Física I, 10Modelo Cuerpo Rígido Rotación

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04/05/2012

Física I

Modelo Cuerpo Rígido. Rotación



Velocidad angular y aceleración angular

04/05/2012

Consideremos una partícula de una rueda girando alrededor de su eje de simetría, que está fijoen el espacio. Podemos especificar la posición de la partícula Pi mediante la distancia que dista

del centro de la rueda y el ángulo q

q i i

i i

d s d td

r r

v

dq

q

ds

i

Pi

Línea de referencia

i id s d tv

ir q

ii

dr

d tv

ii rv



Momento de una fuerza o torca.

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La aceleración angular es entonces proporcional al producto de la fuerza por el brazo depalanca. Este producto se llama momento de la fuerza respecto al eje, o, más comúnmentetorca, y generalmente se abrevia



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Definimos el brazo de palanca como la distancia perpendicular del eje de rotación a la línea deacción de la fuerza, es decir, la distancia que es perpendicular, tanto al eje de rotación como a lalínea imaginaria dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.

3F

1F

4F

3F

⊥= R F



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F

F

s e nq= R F

×v = A B

= r F×



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Cuando más de una torca actúa sobre un cuerpo,la aceleración se encuentra que es proporcionala la torca neta.

Si todas las torcas que actúan sobre un cuerpotienden a hacer girar a éste en el mismo sentido,la torca neta es la suma de las torcas.

Pero si, digamos, una torca tiende a hacer girar elcuerpo en un sentido, y una segunda torca tiendea hacerlo girar en sentido opuesto (como en lafigura), la torca neta es la diferencia de las dostorcas. Asignamos un signo positivo a las torcasque tienden a hacer girar al cuerpo en sentidoantihorario y un signo negativo a las que tiendena hacer girar el cuerpo en sentido horario.

1F

2F



Dinámica rotacional.

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m

F

m r2 representa la inercia rotacional de lapartícula y se llama su momento de inercia I.

2

i i ii i m r

CM CM CMiI

Consideremos una partícula de masa m girando en un círculo de radio r en el extremo deuna cuerda o barra cuya masa podemos despreciar, y suponemos que una sola fuerzaactúa sobre ella tal como se muestra. El momento que da lugar a la aceleración angular

es:

Si usamos la segunda ley de Newton para cantidades lineales, S = m a, y recordando queaT = r , tenemos:

90sen º r F r F

m m F a r

m r2

r F

mi

rir



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La figura muestra los momentos de inercia de varios objetos de composición uniforme

Una rueda de gran diámetro tiene mayor

inercia rotacional que otra de menor

diámetro pero de igual masa.

2

CMI R dm



Teorema de los ejes paralelos.

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Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están relacionados por una fórmula muy simple.Sea ZO un eje arbitrario y ZCM un eje paralelo que pasa a través del centro de masa del cuerpo

Si d es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación, se denominada Teorema de Steiner:

IO = ICM + m d2

El momento de inercia de un cuerpo respecto a cualquier eje es igual a su momento de inercia respecto aun eje paralelo que pase por el centro de masas, aumentando en el producto de la masa del cuerpo por elcuadrado de la distancia que separa a ambos ejes.

y

R dm

r

xi O x

d

q CM



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y

R dm

r

xi O x

d

q CM

2

CM

El momento de inercia respecto de un eje

que pase por el centro de masa y sea

perpendicular al plano de la figura es:

I R dm

2

0

El momento de inercia respecto a

un eje paralelo, trazado por O es:

I r dm

2 2 22 cos qr R d dR

2 2

0I 2 cos q R d dR dm

2I CMR dm 2 2d dm md

2 cos 2q idR dm d x dm

i

CM

x dmx

dm

2 cos 0q dR dm

20 CMI I md



Momento cinético o angular.

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El momento cinético, con respecto a 0, de una partícula de masa m que se mueve con unavelocidad v a lo largo de una trayectoria curva está definido por el producto vectorial:

L r p

L m r v

a) Momento cinético de una partícula

El momento cinético es entonces un vector perpendicular al plano determinado por r y v



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x y z

i j k

L r p x y z

p p p

Para el caso general donde r no es constante



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En el caso de un movimiento circular v y r forman unángulo de 90º

0

L

r v

El cambio con respecto al tiempo del momento cinético de una partícula es igual al

momento de la fuerza aplicada a ella.

Esto implica que el cambio d L en el momento cinético en un intervalo de tiempo d t es

paralelo al momento aplicado a la partícula.

d Ldt

I

2L m r

L

d L d r d p

p rdt dt dt

L r p

d r

p v m v 0dt

d p

rdt



b) Momento cinético de un sistema de partículas.

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Siendo y perpendiculares

1 2 3

1. . .

n

i ni

L L L L L L

ii i i

i ii

m

L r p r pm

nin nii 1

i ini 1 i 1

ii 1

r mL p

m

CM

L r P CM CML r M v

C Mr CMv

I L

Donde I es el momento de inercia respecto al eje de rotación.

I CM CML



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La velocidad de cambio del momento angular de un sistema de partículas, relativo a

un punto arbitrario, es igual al torque total, relativo al mismo punto, de las fuerzas

externas actuante sobre el sistema.Este enunciado se lo considera como la Ley fundamental de la dinámica de rotación,valida para un cuerpo rígido que tiene infinitas partículas.

I CM

ext CM

d L

dt

2º Ley de Newton para la rotación

I

CM

CM

d L d

dt dt



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La cantidad de movimiento angular total del cuerpo en general no es paralelo al eje de rotacióndado que los Li que aparecen en la suma no son paralelos al eje. Pero puede demostrarse quepara cada cuerpo, sin importar su forma, hay (por lo menos) tres direcciones mutuamenteperpendiculares para los cuales el momento angular es paralelo al eje de rotación. Los ejes sedenominan ejes principales de inercia, y los momentos, momentos principales de inercia.

c) Momento cinético de un cuerpo rígido.

i i iiL m r v

2 2 2 2Z 1 1 2 2 1 3 n nL m R m R m R . . . m R

2z i ii

L m R

LZ = L1Z + L2Z

+ L3Z

+…+ LnZ

= SiL

iZ

LZ = I

q 2

iz i i i i i i

L mrv 2 mRcos

Pi

ri

0

qi

Bi Ri

Z

w

Liz

iv

iL



Conservación del momento cinético

04/05/2012

Esto es la ley de la conservación del momento angular para un cuerpo en rotación:

El momento angular total de un cuerpo en rotación permanece constante si la torca neta

externa que actúa sobre él es cero.

El momento angular es un concepto importante en la física porque, bajo ciertas condiciones, esuna cantidad que se conserva. ¿Cuáles son las condiciones bajo las cuales se conserva?

vemos inmediatamente que si la torca neta externa S sobre un cuerpo es cero, entonces:

d L

0dt

CM

ext

d L

dt



Conservación del momento cinético

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Cuando se tiene una torca neta nula sobre un cuerpo y éste está girando respecto a un eje fijoo respecto a un eje a través de su CM, de tal manera que su dirección no cambia, podemos

escribir:

I = I0 0 = constante



Energía cinética rotacional. Trabajo

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La cantidad ½ m v2 es la energía cinética de un cuerpo en movimiento traslacional. Se dice queun cuerpo que gira respecto a un eje tiene energía cinética rotacional. Por analogía con laenergía cinética traslacional, esperaríamos que ésta estuviese dada por la expresión ½ I 2 donde I es el momento de inercia del cuerpo y w es su velocidad angular .

Consideremos cualquier objeto rígido en rotación hecho de muchas partículas pequeñas, cadauna de masa mi. Si Ri representa la distancia de cualquier partícula al eje de rotación, entoncessu velocidad lineal es vi = Ri w. La energía cinética total de todo el cuerpo será la suma de lasenergías cinéticas de todas sus partículas:

q W ds F RdF

2 2 2 2 21 1 1

2 2 2i i i i i iK m v m R m R

K = ½ I 2

Donde ds es una distancia infinitesimal perpendicular a R conmagnitud ds = R dq, y F

es la componente de F perpendicular a R

y paralela a ds. Pero F

R es la torca respecto al eje, por lo que:

qW d

0

F

ds

dq

Ri

F



Energía cinética rotacional. Trabajo

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La razón del trabajo hecho, o potencia, es:

q dW dPdt dt

El principio del trabajo y la energía es válido para la rotación de un cuerpo rígido respecto a uneje fijo, por lo que:

I I I Iq q q

d d d ddt d dt d

dq = I d

I I I

q

q q 2 2

1 1

2 21 12 12 2W d d

Éste es el principio del trabajo y la energía para un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo.Establece que el trabajo hecho al girar un cuerpo un ángulo q2 – q1 es igual al cambio en la

energía cinética rotacional del cuerpo.

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