Unidad III

Cinemática de la partícula y de cuerpos

rígido

AntesAntes dede llegarllegar aa lala definicióndefinición deldel

movimientomovimiento rectilíneorectilíneo debemosdebemos sabersaber

queque cuandocuando decimosdecimos queque unun cuerpocuerpo sese

encuentraencuentra enen movimiento,movimiento,

interpretamosinterpretamos queque susu posiciónposición estaesta

variandovariando respectorespecto aa unun puntopunto

consideradoconsiderado fijofijo..

ElEl estudioestudio dede lala cinemáticacinemática nosnos permitepermiteconocerconocer yy predecirpredecir yy enen queque lugarlugar seseencontraráencontrará unun cuerpo,cuerpo, quéqué velocidadvelocidadtendrátendrá alal cabocabo dede ciertocierto tiempo,tiempo, oo bien,bien,enen cuantocuanto tiempotiempo llegarallegara aa susu destinodestino..

Trayectoria,Trayectoria, distanciadistancia recorrida,recorrida,desplazamiento,desplazamiento, velocidad,velocidad, rapidez,rapidez,tiempo,tiempo, aceleración,aceleración, etcetc.. conocerconocer enentodotodo momentomomento estasestas magnitudesmagnitudes esessabersaber comocomo sese muevenmueven loslos cuerposcuerpos paraparalograrlo,lograrlo, debemosdebemos usarusar elel lenguajelenguajecuantitativocuantitativo dede lala cienciaciencia moderna,moderna,asignandoasignando númerosnúmeros yy unidadesunidades dedemedidamedida aa loslos conceptosconceptos dede posiciónposición yytiempotiempo..

RecibeRecibe elel nombrenombre dede caminocamino oo dedetrayectoriatrayectoria lala línealínea queque uneune laslasdiferentesdiferentes posicionesposiciones queque ocupaocupa ununpuntopunto enen elel espacio,espacio, aa medidamedida queque pasapasaelel tiempotiempo..

LaLa distanciadistancia recorridarecorrida porpor unun móvilmóvil esesunauna magnitudmagnitud escalar,escalar, yaya queque solosolointeresainteresa sabersaber cualcual fuefue lala magnitudmagnitud dedelala longitudlongitud recorridarecorrida durantedurante susutrayectoriatrayectoria seguidaseguida sinsin importarimportar enen quequedireccióndirección lolo hizohizo..

ElEl desplazamientodesplazamiento dede unun móvilmóvil eses unaunamagnitudmagnitud vectorialvectorial puespues correspondecorresponde aaunauna distanciadistancia medidamedida enen unauna direccióndirecciónparticularparticular entreentre dosdos puntospuntos:: elel dedepartidapartida yy elel dede llegadallegada

LaLa velocidadvelocidad instantáneainstantánea eses lala cantidadcantidadvectorialvectorial queque representarepresenta lala velocidadvelocidad vvenen cualquiercualquier puntopunto CC.. Es,Es, enenconsecuencia,consecuencia, lala razónrazón dede cambiocambio deldeldesplazamientodesplazamiento respectorespecto alal tiempotiempo..

)(:

)(:

)/(:

st

mx

smv

t

xv

Tiempo

Distancia

Velocidad

EjemplosEjemplos UnUn aviónavión llevalleva unauna velocidadvelocidad dede 400400 km/hkm/h..¿Cuánto¿Cuánto tiempotiempo utilizaráutilizará enen recorrerrecorrer unaunadistanciadistancia dede 2020 Km?Km? DarDar lala respuestarespuesta enen horashoras yyminutosminutos

QueQue distanciadistancia recorrerárecorrerá enen línealínea rectarecta unun aviónaviónqueque sese desplazadesplaza aa unauna velocidadvelocidad dede 600600 km/hkm/hdurantedurante unun tiempotiempo dede 1515 minmin.. DarDar lala respuestarespuestaenen kmkm yy enen metrosmetros

EnEn loslos juegosjuegos olímpicosolímpicos dede AtenasAtenas elel recordrecord enen loslos100100 mm planosplanos fuefue dede 99..8989 segseg.. ¿Cuál¿Cuál eses lalavelocidadvelocidad yy desarrollódesarrolló deldel atletaatleta vencedor,vencedor, dardar lalarespuestarespuesta enen m/sm/s yy enen km/h?km/h?

AceleraciónAceleración EsEs elel movimientomovimiento enen queque lala magnitudmagnitud oo lala direccióndireccióncambiacambia respectorespecto alal tiempotiempo..

t

vva

tiempodeervalo

velocidaddecambionAceleració

if

int

ElEl tipotipo dede aceleraciónaceleración másmás sencillosencillo eses elel movimientomovimientorectilíneo,rectilíneo, enen elel queque lala rapidezrapidez cambiacambia aa razónrazónconstanteconstante.. EsteEste tipotipo especialespecial dede movimientomovimiento sese conoceconocecomocomo movimientomovimiento uniformementeuniformemente aceleradoacelerado oo dedeaceleraciónaceleración uniformeuniforme..

t

vva

if

EjemploEjemplo

UnUn trentren reducereduce susu velocidadvelocidad dede 6060 aa 2020 km/hkm/h enen unun tiempotiempo dede 88segundossegundos.. EncuentreEncuentre lala aceleraciónaceleración..

UnUn automovilautomovil mantienemantiene unauna aceleraciónaceleración constanteconstante dede 88 m/sm/s22.. susuvelocidadvelocidad inicialinicial eraera dede 2020 m/sm/s alal norte,norte, ¿Cuál¿Cuál seráserá susu velocidadvelocidaddespuésdespués dede 66 segundos?segundos?

2

promedio velocidad

if vvv

EjemploEjemplo UnUn objetoobjeto enen movimientomovimiento incrementaincrementa uniformementeuniformemente susu velocidadvelocidad

dede 2020 aa 6060 m/sm/s enen 22 minmin.. ¿Cuál¿Cuál eses lala velocidadvelocidad mediamedia yy cuáncuán lejoslejosllegarállegará enen esosesos 22 min?min?

22

2

21

2

21

2 if

f

i

vvax

attvx

attvx

2

032

809

2

2

if

s

ft

sm

vvy

g

g

.

.

22

2

21

2

21

2 if

f

i

if

vvgy

gttvy

gttvy

gtvv

EjemploEjemplo

UnaUna pelotapelota sese hulehule sese dejadeja caercaer deldel reposoreposo.. EncuentreEncuentre susu velocidadvelocidadyy susu posiciónposición despuésdespués dede 11,, 22,, 33 yy 44 segundossegundos

UnaUna pelotapelota dede beisbolbeisbol arrojadaarrojada verticalmenteverticalmente haciahacia arribaarriba desdedesde lalaazoteaazotea dede unun edificioedificio altoalto tienetiene unauna velocidadvelocidad inicialinicial dede 2020 m/sm/s.. (a)(a)calculecalcule elel tiempotiempo necesarionecesario parapara queque alcancealcance lala alturaaltura máximamáxima.. (b)(b)determinedetermine lala alturaaltura máximamáxima.. (c)(c) determinedetermine susu posiciónposición yy susuvelocidadvelocidad despuésdespués dede 11..55 segundossegundos.. (d)(d) ¿Cuál¿Cuál eses susu posiciónposición yy susuvelocidadvelocidad despuésdespués dede 55 segundos?segundos?

MovimientoMovimiento curvilíneocurvilíneo:: ElEl puntopunto describedescribe unauna curvacurvacambiandocambiando susu direccióndirección aa medidamedida queque sese desplazadesplaza.. CasosCasosparticularesparticulares deldel movimientomovimiento curvilíneocurvilíneo sonson elelmovimientomovimiento circularcircular describiendodescribiendo unun círculocírculo enen tornotorno aaunun puntopunto fijo,fijo, yy laslas trayectoriastrayectorias elípticaselípticas yy parabólicasparabólicas..

MovimientoMovimiento curvilíneocurvilíneo:: sisi elel móvilmóvil describedescribe unauna curvacurva alalmoversemoverse.. PorPor ejemploejemplo::cuandocuando unun carrocarro dada unauna curva,curva, oo unun niñoniño giragira alrededoralrededor

dede unun parqueparque enen subicicletasubicicleta

senθvvθ vv

yx

vv

vv

tvy

tvx

yx

yy

xx

y

x

0000

21

0

0

2

21

0

0

y scomponente sus

en inicial velocidadla deción descomposi

verticalVelocidada gt

horizontal Velocidada

verticalentoDesplazami gt

horizontal entoDesplazami

cos

EjemploEjemplo UnUn esquiadoresquiador iniciainicia unun saltosalto horizontalmentehorizontalmente concon unauna velocidadvelocidad

inicialinicial dede 2525 m/s,m/s, comocomo sese muestramuestra enen lala figurafigura.. LaLa alturaaltura alal finalfinal deldellala ramparampa eses dede 8080 mm arribaarriba deldel puntopunto dede contactocontacto concon elel suelosuelo.. (a)(a)¿Cuánto¿Cuánto tiempotiempo permanecepermanece enen elel aireaire elel esquiador?esquiador? (b)(b) ¿Cuán¿Cuán lejoslejosviajaviaja horizontalmente?horizontalmente? (c)(c) ¿Cuáles¿Cuáles sonson loslos componentescomponentes horizontalhorizontalyy verticalvertical dede lala velocidadvelocidad final?final?

EjemploEjemplo SeSe disparadispara unun proyectilproyectil concon unauna velocidadvelocidad inicialinicial dede 8080 m/sm/s concon unun

ánguloángulo dede 3030°° porpor encimaencima dede lala horizontalhorizontal.. DetermineDetermine

a)a) SuSu posiciónposición yy velocidadvelocidad despuésdespués dede 88 ss..

b)b) ElEl tiempotiempo necesarionecesario parapara queque alcancealcance susu alturaaltura máximamáxima

c)c) ElEl alcancealcance horizontalhorizontal RR comocomo sese indicaindica enen lala figurafigura

ElEl movimientomovimiento másmás sencillosencillo enen dosdos

dimensionesdimensiones sese produceproduce cuandocuando

unauna fuerzafuerza externaexterna constanteconstante

actúaactúa siempresiempre formandoformando ángulosángulos

rectosrectos respectorespecto aa lala trayectoriatrayectoria dede

lala partículapartícula enen movimientomovimiento

EnEn esteeste caso,caso, lala fuerzafuerza resultanteresultante

produciráproducirá unauna aceleraciónaceleración queque

solosolo cambiacambia lala direccióndirección deldel

movimientomovimiento yy mantienemantiene lala rapidezrapidez

constanteconstante..

EsteEste tipotipo dede movimientomovimiento sencillosencillo sese

lele conoceconoce comocomo movimientomovimiento

circularcircular uniformeuniforme

MovimientoMovimiento circularcircular uniformeuniforme

EsEs unun movimientomovimiento enen elel queque lala rapidezrapidez

nono cambiacambia ,, solosolo hayhay unun cambiocambio enen lala

direccióndirección

AceleraciónAceleración centrípetacentrípeta

RazónRazón dede cambiocambio

)(:

)/(:

mR

smv

R

vac

Radio

lineal Rapidez

2

)(:

)(:

mR

mP

RP

Radio

Perímetro

2

AceleraciónAceleración centrípetacentrípeta

EjemploEjemplo..

UnUn cuerpocuerpo dede 22 kgkg sese ataata alal extremoextremo

dede unauna cuerdacuerda yy sese hacehace girargirar enen unun

circulocirculo horizontalhorizontal dede 11..55 mm dede radioradio..

SiSi elel cuerpocuerpo realizarealiza trestres revolucionesrevoluciones

completascompletas porpor segundo,segundo, determinedetermine susu

rapidezrapidez lineallineal yy susu aceleraciónaceleración

centrípetacentrípeta

PeriodoPeriodo

TiempoTiempo parapara completarcompletar unauna revoluciónrevolución

yy sese designadesigna concon lala letraletra TT

RapidezRapidez lineallineal

)(:

)/(:

mR

srevf

T

RfRv

T

Radio

rotación de Frecuencia

22

1

FuerzaFuerza centrípetacentrípeta

FuerzaFuerza dirigidadirigida haciahacia elel centro,centro,

necesarianecesaria parapara mantenermantener elel

movimientomovimiento circularcircular uniformeuniforme

)(: NF

mRfR

mvmaF

c

cc

centripeta Fuerza

4 222

EjemploEjemplo

UnaUna pelotapelota dede 44kgkg sese hacehace girargirar enen unun

círculocírculo horizontalhorizontal porpor mediomedio dede unauna

cuerdacuerda dede 22 mm dede longitudlongitud ¿Cuál¿Cuál eses lala

tensióntensión enen lala cuerdacuerda sisi elel periodoperiodo eses

dede 00..55 segundos?segundos?

EjemploEjemplo

DosDos masasmasas dede 500500 gg girangiran alrededoralrededor dede

unun ejeeje centralcentral aa 1212 revrev/s,/s, ¿Cuál¿Cuál eses lala

fuerzafuerza constanteconstante queque actúaactúa sobresobre cadacada

masa?masa? ¿Cuál¿Cuál eses lala tensióntensión enen lala barrabarra

dede soporte?soporte?

MovimientoMovimiento enen círculocírculo verticalvertical

baja parte

alta parte

2

22

2

11

R

mvmgT

R

mvmgT

EjemploEjemplo SupongaSuponga queque unauna pelotapelota dede 22kgkg tienetieneunauna velocidadvelocidad dede 55m/sm/s cuandocuando alal girargirarpasapasa porpor lala parteparte másmás altaalta deldel circulocirculocuyocuyo radioradio eses dede 8080 cmcm

a)a) ¿Cuál¿Cuál eses lala tensióntensión enen lala cuerdacuerda eneneseese instante?instante?

b)b) ¿Cuál¿Cuál eses lala mínimamínima rapidezrapideznecesarianecesaria alal pasarpasar porpor parteparte másmásaltaalta parapara queque sese conserveconserve elelmovimientomovimiento circular?circular?

DesplazamientoDesplazamiento angularangular

ElEl desplazamientodesplazamiento angularangular dede unun

cuerpocuerpo describedescribe lala cantidadcantidad dede

rotaciónrotación

11 revrev == 360360°° == 22ππ radrad

UnUn extremoextremo dede unauna cuerdacuerda sese ataata aa

unauna cubetacubeta dede aguaagua yy elel otrootro

extremoextremo sese enrrollaenrrolla muchasmuchas vecesveces

alrededoralrededor dede unun carretecarrete circularcircular dede

1212 cmcm dede radioradio ¿Cuántas¿Cuántas

revolucionesrevoluciones deldel carretecarrete sese

requiererequiere parapara levantarlevantar lala cubetacubeta aa

unauna distanciadistancia dede 55 m?m?

R=R=66..6363 revrev

ElEl asientoasiento enen elel perímetroperímetro dede unauna

ruedarueda dede lala fortunafortuna enen lala feriaferia

experimentaexperimenta unun desplazamientodesplazamiento

angularangular dede 3737°°.. SiSi elel radioradio dede lala

ruedarueda eses dede 2020 mm ¿Qué¿Qué longitudlongitud dede

arcoarco describedescribe elel asiento?asiento?

R=R=1212..99 mm

VelocidadVelocidad angularangular

EsEs lala razónrazón dede cambiocambio deldel

desplazamientodesplazamiento angularangular concon respectorespecto

alal tiempotiempo

Tiempo

Ángulo

angular Velocidad

:

:

:

t

tRst

(s) Tiempo

(rev/s) Frecuencia

(rad/s)angular Velocidad

2

:

:

:

t

f

f

AceleraciónAceleración angularangular

UnUn volantevolante aumentaaumenta susu velocidadvelocidad

dede rotaciónrotación dede 66 aa 1212 revrev/s/s enen 88

segundossegundos.. DetermineDetermine ll aa

aceleraciónaceleración angularangular enen radianesradianes

porpor segundosegundo

R=R=44..7171 red/sred/s22

UnaUna ruedarueda dede esmerilesmeril giragira

inicialmenteinicialmente aa 66 rad/srad/s reciberecibe unauna

aceleraciónaceleración constanteconstante dede 22 red/sred/s22

durantedurante 33 segundossegundos.. DetermineDetermine susu

desplazamientodesplazamiento angularangular yy susu

velocidadvelocidad angularangular finalfinal

R=R=2727 radrad yy 1212 red/sred/s

LaLa poleapolea A,A, dede 33 inin dede radio,radio, giragira aa

120120 rpmrpm.. CalculeCalcule lala rapidezrapidez dede unauna

partículapartícula cualquieracualquiera dede lala bandabanda yy

lala velocidadvelocidad angularangular dede lala poleapolea B,B,

dede 55 inin dede radioradio..

R=R= 3737..77 in/sin/s

R=R= 7272 rpmrpm

UnaUna ruedarueda dede esmerilesmeril giragira

inicialmenteinicialmente aa 66 rad/srad/s reciberecibe unauna

aceleraciónaceleración constanteconstante dede 22 red/sred/s22

durantedurante 33 segundossegundos.. DetermineDetermine susu

desplazamientodesplazamiento angularangular yy susu

velocidadvelocidad angularangular finalfinal

R=R=2727 radrad yy 1212 red/sred/s