5.1. EL MOVIMIENTO ONDULATORIO

1. ¿En qué unidades se mide la longitud de onda de un movimiento ondula-torio? ¿Y la frecuencia?

Según su definición, la longitud de onda mide la distancia mínima que separados puntos del mismo medio que se encuentran en el mismo estado de vibra-ción, por lo que su unidad en el SI es el metro.

La frecuencia es la inversa del período. En el SI, el período se mide en segundosy, por tanto, la frecuencia se mide en hertz.

2. Calcula la ecuación de dimensiones de la frecuencia.

Por su definición, la frecuencia es la inversa del período, el cual se mide en se-gundos. Por tanto:

5.2. ONDAS CLÁSICAS

1. El movimiento ondulatorio puede ser unidimensal, bidimensional o tridi-mensional. Señala dos ejemplos, al menos, de cada uno de estos tipos demovimiento.

• Unidimensionales:La vibración de una cuerda de guitarra al pulsarla.La vibración de un muelle que describe un m.a.s.

• Bidimensionales:La ondas que se crean en la superficie de un vaso cuando golpeamos el vidriocon el dedo.Las ondas que se generan en el tímpano o en un tambor.Las ondas que se generan en una cubeta de ondas.

• Tridimensionales:La propagación de ondas de radio en el aire al ser emitidas por una antena.El sonido emitido por un instrumento musical cuando se propaga por el aire.Propagación de la luz en el vacío.

2. Indica de qué tipo (longitudinales o transversales) son las ondas que hascitado en la actividad anterior.

[ ] –fT

=

= =1 1 1

TT

1

Unidad 5. Movimiento ondulatorio.

3. El sonido y la luz son dos ejemplos de propagación ondulatoria. ¿Qué se-mejanzas y qué diferencias existen entre estos dos tipos de onda?

Semejanzas• Ambas son ondas tridimensionales; se propagan en las tres direcciones del es-

pacio.• Ambas pueden ser planas o esféricas, dependiendo de la distancia a la que nos

encontremos del foco.

Diferencias• El sonido es una onda de naturaleza mecánica: sólo se propaga por un medio

material. En cambio, la luz es una onda no mecánica, que también se propagapor el vacío. Prueba de ello es que somos capaces de observar las estrellas.

• La luz se propaga mediante ondas transversales. En cambio, el sonido se pro-paga mediante ondas longitudinales.

5.3. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIOUNIDIMENSIONAL

1. De una ecuación de onda que viaja por una cuerda se conocen los siguien-tes datos:

Amplitud = 3 cm; velocidad de propagación = 5 m · s−1; frecuencia = 20 Hz.

A partir de dichos datos, calcula:

a) Frecuencia angular.b) Longitud de onda.c) Número de onda.d) Expresión de la ecuación de la onda, en sus tres posibles formas.

a) La frecuencia angular resulta:

ω = 2 · π · f = 2 · π · 20 = 40 · π rad · s−1

b) El valor que corresponde a la longitud de onda es, por tanto:

Onda longitudinal Onda transversal

Sonido emitido por un instrumentomusical.

Vibración de una cuerda de guitarra.

Vibración de un muelle que describe un m.a.s.

Propagación de ondas de radio en el aire.

Propagación de la luz en el vacío.

Ondas en la superficie de un vaso.

Cubeta de ondas.

Ondas en el tímpano o en un tambor.

2

c) En cuanto al número de onda:

d) Las tres formas en que se puede escribir una ecuación de onda son:

En nuestro caso, estas expresiones se convierten en:

5.4. ENERGÍA E INTENSIDAD EN UN MOVIMIENTO ONDULATORIO

1. La potencia con que emite el Sol es de 2,7 · 1020 MW. Calcula la intensidadluminosa que recibimos en la Tierra y en Júpiter, medida en W · m−2.

Datos:

Distancia Tierra-Sol: 1,5 · 108 km.

Distancia Júpiter-Sol: 7,8 · 108 km.

La intensidad luminosa que recibimos del Sol podemos determinarla a partir de laexpresión:

Para realizar el cálculo, supondremos que el Sol es el foco de una onda esférica,y que la Tierra y Júpiter están situados en la superficie de sendas esferas cuyo ra-dio es, respectivamente, la distancia Tierra-Sol y la distancia Júpiter-Sol. De esemodo, resulta:

I

dE dt

S

P

S= =/

y x t sent x

y x t sen tx

y x t sen t x

( , ) ,, ,

( , ) ,,

( , ) , ( )

= ⋅ ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

0 03 20 05 0 25

0 03 2 200 25

0 03 40 8

π

π

π π

y x t A sent

T

x

v T

y x t A sen f tx

y x t A sen t k x

( , )

( , )

( , ) ( )

= ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ − ⋅

2

2

π

πλ

ω

k = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ −2 2

0 258 1π

λπ π

, rad m

λ = ⋅ = = =v T

v

f

5

200 25, m

3

2. ¿Cuál es la razón de que los valores que obtienes sean distintos?

Júpiter está mucho más alejado del Sol que la Tierra. Ello implica que la luz emi-tida por el Sol, que la emite a potencia constante, debe repartirse entre una su-perficie mayor. Como la intensidad luminosa es la energía por unidad de superfi-cie, esta será inferior en Júpiter.

3. Comenta la frase: “La absorción es una característica específica de una on-da esférica”.

En la frase se están confundiendo los conceptos de atenuación y de absorción.

La atenuación es la pérdida de intensidad que se produce en una onda esférica alalejarnos del foco emisor. Este es un fenómeno propio de toda onda esférica,pues, al crecer la distancia, la energía de la onda ha de repartirse entre una su-perficie mayor, lo que provoca una menor intensidad.

Sin embargo, la absorción es la pérdida de energía debida al rozamiento. Esteefecto viene asociado a una interacción con un medio material y no se produceen el vacío, a diferencia de la atenuación, que se produce en cualquier caso.

5.5. ABSORCIÓN

1. Calcula el coeficiente de absorción de un material que reduce a la décimaparte la intensidad de una onda sonora y tiene un espesor de 20 cm.

El coeficiente de absorción, β, de un material, podemos calcularlo a partir de laexpresión:

I = I0

· e −β·x

Sabemos que, tras pasar por un material cuyo espesor es 20 cm, la relación entrelas intensidades de entrada y de salida es: I = 0,1 · I

0. Por tanto,

2. Una onda que viaja por una cuerda tiene por ecuación:

y(x,t) = 0,05 · sen [4 · π· [(x − 2 · t) + δ]]

Determina el parámetro δ, si:

I I e

I

I

x

I

Ix= ⋅ → =

−=

⋅

−= − =− ⋅ −

00

0

0 1

0 1

0 2

0 1

0 211 51β β

ln lnln

,

,

,

,, m

IP

S

P

r

IP

S

P

r

Tierra

Júpiter

= =⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

= =⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

−

−

4

2 7 10 10

4 1 5 10954 93

4

2 7 10 10

4 7 8 1035 32

2

20 6

11 22

2

20 6

11 22

π π

π π

( , )

( , ),

( , )

( , ),

W m

W m

Unidad 5. Movimiento ondulatorio.

4

a) En el instante inicial, x = 0.b) En el instante inicial, x = 1.

Para calcular el parámetro, forzamos que el punto indicado en cada caso cumplala ecuación:

y (x,t ) = 0,05 · sen [4 · π · [(x − 2 · t ) + δ]]

Suponemos que en el instante inicial la cuerda no vibra: y (x, 0) = 0.

a) En el primer caso, en el punto (x,t ) = (0,0), y = 0. Por tanto:

b) En el segundo caso, en el punto (x,t ) = (1,0), y = 0. Por tanto:

3. Una onda armónica se propaga con una velocidad de 10 m · s−1. Su ampli-tud es de 5 cm, y su frecuencia angular, de 100 · πrad · s−1. Se sabe, además,que un punto que se encuentra a 25 cm del origen tiene una elongaciónmáxima en el instante inicial. Con esos datos, escribe la ecuación que co-rresponde a la propagación de esa onda.

Escribiremos la ecuación en la forma:

donde el período lo podemos obtener a partir de la frecuencia angular:

siendo la longitud de onda:

λ = v · T = 10 · 0,02 = 0,2 m

La ecuación queda, por tanto, en la forma:

Por otra parte, se indica que en el punto (0,25, 0) la elongación es máxima, devalor A = 0,05 m. De este modo:

y sen

sen

( , , ) ,,

,

,,

,

,

,

,

0 25 0 0 05 20

0 02

0 25

0 20 05

20 25

0 21 2

0 25

0 2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ − +

= →

→ ⋅ ⋅ − +

= → ⋅ ⋅ − +

=

π θ

π θ π θ π

y x t sent x

( , ) ,, ,

= ⋅ ⋅ ⋅ − +

0 05 2

0 02 0 2π θ

ω π π

ωππ

= ⋅ → = ⋅ = ⋅⋅

=2 2 2

1000 02

TT , s

y x t A sent

T

x

v T( , ) = ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅+

2 π θ

y x t sen sen

n nn

n N

( , ) , [ ( )] [ ( )]

( ) ( )

= ⋅ ⋅ ⋅ + = → ⋅ ⋅ + =

⋅ ⋅ + = ⋅ → ⋅ + = → = − ∀ ∈

0 05 4 1 0 4 1 0

4 1 4 14

π δ π δ

π δ π δ δ 1

y x t sen sen

nn

n N

( , ) , ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅ = → ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ = ⋅ → = ∀ ∈

0 05 4 0 4 0

44

π δ π δ

π δ π δ

5

de donde podemos despejar el valor de θ:

Por tanto, la ecuación del movimiento resulta:

5.6. PROPIEDADES GENERALES DE LAS ONDAS

1. La ecuación de una onda transversal es:

donde x e y se expresan en metros, y t, en segundos. Calcula:

a) La frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de fase.b) Los puntos que están en fase y en oposición de fase en un instante de-

terminado.PAU. Jaén. Junio, 1994.

a) Al comparar la ecuación de onda del ejercicio:

con la expresión general de la ecuación de una onda:

deducimos los valores que corresponden a la longitud de onda y a la frecuen-cia:

f = 2 Hz

λ = 1,5 m

Por tanto, la velocidad de fase:

b) La diferencia de fase entre dos puntos, en un mismo instante, resulta:

Para dos puntos en fase, la diferencia de fase es de 2 · π · n. Por tanto,

∆ϕ π= ⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ′

2 2

1 52

1 5t

xt

x

, ,

v

Tf= = ⋅ = ⋅ = ⋅ −λ λ 1 5 2 3 1, m s

y x t A sen f tx

( , ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +

2 π

λθ

y x t sen tx

( , ) ,,

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

0 1 2 2

1 5π

y x t sen t

x ( , ) ,

,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

0 1 2 2

1 5π

y x t sent x

( , ) ,, ,

,= ⋅ ⋅ ⋅ − +

0 05 2

0 02 0 21 5π

20 25

0 2 2

1

4

0 25

0 21 5⋅ ⋅ − +

= → = + =π θ π θ,

,

,

,, rad

6

siendo n = 1, 2, 3, ...

Para dos puntos en oposición de fase, la diferencia de fase es de (2 · n + 1) · π:

siendo n = 0, 1, 2, ...

5.8. ONDAS ESTACIONARIAS

1. Calcula la distancia que separa un nodo del vientre que le antecede o quele precede.

La distancia entre dos nodos o entre dos vientres es λ/2. Por tanto, la distanciaentre un nodo y un vientre es la mitad, λ/4.

2. Una cuerda, sujeta por ambos extremos, es sometida a vibración. Su ecua-ción de onda es:

y (x,t) = 0,2 · sen (0,04 · x) · cos (20 · π · t)

donde x se mide en centímetros y t en segundos. Calcula:

a) Longitud de onda.b) Frecuencia.c) Velocidad de propagación de las ondas por la cuerda.

La ecuación general de una onda estacionaria es:

y = 2 · A · cos (k · x ) · sen (ω · t )

En el caso que nos ocupa:

y (x,t ) = 0,2 · sen (0,04 · x ) · cos (20 · π · t )

Al comparar estas dos expresiones vemos que las funciones seno y coseno estáncambiadas. Este es un hecho que no ha de preocuparnos, ya que ambas funcio-nes son esencialmente la misma, aunque desfasadas 90 grados una respecto a laotra. Dependiendo del instante en que comencemos a medir, puede ser más có-modo tomar una función u otra. Los parámetros que acompañan a las variables xy t son los mismos. Por tanto,

k = 0,04 rad · cm−1 ; ω = 20 · πrad · s−1

Los valores que corresponden a la longitud de onda, frecuencia y velocidad depropagación son:

∆ϕ π π= ⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ′

= ⋅ + ⋅ →

→ ′ − = ⋅ ⋅ +

2 21 5

21 5

2 1

1 5

22 1

tx

tx

n

x x n

, ,( )

,( )

∆ϕ π π= ⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ′

= ⋅ ⋅ →

→ ′ − = ⋅

2 21 5

21 5

2

1 5

tx

tx

n

x x n

, ,

,

Unidad 5. Movimiento ondulatorio.

7

Cuestiones

1. Un frente de olas planas llega al muro de un puerto y pasa a través de él.

¿Qué figura muestra mejor la evolución de las olas?

Estamos ante un caso de difracción. La difracción se produce cuando un obstá-culo impide el avance de parte de un frente de onda. Si la longitud de onda dela perturbación es comparable con el tamaño del obstáculo, los puntos del fren-te de onda que no chocan con el obstáculo se convierten, de acuerdo con elprincipio de Huygens, en centros emisores de nuevos frentes de ondas. De esemodo, se genera un frente de ondas esféricas, con centro en la parte libre delobstáculo, que explica que la onda se propague por detrás de él.

La respuesta correcta es, por tanto, d) a no ser que la abertura sea mucho ma-yor que la longitud de onda de la vibración, en cuyo caso, la respuesta correctasería c).

2. Completa las frases, añadiendo las palabras que faltan:

Se denomina __________________ al lugar geométrico de los puntos delmedio que poseen idéntico estado de vibración, es decir, poseen la mis-ma _______________, __________ y __________.

En una onda se transmite la ___________ asociada a la perturbación. Elloexplica que las partículas alcanzadas por la perturbación __________ alre-dedor de su posición de equilibrio, reproduciendo la __________ del_______.

λ λ= ⋅ = → = ⋅ = ⋅ = ⋅ −v T

v

fv f 1 57 10 15 7 1, , m s

ω π ω

πππ

= ⋅ ⋅ → =⋅

= ⋅⋅

=22

20

210f f Hz

kk

= ⋅ → = ⋅ = ⋅ = ⋅ =2 2 2

0 0450 1 57

πλ

λ π π π,

, cm m

a) b) c) d) e)

8

Se denomina frente de onda al lugar geométrico de los puntos del medio queposeen idéntico estado de vibración, es decir, poseen la misma elongación, ve-locidad y aceleración.

En una onda se transmite la energía asociada a la perturbación. Ello explicaque las partículas alcanzadas por la perturbación vibren alrededor de su posi-ción de equilibrio, reproduciendo la vibración del foco.

3. Completa las frases, añadiendo las palabras que faltan:

Un medio _______________ es una sucesión, en todas direcciones, de__________ en equilibrio entre las que existen fuerzas de __________ y__________.

Al caer una piedra sobre la superficie del agua, produce __________. Co-mo las moléculas de agua vibran ____________ a la dirección en que sepropaga la onda, ésta se denomina onda __________.

Un medio elástico es una sucesión, en todas direcciones, de partículas enequilibrio entre las que existen fuerzas de atracción y repulsión.

Al caer una piedra sobre la superficie del agua, produce una perturbación.Como las moléculas de agua vibran perpendicularmente a la dirección en quese propaga la onda, ésta se denomina onda transversal.

4. En salas de gran tamaño, el sonido del eco que se produce puede mez-clarse con el sonido emitido, creando confusión. A ese fenómeno se lodenomina reverberación. ¿Qué método utilizarías para reducir la rever-beración en las paredes de una sala grande?

a) Paneles cerámicos.b) Paneles de aluminio.c) Cortinas de terciopelo.d) Paneles de madera.e) Láminas de vidrio.

La reverberación se produce por la reflexión de la onda sonora sobre las pare-des y el techo, que actúan como obstáculos para la propagación del movimien-to ondulatorio.

Los materiales lisos y duros favorecen la reflexión. Por tanto, no es aconsejable,dado nuestro objetivo, la utilización de materiales cerámicos o aluminio, y mu-cho menos, láminas de vidrio.

Los otras dos soluciones se pueden utilizar, porque ambos materiales son absor-bentes y reflejan poco el sonido. Si la sala es nueva, es aconsejable realizarla enmadera (siempre que el coste no sea prohibitivo). Si la sala ya está construida,lo normal es poner en las paredes cortinas de terciopelo de gran tamaño, o re-vestirlas de madera.

Las respuestas c) y d) pueden aceptarse.

9

5. La figura representa las posiciones, en determinado instante, de partícu-las de aire formando una onda sonora, que se desplaza hacia la derecha.

a) Señala en la figura un punto [C ] en el que la presión del aire sea máxi-ma y otro punto [D] en el que sea mínima.

b) Dibuja sobre el diagrama dos puntos que estén separados por una lon-gitud de onda. ¿Cuánto vale dicha longitud de onda?

c) Indica la dirección en que se moverán las partículas A y B.

a) Los puntos en que la presión del aire es máxima son las crestas de la onda.Gráficamente, son los lugares donde las líneas están más juntas. Se indicanen la figura con la letra C.

Por otra parte, los puntos en que la presión del aire es mínima son los vallesde la onda. Gráficamente, son los lugares donde las líneas están más espa-ciadas. Se indican en la figura con la letra D.

b) La distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismoestado de vibración coincide con la longitud de onda.

Esto significa que entre dos puntos consecutivos, señalados como C, hay unadistancia que es igual a la longitud de onda, en este caso, 10 cm, suponien-do que las unidades de la escala superior sean cm.

c) Se trata de una onda longitudinal. La dirección de propagación, marcada conla flecha negra, es también la dirección de vibración. El sonido se propagapor medio de compresiones y rarefacciones que se producen en la misma di-rección de propagación.

La dirección en que se mueven las partículas A y B es la dirección de propa-gación del sonido. El sentido es, en cada caso, el que se indica en la propiafigura.

A

C D DC C

B

0 5 10 15 20 25 30

A B

0 5 10 15 20 25 30

10

6. Introducimos una moneda en un vaso y ajustamos nuestro ojo para verlaenrasada exactamente. Hecho esto, bajamos la posición de nuestra cabe-za, hasta que la moneda deja de ser visible. Sin desplazar ahora la mira-da, hacemos que alguien llene el vaso con agua. Al hacerlo, vemos denuevo la moneda. ¿Puedes explicar el motivo?

El que esto sea posible se debe al fenómeno de la refracción. Si llenamos el va-so de agua, el rayo de luz que, procedente de la moneda, llega al borde del va-so, en la superficie de separación agua-aire, cambia de dirección, alejándose dela normal, como se aprecia en la figura. Este cambio de dirección hace posibleque veamos la moneda.

7. Demuestra que, al proyectar un rayo hacia una superficie que separa dosmedios cuyo índice de refracción es diferente, si el índice de refraccióndel segundo medio es menor que el del primero, existe un ángulo de in-cidencia máximo más allá del cual no se produce refracción, y solo seproduce reflexión. A dicho ángulo se lo denomina ángulo límite.

Observa la figura:

Se denomina ángulo límite el ángulo máximo de incidencia con que debe al-canzar un rayo la superficie que separa un medio de mayor índice de refracciónde otro de menor índice de refracción para que el rayo salga refractado. Si elángulo de incidencia es superior al ángulo límite, el rayo se refleja en la superfi-

i3 θ1

θ2 r3

n1

n2<n1

r2

r1

θ3

δ3≡θ3

θ2=iL(ángulo límite)

ilímite≡i2

i2

i1

δ1

δ2

Ve la moneda

Ve la moneda

Agua

No ve lamoneda

Unidad 5. Movimiento ondulatorio.

11

cie que separa ambos medios y sigue propagándose por el medio que tiene ma-yor índice de refracción.

Para comprobar que esto es así, aplicamos las leyes de Snell a la refracción:

Si n2

< n1, debe ser sen i < sen r . Por tanto, como el ángulo de refracción máxi-

mo es 90°, existirá un ángulo de incidencia máximo, ilímite

, cuyo valor será:

8. Calcula el ángulo límite en la refracción de un rayo de luz en la superficieque separa una masa de agua del aire que se encuentra sobre ella, si el ín-dice de refracción del aire es 1 y el del agua 4/3.

El ángulo que forma el rayo refractado con la normal, cuando el ángulo de inci-dencia es el ángulo límite, es 90°. Al aplicar la segunda ley de Snell, resulta:

9. Calcula el ángulo límite en la refracción de un rayo de luz en la superficieque separa una fibra óptica del aire en que se encuentra.

El índice de refracción del aire es 1 y el de la fibra óptica 2.

Como el rayo no se refracta para pasar al aire, el rayo refractado debe salir pa-ralelo a la superficie de separación de ambos medios.

Ello significa que, respecto a la normal, el ángulo con que sale el rayo es 90°. Siaplicamos la segunda ley de Snell en este caso, resulta:

10. La figura muestra un frente de ondas plano, que llega a una habitacióncuya puerta está abierta.

60 cm

sen i

sen t

n

nsen i

n

nsen i arcsenL L

ˆ

ˆˆ ˆ= → = ⋅ ° = → =

= °2

1

2

1

901

2

1

230

sen i

sen r

n

nsen i

n

nsen

i arcsenL

ˆ

ˆˆ

ˆ ,

= → = ⋅ ° = →

→ =

= °

2

1

2

1

9014

33

448 6

i arcsenn

nsen arcsen

n

nlímite = ⋅ °

=

2

1

2

1

9 0

sen i

sen r

n

nsen i

n

nsen r

ˆ

ˆˆ ˆ= → = ⋅2

1

2

1

12

a) Copia la figura y dibuja sobre ella el frente de ondas que se forma alatravesar la puerta.

b) Calcula la longitud de onda, λ, de la perturbación tras atravesar lapuerta.

a) En este caso se produce un fenómeno de difracción. La difracción se produ-ce cuando un obstáculo impide el avance de parte de un frente de onda. Lospuntos del frente de onda que chocan con el borde del orificio se convier-ten, de acuerdo con el principio de Huygens, en centros emisores de nuevosfrentes de ondas, obteniendo como resultado la envolvente de todos ellos.

Ello explica que la forma del frente de ondas cambie al atravesar la onda laabertura.

b) La forma del frente de ondas cambia al atravesar la abertura. Sin embargo, lavelocidad de propagación y la frecuencia no lo hacen. La longitud de ondaantes y después de que se atraviese la abertura es la misma:

11. ¿Qué diferencia de caminos provocará una interferencia constructiva enel punto P? ¿Y una interferencia destructiva?

Indica el resultado en función de la longitud de onda, λ, del movimientoondulatorio.

Para que se produzca interferencia constructiva, las distancias desde los puntosde origen (A y B) hasta el punto P han de cumplir la siguiente relación:

xBP

− xAP

= λ · n

PA

B

d1

d2

λ = = =60

610 0 1 cm m,

λλ λ λ

λ λ

13

De acuerdo con las cotas que se indican en la figura, resulta:

siendo n = 1, 2, 3, ...

Para que se produzca una interferencia destructiva, las distancias desde los pun-tos de origen (A y B) hasta el punto P considerado han de cumplir la siguienterelación:

En función de las cotas indicadas en el dibujo:

siendo n = 0,1, 2, ....

12. Un frente de ondas longitudinales de superficie se propaga por un estan-que, hasta que llega a un obstáculo. La frecuencia del movimiento ondu-latorio es de 100 Hz, y la longitud de onda, de 10 cm.

a) Dibuja un diagrama como el que se adjunta y, sobre él, sitúa los suce-sivos frentes de onda, para explicar qué ocurre en el lado poco pro-fundo del estanque.

b) ¿Qué nombre recibe el fenómeno que se produce al encontrarse elmovimiento ondulatorio con el obstáculo?

c) ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas en el lado más pro-fundo del estanque?

a) En la parte en que el estanque es profundo se producirá la reflexión de lasondas al chocar contra la pared del estanque. Por el contrario, en la parte enque este es poco profundo, el fenómeno que se producirá será similar al quese produce en una playa con las olas del mar: la onda, al alcanzar el puntoinferior en la vibración, rozará contra el fondo, dando lugar a la formaciónde olas.

B

Ondas

Ladoprofundo

Lado pocoprofundo

A

d d d n1

222

1 22 1+ − = ⋅ ⋅ +λ

( )

x x nBP AP− = ⋅ ⋅ +λ

22 1( )

d d d n12

22

1+ − = ⋅λ

Unidad 5. Movimiento ondulatorio.

14

b) Cuando el frente de ondas incide sobre el obstáculo, se produce una refle-xión de las ondas.

c) En el enunciado se proporcionan los datos necesarios para calcular la veloci-dad de propagación en el lado profundo del estanque, donde no existenperturbaciones con el fondo:

13. Dada la ecuación de onda:

y (x,t) = 0,04 · sen [π · (x − t)]

Calcula:

a) La distancia que separa dos puntos que se encuentran en fase.

b) La distancia que separa dos puntos que se encuentran en oposición defase.

a) Dos puntos están en fase si, en un instante dado, su diferencia de fase, ∆ϕ, es2 · π radianes. Por tanto:

∆ϕ = π · [(x − t ) − (x' − t )] = 2 · π → x − x' = 2 m

b) Dos puntos se encuentran en oposición de fase si, en un instante dado, sudiferencia de fase es π radianes. Por tanto:

∆ϕ = π · [(x − t ) − (x' − t )] = π → x − x' = 1 m

14. Una onda armónica tiene las siguientes características:

Amplitud = 10 cmVelocidad de propagación = 10 m · s−1

Número de onda = 20 · π rad · m−1

Con estos datos, determina:

a) La ecuación de onda.

b) La diferencia de fase entre dos puntos que se encuentran separadosuna distancia de 80 cm.

c) La diferencia de fase entre dos puntos que se encuentran separadosuna distancia de 60 cm.

La ecuación general de una onda armónica podemos expresarla en la forma:

a) La longitud de onda se puede calcular a partir del número de onda:

Por su parte, el período resulta: k

k= ⋅ → = ⋅ = ⋅

⋅=2 2 2

200 1

πλ

λ π ππ

, m

y x t A sent

T

x( , ) = ⋅ ⋅ ⋅ − +

2 π

λθ

vT

f= = ⋅ = ⋅ = ⋅ −λ λ 0 1 100 10 1, m s

15

Como no se indica nada al respecto, supondremos que la fase inicial es nula.Así:

b) Para dos puntos separados 80 cm, la diferencia de fase resulta:

Como 16 · π es múltiplo de 2 · π, podemos afirmar que ambos puntos vibranen fase.

c) Si los dos puntos están separados 60 cm, al sustituir en la expresión anterior,resulta:

Al igual que antes, como 12 · π es múltiplo de 2 · π radianes, podemos afir-mar que ambos puntos vibran en fase.

Estos resultados son perfectamente lógicos, ya que, en cualquier movimientoondulatorio, los puntos que vibran en fase están separados un número ente-ro de veces la longitud de onda, que en nuestro caso es 10 cm.

15. Un alumno se encuentra a la puerta del centro en que estudia y oye cómose aproxima una ambulancia que hace sonar la sirena.

Si la frecuencia que percibe cuando se acerca la ambulancia es de 2 100Hz, y la que percibe cuando se aleja es de 1900 Hz, calcula:

a) La velocidad a la que circula la ambulancia, medida desde un sistemade referencia inercial solidario con el alumno.

b) La frecuencia con que emite la ambulancia.

Dato: La velocidad de propagación del sonido en el aire es de 340 m · s–1.

a) El alumno se encuentra parado en todo momento, lo que equivale a decirque la velocidad del observador es nula.

Planteemos la expresión de la frecuencia aparente cuando la ambulancia seacerca y cuando se aleja:

∆ϕ π π π= ⋅ ⋅ ′ −

= ⋅ ⋅ = ⋅20 1 0 1

2

0 10 6 12

x x

, , ,, rad

∆

∆

ϕ π

ϕ π π π

= ⋅ ⋅ −

− − ′

= ⋅ ⋅ ′ −

= ⋅ ⋅ = ⋅

20 01 0 1 0 01 0 1

20 1 0 1

2

0 10 8 16

t x t x

x x

, , , ,

, , ,, rad

y x t sent x

sen t x

( , ) ,, ,

, [ ( )]

= ⋅ ⋅ ⋅ −

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

0 1 20 01 0 1

0 1 2 100 10

π

π

λ λ= ⋅ → = = =v T T

v

0 1

100 01

,, s

16

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: vFy f.

Dividiendo entre sí ambas expresiones, eliminamos la frecuencia y podemoscalcular la velocidad del foco:

b) Sustituyendo en cualquiera de las expresiones anteriores, la frecuencia resul-ta:

16. Calcula el índice de refracción del bloque de vidrio de la figura, utilizan-do la información que en ella se proporciona. El medio que rodea a lapieza de vidrio es el aire, y su índice de refracción es la unidad.

Aplicando directamente las leyes de Snell a la refracción resulta:

17. Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación:

y(x,t) = 0,4 · cos(50 · t − 2 · x)

expresada en unidades S.I. Calcula:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) El estado de vibración de una partícula situada a 20 cm del foco en elinstante t = 0,5 s.

sen

sen

,

°°

⋅ =30

201 1 462n

sen i

sen rn

ˆ

ˆ= ⋅ =2 1

sen i

sen r

n

n

ˆ

ˆ= →2

1

20°

30°

naire = 1

2 100

340

3402 100

340 17

3401 995 Hz= ⋅

−→ = ⋅ − =f

vf

F

1105340

340

35 8

2 10517 1,

,

,=

+−

→ = = ⋅ −v

vvF

FF m s

′ = ⋅−

= ⋅−

=

′ = ⋅+

= ⋅+

=

f fv

v vf

v

f fv

v vf

v

acercaF F

alejaF F

340

3402 100

340

3401 900

Hz

Hz

17

a) La ecuación general de un movimiento ondulatorio puede escribirse de la for-ma:

y (x,t ) = A · cos (ω · t − k · x )

Al comparar esta expresión con la del enunciado:

y (x,t ) = 0,4 · cos (50 · t − 2 · x )

Como ω = k · v, identificando:

b) Sustituyendo en el punto indicado:

y (x,t ) = 0,4 · cos (50 · 0,5 −2 · 0,2 ) = 0,364 m

18. Una onda armónica se propaga en dirección OX y sentido positivo. Dicha on-da tiene las siguientes características:

A = 25 cm; v = 2 m · s−1; k = 2 · π rad · m−1

Escribe la ecuación que corresponde al movimiento ondulatorio.

La ecuación general de onda podemos escribirla en la forma:

y (x,t ) = A · sen (ω · t − k · x )

El número de onda permite calcular la longitud de onda:

Conocida la velocidad de propagación, podemos calcular la frecuencia y la fre-cuencia angular:

De ese modo, la ecuación de onda queda en la forma:

y (x,t ) = 0,25 · sen (4 · π · t − 2 · π · x ) = 0,25 · sen [2 · π (2 · t − x)]

19. Se hace vibrar una cuerda de 0,5 metros sujeta por los dos extremos. Lacuerda tiene cinco nodos, siendo la amplitud de vibración de 2 cm y lavelocidad de propagación de las ondas de 10 m · s−1. Calcula la frecuenciafundamental de vibración y la longitud de onda asociada.

Al estar sujeta por los extremos, la cuerda tiene dos nodos en los extremos.

N N N N N

l = 50 cm

λλ

ω π π π

= → = = =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

v

ff

v

f

2

12

2 2 2 4 1

Hz

rad s

k

k= ⋅ → = ⋅ = ⋅

⋅=2 2 2

21

πλ

λ π ππ

m

v

k= = = ⋅ −ω 50

225 1 m s

18

Como en total hay cinco nodos, podemos calcular la frecuencia de la vibración,ya que, para una onda estacionaria con nodos en los extremos:

En nuestro caso, n = 4, pues se empieza a contar desde n = 0. Debemos teneren cuenta que en el origen es donde se encuentra el primer nodo. De este mo-do:

Por tanto, la longitud de onda resulta:

20. Los gráficos que siguen muestran el movimiento de una onda.

La primera figura representa el desplazamiento, y, frente al tiempo, endeterminada posición. La segunda muestra el desplazamiento, y, en uninstante de tiempo, frente a la posición, x.

a) Expresa las siguientes variables en función de los parámetros A, B, C y D:

– Amplitud.

– Longitud de onda.

– Frecuencia.

– Período.

b) Calcula la velocidad de propagación de la onda.

c) Escribe la ecuación de propagación de la onda si se trata de una ondatransversal que se propaga en la dirección OX.

y

O150 300 450 600

x (m)

C

A

y

O0,5 1,0 1,5 2,0

t(µs)

B

D

λ λ= → = =v

f

10

400 25, m

fn v

l= ⋅

⋅= ⋅

⋅=

2

4 10

2 0 540

, Hz

f

n v

l= ⋅

⋅2

19

a) Para resolver este ejercicio, es preciso entender con claridad el significado deambas gráficas.

La primera muestra cómo cambia, a medida que transcurre el tiempo, el esta-do de vibración en que se encuentra determinada partícula que ha sido al-canzada por la perturbación y que se encuentra en una posición relativa, x,que no cambia.

La segunda muestra el estado de vibración de distintos puntos alcanzadospor la perturbación en un mismo instante. El efecto equivale a una fotografíainstantánea de una zona alcanzada por la perturbación.

– Amplitud: Corresponde a la cota D. La amplitud es la máxima separación,desde su posición de equilibrio, de una partícula alcanzada por la vibra-ción.

– Longitud de onda: Corresponde a la cota C. La distancia señalada es la quesepara dos puntos que se encuentran en el mismo estado de vibración.

– Período: Corresponde a la cota B. Es el intervalo de tiempo que transcurrepara que un punto alcance de nuevo el mismo estado de vibración.

– Frecuencia: Será la cantidad f = 1/B, ya que la frecuencia es la inversa delperíodo.

b) La velocidad de propagación de la onda se calcula a partir de la expresión:

El resultado que obtenemos es, precisamente, la velocidad de propagaciónde las ondas electromagnéticas.

c) La ecuación general de una onda es:

Sustituyendo los datos que ya conocemos:

El parámetro D no tiene un valor concreto, porque no se indican valores nu-méricos en la escala de elongaciones. En cuanto a la fase, θ, esta es nula,porque en el instante inicial (t = 0 s) la elongación en el foco (x = 0) es nula.

21. Un observador en reposo pretende medir la velocidad de un coche ba-sándose en el efecto Doppler. Para ello, mide la frecuencia del motor delcoche cuando se acerca y cuando se aleja, obteniendo como resultado500 Hz y 450 Hz, respectivamente. Con esos datos, calcula la velocidadcon que se mueve el vehículo.

La lectura que realiza el observador es la frecuencia aparente, f '. Por otra parte,el observador se mantiene en reposo (v

0= 0 m · s−1).

y x t D sent x

( , ) = ⋅ ⋅ ⋅ −

−

210 3006

π

y x t A sent

T

x( , ) = ⋅ ⋅ ⋅ − +

2 π

λθ

v

T= = = ⋅ ⋅

−−λ 300

103 10

68 1 m s

20

Si planteamos las ecuaciones que corresponden a las situaciones en que el focose acerca y se aleja, obtenemos el siguiente resultado:

En estas expresiones, la incógnita que nos interesa es vF. Para despejarla, dividi-

mos entre sí ambas expresiones:

22. Maite se encuentra en el portal de su casa, mientras oye cómo se acercauna moto, emitiendo un ruido que, a efectos del problema, asimilaremosa un sonido de frecuencia 1 500 Hz. La moto se acerca con una velocidadde 54 km · h−1. Con esos datos, calcula:

a) La frecuencia que percibe Maite, mientras la moto se acerca hacia ella.La dirección en que se mueve la moto es, en todo caso, la recta queune la moto con Maite.

b) La frecuencia que percibe si, tras pasar la moto por delante de ella, sealeja con la misma velocidad. Al igual que en el caso anterior, la motose mueve en una dirección definida, en todo momento, por una rectaque une a Maite con la moto.

c) La frecuencia del ruido percibido si Maite monta en su moto y persi-gue al conductor de la primera moto con una velocidad de 10 m · s−1.

a) El problema es una aplicación del efecto Doppler. Consideraremos en todoslos apartados que la velocidad del sonido en el aire es 340 m · s−1.

En este caso, el foco se acerca al observador. Por tanto, la frecuencia aparen-te que este percibe es:

b) Ahora, la moto (el foco) se aleja del observador, que sigue permaneciendoen reposo. La velocidad del foco cambia de signo, y por tanto:

f fv

v vF

’ ,= ⋅−

= ⋅− ⋅

=1 500340

340 541 000

3 600

1 569 2

Hz

500

450

340

340340

340

340

340

340 500 450 450 500

340 50

95017 9 1

=−

+

=+−

→

→ ⋅ − = ⋅ + →

→ = ⋅ = ⋅ −

v

v

v

v

v

v

F

F

F

F

F

F

( ) ( )

, m s

f fv

v vf

v

f fv

v vf

v

F F

F F

’

’

1

2

340

340500

340

340450

= ⋅−

= ⋅−

=

= ⋅+

= ⋅+

=

Hz

Hz

21

c) En esta ocasión, tanto el foco como el observador se mueven. El observadorse acerca hacia el foco y el foco se aleja del observador. Por tanto:

23. Un tren se acerca por una vía recta haciendo sonar su silbato. La frecuen-cia con que emite el silbato es 1 000 Hz.

Si el tren se mueve con una velocidad de 144 km · h−1, calcula:

a) La frecuencia que percibe un observador que se encuentra parado enel andén de la estación mientras se acerca el tren.

b) La frecuencia que percibe un observador si está paseando por el andénde la estación, en dirección al tren, con una velocidad de 3,6 km · h−1.

c) La velocidad con que debería moverse ese observador, una vez hayapasado el tren, para percibir el sonido del silbato con una frecuencia de975 Hz.

d) ¿En qué sentido debe hacerlo, si se mueve en la misma dirección queel tren?

a) El problema es una aplicación del efecto Doppler. Consideraremos en todoslos apartados que la velocidad del sonido en el aire es 340 m · s−1.

En este caso, el foco (el tren) se acerca al observador; por tanto, la frecuen-cia aparente que este percibe es:

b) Ahora, el observador también se mueve, aproximándose al foco. Por tanto:

c) Una vez ha pasado el tren por delante del observador, su velocidad cambiade signo. Debemos despejar ahora la velocidad con que debería moverse elobservador a partir de la ecuación:

f f

v v

v v

vv

F

’ ,= ⋅++

→ = ⋅++

→ = ⋅ −0 00

1975 1 000340

340 4030 5 m s

f fv v

v vF

’

,

,= ⋅+−

= ⋅+ ⋅

− ⋅

=0 1 000

340 3 61 000

3 600

340 1441 000

3 600

1 136 7

Hz

f fv

v vF

’ ,= ⋅−

= ⋅− ⋅

=1 000340

340 1441 000

3 600

1 133 3

Hz

f fv v

v vF

’ ,= ⋅++

= ⋅ +

+ ⋅

=0 1 500340 10

340 5400

3 600

1 478 9 1 0

Hz

f fv

v vF

’ ,= ⋅+

= ⋅+ ⋅

=1 500340

340 54000

3 600

1 436 6 1

Hz

22

d) El signo de la velocidad, v0, es positivo, lo que indica que el observador se

acerca hacia el foco. Ello quiere decir que el observador debería ir persi-guiendo el tren con una velocidad igual a 30,5 m · s−1.

24. Un rayo de luz incide como se indica en la figura sobre la cara ab de unprisma de cristal cuyo índice de refracción toma el valor n = 1,52.

a) Calcula el máximo valor del ángulo φ que hace que el rayo salga total-mente reflejado en la cara ac.

b) Calcula ese mismo ángulo si el prisma está en el agua (nagua = 4/3).

a) Como se aprecia en la ilustración, la línea que separa los dos medios es larecta ac, siendo la normal la recta perpendicular a ella, de trazo discontinuo.

Si el rayo sale reflejado en la cara ac, el ángulo que forma con la normal es90°. Por tanto, al aplicar la ley de Snell, resulta:

b) El índice de refracción del segundo medio cambia ahora. Por tanto:

25. En la ecuación de onda:

y (x,t) = 0,1 · sen [2 · π · (2 · x + t)]

calcula:

a) La amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de pro-pagación del movimiento ondulatorio.

b) La distancia mínima que separa dos puntos que se encuentran en fase.

c) La distancia mínima que separa dos puntos que se encuentran en opo-sición de fase.

sen

sen r

n

nsen

n

nsen

arcsen

θ θ

θ

ˆ,

,

,

,,

= → = ⋅ ° = →

→ =

= °

2

1

2

1

901 33

1 52

1 33

1 5261 31

sen

sen r

n

nsen

n

nsen

arcsen

θ θ

θ

ˆ ,

,,

= → = ⋅ ° = →

→ =

= °

2

1

2

1

901

1 52

1

1 524114

a

φ

φ

b c

23

d) ¿Por qué hablamos de distancia mínima en los dos apartados anterio-res?

a) La ecuación general de una onda es:

Si comparamos la ecuación general con la del problema:

y (x,t) = 0,1 · sen [2 · π · (2 · x + t)]

obtenemos directamente los siguientes valores:

Amplitud = 0,1 mFrecuencia = 1 Hz

Longitud de onda = 1/λ = 2; λ = 0,5 mVelocidad de propagación = λ/f = 0,5 m · s−1

b) La diferencia de fase entre dos puntos es:

∆ϕ = 2 · π · [(2 · x + t) − (2 · x ' + t)]

Para dos puntos en fase, la diferencia de fase mínima es 2 · π, luego:

2 · π = 2 · π· [2 · x + t) − (2 · x ' + t)]

Por tanto, la distancia entre ambos puntos es:

c) Dos puntos consecutivos en oposición de fase son aquellos cuya diferenciade fase es π (∆ϕ = (2 · n+ 1) · π):

π = 2 · π· [(2 · x + t) − (2 · x ' + t)]

Simplificando la expresión anterior, resulta:

1 = 4 · (x − x ' ) → x − x ' = 0,25 m

d) Existen multitud de puntos que vibran en fase y en oposición de fase. Entredos puntos cualesquiera de una recta que parta del foco de la perturbación,separados una distancia igual a una longitud de onda, existen dos puntosque vibran en fase. Si la distancia que los separa es igual a media longitud deonda, existen dos puntos vibrando en oposición de fase.

26. Se hace vibrar una cuerda de 0,5 metros sujeta por los dos extremos. Lacuerda tiene tres nodos y la amplitud de vibración es de 1,2 cm, siendo lavelocidad de propagación de las ondas de 100 m · s–1. Con esos datos:

a) Escribe la ecuación de la onda estacionaria.

b) Calcula la frecuencia fundamental de vibración y la longitud de ondaasociada.

a) Al estar sujeta por los extremos, la cuerda tiene dos nodos en los extremos.Como en total hay tres nodos, esto nos permite calcular la frecuencia de la

x x− ′ = =1

20 5, m

y x t A sen f tx

( , ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

2 π

λ

24

vibración a partir de la longitud de la cuerda, ya que, para una onda estacio-naria con nodos en los extremos:

En nuestro caso, hemos tomado n = 2, pues se empieza a contar partiendode n = 0, estando en el origen el primer nodo.

La longitud de onda es:

b) La ecuación general de una onda armónica se escribe:

y = A · cos (k · x ) · sen (ω · t )

El número de onda k y la frecuencia angular ω son:

Por tanto, la ecuación de la onda estacionaria resulta:

y = 0,012 · cos (4 · π · x ) · sen (400 · π · t )

27. Un prisma birrefractante está formado por dos prismas iguales unidoscomo se indica en la figura, en la que los ángulos que se señalan miden101,5°.

Un rayo A, que incida como se indi-ca, saldrá desplazado por A'.

¿Cuánto se desplazará verticalmen-te el rayo?

Datos: El índice de refracción del cristal del prisma es n = 1,6.

El cristal se encuentra en el aire y su longitud es L = 10 cm.

El ángulo que forma el rayo incidente con la normal es:

â = 101,5 − 90 = 11,5°

L

O

L—x

A

hBC

aab

ca

M

NN

M’

α

α

x

A

L

A'

α

α

k

f

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

−

−

2 2

0 54

2 2 200 400

1

1

πλ

π π

ω π π π,

rad m

rad s

λ λ= → = =v

f

100

2000 5, m

fn v

lf

n v

l= ⋅

⋅→ = ⋅

⋅= ⋅

⋅=

2 2

2 100

2 0 5200

, Hz

25

Si aplicamos la ley de Snell a este sistema, podemos calcular el ángulo de re-fracción:

Por tanto, el ángulo marcado en la figura como c , resulta:

c = a − b = 11,5° − 7,16° = 4,34°

En cada uno de los dos triángulos rectángulos que se forman podemos escribir:

De las dos expresiones anteriores podemos despejar el desplazamiento verticaldel rayo, h:

28. Completa el diagrama adjunto, indicando la trayectoria que seguirá unrayo de luz amarilla monocromática que incide formando un ángulo de30° con la horizontal, como se indica en la figura, si pasa a través del vi-drio y del cuarzo, para salir de nuevo al aire.

Datos: El índice de refracción del vidrio es n = 1,50.

El índice de refracción del cuarzo es n = 1,70.

Como conocemos el ángulo de incidencia del rayo y los índices de refraccióndel aire, del vidrio y del cuarzo, podemos determinar cuál será la desviaciónque sufre el rayo a medida que va atravesando cada medio. Para ello, simple-mente hemos de aplicar la ley de Snell.

Al pasar del aire al vidrio, el ángulo de refracción es:

Si trazamos otra normal a la línea de separación vidrio-cuarzo, en el punto enque incide el rayo refractado, el ángulo de incidencia con que llega el rayo alcuarzo es el que hemos calculado anteriormente. Por tanto:

sen i

sen r

n

nsen r

n

nsen i sen r

ˆ

ˆˆ ˆ

,ˆ ,= → = ⋅ = ⋅ ° = → = °1

1

1

1 530

1

319 47

30° VIDRIO CUARZO

h Ltg c

tg c tg a

tg

tg tg= ⋅

+ ⋅= ⋅ °

+ ° ⋅ °=

= ⋅ =−

m mm

ˆ

ˆ ˆ,

,

, ,

, ,

10 1

4 34

1 4 34 11 5

7 47 10 7 473

ABC

x

htg a OAB

h

L xtg c→ = →

−= ; ˆ ˆ

sen a

sen b

n

nsen b sen a

n

nsen

b arcsen

ˆˆ

ˆ ˆ ,,

,

ˆ , ,

= → = ⋅ = ° ⋅ = →

→ = = °

2

1

1

2

11 51

1 60 1246

0 1246 7 16

26

Por último, al salir al aire:

Como vemos, el rayo sale paralelo a la dirección de entrada.

29. Una placa de vidrio tiene un espesor de 0,9 centímetros, y un índice derefracción n = 1,55. ¿Cuánto tardará un haz de luz en pasar a través deella?

El índice de refracción de la placa de vídrio es la relación entre la velocidad depropagación del haz de luz en el aire y la velocidad de propagación a través dela placa de vidrio. Por tanto:

Como la placa de vidrio tiene un espesor de 0,9 centímetros, el haz de luz tar-dará en atravesarla:

t

s

vvidrio

= = ⋅⋅

= ⋅0 9 10

1 93 104 66 10

2

811,

,,

–– s

n

v

vv

v

naire

vidriovidrio

aire= → = = ⋅ = ⋅ ⋅3 10

1 551 93 10

88

,, m s–1

30°

19,4°

19,4°17,1°

17,1°30°

VIDRIO CUARZO

n1=1,5n n2=1,7

sen i

sen r

n

nsen r

n

nsen i sen r

ˆ

ˆˆ ˆ ,

, , ˆ= → = ⋅ = ⋅ ° = → = °2

2 1 7

117 1 0 5 30

sen i

sen r

n

nsen r

n

nsen i sen r

9,47

ˆ

ˆˆ ˆ ,

,, ˆ ,= → = ⋅ = ⋅ ° = → = °2

1

1

2

1 5

1 71 0 294 17 1

27