8/6/2019 Fisica Estadistica - Reif Capitulo 5

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Fsica Estadstica - Deber 5

Alejandro Gomez Espinosa *Escuela Politecnica Nacional

Quito - Ecuador

17 de mayo de 2011

Libro de Reif. F, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Captulo 5.

5.15 Suponga una pelcula de jabon en un alambre. Debido a la tension superficial, la pelcula ejerce una fuerzade 2l en el alambre. Esta fuerza es en una direcci on tal que tiende a mover el alambre para reducir elarea de la pelcula. La cantidad es llamada tension superficial de la pelcula y el factor 2 se debe a que

la pelcula tiene dos superficies. La dependencia de la temperatura de esta dada por: = 0 T (1)

donde 0 y son constantes independientes de T y x.

1. Suponga que la distancia x (o equivalente al area total de la pelcula 2lx) es el unico parametrosignificativo del problema. Escribir una relacion que exprese el cambio dE en la energa media de lapelcula en terminos del calor absorbido por este dQ y el trabajo realizado en un proceso infinitesimalcuasiestatico en cuya distancia x hay un cambio en una cantidad dx.

Solucion: En este caso, el trabajo realizado por la tension superficial es

dW = a (2)

donde es la tension superficial y da = 2ldx es el cambio en el area, el signo representa la fuerza queejerce la tension superficial que es opuesta a la direccion de dx. As, la conservacion de energa es:

dE = dQ dW = dQ + 2ldx (3)

2. Calcule el cambio en la energa media E = E(x) E(0) de la pelcula cuando se estira a unatemperatura constante T0 desde x = 0 a una distancia x.

Solucion: Como el proceso es cuasiestatico la ecuacion (3) puede escribirse:

dE = T dS+ 2ldx (4)

La entropa se puede tomarse como funcion de la temperatura T y la distancia que se estira x comouna variable externa y se encuentra:

dS =S

TdT +

S

xdx (5)

como el proceso es a T constante entonces dT = 0. Usando las relaciones de Maxwell para la fuerzageneralizada (2l) y el desplazamiento, se obtiene:

S

x

T

=

(2l)

T

x

= 2l (6)

Reemplazando en (4):dE = 2lTdx + 2ldx = 2l0dx (7)

Finalmente

E = E(x)E(0) = x

0sl0dx = 2l0x (8)

*agomez@physics.org

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3. Calcule el trabajo W(0 x) realizado en la pelicula para estirarla a una temperatura constantedesde una distancia x = 0 a una x.

Solucion: El trabajo es:

W =

dW = 2ldx = 2lx (9)

5.19La ecuacion de van del Waals para una mol de gas esta dada por

(p + av2)(v b) = RT (10)

En general, curvas de p vs v para varios valores de T exhibe un m aximo y un mnimo en los puntosdonde (p/v)T = 0. El maximo y el mnimo se unen en un punto donde (

2p/v2)T = 0 en adicion a(p/v)T = 0. Este punto se denomina punto crtico de la sustancia y su temperatura, presion y volumenmolar estan denotados por Tc, pc y vc.

1. Exprese a y b en terminos de Tc y vc.

Solucion: Derivamos la expresion (10) con respecto a v y reemplazando el valor de dp/dv = 0 setiene:

2a(v b)2

v3

= RT (11)

Derivamos nuevamente con respecto a v y reemplazamos nuevamente d2p/dv2 = 0, se obtiene quevc = 3b. Reemplazando en la formula anterior se tiene:

RTc =8a

27b a = 9

8vcRTc ; b =

vc3

(12)

2. Exprese pc en terminos de Tc y vc.

Solucion: Reemplazamos a y b en (10) y se tiene:

pc =3

8

RTcvc

(13)

3. Escriba la ecuacion de van der Waals en terminos de las variable adimensionales reducidas:

T =T

Tcv =

v

vcp =

p

pc(14)

Solucion: La ecuacion (10) puede escribirse con estos cambios de variable asi:p +

a

pcv2cv2

v b

vc

= RT

Tcpcvc

(15)

Reemplazando los valores de a, b y pc:

p +

3

v2v 1

3 =8

3T (16)

5.21 El coeficiente de Joule-Kelvin esta dado por

=

T

p

H

=V

Cp

T

V

V

T

p

1

(17)

Debido a que esta ecuacion involucra la temperatura absoluta T, esta relacion puede ser usada paradeterminar T.

Considere cualquier parametro arbitrario medible de temperatura (e.g. el alto de una columna demercurio). Todo lo que se conoce es que es funcion (desconocida) de T; i.e. = (T).

1. Exprese (17) en terminos de varias cantidades directamente medibles que involucran la temperatura

en lugar de la temperatura absoluta T, i.e. en terminos de

= (/p)H, C

p = (dQ/d)p, = V1(V/)p y la derivada d/dT.

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Solucion: Tenemos que:

=

p

H

=

T

p

H

=T

Ademas:

= V1 V

p

V

T=

V

T= V

Ty tambien:

Cp = (dQ/dT)p =

Q

T

P

= CP

T

Entonces:

=V

CPT

TV

V

T

1

T

=

V

CPT

T T

1

=V

CP T

T 12. Demuestre que, al integrar la expresion resultante, se puede hallar T para cualquier valor dado de

si se conoce que = 0 cuando T = T0 (e.g. si se conoce el valor de = 0 en el punto triple dondeT0 = 273,16.

Solucion:CP

V= T

T

1

1

T

CP

V+ 1

=

T

ln

TfT0

=

d

CP

V+ 1

Tf = To exp

d

CP

V+ 1

5.24 El calor latente de fusion del hielo es L por unidad de masa. Un balde contiene una mezcla de agua y hielo

a tempertatura absoluta T0. Se desea usar el refrigerador para enfriar una masa adicional m de agua en elbalde. El calor expulsado por el refrigerador hace que se caliente un cuerpo de capacidad calorica constanteC e, inicialmente tambien a temperatura T0. Cual es la cantidad mnima de calor que el refrigerador debeexpulsar de este cuerpo en el proceso?.

Solucion: La mnima cantidad de calor que el refrigerador expulsa ocurre cuando el cambio total deentropa del sistema es cero. Esto significa cualquier entropa perdida por el hielo debe ser ganada por elreservorio, y esta debe ser la unica entropa ganada. Si el reservorio tiene una capacidad calorica infinita,la respuesta es Q = mL.

Si la capacidad calorica es finita, consideramos un momento cualquiera en el calentamiento. El reservorioesta a una T > T0 y algo de la masa del agua esta congelada. Enfriando una cantidad dm de masa,la mezcla agua-hielo debe perder una entropa en el proceso de enfriado igual a dShielo = Ldm/T0.Asumiendo que el reservorio debe ganar una entropa dSr = Ldm/T0. Pero dSr = CdT/T. Integrandotenemos para todo el proceso:

T = T0 exp

Lm

CT0

(18)

El calor ganado por el reservorio es:

Q = CT0

exp

Lm

CT0

1

(19)

En el lmite de la capacidad calorica:

Q CT0

Lm

CT0+

1

2

Lm

CT0

2

+ ...

mL + (Lm)

2

2CT0 mL (20)

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5.26 Una maquina a gasolina puede ser representada aproximadamente por un proceso cclico ideal abcd mostra-do en el diagrama de presion p vs el volumen V del gas en el cilindro. Si a b representa la compresionadiabatica de la mezcla aire-gasolina, b c el crecimiento en presion a volumen constante debido a laexplosion de la mezcla, c d la expansion adiabatica de la mezcla cuando la maquina realiza trabajo utily d a el enfriamiento final del gas a volumen constante.Asuma que este ciclo se realiza cuasiestaticamente para una cantidad fija de gas ideal que tiene un calorespecfico constante. Denote la tasa de calor especfica por = cp/cv. Calcule la eficiencia para esteproceso, exprese su respuesta en terminos de V1, V2 y .

Solucion: Es conocido que:

2E =2 ln Z

2. U = Z

(21)

As:

Cv =U

T= k2 U

= k22E =

2EkT2

(22)

Si Cv es extensiva, entonces Cv, = Cv donde es un parametro de escalamiento. Como la temperatura

es intensiva, entonces E, =

E, as E debe escalarse en la misma manera de

N. Sin embargo

cuando N tiende al infinito E diverge. La tasa E/E = 1/

N y tiende a cero para N muy grandes.

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