Indice

Prólogo……………………………...…....……………………………………………. 2

Objetivo………………………………………………………...……………………... 3

Fundamento teórico………………………………………………………...…………. 3

Equipo utilizado……………………….......................................................................... 6

Procedimiento, esquema del fenómeno………………………………...……………... 6 Datos tomados en el laboratorio…………………………………...……………….…. 7

Cálculos y Resultados…………………......................................................................... 7

Recomendaciones, Observaciones y Conclusiones……………………………………………………………..……..……. 14

Bibliografía………………………………………………..……………………..…... 16

1

PRÓLOGO

El informe que a continuación presentamos es una recopilación de las experiencias realizadas en el laboratorio, acá presentamos y analizamos los resultados que se obtuvieron con la aplicación de la base teórica a partir de las mediciones tomadas en el laboratorio.

El tema que tratamos resulta de mucha importancia en nuestro estudio de la mecánica ya que las oscilaciones son comunes y hasta propias en todo elemento mecánico.

El trabajo realizado podría parecer simple pero a la vez es complicado, dependerá mucho de las observaciones y anotaciones que realicemos, habrán resultados que se desvíen y no concuerden con lo previsto, entonces será importante trabajar con seriedad y dedicación.

Expondremos los resultados obtenidos, las graficas requeridas con su respectivo análisis, así como el desarrollo del cuestionario. Finalmente se expondrán nuestras apreciaciones, conclusiones y recomendaciones que creamos, puedan servir en el mejor desarrollo de esta experiencia.

2

OBJETIVO

Estudiar las características del periodo en el péndulo físicoConocer el momento de inercia de manera experimental y teórica mediante un péndulo físico.Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico, y a partir de ellos calcular el momento de inercia.Verificar las propiedades de simetría del péndulo físico.

3

FUNDAMENTO TEÓRICO

Se denomina péndulo físico a un cuerpo rígido capaz de pivotar en torno a un eje horizontal fijo, como se ilustra en la figura 1.1. La figura 1.1.A muestra la orientación de equilibrio del péndulo, con el centro de gravedad a una distancia vertical b del eje de rotación. En esta configuración, la componente del torque de la fuerza en torno al eje de rotación es igual a cero.

Sí el péndulo se desplaza de su posición de equilibrio, como lo ilustra la figura 1.1.B

Aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad en la dirección del eje que pasa por punto de suspensión, que tiende a hacer girar el péndulo en dirección contraria a su desplazamiento angular y de ésta forma llevar al péndulo de nuevo a su posición de equilibrio (torque recuperador), posición que no logra obtener debido a su Inercia. La ecuación de movimiento que describe ésta situación física es la siguiente:

∑ τo=−mgbsen θ=Iα

donde I representa el momento de inercia del péndulo físico respecto a un eje que pasa por el punto de suspensión O , y b es la distancia que separa al centro de gravedad de dicho punto de suspensión.Esta ecuación la podemos expresar en forma de ecuación diferencial:

d2θdt 2

+mgbI

senθ=0

Esta ecuación diferencial no es lineal , por lo que no corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico .Más sin embargo, si hacemos la aproximación para pequeñas oscilaciones, senθ≈θ , la ecuación anterior se transforma en,

4

d2 θdt2

+mgbI

θ=0

que sí corresponde a la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular,

ω=√ mgb

I

y con período,

T=2 π √ I

mgb

Si aplicamos el teorema de Steiner ( “teorema de ejes paralelos” ) , siendo I c=mk2 (k

el radio de giro del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por su centro de masa) se obtiene para el período:

T=2 π √ mk2+mb2

mgb

T=2 π √ k2+b2

gb …….. (1.1)

Comparando la ecuación (1.1) con la expresión que da el período de oscilación para el péndulo simple se obtiene:

L= K2+b2

b

donde a L se le denomina longitud del péndulo simple equivalente.Considerando como cuerpo rígido a una regla homogénea con agujeros por encima y por debajo del centro de gravedad, la gráfica de la ecuación [1.1] se ilustra en la figura 1.2:

T(S)

5

En el origen O de la figura se ubica el centro de gravedad de la regla. Se observa la simetría de la gráfica, mostrando que el comportamiento de las oscilaciones es el mismo por encima o por debajo del centro de gravedad. Sin embargo la curva no es simétrica respecto a b k .El estudiante debe verificar que en b k el período T es mínimo y que b 0 es una asíntota vertical(un comportamiento similar se observa en el período cuando b se hace demasiado grande).Al trazar una paralela al eje de las abscisas, a una altura arbitraria por encima del período mínimo, se intercepta en cuatro puntos a la curva). El período en los puntos de

suspensión b1 , b2 ,−b1 ,−b2 es igual. Estos puntos se llaman conjugados.Nota: Aclaramos que b debe tomarse siempre positivo cuando vamos a calcular el

periodo por fórmula (T=2 π √ k2+b2

gb )

Relaciones entre b1 y b2.Si analizamos la gráfica, concluimos que por encima del centro de gravedad hay

infinitos puntos conjugados, tal que: T b1

=T b2. Esto mismo sucede por debajo del centro de gravedad. Utilizando la ecuación [1.1] , se obtiene,

b1b2=k2…………(1.2)

La condición expresada en la ecuación [1.2] , la deben cumplir los puntos conjugados. Esta ecuación corresponde a una hipérbola rectangular cuyos ejes de simetría están

rotados un ángulo de 450 con respecto a los ejes coordenados b1−b2(ver figura 1.3).

6

En ésta figura (figura 1.3) , la rama del primer cuadrante corresponde a puntos por encima del centro de gravedad y la del tercer cuadrante a puntos por debajo de éste.Comparando la ecuación [1.1] con la expresión que da el período de oscilación para el péndulo simple se obtiene:

L= k2+b2

b …………………… [1.3]

donde L se llama la longitud del péndulo simple equivalente.Combinando las ecuaciones [1.2] y [1.3] , se puede demostrar que:

b1+b2=L ………………….....(1.4)

La condición [1.4], también la satisfacen los puntos conjugados.Linealizacion de la ecuacion [1.1]:La ecuación [1.1] se puede escribir como sigue:

b2= g

4 π 2T 2b−k2

…………[1.5]

Una gráfica de b2vsT 2b , da como resultado una línea recta.

7

EQUIPO UTILIZADO

Una barra metálica de longitud 21 con huecosUn soporte de madera con cuchilla Dos mordazas simplesUn cronómetro digitalUna regla milimetrada

PROCEDIMIENTO Y ESQUEMA DEL FENÓMENO ESTUDIADO

Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, se sujeta el soporte de madera con las mordazas simples.

Ubicamos el centro de masa de la barra, suspendiendo esta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en el equilibrio horizontal será el CG de la barra

Suspendemos la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y la hacemos oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (ángulo menor o igual a 15°), tomamos nota del tiempo que demora 20 oscilaciones y medimos también la distancia l (Distancia de CG a O)

Repetir esta operación dos veces más. Consideramos 20 oscilaciones para los 7 primeros agujeros y para los 3 restantes y más cercanos al C.G. consideramos 10 oscilaciones.

Tomamos las dimensiones de la barra y su masa.

8

[

DATOS, CÁLCULOS Y RESULTADOS

DIMENSIONES DE LA BARRA:

Largo: 110 cm.

Ancho: 3,8 cm.

Grosor: 0,6 cm.

Número de agujeros: 21

Diámetro de agujeros: 1,5 cm.

Masa de la barra: 1.914 kg.

TABLA 1

# de huecos l (m.) t1 t2 t3 # osc.periodo T

(promedio )

9

1 0.50 33.47 33.51 33.58 20 1.6760

2 0.45 32.88 32.95 32.83 20 1.6443

3 0.40 32.69 32.37 32.22 20 1.6213

4 0.35 32.09 32.93 31.98 20 1.6000

5 0.30 32.11 31.86 32.14 20 1.6018

6 0.25 32.24 32.30 32.38 20 1.6153

7 0.20 32.26 33.36 33.44 20 1.6676

8 0.15 17.65 17.62 17.52 10 1.7726

9 0.10 20.37 20.32 20.33 10 2.034

10 0.05 26.93 26.87 26.91 10 2.6906

2-a.- Grafique T vs l (T en el eje vertical)

T vs L

T vs L

2-b.-A partir de la ecuación (1), con Il dada por la ecuación (2), se encuentra el valor de l donde el período es mínimo.La ecuación (1) es

T = 2√ I l

Mgl Y la ecuación (2) es

Il = IG + Ml2

Reemplazando 2 en 1, tenemos que:

10

T = 2 √ IG+Ml2

Mgl = 2√ I G

Mgl+ l

g

Derivando con respecto a la longitud l, para hallar el mínimo valor de l igualaremos a cero,

dTdl

=∏( IG

Mgl2+ 1

g )√ IG

Mgl+ l

g

× 1Mgl2

=0

IG

Mgl= l

g

l=√ IG

M

l=√ 112

M (a2+b2)

M

Donde a es el ancho de la barra y b el largo de la barra, a = 0.0357 m y b = 1.1 mEntonces al reemplazar obtendremos que :

l=√ 112

[ (0 .0382 )+ (1. 1 )2 ]⃗ l=0 .31773 m

2-c.- Compare el valor de l obtenido en b) con l obtenido en a)

a) Para l = 32.1 cm se tiene T = 1,586 . Obtenido del gráfico.b) Para l = 31.77 cm. se tiene T= 1,59 Obtenido analíticamente

2-d.- ¿Cuál es el periodo para esta distancia?

Para l = 31.77 cm. se obtiene un periodo: T = 2* (Il / Mgl)0,5 = 1.59 s

OBSERVACION: Il = IG + Ml2 Además : I G=

112 M (L

2

+b2

)

2-e.-Se puede deducir fácilmente dos puntos con igual periodo de oscilación, simplemente trazamos líneas horizontales paralelas al eje x, donde esta recta interceptará a la curva en dos puntos, los cuales son los que tienen igual periodo. Estos puntos son:

11

Ver gráfico :

Grafica T vs. l

T = 0,0011x2 - 0,0792x + 2,9134

1.00

1.62

2.24

2.86

0.0 5.1 10.2 15.3 20.4 25.5 30.6 35.7 40.8 45.9 51.0

X = Longitud (cm.)

T =

Pe

rio

do

(s

.)

Se observa para T= 1,59 las longitudes de oscilación son 30.0 y 35.0 cm.

3.- Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relación (1), el valor de Il y llene la tabla 2 con las siguientes características :

TABLA 2

# de huecosEje de oscila-cion, l(cm.)

(Periodo)2 T2 (s2) l2 (m2)Momento de Inercia

Il (Kg.m2)

1 50 2.8089 0.2500 0.4785

2 45 2.7037 0.2025 0.3875

3 40 2.6286 0.1600 0.30624

4 35 2.5600 0.1225 0.23446

5 30 2.5657 0.0900 0.17226

6 25 2.6091 0.0625 0.119625

7 20 2.7808 0.0400 0.07656

8 15 3.0961 0.0225 0.043065

9 10 4.1371 0.0100 0.01914

10 5 7.2393 0.0025 0.004785

4.- Haga el gráfico Il vs l2, y ajustelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos estén muy dispersos.

12

f(x) = 1.91 x + 0R² = 0.999988161163649

I vs L2

5.- Del gráfico anterior, y por comparación con la ecuación (2) determine IG y M.

Del gráfico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos que la ecuación de la gráfica es : Y = 1.91X + 0.000

Comparando esta ecuación con la ecuación (2) Il = Ml2 + IG

Notamos que el valor de IG = 1884.1 Kg.cm2 y el valor de M =1.914 Kg.

6.- Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la fórmula analítica para una barra de longitud L y ancho b; IG = (1/12)M* (L2+b2) ¿Qué error experimental se obtuvo?

Según nuestra grafica obtenida en el paso 5 el valor de IG. IG =1884.1Según la ecuación dada y con los datos tomados en el laboratorio

I G=1

12M (L2+b2 )

para M= 1.877 Kg L= 1.1 m b=0.038reemplazando tenemos:IG = 1932.253 Kg.cm2

Calculando el error de medición:%ERROR = 1932.253 – 1884.1 *100 = 0.24% 1932.253La masa según nuestro ajuste de curvas es M = 1.8522La masa obtenida en el laboratorio es M = 1.914Hay una diferencia de 0.0248 y el porcentaje de error es :

13

%ERROR = 1.914-1.8522 *100 = 3.22% 1.914

7.- Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al profesor del aula que le asigne un número de hueco. Sea l : longitud del péndulo simple equivalente

T = 2π √ I l

Mgl = 2π √ lg

⇒ l = √ Il

M para hueco No 7 Il = IG + Ml2 = 1894.84 + 1.914*202 = 3360.1984

l = √3360 .19841 . 877 = 42.31 cm

8.- Demuestre en forma analítica la relación (1) y la relación (2)

La relación (1) nos indica que T = 2π √ I l

Mgl

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de restitución = - (mg)(dsen)

El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsión es proporcional a sen, no a , pero si es pequeño podemos aproximar sen por en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S

dsen

Mg cos

mgsen

d

mg

14

= -(mgd)

La Ecuación del movimiento es = I.

-(mgd) = I. =I

d2 θdt 2

d2θdt 2

=−mgd θI

De la ecuación del M.A.S a=d2 x

dt2=−Kx

m

Comparando estas dos ecuaciones notamos que el papel de

km en el M.A.S lo

desempeña aquí la cantidad

mgdI así que la frecuencia angular está dada por:

W = √ mgdI ( Péndulo físico, amplitud pequeña)

Y como f =

W2∏ ¿

⇒T=2∏ √ Imgd

¿ l.q.q.d

La relación (2) nos indica que: Il = IG + Ml2

Para demostrarlo, consideremos dos ejes paralelos al eje z; uno pasa por el centro de masa, el otro por un punto P . Primero tomamos una rodaja muy delgada del cuerpo, paralela al plano xy. Tomamos el origen de nuestro sistema de coordenadas x, y son (a, b). La distancia entre este eje y el que pasa por el centro de masa es d, donde l2 = a2 + b2. Podemos escribir una expresión para el momento de inercia Ip alrededor del eje que pasa por P. Sea mi un elemento de masa de nuestra rodaja, con coordenadas (xi, yi, zi). El momento de Inercia ICM de la rodaja alrededor del eje que pasa por O es

ICM = ∑

i

mi( )(xi2+ y

2i)

El momento de Inercia de la rodaja alrededor del eje que pasa por P es

I p=∑i

mi [(x i−a )2+( y i−b )2]En estas expresiones no intervienen lasa coordenadas zi, medidas perpendicularmente a las rodajas, así que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las rodajas. Expandiendo los cuadrados y reagrupando,

I p=∑i

mi(x i2+ y

i2)−2 a∑ mi x i−2 b∑ mi yi+(a

2+b2)∑i

mi

15

La primera sumatoria es ICM .Por definición de centro de masa la segunda y tercera sumatoria son proporcionales a xcm, ycm que son 0 porque tomamos el origen en el centro de masa. El término final es l2 multiplicada por la masa total o sea, Ml2.

Entonces queda demostrado que Il = ICG + Ml2

RECOMENDACIONES

1.- El ángulo de oscilación no debe exceder los 15o para evitar errores de medición.

2.- Hacer que el péndulo oscile en torno a un solo plano.3.- Revisar que los agujeros sean circulares, de encontrar agujeros en forma de elipse cambiar el péndulo.4.- Se debería tomar el momento de inercia real del cuerpo, es decir tomando en cuenta los agujeros de la barra, pues el momento de inercia que tomamos para el trabajo es el de una barra regular sin agujeros, es cierto que sería más trabajoso, pero los cálculos serían más acertados. 5.- Para evitar que los agujeros de la barra se deformen con indeseables ranuras o cortes provocados por la cuchilla, se recomienda el uso de barras de un material más duro, quizás no sea necesario que la barra sea completamente de acero u otro material resistente, bastaría con recubrir los filos de los agujeros con dicho material

OBSERVACIONES

1.- Conforme el eje de oscilación se hace muy cercano al centro de gravedad de la barra, el periodo de oscilación aumenta rápidamente.2.- Si hacemos coincidir el centro de oscilación con el centro de gravedad de la barra entonces la barra no se comportará como péndulo.3.- El momento de inercia calculado presenta incertidumbre puesto que no se toma en cuenta los agujeros que presenta.

16

4.- Los agujeros en la barra presentaban ranuras en las que se introducía la cuchilla encajando, y tocando al péndulo físico en más de un punto y por ende habrá más fricción.5.- Al despreciarse la resistencia del aire se desprecia otra fuerza de fricción y por ello se presenta mayor incertidumbre en el trabajo.6.- Se determinó que el ángulo, siempre y cuando sea menor que 12º, no afecta al movimiento.

CONCLUSIONES

1.- El momento de Inercia es directamente proporcional al cuadrado de la longitud del eje de oscilación.2.- El aire actúa como amortiguador del péndulo.3.- El momento de inercia respecto al centro de gravedad no depende del grosor de la barra.4.- El periodo de oscilación no depende de la masa de la barra.5.- Se concluye que el periodo de oscilación del péndulo simple es totalmente diferente al periodo del péndulo físico.6.- La fórmula (1) no es aplicable cuando tomamos el centro de gravedad como eje de oscilación; porque si le aplicamos seria indeterminado. Además, si analizamos en un diagrama de cuerpo libre, podremos notar que el peso se anula con la reacción de la cuchilla, por ello el cuerpo debería estar en estado de equilibrio.7.- El movimiento del péndulo físico experimentado en el laboratorio no es un movimiento armónico simple porque existe fricción del aire y de la cuchilla. Pero para efectos de cálculo se consideró nulo el rozamiento y por ello se asumió un movimiento armónico simple.

17

BIBLIOGRAFÍA

Física, Serway, Raymond A, edit. Interamericana, México (1985) .978 p.

Física, Tipler, Paul A., edit. Reverté, Barcelona (1978) 1197 p.

Physics, Wolfson, Richard; Pasachoff, Jay M. . edit: Little, Brown and Company, Boston (1987) . 1081 p.

Manual de física, B.M.Yavoroski, Editorial Mir, Moscu (1988).

Física Mecánica, Marcelo Alonso, Edward J. Finn

18