Física Estadística - Tercer curso del Grado en Física · Gas ideal de Fermi-Dirac fuertemente...

Física Estadística

Largo-Solana

Gases idealescuánticos Física Estadística

Tercer curso del Grado en Física

J. Largo & J.R. Solanalargoju at unican.es solanajr at unican.es

Departamento de Física AplicadaUniversidad de Cantabria


Largo-Solana

Gases idealescuánticos

Introducción

Función de partición.Formulación discreta de laspropiedadestermodinámicas

Densidad de estadoscuánticos

Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado

Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado

Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado

Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein

Indice I

Gases ideales cuánticosIntroducciónFunción de partición. Formulación discreta de las pro-piedades termodinámicasDensidad de estados cuánticos. Formulación continuade las propiedades termodinámicasGas ideal de Fermi-Dirac débilmente degeneradoGas ideal de Fermi-Dirac fuertemente degeneradoGas ideal de Bose-Einstein débilmente degeneradoGas ideal de Bose-Einstein fuertemente degenerado.Condensación de Bose-Einstein


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Introducción







Introducción

• Hasta ahora hemos considerado que el número deestados disponibles es mucho mayor que el númerode partículas (aproximación clásica).

• La ocupación de los niveles esta restringida para laspartículas de spin semientero (fermiones) y no asípara las partículas de spin entero (bosones).


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Introducción







Gases ideales cuánticosFunción de partición

Formulación discreta

Para tratar los sistemas de fermiones o bosones nosinteresa trabajar en el colectivo macrocanónico.

Ξ(µ, V, T ) =∑j

∑k

Gjke(µNj−Uk)/kT

Gjk la multiplicidad o degeneración del macroestadosegún se trate de fermiones o bosones respectivamente.∏

i

gi!

Ni! (gi −Ni)!

∏i

(gi +Ni − 1)!

Ni! (gi − 1)!


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Introducción








Si las partículas no interaccionan (son ideales), los es-tados cuánticos de j partículas se pueden expresar entérminos de estados cuánticos de partícula.

U(n0, n1, . . .) =∑l

nlεl

N =∑l

nl

Siendo l el índice que recorre los estados cuánticos departícula y nl la ocupación de ese estado. La idea es sus-tituir la doble suma sobre el número de partículas y sobreel número estados del sistema, por sumas a ocupacionesde estados cuánticos de partícula.


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Introducción








Ξ(µ, V, T ) =∑n0

. . .∑nl

e(µN(n0,n1,...)−U(n0,n1,...))/kT

y entonces podemos factorizar

Ξ(µ, V, T ) =∑n0

. . .∑nl

e[µ(n0+n1+...)−n0ε0−n1ε1...]/kT =

=∑n0

e(µ−ε0)n0/kT∑n1

e(µ−ε1)n1/kT . . .∑nl

e(µ−εl)nl/kT


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Introducción








Para un sistema de bosones

ΞBE =∑{nj}

e

∑jnj(µ−εj)/kT

=

=

∞∑n1=0

en1(µ−ε1)/kT∞∑

n2=0

en2(µ−ε2)/kT . . .

=∏j

[1− e(µ−εj)/kT

]−1

donde hemos hecho uso de la relación1/(1− x) =

∞∑n=0

xn, cuando |x| < 1.


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Introducción








Para un sistema de fermiones

al sumar para cada nj hay que omitir los términos en quenj > 1 ya que no puede haber más de una partículaocupando el mismo estado cuántico:

ΞFD =∑{nj}

e

∑jnj(µ−εj)/kT

=∏j

[1 + e(µ−εj)/kT

]


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Introducción








Resumen

La función de partición macrocanónica para un sistemade fermiones o bosones se puede poner como unproducto de factores correspondientes cada uno de ellosa un estado cuántico.De forma unificada

Ξ =∏j

[1± ze−βεj

]±1

• para bosones signo (-), para fermiones signo (+)

• z = exp(µ/kT ) es la fugacidad.


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Gases ideales cuánticosPropiedades termodinámicas

pV = kT ln Ξ = ±kT∑j

ln[1± ze−βεj

]

N = kT

(∂ ln Ξ

∂µ

)T,V

=∑j

ze−βεj

1± ze−βεj=∑j

n̄j

n̄j el número medio de partículas en el estado cuántico j.

U = kT 2

(∂ ln Ξ

∂T

)V,µ/T

=∑j

εjze−βεj

1± ze−βεj


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Introducción







Gases ideales cuánticosPropiedades termodinámicas

Consideraciones sobre la fugacidad

• z da idea de la importancia de los efectos cuánticosen el sistema.

• si z es pequeño, z = exp(−α)� 1, tanto laestadística de Fermi-Dirac como la de Bose-Einsteinse reducen a la estadística clásica.

• Los efectos cuánticos se hacen importantes parabajas temperaturas y altas densidades. (En esascondiciones z será grande).

• nos centramos en los casos en que z no es pequeño(cuando los efectos cuánticos son importantes).


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Densidad de estados cuánticosFormulación continua

Conocido el nomedio de ocupación de los estados cuánti-cos:

n(ε) =ze−βε

1± ze−βε

Queremos conocer el número de estados cuánticos conenergía comprendida entre ε y ε + dε (y a partir de ello,la densidad de estados cuánticos).En un elemento de volumen del espacio µ, hay un nodeestados cuánticos:

gd3Vqd

3Vp

h3

donde g = 2s + 1 es la degeneración de un nivel deenergía para partículas de spin s.


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Para partículas no relativistas ε = p2/2m

Considerando por separado el espacio de momentos,

d3Vp = p2senθdθdϕdp =1

2senθdθdϕ (2m)3/2 ε1/2dε

El número de estados cuánticos con energíacomprendida entre ε y ε+ dε es:

dg (ε) = 2πgV

(2m

h2

)3/2

ε1/2dε = D (ε) dε

donde D(ε) = dg(ε)/dε es la densidad de estadoscuánticos de partícula.


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Utilizando las densidad de estados cuánticos,

N =

∫ ∞0

n (ε)D (ε) dε =

= 2πgV

(2m

h2

)3/2 ∫ ∞0

zε1/2e−βε

1± ze−βεdε

U =

∫ ∞0

εn (ε)D (ε) dε =

= 2πgV

(2m

h2

)3/2 ∫ ∞0

zε3/2e−βε

1± ze−βεdε


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Introducción








pV = ±kT∫ ∞

0ln[1± ze−βε

]D (ε) dε =

= ±2πkTgV

(2m

h2

)3/2 ∫ ∞0

ε1/2 ln[1± ze−βε

]dε


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Introducción








si realizamos una integración por partes:(¡hacer!)

pV =4

3πgV

(2m

h2

)3/2 ∫ ∞0

zε3/2e−βε

1± ze−βεdε =

=2

3

∫ ∞0

εn (ε)D (ε) dε =2

3U

Donde hemos tenido en cuenta que el número medio deocupación de un estado cuántico de energía ε es

n(ε) =ze−βε

1± ze−βε


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Introducción







Planificación

Una vez establecida la formulación continua de las propie-dades termodinámicas:

1. Estudiaremos un gas ideal de Fermi-Dirac paravalores pequeños de z, es decir, cuando los efectoscuánticos son pequeños. En tal caso se dice que elgas es débilmente degenerado.

2. A continuación estudiaremos el gas de Fermi-Diracpara valores grandes de z, cuando los efectoscuánticos son importantes, en cuyo caso se dice queel gas es fuertemente degenerado.

3. Después haremos los mismos estudios para el gasde Bose-Einstein.


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Introducción








La densidad de un gas ideal de Fermi-Dirac

ρ = 2πg

(2m

h2

)3/2 ∫ ∞0

zε1/2e−βε

1 + ze−βεdε =

g

Λ3I3/2 (z)

donde Λ es la longitud de onda térmica y:

In (z) =1

Γ (n)

∫ ∞0

xn−1

z−1ex + 1dx , 0 ≤ z ≤ ∞

donde x = βε y Γ(n) es la integral gamma.


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Si z < 1,

la integral In(z) puede resolverse desarrollando elintegrando en serie de potencias de z e integrandotérmino a término, con el resultado:

In (z) = fn (z) =

∞∑k=1

(−1)k−1 zk

kn; z < 1


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Introducción








Entonces,ρ =

g

Λ3f3/2 (z)

p = kTg

Λ3f5/2 (z)

U =3

2kTV

g

Λ3f5/2 (z)

En el caso de un gas ideal de Fermi-Dirac débilmente de-generado, es decir z pequeño, las series fn(z) conver-gerán rápidamente y bastará considerar sólo los primerostérminos de las mismas.


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Introducción








Para expresar las funciones termodinámicas entérminos de V ( o ρ) y T ,

necesitamos conocer z = z(T, ρ) y debemos invertir laserie ρ = g

Λ3f3/2 (z),

z =∞∑i=0

aiρi−1

z =ρΛ3

g+

1

23/2

(ρΛ3

g

)2

+

(1

4−

1

33/2

)(ρΛ3

g

)3

+. . .


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Introducción








p

kT= ρ+

1

25/2

Λ3

gρ2 +

(1

8−

2

35/2

)Λ6

g2ρ3 + . . .

Esta ecuación es de la forma de un desarrollo del virialpara la presión, que puede escribirse en la forma:

p

kT= ρ+B2 (T ) ρ2 +B3 (T ) ρ3 + . . .


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• Los coeficientes del virial reflejan las desviacionesrespecto del comportamiento ideal debidas a lasinteracciones moleculares.

• Aunque no hay fuerzas intermoleculares, laspartículas experimentan una interacción efectivadebida a efectos cuánticos. Por eso aunque sonideales los coeficientes no se anulan.


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Introducción








• En el caso de fermiones, la interacción es repulsivaya que B2(T ), es positivo y por tanto aumenta lapresión por encima de la de un gas ideal clásico bajolas mismas condiciones.

• B2(T ) es O(Λ3)los efectos cuánticos disminuyen amedida que disminuye la longitud de onda térmica.


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Introducción








U =3

2NkT

[1 +

1

25/2

Λ3

gρ+

(1

8−

2

35/2

)Λ6

g2ρ2 + . . .

]=

=3

2pV

Todas las demás funciones termodinámicas pueden obte-nerse de estas expresiones.

Ejercicio propuesto

Obtener dichas propiedades termodinámicas.


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Introducción








A bajas temperaturas y/o altas densidades,

z no es pequeño y los efectos cuánticos son importantes.

El número medio de partículas en un estado cuántico deenergía comprendida entre ε y ε+ dε, es

n (ε) =ze−βε

1 + ze−βε=

1

z−1eβε + 1=

1

eβ(ε−µ) + 1

Dado que el número de ocupación de un estado cuánticoen un sistema de fermiones es 0 o 1, representa tambiénla probabilidad de que un estado cuántico, de energía ε,esté ocupado.


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n (ε) =1

eβ(ε−µ) + 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2ε/µ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n(ε)

T/TF=0.1T/TF=0.01T/TF=0.001


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El potencial químico µ es, en general, función de la tem-peratura, y por tanto indicaremos el valor de µ a T = 0

por µ0. En el cero absoluto todos los estados cuánticospor debajo de µ0 están ocupados, cada uno de ellos poruna sola partícula, y por encima vacios, luego:

N =

∫ µ0

0n (ε)D (ε) dε =

= 2πg

(2m

h2

)3/2

V

∫ µ0

0ε1/2dε =

4πg

3

(2m

h2

)3/2

V µ3/20

de donde:

µ0 =h2

2m

(3

4πg

)2/3 (NV

)2/3


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Introducción








µ0 se conoce como energía de Fermi εF

representa la energía por debajo de la cual, en el ceroabsoluto, todos los estados cuánticos se encuentranocupados por una y solo una partícula cada uno,mientras que por encima de esa energía todos losestados cuánticos se encuentran vacíos.

• temperatura de Fermi TF = εF/k

• el momento de Fermi pF = (2mεF )1/2.


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La temperatura de Fermi de un sistema es tantomayor cuanto mayor es la densidad numérica. Portanto:

• Si el sistema se encuentra a bajas temperaturas y/oaltas densidades, se cumplirá T/TF � 1 y elsistema será fuertemente degenerado, es decir, losefectos cuánticos serán muy importantes.

• Si T/TF � 1, el sistema será débilmentedegenerado y los efectos cuánticos serán pocoimportantes.


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En el límite del cero absoluto,

U0 =

∫ µ0

0εD (ε) dε = 2πgV

(2m

h2

)3/2 ∫ µ0

0ε3/2dε =

=3

5Nµ0 =

3

5NεF

que es la energía del punto cero de un gas deFermi-Dirac.


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Introducción








• Implica que la contribución de las partículas en elestado fundamental a la capacidad calorífica escero, no (3/2)k.

• Solamente contribuyen a la capacidad caloríficaaquellas partículas que se encuentran por encimadel nivel de Fermi.


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La presión en el cero absoluto

p0V =2

3

∫ µ0

0εD (ε) dε =

2

5NεF

Esta “presión del punto cero” es muy elevada y se tratade una presión de origen cuántico, no de origen térmicocomo la presión ordinaria.

• A partir de estas expresiones se pueden obtenerotras funciones termodinámicas para el gas ideal deFermi-Dirac en el cero absoluto.

• En particular, la entropía en el cero absoluto esS0 = 0.


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Introducción








Desarrollo a bajas temperaturas

Si T > 0, pero T/TF � 1, se realiza un desarrollo enserie de potencias de T/TF .Siendo los términos deorden cero las correspondientes propiedades en el ceroabsoluto.

Para fermiones, las funciones termodinámicasN ,U y pV

N =

∫ ∞0

n (ε)D (ε) dε U =

∫ ∞0

εn (ε)D (ε) dε

pV =2

3

∫ ∞0

εn (ε)D (ε) dε


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Introducción








Pfodemos unificar las expresiones en una única forma

I =

∫ ∞0

n (ε)h (ε) dε =

∫ ∞0

h (ε) dε

e(ε−µ)/kT + 1

conh (ε) = D (ε) si (I = N)

h (ε) = εD (ε) si (I = U)

h (ε) =2

3εD (ε) si (I = pV )


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Introducción








Si llamamos:I0 =

∫ µ

0h (ε) dε

entonces podemos poner:

∆I =

∫ ∞0

[1

e(ε−µ)/kT + 1−Θ

(µ− εkT

)]h(ε)dε =

= kT

∫ ∞−µ/kT

[1

ex + 1−Θ (−x)

]h (µ+ kTx) dx

donde x = (ε− µ)/kT y:

Θ (x) =

{0 si x < 0

1 si x > 0


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A continuación obtendremos que

I = I0 +π2

6h′ (µ) (kT )2 +

7π4

360h′′′ (µ) (kT )4 + . . .

Aunque adelantamos el resultado final...


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Introducción








∆I = kT

∫ ∞−µ/kT

[1

ex + 1−Θ (−x)

]h (µ+ kTx) dx

• Si ε < µ y T → 0, es decir, si x� 0, el términoentre corchetes tiende exponencialmente a cero y elintegrando tiende a cero, podemos extender el límiteinferior de integración hasta −∞.

• La función n(ε) tiende rápidamente a cero parax > 0 y se hace rápidamente igual a la unidad parax < 0. En ambos casos el integrando se anula.


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Introducción








Desarrollamos el integrando en un entorno de x = 0

h (µ+ kTx) =

∞∑m=0

(kT )m h(m) (µ)xm

m!

donde h(m)(µ) = dmh(µ+ kTx)/dxm|x=0.

∆I =

∞∑m=0

(kT )m+1 h(m) (µ)

m!Lm

donde:

Lm =

∫ ∞−∞

[1

ex + 1−Θ (−x)

]xmdx


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Introducción








Si llamamos:

l (x) =1

ex + 1−Θ (−x)

para x > 0 se verifica:

l (−x) =1

e−x + 1− 1 = −

1

ex + 1= −l (x)

de modo que l(x) es una función impar de x, por lo que laintegral se va a anular para valores pares de m, mientrasque para valores impares la integral es simétrica

Lm = 2

∫ ∞0

xm

ex + 1dx = 2

(1− 2−m

)m!ζ (m+ 1)

donde ζ(m+ 1) es la función zeta de Riemann.


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Introducción








Para m impar

∆I = 2

∞∑m=0

(kT )m+1 h(m) (µ)(1− 2−m

)ζ (m+ 1)

I = I0 +π2

6h′ (µ) (kT )2 +

7π4

360h′′′ (µ) (kT )4 + . . .

como habíamos adelantado.


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Introducción








Desarrollo del número de partículas, h(ε) = D(ε)

I0 =

∫ µ

0h (ε) dε =

4πg

3

(2m

h2

)3/2

V µ3/2

h′ (µ) = πgV

(2m

h2

)3/2

µ−1/2

N =4πg

3

(2m

h2

)3/2

V µ3/2

[1 +

π2

8

(kT )2

µ2+ . . .

]


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Introducción








Desarrollo del potencial químico µ

µ3/20 = µ3/2

[1 +

π2

8

(kT

µ

)2

+ . . .

]

≈ µ3/2

[1 +

π2

8

(kT

µ0

)2

+ . . .

]de donde:

µ = µ0

[1−

π2

12

(T

TF

)2

+ . . .

]


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Introducción








Desarrollo de la energía interna U

h(ε) = εD(ε)

I = I0 +π2

6h′ (µ) (kT )2 +

7π4

360h′′′ (µ) (kT )4 + . . .

U =4πg

5

(2m

h2

)3/2

V µ5/2

[1 +

5π2

8

(kT

µ

)2

+ ...

]

U = U0

[1 +

5π2

12

(T

TF

)2

+ ...

]


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Introducción








La capacidad calorífica del gas de fermiones

CV =π2NkT

2 (µ0/k)=π2

2Nk

T

TF


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Introducción








n (ε) =ze−βε

1± ze−βε

Tomando el signo “-” como corresponde a bosones

N =

∫ ∞0

n (ε)D (ε) dε

U =

∫ ∞0

εn (ε)D (ε) dε

pV = −kT∫ ∞

0ln[1− ze−βε

]D (ε) dε


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Introducción








Para ciertos valores de z el integrando se haceinfinito y la integral diverge.

• El valor más bajo de z para el cual se presentadivergencia será z = eβε0 , donde ε0 es la energíadel nivel fundamental (si tomamos ε0 = 0, ladivergencia se presentará en z = 1 y los valorespermitidos de z serán 0 ≤ z < 1, es decir µ < 0).

• La contribución del nivel fundamental al número departículas sale de la integral como

gn(ε0) = gz

1− z


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Introducción








ρ = 2πg

(2m

h2

)3/2 ∫ ∞ε>0

zε1/2e−βε

1− ze−βεdε+

gz

V (1− z)

En el límite termodinámico, el último término se anula

ρ =g

Λ3J3/2 (z)

donde:

Jn (z) =1

Γ (n)

∫ ∞0

xn−1

z−1ex − 1dx , 0 ≤ z < 1

siendo x = βε y Γ(n) la integral gamma.


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Introducción








Como z < 1, la integral puede resolverse desarrollandoel integrando en serie de potencias de z

Jn (z) = gn (z) =1

Γ (n)

∞∑k=1

zk

kn

∫ ∞0

yn−1e−ydy =

=

∞∑k=1

zk

knz < 1

donde y = kx.ρ =

g

Λ3g3/2 (z)

p = kTg

Λ3g5/2 (z)

U =3

2kTV

g

Λ3g5/2 (z)


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Introducción








Todo es completamente análogo al gas de Fermi-Dirac dé-bilmente degenerado, excepto por el signo.

p

kT= ρ−

1

25/2

Λ3

gρ2 +

(1

8−

2

35/2

)Λ6

g2ρ3 − . . .

U =3

2pV =

=3

2NkT

[1−

1

25/2

Λ3

gρ+

(1

8−

2

35/2

)Λ6

g2ρ2 − . . .

]A partir de estas expresiones pueden obtenerse otras

funciones termodinámicas.


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Introducción







Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado: Condensación de Bose-Einstein

Gas ideal de Bose-Einstein fuertemente degenerado

Si z ≈ 1, no podremos despreciar la contribución delnivel fundamental.

ρ =g

Λ3g3/2 (z) +

gz

V (1− z)

El número medio de partículas en el estado fundamental:

N0 = gn (ε0) =gz

1− z


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Introducción








• La función g3/2(z) es una función acotada, positivay monótonamente creciente de z en el rango0 ≤ z < 1. Para z = 1 (el valor límite):

g3/2 (1) =

∞∑k=1

1

k3/2= ζ

(32

)= 2.612 . . .

ζ(n) =∑∞k=1 1/kn es la función zeta de Riemann.

• El segundo término solamente es no nulo en el límitetermodinámico (V →∞) cuando z ≈ 1− a/V


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Introducción








Al objeto de determinar la ecuación de estado,debemos determinar z en función de ρ y T .

ρ =g

Λ3g3/2 (1) +

g

a

a =gΛ3

ρΛ3 − gg3/2 (1)


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Introducción








Tendremos, dos situaciones:

• Si ρΛ3/g > g3/2(1), quiere decir que existe unacontribución del estado fundamental y por tantoz = 1− a

V, en el límite termodinámico z = 1.

• Si ρΛ3/g < g3/2(1) quiere decir que z < 1 ya queg3/2(z) es creciente y por tanto el valor de z es lasolución de g g3/2(z) = ρΛ3

El punto ρΛ3/g = g3/2(1) es un punto especial ya quemarca el límite entre ambas situaciones.Vamos a estudiar su significado físico.


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Introducción








Consideramos g3/2(z) = ρΛ3/g función de latemperatura a una densidad dada

A temperaturas lo bastante bajas como para queρΛ3/g > g3/2(1), z = 1− a/VEl número medio de partículas en el estado fundamentalserá:

N0 =gz

1− z=gV

a=V

Λ3

[ρΛ3 − gg3/2 (1)

]


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Introducción








Definiendo una temperatura T0 en la forma:

ρΛ30

g=ρ

g

(h2

2πmkT0

)3/2

= g3/2 (1)

Podemos reescribir:

N0

N= 1−

(T

T0

)3/2

; T < T0

Para temperaturas mayores que T0, el valor de z no estaráen la proximidad de z = 1 . Entonces es finito y, en ellímite termodinámico:

N0

N=

1

N

gz

1− z= 0 T > T0


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Introducción








Figura: Fracción de partículas en su estado fundamental enfunción de la temperatura.


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Introducción








Condensación de Bose - Einstein

• Cuando T > T0, la fracción de moléculas en elestado fundamental es prácticamente cero.

• Cuando T < T0, y la población del estadofundamental aumenta a medida que disminuye latemperatura hasta que a T = 0 todas las moléculasestán en su estado fundamental.

• Esta transición a T0 es análoga a una transición defase ordinaria y se denomina condensación deBose-Einstein.


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Introducción








Si se mantiene fija la temperatura y se varía ladensidad.

Definiendo una densidad crítica,

ρ0Λ3

g= g3/2 (1)

por debajo de la cual la probabilidad de ocupación delestado fundamental es prácticamente cero y por encimaes finita, obtenemos:

N0

N= 1−

ρ0

ρ; ρ > ρ0

= 0 ; ρ < ρ0


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Introducción








Las propiedades de la condensación deBose-Einstein

p = kTg

Λ3g5/2 (z)

Su dependencia con la densidad a una temperaturadada,

p

kT=

g

Λ3g5/2 (z) ; ρ < ρ0

=g

Λ3g5/2 (1) ; ρ > ρ0

donde g5/2(1) = ζ(5/2) = 1, 341 . . ..


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Introducción








Figura: Isotermas presión-volumen para un gas ideal deBose-Einstein.


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Introducción








• Las líneas horizontales representan la región en lacual el sistema es una mezcla de dos fases. Lospuntos A y B corresponden a las dos fases enequilibrio: la fase condensada (A) y la fase diluida(B). La fase diluida tiene un volumen específico v0, yla fase condensada tiene un volumen específico 0 yambas coexisten a la misma presión.


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Introducción








La presión de vapor,

p0 (T ) = gkT

Λ3g5/2 (1)

derivando con T y comparando con la ecuación de Clausius-Clapeyron:

dp

dT=

∆Hcond

T∆V

vemos que la entalpía de cambio de fase es:

∆Hcond =5

2NkT

g5/2 (1)

g3/2 (1)

y por lo tanto es una transición de primer orden.


Largo-Solana


Introducción








Resumen

• La condensación de Bose-Einstein es una transiciónde fase de primer orden en la que la fasecondensada no tiene volumen, por lo que el sistematiene una densidad macroscópica uniforme.

• La interpretación física es que la condensaciónocurre en el espacio de momentos en lugar delespacio de coordenadas.


Largo-Solana


Introducción








La energía interna,

a una densidad dada vendrá dada por:

U =3

2kTg

V

Λ3g5/2 (z) ; T > T0

=3

2kTg

V

Λ3g5/2 (1) ; T < T0


Largo-Solana


Introducción








La capacidad calorífica a volumen constante

CV =

(∂U

∂T

)V,N

Para realizar la derivada hay que tener en cuenta que:

d(Λ3)

dT= −

3

2

Λ3

T

y que la función gn(z) tiene la propiedad:

dgn (z)

dz=

1

zgn−1 (z)


Largo-Solana


Introducción








[∂g5/2 (z)

∂T

]V,N

=

[∂g5/2 (z)

∂z

]V,N

(∂z

∂T

)V,N

=1

zg3/2 (z)

(∂z

∂T

)V,N[

∂g3/2 (z)

∂T

]V,N

=1

zg1/2 (z)

(∂z

∂T

)V,N

y como

ρ =g

Λ3g3/2 (z)

[∂g3/2 (z)

∂T

]V,N

=

∂(ρΛ3

/g)

∂T

V,N

= −3

2

1

T

ρΛ3

g

de modo que, igualando los resultados

(∂z

∂T

)V,N

= −3

2

1

T

ρΛ3

g

z

g1/2 (z)

CV

Nk=

15

4

g5/2 (z)

g3/2 (z)−

9

4

g3/2 (z)

g1/2 (z); T > T0


Largo-Solana


Introducción








Mientras que, si T < T0,z = 1, (∂z/∂T )V,N = 0, y teniendo en cuenta que

g3/2(1) =ρΛ3

0

g=

Λ30

Λ3

ρΛ3

g=

(T

T0

)3/2 ρΛ3

g

resulta en definitiva:

CV

Nk=

15

4

g

ρΛ3g5/2 (1) =

15

4

g5/2 (1)

g3/2 (1)

(T

T0

)3/2

; T < T0


Largo-Solana


Introducción








z puede determinarse numéricamente con

ρ =g

Λ3g3/2 (z) +

gz

V (1− z)

y el resultado se muestra en la Figura, donde CV se re-presenta en función de T . No hay discontinuidad de CVen T0, pero hay una discontinuidad en su pendiente endicho punto.

Figura: (a) Capacidad calorífica de un gas ideal deBose-Einstein. (b) Capacidad calorífica experimental dellíquido helio a la presión de vapor saturante.


Largo-Solana


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• La condensación de Bose-Einstein tiene lugarincluso aunque las partículas no interaccionen entresí, porque se trata de un fenómeno puramentecuántico.

• Los resultados obtenidos, se parecencualitativamente a la transición de fase He-I↔He-IIdel helio líquido He-4 aunque esta es una “transiciónlambda”.

Física Estadística - Tercer curso del Grado en Física · Gas ideal de Fermi-Dirac fuertemente...

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