in d e p e n d ie n te e l t ie m p o para u n p o te n c ia l d e p o z o c u a d r a d o

    A p n d ic e HS o lu c i n en s e r ie d e la e c u a c i n d e

    S c h r o d in g e r in d e p e n d ie n te d e l t ie m p o para u n p o te n c ia l d e o s c ila d o r a r m n ic o s im p le

    A p n d ic e I

    E l la p la c ia n o y lo s o p e r a d o r e s d e im p u lso a n g u la r en c o o r d e n a d a s p o la r e s e s f r ic a s

    A p n d ic e J La p r e c e s i n d e T h o m a s

    7 4 9

    7 6 9

    7 7 3

    7 8 1

    7 8 5

    7 8 9

    7 9 5

    8 0 1

    8 0 7

    8 1 1

  • A p n d ic e KE l p r in c ip io d e e x c lu s i n e n e l a c o p la m ie n to L S 8 1 5

    A p n d ic e L R e fe r e n c ia s 8 1 9

    A p n d ic e M

    R e sp u e s ta s a p ro b lem a s s e le c c io n a d o s 8 2 1

    A p n d ic e NC o n sta n tes u su a le s y fa c to res d e c o n v e r s i n 8 2 3

    I n d ic e 8 2 5

    CONTENIDO

  • Radiacin trmica y el postulado de Planck

    i.X I n t r o d u c c i n 19

    Teora cuntica antigua; relacin en tre la fsica cuntica y la clsica; papel de la cons tan te de Planck.

    1.2 R a d ia c i n t r m ic a 19

    Propiedades de la radiacin trmica, cuerpos negros; radiancia espectral; f u n ciones de d istr ibucin; radiancia; ley de S tefan ; constan te de Stefan-Boltz- m ann ; ley de W ien; radiacin por una cavidad; densidad de energa; ley de Kir- chhoff.

    1.3 T e o r a c l s i c a d e la c a v id a d r a d i a n t e 2 1

    O ndas e lectrom agnticas en una cavidad; ondas es tacionarias; conteo de las frecuencias permitidas; equipartic in de la energa; constan te de Boltzmann; espectro de Ravleigh-Jeans.

    1.4 T e o r a d e P l a n c k d e la c a v id a d r a d i a n t e 31

    D istribucin de Boltzmann; energas discretas; violacin de la equipartic in; constan te de P lanck; espectro de Planck.

    1.5 A p l ic a c i n d e la ley d e r a d i a c i n d e P l a n c k en term om etra 3 8

    Pirm etros pticos; radiacin universal a 3K y la gran explosin .

    1.6 E l p o s tu l a d o d e P l a n c k y s u s im p l ic a c io n e s 3 9

    Definicin general del postulado; energas cuantizadas; estados cunticos; n m eros cun ticos; pndulo macroscpico.

    1 7

  • 1 .7 B r e v e h is to r ia d e l q u a n tu m 4 1

    Trabajo inicial de Planck; intentos de reconciliar la cuantizacin con la fsica clsica.

    P r e g u n ta s 4 1

    P r o b le m a s 4 3

    1 8 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLa NCK C ap . 1

  • IRadiacin trmica y el

    postulado de Planck

    1.1 I n t r o d u c c i nEn una reunin de la Sociedad Alemana de Fsica, el 14 de diciembre de 1900, Max Flanck ley un trabajo intitulado 'La teora de la ley de distribucin de energas del espectro normal . Este trabajo que en un principio atrajo poca atencin, fue el precursor de una revolucin en la fsica. La fecha de su presentacin se considera como el nacimiento de la fsica cuntica, a pesar de que fue hasta un cuarto de siglo despus, cuando Schrodinger y otros desarrollaron la mecnica cuntica moderna, base del conocimiento actual. Fueron muchos los caminos que convergieron en este conocimiento, cada uno de los cuales mostr distintos aspectos de las fallas de la fsica clsica. En ste y los siguientes captulos se examinarn los logros ms importantes de la que hoy se llama teora cuntica antigua y que dio origen a la mecnica cuntica moderna. Los fenmenos experimentales que se analizarn en relacin con la teora cuntica antigua, comprenden todas las disciplinas de la fsica clsica: mecnica, termodinmica, mecnica estadstica y electromagnetismo. La necesidad de una mecnica cuntica, se manifestar por la contradiccin sistemtica de las leyes clsicas respecto a dichos fenmenos y la solucin a esos conflictos en base a ideas cunticas. El estudio de la teora cuntica antigua permitir obtener, ms fcilmente, un conocimiento ms profundo de la mecnica cuntica cuando se inicie su consideracin en el quinto captulo.

    Como en el caso de la relatividad (que se trata brevemente en el apndice A), la fsica cuntica representa una generalizacin de la fsica clsica, que incluye a las leyes clsicas como casos particulares. As como la relatividad extiende el campo de aplicacin de las leyes de la fsica a la regin de altas velocidades, la fsica cuntica lo extiende a la regin de dimensiones pequeas; y as como la relatividad se caracteriza por una constante universal de significado fundamental, la velocidd de la luz c, as mismo la fsica cuntica se caracteriza por una constante universal de significado fundamental, que hoy se llama constante de Planck h. En su trabajo de 1900, Planck introdujo esta constante para tratar de explicar las propiedades observadas en la radiacin trmica. De esta manera se empezar el estudio de la radiacin trmica, que conducir a la constante de Planck y, relacionada con sta, al concepto cuntico de energa discreta. Tambin se ver que la radiacin trmica en s, es de gran importancia y actualidad, ya que. por ejemplo, este fenmeno lia ayudado recientemente a los astrofsicos a decidir entre varias teoras acerca del origen del universo.

    1.2 R ad iacin trm icaSe llama radiacin trmica, a la radiacin emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos emiten esta radiacin a su derredor, y la absorben de l. Si, en

    19

  • 2 0 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    un principio, el cuerpo est ms caliente que su alrededor, se enfriar , ya que la rapidez con que emite energa exceder la rapidez con que la absorbe. Cuando se alcanza el equilibrio trmico la rapidez de emisin y la de absorcin de energa sern iguales. La materia en un estado condensado (es decir, slido o lquido) emite un espectro de radiacin con tinuo . Ixjs detalles del espectro son casi independien tes del material particular del cual se com pone el cuerpo, pero dependen fuer tem ente de la tem pera tura . A tem peraturas ordinarias, la mayora de los cuerpos son visibles no por la luz que emiten sino por la luz que reflejan, ya que si no se hace incidir luz sobre ellos no es posible verlos. Sin embargo, a muy altas tem pera tu ras , los cuerpos son lum inosos por s mismos. En un cuarto obscuro se les puede ver brillar; pero an a tem peraturas de varios miles de grados Kelvin, ms del 90% de la radiacin trm ica emitida es invisible para noso tros , empezando por la parte co rrespond ien te al infrarro jo del espectro electromagntico. Por lo tan to , los cuerpos lum inosos por s mismos estn muy calientes.

    Por ejemplo, considere el calen tam iento en el fuego, de una barra de h ierro a tem peraturas cada vez ms altas, re tirando en forma peridica la barra del fuego, el tiempo suficiente para observar sus propiedades. Cuando la barra an est a tem peraturas re la tivam ente bajas, rada calor pero no est visiblemente caliente; conform e aum enta la tem pera tu ra , la cantidad de radiacin emitida por la barra aum en ta muy rpidam ente y empiezan a no tarse efectos visibles. 1.a barra empieza a verse de un color rojo opaco, despus adquiere un color rojo brillante y, a m uy altas tem peraturas , un in tenso color blanco azuloso. Es decir, a medida que aum enta la tem pera tu ra , el cuerpo emite ms radiacin trmica y la frecuencia de la radiacin ms in tensa se vuelve cada vez mayor.

    1.a relacin que existe en tre la tem pera tu ra de un cuerpo y el espectro de frecuencias de la radiacin emitida, se utiliza en un dispositivo llamado p irm etro ptico. Este dispositivo es esencialm ente un espectrm etro rud im entario que perm ite al operador estimar la tem peratura de un cuerpo caliente, como una estrella, observando el c o lo ro la composicin de frecuencias de la radiacin trmica que emite. Existe un espectro con tinuo de radiacin emitida, pero el ojo hum ano ve principalm ente el color co rrespond ien te a la emisin ms in tensa en la regin visible. El sol, tos filamentos de focos y carbones calientes, son ejemplos com unes de objetos que em iten radiacin visible.

    En trm inos generales, la forma detallada del espectro de radiacin trmica emitida por un cuerpo caliente, depende de la composicin del mismo. Sin embargo, experim enta lm ente se en cu en tra que solo hay una clase de cuerpos que em iten espectros trm icos de caractersticas universales. Estos son los llamados cuerpos negros* es decir, cuerpos cuyas superficies absorben toda la radiacin trmica que incide sobre ellos. El nom bre resulta apropiado puesto que dichos cuerpos no reflejan luz y, por tan to , se ven negros. Un ejemplo de un (casi) cuerpo negro, sera cualquier objeto cubierto con una capa difusa de pigmento negro, como negro-bismuto o negro- huino. Ms adelante se describi o tro ejemplo bastante diferente. Independien tem ente de los detalles de su composicin, todos los cuerpos negros a la misma tem pera tu ra emiten radiacin trmica con el mismo espectro. Este hecho general se puede en tender en base a a rgum entos clsicos que implican el equilibrio term odinm ico. Sin embargo, la forma especfica del espectro no puede ob tenerse solam ente de argum entos term odinm icos. Las propiedades universa les de la radiacin emitida por cuerpos negros los hacen objeto de un in ters terico especial y los fsicos siempre tra ta ro n de en co n tra r una explicacin a las caractersticas especficas de su espectro.

    1.a d is tribucin espectral de la radiacin de un cuerpo negro se especifica por la cantidad R t (v) , llamada radiancia espectral, definida tal que R r (v ) tlv e s igual a la energa emitida en forma de radiacin con frecuencias en el intervalo en tre v y v + ch de un rea unitaria de la superficie a tem pera tu ra absoluta T y por unidad de tiempo. En 1899, Lumrner y Pringsheim realizaron una de las prim eras mediciones precisas de esta cantidad. Utilizaron un ins trum ento esencia lm ente similar a los espectrm etros de prisma utilizados para medir espectros pticos, ex rep to que para los prismas, lentes, etc, se utilizaron materiales especiales, de m anera que

  • Sec. 1.2 RADIACION TERMICA 2 1

    0 1 2 3 4v(10MHz)

    FIG U R A 1-1Radiancia espectral de un cuerpo negro radiante como funcin de la frecuencia de radiacin, para temperaturas de 1000K y 2000K del cuerpo radiante. Obsrvese que la frecuencia a la que ocurre la mxima radiancia (lnea punteada), aumenta linealmente conforme la temperatura aumenta y que la potencia total emitida, por metro cuadrado del cuerpo radiante (rea bajo la curva), aumenta muy rpidamente con la temperatura.

    fueran transparen tes a la radiacin trmica de f recuencia re la tivam ente baja. En la figura 1-1 se indica la dependencia de R t (v) con T y r que se observa en los experim entos.

    Las funciones de distribucin, de las cuales es un ejemplo, la radiancia espectral son muy comunes en fsica. As por ejemplo, la funcin de distribucin de velocidades de Maxwell (que se parece a una de las curvas de la figura 1- 1) nos dice cmo se distribuyen las molculas de un gas a presin y temperatura fijas, de acuerdo con su velocidad. Otra funcin de distribucin, que probablemente el estudiante ha visto, es la que especifica el tiempo de decaimiento de ncleos radiactivos (que tiene la forma de una exponencial decreciente) en una muestra que contiene ncleos de una especie dada, y desde luego habr visto la funcin de distribucin correspondiente a las calificaciones obtenidas en un examen de fsica.

    La funcin de distribucin para la radiancia espectral de un cuerpo negro de rea dada y a una temperatura particular, sea 1 0 0 0K de la figura 1-1, muestra que: (1) la potencia emitida por un intervalo de frecuencias pequeo dv, es pequea si ese intervalo se encuentra a una frecuencia v muy pequea comparada con 1014 Hz. La potencia es cero para v igual acero. (2) La potencia radiada en el intervalo d v aumenta rpidamente a medida que v aumenta, partiendo de valores muy pequeos. (3) Alcanza un mximo para un valor de p ~ 1.1 X 1014 Hz. Es decir, la potencia radiada con mayor intensidad, ocurre a esa frecuencia. (4) Por arriba de 1.1 X 1014 Hz, la potencia radiada disminuye lenta pero continuamente conforme v aumenta. Se vuelve cero una vez ms, cuando v tiende a valores infinitamente grandes.

    Las dos funciones de distribucin, correspondientes a las temperaturas de 1500K y 2000K, que aparecen en la figura, muestran que; (5 ) la frecuencia para la cual la potencia radiada ocurre con mayor intensidad, aumenta, conforme la temperatura aumenta. Por inspeccin de la figura se puede verificar que esta frecuencia aumenta linealmente con la temperatura. (6 ) La potencia total radiada, en todas las frecuencias, aumenta conforme la temperatura aumenta, pero ms rpidamente que en forma lineal. La potencia total radiada a una temperatura particular, se obtiene sencillamente del rea bajo la curva correspondiente a esa temperatura, dv,ya q u eR ^iv )d v es la potencia radiada en el intervalo defrecuencias comprendido entre v y v 4 - dv.

  • 2 2 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    La integral de la radiancia espectral R T (v) sobre toda v , es la energa total emitida de un cuerpo negro a tem pera tu ra T, por unidad de tiempo y por unidad de rea. Se le llama lar a d i a n c i a , es decir,

    R T = j R T(v) dv (1-1)o

    Como se m encion en el estudio relacionado con la figura 1-1, R T au m en ta r a rpidam ente a medida que la tem pera tu ra aum enta . El resultado se conoce como ley de Stefan, y fue enunc iada por prim era vez en 1879, en forma de una ecuacin emprica:

    R t = o T A (1-2)

    donde

    o = 5.67 x 10-* W/m2-K 4

    es llamada constante de Stefan-Boltzmann . En la figura 1-1 tambin se m uestra que el espectro se desplaza hacia frecuencias mayores a medida que T aum enta . Este resultado se conoce como ley del desplazamiento de JVien:

    Vma'x ce T f 1 -3a)

    donde *Wx es la frecuencia para la cual / ^ ( ^ a l c a n z a su valor mxim o para u n a T particular. A medida que T a u m e n t a , s e desplaza hacia frecuencias mayores. Todos estos resultados con- cuerdan con las experiencias ya conocidas que se analizaron an te r io rm en te , a saber; que la r a diacin trm ica emitida aum en ta rpidam ente con la tem pera tu ra , (la barra de fierro radam ucha ms energa trmica a tem pera tu ras ms altas), y la frecuencia principal de la radiacin tambin aum en ta , conform e la tem pera tu ra aum en ta (la barra cambia de color, de rojo opaco a blanco azuloso).

    Otro ejemplo de un cuerpo negro, que como se ver resulta par t icu la rm ente im portan te , consiste en un objeto que contiene una cavidad y que se com unica con el exterior por medio de un pequeo agujero como se m uestra en la figura 1-2. La radiacin del exterior que incide sobre el agujero, penetra en la cavidad y se refleja hacia todos sentidos en las paredes de la cavidad, de modo que even tualm ente se absorbe en estas paredes. Si el rea del agujero es muy pequea, comparada con el rea de la superficie in terna de la cavidad, la radiacin reflejada hacia el exterior a travs del agujero ser despreciable. Esencialmente, toda la radiacin que incide sobre el agujero ser absorbida, por lo tan to , el agujero tendr todas las propiedades de la superficie de un cuerpo negro. La mayora de los cuerpos negros que se utilizan en los experim entos de laboratorio , se construyen a lo largo de estas lneas.

    Supngase que las paredes de la cavidad se calientan a una tem pera tu ra T, de modo que

    F I G U R A 1-2Cavidad en un cuerpo comunicada con el exterior por medio de un pequeo agujero. La radiacin incidente sobre el agujero es absorbida completamente despus de reflexiones sucesivas en las paredes internas de la cavidad.El agujero absorbe radiacin como un cuerpo negro. En el proceso inverso, por medio del cual la radiacin que sale por el agujero se constituye por contribuciones emitidas de la superficie interna, el agujero emite radiacincomo un cuerpo negro.

  • Sc. 1.2 RADIACION TERMICA 2 3

    emitirn radiacin trmica que llenar la cavidad. Una pequea fraccin de esta radiacin, que incida en el agujero, pasar por l, y as el agujero actuar como emisor de radiacin trmica. Como el agujero debe tener las propiedades de la superficie de un cuerpo negro, la radiacin que emite debe tener el espectro de un cuerpo negro; sin embargo, como el agujero simplemente muestrea la radiacin trmica dentro de la cavidad, resulta evidente que la radiacin en la cavidad tambin debe tener un espectro de cuerpo negro. De hecho, debe tener un espectro de cuerpo negro caracterstico de la temperatura T en las paredes, ya que sta es la nica temperatura que se define en el sistema. El espectro emitido por el agujero en la cavidad, se especifica en trminos del flujo de energa /?y(v). Sin embargo, resulta ms til especificar el espectro de la radiacin dentro de la cavidad, llamada radiacin de la cavidad, en trminos de una densidad de energa, p r ^ q u e se define como la energa contenida en una unidad de volumen de la cavidad a tem peratura T , en el intervalo de frecuencia entre t y v + dv. Es evidente que estas cantidades deben ser proporcionales entre s, es decir,

    p T (v) oc R t (v) ( 1-4 )

    Por lo tanto, la radiacin dentro de una cavidad cuyas paredes estn a tem peratura T, tiene el mismo carcter que la radiacin emitida por la superficie de un cuerpo negro a temperatura T. Experimentalmente, resulta conveniente producir un espectro de cuerpo negro, por medio de una cavidad en un cuerpo caliente con un agujero hacia el exterior, y tericamente tambin es conveniente estudiar la radiacin de un cuerpo negro, analizando la radiacin de una cavidad, ya que es posible aplicar argumentos muy generales para predecir las propiedades de la radiacin de una cavidad.

    E je m p lo 1-1. (a) Ya que v = c, la velocidad constante de la luz, la ley del desplazamiento de Wien(l-3a), tambin se puede escribir como:

    Amx T constante ( l '3b)

    donde es la longitud de onda para la cual, a una temperatura T particular, la radiancia espectralalcanza su valor mximo. El valor determinado experimentalmente para la constante de Wien es 2.898 X10-3 m-K.S se supone que las superficies de las estrellas se comportan como cuerpos negros, se puedeobtener una buena estimacin de su temperatura, midiendo ^mx- Para el sol, m'lJC= 5100 , mientras que para la estrella polar = 3500. Encuentre la temperatura de la superficie de estas estrellas. (Un angstrom = 1 = 10 10 m.)

    Para el sol, T= 2.898 X 10 3m-K%5100 X 10-10 m = 5700K. Para la estrella polar, 7=2.898 X 10-3 m- m-K3500 X 10-10 m = 8300K.

    A 5700K, la superficie del sol est a una temperatura muy cercana a la necesaria para que la mayor parte de su radiacin est en la regin visible del espectro. Lo anterior sugiere que durante las etapas de la evolucin humana, nuestros ojos se Han adaptado al sol, hacindose ms sensibles a aquellas longitudes de onda que emite con mayor intensidad.

    b) Utilizando la ley de Stefan, (1-2), y las temperaturas recin obtenidas; determinar la potencia radiada por 1 cm2 de superficie estelar.

    Para el sol.

    r t = oT a = 5.67 x 10- W/m2-K 4 x (5700K)4

    = 5.90 x 1 0 7 W /m 2 - 6000 W/cm2

    Para la estrella polar.

    r t = a T 4 = 5.67 x 10"8 W /m 2-JC4 x (8 3 0 0 K )4 = 2.71 x 10a W /m 2 27,000 W/cm2

  • 2 4 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cop. 1

    E je m p lo 1-2. Suponga que se tienen dos cuerpos opacos, separados por una distancia grande y colgados de hilos finos en una cmara evacuada cuyas paredes se mantienen a temperatura constante. En tales condiciones, los cuerpos y las paredes intercambian calor slo por medio de radiacin. Sea e la razn de emisin de energa radiante de un cuerpo y sea a la razn de absorcin de energa radiante del cuerpo. Demuestre que en equilibrio

    % ?o- = - = 1 (1-5)ai a2

    Esta relacin, (1*5), se conoce como ley deradiacin de Kirckkoff. En todo el sistema dentro de la cmara y en tal estado, la razn de emisin necesariamente es igual a la razn de absorcin para cada cuerpo. Entonces:

    ei = ai y ez = az

    Por lo tanto,el j 2al 2

    Si uno de los cuerpos, por ejemplo el cuerpo 2, es un cuerpo negro, entonces a2 > C|. As pues, el hecho observado de que cuerpos que son ms absorbentes tambin son buenos emisores, se predice por la ley de Kirchhoff.

    1 .3 T e o r a c l s ic a d e la c a v id a d ra d ia n te

    A principios del presente siglo, Rayleigh y tambin Jeans, hicieron clculos de la densidad de energa de la radiacin por una cavidad (o cuerpo negro ) , que sealaban hacia un serio conflicto en tre la fsica clsica y los resultados experimentales. Este clculo es similar a los que resu ltaron de considerar m uchos o tros fenm enos (es decir, el calor especfico de los slidos) que sern tratados ms adelante. Los detalles sern presentados aqu, pero primero se describirn los procedimientos generales que servirn como gua en los clculos.

    Considrese que a una cavidad con paredes metlicas se la calienta un iform em ente a una tem pera tura T. Las paredes em iten radiacin electromagntica en el intervalo trmico de frecuencias. Se sabe que esto ocurre , bsicamente, por el movimiento acelerado de los e lectrones en las paredes, que resulta de la agitacin trmica (vase el apndice B). Sin embargo, no es necesario estudiar en detalle el com portam iento de las ondas electromagnticas en el interior de la cavidad. Kayleigh y Jeans procedieron en la forma siguiente. En primer lugar, se utiliza la teora electromagntica clsica para dem ostrar que la radiacin en el interior de la cavidad debe existir en forma de ondas estacionarias con nodos en las superficies metlicas. Utilizando argum entos geomtricos, se cuenta el nm ero de dichas ondas estacionarias en el intervalo de frecuencias en tre y y v + d v t con el fin de de term inar cmo depende ese nm ero de V. Despus, se utiliza un resultado de la teora cintica para calcular la energa total promedio de estas ondas cuando el sistema est en equilibrio trmico. En la teora clsica, la energa total promedio slo depende de la tem peratura T. El nm ero de ondas estacionarias en el intervalo de frecuencias, multiplicado por la energa promedio de las ondas y dividido en tre el volumen de la cavidad, proporciona el contenido de energa promedio por unidad de volumen en el intervalo de frecuencias en tre y y y + d v , y esta es la cantidad que se buscaba :1a densidad de energa p y (v). Ahora, haga todo esto.

    Por simplicidad, supngase que la cavidad de paredes metlicas llena con radiacin e lec tromagntica tiene la forma de un cubo de lado a, como se m uestra en la figura 1-3. En ese caso, la radiacin que se refleja de las paredes puede ser analizada en trm inos de tres com ponentes a lo

  • Sec. 1.3 TEORIA CLASICA DE LA CAVIDAD RADIANTE 25

    F I G U R A 1-3Cavidad con paredes metlicas llena con radiacin electromagntica, mostrando las tres componentes de la radiacin sin interferirse, que rebotan de las paredes y que forman ondas estacionarias con nodos en cada pared.

    largo de las tres direcciones m u tu am en te perpendiculares que definen los lados de la cavidad (ionio las paredes opuestas son paralelas en tre s, las tres com ponentes de la radiacin no se mezclan y se pueden tra tar por separado. Considrese la com ponen te x en la pared metlica en x 0. Toda la radiacin que incide sobre esta pared es reflejada y las ondas incidentes y reflejadas se com binan para formar una onda estacionaria. Ahora bien, como la radiacin e lec trom agntica es una vibracin trasversal con el vector de campo elctrico E perpendicu lar a la direccin de propagacin, y como la direccin de propagacin para este com ponente es perpendicular a la pared en cuestin , el vector de campo elctrico E es paralelo a la pared. Sin embargo, una pared metlica no es compatible con un campo elctrico paralelo a su superficie, ya que siempre se puede establecer un flujo de cargas de modo tal que se neutralice el campo. Por lo tanto para esta com ponente , E siempre es cero en la pared. Es decir, la onda estacionaria asociada con la com ponen te x de la radiacin, debe tener un nodo (amplitud cero) en.* = 0. La onda estacionaria tambin deber tener un nodo en * = a , ya que no puede haber un campo elctrico paralelo en la pared correspondiente . Adems, se aplican condiciones similares a las o tras dos com ponentes; la onda estacionaria asociada con la com ponente y deber tener nodos en y 0 y a, y la onda estacionaria asociada con la com ponente z, deber tener nodos en z = 0 y z a. Estas condiciones imponen limitaciones en las longitudes de onda posibles y por lo tanto , en las frecuencias posibles de la radiacin electromagntica en la cavidad.

    Ahora se considerar el problema de con ta r el nm ero de ondas estacionarias con nodos en las superficies de la cavidad, cuyas longitudes de onda se encu en tran en el intervalo en tre A y ). -f- dX , co rrespondien te al intervalo de frecuencias en tre v y v + dv. P rim ero se tra tar la com ponente *, solam ente para fijar la a tencin en las ideas contenidas en este clculo; es decir, se tra tar el caso simplificado, aunque artificial, de una "cavidad un id im ensional de longitud a. Al desarrollar este caso, se ver que la generalizacin al caso real tridimensional es obvio.

    El campo elctrico para una onda estacionaria unidim ensional puede describirse matemti- m ente por la funcin

    E (x , t) = E0 sen (2irxJX) sen {2irvt) (1 -6)

    donde 2 es la longitud de onda, v la frecuencia y E0 la amplitud mxima de la onda. I.as dos primeras cantidades se relacionan en tre s por medio de la ecuacin

    v c2 (1-7)

  • 26 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    F I G U R A 1-4Patrones de amplitud para ondas estacionarias en una cavidad unidimensional con paredes en x = 0 y x = a, para los tres primeros valores del ndice n.

    donde c es la velocidad de propagacin de las ondas electromagnticas. La ecuacin (1-6) rep resen ta una onda cuya amplitud vara en el espacio como sen (2 tt x / A ) y que oscila en el tiempo con frecuencia v como un oscilador arm nico simple. Puesto que obviam ente , la am plitud ser igual a cero en todo tiempo para las posiciones que satisfagan la relacin

    2xA = 0 , 1, 2, 3, . . . (1-8)

    la onda tend r nodos fijos en ellas, esto es, es u n a onda estacionaria. Para poder satisfacer elrequisito de que las ondas tengan nodos en los extrem os de la cavidad unidim ensional se escoge el origen del eje x en uno de los extrem os de la cavidad (x = 0 ) y se exige que en el o tro extrem o(* a)

    2xX = n p a ra # = a (1-9)

    donde

    n = 1, 2 , 3, 4, . . .

    Esta condicin determ ina el con jun to de valores permitidos de la longitud de onda. Para estos valores permitidos, las am plitudes de las ondas estacionarias siguen un patrn cuya apariencia se m uestra en la figura 1-4. Estos patrones se pueden reconocer como los correspondien tes a ondas estacionarias producidas por las vibraciones de una cuerda sujeta en sus extrem os, sistema fsico real que tambin satisface (1-6). En nues tro caso, el patrn representa ondas electrom agnticas estacionarias.

    P or conveniencia, la discusin se con tina en trm inos de frecuencias permitidas en lugar de longitudes de onda permitidas, Estas frecuencias son v = cj?^y donde 2ak n. Es decir,

    v cn2a n 1, 2, 3, 4 , . . . (1-10)

    Estos valores permitidos de la frecuencia pueden representarse por un diagrama que consiste de un eje sobre el cual se sealan puntos correspondien tes a cada valor en tero de n. En dicho diagrama, el valor permitido de la frecuencia v, correspondien te a un valor particular de n y de acuerdo con ( 1- 1 0 ), es igual a c /2 a veces la distancia d e l origen al p unto respectivo, o tambin, la d istancia d es 2 a /c veces la frecuencia v. Estas relaciones se m uestran en la figura 1-5. Dichos diagramas resultan tiles en el clculo del nm ero de valores permitidos de la frecuencia v en el intervalo de v a v + d vy que se denota por /V (v) dv. Para evaluar esta cantidad, sim plem ente se cuen ta el nm ero de puntos sobre el eje n que se encu en tran en tre dos lmites que se construyen de manera tal que correspondan a las frecuencias v y i 4 -dv , respectivam ente , como los pun tos se d istribuyen un iform em ente en el eje n , aparen tem ente el nm ero de pun to s comprendidos en tre estos dos I imites ser proporcional a dv pero no depender de v. En realidad, fcilmente se ve que /V (v) dv (2a /c) dv. Sin embargo, lo an te r io r debe multiplicarse por un factor de 2, ya que, para cada frecuencia permitida, existen en realidad dos ondas independientes correspon-

  • 5c, 1,3 TEORIA CLASICA DE LA CAVIDAD RADIANTE 27

    - d = (2a/c) (v + du) d (2aje) v -------

    0 1 2 3 4

    F IG U R A 1-5Valores permitidos del ndice n, que determina los valores permitidos de la frecuencia, en una cavidad unidimensional de longitud a.

    clientes a los dos estados de polarizacin posibles de las ondas electromagnticas. Por lo tanto, se tiene que

    AaN(v) dv dv (1-11)

    De esta manera se completa el clculo del nm ero de ondas estacionarias permitidas para el caso artificial de una cavidad unidimensional.

    El clculo anterior hace evidente los procedimientos para extender el clculo al caso real de una cavidad tridimensional. Esta extensin se indica en la figura 1-6. En este caso, el conjunto de puntos uniformemente distribuidos en valores enteros a lo largo del eje n, se sustituye por un arreglo tridimensional uniforme de puntos cuyas tres coordenadas corresponden a valores enteros a lo largo de tres ejes n m utuam ente perpendiculares. Cada punto de\ arreglo corresponde a una onda estacionaria tridimensional particular permitida. El nmero de nodos de las componentes x, y, z de la onda estacionaria, se obtienen de los valores enteros nx, y nv, equivale a analizar una onda tridimensional (es decir, que se propaga en una direccin arbitraria) en tres componentes tridimensionales. En este caso, el nmero de frecuencias permitidas en e1 intervalo de frecuencia de v a v dv es igual al nmero de puntos contenidos entre dos cascarones esfricos con radios correspondientes a las frecuencias v y r + dv respectivamente.

    F IG U R A 1-6Los valores permitidos de la frecuencia en una cavidad tridimensional cbiea de lado a. se determinan por tres ndices rtx, nv, nz que slo pueden tomar valores enteros. Para mayor claridad, se muestran slo unos cuantos de los muchos puntos correspondientes a conjuntos de estos tres ndices.

    r = (2a/c} v

    = (2a/c) d v

  • 28 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    Lo an terior ser proporcional al volumen en tre estos dos cascarones esfricos, yaque los puntos se d istribuyen uniformemente. Por lo tan to , se puede ver que l \ ( v ) dv ser proporcional a vz dv, ya que el factor v2 es proporcional al rea de los cascarones y el segundo factor dv, es proporcional a la distancia en tre ellos. En el ejemplo siguiente, se analizarn los detalles y se encontrar que

    \ a S t tF a N (y) dv = v (1-12)

    donde V a3, el volumen de la cavidad.

    E je m p lo 1*3. Derivar (1-12), que d el nmero de ondas electromagnticas estacionarias permitidas, en cada intervalo de frecuencias, para el caso de una cavidad tridimensional cbica de paredesmetlicas de lado a.

    Considrese radiacin de longitud de onda A y frecuencia v = c/A, que se propaga en una direccin definida por los ngulos a, y, como se muestra en la figura 1-7. La radiacin debe ser una onda estacionara ya que sus tres componentes son ondas estacionarias. La posicin de algunos de los nodos fijos de esta onda estacionaria, se indica por un conjunto de planos perpendiculares a la direccin de propagacin a, ff, y.. Ia distancia entre estos planos nodales de la radiacin, es justamente A /2, donde A es su longitud de onda. Se indica tambin la posicin de los tres ejes de los nodos de las tres componentes.

    l a^s distancias entre estos nodos es:

    *xl2 = A/2COS

    A/2 = A/2C0S fi

    XJ2 = A/2cos y

    (1-13)

    F I G U R A 1-7

    Planos nodales de una onda estacionaria propagndose en determinada direccin en una cavidad cbica.

  • Sec. 1.3 TEORIA CLASICA DE LA CAVIDAD RADIANTE 29

    Las expresiones para las magnitudes de los campos elctricos de las tres componentes en los tres ejes se pueden escribir como,

    E (x t r) = E0^sen (2TrxJXg) sen (27tv)E(g, t) = E 0vsen(27ryJAv)sen(2irvt)E(z , 0 = E0 sen (l-rrzl2Z) sen(2irvt)

    La expresin para la componente x representa una onda con amplitud mxima E0 con una variacin en el espacio sen(2irx/A.x) y que oscila con una frecuencia? .Como el sen(2irx/ l x)es cero para 2z/^z =0, 1, 2. 3,..., la onda es estacionaria con longitud de onda 2X ya que tiene nodos fijos separados una distancia Ax=2*/2. Las expresiones para las componentes y y z representan ondas estacionarias de amplitudes mximas E0 E0zy longitudes de onda Xy y Xz pero las tres ondas estacionarias componentes oscilan con la frecuencia v de la radiacin. Obsrvese que las tres expresiones satisfacen automticamente el requisito de que la componente* tenga un nodo en * = 0 , la componente y tenga un nodo en y = 0 , y la componente z tenga un nodo en z = 0. Para que satisfagan el requisito de que la componente * tenga un nodo en x = a, lacomponente y tenga un nodo en y = a, y la componente z tenga un nodo en z = a se hace:

    2x/kx = nx para x = a2y]Xv = nv para y -- a2z/Aj nz para z = a

    donde rix = 1, 2, 3,...; v = 1, 2, 3,...; = 1,2, 3,.... Usando (1-13), estas condiciones se transforman en:

    (2a] A) eos a = nx (2a/2) eos /* = ny {2a]2) eos y = nz

    Elevando al cuadrado ambos miembros de estas ecuaciones y sumando, se obtiene

    (2a/2)2(cos2 a + eos2 /? 4- eos2 y ) = n \ + + ttl

    pero los ngulos a, /?, y tienen la propiedad

    eos2 a + eos2 + eos2 y = 1

    Por lo tanto,

    2 a] A = + n2 + n\

    donde ru, n*r

  • 3 0 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    Como /V (r) dr es igual al volumen comprendido entre los cascarones por la densidad de puntos de la red, y como, por construccin, la densidad es uno, jV (r) dr es simplemente,

    1 7Tr2 drN (r)d r = - 4 t t r 2 dr = (1-15)

    o 2

    Igualando lo anterior a N(v) dv, y evaluando r2 dr de (l-14b), se tiene

    tt / 2 A3

    = 2 l 7 j

    N (y )d v = - I \v * d v

    Para completar el clculo, estos resultados se deben multiplicar por un factor de 2 , ya que, para cada una de las frecuencias permitidas que se han enumerado, existen en realidad dos ondas independientes correspondientes a los dos estados de polarizacin posibles de la radiacin electromagntica. Por lo tanto, se lia derivado (1-12). Se puede demostrar que N (v) es independiente de la forma de la cavidad y slo depende de su volumen. ^

    O bsrvese que e x is te u na d ife re n c ia s ig n if ic a t iv a en tre los resu ltado s obtenidos para el caso rea l de u na cav idad tr id im e n s io n a l y lo s resu ltad o s obtenidos an tes para el caso a r t if ic ia l de unacavidad unidimensional. El factor vz que se en cu en tra en (1-12) pero no en (1-11), jugar un papel m uy im portan te , como se ver, en los argum entos siguientes. Bsicamente, este factor resulta del hecho de que vivimos en un m undo tridimensional siendo la potencia de r u n o menos que la dimensionalidad. A unque Planck, al resolver finalm ente las serias discrepancias en tre la teora clsica y el experim ento , puso en tela de juicio algunos puntos que haban sido considerados obviam ente ciertos, ni l ni o tros trabajando sobre el problema dudaron de ( 1 -1 2 ). Existi y an persiste un acuerdo general de que (1-12) es vlida.

    Ahora ya se puede contar el nm ero de ondas estacionarias. El paso siguiente en la teora clsica de Kayleigh-Jeans para la radiacin de un cuerpo negro, es el clculo de la energa total promedio contenida en cada onda estacionaria de frecuencia v. De acuerdo con la fsica clsica, la energa de alguna onda particular puede tener cualquier valor en tre cero e infinito y su valor real debe ser proporcional al cuadrado de su amplitud constan te E0. Sin embargo, para un sistema que contenga un nm ero grande de entes fsicos del mismo tipo, los cuales estn en equilibrio trmico a una tem peratura T , la fsica clsica hace una prediccin bastan te definitiva acerca de los valores promedio de las energas de los entes. Esto puede aplicar en este caso, puesto que la m ulti tud de ondas estacionarias, que constituyen la radiacin trmica dentro de la cavidad, son entes del mismo tipo que estn en equilibrio trmico en tre s, a la tem pera tura T de las paredes de la cavidad. El equilibrio trmico se asegura por el hecho d e q u e las paredes de una cavidad real siempre absorbern y rerrad iarn , con diferentes frecuencias y direcciones, una pequea.parte de la radiacin que incide sobre ellas, y consecuen tem ente , las d iferentes ondas estacionarias en forma gradual, podrn in tercam biar energa como se requiere para m an tener el equilibrio.

    prediccin viene de la teora cintica clsica, y es llamada ley de equiparticin de la energa. Esta ley afirma que para un sistema de molculas de un gas, en equilibrio trmico a una t m pera tura T, la energa cintica promedio de una molcula, por grado de libertad, es 772 , donde k = 1 .38 X 10 23 jouleK se le llama constante de Boltzm ann. Esta ley se aplica a cualquier sistema clsico que contenga, en equilibrio, un nm ero grande de entes del mismo tipo. Para el caso que nos ocupa, los entes son ondas estacionarias que tienen como nico grado de libertad, las amplitudes de sus campos elctricos. Por lo tan to , sus energas cinticas, en promedio, tendrn el mismo valor, A-772. Sin embargo, cada onda estacionaria oscilante senoidal tiene una energa total que es el doble de su energa cintica promedio. Esta es una propiedad com n a todos los sistemas que tienen un solo grado de libertad y que llevan a cabo oscilaciones armnicas simples en el tiempo; casos conocidos son un pndulo o un resorte. Por lo tanto, de

  • Ser. i.4 TEORIA DE PLANCK DE LA CAVIDAD RADIANTE 31

    acuerdo con la ley clsica de la equ iparac in , cada onda estacionaria en la cavidad tiene una energa total promedio

  • 32 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    figura 1 -8 resulta evidente que la ley proporc iona resultados satisfactorios a bajas frecuencias. P o r lo tan to se puede suponer

    (1-18)

    Es decir, la energa total prom edio tiende a T a medida que la f recuencia tiende a cero. La discrepancia a frecuencias altas se elimina si, por alguna razn, existe un corte, de modo que

    ------* 0 (1-19)

    es decir, si la energa total promedio t iende a cero cuando la frecuencia t iende a infinito. En o tras palabras, Planck pens que, dadas las c ircunstancias que prevalecen en el caso de la radiacin del cuerpo negro, la energa promedio de una onda estacionaria es funcin de la frecuencia (v) con las propiedades indicadas por (1-18) y (1-19). Esto con tras ta con la ley de equipartic in de la energa que asigna a la energa promedio un valor independien te de la frecuencia.

    Veamos el origen de la ley de equipartic in. Bsicamente surge de u n resultado m u ch o ms completo de la teora cintica clsica llamado d is tribucin de Boltzmann. (En el apndice C se dan los a rgum entos que conducen a la d istribucin de Boltzmann, para aquellos es tud ian tes que no estn familiarizados con ella.) Aqu se utilizar una form a especial de la d istribucin de Boltzmann

    p- * t k TM ) = - p jT ( 1-2 0 )

    en la que P { ) d es la probabilidad de encon tra r un en te dado de un s istema, con energa en el in tervalo en tre y + d 1, cuando el nm ero de estados de energa para el ente en ese in tervalo , es independien te de . Se supone que el sistema contiene un n m ero grande de entes del mismo tipo, en equilibrio trm ico a tem pera tu ra Ty y k rep resen ta la constan te de Boltzmann. La ecuacin (1-20) gobierna las energas de los entes del sistema que se estn considerando, a saber, un con ju n to de ondas estacionarias que oscilan de modo arm nico simple.

    La funcin de d istribucin de Boltzmann est n tim am ente relacionada con la funcin de d is tribucin de Maxwell para la energa de una molcula en un sistema de molculas en equilibrio trmico. De hecho, la exponencial en la funcin de d is tribucin de Boltzmann es responsable por el factor exponencial en la d istribucin de Maxwell. Algunos estud ian tes sabrn que existe un factor 1/2 presente en la distribucin de Maxwell, que resulta por la c ircunstanc ia de que el nm ero de estados de energa para una molcula en el in tervalo en tre y + d no es independien te de , sino que aum en ta en proporcin a & l/2-

    La funcin de d is tribucin de Boltzmann proporciona una inform acin completa acerca de las energas de los entes del sistema, incluyendo desde luego, el valor promedio de las energas . Esta ltima cantidad puede ob tenerse usando (1-20) para P { ) y evaluando las integrales en el cociente:

    OO

    | P ( ) d

    = ( 1-21)

    J P()o

    d

  • Sec. 1.4 TEORIA DE PLANCK DE LA CAVIDAD RADIANTE 33

    El in tegrando en el n u m erad o r es la energ a , pesada por la probabilidad de que el en te se e n c o n t ra r con esta energa. La energa prom edio se ob tiene in tegrando sobre todos los valores posibles de la energa. El d enom inador es la probabilidad de e n c o n t ra r al en te con cualquier energa y por lo tan to deber ten e r el valor un o ; que lo tiene. La integral en el n u m erad o r puede eva luarse , y el resu ltado es ju s ta m e n te la ley de equ ipar t ic in de la energa

    = k T (1-22)

    Ln lugar de llevar a cabo la eva luac in , resu lta r ms co n v en ien te , por los a rg u m en to s s iguientes, exam inar la rep resen tac in grfica de P ( ) y que se m u es tran en la parte superio r de la figura 1-9. Se grfica P { ) com o func in d e . Su valor m ximo, 1/kT , o c u r r e e n 0 y el valor de P( )d ecrece su av em en te a medida que ^ a u m e n ta y t iende a cero cu ando * co. Es decir, el vajor que es ms probable que se e n c o n tra r en u n a medida de , ser cero. Pero el prom edio de los resu ltados que se e n c o n tra r an en c ierto n m e ro de medidas de es m ayor que cero. La evaluacin de a p a r t ir de P( ) , se indica en la mitad inferior de la f igura 1-9.

    La gran c o n tr ib u c i n de P lanck surgi cuando pudo darse c u e n ta que poda lograr el corle requerido , indicado en (1-19), si modificaba el clculo que conduce a a p a r t ir de P ( ) , tra tan d o la energa como si fuera u n a variable discreta en lugar de la variable continua que defin it ivam en te es desde el p u n to de vista de la fsica clsica. Esto puede hacerse , cu a n t i ta t iv a m en te , si se vuelve a escrib ir (1-21) en t rm in o s de sum as en lugar de integrales. P ro n to se ver

    1 /k T

    Isio*

    0

    y e

    a,t

    U -kT

  • 34 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    que esto no es difcil de hacer, pero es ms ins truc tivo estud iar pr im ero , la representacin grfica en la figura 1-10 .

    P lanck supuso que la energa poda tom ar slo c iertos valores discretos, en lugar de cua lquier valor, y que los valores discretos de la energa estaban u n ifo rm em en te d istribuidos; es decir , tom

    = 0 , A , 2 A , 3A

  • Sec. 1.4 TEORIA DE PLANCK DE LA CAVIDAD RADIANTE 35

    como el con jun to de valores perm itidos de la energa. El in tervalo un iform e en tre valores sucesivos de la energa, es en este caso A S . En la parte superior de la figura 1-10, se ilustra una evaluacin de S a partir de para un caso en el que A S

  • 36 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    para una tem pera tura T = 1595K. Los resultados experim entales concuerdan con la frm ula de Planck, para toda tem pera tu ra .

    Debe recordarse que Planck no alter la distribucin de Boltzmann, " to d o lo que hizo fue considerar la energa de las ondas electromagnticas estacionarias, oscilando senoidalmente en el tiempo, corno una cantidad discreta en lugar de una cantidad continua .

    E j e m p lo 1-4. Derivar la expresin de Planck para la energa promedio $ y su espectro del cuerpo negro.

    La cantidad & se calcula de la razn de las sumas

    y

    n= 0

    anlogas a la razn de integrales en (1-21). Debido al postulado de Planck, la energa se convierte en una variable discreta que toma slo los va lo res^ = 0 ,h t\2 h v ,3 h v , . . . . y por lo tanto, se deben utilizar sumas. Es decir, nhv, donde n = 0, 1, 2, 3,. . . Evaluando la distribucin de Boltzmann =~ ^ik>r\k T s se tiene

    | |- , kT donde * - ^0O 1 S h.f'

    n=0 * * n-0Lo anterior, a su vez, puede evaluarse ms fcilmente si se observa que;

    d 93 00 d a y e- "* y a e-na y note nad doc,0 4~0 d &0

    - a X ln l e

    de manera que,

    Ahora bien.

    pero

    de modo que;

    B= ^ e-nx ^ e~naL y e~nan- 0 ti 0 n=0

    ( d 00 \ d ln y e~na ) = - hv ln y < rna/ot o / n t 0y e-na = 1 + e- + c-2a + c-3* +

    n0= 1 + X + A' 2 + A' 3 + * donde X = e~

    (i - x y 1 = i + x + x 2 + x3 +

    g = Ar ln (1 - e~ a )_1na

    = a r * - - = p f ~ i)(ihve~a hv hv

    1 e e 1 ghv/kT _ ]

    Se ha derivado (1-26) para la energa promedio de una onda electromagntica estacionaria de frecuencia v. Multiplicando lo anterior por (1-12), a saber, el nmero /V (r) dv de ondas que tienen frecuencia1, que se deriv en el ejemplo 1-3, inmediatamente se obtiene el espectro de Planck del cuerpo negro, (1-27).

    E je m p lo 1-5. Al analizar resultados experimentales, como en la figura 1-11, resulta conveniente expresar el espectro de Planck del cuerpo negro, en funcin de la longitud de onda A , en lugar de la

  • Sec. 1.4 TEORIA DE PLANCK DE LA CAVIDAD RADIANTE 37

    F I G U R A 1 -1 1

    Prediccin de Planck de la densidad de energa (lnea continua) comparada con los resultados experimentales (crculos) para la densidad de energa de un cuerpo negro. Los datos fueron reportados por Cobientz en 1916, correspondientes a una temperatura de 1595K. El autor seala en su artculo que despus de dibujar las curvas de los espectros de energa que resultaron de sus experimentos, "debido a fatiga de los ojos, fue imposible durante los meses subsiguientes, dedicar atencin a la reduccin de los datos". Una vez que los datos fueron reducidos, se obtuvo un valor de la constante de Planck de 6.57 X 10 34 joule-seg.

    frecuencia v.ObtenerpyfAj.el espectro de Planck en trminos de la longitud de onda, a partir de/>y(V),la forma del espectro en trminos de v. La cantidad /^{Ajse define por la igualdad py(A) dk = pT (v) dv. El signo menos indica que aunquepj,(A)y/J7.(v)son positivas ambas dk y dv tienen signos opuestos. (Un aumento en la frecuencia corresponde a una disminucin en la longitud de onda).

    De la relacin v = c/A se tiene que dv = (c/A) dk, o bien, dvjdk = (c/A2), de manera que

    dv cpT(A) = pTy)~Jj ~ P r(v)~j2

    Si ahora se sustituye v = e/k en la expresin para pj>(.v) (1*27), se obtiene

    s . 87rhc dkPt W dk ^c/xkT _ | (1-28)

    En la figura 1-12 se muestra />ji(A)contra A para diferentes temperatuas. Al estudiar la distribucin de energa radiante como funcin de la longitud de onda, a medida que aumenta la temperatura, se puede observar, claramente, una tendencia en la radiacin del rojo al blanco y al azul. M

    A partir de la frm ula de Planck, se pueden derivar la ley de Stefan y la ley del desplazamiento de W ien; si se las a justa a los resultados experimentales, se pueden de te rm inar valores para las constan tes h y k. La ley de Stefan se ob tiene in tegrando la ley de Planck en todo el espectro de longitudes de onda. Se en c u e n tra que la radiancia es proporcional a la cuar ta potencia de la tem pera tu ra , identificando la constan te de proporcionalidad27r5/;4/15c2/i3con la constan te de S tefan, or,cuyo valor, determ inado experim enta lm ente , es 5.67 X 10~8 W / m 2-K4. La ley del desplazamiento de W ien , se obtiene haciendo dp{?C)(dk 0. y se en cu en tra que Amx7' =

  • 38 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. I

    .5X (104 )

    F I G U R A 1 -1 2

    Densidad de energa de Planck de la radiacin de un cuerpo negro, a varias temperaturas, como funcin de la longitud de onda. Obsrvese que la longitud de onda parala cual la curva tiene un mximo, decrese a medida que la temperatura aumenta.

    0.2014h c /k \ identificndose al miembro a la derecha de la ecuacin con la constan te , 2.898 X 1 0 ' m-K, dete rm inada experim en ta lm ente por W ien . Utilizando estos valores medidos ysuponiendo un valor para la velocidad de la luz c, se pueden calcular los valores de h y k. De hecho , sto lo realiz Planck y sus valores concuerdan m uy bien con los obtenidos posterio rm ente por o tros mtodos.

    1 .5 A p lic a c i n d e la le y d e r a d ia c i n d e P la n c k e n term o m etr a

    La radiacin emitida por un cuerpo caliente puede utilizarse para medir su tem pera tu ra . Si lo que se utiliza es la radiacin total, en tonces, de la ley de Stefan-Boltzmann, se sabe que las energas emitidas por dos fuen tes estn en razn de la cuarta potencia de la tem pera tu ra . Sin embarg, es difcil medir la radiacin total de la mayora de las fuentes y rea lm ente , lo que se mide es la radiancia en una banda finita de longitudes de onda. En este caso se utiliza la ley de radiacin de Planck que proporciona la radiancia como funcin de la tem pera tu ra y longitud de onda. Para radiacin m onocrom tica de longitud de onda A la razn de intensidades espectrales emitidas por fuen tes a 7"2K y 7*,K, est dada por la ley de Planck como:

    gAc/Ar, _ j ehc/MiTt _ j

    En esta expresin, si se tom a 71, ,c o m o tem p era tu ra de referencia estndar, se puede dete rm inar T 2 relativa a la es tndar, m idiendo esa razn en form a experim ental. Este es el procedimiento empleado en la Escala In ternacional de T em pera tu ras Prcticas, donde se utiliza el pun to de fusin del oro, 1068C, como pun to fijo de referencia. Es decir, el pirmetro ptico estndar primario, est diseado de modo tal, que com para la radiacin de un cuerpo negro, a

  • Sec 1.6 EL POSTULADO DE PLANCK Y SUS IMPLICACIONES 39

    Lente Lm para Microscopio

    F I G U R A 1-13

    Diagrama esquemtico de un pirmetro ptico,

    tem pera tu ra desconocida T > 1068C con un cuerpo negro a la tem pera tu ra de fusin del oro. Dadas las c ircunstancias prcticas, la mayora de las fuentes no son cuerpos negros y en lugar de la radiacin m onocrom tica se utiliza una banda finita de longitudes de onda, de modo que los procedim ientos de medida deben ser adecuados y la teora desarrollada, para tom ar en consideracin las c ircunstancias an teriores.

    La mayora de los p irm etros pticos, utilizan el ojo hum an o como detector y requieren de un ancho de banda espectral su f ic ien tem ente amplo, de modo que se tenga la energa que el ojo puede ver. El tipo de in s tru m en to ms simple y ms preciso utilizado por encima del pun to de fusin del oro, es el p irm etro ptico con filamento desvanescente, (ver figura 1-13 ). La fuente a medirse se enfoca en el filamento de la lmpara del p irm etro , a justndose la co rrien te de la lmpara hasta que el filamento tienda a desaparecer en el fondo de la imagen de la fuente. Calibrando cuidadosam ente mediante potencim etros de precisin, se garantizan medidas precisas de la tem pera tu ra .

    En la dcada 1950, Dicke, Penzias y W ilson descubrieron un in te resan te caso particular del campo general de la te rm om etr a por medio de radiacin de cuerpo negro. Utilizando un radio telescopio que operaba en el intervalo de longitudes de onda en tre varios milmetros y varios cen tm etros , en co n tra ro n que un espectro de cuerpo negro, con tem pera tu ra caracterstica de 3K,incide sobre la t ie r raen todas direcciones con igual intensidad. La uniform idad en direccin indica que la radiacin llena un ifo rm em en te el universo. Los astrofsicos consideraron estas medidas como evidencia fuerte en favor de la llamada teora de la gran explosin, en la cual, el universo consista de una bola de fuego muy densa y muy caliente de radiacin y partculas, aproxim adam ente hace I 0 10 aos. Debido a una expansin posterior y el consecuen te co rr imiento Doppler, es de esperarse que la tem pera tu ra de la radiacin d ism in u y e raa un v a lo rm u y cercano del observado de 3K.

    1 .6 E l p o s tu la d o d e P la n c k y su s im p lic a c io n e s

    I>a con tr ibucin de Planck se puede enunc ia r en forma de postulado, como sigue:Cualquier ente fsico con un grado de libertad , cuya coordenada es una funcin senoidal del

    tiempo (es decir realiza oscilaciones armnico-simples) slo puede poseer energas totales 8 , que satisfacen la relacin

    * = n/rv n = 0 , 1, 2, 3, . . .

    donde v es la frecuencia de la oscilacin y h es una constante universal

    1.a palabra coordenada se utiliza en su sentido ms general, para denotar cualquier cantidad que describa la condicin ins tan tnea del ente , por ejemplo, la longitud de un resorte , la

  • 40 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    F I G U R A 1 -1 4

    Izquierda: Energas permitidas en un sistema clsico, oscilando senoidalmente con frecuencia r, distribuidas en forma continua. Derecha: Energas permitidas distribuidas en forma discreta de acuerdo con el postulado de Planck, ya que slo pueden tener los valores nkv. Se dice que la energa est cuantizada, siendo n el nmero cuntico del estado de energa permitido.

    posicin angular de la masa de un pndulo y la amplitud de una onda. Todos estos ejemplos tambin son funciones senoidales del tiempo.

    Un modo convenien te de ilustrar el com portam iento de un en te gobernado por este postulado, es mediante un diagrama de niveles de energa, como se m uestra en la figura 1-14, que tambin puede utilizarse para contrastar este com portam iento con el que se esperara en base a la fsica clsica. En ese diagrama se indican cada uno de los estados de energa posibles del ente , por una lnea horizontal. La distancia de una lnea determ inada, a la lnea de energa cero, es proporcional a la energa total que le corresponde. Como de acuerdo con la fsica clsica, el ente puede tener cualquier energa en tre cero e infinito , el diagrama clsico de niveles de energas consiste de un con tinuo de lneas que empiezan en cero y se extiende a valores mayores. Sin embargo, el ente que realiza oscilaciones del tipo oscilador arm nico simple, slo puede tener energas totales discretas, $ 0, hv, 2hv, 3 h v ..., si obedece el postulado de Planck. En su diagrama de niveles de energa, esto se indica con un con jun to discreto de lneas. Si la energa del ente obedece el postulado de Planck, se dice que est cuantizada, los niveles de energa permitidos se llaman estados cunticos y el nm ero en te ro n se llama el nmero cuntico.

    El estud ian te podra pensar que existen sistemas fsicos cuyo com portam iento est en obvio desacuerdo con el postulado de Planck. Por ejemplo, un pndulo ordinario realiza oscilaciones de tipo oscilador armnico simple y sin embargo, aparen tem ente es capaz de poseer valores con tinuos de la energa. Pero antes de aceptar este a rgum ento , se harn algunos clculos num ricos en relacin con dicho sistema.

    E je m p lo 1-6. Un pndulo que consiste de una masa de 0 .0 1 Kg. suspendida de una cuerda de 0 .1 m. de longitud. Sea la amplitud desu oscilacin tal, que la cuerda en sus posiciones extremas forma un ngulo de 0 .1 rad. con la vertical. 1.a energa del pndulo decrece, por ejemplo, por efectos de friccin. Se observar que este decremento de la energa es continuo o discontinuo?

    La frecuencia de oscilacin del pndulo es:

    _ i . / E p i = , . 6 / l eg2 W / 2 ttV 0 .1 m 1 5

    1.a energa del pndulo es su energa potencial mxima

    mgh mgl( 1 eos 0) = 0.01 kg x 9.8 m/seg2 x 0.1 m x (1 eos 0.1)= 5 x 10- 5 joule

    La energa del pndulo est cuantizada, de modo que los cambios en energa ocurren en pasos de magnitud discontinuos = hv, pero

    AE = hv = 6.63 x 10-34 joule-seg x 1.6/seg = 10-33 joule

    mientras que E = 5 x 10- 5 joule. Por lo tanto,AE /E = 2 x 10~29-As pues, para poder medir que eldecremento de la energa es discreto, se necesita poder medir la energa con una precisin de 2 en 1029.

    Clsico(?= 0

    Planck

    - = 5hv - = 4 hv -& = 3Ai = 2hv

    - = hv 0

  • PREGUNTAS 4 1

    Evidentemente an el equipo experimental ms sensible, resulta totalmente incapaz para obtener dicha resolucin en la energa. ^

    En conc lus in , aquellos experim entos que invo lucren pndulos ord inarios , no podrn d e te rm inar si el postu lado de P lanck es vlido o no .La p e q u e ezd e h , hace q u e la g ra n u la n dad de la energa sea tan fina que no pueda dis tinguirse de un co n t in u o de energas. Ms a n , para sistemas clsicos, la h podra considerarse igual a cero y, de hecho , u n modo de reducir las frm ulas cun ticas a sus lmites clsicos, es dejando/t 0 en estas frm ulas . Solam ente cuando se consideren sis tem as en los cuales v sea tan grande y /o tan pequea que & = hv sea del orden de , se estar en condic iones de probar el postu lado de P lanck. Un ejemplo es, desde luego, la radiacin de ondas estac ionarias de alta frecuencia del cuerpo negro. En los siguientes captu los se considerarn m uchos o tros ejemplos.

    1 .7 U n p o c o d e la h is to r ia d e l q u a n tu m

    El postulado de Planck, en su forma original, no tena el alcance que tiene en la forma como aqu se ha presentado. En su trabajo original, Planck trat en detalle, el comportamiento de los electrones en las paredes de un cuerpo negro y su acoplamiento a la radiacin electromagntica dentro de la cavidad. Este acoplamiento conduce al mismo factor v2 que se obtuvo en (1-1 2 ) de argumentos ms generales debidos a Rayleigh y Jeans. A travs de este acoplamiento, Planck relacionaba la energa en una componente particular de las frecuencias de radiacin del cuerpo negro, con la energa de un electrn en la pared, oscilando senoidalmente a la misma frecuencia y postul que nicamente la energa de la partcula oscilante est cuantizada. No fue sino hasta un tiempo despus, que, Planck acept la idea de que las ondas electromagnticas oscilantes estuvieran as mismo cuantizadas y el postulado se ampli para incluir cualquier ente cuya nica coordenada oscile senoidalmente.

    En un principio, Planck no estaba seguro si*su introduccin de la constante k no era ms que un recurso matemtico o un asunto con significado fsico muy profundo. En una carta dirigida a R. W. Wood, Planck llam a su postulado limitado, "un acto de desesperacin1. "Saba , escribi, "que el problema (del equilibrio de la materia con la radiacin) tiene una importancia fundamental para la fsica: conoca la frmula que reproduce la distribucin de energas en el espectro normal; una interpretacin terica tena que encontrarse a cualquier precio, sin importar qu tan alto . Por ms de una dcada, Planck trat de ajustar las ideas cunticas a la teora clsica. Con cada intento aparentaba retroceder de su osada original, pero siempre generaba nuevas ideas y tcnicas que posteriormente adopt la teora cuntica. Lo que parece ser que finalmente lo convenci d que su hiptesis cuntica era correcta y de significado protundo.fue su apoyo a la definitividad del concepto estadstico de la entropa y a la tercera ley de la termodinmica.

    Fue durante este perodo de dudas, que Planck era editor de la revista de investigacin alemana Annalen der Pkysik. En 1905 recibi el primer artculo de Einstein sobre relatividad, y valientemente defendi el trabajo de Einstein. A partir de entonces se convirti en uno de los defensores del joven Einstein en los crculos cientficos, pero resisti durante algn tiempo, precisamente aquellas ideas de Einstein, sobre la teora cuntica de la radiacin, que contribuyeron a confirmar y extender el propio trabajo de Planck. La profunda visin que Einstein tena del electromagnetismo y la mecnica estadstica, que posiblemente no fue igualada por sus contemporneos, le permiti predecir, como resultado del trabajo de Planck, la necesidad de un cambio general en la mecnica estadstica y el electromagnetismo. Muchos fenmenos fsicos fueron predichos e interpretados anticipadamente los cuales posteriormente fueron dramticamente confirmados experimentalmente. En el siguiente captulo se tratar uno de estos fenmenos y se seguir otro camino rumbo a la mecnica cuntica.

    P R E G U N T A S

    1 . Un cuerpo negro siempre se ve negro? Explique el trmino cuerpo negro.

    2. En un fuego hecho con carbn, los huecos que quedan entre carbones se ven ms brillantes que los

  • 42 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    carbones mismos. Ser la temperatura de dichos huecos, apreciablemente mayor que la correspondiente a la superficie exterior de un carbn incandescente?

    3. Si se observa dentro de una cavidad cuyas paredes se mantienen a una temperatura constante, es visible algn detalle del interior? Expliqese.

    4. La relacin R ? = oT* es exacta para cuerpos negros y se mantiene a toda temperatura. Porqu no se utiliza esta relacin como base para una definicin de temperatura, por ejemplo, 1 0 0 C?

    5. Un pedazo de metal se pone incandescente con un color rojo brillante a 1100K. Sin embargo, a esta misma temperatura, un pedazo de cuarzo simplemente no brilla. Explique. (Sugerencia: el cuarzo es transparente a la luz visible).

    6 . Haga una lista de las funciones de distribucin que ms comnmente se usan en las ciencias sociales (es decir, distribucin de familias respecto de sus ingresos). En cada caso, especifique si la variable de la distribucin descrita es discreta o continua.

    7. En (1-4) se relacionan radiancia espectral y densidad de energa, qu unidades deber tener la constante de proporcionalidad?

    8 . Cul es el origen de la catstrofe ultravioleta?

    9. La ley de equiparticin de la energa requiere que el calor especfico de los gases sea independiente de la temperatura, en desacuerdo con la experimentacin. Aqu se ha visto que conduce a la ley de radiacin de Rayleigh-Jeans, que tambin est en desacuerdo con la experimentacin, se pueden relacionar estas dos fallas de la ley de equiparticin?

    10. Comparar las definiciones y dimensiones de radiancia espectral, RT ( VX radiancia, R T , y densidad de energa pT (v)'

    11. Por qu se utiliza la pirometra ptica por arriba del punto de fusin del oro y no por abajo de l? En qu objetos se mide tpicamente la temperatura de este modo?

    12. Existen cantidades cuantizadas en fsica clsica? Est cuantizada la energa en fsica clsica?

    13. Tiene sentido hablar en fsica de cuantizacin de carga? En qu sentido difiere de la cuantizacin de la energa?

    14. Las partculas elementales parecen tener un conjunto discreto de masas en reposo. Se puede sto considerar como cuantizacin de masa?

    15. En muchos sistemas clsicos las frecuencias permitidas estn cuantizadas. Mencione algunos de dichos sistemas. Tambin se cuantiza la energa?

    16. Demuestre que la constante de Planck tiene dimensiones de impulso angular. Sugiere sto, necesariamente, que el impulso angular es una cantidad cuantizada?

    17. Cul deber ser el orden de magnitud mnimo de h , para que los efectos cunticos sean efectos cotidianos?

    18. La radiacin universal de cuerpo negroa3K, qu puede decir, si acaso, de la temperatura del espacio exterior?

    19. La teora de Planck sugiere estados de energa atmicos cuantizados?

    20 . Discutir el hecho sorprendente de que la discresin de la energa se descubri, por primera vez, al analizar el espectro continuo emitido por tomos interactuantes en un slido, en lugar de encontrarlo en el anlisis de un espectro discreto tal como el emitido por un tomo aislado en un gas.

  • PROBLEMAS 43

    P R O B L E M A S

    1 . A qu longitud de onda, una cavidad a 6000K radiar ms por unidad de longitud de onda?

    2 . Demuestre que la constante de proporcionalidad en (1-4) es 4/C. Es decir, demuestre que la relacin entre la radiancia espectral R T (v) y la densidad de energa pT {v) es dv = (c]4)pT (v) dv.

    3. Considere dos cavidades de forma y material arbitrarios, cada una a la misma temperatura T, conectadas por un tubo angosto en el que se pueden colocar filtros de colores (supuestamente ideales) que permitirn el paso de radiacin de una sola frecuencia V. (a) Suponga que para cierta frecuencia v \ pT (v') para la cavidad 1, resulta mayor que pj'(v') dv para la cavidad 2. Se coloca un filtro en el tubo interconector, que slo deja pasar la frecuencia v. Analice qu suceder en trminos de flujo de energa, (b) Qu pasar con sus temperaturas respectivas, (c) Demuestre que esto violara la segunda ley de la termodinmica; por lo tanto, pruebe que todos los cuerpos negros a la misma temperatura emitirn radiacin trmica con el mismo espectro, independientemente de su composicin.

    4. Un radiador de cavidad, tiene un agujero de 10.0 mm. de dimetro que se perfor en una pared. Encuentre la potencia radiada a travs del agujero, en el intervalo entre 5500- 5510 . (Sugerencia: ver el problema 2 ).

    5. (a) Suponiendo que la temperatura en la superficie del sol es 5700K, utilice la ley de Stefan, (1-2), para determinar la masa en reposo que se pierde por segundo en la radiacin del sol. Tome el dimetro del sol como 1.4 X 109 m. (b) Qu fraccin de la masa en reposo del sol, se pierde cada ao en radiacin electromagntica? Suponga que la masa en reposo del sol es 2.0 X lO^kg.

    6 . En una explosin termonuclear, la temperatura en la bola de fuego es, momentneamente, 10? K. Encuentre la longitud de onda para la cual la radiacin emitida es mxima.

    7. A una temperatura dada . = 6500 para una cavidad de cuerpo negro. Cul ser si la temperatura de las paredes de la cavidad aumenta de modo que la razn de emisin de radiacin espectral se duplica?

    8 . A qu longitud de onda emite el cuerpo humano su radiacin trmica mxima? Haga una lista de las hiptesis que se hagan para llegar a una respuesta.

    9. Suponiendo que ^Jll(jx est en el infrarrojo carcano para calor rojo, y en el ultravioleta cercano para calor azul. En la ley del desplazamiento de Wien aproximadamente, qu temperatura corresponder al calor rojo? Al calor azul?

    1 0 . La razn promedio de radiacin solar que incide sobre la tierra, por unidad de rea es 0.485 cal/cm2- min (o 355 W /m 2). (a) Explique la consistencia de este nmero con la constante solar (energa solar que llega a la tierra por unidad de tiempo incidiendo normal a una unidad de rea de la superficie terrestre) cuyo valor es 1.94 cal/cm2-min (o 1340 W /m 2). (b) Considere la tierra como un cuerpo negro que rada energa al espacio en esta misma razn. Cul sera la temperatura de la superficie de la tierra bajo estas circunstancias?

    1 1 . Demuestre que la ley de radiacin de Rayleigh-Jeans. (1-17), no es consistente con la Ley del desplazamiento de Wien vmax oC T, (l-3a), o Amax T = const, (l-3b).

    12. A partir del espectro del cuerpo negro, se puede obtener de dpT (v)/dv = 0 y Aniax de dpT {X)d?. = 0. Por qu a partir de Am' x T const O vmaj. = const x T no es posible obtenerlas si se utiliza simplemente Ajnax = c/vmax ? Es decir, por qu es errneo suponer que>ma;.A1UftX = c, donde c es la velocidad de la luz?

    13. Considere los nmeros siguientes: 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 1, 0, como representando el nmero de cuadrangulares, logrado por cada miembro de los Orioles de Baltimore en un juego reciente, (a) Calcular directamente el nmero promedio de cu adranguiar es por hombre, (b) Sea x una variable que

  • 44 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

    especifica el nmero de cuadrangulares obtenidos por un hombre, y sea f(x) el nmero de veces que el nmero x aparece. Demuestre que el nmero promedio de cuadrangulares por hombre se puede escribir como

    ! > / ( * )o* = 4-------

    /o*)0(c) Sea p(x) la probabilidad de obtener el nmero x. Demuestre que x est dado por

    (x)dx J = x x

    14. Considere la funcin

    / ( * ) = ( 1 * ) 2 0 ^ x ; 1 0

    f ( x ) = 0 para cu a lq u ie r o tra x(a) A partir de

    CO

    j x f (x ) dx_ O* = 5----------J f ( x ) d x

    00

    encuentre el valor promedio de x. (b) Suponga que la variable x es discreta en lugar de continua. Adems, Ax = 1, de modo que x slo toma valores enteros 0, 1, 2,..., 10. Calcule x y comprelo con el resultado de la parte (a). (Sugerencia: puede ser ms fcil calcular la suma apropiada directamente, en lugar de trabajar con frmulas generales de sumas), (c) Calcule x para Ax = 5, es decir x = 0,5,1 0 . Comprelo con el resultado de la parte (a), (b) Obtenga analogas entre los resultados obtenidos en este problema y el anlisis de la seccin 1-4. Asegrese de entender los papeles que juegany P(

  • 22 . 1

    2.2

    2 . 3

    2 . 4

    2 . 5

    2.6

    2 . 7

    Fotones-Propiedades corpusculares de la

    radiacin

    In trodu ccin 4 7

    In teraccin de radiacin con materia.

    El efecto fo toelctrico 4 7

    Potencia! de frenam ien to ; f recuencia de corte; ausenc ia de tiempo de retraso.

    T eora cuntica de E in stein del efecto fo toelctrico 5 0

    Fotones; cuantizacin de la energa de! fo tn ,func in de trabajo ;reevaluacin de la co n s tan te de Planck; espectro e lectrom agntico; conservacin del impulso.

    El efecto C om pton 5 5

    Corrim ien to Com pton; derivacin de las ecuaciones de Com pton; longitud de onda de C om pton ; dispersin de T hom son ; com petencia en tre las dispersiones T hom son y Com pton.

    Naturaleza dual de la radiacin electrom agntica 61

    Difraccin; desdoblamiento de personalidad de la radiacin electrom agntica; acti tud con tem pornea de los Fsicos.

    F otones y em isin de rayos X 6 2

    Emisin de rayos X; brem sstrah lung ; relacin de b rem sstrah lung a efecto fo to elctrico.

    P rod u ccin y an iq