Física Cuántica

Sólidos III. Electrones en sólidos.Jose Manuel Lopez y Luis Enrique Gonzalez

Universidad de Valladolid

Curso 2004-2005 – p. 1/59

MODELO DE DRUDE• Thomson descubrió el electrón en 1897• Tres años más tarde Drude propuso su modelo

teórico para la conducion térmica y eléctrica enmetales.

• Un metal se aproxima por un gas de electronesencerrados en el interior del volumenmacroscópico del metal.

• Debe existir otro tipo de partículas cargadaspositivamente y que Drude supuso inmóviles.

• Se puede aplicar a este "gas" la teoría de losgases.

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• Entre dos choques consecutivos los electrones semueven sin influencia de los otros electrones y laspartículas positivas inmóviles. La aproximaciónde suponer que los electrones se mueven sininfluencias de los otros electrones se conocecomola aproximacion de electronesindependientes, la suposición de la no influenciade los "iones" se conoce comola aproximacionde electrones libres

• Las colisiones, en el modelo de Drude, soneventos instantáneos que alteran la velocidad delelectrón de forma abrupta.

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• La probabilidad de que un electrón sufra unacolisión por unidad de tiempo es1/τ dondeτ seconoce como tiempo de relajación, tiempo decolisión o tiempo libre medio.

• En el modelo de Drude el tiempo de colisión sesupone independiente de la la velocidad oposición del electrón.

• Durante el tiempoτ los electrones recorren unadistancial = voτ , llamada recorrido libre medio.vo es la velocidad electrónica promedio.

• Los electrones adquieren el equilibrio térmicosolamente por medio de colisiones.

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Conductividad eléctrica de un metalEl modelo de Drude permite explicar la ley de Ohm yse puede estimar, dentro del modelo, la resistividad deun conductor,

1

ρ= σ =

ne2τ

m

siendon la densidad de electrones. A partir de estarelación se puede obtener el tiempo de relajaciónτ ,puesto que la resistividad es una magnitud medibleexperimentalmente. A temperatura ambiente resultaser del orden de10−15 − 10−14 s. Vease Tabla 1.3

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En tiempos de Drude es totalmente natural estimar lavelocidad a partir del principio clásico deequipartición de la energía, lo que nos lleva a unavelocidadvo de107 cm/sg y a un camino libre mediode 1-10 Å(del orden de la distancia interatómica).

Sin embargo, medidas experimentales realizadassobre materiales cuidadosamente preparados sepueden conseguir caminos libres medios del orden decentimetros, lo que significa que los electrones no"rebotan" en los iones como supone Drude.

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Conductividad térmica de un metalEl mayor exito del modelo de Drude fue laexplicación de la ley empirica de Wiedemann y Franz(1853), que establece que la razón entre laconductividad térmica y eléctrica de un metal esdirectamente proporcional a la temperatura con unaconstante de proporcionalidad universal. Vease Tabla1.6A partir del modelo de Drude se obtiene:

κ =1

3v2

ocvτ

siendocv el calor específico electrónico.

Curso 2004-2005 – p. 8/59

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Aplicando la estadística clásica (12mv2

o = 32kBT , cv = 3

2nkB) se

obtieneκ

σT=

3

2

(

kB

e

)2

en total acuerdo con la citada ley.

El valor de la constante es de1.11 × 10−8 watios ohm/K2, que es

del orden de la mitad de los valores experimentales.

Casualmente, Drude se equivocó en la deducción de la

conductividad eléctrica encontrando la mitad del resultado

correcto, con lo cual el valor deκ/σT obtenido era el doble, es

decir2.22 × 10−8 watios-ohm/K2, en acuerdo excelente con el

experimento.

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MODELO DE SOMMERFELDDrude utilizó la estadistica de Maxwell-Boltzmann (laúnica conocida en la época) para determinar laspropiedades electricas y térmicas del gas deelectrones. Esta estadistica predice una contribuciónde 3

2kB por electrón al calor especifico que está en

total desacuerdo con los resultados experimentales(100 veces menos). Este hecho fue inexplicabledurante un cuarto de siglo, hasta que Pauli propuso elprincipio de exclusión para electrones en átomos.Sommerfeld intuyó que este principio deberíaaplicarse a los electrones del gas, es decir, que laestadística que debia usarse era la de Fermi-Dirac.

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El estado fundamental de un gas deelectronesEmpezaremos examinando el estado fundamental deun gas de electrones, que es el que correspondería auna temperatura T=0 K, y veremos que a temperaturaambiente este gas de electrones no difiereapreciablemente del gas a T=0 K.Consideremos N electrones (≡ 1023) encerrados en unvolumen V.

• Electrones libres• Electrones sin interacción• Calculamos los niveles posibles y colocamos los

electrones de acuerdo con el principio deexclusión de Pauli.

• Consideremos un cubo de lado LCurso 2004-2005 – p. 12/59

Ecuación de Schrodinger:

− ~2

2m∇2Ψ = EΨ

La solución es

Ψ =1√Vei~k~r E(k) =

~2k2

2m

El factor 1√V

garantiza que la función de onda estánormalizada.

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Condiciones de contorno• Sólido infinito⇒ V −→ ∞, esta no es la

situación más real.• Sólido finito muy grande (comparado con el

tamaño atómico), la solución para el interior delmismo no "verá" las paredes

Ψ(x, y, z + L) = Ψ(x, y, z)

Ψ(x, y + L, z) = Ψ(x, y, z)

Ψ(x+ L, y, z) = Ψ(x, y, z)

⇓condiciones de Born-von-Karman

Curso 2004-2005 – p. 14/59

En nuestro caso en concreto

ei(kxx+kyy+kzz) = ei(kxx+kyy+kz(z+L))

ei(kxx+kyy+kzz) = ei(kxx+ky(y+L)+kzz)

ei(kxx+kyy+kzz) = ei(kx(x+L)+kyy+kzz)

⇒ eikxL = eikyL = eikzL = 1

z complejo⇒ ez = 1 ⇒ z = 2πni, siendon un entero.

kxL = 2πnx , kyL = 2πny , kzL = 2πnz nx, ny, nz = 0,±1,±2, · · ·

kx =2π

Lnx ky =

2π

Lny kz =

2π

Lnz ⇒ ~k = (

2π

Lnx,

2π

Lny,

2π

Lnz)

Cuantizacion

Curso 2004-2005 – p. 15/59

¿Cuantos puntos están contenidos en una

región de volumenΩ del espacio-k?

Si la región es muy grande una muy buenaaproximación es el volumen de la región dividido porel volumen por punto en el espacio-k.

Ω

(2πL )3

=ΩV

(2π)3

por tanto la densidad de puntos (número de puntos porunidad de volumen) será:

V

8π3

Curso 2004-2005 – p. 16/59

N electrones (≡ 1023) independientes⇒ el estadofundamental se forma colocando estos electrones enlos niveles más bajos de energía que queden libres, esdecir, el primero en~k = 0 .... así hasta completar unaesfera de radiokF que corresponde a la enegía delúltimo electrónǫF : ǫF = ~

2k2

F/2m.

ǫF es el nivel (o energía) de Fermi ykF el vector deonda de Fermi

El número total de vectores~k permitidos será:

(4

3πk3

F ) (V

8π3) =

k3

FV

6π2

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Dado que para cada valor de~k permitido podemoscolocar dos electrones, para acomodarN electronesnecesitaremos llegar hasta

N = 2k3

FV

6π2

Si tenemos N electrones en un volumen V (densidadelectrónica n=N/V) el estado fundamental de este gasde electrones se obtiene ocupando todos los nivelesparak menor quekF y dejando desocupados todos losniveles de k mayor quekF , dondekF está dado por lacondición

n =k3

F

3π2Curso 2004-2005 – p. 18/59

• La esfera de radiokF se llama esfera de Fermi• La superficie de la esfera (superficie que separa

los niveles ocupados de los no ocupados a T=0)se llama superficie de Fermi

• Otras magnitudes de Fermi (momento, velocidad,....)

Todas estas cantidades pueden medirseexperimentalmente.

Curso 2004-2005 – p. 19/59

A menudo aparecen magnitudes de la forma∑

~k F (~k).En el espacio-k el volumen por punto vale∆~k = 8π3/V por tanto es útil escribir:

∑

~k

F (~k) =V

8π3

∑

~k

F (~k)∆~k .

En el límite en que∆~k → 0, es decir, cuandoV → ∞, podemos sustituir la suma por la integral

limV →∞

1

V

∑

~k

F (~k) =

∫

d~k

8π3F (~k)

Curso 2004-2005 – p. 20/59

La energía del estado fundamental será la suma:

E = 2∑

k<kF

~2k2

2m.

Aplicando la relación anterior:

E

V=

1

4π3

∫

k<kF

d~k~

2k2

2m=

1

π2

~2k5

F

10m

La energía por electrón será:

E

N=

3

5ǫF =

3

5kBTF

dondeTF es la temperatura de Fermi.Curso 2004-2005 – p. 21/59

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Propiedades térmicas del gas de elec-tronesPara que la distribución de Fermi-Dirac y el llenado de niveles a

T = 0 sean consistentes entre sí es necesario que el potencial

químico a esa temperatura sea igual a la energía de Fermi.

limT→0

µ = ǫF

A T 6= 0 se tieneµ 6= ǫF pero la diferencia es muy pequeña para

casi todas las temperaturas de interés (incluyendo temperatura

ambiente). Esta diferencia, a pesar de ser pequeña, tiene

importantes consecuencias, por ejemplo en el cálculo del calor

específico electrónico.

Curso 2004-2005 – p. 23/59

Recordemos que la distribución de Fermi-Dirac nos daba la

probabilidad de ocupación de un nivelǫ

f(ǫ) =1

e(ǫ−µ)/kBT + 1

La energía del gas de electrones a temperaturaT será la suma de

las energías de los niveles multiplicadas por su ocupación media,

que será dos veces (por el spin) la probabilidad dada porf :

E =∑

~k

ǫ(~k)2f(ǫ(~k)) conǫ(~k) =~

2k2

2m

Esta energía depende deµ, que a su vez está determinado por la

condiciónN =∑

~k

2f(ǫ(~k))

Curso 2004-2005 – p. 24/59

El calor específico por otra parte escv =

(

∂E/V

∂T

)

V

.

Por tanto, para calcularlo primero hemos de obtenerµ en función

deT y n = N/V , sustituir esto en la expresión anterior de la

energía y finalmente hacer la derivada respecto aT .

Las ecuaciones son (pasando al límiteV → ∞)

E/V =

∫

d~k

4π3ǫ(k)f(ǫ(k)) =

∫

∞

0

dk k2

π2ǫ(k)f(ǫ(k)) =

=

∫

∞

0

dǫg(ǫ)ǫf(ǫ)

N/V =

∫

∞

0

dǫg(ǫ)f(ǫ)

Curso 2004-2005 – p. 25/59

donde hemos hecho un cambio de variable de integración y

definido ladensidad de estados

g(ǫ) =m

~2π2

√

2mǫ

~2=

3

2

n

ǫF

(

ǫ

ǫF

)1/2

Las integrales son complicadas dada la expresión def(ǫ). Su

forma sin embargo difiere de la correspondiente aT = 0 en una

zona alrededor deǫ = µ de anchura aproximadakBT . Por tanto

la dependencia de las integrales con la temperatura puede

calcularse de manera aproximada desarrollando los integrandos

en serie de Taylor entorno aǫ = µ (expansión de Sommerfeld) y

quedandose solo con el primer término.

Resultado en este caso⇒ cv =π2

3g(ǫF )k2

BTCurso 2004-2005 – p. 26/59

Conductividades electrica y térmica

Ha de usarse la estadística de F-D en lugar de la deM-B en los promedios. Esto implica que la “velocidadpromedio" utilizada en el modelo de Drude debe ser lavelocidad de FermivF lo cual afecta al recorrido libremedio, que queda aproximadamente multiplicado por10, y que el calor específico que aparece en laconductividad térmica debe ser el recien obtenido.Haciendo las cuentas resulta que

κ

σT=π2

3(kB

e)2 = 2.44 × 10−8watios-ohm/K2

en acuerdo excelente con el experimento.

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ALGUNOS MISTERIOS DEL MODELO DEELECTRONES LIBRES

Curso 2004-2005 – p. 28/59

ALGUNOS MISTERIOS DEL MODELO DEELECTRONES LIBRES

• ¿Qué determina el número de electrones deconducción?... Elementos polivalentes ...

Curso 2004-2005 – p. 28/59

ALGUNOS MISTERIOS DEL MODELO DEELECTRONES LIBRES

• ¿Qué determina el número de electrones deconducción?... Elementos polivalentes ...

• ¿Cómo es posible que algunos sólidos evidencienexperimentalmente (efecto Hall) conduccióneléctrica por cargas positivas?

Curso 2004-2005 – p. 28/59

ALGUNOS MISTERIOS DEL MODELO DEELECTRONES LIBRES

• ¿Qué determina el número de electrones deconducción?... Elementos polivalentes ...

• ¿Cómo es posible que algunos sólidos evidencienexperimentalmente (efecto Hall) conduccióneléctrica por cargas positivas?

• ¿Por qué hay sólidos no metálicos?... Odependiendo de la estructura (C) ...

Curso 2004-2005 – p. 28/59

ELECTRONES EN UN PO-TENCIAL PERIODICO.TEOREMA DE BLOCH Y BANDAS DEENERGIA.El potencial que sienten los electrones en un sólidopresenta todas las simetrías de la red que define suestructura. La más importante de todas es latraslacional, que implica que el potencial es periódicocon la periodicidad de la red.

V (~r + ~R) = V (~r) ∀~R ∈ red real

Esto tiene importantes implicaciones en las funcionesde onda y autovalores electrónicos en un sólido.

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Teorema de BlochEn primer lugar enunciamos elTeorema de Bloch:

Las funciones de onda de un electrón en un sólidopueden escribirse de la forma

ψn~k(~r) = ei~k~run~k(~r)

siendoun~k(~r) una función que presenta la

periodicidad de la redun~k(~r + ~R) = un~k(~r)

Alternativamente,ψn~k(~r + ~R) = ei~k ~Rψn~k(~r)

Se trata por tanto de ondas planas, cuya amplitud estámodulada por una función con la periodicidad de lared⇒ es suficiente estudiarla en una celda unidad.

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En cuanto a los vectores de onda~k tambien es suficiente

considerar que están en la primera zona de Brillouin. Si no lo

estuviera podríamos siempre encontrar un vector~G ∈ red

recíproca tal que~k = ~k′ + ~G con~k′ en la primera zona de

Brillouin. Dado queexp[i ~G~R] = 1 para todos los vectores de las

redes real y recíproca se ve que si la forma de Bloch de la

función de onda es válida para~k tambien lo es para~k′.

Para cada valor de~k la función de ondaψ se obtiene resolviendo

la ecuación de Schrödinger, que se traduce en una ecuación para

la función de Blochu, que habrá que resolver en una celda

unidad y con condiciones de contorno periódicas

u(~r + ~R) = u(~r). Esta ecuación tendrá una serie de autovalores

ǫn~k y n simplemente nos los indexa.Curso 2004-2005 – p. 31/59

Bandas de energía

En la ecuación parau el vector~k aparece como unparámetro y por tanto las funciones de onda y losautovalores variarán con~k de manera continua, lo cualsuele expresarse escribiendo los autovalores comoǫn(~k). Además ésta función debe ser periódica con la

periodicidad de la red recíproca,ǫn(~k + ~G) = ǫn(~k).Continua + periodica⇒ acotada, es decir hay un valormáximo y uno mínimo⇒ cadan define unabanda deenergía. El conjunto de todas las bandas de energíanos da laestructura de bandasdel sólido.

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Imponiendo condiciones de Born-von-Karman a unsólido formado porN = N1N2N3 celdas primitivas,siendoNi el número de celdas en la dirección delvector~ai, es facil demostrar que el número de vectores~k permitidos es precisamenteN , es decir, el númerode celdas primitivas del cristal, y que la densidad depuntos en el espacio recíproco esV/8π3 exactamenteigual que en el caso de los electrones libres.

Estado fundamentalSe obtiene llenando las bandas de energía con loselectrones disponibles (2 por nivel) en orden crecientede energías. Como resultado podemos encontrar lossiguientes casos:

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• Existe una última banda llena y una primerabanda vacía separadas por un intervalo deenergías (gap). Si el gap es grande comparadocon la energía térmica (kBT ) el sistema es unaislante. Si el gap es comparable con la energíatérmica el sistema es unsemiconductor.

• La última banda ocupada no está completamentellena, o bien existe un solapamiento grande entrela “última llena" y la “primera vacía". El sistemaes un metal.

• Existe un solapamiento muy pequeño entre laultima banda llena y la primera vacía. En estecaso el sistema es unsemimetal.

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Origen de las bandas de energíaAtomo⇒ niveles energéticos atómicos (1s, 2s, 2p, etc).

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Origen de las bandas de energíaAtomo⇒ niveles energéticos atómicos (1s, 2s, 2p, etc).

Molécula diatómica⇒ los niveles electrónicos que a separación

infinita coincidían con los atómicos, pero degenerados, se

separaban en 2 niveles distintos al disminuir la distancia,debido

fundamentalmente alsolapamientoentre los orbitales.

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Origen de las bandas de energíaAtomo⇒ niveles energéticos atómicos (1s, 2s, 2p, etc).

Molécula diatómica⇒ los niveles electrónicos que a separación

infinita coincidían con los atómicos, pero degenerados, se

separaban en 2 niveles distintos al disminuir la distancia,debido

fundamentalmente alsolapamientoentre los orbitales.

Butadieno⇒ los orbitalespz de los 4 átomos de C, que a

separación infinita tendrían la misma energía, se desdoblaban en

4 niveles moleculares.

Curso 2004-2005 – p. 37/59

Origen de las bandas de energíaAtomo⇒ niveles energéticos atómicos (1s, 2s, 2p, etc).

Molécula diatómica⇒ los niveles electrónicos que a separación

infinita coincidían con los atómicos, pero degenerados, se

separaban en 2 niveles distintos al disminuir la distancia,debido

fundamentalmente alsolapamientoentre los orbitales.

Butadieno⇒ los orbitalespz de los 4 átomos de C, que a

separación infinita tendrían la misma energía, se desdoblaban en

4 niveles moleculares.

Sólido⇒ los niveles atomicos que corresponden a una

separacion infinita entre losN atomos se desdoblan enN

niveles, dando lugar a las bandas de energıa. Ası en principio

podremos asignar una banda al nivel atomico 1s, otra banda al

2s, etc.Curso 2004-2005 – p. 37/59

La anchura de la banda dependerá de la distancia de equilibrio de

la red (separación entre los átomos) y será mayor para los

niveles altos en energía que para los más bajos, debido a que el

solapamiento de los orbitales correspondientes será mayor.

Si la anchura de la banda es muy grande puede solapar con la

banda anterior⇒ banda tiposp.

Curso 2004-2005 – p. 38/59

Conducción electrica, movimiento semiclásico,

masa efectiva

Si consideramos un electrón descrito por un paquetede ondas centrado en un vector~k de la primera zonade Brillouin y con dispersión∆~k pequeña comparadacon el tamaño de la propia primera zona de Brillouin,resulta que podemos definir la velocidad de dichoelectron como la velocidad de grupo asociada alpaquete de ondas:

~v =1

~

∂ǫn(~k)

∂~k

Esta sería la velocidad que en la teoría de Bloch debeasociarse a cada electrón a la hora de calcular lacorriente eléctrica.

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Es fácil demostrar que sumando la contribución detodos los electrones de una bandan que se encuentrecompletamente ocupada, el resultado para la corrientees nulo. En otras palabras, los electrones que están enbandas llenas son “inertes". Esto permitedeterminarel número de portadores:son aquellos que estan enbandas parcialmente ocupadas.

Curso 2004-2005 – p. 40/59

Si un sólido tiene todas las bandas llenas o vacíasentonces no conducirá la electricidad. Teniendo encuenta que el número de niveles por cada banda es 2veces el número de celdas primitivas del cristal, estáclaro que si el número de electrones por celdaprimitiva es impar necesariamente ha de haber bandasocupadas sólo parcialmente y el sistema seráconductor. Por tanto, condiciónnecesariapara que unsistemano sea conductores tener unnúmero deelectrones par por celda primitiva(No es condiciónsuficiente porque el solapamiento de bandas puedeproducir bandas parcialmente ocupadas ...)

Curso 2004-2005 – p. 41/59

Supongamos un electrón sometido a una fuerzaexterna. El trabajo realizado por la fuerza durante unintervalo de tiempoδt será

δǫ = ~Fδ~r = ~F~vδt =~F

~

∂ǫ(~k)

∂~kδt

Por otra parte

δǫ =∂ǫ(~k)

∂~kδ~k

Entonces (ecuación semiclásica del movimiento delelectrón):

~d~k

dt= ~F

Curso 2004-2005 – p. 42/59

De manera similar, si derivamos respecto del tiempola ecuación que define la velocidad de grupo yaplicamos la ecuación semiclásica del movimientoobtenemos:

d~v

dt=

1

~

d

dt∇~kǫ(

~k) =1

~∇2

~kǫ(~k)

d~k

dt=

1

~2∇2

~kǫ(~k)~F

que tiene la forma “fuerza = masa aceleracion" siidentificamos

1

m∗ =1

~2∇2

~kǫ(~k)

Curso 2004-2005 – p. 43/59

A esta masam∗ se la denomina masa efectivaelectrónica, y depende de la banda que se estéconsiderando y tambien de~k en general. Paraelectrones libres (ǫ = ~

2k2/2m) la masa efectiva esigual a la masa del electron pero para electrones enuna red periódicam∗ puede tomar cualquier valor,incluso negativo, lo cual ocurre habitualmente en lazona superior de las bandas.

Curso 2004-2005 – p. 44/59

HuecosConsideremos una banda que tiene ocupados todossus estados excepto uno, asociado un vector de onda~ke. Si la banda estuviera completamente llena el valorque podría asignarse a toda la banda sería cero. Portanto con todos los estados ocupados excepto~ke

podemos asignar a la banda un vector de onda−~ke.

Supongamos que aplicamos un campo eléctricoexterno. Todos los electrones de la banda se moveránsegún su ecuación semiclásica del movimiento,~Fe = ~d~k/dt

Curso 2004-2005 – p. 45/59

Por ejemplo, si la fuerza correspondiente es hacia laizquierda, el electron que ocupa el estadoinmediatamente a la derecha de~ke pasará a ocuparéste y así sucesivamente, mientras que los electronesque ocupaban estados inicialmente a la izquierda de~ke igualmente se moverán hacia la izquierda, dejandolibre el estado inmediatamente a la izquierda de~ke. Escomo si el estado desocupado se hubiera desplazadohacia la izquierda como consecuencia de la fuerzaaplicada. Es importante notar que el vector de ondatotal que se puede asignar a la banda, que erainicicalmente−~ke se habrá por tanto desplazadohacia la derecha.

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La situación se puede describir más facilmentediciendo simplemente que tenemos unhuecoen labanda, al cual asignamos un vector de onda~kh = −~ke

y que se mueve según la ecuación semiclásica~d~kh/dt = −~Fe, siendo~Fe la fuerza que actuaríasobre un electrón. Pero esta fuerza es la misma quesufriría una partícula identica a un electron pero concarga positiva. Por tanto si asociamos al hueco unacarga contraria en signo a la del electron podremosescribir su ecuación semiclásica del movimiento como~d~kh/dt = ~Fh, siendo~Fh la fuerza que sufre el hueco.

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Utilizando argumentos análogos se puede asignar alhueco una energía, medida desde el tope de la banda,ǫh(~kh) = −ǫe(~ke) y una masa efectivam∗

h = −m∗e.

Recordando que lam∗e cerca del tope de la banda

suele ser negativa resulta que la correspondiente masadel hueco cerca del tope de la banda seráhabitualmente positiva.

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Resumiendo un hueco es simplemente la ausencia deun electron en una banda, pero todo puede describirsecomo si tuviera una entidad física, con masa efectivaigual a la negativa de la del electron, carga igual a ladel electron pero de signo positivo, vector de ondacontrario al del electron que falta y energía que crecehacia abajo de la banda.Evidentemente los huecos contribuyen a la corrienteelectrica (son equivalentes a una banda que no estátotalmente llena) y de hecho su contribución es muyimportante no solo en semiconductores sino tambienen algunos metales.

Curso 2004-2005 – p. 49/59

Semiconductores intrinsecos yextrinsecosHemos comentado que un semiconductor es un sólidoen el que existe un gap de energías entre la últimabanda ocupada (de valencia) y la primera desocupada(de conducción) que no es muy grande comparadocon la energía térmicakBT .

Esto implica que la agitación térmica puede excitaralgunos electrones que pasan de la banda de valenciaa la de conducción.

Interpretandolo de otra manera, la agitación térmicacrea huecos en la banda de valencia y electrones en lade conducción (en un número igual).

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Al aumentar la temperatura evidentemente aumentaráel número de electrones y de huecos y por tanto ladensidad de portadores y consecuentementeaumentará la conductividad electrica del sistema.

Esta dependencia deσ(T ) es justamente contraria a laque se tiene en un metal, en el cual la densidad deportadores es constante, pero al aumentarT lasvibraciones de la red aumentan (se crean másfonones) con lo cual los choques aumentan yτdisminuye, disminuyendo por tantoσ al aumentarT .

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Este tipo de semiconductores, con concentracionesiguales de electrones y huecos se llamansemiconductores intrínsecos. Tambien se puedenconstruir semiconductores extrínsecos en los cuales laconcentracion de uno de los dos tipos de portadores esmayor que la de otro, dando lugar a semiconductoresde tipo n (más electrones) o de tipo p (más huecos).Estos se pueden construir añadiendo impurezas(envenenando, en inglesdoping, en espanglishdopando) al sistema.

Curso 2004-2005 – p. 52/59

Para el silicio (valencia 4) podemos por ejemplo añadir

impurezas de arsénico (valencia 5) que crean niveles (o bandas

muy estrechas) muy cerca del fondo de la banda de conducción

que albergan los electrones extra debidos a la mayor valencia del

arsénico. Estos niveles están tan cerca de la banda de conducción

que la energía térmica básicamente los vacía completamentey

los electrones pasan a la banda de conducción⇒ semiconductor

extrínseco de tipo n.

Si en cambio añadimos impurezas de boro (valencia 3) lo que

ocurre es que se crean niveles (bandas muy estrechas) vacíos

muy cerca de la banda valencia del silicio, con lo cual la

agitación térmica básicamente los llena todos, dejando los

correspondientes huecos en la banda de valencia⇒semiconductor extrínseco de tipo p. Curso 2004-2005 – p. 53/59

La union pn (diodo)Juntemos un semiconductor tipo p que tiene una altaconcentración de huecos (p) con un semiconductortipo n con alta concentración de electrones (n).Contacto⇒ difusión de huecos hacia el lado n y deelectrones hacia el lado p.Efectos:

• En la zona cerca del contacto se recombinanelectrones y huecos formando una región vacía deportadores.

• El lado p queda cargado negativamente y el ladon queda cargado positivamente, creando unabarrera de potencial y un campo eléctrico de n a pque inhibe la difusión, hasta que se alcanza unasituación de equilibrio.

Curso 2004-2005 – p. 54/59

Fotodiodos, células fotovoltaicas

Si en la zona vacía de portadores un fotón de laenergía adecuada es absorbido entonces puede crearseun par electrón-hueco, el electrón es empujado haciael lado n y el hueco hacia el lado p por el campoeléctrico existente en esa zona, dando lugar a unacierta corriente eléctrica desde n hacia p.

Este es el funcionamiento básico de los fotodiodos ylas células fotovoltaicas. Curso 2004-2005 – p. 55/59

Corrientes en una unión pn

Consideraremos sólo las debidas a los huecos, el casode los electrones es completamente análogo.

• de recombinación.Si en la zona n se produce unarecombinación e-h entoncesp disminuye y haceposible una difusión de huecos desde p a n. EstacorrienteIr está dificultada por la barrera depotencial.

• de generación térmica.En la zona n la excitacióntérmica puede crear pares e-h, y los huecosgenerados son empujados por~E hacia la zona p.Esta corrienteIg solo depende básicamente de latemperatura.

En el equilibrioIg + Ir = 0.Curso 2004-2005 – p. 56/59

Polarización directa

Si conectamos una diferencia de potencial externaVcon el polo positivo en el lado p ocurre lo siguiente:

• Los huecos de la zona p son empujados hacia n ylos electrones de n hacia p, reduciendo de estamanera la zona vacía de portadores.

• La barrera de potencial disminuye.

¿Qué ocurre con las corrientes?• Ig no varía (depende sólo de T).Ig = Ig(V = 0)

• Ir aumenta≈ en un factor relacionado con lacomparación entre la energía electrostáticaganada debido al potencial externo (eV ) y laenergía térmica (kBT ). Ir = Ir(V = 0)eeV/kBT

Resultado neto: corriente de p a n. Curso 2004-2005 – p. 57/59

Polarización inversa

Si conectamos una diferencia de potencial externaVcon el polo positivo en el lado n ocurre lo contrario:

• La zona vacía de portadores se hace mayor.• La barrera de potencial aumenta.

¿Qué ocurre con las corrientes?• Ig no varía (depende sólo de T).Ig = Ig(V = 0)

• Ir disminuye.Ir = Ir(V = 0)e−eV/kBT

Resultado neto: corriente de n a p, pero muy pequeña(practicamente sólo la de generación térmica).

Curso 2004-2005 – p. 58/59

Característica V-I para un diodo

Tomando V como negativo si colocamos polarizacióninversa, y sumando las corrientes debidas a loselectrones el resultado final para la corriente puedeescribirse como

I = Is

(

eeV

kBT − 1)

V

I

Curso 2004-2005 – p. 59/59