1

CAMPO ELÉCTRICO - RESUMEN

1. La carga eléctrica. Es la propiedad de la materia causante de la interacción electromagnética. Su unidad en el S.I. es el Culombio. La carga eléctrica está cuantificada y su unidad más elemental es la carga del electrón. Cualquier carga es un múltiplo entero de la carga del electrón, e , y su valor es:

e = 1'6.10-19

C Existen dos tipos de cargas, positivas y negativas. La interacción electrostática entre dos cargas del mismo signo es repulsiva, siendo atractiva entre cargas de signo opuesto. La carga eléctrica se conserva en cualquier proceso que tenga lugar en un sistema aislado. 2. Ley de Coulomb. Esta ley describe matemáticamente la interacción electrostática de la forma:

r2u

r

'QQKF

donde es un vector unitario en la dirección de la

recta que une las cargas Q y Q’ y cuyo sentido apunta hacia una separación relativa de las cargas. De este modo si las cargas son de distintos signo, la fuerza tiene signo negativo, lo que significa que la interacción es atractiva. El valor de la constante K depende del medio dónde se encuentren las cargas, y su valor para el vacío es de 9.10

9 N.m

2/C

2. A

veces, K se suele expresar en función de otra constante, la permitividad del medio ε , de la forma:

4

1K

Para el vacío, el valor de la permitividad eléctrica ε0 es de 8'9.10

-12

C2/N.m

2.

Las características de la interacción electrostática son:

• Depende directamente proporcional al valor de las cargas y varía conforme al inverso del cuadrado de la distancia. • Es central y, por lo tanto, conservativa. • Tiene un valor que depende del medio, a diferencia de lo que ocurre con la interacción gravitatoria. 3. Principio de Superposición de Fuerzas. Si existen más de dos cargas, la fuerza resultante que actúa sobre una carga dada es igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales que sobre dicha carga ejercen las demás. Es decir:

n

2i

1i1sobreTotal FF

4. Campo Eléctrico. Es la región del espacio cuyas propiedades son alteradas por la presencia de una carga. El campo eléctrico queda definido por su Intensidad en cada punto (perspectiva dinámica) y por el Potencial en cada punto (perspectiva energética). Estas magnitudes sólo dependen de la carga creadora del campo y de la posición del punto considerado. El efecto del campo sobre una carga testigo colocada en dicho campo queda definido por la Fuerza que actúa sobre la carga testigo (perspectiva dinámica) y la Energía Potencial asociada a la posición relativa de la carga testigo en el campo (perspectiva energética).

5. Intensidad del Campo Eléctrico, E

, en un

punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de carga testigo positiva colocada en dicho punto. Es decir:

'Q

FE

Su unidad en el S.I. es el N/C. La expresión matemática en función de la carga Q creadora del campo y de la distancia r al punto considerado es:

2

r2u

r

QKE

Luego: • La intensidad del campo eléctrico disminuye con la distancia. • El campo originado por una carga puntual es un vector de dirección radial. • Si la carga creadora del campo es positiva, el sentido del campo es hacia afuera; si es negativa, el sentido del campo se dirige hacia la carga. • El sentido del campo coincide con el sentido del movimiento que adquiriría una carga testigo positiva colocada en un punto del campo. Luego, las cargas positivas se moverán en el sentido del campo y las negativas en sentido contrario al campo. 6. Principio de superposición de campos. La intensidad del campo creado por un número cualquiera de cargas puntuales es igual a la suma vectorial de los campos originados individualmente por cada una de las cargas. Matemáticamente se expresa de la forma:

n

1i

iTotal EE

7. Líneas de Fuerza del campo eléctrico. Son una forma visual de representar el campo eléctrico. Sus características son: • Se trazan de modo que su dirección y sentido coincidan en cada punto con la intensidad del campo eléctrico. • Su número es proporcional a la magnitud de la carga. Así, de una carga doble, saldrán el doble de líneas de fuerza. • El número de líneas que atraviesan una unidad de superficie normal a ellas (densidad de líneas de fuerza) es proporcional al valor del campo en cada punto. Así, la densidad es mayor en las proximidades de las cargas puntuales y menor a medida que nos alejamos de ellas. • Dos líneas no pueden cortarse nunca, de o contrario en el punto de corte habría dos vectores de campo distintos, lo que va en contra de que en un punto del espacio solo existe un único vector intensidad de campo E resultante.

• Las líneas de fuerza son perpendiculares a sus correspondientes superficies equipotenciales. 8. Energía potencial eléctrica. Al ser conservativa la interacción electrostática podemos asociar una energía potencial eléctrica a la posición relativa de una carga testigo dentro de un campo eléctrico. La expresión matemática es:

r

'QQKEp

• Es una magnitud escalar, cuya unidad en el S.I. es el Julio. • El nivel cero de energía potencial eléctrica se encuentra en el infinito. • El signo de la energía potencial asociada a la interacción electrostática depende del signo de las cargas que intervienen. Si las cargas son del mismo signo, la energía potencial electrostática es positiva, aumentando con el acercamiento de las cargas como corresponde a una interacción repulsiva. Si las cargas son de signo contrario, la energía potencial eléctrica es negativa, aumentando con el alejamiento de las cargas, como corresponde a una interacción atractiva. • La energía potencial de un sistema de más de dos cargas se obtiene calculando la energía potencia entre cada par de cargas (una sola vez) y sumando algebraicamente los resultados. Para un sistema de tres cargas la expresión de la energía potencial total sería:

23

32

13

31

12

21Sistema

r

QQ

r

QQ

r

QQKEp

Físicamente, la energía potencial de un

sistema de partículas mide el trabajo necesario para ensamblar el sistema en dichas posiciones acercando para ello las cargas desde el infinito. 9. Potencial Eléctrico en un punto. Representa la energía potencial que correspondería a la unidad de carga testigo positiva colocada en ese punto.

'Q

EpV

3

donde Q’ es la carga testigo colocada en el punto considerado. Para el caso de cargas puntuales la expresión del potencial en función de la carga Q creadora del campo y de la distancia r al punto considerado es:

r

QKV

• El potencial eléctrico es una magnitud escalar cuya unidad en el S.I. es el J/C = Voltio (V). • El potencial será positivo si la carga que origina el campo es positiva, siendo negativo cuando también lo es la carga creadora del campo. • El nivel cero de potencial corresponde al infinito. • El potencial en un punto representa el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar la unidad de carga positiva desde el punto considerado hasta el infinito. • el potencial en un punto debido a un sistema de varias cargas puntuales es la suma algebraica de los potenciales originados por cada una de las cargas por separado. Es decir:

n

1i i

in

1i

iTotalr

QKVV

10. Diferencia de potencial entre dos puntos. La diferencia de potencial entre dos puntos A y B, VB - VA , equivale al trabajo que debe realizarse contra el campo para desplazar la unidad de carga testigo positiva desde el punto A hasta el punto B, suponiendo que no varia su energía cinética. Matemáticamente se expresa de la forma:

B

AAB rdEVV

También podríamos expresarla de la

forma:

B

ABA rdEVV

Y, en este caso, la diferencia de potencial VA - VB entre dos puntos A y B, representa el trabajo que realiza el campo para desplazar la unidad de carga positiva desde el punto A al B, es decir:

'Q

WVV BA

BA

11. Superficies equipotenciales. Es el conjunto de puntos que tienen el mismo valor de potencial. Sus características son: • En cada punto de la superficie equipotencial el vector , y por lo tanto las líneas de fuerza, es

perpendicular a la superficie. • Para cargas puntuales, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas a la carga. • Cuando una carga se desplaza por una superficie equipotencial, el campo eléctrico no realiza trabajo alguno sobre ella. 12. Relación entre el campo eléctrico y el potencial. Existe una relación entre las dos maneras de representar el campo eléctrico: mediante intensidades o mediante potenciales. Matemáticamente se expresa de la forma:

cosdrEdVrdEdV

Si el campo eléctrico va en la dirección del eje X, tendríamos que:

idx

dVE

lo que implica que: • El campo eléctrico va en el sentido de los potenciales decrecientes. • Como las cargas positivas se mueve en el sentido del campo eléctrico, podremos decir que las cargas positivas se moverán en el sentido de los potenciales decrecientes y las cargas negativas se moverán en el sentido de los potenciales crecientes. 13. Teorema de Gauss. Relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga contenida en su interior. El flujo del campo eléctrico es:

SdE

y representa una medida del número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie dada. El teorema de Gauss nos indica que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier

4

superficie cerrada es independiente de la forma de la superficie e igual a la carga neta contenida divida por ε0 . Matemáticamente se expresa de la forma:

0

netaQ

El teorema de Gauss nos permite calcular el campo eléctrico de forma fácil para algunas situaciones. El procedimiento para aplicarlo es el siguiente: a) Se elige la superficie cerrada de área conocida, de modo que el campo sea perpendicular a ella. Esta superficie se denomina gaussiana. b) Se calcula el flujo a través de ella. c) Se iguala el flujo obtenido a la expresión del teorema de Gauss. 14. Estudio comparativo de los Campos Gravitatorio y Electrostático. Comparando las expresiones:

r2

21r2

21 ur

QQkFyu

r

mmGF

correspondientes a las interacciones gravitatoria y electrostática, vemos que presentan unas analogías y diferencias.

Analogías entre los campos gravitatorio y electrostático

1. Ambos campos son campos de fuerza centrales, ya que las fuerzas que se ejercen sobre las partículas en ellos introducidas están dirigidas hacia la masa o la carga que los crea. 2. La fuerza central que define ambos campos es de tipo newtoniano, es decir, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. 3. Ambos campos de fuerzas presentan simetría esférica, ya que, al ser

ru)r(FF

, su módulo es el mismo para todos

los puntos de una esfera concéntrica con el centro de fuerzas.

4. Los dos campos de fuerzas son conservativos, porque el trabajo realizado por una fuerza central de tipo newtoniano que presenta simetría esférica sólo depende de los puntos inicial y final del recorrido, y no de la trayectoria seguida. 5. Las dos interacciones cumplen el Principio de Superposición, es decir, las fuerzas de interacción que actúan sobre una partícula, debidas a un conjunto de ellas, es igual a la suma de la que ejerce cada una sobre aquella, calculada en cada caso como si sólo existiese dicho par.

Diferencias entre el campo gravitatorio y el electrostático

1. El campo gravitatorio es universal, es decir, se ejerce sobre todos los cuerpos. Sin embargo el campo electrostático no lo es, ya que se ejerce sólo sobre los cuerpos cargados. 2. La interacción gravitatoria no depende del medio mientras que la electrostática si depende de él. 3. La interacción gravitatoria es siempre atractiva. Las interacciones electrostáticas pueden ser atractivas o repulsivas dependiendo del signo de las cargas. La existencia de dos tipos de cargas, así como la movilidad de ciertas cargas, como los electrones en los metales, es en gran parte la causa de los diferentes comportamientos de las interacciones gravitatorias y electrostáticas. 4. La constante eléctrica K viene a ser unas 10

20 veces mayor que la constante

gravitatoria G. Esto indica que la interacción gravitatoria es mucho más débil que la electrostática. Esta diferencia de valor tiene una consecuencia en la práctica: en el estudio de los fenómenos eléctricos en que intervienen pequeñas masas los efectos gravitatorios son despreciables. 5. Una masa sólo crea campo gravitatorio, esté en reposo o no. Una carga eléctrica, cuando está en movimiento, además del campo eléctrico crea también un campo magnético.

5

CAMPO ELÉCTRICO - CUESTIONES Y EJERCICIOS

CUESTIONES

1º. a) ¿Qué es una línea de fuerza dentro de un campo eléctrico?. b) Dibuja cualitativamente las líneas de fuerza correspondientes a un campo eléctrico creado por dos cargas: una, Q1, positiva y la otra, Q2, negativa, separadas una cierta distancia d.

a) La línea de fuerza es el camino que seguiría una carga positiva dejada libre en cualquier punto del espacio por efecto del campo eléctrico presente. La fuerza sobre la carga positiva sería en todo momento tangente a la línea de fuerza. b) Las líneas de fuerzas irían desde la carga positiva hacia la carga negativa, ya que este sería el camino que seguiría una carga positiva colocada en cualquier punto del espacio. Las líneas de fuerza serían salientes de la carga positiva y entrantes hacia la carga negativa.

--------------- 000 --------------- 2º. Tenemos dos cargas puntuales, q1 y q2, separadas una distancia r. ¿Cómo varía la fuerza de interacción entre ellas si: a) q1 se reduce a la mitad y q2 se hace tres veces mayor. b) cada una de las cargas se duplica y la distancia se reduce a la mitad. a) Inicialmente la fuerza entre ellas sería:

221

0r

qkqF

Después de los cambios la nueva fuerza sería:

0221

221 F5,1

r

qkq

2

3

r2

q3kqF

Luego la fuerza se haría 1,5 veces mayor. b) En este caso la nueva fuerza sería:

0221

221 F16

r

qkq16

2

r

q2q2kF

Luego la fuerza se haría 16 veces mayor.

--------------- 000 --------------- 3º. Un electrón y un protón “libres” se colocan en un campo eléctrico uniforme. Compara las fuerzas que actúan sobre cada partícula. Compara sus aceleraciones. La fuerza que un campo eléctrico ejerce sobre

una carga viene dada por EqF

, por lo tanto,

como la carga del electrón y del protón son numéricamente iguales, el módulo de la fuerza será igual en ambos casos. Ahora bien la fuerza sobre el protón irá en la dirección y sentido del campo y la fuerza sobre el electrón irá en sentido contrario al campo, ver figura. El protón estará sometido a una aceleración menor que el electrón ya que su masa es mayor y, además, será de sentido contrario al serlo la fuerza. Las aceleraciones, en módulo, sobre cada uno de ellos serán:

E

Fp

Fe

6

pe

pe

pp

ee a

m

ma

m

Fa:

m

Fa

Y como mp >> me tendremos que ae >> ap.

--------------- 000 --------------- 4º. Una carga negativa se mueve en el mismo sentido de un campo eléctrico uniforme. ¿Aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Aumenta o disminuye el potencial eléctrico?. El movimiento de la carga eléctrica negativa sería el mostrado en la figura, moviéndose desde el punto A al B.

Para que la carga negativa se desplace de A a B es necesario ejercerle una fuerza externa ya que el campo eléctrico le ejerce fuerza en sentido contrario a el. Por lo tanto, el trabajo de desplazamiento se está haciendo en contra del campo luego la energía potencial de la carga negativa deberá aumentar. Como el campo eléctrico va en el sentido de los potenciales decrecientes, del punto A al B decrecerá el potencial, es decir, VA > VB.

--------------- 000 ---------------

PROBLEMAS 1º. Dos esferas puntuales iguales están suspendidas, mediante hilos inextensibles y sin peso, de un metro de longitud cada uno, de un mismo punto. Determina la carga eléctrica que han de poseer cada una de ellas para que el hilo forme un ángulo de 30º con la vertical.

Datos: masa de cada esfera, m=10 g. g=9'8 m.s

-2 K=9.10

9N.m

2.C

-2

La situación de las esferas sería la representada en la figura. Las dos cargas deben tener el mismo signo, positivas o negativas, para que la fuerza eléctrica sea de repulsión. Si fuese una positiva y la otra negativa, la fuerza eléctrica sería atractiva y las dos cargas estarían juntas en la vertical. Las fuerzas sobre una carga serían las indicadas en la figura: el peso, la fuerza eléctrica de repulsión y la tensión en la cuerda. Los valores de estas fuerzas serían:

22

ex2

kQF;mgP

Ya que las dos cargas tienen igual valor, Q. Ahora bien:

22

2

esenL4

kQF

senLxL

xsen

Si las cargas están en equilibrio, la fuerza resultante sobre cada una de ellas debe ser nula. Si descomponemos las fuerzas según los ejes XY y aplicando la condición de equilibrio a cada uno de los ejes tendremos que:

E

Fe A B

L=1 m

α =30º T

Fe

P

x

α

T

Fe

P

TY

TX

7

yxe TPyTF

Y como:

cosTT;senTT yx

Tendremos que:

cosTmg;senTsenL4

kQ22

2

Y dividiendo m. a m. ambas ecuaciones tendremos que:

k

tagsenL4mgQ

tagmg

senL4

kQ

22

22

2

Y al sustituir los valores numéricos tendremos que:

C105,2

CNm109

º30tagº30senm14ms8,9kg01,0Q

6

229

222

--------------- 000 ---------------

2º. Sea un campo eléctrico uniforme dado

por C/Ni500E

. Se pide:

a) ¿Cómo serán las superficies equipotenciales de dicho campo?. b) Calcula el trabajo necesario para trasladar una carga de 2 μC desde el punto P(2,3,0) m hasta el punto Q(6,5,0) m. c) Calcula la distancia entre las superficies equipotenciales V1=10 V y V2=20 V.

a) Las líneas de fuerza del campo eléctrico van en la dirección positiva del eje X. Como las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza serán planos perpendiculares al eje X, es decir:

Donde debe cumplirse que V1>V2>V3 ya que el campo eléctrico va en el sentido de los potenciales decrecientes. b) Los puntos serían los siguientes:

El trabajo que realiza el campo eléctrico para trasladar una carga entre dos puntos es:

Vq)F(W e

Donde q es la carga que se traslada y ΔV es la diferencia de potencial entre los puntos considerados. Ahora bien, en un campo eléctrico uniforme se cumple que:

dEV

Donde d es la distancia entre los puntos medida en la dirección del campo, en nuestro caso sería 4 m. Por lo tanto:

J104m4NC500C102

dEqVq)F(W

316

e

Como el trabajo que realiza el campo es positivo significa que es él quien desplaza a la carga desde el punto P al Q, como es lógico ya que la carga es positiva. c) La distancia entre superficies equipotenciales es igual a:

m02,0NC500

V10

E

Vd

1

--------------- 000 ---------------

E

Sup. equipotenciales

V1 V2 V3

E

Y

X

P(2,3)

Q(6,5)

4 m

8

3º. Cuatro cargas eléctricas de 10'0 nC , -12'0 nC , 20'0 nC y 25'0 nC están colocadas en los vértices de un cuadrado de lado l=1'2 m. Encuentra el potencial eléctrico en el centro del cuadrado. Dato: constante de Coulomb=8'99.10

9

N.m2.C

-2.

La situación de las cargas sería la mostrada en la figura.

La distancia, r, entre las cargas y el centro P será:

m848,0

2

m2,1m2,1r

22

El potencial eléctrico total en el centro será la suma de los potenciales que crea cada una de las cargas en el punto P, es decir:

V36,456

C1025

C1020C1012C1010x

xm848,0

CNm109

QQQQr

k

r

kQ

r

kQ

r

kQ

r

kQ)P(V

9

999

229

4321

4321

--------------- 000 ---------------

4º. a) Explica el concepto de potencial eléctrico. ¿Qué potencial eléctrico crea una carga puntual? Dibuja sus superficies equipotenciales. b) Considera dos cargas puntuales fijas q1 = 1 μC y q2 = -2 μC separadas una distancia L = 30 cm. Determina la distancia a q1 del punto sobre la recta que une ambas cargas

donde el potencial eléctrico es nulo. ¿Es también nulo allí el campo eléctrico.

a) El potencial eléctrico en un punto dentro de un campo eléctrico representa la energía potencial que adquiere la unidad de carga eléctrica situada en el punto considerado debido a estar inmersa en un campo eléctrico. En el caso de una carga eléctrica puntual el potencial eléctrico a una distancia r de la carga viene dado por la expresión:

r

kQV

Donde Q es la carga creadora del campo y r la distancia al punto considerado. Si la carga es positiva el potencial eléctrico será también positivo y si la carga es negativa el potencial también lo será. Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de todos los puntos que están al mismo potencial. Teniendo en cuenta que para una carga puntual el potencial será igual para todos los puntos que estén a la misma distancia de ella, las superficies equipotenciales serán esferas concéntricas a la carga, es decir:

b) La situación sería la de la figura.

Si el potencial eléctrico total en el punto P es nulo debe cumplirse que:

0x3,0

kQ

x

kQ0VV 21

21

Por lo tanto:

Sup. equipotenciales

x

Q1 Q2

0,3 - x

P

Q1=10·10-9

C

L=1,2 m

Q2=-12·10-9

C

Q3=20·10-9

C Q4=25·10-9

C

P

r

9

xQxQQ3,0x3,0

Q

x

Q211

21

m1,0C102C101

C1013,0

QQ

Q3,0x

66

6

21

1

En el punto P el campo eléctrico total no puede ser nulo ya que los campos eléctricos creados por cada una de las cargas llevan la misma dirección y sentido, por lo tanto, independientemente de su valor nunca pueden anularse, ver figura.

--------------- 000 --------------- 5º. En las proximidades de la superficie terrestre se aplica un campo eléctrico uniforme. Se observa que al soltar una partícula de 2 g cargada con 5.10

-5 C

permanece en reposo. a) Determine razonadamente las características del campo eléctrico (módulo, dirección y sentido). b) Explique qué ocurriría si la carga fuera: i) 10.10

-5 C, ii) -5.10

-5 C.

a) La situación está representada en la figura. Sobre la carga actúa la fuerza peso P dirigida hacia abajo, luego para que puede permanecer en reposo la fuerza que ejerza el campo eléctrico sobre ella deberá estar dirigida hacia arriba y ser de igual valor al peso. Por lo tanto, el campo eléctrico deberá estar dirigido hacia arriba y, además, deberá cumplirse que:

1

1e

NCj392E

NC392q

mgEqEmgFP

b) i) En este caso las fuerzas sobre la carga valdrían:

N0196,0ms8,9kg002,0mgP 2

N0392,0NC392C1010qEF 15e

Como la fuerza eléctrica es superior al peso, la carga se aceleraría hacia arriba con una aceleración igual a:

2e ms8,9m

PF

m

Fa

b) ii) En este caso, al ser la carga negativa, la fuerza eléctrica va dirigida hacia abajo; por lo tanto la carga se aceleraría hacia abajo con una aceleración igual a:

215

e

ms6,19kg002,0

N0196,0NC392C105

m

PF

m

Fa

--------------- 000 ---------------

6º. Dos cargas de 1 μC se encuentran situadas en los puntos (3,0) y (0,3) m, respectivamente. Si el conjunto se encuentra sumergido en agua, calcula la fuerza que ejercen sobre una carga de -2 μC, situada en el origen del sistema de coordenadas, y el módulo de dicha fuerza. ε(agua) = 717.10

-12 C

2.N

-1.m

-2.

La situación sería la de la figura.

Al estar sumergidas en agua la constante k valdría:

228 CNm101,14

1k

Q1 Q2 E1

E2

P

Fe

E

F

F

FT

10

Como las cargas positivas son iguales y están a la misma distancia de la carga negativa, la fuerza que ejercen sobre ella será igual en módulo y de valor:

N1046,2

m9

C102C101CNm101,1F

5

2

66228

Luego la fuerza total sobre la carga negativa será:

Nj1046,2i1046,2F 55T

Cuyo módulo valdrá:

N1047,3F 5T

--------------- 000 --------------- 7º. Un electrón, cuya energía cinética es de 4.10

-16 J, se mueve hacia la derecha a lo

largo del eje de un tubo de rayos catódicos, como se indica en la figura.

Sabiendo que la intensidad del campo eléctrico aplicado entre las placas deflectoras es de 4.10

4 N.C

-1, dirigido de la

placa inferior a la placa superior, y suponiendo que en cualquier otro punto del tubo el campo es nulo, calcula: a) La distancia a que se encuentra el electrón del eje del tubo cuando abandona las placas deflectoras. b) El ángulo, medido respecto al eje, bajo el que se mueve el electrón al abandonar las placas. c) La distancia, respecto al eje del tubo, a que golpeará el electrón la pantalla fluorescente. Datos: me = 9,1.10

-31 kg, qe = 1,6.10

-19 C

a) Cuando el electrón penetra en las placas el campo eléctrico le ejerce una fuerza dirigida hacia abajo, en sentido contrario al campo. Despreciaremos el peso del electrón, fuerza gravitatoria, por ser bastante menor que la fuerza eléctrica. Como el electrón incide en las placas con una velocidad inicial dirigida hacia la derecha, se verá sometido a dos movimientos: ▪ Eje X: Movimiento rectilíneo uniforme con velocidad igual a:

17

31

16c

x ms1096,2kg101,9

J1042

m

E2v

▪ Eje Y: Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo con aceleración igual a:

215

31

1419

y

ms1003,7

kg101,9

NC104C106,1

m

qE

m

Fa

Combinación de estos dos movimientos, el electrón describirá una trayectoria parabólica, tal como se muestra en la figura. Cuando abandona las placas, el electrón habrá recorrido una distancia horizontal x, en su mov. uniforme según el eje X, y en el mismo tiempo habrá recorrido una distancia vertical y, dato que nos piden, en su mov. uniformemente acelerado según el eje Y.

Si aplicamos las ecuaciones del movimiento a cada uno de los ejes tendremos que:

Eje X: tvx x

Eje Y: 2

tay

2y

Ya que en la dirección vertical el electrón no tiene velocidad inicial.

y

X=0,04 m

Fe V

e

4 cm12 cm

E

11

De la primera ecuación obtenemos el valor del tiempo que al sustituirlo en la segundo obtenemos el valor de y deseado. Es decir:

s1035,1ms1096,2

m04,0

v

xt 9

17x

m104,6

2

s1035,1ms1003,7

2

tay

3

292152y

b) Cuando el electrón abandona las placas lleva dos velocidades: una según el eje X, vx, calculada anteriormente, y otra según el eje Y, vy, que sería la velocidad final en el mov. acelerado vertical. La composición de las dos velocidades nos daría la velocidad V del electrón al abandonar las placas; velocidad que forma un ángulo α con la horizontal que debemos calcular. La velocidad Vy la calculamos a partir de las ecuaciones del mov. uniformemente acelerado:

16

9215

y0y

ms1049,9

s1035,1ms1003,70

tavv

Observando la figura tenemos que:

º77,17

32,0ms1096,2

ms1049,9

V

Vtag

17

16

x

y

c) Una vez que el electrón abandona las placas ya no está sometido a fuerza eléctrica alguna, puesto que ha salido del campo eléctrico. Si suponemos despreciable el peso, el electrón no estará sometido a ninguna fuerza, por lo tanto continuará con movimiento rectilíneo uniforme de velocidad V que forma un ángulo de 17,77º con respecto a la horizontal. Así continuará hasta que golpee la pantalla fluorescente, ver figura.

La distancia a calcular es h=b+y. Ahora bien:

m038,0

º77,17tagm12,0bm12,0

btag

Y, por lo tanto:

m044,0m104,6m038,0ybh 3

--------------- 000 --------------- 8º. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas de 2 μC y -2 μC distantes entre sí 2 m. Calcula: a) El campo resultante y el potencial en un punto de la mediatriz del segmento que las une, distante 5 m de cada carga. b) Las mismas preguntas en el caso de que las cargas fueran positivas. a) Los campos eléctricos creados por cada una de las cargas están representados en la figura.

Como las dos cargas son iguales en valor y distan lo mismo del punto P, los dos módulos de los campos serán iguales y de valor:

1

2

6229

21 NC720m25

C102CNm109EE

El ángulo α valdrá:

V

α

y

b h

0,12 m

Pantalla Placas

Vx

Vy V

α

2 m

Q1 Q2

P

5 m 5 m

E1

E2

α

α

α

12

º46,782,0m5

m1cos

Si descomponemos los dos campos en sus componentes según los ejes X e Y tendremos que:

Como los dos campos son iguales y también lo son los ángulos que forman con la horizontal, entonces las

componentes verticales y horizontales de cada uno de ellos

serán también iguales. Por lo tanto, las componentes según el eje Y se anularán mutuamente. El campo eléctrico total en el punto P será la suma de las componentes X que, al ser iguales, tendremos que:

11

1x1

NC07,288º46,78cosNC7202

cosE2E2E

Vectorialmente sería:

1NCi07,288E

El potencial total en el punto P será nulo ya que las cargas son iguales pero de signo contrario y las distancias son iguales. b) Si las cargas fuesen positivas los campos eléctricos serían:

Los valores numéricos de los campos serían iguales que antes.

Ahora son las componentes X las que se anulan y el campo total tendría la dirección del eje Y hacia arriba y de valor:

11

1y1

NC89,1410º46,78senNC7202

senE2E2E

Vectorialmente sería:

1NCj89,1410E

Ahora el potencial no se anulará sino que será el doble del valor del potencial que crea una carga, es decir:

V7200

m5

C102CNm1092

r

kQ2V2V

62291

1

--------------- 000 --------------- 9º. Una partícula de polvo de 1,0.10

-11 g de

masa posee una carga total que equivale a la de 20 electrones y se encuentra en equilibrio entre dos placas paralelas horizontales entre las que existe una diferencia de potencial de 153 V. Calcula la distancia que separa las placas. ¿En qué sentido y con qué aceleración se moverá la partícula de polvo si aumentamos la diferencia de potencial entre las placas hasta 155 V?. Dato: Carga del electrón = 1,6.10

-19 C.

La situación sería la de la figura:

Si la partícula está en equilibrio la fuerza eléctrica sobre ella debe estar dirigida hacia arriba y ser igual en módulo a su peso para poder equilibrarlo. Por lo tanto, la placa superior debe estar cargada positivamente y la inferior negativamente.

P

Fe

_

E

ΔV=153 V

+

E1y

E2y

E1x

E2x

2 m

Q1 Q2

P

5 m 5 m

E1 E2

α

α

α

13

Luego:

qEmgFP e

Y como se cumple que ΔV=E·d, donde d es la distancia entre placas, tendremos que:

m005,0mg

Vqd

d

Vqmg

b) Si se aumenta la diferencia de potencial, aumentamos el campo eléctrico entre placas y, por lo tanto, aumenta la fuerza eléctrica sobre la partícula siendo entonces mayor al peso y la partícula se acelerará hacia arriba, hacia la placa positiva, ya que existe ahora una fuerza neta hacia arriba. El nuevo valor de la fuerza eléctrica será:

N1092,9

m005,0

V155C106,120

d

VqqEF

14

19

e

La aceleración que experimentará hacia arriba será:

2

14

21414e

ms12,0

kg101

ms8,9kg101N1092,9

m

PFa

--------------- 000 ---------------

10º. Tres cargas puntuales iguales, de 5 μC, están situadas en el vacío, dispuestas en los vértices de un cuadrado de 20 m de lado,. a) Calcula el vector intensidad de campo eléctrico en el cuarto vértice. b) Calcula el potencial eléctrico en el cuarto vértice. c) ¿Cómo se modifica la solución si las tres cargas son negativas?. La situación sería la representada en la figura.

a) El módulo de los campos eléctricos que crean cada una de las cargas en el punto P serán:

1

2

6229

31 NC5,112m400

C105CNm109EE

1

2

6229

2 NC25,56m800

C105CNm109E

Vectorialmente serían:

Calculando las componentes de E2:

y2

2x2

EN77,39

º45cosEE

Estas dos componentes son iguales por simetría. Por lo tanto, vectorialmente serán:

Ni5,112E;Nj5,112E 31

Nj77,39i77,39E2

El campo eléctrico total será:

Nj27,152i27,152E

Cuyo módulo valdrá: E=215,34 N. b) El potencial eléctrico en el punto P será la suma de los potenciales que crean cada una de las cargas, es decir:

V23,6091m20

C105CNm109

m28,28

C105CNm109

m20

C105CNm109V

6229

6229

6229

P

c) Si las cargas fuesen negativas entonces los campos eléctricos en P serían:

Q1

L=20 m

Q2 Q3

P

r =28,28 m

E1 E2

E3

45º

14

Es fácil ver que al ser los módulos iguales el campo total no variaría en módulo sino que sería de sentido contrario al caso anterior. El potencial eléctrico sería del mismo valor pero de signo contrario, al ser las cargas negativas. Es decir, los nuevos valores serían:

V23,6091VNj27,152i27,152E P

--------------- 000 --------------- 11º. Dos esferas metálicas, de 2 y 4 cm de radio, respectivamente, se encuentran en el vacío. Cada una de ellas posee una carga de 50 nC. a) Calcula el potencial a que se encuentra cada esfera. En cierto instante, se unen ambas esferas mediante un conductor. Calcula: b) El potencial a que se encuentra cada esfera tras unirse. c) La carga que posee cada esfera tras la unión. a) El potencial en la superficie de cada esfera será:

V22500

m02,0

C1050CNm109

r

kQV

9229

1

11

V11250

m04,0

C1050CNm109

r

kQV

9229

2

22

b) y c) Cuando las esferas se ponen en contacto con un conductor pasa carga positiva de la esfera que está a más potencial, V1, hacia la que está a menos potencial, V2, hasta que se igualan los potenciales de las dos esferas. Por lo tanto, cuando termina el paso de cargas el potencial en las dos esferas es el mismo.

Si los potenciales al final son los mismos tendremos que:

'2

'1

'2

'1

2

'2

1

'1 QQ2

04,0

Q

02,0

Q

r

kQ

r

kQ

Donde Q’1 y Q’2 son las nuevas cargas que adquieren cada una de las esferas. Ahora bien, como la carga inicial total de las dos esferas y la carga final total debe ser la misma, ya que no hay pérdida de cargas en el trasvase, tendremos que:

C10100QQ 9'2

'1

Combinando las dos ecuaciones se puede calcular las nuevas cargas dando como resultado:

C1066,6Q;C1033,3Q 8'2

8'1

Y el potencial que adquieren las dos esferas será:

V14985m02,0

C1033,3CNm109V

8229

--------------- 000 --------------- 12º. Dos cargas eléctricas puntuales, de 50 μC cada una, se encuentran en el aire, separadas 100 cm. En un punto situado a 130 cm de cada una de ellas se deja en libertad una partícula de 0,1 g, cargada con -5 nC. Debido a la atracción que existe entre cargas de distinto signo, la partícula se mueve libremente hacia el punto medio de la recta que une las dos cargas positivas. Con estos datos calcula: La velocidad con que llegará la partícula al punto medio de la recta que separa las dos cargas positivas.

E1

E2 E3

45º

Q2 Q1

V V

15

La situación sería la representada en la figura. Por simetría se puede ver que la fuerza que ejercen las cargas positivas sobre la negativa va en dirección vertical y hacia abajo, por lo tanto, se acelerará partiendo del reposo y alcanzará el punto B con una determinada velocidad. No podremos aplicar las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado ya que la aceleración con la que cae no es constante al no serlo la fuerza que actúa en cada instante sobre la carga negativa ya que al caer va variando la distancia entre la carga negativa y las positivas además de variar la dirección y sentido de las fuerzas. Pero, al ser el campo eléctrico conservativo, si podremos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica y, por lo tanto, podremos expresar que:

)B(E)B(E)A(EEmEm pcpBA

Para calcular las energías potenciales en A y B, vamos primero a calcular los potenciales que crean las cargas positivas en A y B. Serían:

V1092,6

m3,1

C1050CNm1092)A(V

5

6229

V108,1

m5,0

C1050CNm1092)B(V

6

6229

Si tenemos en cuenta que la energía potencial de un carga colocada en un punto donde existe un potencial V viene dada por Ep = q V, tendremos que la energía potencial de la carga negativa en los dos puntos será:

J1046,3V1092,6C105)A(E 359p

J109V108,1C105)B(E 369p

Por lo tanto tendremos que, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, podremos expresar:

J1054,5J109J1046,3

)B(E)A(E)B(E

333

ppc

Y, por lo tanto, la velocidad de la carga al llegar al punto B será:

1

4

3c

B ms52,10kg101

J1054,52

m

)B(E2v

--------------- 000 --------------- 13º. En los vértices de un hexágono regular de 1 m de lado se colocan sendas cargas de 100 nC cada una. Calcula: a) El valor que corresponde a la intensidad del campo eléctrico en el centro del hexágono. b) El potencial eléctrico en dicho punto. c) El trabajo que debemos realizar para trasladar una carga de 10 nC desde el infinito hasta el centro del hexágono. a) Los campos eléctricos en el centro están representados en la figura. Al ser las cargas iguales así como las distancias, el campo eléctrico total en el centro será nulo, ya que se anulan mutuamente los campos creados por cada una de las cargas.

b) El potencial eléctrico en ese punto será la suma de los potenciales que crea cada una de las cargas, que al ser iguales e iguales las

distancias, será 6 veces el potencial que crea una sola. Es decir:

V5400

m1

C10100CNm1096

r

kQ6V

9229

C

1 m

Q1 Q2

A

1,3 m 1,3 m

B

Q3

16

c) El trabajo que realiza el campo eléctrico para desplazar una carga desde un punto a otro viene siempre dado por:

VqEp)F(W e

Por lo tanto, el trabajo que realiza el campo eléctrico para desplazar la carga q desde el infinito hasta el centro del hexágono será:

J104,50V5400C1010

VVq)F(W

59

Ce

Como el trabajo que realiza el campo eléctrico es negativo, esto significa que debe ser una fuerza externa quien realice dicho trabajo. Por lo tanto, deberemos realizar un trabajo de 5,4·10

-5 J.

--------------- 000 --------------- 14º. El campo eléctrico entre las armaduras de la figura vale 4.000 N/C. ¿Cuánto vale la carga q de la esfera si su masa es 3 mg?.

Las fuerzas sobre la carga q serían las representadas en la figura. La fuerza eléctrica va hacia la derecha ya que el campo eléctrico entre las armaduras va también hacia la derecha y la carga es positiva. Si descomponemos la tensión en sus componentes perpendiculares tendremos que:

Donde los valores de cada una de las fuerzas serían:

mgP

EqFe

senTTx

cosTTy

Como la carga está en equilibrio, aplicamos la condición de equilibrio a los dos ejes teniendo que:

Eje X: senTqETF xe

Eje Y: cosTmgTP y

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones tendremos que:

C1024,4NC4000

º30tanms8,9kg103

E

tanmgqtan

mg

qE

9

1

26

--------------- 000 --------------- 15º. Se libera desde el reposo un protón en un campo eléctrico uniforme de 8.10

4 V/m

dirigido a lo largo del eje X, en sentido positivo como se indica en la figura.

El protón se desplaza una distancia de 20 cm en la dirección del campo. Calcula: a) La diferencia de potencial que ha experimentado el protón en el desplazamiento indicado. b) ¿Cuál ha sido la variación de la energía potencial?.

_ +

+

+

+

+

_

_

_

_

E

A B 20 cm

α =30º T

Fe

P

α

T

Fe

P

TY

TX

17

c) ¿Qué velocidad tiene el protón en el punto B?. qp = 1,6.10

-19 C , mp = 1,67.10

-27 kg

a) Dentro de un campo eléctrico uniforme se cumple , si d es la distancia en la dirección del campo, que:

V16000

m2,0Vm108dEVVV 14AB

El resultado negativo nos indica que el punto B está a menor potencial que el A, lo que es razonable ya que el campo eléctrico E va en el sentido de los potenciales decrecientes. b) La variación de energía potencial será:

J1056,2

V16000C106,1VqE

15

19p

Por lo tanto, el protón pierde energía potencial, lo que es acorde con el hecho de que es el campo eléctrico el que desplaza al protón de A a B realizando trabajo y, por lo tanto, disminuyendo la energía potencial del protón. c) Como el campo eléctrico es conservativo, la pérdida de energía potencial se habrá transformado en ganancia de energía cinética y, como inicialmente estaba en reposo, podremos poner que:

16

27

15

B

152B

ms1075,1kg1067,1

J1056,22v

J1056,2vm2

1

--------------- 000 --------------- 16º. Una carga positiva de 6 microculombios se encuentra en el origen de coordenadas. Calcula: a) ¿Cuál es el potencial a una distancia de 4 m?. b) ¿Qué trabajo tenemos que hacer para traer otra carga positiva de 2 microculombios desde el infinito hasta esa distancia?. c) ¿Cuál será la energía potencial de esa carga en dicha posición?.

a) El potencial será:

V13500m4

C106CNm109

r

kQV

6229

b) El trabajo que realiza el campo eléctrico será:

J027,0)0V13500(C102

)VV(qVq)F(W

6

4e

Como el trabajo que realiza el campo eléctrico es negativo significa que debe hacerlo una fuerza externa. Por lo tanto, tendremos que realizar un trabajo en contra del campo de valor 0,027 J. c) Como el trabajo lo realiza una fuerza externa, la carga ganará energía potencial, ganancia que será igual al trabajo realizado, y como en el infinito no tiene energía potencial, la energía potencial a 4 m de la otra carga será igual a 0,027 J.

--------------- 000 --------------- 17º. El potencial eléctrico a una cierta distancia de una carga puntual es 600 V y el campo eléctrico es 200 N/C. a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual?. b) ¿Cuál es el valor de la carga?. a) Se debe cumplir que:

2r

kQ200y

r

kQ600

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones tendremos que:

m3r200

600

b) Sustituyendo este valor en la primera ecuación tendremos que:

C102CNm109

m3V600Q 7

229

--------------- 000 ---------------

18

18º. Sea una carga positiva de 2.10

-9 C

distribuida uniformemente sobre una superficie esférica de 15 cm de radio. ¿Qué trabajo se realiza al desplazar una carga positiva de 4.10

-10 C desde una distancia de

40 cm hasta una distancia de 100 cm, tomadas ambas respecto al centro de la esfera? El trabajo que realiza el campo eléctrico creado por la esfera Q para desplazar la carga q viene dado por:

)VV(q)F(W ABe

Donde VB y VA son los potenciales creados por la carga Q en los puntos considerados, cuyos valores serán:

V45m4,0

C102CNm109V

9229

A

V18m1

C102CNm109V

9229

B

Por lo tanto, el trabajo que realiza el campo eléctrico será:

J1008,1)V45V18(C104

)VV(q)F(W

810

ABe

Como el trabajo que realiza el campo es positivo significa que realmente es el campo eléctrico creado por la carga Q quien hace el trabajo lo que es normal ya que la carga Q ejerce una fuerza de repulsión sobre la carga q, alejándola de ella. El trabajo que debería realizar una fuerza externa sería de -1,08·10

-8 J.

--------------- 000 ---------------

A B

40 cm

100 cm

Q

q