FÍSICA I - amcdalhy.files.wordpress.com · 3 FÍSICA I Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015 CAPÍTULO...

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FÍSICA I

Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015

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FÍSICA I


PRESENTACIÓN

La presente publicación constituye el volumen I de cuatro volúmenes de Física I.

Es una publicación que se ha estructurado en base a conocimientos y problemas de Física

acordes con las últimas publicaciones de los diferentes autores, así como de las exigencias de las

universidades que sí evalúan mediante un examen de admisión.

La característica de la presente publicación es la utilización de colores para desarrollo de las

diferentes explicaciones, de tal forma que sea más entendible, permitiendo a quienes se

interesan por el aprendizaje de la Física asumir un aprendizaje de manera autodidacta.

Es necesario aclarar que la presente publicación contiene parte de la Física que recurre al

desarrollo de aplicaciones a partir de principios, teorías o leyes, recurriendo a la Matemática,

por eso en muchos casos en diferentes colegios, academias e incluso universidades hacen creer

que eso es la Física, convirtiéndose en una materia aburrida y tediosa.

La Física es interesante y una de las ciencias que permite y ha permitido en el transcurso de la

historia ir comprendiendo el comportamiento de la naturaleza, de tal forma que los científicos

han ido planteando proyectos y ejecutando invenciones que permite tener mejor calidad de

vida, tales como con la invención de equipos para detectar enfermedades, mejorar las

comunicaciones mediante la invención de satélites, entre otros de muchísima importancia.

El propósito de la presente publicación es facilitar el aprendizaje, desde lo más básico hasta lo

más profundo; por ello, se plantean ejercicios en tres niveles: básico, medio y avanzado.

El volumen I contiene los siguientes tópicos:

Capítulo I: Conceptos Básicos

Capítulo II: Magnitudes Físicas

Capítulo III: Análisis dimensional

Capítulo IV: Escalares y vectores

Capítulo V: Cinemática (Movimiento Rectilíneo Uniforme)

Espero aportar en algo a quienes consulten y desarrollen los ejercicios planteados, al mismo

tiempo indicarles que la publicación siempre irá mejorando en el transcurso del tiempo.

Dalhy

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FÍSICA I


CAPÍTULO I

CONCEPTOS BÁSICOS

1. NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica de un número, es la representación de un número de la forma:

N x 10n

Donde:

N es un número entero de una sola cifra, es decir que los valores pueden ser del 1 al 9.

n es un número entero cualquiera que indica cuántas cifras se ha recorrido a la derecha o

a la izquierda la coma decimal.

Ejemplo:

Representar en notación científica cada uno de los siguientes números:

A) 45000 en notación científica es: 4,5 x 104

Explicación

B) 0,00000345 en notación científica es: ……………………………………….

Desplazamiento de la coma decimal 4 (n) cifras hacia la izquierda

4 5 0 0 0 RESULTA 4,5 x 104

0,00000345 RESULTA 3, 45 x 10-6

Desplazamiento de la coma decimal 6 (n) cifras hacia la derecha

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FÍSICA I


IMPORTANTE

Es necesario aclarar que cuando la coma decimal se mueve a la derecha el exponente de la

base 10 es un número entero negativo; en cambio, cuando la coma decimal se mueve a la

izquierda el exponente de la base 10 es positivo.

OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

A) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.

Para sumar o restar números en notación científica se debe tener en cuenta que todas las

bases 10 tengan el mismo exponente; en caso que no tengan el mismo exponente,

primero se igualan los exponentes. Para la adición de números en notación científica se

tiene en cuenta lo siguiente:

ax10n + bx10n + cx10n = (a+b+c) x10n

Ejemplo:

Determinar la respuesta en notación científica de:

a) 2,5x105 + 3,5x105+ 1,5x105 = (2,5 + 3,5 +1,5) x 105 = 7,5 x 105

b) 6,3x106 + 6,9x106 + 7,3x106 = (6,3 +6,9 +7,3) x106 = 20,5 x106

= 2,05 x106

c) 48x109 + 6,9x1010 + 730x108 = 4,8 x1010 + 6,9 x1010 x 7,30 x1010

= 19x1010 = 1,9 x1011

B) MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para multiplicar números en notación científica se procede teniendo en cuenta lo

siguiente:

(ax10n) (bx10m) = (a x b) x10m+n

Ejemplos:

Determinar en notación científica el resultado de las siguientes multiplicaciones:

(2,0 x 105) (3,0 x 1012) = (2,0 x 3,0) x 105 + 12

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FÍSICA I


C) DIVISIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para dividir números en notación científica se procede teniendo en cuenta lo siguiente:

𝑎10𝑛

𝑏10𝑚 = 𝑎

𝑏𝑥10𝑛−𝑚

Ejemplos.

Determinar en notación científica el resultado de las siguientes divisiones

8𝑥108

4𝑥106 = 8

4𝑥108−6= 2 x 102

2. PRECISIÓN Y EXACTITUD

La exactitud es la cercanía del resultado de una medición al valor verdadero.

La precisión es la cercanía de los valores de unos con otros. Es decir, Precisión se refiere a

la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud.

Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión

11111

1. Exactitud alta precisión baja

2. Exactitud alta precisión alta

3. Exactitud baja y precisión alta

3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Salvo cuando todos los números sean enteros (por ejemplo, contar el número de

estudiantes en un salón de clases), suele ser imposible obtener el valor exacto de la cantidad

que se investigue. Por ello, es importante señalar el margen de error en una medición al

indicar con claridad el número de cifras significativas, que son los dígitos significativos

Fuente: RED

1 2 3

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FÍSICA I


en una cantidad medida o calculada. Al usar las cifras significativas, se da por entendido

que el último dígito es incierto. Por ejemplo, podría medirse el volumen de cierto líquido

con una probeta graduada con una escala tal que la incertidumbre en la medición sea de 1

mL. Si el volumen resulta ser de 6 mL, entonces el volumen real se ubica en el intervalo de

5 mL a 7 mL. Ese volumen lo representamos como (6 ± 1) mL. En este caso, existe una sola

cifra significativa (el dígito 6) con incertidumbre de más o menos 1 mL. A fin de lograr

mayor exactitud, podríamos usar una probeta graduada con divisiones más finas, de modo

que ahora el volumen medido tenga incertidumbre de apenas 0.1 mL. Si el volumen del

líquido resulta de 6.0 mL, la cantidad se expresaría como (6.0 n± 0.1) mL y el valor real se

ubicaría entre 5.9 y 6.1 mL. Aunque es posible mejorar adicionalmente el dispositivo de

medición y obtener más cifras significativas, en cada caso el último dígito es siempre

incierto; la magnitud de tal incertidumbre depende del dispositivo de medición usado.

(CHANG, 2013).

4. LINEAMIENTOS PARA EL USO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

En el trabajo cuentico, siempre debemos tener el cuidado de escribir el número adecuado

de cifras significativas. En general, es más bien sencillo determinar cuántas cifras

significativas tiene un número, si se acatan las reglas siguientes:

a) Todo dígito que no sea cero es significativo.

Ejemplo:

845 cm tiene tres cifras significativas,

1.234 kg tiene cuatro, y así sucesivamente.

b) Los ceros entre dígitos distintos de cero son significativos.

Ejemplo:

606 m incluye tres cifras significativas

40 501 kg posee cinco cifras significativas, etcétera

c) Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. Su pro-

pósito es indicar la ubicación del punto decimal.

Por ejemplo:

0.08 L tendría una cifra significativa

0.0000349 g, tres cifras significativas

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FÍSICA I


d) Si un número es mayor que la unidad, todos los ceros escritos a la derecha del punto

decimal cuentan como cifras significativas.

Por ejemplo:

2.0 mg tiene dos cifras significativas

40.062 mL, cinco

3.040 dm, cuatro cifras significativas.

En el caso de números menores que la unidad, son significativos sólo los ceros que

están al final del número y los que aparecen entre dígitos distintos de cero. Ello

significa que:

0.090 kg tiene dos cifras significativas

0.3005 L, cuatro

0.00420 min, tres, y así sucesivamente.

e) En cuanto a números que no incluyen el punto decimal, los ceros que están a la derecha (es

decir, después del último dígito distinto de cero) podrían ser significativos o no. Así, 400

cm tendría una cifra significativa (el dígito 4), dos (40) o tres (400). Es imposible afirmar

cuál de esas opciones es la correcta sin más información. Sin embargo, con la notación

científica se evita tal ambigüedad. En este caso particular, es posible expresar el número

400 como 4 x 102 para considerar una cifra significativa; 4.0 x 102 para dos cifras, o 4.00 x

102 para tres cifras significativas.

Cálculo con cifras significativas

Cuando se multiplican muchas cantidades, el número de cifras significativas en la

respuesta final es el mismo que el número de cifras significativas en la cantidad que

tiene el número más pequeño de cifras significativas. La misma regla aplica para la

división.

Cuando los números se sumen o resten, el número de lugares decimales en el

resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier

término en la suma.

PRÁCTICA DE LABORATORIO 1:

Guía adicional

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FÍSICA I


CAPÍTULO II

MAGNITUDES FÍSICAS

GENERALIDADES

Es necesario que se desarrollen conceptos básicos referentes a las magnitudes, de tal forma que

luego se puedan aplicar y comprender en el desarrollo de situaciones problemáticas teóricas,

posteriormente en la aplicación en el desarrollo de las prácticas de laboratorio.

1. MAGNITUD

En el Diccionario de la Lengua Española en una de las acepciones de magnitud indica:

“Propiedad física que puede ser medida”; en otras palabras es todo lo que se puede medir.

En otras palabras la magnitud se puede definir como la propiedad o cualidad medible de un

sistema físico que puede ser un cuerpo, una partícula, una parte del universo, una cualidad

de manifestación de un fenómeno, etc.

2. CLASES DE MAGNITUDES

Las magnitudes se pueden clasificar por su origen y por su naturaleza.

a) Clases de magnitudes por su origen.

Las magnitudes pueden ser unidades fundamentales y unidades derivadas.

Según el Sistema Internacional de Medidas (S.I.), las magnitudes fundamentales son las

siguientes:

Magnitud Nombre de la

unidad

Símbolo de la

unidad

Dimensión

Masa kilogramo kg M

Longitud metro m L

Tiempo segundo s T

Temperatura Kelvin K ϴ

Intensidad luminosa Candela cd J

Cantidad de sustancia Mol mol N

Intensidad de corriente

eléctrica

Amperio A I

Las magnitudes derivadas provienen de la combinación de las magnitudes

fundamentales, algunas de ellas son las siguientes:

Área, volumen, densidad, presión, energía cinética, energía potencial, calor, trabajo, etc

Masa y peso

Aunque los términos “masa” y “peso” suelen usarse indistintamente, en sentido estricto

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FÍSICA I


se trata de cantidades diferentes. Mientras que la masa es una medición de la cantidad

de materia en un objeto, el peso, en sentido técnico, es la fuerza que ejerce la gravedad

sobre un objeto.

Volumen

La unidad de longitud del SI es el Metro (m) y la unidad derivada del SI para volumen

es el metro cúbico (m3)

Temperatura

La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de caliente, tibio o frío

que puede ser medida con un termómetro. En física, se define como una magnitud

escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico, definida por el

principio cero de la termodinámica. Más específicamente, está relacionada directamente

con la parte de la energía interna conocida como «energía cinética», que es la energía

asociada a los movimientos de las partículas del sistema, sea en un sentido traslacional,

rotacional, o en forma de vibraciones. A medida de que sea mayor la energía cinética de

un sistema, se observa que éste se encuentra más «caliente»; es decir, que su temperatura

es mayor (RED)

Escala Celsius o centígrada. Esta escala es de uso popular en los países que adhieren al

Sistema Internacional de Unidades, por lo que es la más utilizada mundialmente.

Considera como punto de fusión del hielo a cero grados y como punto de ebullición a

100 grados centígrados.

Escala Fahrenheit. En los países anglosajones se pueden encontrar aún termómetros

graduados en grado Fahrenheit (°F), propuesta por Gabriel Fahrenheit en 1724. La escala

Fahrenheit difiere de la Celsius tanto en los valores asignados a los puntos fijos, como en

el tamaño de los grados. En la escala Fahrenheit los puntos fijos son los de ebullición y

fusión de una disolución de cloruro amónico en agua. Así al primer punto fijo se le

atribuye el valor 32 y al segundo el valor 212.

Escala Kelvin o absoluta. Considera como punto de fusión del hielo a 273,15 grados

Kelvin y como punto de ebullición 373, 15 grados Kelvin. En la escala Kelvin existe el

10 cm

10 cm

10 cm

10

FÍSICA I


cero absoluto.

En la escala absoluta, al 0 °C le hace

corresponder 273,15 K, mientras que

los 100 °C se corresponden con 373,15

K. Se ve inmediatamente que 0 K está

a una temperatura que un

termómetro centígrado señalará

como -273,15 °C. Dicha temperatura

se denomina "cero absoluto".

Escala Rankine. Se denomina

Rankine (símbolo R) a la escala de

temperatura que se define midiendo

en grados Fahrenheit sobre el cero

absoluto, por lo que carece de valores

negativos. Esta escala fue propuesta por el físico e ingeniero escocés William Rankine en

1859.

𝐶

100=

𝐹 − 32

180=

𝐾 − 273

100 =

𝑅 − 492

180

b) Clases de magnitudes por su naturaleza

Las magnitudes pueden ser escales y vectoriales

Magnitudes escalares. Aquellas magnitudes que para su definición solo se necesita

conocer un valor numérico (módulo) y una unidad de medida reconocida.

Ejemplo:

Magnitudes vectoriales: son aquellas magnitudes en las que además de tener el

valor numérico (módulo) y la unidad, se necesita conocer una dirección, un sentido

y un punto de aplicación.

Ejemplo: la velocidad

m 5

Módulo

Unidad

18

Unidad

Módulo m/s Norte a Sur Dirección

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FÍSICA I


3. MEDIR

Según el Diccionario de la lengua española, en una de sus acepciones indica que medir es

“Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la

segunda está contenida en la primera”. Por ejemplo: Cuántas veces la longitud (contiene a

la unidad) de un árbol contiene a un metro (unidad).

4. CONVERSIÓN DE UNIDADES

Primero es necesario comprender en qué consiste el factor unitario.

El factor de conversión, factor unitario o de unidad es una fracción donde el numerador

y el denominador son medidas iguales expresadas en unidades distintas, de tal manera,

que esta fracción vale la unidad. Este método es efectivo para cambio de unidades y

resolución de ejercicios relacionados con el cambio de unidades.

Se llama factor unitario porque a pesar que el numerador es diferente al denominador,

al operarlo teniendo en cuenta las equivalencias, equivale a la unidad. Ejemplo

En este caso 1 kilómetro entre 1000 metros equivale a la unidad, porque ambos tienen

mil metros. También puede presentarse de la siguiente manera:

Otros ejemplos de factor unitario son los siguientes:

En todos los ejemplos tiene como resultado la unidad, entonces son ejemplos de

factor unitario

1 km

1000 m = 1

1000 m

1 km = 1

1 semana

7 días = 1

7 días

1 semana = 1

1 hora

3600 s = 1 60 minutos

3600 s = 1 = 1

1 hora

60 minutos

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FÍSICA I


Para la realización de la conversión de unidades, mediante el método del factor

unitario se realiza mediante multiplicaciones sucesivas hasta llegar a las unidades

solicitadas.

Ejemplo 1

1. Convertir 280 días a semanas. (Se sabe que 1 semana es igual a 7 días).

Convertir 20 m/s a km/h

(Recuerden; 1h = 3600 segundos y 1 km = 1000m)

Es decir que 20 m/s equivale a decir 72 km/h

5. PREFIJOS UTILIZADOS CON LAS UNIDADES

7

1 semana 280 días x

7 días =

280 x 1 semana = 40 semanas

s 20 m

x 1 km

1000 m

3600 s

1 h x =

20 x 1 x 3600 km

1000 h =

72 km

h

UNIDAD

Prefijo Símbolo Factor

deci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3

micro µ 10-6

nano n 10-9

pico p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

zepto z 10-21

yocto y 10-24

Prefijo Símbolo Factor

yotta Y 1024

zetta Z 1021

exa E 1018

peta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

hecto h 102

deca da 101

UNIDAD

13

FÍSICA I


Ejemplos de la utilización de prefijos (Chang, R. 2012)

2.1. EQUIVALENCIA DE UNIDADES

Longitud

1m = 100 cm = 1000mm = 39,37 pulg = 1,0936 yardas

1pulg = 0,025 m = 2,54 cm

1km = 1000m

1 milla terrestre = 1, 609 km

1 Armstrong = 10-10 m = 10-8 cm

1 yarda = 0,994 m

1 pie = 12 pulg

Masa

1Kg = 1000 g = 2,205 libras

1 libra = 453,6 gramos

1 onza = 28,32 gramos

1T.M = 1000 kg = 2205 libras

1 arroba = 25 libras

Volumen

1litro = 1000cm3 = 1000ml

1m3 = 1000 litros = 1000 dm3

1pie3 = 28,32 litros

Energía

1 caloría = 4,184 Joule

1 Joule = 0,239 caloría

1 Joule = 1 x107 ergios

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FÍSICA I


1 B.T.U. = 1055 Joule

1 atm-L = 24,21 cal = 101,325J

Presión

1 atm = 101,325 Pascal = 760 mmHg = 760 Torr

1 Pascal = 1N/m2

1 bar = 105Pa

1 atm = 29,92 pulg Hg

1 atm = 14,70lb/pulg2

Tiempo

1 hora = 60 minutos = 3600 segundos

1 año 365 días

1 día 24 horas

1 año bisiesto = 366 días

1 década = 10 años

1 siglo = 100 años

1 milenio = 1000 años

EJERCICIOS PARA RESOLVER I

NIVEL BÁSICO

1. El bromo es un líquido pardo rojizo. Calcule su densidad en g/mL) si 586 g de la sustancia

ocupan 188 mL. 1.22

2. La densidad del etanol, líquido incoloro comúnmente llamado alcohol de grano, es de

0.798 g/mL. Calcule la masa de 17.4 mL de este líquido.

3. Convierta las temperaturas siguientes a grados Celsius o Fahrenheit:

95°F, la temperatura de un caluroso día veraniego

12°F, la temperatura de un frío día invernal;

Fiebre de 102°F;

Un horno que funciona a 1 852°F, y

−273.15°C (en teoría, la temperatura más baja posible).

4. Normalmente, el cuerpo humano soporta temperaturas de 105°F sólo durante breves

periodos sin que ocurra daño permanente en el cerebro y otros órganos vitales. ¿Cuál es

esa temperatura en grados Celsius?

5. El etilenglicol es un compuesto orgánico líquido que se usa como anticongelante en

15

FÍSICA I


radiadores de automóviles. Se congela a −11.5°C Calcule su temperatura de congelación

en grados Fahrenheit.

6. La temperatura en la superficie solar es de unos 6 300°C. ¿Cuál es esa temperatura en

grados Fahrenheit?

7. La temperatura de ignición del papel es de 451°F. ¿Cuál es esa temperatura en grados

Celsius?

8. Convierta las temperaturas siguientes a kelvin: 113°C, el punto de fusión del azufre;

37°C, la temperatura normal del cuerpo humano, 357°C, el punto de ebullición del

mercurio

9. Convertir

22.6 m a decímetros

25.4 mg a kilogramos

556 mL a litros

10.6 kg/m a g/cm

242 lb a miligramos

10. La rapidez promedio del helio a 25° C es 1 255 m/s. Convierta esta rapidez a millas por

hora (mph).

11. ¿Cuántos minutos tarda en llegar la luz del Sol a la Tierra? (La longitud del Sol a la Tierra

es de 93 000 000 millas). A fin de que un avión caza despegue de un portaaviones, debe

alcanzar una rapidez de 62 m/s. Calcule esa rapidez en millas por hora (mph).

12. El contenido “normal” de plomo de la sangre humana es de unas 0.40 partes por millón

(es decir, 0.40 g de plomo por millón de gramos de sangre). Se considera peligroso que

alcance un valor de 0.80 partes por millón (ppm). ¿Cuántos gramos de plomo contienen

6.0 X 103 g de sangre (la cantidad promedio en un adulto) si el contenido de plomo es de

0.62 ppm?

NIVEL MEDIO

13. Calcular la masa de una esfera de oro con radio de 10.0 cm [el volumen de una esfera con

radio r es V = (4/3)πr3; la densidad del oro es de 19.3 g/cm3.

14. El procedimiento siguiente se usa para determinar el vo-lumen de un matraz. Se pesa el

matraz seco y luego se pesa lleno de agua. Si las masas del matraz vacío y el matraz lleno

16

FÍSICA I


son 56.12 g y 87.39 g, respectivamente, y la densidad del agua es de 0.9976 g/cm3. Calcular

el volumen del matraz en cm3.

15. La vainillina (usada para dar sabor al helado de vainilla y otros alimentos) es una

sustancia cuyo aroma es detectable por la nariz humana en cantidades muy pequeñas. El

límite de umbral es de 2.0 x 10−11 g por litro de aire. Si el precio actual de 50 g de vainillina

es de 112 dólares, determine el costo para que el aroma de vainillina sea detectable en un

hangar para aviones, con volumen de 5.0 x 107 pies3.

16. ¿Cuál es la temperatura en la que el valor numérico en un termómetro de grados Celsius

es igual al de un termómetro de grados Fahrenheit?

17. Suponiendo que se crea una nueva escala de temperatura, en la que el punto de fusión

del etanol (-117.3°C) y su punto de ebullición (78.3°C) se toman como 0°S y 100°S,

respectivamente, donde S es el símbolo de la nueva escala de temperatura. Derive una

ecuación que relacione un valor de esta escala con un valor de la escala Celsius. ¿Qué

lectura daría este termómetro a 25°C?

18. Calcule el error porcentual de las mediciones siguientes:

La densidad del alcohol (etanol) resulta ser de 0.802 g/mL (valor verdadero de

0.798 g/mL)

la masa de oro en un arete es de 0.837 g (valor verdadero de 0.864 g.

19. Un galón de gasolina en el motor de un automóvil pro-duce en promedio 9.5 kg de

dióxido de carbono, que es un gas de invernadero, es decir, que promueve el

calentamiento de la atmósfera terrestre. Calcule la producción anual de dióxido de

carbono en kilogramos si existen 40 millones de automóviles en Estados Unidos y cada

uno recorre una longitud de 5 000 millas con con-sumo de 20 millas por galón.

20. Las reservas mundiales totales de petróleo se calculan en 2.0 X 1022 J (el joule es una

unidad de energía en la que 1 J= 1 kg m2 /s2). Al ritmo actual de consumo, de 1.8 X1020

J/año, ¿cuánto tardarán en agotarse las reservas? (cálculo que data del año 1990)

21. Las feromonas son compuestos que secretan las hembras de muchas especies de insectos

para atraer a los machos. Es habitual que basten 1.0 x 10−8 g de una feromona para llegar

a todos los machos correspondientes en un radio de 0.50 millas. Calcule la densidad de la

feromona (en gramos por litro) en un espacio cilíndrico de aire con un radio de 0.50 millas

y una altura de 40 pies.

17

FÍSICA I


NIVEL AVANZADO

22. Convertir 2800 m/s a Picómetro por hora.

23. Convertir 480 m/h a mm/centésimas de Segundo.

24. Convertir 0,80 Kilowatt (kW)a ft.lbf/s.

25. Convertir 789520 ergios a litros. Atmósfera.

26. Convertir 22222 Watt segundo (W.s) a Kilovatio hora (kW.h).

27. Convertir 5000 Milivolt (mV) a kilovoltios.

28. Convertir 4000 din/cm² a Pascal (Pa).

29. Una pirámide tiene una altura de 481 ft y su base cubre una área de 13.0 acres El volumen

de una pirámide está dado por la expresión V = 1

3Bh,

donde B es el área de la base y h es la altura.

Encuentre el volumen de esta pirámide en metros

cúbicos. (1 acre = 43 560 ft2) (Serway)

30. Suponga que Bill Gates le ofrece $1 000 millones si es capaz de terminar de contarlos

usando sólo billetes de un dólar. ¿Debe aceptar su oferta? Explique su respuesta. Suponga

que cuenta un billete cada segundo y advierta que necesita al menos 8 horas al día para

dormir y comer. ¿Cuánto tiempo necesitará para terminar de contarlos? (Serway).

31. El diámetro de la galaxia con

forma de disco, la Vía Láctea, es

de aproximadamente 1.0 x105

años luz (a–l). La distancia a la

galaxia Andrómeda, que es la

galaxia espiral más cercana a la

Vía Láctea, es de alrededor de 2.0

millones de a–l. Si un modelo a escala representa las galaxias Vía Láctea y Andrómeda

como platos soperos de 25 cm de diámetro, determine la distancia entre los centros de los

dos platos. (Serway)

18

FÍSICA I


32. Un chorro de agua elevado se ubica en el centro de

una fuente, como se muestra en la figura. Un

estudiante camina alrededor de la fuente, evitando

mojar sus pies, y mide su circunferencia en 15.0 m.

A continuación, el estudiante se para en el borde de

la fuente y usa un transportador para medir el

ángulo de elevación de la fuente que es de 55.0°.

¿Cuál es la altura del chorro?

33. Un niño adora ver cómo llena una botella de plástico transparente con champú. Las

secciones transversales horizontales de la botella son círculos con diámetros variables

porque la botella es mucho más ancha en algunos lugares que en otros. Usted vierte

champú verde brillante con una relación de flujo volumétrico constante de 16.5 cm3 /s.

¿En qué cantidad el nivel de la botella se eleva a) a un punto donde el diámetro de la

botella es de 6.30 cm y b) a un punto donde el diámetro es de 1.35 cm?

530


Guía adicional

19

FÍSICA I


CAPÍTULO III

ANÁLISIS DIMENSIONAL

El Análisis Dimensional es una parte auxiliar de la Física que estudia las relaciones

entre las magnitudes fundamentales y derivadas, en el Sistema Internacional de

Unidades (San Marcos, 2008).

ECUACIÓN DIMENSIONAL

Son expresiones matemáticas que permiten relacionar mediante una igualdad las

magnitudes fundamentales y magnitudes derivadas.

La dimensión de una magnitud se representa mediante la siguiente forma:

[A] se lee “Dimensión de la magnitud física de A”.

Ejemplos:

[tiempo] = T

[masa] = M

[Volumen] = L x Lx L = L3

REGLAS PARA LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

1. La adición y sustracción de las mismas unidades en una ecuación dimensional da como

resultado la misma unidad.

Ejemplos:

a) MT-2 - MT-2 + MT-2 + MT-2 + MT-2 = MT-2

b) LM + LM + LM + LM – LM = LM

2. Todas las funciones trigonométricas, el valor numérico de los ángulos, las

funciones logarítmicas y, en general, cualquier número, se considera

adimensional, siendo su dimensión la unidad.

Ejemplos:

[coseno 300] = 1

[ ángulo3000] = 1

20

FÍSICA I


[logaritmo 100] = 1

[3,1415…] = 1

[Log 140. L] = 1.L = L

3. Todo exponente es un número, por lo tanto dimensionalmente es igual a la

unidad.

BX = C; entonces las dimensión de [x]= 1

4. Si una función trigonométrica se encuentra como coeficiente dimensionalmente

es igual a la unidad y si se encuentra como exponente toma el valor de la función

trigonométrica.(WEZ,2014).

Ejemplo:

AF + sen370C – Rsen 37° = P

Este ejemplo permite escribirlo de la siguiente manera:

AF + C – R3/5 = P

5. Principio de homogeneidad dimensional. Si una fórmula física es correcta, es

decir, es dimensionalmente correcta (homogénea), todos los términos de la

ecuación deben ser dimensionalmente iguales.

A + G + H -𝟏

𝑻

Es decir:

[A] = [G] = [H]= [ 𝟏

𝑻 ]

6. La ecuación dimensional de una determinada dimensión no se debe expresar en

forma de fracción, por lo que las letras que están como denominadores se pasan

al numerador con el exponente cambiado.

Ejemplo:

Densidad = masa

volumen =

M

L3 = ML-3

21

FÍSICA I


Magnitudes Derivadas

Magnitud Fórmula

Física

Unidad de la magnitud

derivada

Dimensión

Área A =

(longitud)2

Metro cuadrado (m2) L2

Volumen V

=(longitud)3

Metro cúbico (m3) L3

Densidad d = 𝒎

𝒗 Kilogramo por metro

cúbico (kg/m3)

L-3M

Velocidad V = 𝒙

𝒕 Metro por segundo (m/s) LT-1

Aceleración a = ∆𝑽

∆𝒕 Metro por segundo al

cuadrado (m/s2)

LT-2

Fuerza

Peso

F = m . a

W = m. g

Newton (N) LMT-2

Cantidad de

movimiento

p = m.V Kilogramo – metro por

segundo (Kg – m/s)

LMT-1

Impulso de

la fuerza

I = F. t Newton. Segundo (N.S) LMT-1

Trabajo W= F.d (Newton. Metro): Joule (J) L2MT-2

Energía E=

𝒎𝒗𝟐

𝑹

Joule (J) L2MT-2

Energía

potencial

Ep=m.g.h Joule (J) L2MT-2

Potencia P = 𝑾

𝒕 Watt (W) L2MT-3

Presión P = 𝑭

𝑨 Pascal (Pa) L-1MT-2

Tensión

(mecánica) Ơ = =

𝑭

𝑨 Pascal (Pa) L-1MT-2

Frecuencia f= 𝟏

𝑻 Hertz T-1

Velocidad

angular w =

𝜭

𝑻 Radian/ segundo (Rad/s) T-1

Aceleración

angular ∝ =

𝒘

𝑻 Radian por seg2 (rad/s2) T-2

Fuente: WEZ 2014

22

FÍSICA I


Aplicaciones de ecuaciones dimensionales.

1. Determinar la ecuación dimensional de “x” si:

𝐱 = 𝐦𝐚𝐬𝐚.𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨

𝐥𝐨𝐧𝐠𝐢𝐭𝐮𝐝.

[𝑥] =𝐌. 𝐓

𝐋= 𝑴𝑻𝑳−𝟏

2. Expresar la dimensión que representa a un Newton.

En primer lugar 𝐍 = 𝐤𝐢𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦𝐨.𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨

𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝟐=

𝐦𝐚𝐬𝐚 .𝐥𝐨𝐧𝐠𝐢𝐭𝐮𝐝

𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨𝟐

Luego: [N] = 𝐌 .𝐋

𝐓𝟐 = MLT-2

3. Determinar x – 3y si la ecuación es dimensionalmente homogénea:

𝑷 = 𝑨𝒛𝑲𝒀𝑽−𝒚

Donde:

P: presión

A: Fuerza

K: longitud

V: volumen

Resolución

ML-1T-2 = (MLT-2)Z LX (L3)-Y

Desarrollando los exponentes

ML-1T-2 = MZ LZ T-2Z LX L-3Y

Sumando las “L” (bases iguales, los exponentes se suman)

ML-1T-2 = MZ LZ+X-3Y T-2Z

Igualando exponentes del primer miembro con los exponentes del segundo

miembro

Para M: 1=z ………………….. (a)

23

FÍSICA I


Para L: -1 = z+x-3y …………. (b)

Para T: -2= -2z ……………… (c)

Después se determina que el valor de z = 1, se reemplaza en b, se tiene:

z +x – 3y = -1

-1 +x-3y= -1

x – 3y= -1-1

x – 3y = -2

Respuesta: x – 3y = -2

EJERCICIOS PARA RESOLVER II

NIVEL BÁSICO

1. Determinar la ecuación dimensional de G, si:

𝐺 = 𝑚𝑙2𝑋2

𝑡3

Donde:

m = masa

l = longitud

x = cantidad de sustancia

t = tiempo

2. Expresar la ecuación dimensional de la masa a partir de la expresión matemática de la

fuerza:

F= m.a

F = fuerza

m = masa

a = aceleración

3. Determinar la ecuación dimensional del calor específico, teniendo en cuenta la siguiente

expresión matemática.

Q = m.Ce. Δt

Donde:

Q = calor

m = masa

Ce = calor específico

Δt = variación de la temperatura

4. El periodo de un péndulo está dado por: T = 3π dmgn, en el cual:

T = periodo

d = longitud del péndulo

g = aceleración de la gravedad

24

FÍSICA I


Determinar el valor numérico de R = m.n

5. Sabiendo que la fórmula siguiente es dimensionalmente correcta, determinar a qué

magnitud o magnitudes derivadas corresponde la dimensión β. VE

4=

𝑀𝑆2𝜔5

𝛽𝜔(𝑠𝑒𝑛 60º − 𝑙𝑜𝑔5125)2

Considerando que:

V = volumen

E = fuerza/longitud

𝜔 = velocidad angular

𝑀 =masa

𝑆 = superficie

6. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Determinar la dimensión de B.

F = P (B sen ϴ - 𝐾

𝑉) + K

Considerando que V = velocidad; F = fuerza.

7. En la ley de Ohm se establece que V = I.R. Determinar la ecuación dimensional de la

resistencia eléctrica (R)

I = intensidad de corriente

V = diferencia de potencial (equivale a trabajo por unidad de carga)

8. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. ¿Cuál es la relación entre las

dimensiones de A y B?

AX-2 + BX-1 + C = log 100

9. En la siguiente ecuación física: P = Po +dgh: donde Po se mide en N/m2 y h en metros,

determine la dimensión de “d” y las unidades de “d” en el sistema internacional.

10. Determinar la ecuación dimensional del P en la siguiente igualdad:

𝑃 = √á𝑟𝑒𝑎. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛. 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑. 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑

11. Determinar la ecuación dimensional de “E”, teniendo en cuenta que:

𝐸 = 𝐷𝑉2

𝑔

Donde:

D : densidad

V : velocidad lineal

g = aceleración.

12. Determinar x+y, considerando que la siguiente ecuación es dimensionalmente

homogénea:

2H =𝐴2𝐵𝑋

3𝐷𝑌 𝑠𝑒𝑛 ∅

Considerando que:

25

FÍSICA I


H = altura

B = diámetro

A = velocidad

D = aceleración

13. En la siguiente fórmula física, K = PV + Q

Donde:

P: Presión

V: Volumen

Determinar

La dimensión de K

Explicar a qué magnitud física corresponde dicha dimensión

Unidades en el S.I de K

14. Si la ecuación W = AxBy es dimensionalmente homogénea, donde W es el tiempo, A es la

longitud, B es la aceleración. Determinar los valores de “m” y “n”.

NIVEL MEDIO

15. En la siguiente fórmula física, ¿Qué magnitud representa K? ¿Cuáles son sus unidades de

K en el sistema internacional?

K = PV + Q

Donde:

P: Presión

V: volumen

16. Si al realizar las medidas de un fenómeno físico, un científico determina que tiene como

unidades a: 𝑘𝑔.𝑚.𝑚𝑜𝑙.𝑠2

𝐴.𝑐𝑑

Determinar la ecuación dimensional que represente a dicho fenómeno

físico.

Determinar la ecuación dimensional que resultaría de dividir la ecuación

dimensional obtenida entre la ecuación dimensional de la fuerza.

17. Determinar la ecuación dimensional y las unidades de L en el sistema internacional. 𝐿 = 𝑚. 𝑥. 𝑦2𝑧

Considerando que:

m: masa

x : cantidad de sustancia

y: velocidad

z= 𝑣

𝑚

18. Determinar la ecuación dimensional de la masa en función al volumen y la densidad.

19. El periodo de oscilación T de un péndulo simple depende de la longitud L de la cuerda y

de la aceleración de la gravedad g. (San Marcos, 2014) 𝑇 = 2𝜋. 𝐿𝑥 . 𝑔𝑦

Determinar: x + y

26

FÍSICA I


20. En la siguiente fórmula física:

W= F.a +mb +m𝑐2

Donde:

W: Trabajo

F. fuerza

m: masa

Determinar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones

( ) [a] = L

( ) [b] = 𝐿2𝑇−2

( ) [c] = 𝐿𝑇−1

21. En la ecuación de la energía mecánica de un objeto que cuelga de un resorte está dado

por: (WEZ, 2014) 𝐸 = 𝐴𝑣2 + 𝐵𝑥2 + 𝐶ℎ

En el cual:

v= velocidad instantánea

h = altura respecto al suelo

x = estiramiento del resorte

Luego de determinar la dimensión de A, de B, de C, determinar la dimensión

de A.B.C

22. Si la expresión propuesta es dimensionalmente correcta, determinar la fórmula

dimensional de “K”. (WEZ, 2014)

𝑊 = 𝑚𝑉∝ + 𝐴𝑔ℎ − 𝐵𝑥sec600+ 𝑃𝐶

De donde: W= trabajo; m = masa; V = velocidad; g = aceleración de la gravedad;

h = altura; x= distancia y P = Potencia.

23. ¿Cuál es la dimensión de [A.B] para que la ecuación sea dimensionalmente correcta?

(WEZ, 2014)

𝐴 = 𝑊𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑚(𝐵2 + 𝑆)

Donde:

W = trabajo

m = masa

S = área

24. Dada la ecuación:

𝑊 = 𝐵𝐿2 sen (∝ + 𝜋

2) + 𝐵2𝑞

Considerando que:

W = energía

L = Longitud

27

FÍSICA I


25. ¿En qué unidad deberá ser medida en el SI, la magnitud k para que P sea medida en

Watts?, teniendo en cuenta que:

𝑃 = 𝑘𝑙𝑚𝑣

𝑡4

26. Si Watt y Joule no hubieran sido adoptaos como nombres del SI para la potencia y el

trabajo respectivamente, entonces ¿cuál sería la unidad para la potencia? (Figueroa, 2001)

27. En un experimento se verifica que el periodo (To) de oscilación de un sistema cuerpo –

resorte depende solamente de la masa (m) del cuerpo y de la constante elástica (ke) del

resorte. ¿Cuál es la expresión matemática para el periodo en función de ke y m?

NIVEL AVANZADO

28. Si en vez de la masa (M), el trabajo (W) fuera considerado como magnitud fundamental,

determinar la ecuación dimensional de la densidad. (Timoteo, 2013)

29. Si: 5Q = 𝑎√𝑎√𝑎√𝑎 … … . ∞ y la dimensión de [a]= T. ¿Cuál es la dimensión de Q? (Timoteo,

2013)

30. Sabiendo que la siguiente expresión es dimensionalmente correcta, determinar la

dimensión de Z(Timoteo, 2013)

𝑘𝑙𝑜𝑔(𝑥𝑡 + 𝑦𝑣) = 𝑝𝑥𝑦𝑧

Donde:

t : tiempo

v: velocidad

p: presión

k: constante física

31. Sabiendo que la siguiente expresión: (San Marcos, 2014)

√𝐸1 + 𝐸2 + ⋯ + 𝐸𝑛

𝐴𝑛 + 𝐵𝑛 + 𝐶𝑛+2 + 𝑃

𝑛

Tiene como unidades segundos, determinar las unidades que pueden tener:

√𝐴𝐵

𝐶

7𝑛12

Siendo:

E: Energía

P: potencia

32. La velocidad V de propagación de una onda mecánica, en una cuerda tensa, sabiendo que

depende de la fuerza de tensión F a la cual está sometida y de su densidad lineal de masa

u (masa/longitud) es:

𝑉 = 𝐹𝑥. 𝑢𝑦 Determinar: x - y

28

FÍSICA I


33. La siguiente es una fórmula física: (San Marcos, 2014)

𝑽 =𝒂

𝒕𝟑+

𝒃 + 𝒉

𝒄

V: volumen

T: tiempo

h: longitud

Determinar:

- La ecuación dimensional de [a]

- La ecuación dimensional de [b]

- La ecuación dimensional de [c]

34. La potencia de un motor de avión se expresa mediante la siguiente ecuación:

(San Marcos, 2014)

𝑷𝒐𝒕 = 𝑹 +

𝑻𝒎 +

𝒔𝒗

[𝟖 + (𝒂 + 𝒃) ]√𝒓 . √𝒓𝜽

Potencia = fuerza x velocidad

v: velocidad

r: radio

m,ϴ = números

Determinar las dimensiones de R, T, S.

Determinar la dimensión de 𝑹𝑻

𝑺


Guía adicional

29

FÍSICA I


CAPÍTULO IV

ESCALARES Y VECTORES

Es necesario indicar que en el estudio de los conocimientos y experimentación de Física, con

frecuencia se necesita realizar trabajo con cantidades físicas que tienen propiedades tanto

numéricas como direccionales; es decir con magnitudes vectoriales.

Entonces es necesario diferenciar otra vez, como en el capítulo de magnitudes, entre las

magnitudes vectoriales y magnitudes escalares; para ello se recurre a lo que Serway define en

su libro de Física:

“Una cantidad escalar se especifica por completo mediante un valor único con una unidad

adecuada y no tiene dirección; en cambio, una cantidad vectorial se especifica por completo

mediante un número y unidades apropiadas más una dirección.”

VECTOR

Desde el punto de vista geométrico un vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ es un

segmento orientado que va del punto A (origen) al punto

B (extremo)

De esto se puede decir que en física, un vector

(también llamado vector euclidiano o vector

geométrico) es una magnitud física definida

por un punto del espacio donde se mide dicha

magnitud, además de un módulo (o longitud), su

dirección (u orientación) y su sentido (que

distingue el origen del extremo)

30

FÍSICA I


En Matemáticas se define un vector como un

elemento de un espacio vectorial, esta noción es más

abstracta y para muchos espacios vectoriales no es

posible representar sus vectores mediante el módulo,

la longitud y la orientación. En particular los espacios

de dimensión infinita sin producto escalar no son

representables de ese modo. Los vectores en un

espacio euclídeo se pueden representar

geométricamente como segmentos de recta dirigidos.

Entonces un vector está formado por dos puntos en el plano o en el espacio. Por ello, para

determinar las componentes de un vector se procede de la siguiente manera:

Vector 𝐴 ⃗⃗ ⃗= (x2-x1; y2-y1).

ELEMENTOS DE UN VECTOR Los elementos de un vector son los siguientes: MODULO

Es el que indica el valor de la magnitud vectorial, desde el punto de vista de la geometría

es el tamaño del vector. En otras palabras se puede decir que el módulo es el número de

unidades que corresponden a una determinada magnitud que se representa con el vector.

DIRECCIÓN Es la línea de acción del vector, es decir su orientación respecto al eje de coordenadas

cartesianas. En el plano se define como el ángulo que forma el vector con el eje “x”

positivo, en posición normal. Cuando se habla de línea de acción del vector, también se

puede deducir que corresponde a la línea sobre la cual el vector se puede deslizar (en el

caso de vectores deslizantes).

�⃗⃗�

VECTOR EN EL ESPACIO

31

FÍSICA I


SENTIDO

En este caso indica a qué lado de

la dirección se dirige el vector, se

representa mediante la cabeza de

una flecha; en otras palabras el

sentido indica a qué lado de la

dirección actúa el vector.

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR Un vector se representa mediante una letra mayúscula o minúscula con una flecha en la parte

superior, así:

𝐴⃗⃗ ⃗ = se lee “vector A”

𝑎 = se lee “vector a”

| 𝐴 | = se lee módulo del vector A

CLASES DE VECTORES Existe una diversidad de clases de vectores, a continuación se indicará algunos de ellos:

VECTORES COLINEALES

Son los vectores que se encuentran contenidos en una misma línea de acción; es decir que

todos tienen la misma dirección.

Los vectores 𝐴⃗⃗ ⃗, �⃗⃗� , �⃗⃗� , son colineales

VECTORES PARALELOS

Son aquellos vectores cuyas líneas de acción son líneas paralelas

𝐴 �⃗� 𝐶

32

FÍSICA I


VECTORES IGUALES

Dos vectores son iguales cuando tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido.

También se llama vectores equipotentes.

𝐴 = �⃗�

VECTORES OPUESTOS

Dos vectores son opuestos cuando tienen igual módulo, igual dirección pero sentido

contrario.

En este caso se puede visualizar que el vector 𝐴 y el vector �⃗� , se encuentran en la misma

dirección, tienen el mismo módulo; pero sentido contrario; es decir:

𝐴 ≠ �⃗�

𝐴 = −�⃗�

VECTORES COPLANARES

Los vectores coplanares son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano.

En este caso todos los vectores son coplanares

5U

5U

𝐴

�⃗�

5U

5U

𝐴

�⃗�

33

FÍSICA I


VECTORES CONCURRENTES

Son los vectores que tienen el mismo origen o cuyas líneas de acción se intersectan en un

punto.

VECTORES LIBRES

Son aquellos vectores que pueden desplazarse libremente por la misma dirección, sin

variar su sentido y módulo. También se puede llamar vector deslizante

VECTOR FIJO

Es el vector que permanece fijo desde su posición inicial, tiene un punto de aplicación

definido; es decir es un vector que no se mueve.

VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES

Son los vectores que forman un ángulo de 900

𝐴

𝐴

𝐴

𝐴

�⃗�

34

FÍSICA I


VECTORES DE POSICIÓN

Son los vectores que sirven para definir la posición de un cuerpo en el plano o en el

espacio, para ello mantiene fijo su origen, aunque pueden variar con el transcurso del

tiempo la dirección, el sentido y el módulo.

Una forma de representar el vector posición es en función a los vectores unitarios: i, j y k

𝑟 = x𝑖 ⃗+ y𝑗 + z�⃗�

�⃗� = 5𝒊 ⃗⃗ + 10𝒋 + 8�⃗⃗�

VECTOR DESPLAZAMIENTO (�⃗⃗� )

Es el vector que implica el movimiento de un móvil de un punto A a un punto B ( pero

en línea recta), el vector desplazamiento (vectorial) tiene como módulo a la distancia

(escalar).

y

z

x

(5; 10; 8)

�⃗�

5

10

8

𝑑 r2

𝐴

�⃗�

r1

𝑑 = 𝑟 2 – 𝑟 1

X

Y

35

FÍSICA I


COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

1. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR DETERMINADO POR DOS

PUNTOS

Para determinar las componentes de un vector determinado por dos puntos, se resta cada

una de las componentes del punto final (P2), con sus correspondientes componentes del

P1, es decir:

- Las componentes rectangulares de un vector en el plano se determina así:

𝐴 = (x2-x1; y2-y1).

- Las componentes rectangulares de un vector en el espacio se determina así:

𝐴 = (x2-x1; y2-y1; z2-z1)

Gráficamente se puede representar así

Las componentes rectangulares del vector 𝐴 son:

�⃗⃗� = (X2 – X1; Y2 – Y1)

Es necesario aclarar que siempre para obtener las componentes rectangulares de un

vector determinado por dos puntos, se realiza la resta del punto final (flecha: sentido),

menos el punto inicial. Por eso en el caso del gráfico anterior se ha restado el punto P2

menos el punto P1. De acuerdo a la orientación del vector resultarán las componentes;

existirá casos en que las componentes sean negativas.

Es importante aclarar también que se denominan componentes rectangulares porque

X1 X2

Y1

Y2 P2 = (x2;y2)

P1= (x1; y1)

�⃗⃗� x =(x2- x1)

𝑨𝒚⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (y2 – y1) �⃗⃗�

36

FÍSICA I


entre ellas forman un ángulo recto.

Ejemplo utilizando números. Determinar las componentes rectangulares del vector 𝐴 ,

teniendo en cuenta el gráfico siguiente:

Entonces las componentes del vector se determinan así:

�⃗⃗� = (11-3: 8-2)

�⃗⃗� = (8: 6)

Es decir el valor de 𝑨𝒙⃗⃗⃗⃗ ⃗ es 8 y el valor de 𝑨𝒚⃗⃗⃗⃗ ⃗ es 6

2. COMPONENTES DE UN VECTOR DETERMINADO EN FUNCIÓN AL ÁNGULO

Teniendo en cuenta el siguiente vector:

Para determinar las componentes se recurre a la función seno y coseno del ángulo β. De la

siguiente manera:

Para la componente en x con la función coseno:

𝐶𝑜𝑠 𝛽 = 𝑨𝒙

𝑨 ; de esto se puede determinar que: 𝑨𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝜷

�⃗⃗� �⃗⃗� y

�⃗⃗� x

𝑨𝒚⃗⃗⃗⃗ ⃗

β

�⃗⃗�

Graficando las

componentes

rectangulares,

se tiene el

siguiente

gráfico β

�⃗⃗�

𝑨𝒙⃗⃗⃗⃗ ⃗

3 11

2

8 P2 = (11;8)

P1= (3;2)

37

FÍSICA I


Para la componente en y con la función seno:

𝑆𝑒𝑛𝛽 = 𝑨𝒚

𝑨 ; de esto se puede determinar que: 𝑨𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝜷

El ángulo este caso debe coincidir con el eje x, además se debe tener en cuenta que de acuerdo

al cuadrante donde se encuentra el vector, las funciones trigonométricas tienen signo positivo

o negativo. Para ello, se puede resumir en el siguiente gráfico.

Ejemplo 1. Determinar el valor numérico de las componentes rectangulares del vector �⃗⃗�

Explicación y desarrollo

1. El vector 𝐴 se encuentra en el primer cuadrante del plano cartesiano, por lo tanto la

componente en x como la componente en y son positivas.

2. El ángulo es de 53º y como está en el primer cuadrante del plano cartesiano, todas sus

funciones (seno, conseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) son positivas.

3. Luego se aplica 𝑨𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝜷 para la componente en x y 𝑨𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝜷 para la

X

Y

Ax Positivo

Ay Positivo

Ax negativo

Ay Positivo

Ax negativo

Ay negativo

Ax positivo

Ay negativo III

Sen, cos, tg, cgt,

sec, csc

Todas son positivas Sen y csc: Positivas

Cos, tg, ctg, sec:

Negativas

Tg y ctg: Positivas

Sen, cos sec, csc:

Negativas Sen, tg, ctg, csc:

Negativas

cos y sec: Positivas

I II

IV

�⃗⃗�

Graficando componentes rectangulares

530

�⃗⃗� 𝒚

�⃗⃗� x

530

�⃗⃗� �⃗⃗� = 30 U

38

FÍSICA I


componente en y

Entonces:

Componente en X

𝑨𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝜷;

Ax = 30. Cos 530

Ax = 30. (3/5)

Ax = 18

Componente en Y

𝑨𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝜷

𝑨𝒚 = 𝟑𝟎𝒔𝒆𝒏𝟓𝟑𝟎

𝑨𝒚 = 𝟑𝟎(𝟒

𝟓)

𝑨𝒚 = 𝟐𝟒

Las componentes del vector son en el eje x 18 y en el eje y es 24; por lo que el vector queda

representado en función a sus componentes de la siguiente manera:

�⃗⃗� = (18; 24)

Ejemplo 2. Determinar el valor numérico de las componentes rectangulares del vector �⃗⃗�

Explicación y desarrollo

1. El vector �⃗� se encuentra en el segundo cuadrante del plano cartesiano, por lo tanto la

componente en x es negativa y la componente en y es positiva.

2. El ángulo es de 370 como está en el segundo cuadrante del plano cartesiano la función

seno es positiva y la función coseno es negativa.

�⃗⃗�

Graficando componentes rectangulares

�⃗⃗� ⃗⃗ x

370

�⃗⃗� 𝒚

370

�⃗⃗�

�⃗⃗� = 80 U

39

FÍSICA I


3. Luego se aplica 𝑩𝒙 = 𝑩𝒄𝒐𝒔𝜷 para la componente en x y 𝑩𝒚 = 𝑩𝒔𝒆𝒏𝜷 para la

componente en y

Componente en X

𝑩𝒙 = 𝑩𝒄𝒐𝒔𝜷;

Bx = 80. Cos 370

Bx = 80. (-4/5)

Bx = -64

Componente en Y

𝑩𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝜷

𝑩𝒚 = 𝟖𝟎𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕𝟎

𝑩𝒚 = 𝟖𝟎(𝟑

𝟓)

𝑩𝒚 = 𝟒𝟖

Las componentes del vector son en el eje x -64 y en el eje y es 48; por lo que el vector

queda representado en función a sus componentes de la siguiente manera:

�⃗⃗� = (-64; 48)

OPERACIONES CON VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

1. Adición de vectores colineales

En geometría se dice que dos vectores son colineales cuando tienen la misma dirección,

es decir que son vectores directores de rectas paralelas. Para sumar vectores colineales, se

lo realiza algebraicamente, teniendo en cuenta el sentido de los vectores.

Ejemplo:

Determinar el módulo del vector resultante de la adición de los siguientes vectores

colineales.

Si: �⃗⃗� = 𝟖 𝑼 ; �⃗⃗� = 𝟏𝟐 𝑼 ; �⃗⃗� = 𝟏𝟎𝑼 ; �⃗⃗� = 𝟕 𝑼 ;

𝐴 �⃗� 𝐶 𝐶

40

FÍSICA I


�⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝑩⃗⃗ ⃗ + �⃗⃗� + �⃗⃗�

�⃗⃗� = 8U + 12U + (-10U) +7U

�⃗⃗� =17 U

2. Adición y sustracción de dos o más vectores determinados por puntos

Pasos para determinar las resultante y el módulo de la resultante de �⃗⃗� + B⃗⃗

- Primero se determina las componentes del vector �⃗⃗� y del vector �⃗⃗� ; para ello se restan

el punto final (donde está la flecha) menos el punto inicial (origen del vector).

�⃗⃗� = (P2- P1)

�⃗⃗� = (X2- X1; Y2- Y1 )

�⃗⃗� = (Q2- Q1)

�⃗⃗� = (X2- X1; Y2- Y1 )

- Luego se suman la componente en x del vector 𝐴 con la componente en X del vector

�⃗� ; la suma de la componente en Y del vector 𝐴 con la componente en Y del vector �⃗� ,

determinando así las componentes de la resultante de 𝐴 ⃗⃗ ⃗+ �⃗�

�⃗⃗�

�⃗⃗�

P2= (X2; Y2)

Q2= (X2; Y2)

Q1= (X2; Y2)

P1= (X2; Y2)

41

FÍSICA I


- Finalmente para determinar el módulo de 𝐴 ⃗⃗ ⃗+ �⃗� , se suman la componente en X al

cuadrado más la componente en Y al cuadrado.

Ejemplo: Determinar la resultante del vector 𝑨 ⃗⃗ ⃗+ �⃗⃗� , teniendo en cuenta el siguiente

gráfico

Primero se determina las componentes de cada uno de los vectores

𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (X2 – X1; Y2 – Y1)

𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (14 –2; 12 – 3)

𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (12; 9).

De donde se deduce que Ax = 12 y Ay = 9

𝑩 ⃗⃗ ⃗ = (X2 – X1; Y2 – Y1)

𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (10 – -6; -15 – - 3)

𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (16; -12)

De donde se deduce que Bx = 16 y By = -12

Componentes del vector �⃗⃗� = 𝑨 ⃗⃗ ⃗+ �⃗⃗�

�⃗⃗� = (Ax + Bx ; Ay + By)

�⃗⃗� = (12 + 16; 9 + -12)

�⃗⃗� = (28; -3)

Módulo de la resultante

�⃗⃗�

�⃗⃗�

P2= (14; 12)

Q2= (10; -15)

Q1= (-6; -3)

P1= (2; 3)

42

FÍSICA I


�⃗⃗� = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

�⃗⃗� = √(𝟐𝟖)𝟐 + (−𝟑)𝟐

�⃗⃗� = √𝟕𝟗𝟑 �⃗⃗� =28,16

No se debe confundir la resultante con el módulo de la resultante.

3. Adición y sustracción de dos vectores no colineales.

Son vectores que gráficamente se pueden representar de la siguiente manera:

Para realizar la adición o sustracción de dos vectores, como en este c aso; se puede

determinar el módulo de la resultante mediante dos métodos: Método gráfico y método

analítico (algunos autores llaman método numérico o algebraico.

El ángulo que se tiene en cuenta para la adición de vectores, siempre debe ser el ángulo

que se forman entre los orígenes de los vectores.

Método analítico

Para calcular el módulo de la resultante de �⃗⃗� + �⃗⃗� , se recurre a la siguiente expresión

matemática:

𝑹𝟐 = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜭

|𝑹| = √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜭

Teniendo en cuenta los mismos vectores para determinar el módulo de la resultante de

�⃗⃗� - �⃗⃗� , se recurre a la siguiente expresión matemática:

𝑹𝟐 = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜭

|𝑹| = √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜭

Es necesario aclarar que �⃗⃗� - �⃗⃗� es diferente de �⃗⃗� - �⃗⃗�

Es necesario recordar que:

�⃗⃗�

ϴ

ϴ �⃗⃗�

43

FÍSICA I


- Si el ángulo ϴ es obtuso, el módulo de la adición de vectores es menor que el

módulo de la diferencia.

- Si el ángulo ϴ es recto, el módulo de la diferencia es igual al módulo suma

Por ejemplo, determinar el módulo de �⃗⃗� + �⃗⃗� teniendo en cuenta los siguientes vectores:

𝑹𝟐 = 𝟓𝟎𝟐 + 𝟑𝟎𝟐 + 𝟐(𝟓𝟎)(𝟑𝟎)𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝟎

|𝑹| = √𝟓𝟎𝟐 + 𝟑𝟎𝟐 + 𝟐(𝟓𝟎)(𝟑𝟎)𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝟎

|𝑹| = √𝟐𝟓𝟎𝟎 + 𝟗𝟎𝟎 + 𝟐(𝟓𝟎)(𝟑𝟎)𝟏

𝟐

|𝑹| = √𝟐𝟓𝟎𝟎 + 𝟗𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎𝟎

|𝑹| = √𝟒𝟗𝟎𝟎

|𝑹| = 70

Métodos Gráficos

Método del paralelogramo

El método del paralelogramo consiste en graficar los dos vectores, con su magnitud a

escala, dirección y sentido originales, en el origen, de manera que los dos vectores inicien

en el mismo punto.

Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se

construyen trazando líneas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud.

El vector suma resultante se representa a escala mediante un segmento de recta dado por

la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta

el punto final donde se intersectan las paralelas trazadas de los vectores.

�⃗⃗�

60°

�⃗⃗�

�⃗⃗� = 𝟓𝟎

�⃗⃗� = 𝟑𝟎

44

FÍSICA I


Ejemplo: Mediante el método del paralelogramo determinar �⃗⃗� + �⃗⃗�

- Se proyecta la línea de acción del vector A

- Donde termina el vector �⃗⃗� se mide un ángulo de 600 y se traza la paralela del vector

�⃗⃗�

- Luego se traza la paralela del vector 𝐀 ⃗⃗ ⃗

- Finalmente se traza la resultante desde el punto inicial al punto final de ambos

vectores, así:

�⃗⃗� ′

�⃗⃗�

600

�⃗⃗�

�⃗⃗�

600

�⃗⃗�

600

�⃗⃗�

600

�⃗⃗�

600

�⃗⃗�

600

�⃗⃗�

�⃗⃗� ’

600

�⃗⃗�

600

�⃗⃗�

�⃗⃗� ’

45

FÍSICA I


Método del triángulo

Mediante este método, un vector se debe trasladar (sin cambiarle sus propiedades:

ángulo, módulo y dirección), de tal forma que el “origen” del que se traslada se ubica en

la cabeza (flecha del otro). El vector resultante se representa por la "flecha" que une el

origen del vector que no se desplaza con la cabeza (flecha) que está libre, en otras

palabras con el vector que se desplaza.

Ejemplo: Determinar mediante el método del triángulo la resultante de �⃗⃗� + �⃗⃗�

En este caso para determinar R = �⃗⃗� + �⃗⃗� desplazaremos la paralela del vector �⃗⃗� donde

está la flecha del vector �⃗⃗� , teniendo en cuenta que mantenga su dirección (ángulo),

sentido y módulo. Así:

Método del polígono

Es necesario indicar que el triángulo es un polígono, pero el método del polígono como

tal se utiliza para la adición de más de dos vectores, para lo cual se coloca sin variar sus

propiedades: ángulo, módulo y dirección; de tal forma que el vector resultante es la unión

con una flecha (vector) del punto de origen del primer vector con el final del último

vector, como se ve en el siguiente gráfico:

�⃗⃗�

�⃗⃗�

ϴ

�⃗⃗�

�⃗⃗�

ϴ

46

FÍSICA I


4. Resultante máxima y resultante mínima de dos vectores

La resultante de dos vectores es máxima, cuando forman un ángulo nulo o en otras

palabras son colineales y tienen la misma dirección y sentido; es decir que para encontrar

la suma de dichos vectores se lo realiza algebraicamente.

�⃗� max = �⃗⃗� + �⃗⃗�

Ejemplo: Determinar la resultante máxima de dos vectores de 20 N y 28 N

�⃗� max = 20 N + 28 N

�⃗� max = 48 N

La resultante de dos vectores es mínima cuando forman entre sí un ángulo de 1800, es

decir tienen la misma dirección pero sentido contrario. En este caso para determinar la

resultante mínima los vectores se restan algebraicamente.

�⃗� min = �⃗⃗� - �⃗⃗�

Ejemplo: Determinar la resultante mínima de dos vectores: 𝐴 = 40 N y �⃗� = 28 N

�⃗� min = 𝟒𝟎 -𝟐𝟖

�⃗� min = 𝟏𝟐

5. Resultante de dos vectores ortogonales

Si los vectores forman entre sí un ángulo recto; es decir son ortogonales o

perpendiculares, el módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

�⃗⃗� = �⃗⃗� +�⃗⃗� +�⃗⃗� +�⃗⃗�

�⃗⃗�

𝐂

�⃗⃗�

�⃗⃗�

�⃗⃗� �⃗⃗�

�⃗⃗� �⃗⃗�

1800

47

FÍSICA I


�⃗⃗� 𝟐 = �⃗⃗� 𝟐 + �⃗⃗� 𝟐

6. Multiplicación de un vector por un escalar.

Si se tiene en cuenta que 𝑨 ⃗⃗ ⃗ es una cantidad vectorial (representado por un vector) y K

una cantidad escalar; entonces K�⃗⃗� es un vector paralelo del vector A, pero indicando que

el sentido del vector depende del signo de K.

K pertenece al conjunto de los números reales.

𝐴 = 2u

K = 8

Determinar K�⃗⃗�

K�⃗⃗� = 8 (2u) = 16u

Es necesario indicar que:

- Si K es positivo, los vectores �⃗⃗� y K�⃗⃗� son paralelos y de igual sentido.

- Si K es negativo, los vectores �⃗⃗� y K�⃗⃗� son paralelos y de sentidos opuestos.

Cuando el vector se representa en función a sus componentes rectangulares, la cantidad

escalar multiplica a cada una de las componentes.

En el plano: �⃗⃗� = (x; y)

Entonces:

K�⃗⃗� = K(x; y)

K�⃗⃗� =Kx ; Ky

7. Vector unitario

Dado un vector no nulo �⃗⃗� = (x; y), se denomina vector unitario �⃗⃗� al vector que tiene la

misma dirección que el vector �⃗⃗� , pero como módulo la unidad, para determinar se tiene

�⃗⃗� �⃗⃗�

�⃗⃗�

48

FÍSICA I


en cuenta lo siguiente:

�⃗⃗� = �⃗⃗�

�⃗⃗� = (

𝐗

�⃗⃗� ;

𝐘

�⃗⃗� )

Ejemplo: Dado el vector �⃗⃗� = (3; 4), determinar el vector unitario �⃗⃗� .

Para determinar el vector unitario es necesario tener las componentes del vector, en este

caso la componente en x es 3 y la componente en y es 4; entonces es necesario

determinar el módulo del vector �⃗⃗� .

|�⃗⃗� | = √𝟑𝟐 + 𝟒𝟐

|�⃗⃗� | = √𝟗 + 𝟏𝟔

|�⃗⃗� | = √𝟐𝟓

|�⃗⃗� | = 𝟓

Luego el vector unitario es:

�⃗⃗� = (𝟑;𝟒)

𝟓 = (

𝟑

𝟓;

𝟒

𝟓)

Es decir que el vector �⃗⃗� = (𝟑

𝟓;

𝟒

𝟓) tiene la misma dirección que el vector �⃗⃗� = (3; 4).

El vector �⃗⃗� = (𝟑

𝟓;

𝟒

𝟓), tiene como módulo la unidad, como se demuestra a continuación.

|�⃗⃗� | = √(𝟑

𝟓)

𝟐

+ (𝟒

𝟓)

𝟐

|�⃗⃗� | = √𝟗

𝟐𝟓+

𝟏𝟔

𝟐𝟓

|�⃗⃗� | = √𝟐𝟓

𝟐𝟓

|�⃗⃗� | = √𝟏

|�⃗⃗� | = 𝟏

Según Serway (2012), las cantidades vectoriales con frecuencia se expresan en términos

de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una

magnitud de exactamente uno (1). Los vectores unitarios se usan para especificar una

dirección conocida y no tienen otro significado físico. Son útiles exclusivamente como

una convención para describir una dirección en el plano o en el espacio. Se usarán los

símbolos �̂�, �̂� y �̂� para representar los vectores unitarios que apuntan en las direcciones

49

FÍSICA I


x, y y z positivas, respectivamente. (Los “sombreros”, o circunflejos, sobre los símbolos

son una notación estándar para vectores unitarios.) Los vectores unitarios �̂�, �̂� y �̂� forman

un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares en un sistema coordenado de

mano derecha, como se muestra en la figura siguiente:

Como se puede ver en el gráfico el vector �⃗⃗� tiene tres componentes que se pueden

expresar en función a los vectores �̂�, �̂� y �̂�. Ejemplo representar mediante un gráfico el

vector �⃗⃗� = (3�̂�; 4�̂�; 6�̂�)

Fuente: Red

𝐴 6�̂�

3�̂�

4𝒋 ̂

50

FÍSICA I


8. Producto escalar o producto interno

Llamado también producto punto. El producto interno de dos vectores es una cantidad

escalar.

Cuando un vector está determinado por sus componentes, el producto escalar se

determina de la siguiente manera: (si 𝐴 . �⃗� ε Rn)

�⃗⃗� .�⃗⃗� = (a1b1 + a2b2 + …. + anbn)

Ejemplo

Si �⃗⃗� = (3;-4) y �⃗⃗� = ( 5; 2)

�⃗⃗� .�⃗⃗� = (3)(5) + (-4)(2)

�⃗⃗� .�⃗⃗� = 15 – 8

�⃗⃗� .�⃗⃗� = 7

Teorema: Sean �⃗⃗� y �⃗⃗� dos vectores en R3 y sea ϴ el ángulo que forman entre ellos, de tal

forma que: 0 ≤ ϴ ≤ π; entonces:

�⃗⃗� .�⃗⃗� = ‖𝐴 ‖‖�⃗� ‖ cos ϴ

Propiedades del producto escalar de dos vectores

a) El producto escalar de A.B = B.A (Propiedad conmutativa).

b) El producto escalar de r(A.B) = (rA).B (propiedad de asociatividad escalar.

c) El producto escalar de C. (A+B) = C.A + C.B (propiedad distribuitiva)

d) A. A = 0, si y solo si A = 0

9. Producto cruz o producto vectorial

Desde el punto de vista de las Matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto

cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El

resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto

normal al plano que los contiene, siendo el resultado del producto cruz entre dos vectores

un tercer vector.

Si �⃗⃗� = Ax, Ay, Az y Si �⃗⃗� = Bx, By, Bz

�⃗⃗� x �⃗� = | 𝑖̂ 𝑗̂ �̂�

𝑨𝒙 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝑩𝒙 𝐵𝑦 𝐵𝑧

| = |𝑨𝒚 𝑨𝒛𝑩𝒚 𝑩𝒛

| �̂� - |𝑨𝒙 𝑨𝒛𝑩𝒙 𝑩𝒛

| �̂� + - |𝑨𝒙 𝑨𝒚𝑩𝒙 𝑩𝒚

| �̂�

51

FÍSICA I


Una definición formal del producto vectorial. Dados dos vectores cualesquiera �⃗⃗� y �⃗� , el

producto vectorial �⃗⃗� x �⃗� , se define como un tercer vector �⃗⃗� , que tiene una magnitud de

AB senϴ, donde ϴ es el ángulo entre �⃗⃗� y �⃗� (Serway). Es decir, si �⃗⃗� se conoce por:

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� , su magnitud es C = AB senϴ

La cantidad AB senϴ es igual al área del paralelogramo formado por �⃗⃗� 𝐲 �⃗⃗� , como se

muestra en la figura siguiente (Serway). La dirección de �⃗⃗� es perpendicular al plano

formado por �⃗⃗� 𝐲 �⃗⃗� , y la mejor forma de determinar esta dirección es usar la regla de la

mano derecha. Los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de �⃗⃗� y luego “se

enrollan” hacia �⃗⃗� a través del ángulo ϴ. La dirección del pulgar recto hacia arriba es la

dirección de 𝑨 ⃗⃗ ⃗x �⃗⃗� = �⃗⃗� . Debido a la notación 𝑨 ⃗⃗ ⃗x �⃗⃗� , con frecuencia se lee “�⃗⃗� cruz ” �⃗⃗� , por

esto el término producto cruz.

10. Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo

existente entre los vectores, mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la

multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.

𝑪𝒐𝒔 = 𝑨. 𝑩

‖𝑨‖‖𝑩‖

52

FÍSICA I


EJERCICIOS PARA RESOLVER III

NIVEL BÁSICO

1. Se tiene un vector cuyo origen es (4; 6) y el punto final (extremo) (16; 22).

Determinar:

- Componentes del vector

- Módulo del vector

- Dirección del vector

2. ¿Cuál es el valor del ángulo que deben formar dos vectores de módulos 30u y 50u para que

al sumarlos el módulo del vector resultante sea 70u?

3. Si en el gráfico que se muestra cada cuadrado tiene 2 cm de lado, determinar el vector

resultante y módulo de la resultante de sumar los cinco vectores (�⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗� , �⃗⃗� , �⃗� )

4. Se tiene un vector �⃗� = 6𝑖̂ +24𝑗 ̂+ 8�̂�.

Determinar:

a) 2�⃗�

b) −1

2B

c) El valor del módulo del vector B

5. Teniendo en cuenta que el ángulo que forman los vectores 𝑎 y �⃗� es de 900. Determinar

𝑎 + �⃗�

𝑎 − �⃗�

6. Teniendo en cuenta los vectores del siguiente gráfico. Determinar el módulo de 𝑨 ⃗⃗ ⃗+ �⃗� y el

módulo de 𝑨 ⃗⃗ ⃗- �⃗� . Donde �⃗⃗� = 15 y �⃗⃗� = 25

7. Se tienen los vectores

�⃗⃗�

�⃗⃗�

53

FÍSICA I


�⃗� = 4𝑖̂ -6𝑗 ̂+ 2�̂�

�⃗⃗� = 3�̂� -5𝒋 ̂+ 3�̂�.

Si �⃗� -2�⃗⃗� + �⃗⃗� = 0

Determinar:

a) Componentes del vector �⃗⃗�

b) Módulo del vector �⃗⃗�

8. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico, determinar el módulo, dirección y sentido del

vector que al sumarlo con el módulo de la resultante de �⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗⃗� , dé como resultado cero.

Graficar.

9. Determinar el módulo de la resultante en función a “𝑧 ”, teniendo en cuenta el siguiente

gráfico.

10. Teniendo en cuenta el siguiente sistema de vectores:

Determinar:

a) Componentes del vector resultante

b) Graficar el vector resultante

c) Módulo del vector resultante

d) Dirección del vector resultante respecto al eje X positivo.

�⃗⃗� 𝐴

10m 20m 2m

530 370

�⃗⃗�

�⃗�

�⃗⃗�

�⃗⃗�

�⃗⃗� �⃗⃗�

�⃗⃗�

370 530

530 450

�⃗⃗�

𝐴 = 10√2

𝐵 ⃗⃗ ⃗ = 15

𝐶 ⃗⃗ ⃗ = 25

𝐷 ⃗⃗ ⃗ = 20

54

FÍSICA I


11. Dos vectores forman entre si un ángulo de 45 grados sexagesimales uno de ellos tiene

un módulo de 75u y la resultante un módulo de 300u. Determinar el valor del seno del

ángulo ∝.

12. Determinar el módulo de la resultante total del siguiente sistema de vectores. (El

hexágono es regular).

13. Si el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados es cero. Determinar el

ángulo ∝

14. Dos vectores coplanares y concurrentes forman entre sí un ángulo de 𝜋

3 𝑟𝑎𝑑ianes. La

adición de ambos vectores dan como módulo de la resultante 70 unidades; se sabe además

que un vector es los 3/5 del otro. Hallar el módulo de cada uno de los vectores.

15. En el plano cartesiano existe el sistema de tres vectores: El vector 𝐴 tiene como módulo

20 u y forma un ángulo de 300 con el eje “x” horizontal; el vector �⃗� tiene como módulo 50

u, se encuentra en el segundo cuadrante y forma un ángulo de 530 con el eje “y” positivo

y vector 𝐶 ubicado en el tercer cuadrante con un módulo de 80 unidades. Determinar el

ángulo que forma el vector 𝐶 , con el eje “y” negativo.

16. Determine el vector resultante del siguiente sistema de vectores si ABCD es un

Recordar que:

𝒔𝒆𝒏 ∝

𝑨=

𝒔𝒆𝒏 𝜭

�⃗⃗� + �⃗⃗�

�⃗⃗�

∝ 530

�⃗⃗�

8m

370 ∝

370

25 u

100 u

30 u

70 u

55

FÍSICA I


rectángulo; además 𝐵𝑀//𝐶𝑁; 𝐴𝑀//𝐷𝑁. Dar la respuesta en función a 𝑁𝐶

17. Si el módulo del vector 𝐴 es 10 y del vector 𝐵 ⃗⃗ ⃗es 6. Calcular el módulo de la resultante.

18. Sabiendo que el módulo del vector resultante se encuentra en el eje vertical, calcular el

módulo del vector resultante.

19. Con los vectores mostrados, determinar la dirección del vector resultante, respecto al eje

“x” positivo.

20. Determinar el módulo del vector resultante de:

B

A

C

D

N M

500 1100

𝐴 �⃗� Recuerda:

400

500

√61

6

5

370 530

35

30 𝐹

2√3

10

y

8

600

4

300 3

a

56

FÍSICA I


NIVEL MEDIO 21. Determinar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados en la figura, cada

uno de los cuadraditos tiene de lado 4m.

22. Determinar el módulo y dirección de la resultante, teniendo en cuenta el siguiente gráfico:

23. Determinar la medida el ángulo “β” para que la resultante se encuentre en el eje “x”

24. Determinar el módulo de la resultante, si la figura mostrada es un cubo de arista 6.

25. Calcular el módulo de la resultante del siguiente sistema de vectores:

90 120

370 530

16

10

β

300

1350

1270

15 12√2

10

57

FÍSICA I


26. Si el lado de un cuadrado es “a”; determinar la magnitud del vector resultante del grupo

de vectores mostrados.

27. Determinar el módulo de la resultante de la diferencia de los vectores mostrados.

28. Se tiene dos vectores compuestos (2�⃗� + �⃗� ) y (3�⃗� − �⃗� ) que forman entre si un ángulo de

530; siendo sus módulos respectivos iguales a 15 y 7 unidades. ¿Cuál es el módulo del

vector �⃗� ?

29. Si se tiene los siguientes vectores:

𝐴 = 2𝑖 ̂ + 3𝑗̂ − 2�̂�

�⃗� = 4𝑖 ̂ − 2𝑗̂ − 3�̂�

𝐶 = 𝑖 ̂ + 2𝑗̂ + 4�̂�

Determinar:

a) 2𝐴 - 𝐶

b) (�⃗� + 𝐶 ) – 2𝐴

c) 𝐴 .�⃗�

d) 𝐴 X�⃗�

e) 2𝐴 − 𝐶

f) Graficar en el espacio 𝐴 + 𝐶

�⃗�

𝐴

58

FÍSICA I


30. Teniendo en cuenta el sistema de vectores

Determinar la dirección del vector que al sumarse con el módulo del vector resultante

de 𝐴 + �⃗� + 𝐶 + �⃗⃗� . Expresar ambos vectores en función a sus componentes rectangulares

y la dirección de cada uno de ellos en función al eje “x” positivo.

NIVEL AVANZADO

31. En el sistema de vectores, “O” es el centro de la circunferencia. Determinar el

módulo de la resultante en función del radio “R”.

32. En el sistema de vectores que aparecen sobre el hexágono regular de 8m de lado,

determinar el módulo de la resultante.

�⃗⃗� �⃗⃗�

�⃗⃗�

530 530

370 450

�⃗⃗�

𝐴 = 15√2

𝐵 ⃗⃗ ⃗ = 40

𝐶 ⃗⃗ ⃗ = 30

𝐷 ⃗⃗ ⃗ = 50

O

600

𝑑

𝑒

𝑎 �⃗�

𝑐

�⃗� �⃗⃗�

𝐶

�⃗� 𝐴

59

FÍSICA I


33. En un hexágono regular de 16 cm de lado, se presentan un conjunto de vectores.

Determinar el módulo de la resultante (Adaptado de Salvador Timoteo)

34. Dos vectores de 10 y 20 unidades, al sumarse el vector resultante forma un ángulo

de 300 con el vector de mayor módulo. Determinar el ángulo que forman los

vectores por su origen.

35. El máximo módulo de la resultante de dos vectores es 24 y el mínimo es cero.

¿Cuál es el módulo de la resultante cuando ambos vectores forman un ángulo de

600?

36. Determinar el módulo de la resultante, si se sabe que CD=16 y AB = 12.

37. Expresar “𝑥 ” en función de los vectores 𝑎 y �⃗� (San Marcos)

38. Se tienen dos vectores 𝐴 y �⃗� para los cuales se cumple que :

𝐴 + �⃗� = 2𝐴 + �⃗� = 𝐴

Determinar en qué relación se encuentran los módulos de los vectores 𝐴 ; �⃗� y el ángulo

que forman dichos vectores. (San Marcos)

𝑥

𝑎 �⃗�

2𝑐𝑚 1 𝑐𝑚

C D

B

A

60

FÍSICA I


39. En el paralelogramo mostrado, determinar el vector resultante en función de los vectores

�⃗⃗� y �⃗� . (WEZ-2014)

40. Se tiene dos vectores, que tienen como resultante máxima de 32 unidades y una mínima

de 8 unidades. Determinar:

a) El módulo de la resultante cuando los vectores forman un ángulo de 1270

b) La dirección de la resultante en función al eje x positivo

c) Expresar la resultante en función a sus componentes rectangulares.


Guía adicional

61

FÍSICA I


CAPÍTULO V

CINEMÁTICA

La Cinemática es parte de la Mecánica Clásica que se encarga del estudio de los movimientos

de los cuerpos independientemente de las causas que lo producen.

MOVIMIENTO

El movimiento es un fenómeno

físico que se define como el

cambio de posición que

experimentan los cuerpos en el

espacio(es decir que en un

momento está en un lugar y en

otro momento en otro lugar), con

respecto al tiempo y a un punto de

referencia, variando la distancia de

dicho cuerpo con respecto a ese punto o sistema de referencia, describiendo una trayectoria.

CLASES DE MOVIMIENTO POR SU TRAYECTORIA

Teniendo en cuenta la trayectoria del móvil, se puede considerar las siguientes clases de

movimiento.

Movimiento rectilíneo: Este movimiento se caracteriza porque la trayectoria que describe el

punto es una línea recta.

A B

Trayectoria una línea recta

62

FÍSICA I


Movimiento curvilíneo: Este tipo de movimiento se diferencia del anterior porque el móvil o

describe una curva como trayectoria, cambiando su dirección a medida que se desplaza.

Dentro de este tipo de movimiento se puede considerar:

Teniendo en cuenta la trayectoria del sólido, se puede considerar las siguientes clases de

movimiento.

Movimiento de Traslación: En este caso el móvil cambia de un lugar a otro, pero todos los

puntos del sólido describen trayectorias paralelas, no necesariamente rectas. Por ejemplo, el

movimiento de la tierra en su órbita alrededor del sol.

Movimiento de Rotación. Este tipo de movimiento es el que realiza un cuerpo sobre su propio

eje; en este caso, todos los puntos del sólido describen trayectorias circulares concéntricas. Por

ejemplo la rotación de la tierra sobre su propio eje.

Teniendo en cuenta la velocidad del móvil, el movimiento puede ser:

Movimiento uniforme: En este caso la velocidad del móvil durante el movimiento es

constante; es decir, la velocidad es la misma en cualquier momento.

Movimiento uniformemente variado: En este caso el móvil experimenta una aceleración

constante (si negativa retardado, si positiva acelerado) como es el caso de los cuerpos en caída

libre sometidos a la aceleración de la gravedad.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

MÓVIL. Es el cuerpo que realiza el movimiento mecánico respecto al sistema de referencia.

Por ejemplo un avión realiza un movimiento alejándose al Sur del Aeropuerto de

Cajamarca.

M. Curvilíneo M. Circular M. Elíptico M. parabólico

63

FÍSICA I


TRAYECTORIA. Es la ruta por donde el móvil realiza el movimiento, en otras palabras es la

línea que une la sucesión de puntos por donde pasa el móvil, por lo tanto puede

tomar desde formas conocidas a formas irregulares.

RECORRIDO. Por la mayoría de la bibliografía consultada, asume que el recorrido es la

cantidad que mide la trayectoria. Es decir, en el caso por ejemplo del insecto del

gráfico anterior lo que mide de A a B es el recorrido.

DESPLAZAMIENTO. Es una magnitud física vectorial que determina el cambio de posición

que experimenta el móvil al realizar el movimiento. En forma gráfica está

representado por una línea recta que une punto inicial con punto final del

movimiento.

Como se puede deducir del gráfico, la trayectoria está constituida por todos los

puntos por donde se mueve el insecto; sin embargo el desplazamiento está

constituido por la unión del punto inicial al punto final. Es decir, que si un cuerpo

A

B

En este caso la

trayectoria que el

insecto realiza al volar es

la línea punteada desde

A hasta B

Desplazamiento

Trayectoria

64

FÍSICA I


parte de un punto A y luego de realizar un determinado movimiento llega al mismo

punto de partida, el desplazamiento será nulo.

Una forma más completa para definir al desplazamiento es indicando que es una

magnitud vectorial que se define como el cambio de posición que realiza un cuerpo

con respecto a un sistema de referencia (punto de referencia).

A Continuación una ilustración de la Editorial San Marcos (2014).

Teniendo en cuenta el método del polígono en la adición de vectores, se puede

deducir que:

�⃗� 𝟏 + �⃗⃗� = �⃗� 𝟐

�⃗⃗� = �⃗� 𝟐 − �⃗� 𝟏

Es decir que el vector desplazamiento depende de la variación de r.

�⃗⃗� = ∆�⃗�

Teniendo en cuenta el gráfico, 𝑟 constituye el vector posición o llamado también

radio vector, siendo este el que determina la posición de un cuerpo en cada instante

del tiempo.

65

FÍSICA I


Para ejemplificar la posición de un cuerpo se puede tener en cuenta el sistema de

coordenadas. Por ello se puede ubicar en el espacio, por ejemplo el siguiente

gráfico:

En seguida se explica el cambio de posición de la liebre, respecto al eje de

coordenadas (árbol).

2

4

x

y

z

La posición de la

liebre es: (4; 2;0)

La posición 1 de la liebre

es: (5; 2;0)

La posición 2 de la liebre

es: (1; 5;0)

�⃗� = p2 – p1

�⃗� = (𝟏; 𝟓; 𝟎) − (𝟓; 𝟐; 𝟎)

�⃗� = (-4; 3; 0)

|�⃗� | = √(−𝟒)𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟎𝟐

|�⃗� | = 𝟓 u

5

1

2

5

x

y

z

66

FÍSICA I


DISTANCIA. Es el módulo del desplazamiento. En el caso del gráfico anterior, el

módulo del desplazamiento es 5 unidades

TIEMPO. Es la duración del movimiento, es decir que todo cuerpo, partícula o

punto que realiza movimiento, lo realiza en un determinado momento.

SISTEMA DE REFERENCIA. Es aquel lugar, cuerpo o posición del espacio

respecto a la cual se tiene en cuenta el movimiento. En el gráfico de la página

anterior el sistema de referencia es el punto cero de los ejes de coordenadas, donde

se ha ubicado intencionalmente un árbol.

OTROS CONCEPTOS RELACIONADOS CON EL MOVIMIENTO

Relatividad en el movimiento mecánico. Los elementos del movimiento dependen

del sistema de referencia; es decir, que el movimiento no es igual para todos los

observadores ubicados en diferentes puntos; más aún si es que cada uno de los

observadores toma diferente punto de referencia. Por ejemplo, una persona sentada

cerca de una casa está en estado estático, pero si existe un observador en el espacio

observará que la persona y la casa no están en estado estático, porque se están

moviendo alrededor del sol.

Rapidez. La rapidez o celeridad promedio es la relación entre la distancia recorrida

y el tiempo empleado en completarla. La celeridad es una magnitud escalar.

V = LT-1

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Es aquel movimiento en el cual el móvil describe una trayectoria rectilínea, pero recorre

espacios iguales en tiempos iguales.

2 segundos 2 segundos 2 segundos 2 segundos

15 m 15 m 15 m 15 m

67

FÍSICA I


Expresiones Matemáticas para el movimiento rectilíneo uniforme

Velocidad ( �⃗⃗� )

𝒗 =𝒅

𝒕

d = v.t

𝒕 =𝒅

𝒗

Tiempo de encuentro (te) entre dos móviles separados por una distancia (d).

𝒕𝒆 =𝒅

𝐕𝐀 + 𝑽𝑩

Tiempo de alcance (ta) de un móvil a otro que se desplazan en línea recta uno delante del

otro. El móvil que está detrás tiene mayor velocidad.

𝒕𝒂 =𝒅

𝐕𝐀−𝑽𝑩 Pero VA >VB

Tiempo de cruce (tc) de dos móviles que se mueven en la misma dirección y sentido, donde

el móvil A tiene velocidad mayor que el móvil B.

𝒕𝒄 =𝒅

𝐕𝐀 − 𝑽𝑩

te

d

dA dB

A B

d

B

A B

dA dB

68

FÍSICA I


Tiempo de cruce (tc) de un móvil a una zona o cuerpo que está sin movimiento.

𝒕𝒄 =𝑳𝒄 + 𝑳𝒎

𝐕𝐦

Donde:

Lc : longitud del móvil

Lm: longitud de la zona o cuerpo que no se mueve

Vm: Velocidad de móvil

Ejemplos:

1. Un móvil se desplaza 400 metros en 40 segundos. ¿Cuál es la velocidad del móvil?

Datos:

d = 400 m

t = 40 s

v = ?

2. Dos móviles se encuentran uno al frente del otro, se desplazan en sentidos contrarios y

en línea recta. Uno tiene una velocidad de 40 m/s y el otro móvil es 60 m/s. ¿Qué tiempo

demorarán en encontrarse si están separados por 2800 metros?

Longitud del Móvil (Lm) Longitud de la zona a cruzar (Lc) NO MÓVIL

Solución

𝑣 = 𝑑

𝑡

𝑣 = 400𝑚

40𝑠 v= 8 m/s

Respuesta

La velocidad del móvil es

de 8m/s

Datos:

VA = 40m/s

VB = 60m/s

d = 2800 m

Te= ?

Solución

𝒕𝒆 =𝒅

𝐕𝐀 + 𝑽𝑩

𝑡𝑒 =2800𝑚

40m/s + 60𝑚/𝑠

𝑡𝑒 =2800𝑚

100 m/s

te = 28 s

Respuesta

El tiempo de encuentro

entre el móvil A y el móvil B

es de 28 segundos

69

FÍSICA I


Ecuación del movimiento rectilíneo.

Caso. Un estudiante de Física, al medir el movimiento del cuerpo, registra lo que se muestra

en el cuadro siguiente. Decide graficar y determinar la ecuación para el movimiento; además,

determinar la distancia que recorrerá el móvil en 100 segundos.

Explicación: En este caso en primer lugar se graficará “t” en el eje “x” y “d” en el eje “y”; para

ello la tabla de datos se puede mostrar de la siguiente manera:

En primer lugar se debe determinar la pendiente de la recta, para ello se procede de la

siguiente manera:

Pendiente (m)

𝒎 = ∆𝒚

∆𝒙

𝒎 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

x t (s) 2 3

y d(m) 9,75 12.75

x t X1 =2 X2 = 3

y d Y1= 9,75 Y2 = 12.75

Puntos P1 = (2; 9,75) P2 = (3; 12,75)

P2

P1

12,75

9,75

2 3

Pendiente de la recta: Velocidad

70

FÍSICA I


𝒎 = 𝟏𝟐, 𝟕𝟓 − 𝟗, 𝟕𝟓

𝟑 − 𝟐

𝒎 = 𝟏𝟐, 𝟕𝟓 − 𝟗, 𝟕𝟓

𝟑 − 𝟐

𝒎 = 𝟑, 𝟎𝟎

𝟏

𝒎 = 𝟑 Entonces la pendiente es: 3

Ecuación para el movimiento.

Para determinar la ecuación del movimiento se procede de la siguiente manera:

𝑦 − 𝑦1 = (𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1) (𝑥 − 𝑥1 )

Reemplazando datos

𝑦 − 𝑦1 = (𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1) (𝑥 − 𝑥1 ) Como:

𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 =3; entonces:

𝑦 − 9,75 = 3(𝑥 − 2 )

𝑦 − 9,75 = 3𝑥 − 6

𝑦 = 3𝑥 − 6 + 9,75

𝑦 = 3𝑥 + 3,75

Expresión para el movimiento: y = d; x= t

𝑑 = 3𝑡 + 3,75

La distancia recorrida en 100 segundos es:

𝑑 = 3(100) + 3,75

d = 300 + 3,75

d = 303,75 m

71

FÍSICA I


EJERCICIOS PARA RESOLVER IV

NIVEL BÁSICO

1. Un móvil recorre una distancia de 840 metros en 70 segundos. Determinar la

velocidad del móvil.

2. Un móvil tiene una velocidad de 45 m/s durante un tiempo de 120 segundos.

Determinar la distancia recorrida.

3. Un móvil tiene una velocidad de 20 m/s y recorre una distancia de 1400 m.

Determinar el tiempo que emplea móvil.

4. Un móvil recorre una distancia de 1600 m en 20 segundos. Determinar la

velocidad en cm/s.

5. Dos móviles se encuentra en línea recta uno frente al otro, se desplazan en

sentido contrario con velocidades de 70 m/s y 30 m/s. Determinar:

a) Tiempo de encuentro entre ambos móviles.

b) Tiempo que se encuentran por separado 200 metros por primera vez.

c) Tiempo que se encuentran por separado 200 metros por segundo vez.

d) Distancia que recorre el móvil de menor de velocidad al momento del

encuentro.

6. El móvil “A” tiene una velocidad triple a la velocidad del móvil “B”. Si el móvil

“B” recorre 120 metros en 6 segundos. ¿Qué distancia recorrerá el móvil “A” en

24 segundos?

7. Un ómnibus que viaja a 15 km/h describiendo un M.R.U. llega a su destino a la

hora “H”. Si viajara a 10 km/h tendría un retraso de 2 horas. ¿A qué velocidad

tiene que viajar para llegar a la hota “H +1”? (Dar la repuesta en km/h).

8. Un móvil se encuentra uno al frente del otro separados por una distancia de 800

metros, inician el movimiento en forma simultánea, el móvil que está adelante

tiene una velocidad de 20 m/s y el móvil que está atrás tiene una velocidad de 60

m/s. Determinar el tiempo de alcance.

9. Un tren de 140 metros debe atravesar un túnel de 260 metros. Si el tren va con

72

FÍSICA I


una velocidad de 40 m/s ¿Cuál es el tiempo que demora el tren en atravesar el

túnel?

10. Un hombre que se encuentra frente a una montaña emite un grito. Si la rapidez

del sonido en el aire es 340 m/s. ¿después de qué tiempo se escuchará el eco? La

distancia del hombre a la montaña es de 1700 metros.

11. Una motocicleta con MRU se desplaza en dirección a una montaña con rapidez

de 40 m/s. En un instante mientras se desplaza, el conductor toca bocina y

escucha el eco luego de 8 segundos. ¿A qué distancia de la montaña se

encontrará el motociclista cuando escucha el eco?

12. Una persona se encuentra entre dos montañas, en cierto instante emite un grito

y percibe el primer eco a los 3,0 segundos, y a los 3,6 segundos, correspondiente

a la otra montaña. Sabiendo que la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s.

Determinar la distancia entre montañas ( WEZ, 2013).

13. Un auto recorre una distancia entre dos ciudades con 30 km/h de velocidad

constante en forma rectilínea. Cuando faltaban 24 km para llegar a su destino

sufre un desperfecto que le obliga a detenerse 8 minutos. ¿Con qué velocidad

constante deberá reanudar el viaje para llegar sin retraso?

14. Un tren experimenta un Movimiento Rectilíneo Uniforme avanzando con una

rapidez de 72 km/h. Si tarda 80 segundos en recorrer completamente un túnel de

1200 metros de longitud, determinar la longitud del tren.

15. Teniendo el siguiente gráfico posición vs. Tiempo de dos móviles A y B.

Determinar la diferencia de las velocidades.

20

B

A

t (s)

60

40

d (m)

73

FÍSICA I


16. A las 11:00 a.m. parte de un punto A, un automóvil con velocidad uniforme de

60km/h; a las 15 horas, parte de otro automóvil del mismo punto con una

velocidad de 100 km/h, siguiendo la misma dirección del primero. Determinar a

qué hora y a qué distancia de A el segundo alcanza al primero.

17. Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto; trazando

trayectorias rectilíneas perpendiculares entre sí con velocidades de 600 cm/s y

800 cm/s. Determinar la distancia de cada móvil al origen del movimiento, en el

instante que la distancia entre ambos es de 400 metros.

18. Un insecto se mueve desde el punto A = (-8�̂� – 4𝑗̂ )m, hasta el punto B= (16�̂�+

16𝑗̂)m, en un tiempo de 10 segundos. Determinar la velocidad del insecto.

19. Una persona cuenta con 12 horas para realizar un paseo. La ida lo hace en

motocicleta con una velocidad de 24 km/h y el regreso lo realiza caminando a 4

km/h por la misma trayectoria. ¿Cuánto tiempo caminó para regresar al punto

de inicio?

20. Un insecto se mueve desde el punto P1 = (40; 42) al punto P2 = (88; 78). Determinar

la distancia recorrida y qué tiempo demora en desplazarse si la velocidad es de

4m/s.

NIVEL MEDIO

21. Un móvil recorre una distancia de 400 metros en 10 segundos. Determinar el

tiempo que necesita para recorrer 1600 metros.

22. ¿Cuánto tiempo en minutos o segundos luego que se ha ocultado el sol una

persona de la tierra lo percibe el ocultamiento? (Distancia de la tierra al sol 150

millones de kilómetros).

23. Un móvil se encuentra separado del otro por una distancia de 4, 8 km. Ambos

parten en simultáneo, en línea recta, uno en sentido contrario al otro. Si la

velocidad de uno de ellos es 40 m/s y del otro móvil 20 m/s más que el primero.

Determinar:

74

FÍSICA I


a) Tiempo de encuentro entre ambos móviles.

b) Tiempo que se encuentran por separado 600 metros por primera vez.

c) Tiempo que se encuentran por separado 900 metros por segundo vez.

d) Distancia que recorre el móvil de mayor velocidad al momento del encuentro.

24. Un conductor que lleva un auto con una velocidad de 90 km/h se desplaza en

línea recta dirigiéndose a una pared. Si el conductor toca la bocina y escucha el

eco después de 2 segundos. ¿A qué distancia de la pared se tocó la bocina?

25. Un ómnibus de 10 metros de largo con movimiento rectilíneo uniforme, se

desplaza con una velocidad de 36 km/h. Si el móvil tarda 4 segundos en atravesar

completamente un túnel. ¿Cuál es la longitud del túnel?

26. Una moto acuática parte de un punto específico de un muelle en dirección Oeste,

luego de avanzar 0,6 km, cambia de dirección hacia el Norte, logrando avanzar

900 metros. Si la moto acuática se mantuvo en movimiento 6 minutos.

Determinar la distancia al punto de partida y la velocidad con la que se desplazó.

Dar la respuesta en m y m/s

27. Para atravesar un túnel de 315 pulgadas de longitud, un tren que se mueve con

M.R.U. con una velocidad de 50 m/s; emplea 20 segundos. Determinar la

longitud del móvil. (considerar solo la parte entera para los cálculos).

28. Dos móviles A y B, separados por 100 metros, se mueven en la misma dirección

y sentido contrario, con velocidad constante de 40 m/s y 15 m/s,

respectivamente, señalar en qué tiempo mínimo, el móvil A estará a 75 m delante

de B.

29. Si al registrar el movimiento de un móvil se tiene la siguiente tabla:

Graficar y Determinar:

a) La velocidad del móvil

X (ts) 3 4 5

Y (dm) 7,98 9,98 11,98

75

FÍSICA I


b) La ecuación para el movimiento.

c) La distancia recorrida en 200 segundos.

30. Un helicóptero se dirige de “B” hacia “C”, el ruido del motor emitido en “B”

alcanza al observador “A” en el instante en que el avión llega a la posición “C”.

Determinar la velocidad constante del avión.

NIVEL AVANZADO

31. Dos móviles se encuentran uno frente al otro, separados por una distancia de 5

kilómetros. Parte el móvil con una velocidad de 60 m/s, luego de 30 segundos

parte el otro móvil en sentido contrario con una velocidad de 40 m/s. Determinar:

a) Tiempo de encuentro desde la partida del primer móvil.

b) Distancia al primer móvil que se encuentran.

32. Un tren demora en pasar frente a una persona en reposo (muy cerca al tren) 18

segundos. Después atraviesa un túnel de 400 metros de largo en 90 segundos con

velocidad constante. ¿Cuánto mide el largo del tren?

33. Un móvil se desplaza con una velocidad constante durante 8 segundos, tiempo

en el que recorre una determinada distancia (primer tramo). Luego aumenta su

velocidad a 8 m/s en forma constante, recorriendo la misma distancia en 7

segundos. Determinar la velocidad con la que el móvil recorre el primer tramo.

34. Un altavoz ubicado entre dos montañas emite un sonido hacia la derecha. El eco

de dicho sonido llega a la montaña de la izquierda en 6 segundos luego de ser

emitido. Determinar la distancia entre las montañas, si el altavoz se encuentra a

40 metros de la montaña de la izquierda.

35. Un tren se dirige en línea recta con una velocidad de constante de 10 m/s, a un

puente. Si los vagones son de igual longitud (l) y se sabe que un vagón cruza

completamente el puente en 11 segundos y dos vagones lo hacen en 12 segundos;

C

160

530

A

A

76

FÍSICA I


¿en cuánto tiempo cruzarán el puente nueve vagones juntos? (ADUNI, 2004).

36. Dos automóviles se cruzan simultáneamente en un instante determinado. Si cuando

se cruzan, un móvil habrá recorrido 72 km más que el otro, y a partir de ese instante

el primero (el más veloz) tarda 1 hora en llegar al punto de partida del segundo

móvil y el segundo 4 horas en llegar al punto de partida del más veloz. Determinar

la distancia entre los puntos de partida de los automóviles, considerando que el

desplazamiento se dio en línea recta.

37. Al borde de una pista rectilínea se encuentran dos centros de recreación

distanciados a 308 metros. Un motociclista, que se desplaza con rapidez constante

entre ambos centros de recreación, escucha el sonido de un disparo dando inicio a

una maratón al centro de recreación “A” y estaría a 34 metros de éste, luego de 0,25

segundos escucha el sonido del otro disparo del otro centro de recreación. Si ambos

disparos se realizaron al mismo instante. Determinar la velocidad del motociclista.

38. Dos móviles parten de un mismo punto en direcciones opuestas, dirigiéndose

respectivamente a “A” y a “B”. Luego de llegar a su destino emprenden el retorno.

¿A qué distancia de “Q” se vuelven a encontrar?

39. Una partícula se encuentra en t0 = 2s en la posición 𝑟 =(2𝑖̂+4𝑗̂+6�̂�)𝑚 y en t= 4s en la

posición 𝑟 = (8𝑖̂ + 8𝑗̂ + 8�̂�)𝑚 . Si el movimiento que efectúa la partícula M.R.U,

determinar el desplazamiento(en m) en t1 = 3s y t2 = 8s. (WEZ 2014)

40. Un tren se dirige hacia una montaña con velocidad constante. El maquinista hace

sonar su silbato y recibe el eco 4 segundos más tarde. En el instante de recibir el eco

vuelve a tocar el silbato y recibe el segundo eco 3 segundos después. Calcular la

rapidez del tren. (considerar la velocidad del sonido 336 m/s)

A B

120 m 280 m


Guía adicional

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