F´ısica II CF-342 Ingenier´ıa Plan Com un.´ · Fuerza y Campo Electrico´ Cargas electricas´...

Fısica II CF-342Ingenierıa Plan Comun.

Omar Jimenez Henrıquez

Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,

Antofagasta, Chile,

I semestre 2011.

Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 1

Contenidos

1 Fuerza y Campo ElectricoCargas electricasLey de CoulombCampo electricoLıneas de campo electricoFlujo del campo electrico.Ley de GaussConductores en equilibrio electrostatico


Fuerza y Campo Electrico

Cargas electricas

Por medio de experimentos se puede afirmar que las cargaselectricas, que poseen algunas partıculas subatomicas,cumplen con las siguientes propiedades:

Existen dos tipos de cargas: Positivas y NegativasCargas de igual signo se repelen.Cargas de distinto signo se atraen.



Cargas electricas

Los atomos son las unidades basicas de la materia.Los atomos a su vez estan formados por: protones,neutrones y electrones. La cantidad de protones,neutrones y electrones determina el tipo de atomo.Por ejemplo, el atomo de oxıgeno posee 8 protones,8 neutrones y 8 electrones.



Cargas electricas

Los atomos son las unidades basicas de la materia.Los atomos a su vez estan formados por: protones,neutrones y electrones. La cantidad de protones,neutrones y electrones determina el tipo de atomo.Por ejemplo, el atomo de oxıgeno posee 8 protones,8 neutrones y 8 electrones.

Masa y la carga del electron, proton y neutron.Partıcula masa (kg) carga (C)

Electron (e) 9.1095×10−31 -1.6022×10−19

Proton (p) 1.6726×10−27 1.6022×10−19

Neutron (n) 1.6749×10−27 0



Cargas electricas

Otras propiedades de las cargas electricas son:

Se conserva:La carga electrica no se crea ni se destruye, solo se puedetraspasar de un cuerpo a otro, manteniendo la carga totalsin variar.Esta cuantizada:La carga electrica se puede cuantificar en terminos de unaunidad fundamental de carga ’e’. Por cuanto, podemosescribir que la carga electrica Q es,

Q = Ne,

donde e es la carga del electron e = −1.602× 10−19[C] yN ∈ Z.



Conductores y aisladores

Conductor: es aquel que permite que las cargas electricas semuevan facilmente a traves de ella. Ejemplo: metales, cuerpohumano, tierra.



Conductores y aisladores

Conductor: es aquel que permite que las cargas electricas semuevan facilmente a traves de ella. Ejemplo: metales, cuerpohumano, tierra.

Aisladores: que no permiten el movimiento de cargas a travesde ellos. Ejemplo: no metales, plasticos, gomas. Cuando estosmateriales son cargados por frotamiento, solo el area que sefrota se carga y esta no se mueve hacia otras regiones delmaterial.



Electrizacion

Por Contacto: Traspaso de carga de uncuerpo a otro. Los cuerpos adquierencargas iguales y opuestas.



Electrizacion

Por Contacto: Traspaso de carga de uncuerpo a otro. Los cuerpos adquierencargas iguales y opuestas.

Por induccion: Los cuerpos no se tocan. Las cargas seseparan. Los cuerpos cargados tienen distinta carga.



Ley de Coulomb

Charles Coulomb (1736-1806) fue un fısico e ingeniero militarfrances que determino las magnitud de la fuerza electrica entreobjetos cargados en reposo, utilizando una balanza de torsion.

El resultado de Coulomb fue que lafuerza electrica Fe es:- Proporcional a las cargas qa y qb.

Fe ∝ |qa||qb|



Ley de Coulomb



Fe ∝ |qa||qb|

- Inversamente proporcional al cuadradode la distancia r2.

Fe ∝1r2



Ley de Coulomb



Fe ∝ |qa||qb|

- Inversamente proporcional al cuadradode la distancia r2.

Fe ∝1r2

Con lo cual tenemos que:

Fe ∝|qa||qb|

r2



Ley de Coulomb

Luego, la ley de Coulomb queda:

Fe = ke|qa||qb|

r2 ,

donde ke es la constante de proporcionalidad llamadaconstante de Coulomb, cuyo valor en el SI de unidades es:

ke = 8.9875× 109 Nm2

C2 .

Esta constante tambien puede ser expresada como

ke =1

4πε0,

donde ε0 es conocida como la permitividad del espacio libre,cuyo valor es

ε0 = 8.8542× 10−12 C2

Nm2 .



Ejercicio:

El electron y el proton de un atomo de hidrogeno estanseparados en promedio una distancia de aproximadmente5.3× 10−11m. Encuentre la magnitud de la fuerza electrica y lafuerza gravitacional entre las dos partıculas.



Ejercicio:

El electron y el proton de un atomo de hidrogeno estanseparados en promedio una distancia de aproximadamente5.3× 10−11m. Encuentre la magnitud de la fuerza electrica y lafuerza gravitacional entre las dos partıculas.

De la ley de Coulomb se puede determinar la fuerza electrica,

Fe = ke|qp||qe|

r2 = ke|e|| − e|

r2

= 8.99× 109 Nm2

C2(1.60× 10−19C)2

(5.3× 10−11m)2 ,

= 8.2× 10−8N.



Ejercicio:

La fuerza gravitacional se obtiene de

Fg = G|mp||me|

r2

= 6.67× 10−11 Nm2

kg2(1.67× 10−27kg)(9.11× 10−31kg)

(5.3× 10−11m)2 ,

= 3.6× 10−47N.

Con lo cual, tenemos

Fe

Fg= 2.3× 1039.

Por cuanto podemos despreciar la Fg frente a la Fe.



Ley de Coulomb

La fuerza electrica actua en la lınea que une a las dos cargasq1 y q2. La fuerza electrica ejercida por la carga q2 sobre lacarga q1 denotada por ~F12 es:

~F12 = keq1q2

r2 r12.

donde r12 es un vector unitario dirigidodesde q2 hasta q1, como se muestra en lafigura y r es la distancia desde la carga q2hasta la carga q1. Caso (a) fuerza

electrica repulsiva(cargas de igual signo).



Ley de Coulomb


~F12 = keq1q2

r2 r12.

donde r12 es un vector unitario dirigidodesde q2 hasta q1, como se muestra en lafigura y r es la distancia desde la carga q2hasta la carga q1.

La fuerza que ejerce la carga q1 sobre lacarga q2 tiene igual magnitud pero sentidoopuesto a ~F12, es decir

~F21 = −~F12.

Caso (a) fuerzaelectrica repulsiva(cargas de igual signo).



Ley de Coulomb

Caracterısticas de las fuerzas ~F12 y ~F21:

Son accion y reaccion, ~F21 = −~F12.Actuan sobre cuerpos distintos.Tienen igual modulo, F12 = F21.Sentido opuesto.Actuan simultaneamente.actuan en la misma lınea de accion.son de la misma naturaleza, Fe ∝ q1q2

r2 .



Ley de Coulomb


~F12 = −keq1q2

r2 r12.

donde r12 es un vector unitario dirigidodesde q2 hasta q1, como se muestra en lafigura y r es la distancia desde la carga q2hasta la carga q1. Caso (b) fuerza

electrica de atraccion(cargas de distintosigno).



Ley de Coulomb


~F12 = −keq1q2

r2 r12.

donde r12 es un vector unitario dirigidodesde q2 hasta q1, como se muestra en lafigura y r es la distancia desde la carga q2hasta la carga q1.La fuerza que ejerce la carga q1 sobre lacarga q2 tiene igual magnitud pero sentidoopuesto a ~F12, es decir

~F21 = −~F12.

Caso (b) fuerzaelectrica de atraccion(cargas de distintosigno).



Principio de superposicion

Si tenemos mas de dos cargas puntuales, se determina lainteraccion de cada carga con la otra por separado y la fuerzaresultante sobre una de ellas, se obtiene sumando todas lasfuerzas que actuan sobre la carga de interes.

~Fi = ke

n∑j=1,j 6=i

qiqj

r2ij

rij



Principio de superposicion

Si tenemos mas de dos cargas puntuales, se determina lainteraccion de cada carga con la otra por separado y la fuerzaresultante sobre una de ellas, se obtiene sumando todas lasfuerzas que actuan sobre la carga de interes.

~Fi = ke

n∑j=1,j 6=i

qiqj

r2ij

rij

Por ejemplo si tenemos cuatro partıculas y queremosdeterminar la fuerzas que se ejerce sobre la partıcula 4,tenemos



Ejercicio

Tres cargas estan a lo largo del eje x, como seve en la figura. La carga positiva q1 = 15µCesta en x = 2m y la carga positiva q2 = 6µCesta en el origen. ¿En donde debe colocarseuna carga negativa q3 sobre el eje x, de modoque la fuerza resultante sobre ella sea cero?



Ejercicio


Primero dibujamos las fuerzas sobre la carga q3,los modulos de las fuerzas son:F32 = ke

|q3||q2|r232

= ke|q3||q2|

x2

F31 = ke|q3||q1|

r231

= ke|q3||q1|(2−x)2



Ejercicio


Primero dibujamos las fuerzas sobre la carga q3,los modulos de las fuerzas son:F32 = ke

|q3||q2|r232

= ke|q3||q2|

x2

F31 = ke|q3||q1|

r231

= ke|q3||q1|(2−x)2 .

Luego, dado que la suma de las fuerzas sobre q3 debe sercero, tenemos

F31 − F32 = 0,con lo cual x = 0.775m.



Ejercicio

La figura muestra tres partıculas cargadas, que se mantienenen su sitio por fuerzas que no se ven en ella. ¿Que fuerzaelectrostatica, debido a las otras dos cargas actua sobre q1?.Considere q1 = −1µC, q2 = 3µC, q3 = 2µC, r12 = 15cm,r13 = 10cm y θ = 30◦.



Ejercicio

Las fuerzas que actuan sobre la carga q1 son ~F12 y ~F13.

Los modulos de las fuerzas ~F12 y ~F13 son:F12 = ke

|q1||q2|r212

= 1.2N

F13 = ke|q1||q3|

r213

= 1.8N.



Ejercicio



|q1||q2|r212

= 1.2[N]

F13 = ke|q1||q3|

r213

= 1.8[N].La fuerza total que actua sobre la carga q1 es:

~F1 = ~F12 + ~F13

= F12 i − F13 sin θi + F13 cos θj= (0.3i + 1.56j)[N]



Ejercicio



|q1||q2|r212

= 1.2[N]

F13 = ke|q1||q3|

r213

= 1.8[N].La fuerza total que actua sobre la carga q1 es:

~F1 = ~F12 + ~F13

= F12 i − F13 sin θi + F13 cos θj= (0.3i + 1.56j)[N]

La norma de ~F1 y el angulo ψ es:

|~F1| =√

0.32 + 1.562[N] = 1.59[N]

ψ = arctan(1.56/0.3) = 79.1◦Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 31


Ejercicio

Dos pequenas esferas cargadas, cada una con masa de3× 10−2[kg], estan suspendidas en equilibrio como se muestraen la figura. Si la longitud de cada hilo es de 0.15[m] y elangulo θ = 5◦. Determine la magnitud de la carga en cadaesfera, suponiendo que las esferas tienen igual carga.



Ejercicio

El diagrama de fuerzassobre una de las cargas es:

Dado que las cargas estanen equilibrio, la suma delas fuerzas en los ejes x e ydeben ser cero.

∑Fx = 0 ⇒ T sin θ − Fe = 0∑Fy = 0 ⇒ T cos θ −mg = 0

de la segunda ecuacion, tenemosT = mg

cos θ , reemplazamos la tension en laprimera ecuacion, con lo cual

Fe = mg tan θ ademas Fe = keq2

(2a)2

la carga q es q =√

4a2mg tan θke

⇒ q = 4.4× 10−8[C]



Ejercicio

Cuatro cargas puntuales se colocan en las esquinas de uncuadrado de lado a. Determine la fuerza resultante sobre lacarga positiva q.



Ejercicio

Cuatro cargas puntuales se colocan en las esquinas de uncuadrado de lado a. Determine la fuerza resultante sobre lacarga positiva q.

F =kq2

a2 (1 +

√2

4)(i + j).



Distribuciones de carga

En algunos casos es posible tener:

Lınea de carga:La densidad lineal de carga sedesigna como λ y se mide en

[Cm

]λ =

dqdl




En algunos casos es posible tener:

Lınea de carga:La densidad lineal de carga sedesigna como λ y se mide en

[Cm

]λ =

dqdl

Superficie de carga:

La densidad superficial de carga sedesigna como σ y se mide en

[Cm2

]σ =

dqda




Volumen de carga:

La densidad volumetrica de carga sedesigna como ρ y se mide en

[Cm3

]ρ =

dqdV

.




Volumen de carga:

La densidad volumetrica de carga sedesigna como ρ y se mide en

[Cm3

]ρ =

dqdV

.

En estos casos se aplica la ley de Coulomb en su formadiferencial

d~FQ = keQdqr2 r

y la fuerza total sobre la carga Q es

~FQ = ke

∫Qdqr2 r



Ejemplo

Una barra cargada uniformemente de longitud ` tiene una car-ga positiva por unidad de longitud λ y una carga total Q. A unadistancia a del lado izquierdo de la barra existe una Carga Q,determine la fuerza total que actua sobre la carga puntual Q.



Ejemplo

Una barra cargada uniformemente de longitud ` tiene una car-ga positiva por unidad de longitud λ y una carga total Q. A unadistancia a del lado izquierdo de la barra existe una Carga Q,determine la fuerza total que actua sobre la carga puntual Q.

En este caso debemos aplicar la ley de Coulomb en su formadiferencial, es decir

d~F = kQdqx2 (−i)



Ejemplo

Dado que en este caso dq = λdx , tenemos

~F = k∫ a+`

a

Qλdxx2 (−i)

donde, Q y λ son constantes, con λ = Q/`, luego

~F = kQλ(−i)∫ a+`

a

dxx2 = keQλ(−i)

[−1x

] ∣∣∣∣a+`

a

= kQλ(−i)`

a(a + `)

donde, λ` = Q con lo cual tenemos,

~F =kQ2

a(a + `)(−i)



Ejemplo

Determinar la fuerza que ejerce un disco circular de radio Rque porta una carga total Q positiva, distribuida uniformementeen su superficie sobre una carga puntual positiva q0 que sehalla en el eje del disco a una distancia x del centro del disco.



Ejemplo

Determinar la fuerza que ejerce un disco circular de radio Rque porta una carga total Q positiva, distribuida uniformementeen su superficie sobre una carga puntual positiva q0 que sehalla en el eje del disco a una distancia x del centro del disco.

Dado la simetrıa del problema la fuerza electrica sobre la cargaq0 solo tiene componente en la direccion positiva de las x.



Ejemplo

Un elemento de area dA = rdφdr del disco contiene una cargadq = σdA y genera una fuerza electrica que tiene un moduloigual a

dF = kq0dqd2

donde, d =√

r2 + x2,

dF = kq0σrdφdrr2 + x2

Luego, dado que la componente x de la fuerza esdFx = dFcosθ, donde cosθ = x/d , tenemos

dFx = kq0σrdφdrr2 + x2

xd

= kxq0σrdφdr

(r2 + x2)3/2



Ejemplo

Dado que x y σ son constantes

Fx = kxq0σ

∫ 2π

0dφ∫ R

0

rdr(r2 + x2)3/2

= 2πkxq0σ

[−1√

r2 + x2

] ∣∣∣∣R0

= 2πkq0σ

1− 1√1 + R2

x2

Como σ = q/(πR2) tenemos

Fx = 2kqq0R2

1− 1√1+ R2

x2

.Se puede demostrar que cuando x >> R, se tieneFx = kqq0/x2. Por otro lado, dado la simetrıa tambien sepuede demostrar que Fy = Fz = 0.



Campo electrico

El vector campo electrico ~E en un punto en el espacio estadefinido como la fuerza electrica ~F que actua sobre una cargade prueba positiva q0 colocada en ese punto y dividida por lamagnitud de la carga de prueba q0.

~E =~Fq0



Campo electrico

El vector campo electrico ~E en un punto en el espacio estadefinido como la fuerza electrica ~F que actua sobre una cargade prueba positiva q0 colocada en ese punto y dividida por lamagnitud de la carga de prueba q0.

~E =~Fq0

donde,~E es el campo externo a la carga de prueba.~E tiene unidades en SI de

[NC

].

La direccion de ~E es la direccion de la fuerza ~F sobre lacarga de prueba positiva +q0.



Campo electrico de una carga puntual

La fuerza electrica queejerce la carga +Q sobre lacarga de prueba q0 es

~F = kQq0

r2 r




La fuerza electrica queejerce la carga +Q sobre lacarga de prueba q0 es

~F = kQq0

r2 r

Luego, el campo electrico generado por la carga +Q es

~E =~Fq0

= kQr2 r

La intensidad del campo electrico E = k Qr2

producido por la carga +Q tiene el mismo valor a una distanciar de la carga +Q y crea un campo radial hacia afuera.




Si la carga es negativa, tenemosque la fuerza electrica queejerce la carga −Q sobre lacarga de prueba q0 es

~F = −kQq0

r2 r




Si la carga es negativa, tenemosque la fuerza electrica queejerce la carga −Q sobre lacarga de prueba q0 es

~F = −kQq0

r2 r

Luego, el campo electrico generado por la carga −Q es

~E =~Fq0

= −kQr2 r

La intensidad del campo electrico E = k Qr2

producido por la carga −Q tiene el mismo valor a una distanciar de la carga −Q y crea un campo radial hacia adentro.



Campo electrico

Luego, tenemos que:Existe un campo electrico en un punto si una carga deprueba en reposo situada en ese punto experimenta unafuerza electrica.Existe el campo electrico en un punto (incluso en elespacio vacıo) sin importar si esta localizada o no unacarga de prueba en ese punto.



Campo electrico

Luego, tenemos que:Existe un campo electrico en un punto si una carga deprueba en reposo situada en ese punto experimenta unafuerza electrica.Existe el campo electrico en un punto (incluso en elespacio vacıo) sin importar si esta localizada o no unacarga de prueba en ese punto.Se debe suponer que la carga de prueba q0 es losuficientemente pequena de modo que no perturbe ladistribucion de carga que produce el campo electrico.



Campo electrico de varias cargas puntuales

El campo electrico total debido a un grupo de cargas es igual alvector resultante de la suma de los campos electricos de todaslas cargas. Esto se deduce directamente de la propiedad de lasuperposicion de fuerzas. Por lo tanto, el campo electrico es

~E = k∑

i

qi

r2i

ri

donde ri es la distancia de la i-enesima carga qi , al punto p (laubicacion de la carga de prueba) y ri es un vector unitariodirigido desde qi hasta p.



Campo electrico de un dipolo

Ejercicio: Un dipolo electrico consta de una carga positiva q yuna carga negativa −q separadas por una distancia d , comose muestra en la figura. Encuentre el campo electrico ~E debidoa estas cargas en un punto p localizado a lo largo del eje y , elcual esta a una distancia y del origen. Suponga que y >> d .




El campo electrico generado por la cargapositiva ~E1 y por la carga negativa ~E2son respectivamente,

~E1 =kqr21

r1

~E2 =kqr22

r2

donde

r1 = i cos θ + j sin θr2 = −i cos θ + j sin θ

El campo electrico total en el punto p es~E = ~E1 + ~E2




Dado que en este caso

r21 = r2

2 = y2 +

(d2

)2

= r2,

⇒ ~E = 2kqr2 cos θi

donde, tenemos que cos θ = d2r

~E = 2kqr2

d2r

i =kqdr3 i =

kqd

(y2 +(

d2

)2)3/2

i

Si consideramos y >> d tenemos

~E =kqdy3 i .



Ejercicio.

Cuatro cargas puntuales positivas se colocan en las esquinasde un cuadrado de lado a. Determine el campo electrico en lospuntos p ubicado en las coordenadas (a

2 ,a2 ) y p1 ubicado en las

coordenadas (a,a/2).



Ejercicio.

Cuatro cargas puntuales positivas se colocan en las esquinasde un cuadrado de lado a. Determine el campo electrico en lospuntos p ubicado en las coordenadas (a

2 ,a2 ) y p1 ubicado en las

coordenadas (a,a/2).

~Ep = 0 y ~EP1 =16kq

5√

5a2i.



Campo electrico de una distribucion continua decarga.

El campo electrico en el punto p debido aun elemento de carga ∆q esta dado por

∆~E = k∆qr2 r .

donde r es la distancia desde el elementoal punto p y r es el vector unitario dirigidodesde el elemento de carga hacia p.




El campo electrico en el punto p debido aun elemento de carga ∆q esta dado por

∆~E = k∆qr2 r .

donde r es la distancia desde el elementoal punto p y r es el vector unitario dirigidodesde el elemento de carga hacia p.

El campo electrico total en p debido a todos los elementos enla distribucion de carga es

∆~E ∼= k∑

i

∆qi

r2i

ri .

donde el ındice i se refiere al i-enesimo elemento de ladistribucion.




Para una distribucion continua de carga, es decir, en el lımite∆q → 0, tenemos

~E = k lim∆qi→0

∑i

∆qi

r2i

ri = k∫

dqr2 r .

en donde la integral es una operacion vectorial.



Ejemplo.

Una barra de longitud ` y carga total Qtiene una distribucion uniforme de cargaλ. Determine el campo electricogenerado por la barra en un punto p,ubicado a una distancia a de la barra talcomo aparece en la figura.



Ejemplo.

Una barra de longitud ` y carga total Qtiene una distribucion uniforme de cargaλ. Determine el campo electricogenerado por la barra en un punto p,ubicado a una distancia a de la barra talcomo aparece en la figura.

Ex = kλ

(1√

(`− b)2 + a2− 1√√

b2 + a2

)

Ey =kλa

b√b2 + a2

+`− b√√

(`− b)2 + a2



Ejercicio

Un semianillo de radio a tiene una carga positiva uniforme porunidad de longitud, con carga total Q. Determine el campoelectrico en el centro del semianillo (punto O).



Ejercicio

Un semianillo de radio a tiene una carga positiva uniforme porunidad de longitud, con carga total Q. Determine el campoelectrico en el centro del semianillo (punto O).

E =2π

kQa2 , dirigido hacia la derecha.



Ejercicio

Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme porunidad de longitud, con carga total Q. Determine el campoelectrico en un punto P que se encuentra a una distancia zsobre el eje del anillo.



Ejercicio

Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme porunidad de longitud, con carga total Q. Determine el campoelectrico en un punto P que se encuentra a una distancia zsobre el eje del anillo.

Ex = Ey = 0,

Ez =kQz

(z2 + a2)3/2



Lıneas de campo electrico

Para visualizar la forma del campo electrico es convenientetrazar lıneas en la misma direccion que el vector de campoelectrico en varios puntos.

Una carga positiva genera un campo electrico radial haciaafuera.



Lıneas de campo electrico

Para visualizar la forma del campo electrico es convenientetrazar lıneas en la misma direccion que el vector de campoelectrico en varios puntos.

Una carga positiva genera un campo electrico radial haciaafuera y una carga negativa genera un campo electrico radialhacia adentro.

~E = kqr2 r .



Lıneas de campo electrico.

Propiedades de las lıneas de campo electrico.

Son lıneas imaginarias dibujadas de tal manera que latangente a cada punto de la lınea coincida con la direcciondel campo electrico ~E .Las lıneas ”salen” de las cargas positivas y ”llegan” a lascargas negativas.Las lıneas de fuerza se dibujan en forma proporcional al”modulo” de ~E .Las lıneas de campo electrico en general son curvas.Las lıneas nunca se cruzan, de lo contrario, habrıaindeterminacion del campo electrico en los puntos decruce.



Ejemplos de lınea de fuerza.

Dipolo electrico



Flujo del campo electrico.

El flujo del campo electrico ΦE mide el numero de lıneas decampo electrico que atraviesan una superficie.

El flujo del campo electrico se determinadesde

ΦE = ~E · ~A.






ΦE = ~E · ~A.

En este caso, segun la figura tenemos

~A = An,

y~E = En,

por lo tanto,

ΦE = EA[

Nm2

C

].






ΦE = ~E · ~A.






ΦE = ~E · ~A.

En este caso, segun la figura tenemos

ΦE = EA cos θ[

Nm2

C

].

Por lo tanto,si θ = 0 tenemos ΦE = EA,si θ = 90◦ tenemos ΦE = 0.




Para una superficie curva, tenemos que cadapunto en la superficie curva tiene asociado unvector n normal diferente, luego

dΦE = ~E · d~A.




Para una superficie curva, tenemos que cadapunto en la superficie curva tiene asociado unvector n normal diferente, luego

dΦE = ~E · d~A.

Si integramos la expresion anterior, obtenemosel flujo total a traves de la superficie

ΦE =

∫A

~E · d~A.

El flujo del campo electrico es una cantidad escalar que sepuede expresar como

ΦE =

∫A

E cos θdA.

donde, θ, es el angulo formado por los vectores ~E y d~A.Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 81


Ejemplo

Considere un campo electrico uniforme ~E orientado en ladireccion x . Determine el flujo electrico neto a traves de lasuperficie de un cubo de arista ` orientado como se muestra enla figura.



Ejemplo

Considere un campo electrico uniforme ~E orientado en ladireccion x . Determine el flujo electrico neto a traves de lasuperficie de un cubo de arista ` orientado como se muestra enla figura.

El flujo electrico neto es

ΦT = ~E ·~A1+~E ·~A2+~E ·~A3+~E ·~A4+~E ·~A5+~E ·~A6

donde ~E = Ei dado que ~A3, ~A4, ~A5 y ~A6 sonperpendiculares a ~E los flujos a traves deestas superficies es cero y nos queda

ΦT = ~E · ~A1 + ~E · ~A2pero ~A1 = −`2 i y ~A2 = `2 i , por lo tanto

ΦT = 0.Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 83


Ejemplo

Considere una caja triangular en un campo electricoE = 7.8× 104N/C como se muestra en la figura. Calcule elflujo electrico a traves de: a) la superficie vertical de laizquierda A′, b) la superficie inclinada A y c) la superficie enterade la caja.



Ejemplo

Considere una caja triangular en un campo electricoE = 7.8× 104N/C como se muestra en la figura. Calcule elflujo electrico a traves de: a) la superficie vertical de laizquierda A′, b) la superficie inclinada A y c) la superficie enterade la caja.

a) ΦE = 0,b) ΦE = 2340Nm2

C ,c) ΦE = 0.



Ejemplo

Un campo electrico esta dado por ~E = azi + bxk , donde a y bson constantes. Determine el flujo electrico a traves de lasuperficie triangular de la siguiente figura.



Ejemplo

Un campo electrico esta dado por ~E = azi + bxk , donde a y bson constantes. Determine el flujo electrico a traves de lasuperficie triangular de la siguiente figura.

ΦE =13

bhw2.



Ley de Gauss

La ley de Gauss consiste en que el flujo del campo electrico atraves de una superficie cerrada es directamente proporcionala la carga neta encerrada por la superficie.

ΦE =

∮~E · d~A.



Ley de Gauss

La ley de Gauss consiste en que el flujo del campo electrico atraves de una superficie cerrada es directamente proporcionala la carga neta encerrada por la superficie.

ΦE =

∮~E · d~A.

En este caso, ~E = Er y d~A = dAr ,luego

ΦE =

∮~E · d~A =

∮EdA.

Como hemos considerado una superficie esferica, el modulodel campo electrico E = kq

r2 es el mismo a una distancia r de lacarga positiva q.



Ley de Gauss

Por otro lado el elemento de area en coordenadas esfericas esdA = r2 sin θdθdϕ, donde 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ ϕ ≤ 2π, luego

ΦE =

∮EdA =

∮kqr2 r2 sin θdθdϕ.

= kq∫ 2π

0dϕ∫ π

0sin θdθ.

= kq2π(− cos θ)∣∣π0 = 4πkq.



Ley de Gauss

Por otro lado el elemento de area en coordenadas esfericas esdA = r2 sin θdθdϕ, donde 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ ϕ ≤ 2π, luego

ΦE =

∮EdA =

∮kqr2 r2 sin θdθdϕ.

= kq∫ 2π

0dϕ∫ π

0sin θdθ.

= kq2π(− cos θ)∣∣π0 = 4πkq.

Donde anteriormente vimos que la constante de Coulomb sepuede expresar como k = 1

4πε0, finalmente el flujo del campo

electrico generado por la carga q es

ΦE =qε0.



Ley de Gauss

donde, ε0 es la permitividad del vacıo y k = 14πε0

= 9× 109 Nm2

C2 .

Comentarios:

El campo electrico varıa proporcionalmente con 1r2 , pero el

area de la esfera varıa proporcionalmente con r2. El efectode la combinacion produce que el flujo sea independientede r.La ley de Gauss asegura que existen los monopolos elec-tricos, es decir, pueden existir carga electricas aisladas.



Ley de Gauss

donde, ε0 es la permitividad del vacıo y k = 14πε0

= 9× 109 Nm2

C2 .

Comentarios:

El campo electrico varıa proporcionalmente con 1r2 , pero el

area de la esfera varıa proporcionalmente con r2. El efectode la combinacion produce que el flujo sea independientede r.La ley de Gauss asegura que existen los monopolos elec-tricos, es decir, pueden existir carga electricas aisladas.Desde la ley de Gauss, tenemos que:si ΦE 6= 0⇔ qn 6= 0, carga neta encerrada distinta de cero.si ΦE = 0⇔ qn = 0, carga neta encerrada es cero.La ley de gauss permite determinar el campo electrico endistribuciones de carga que tengan simetrıa esferica,cilındrica o plana.



Comentarios:

ΦE =qε06= 0.

El numero de lıneas de campo electrico quesalen de la superficie gaussiana es distinto decero.



Comentarios:

ΦE =qε06= 0.

El numero de lıneas de campo electrico quesalen de la superficie gaussiana es distinto decero.

ΦE = 0 ⇒ qn = 0.

El numero de lıneas de campo electrico queentran son iguales al numero de lıneas quesalen de la superficie gaussiana.



Ejercicio

A partir de la ley de Gauss, calculese el campoelectrico debido a una carga puntual aislada qy demuestrese que la ley de Coulomb sededuce a partir de este resultado.



Ejercicio

A partir de la ley de Gauss, calculese el campoelectrico debido a una carga puntual aislada qy demuestrese que la ley de Coulomb sededuce a partir de este resultado.

La ley de Gauss indica que

ΦE =

∮~E · d~A =

qε0.

El campo electrico es radial hacia afuera, con lo cual ~E = Er .El area es perpendicular a la superficie y por lo tanto tenemosd~A = dAr , luego

ΦE =

∮EdA =

qε0.



Ejercicio

Ahora, la magnitud del campo electrico es la misma a unadistancia r , es decir E = kq

r2 . Dado que hemos considerado unasuperficie esferica, la magnitud de E es constante en toda lasuperficie gaussiana. Por lo tanto,

ΦE = E∮

dA =qε0,

ahora, la integral cerrada de la superficie es 4πr2, con lo cual

ΦE = E4πr2 =qε0,

y finalmente,

E =q

4πε0r2 , ⇒ E =kqr2 .



Ejercicio

Una esfera aislante de radio a tiene unadensidad uniforme de carga ρ y una carga totalpositiva Q. Determine el campo electrico alinterior y fuera de la esfera.



Ejercicio

Una esfera aislante de radio a tiene unadensidad uniforme de carga ρ y una carga totalpositiva Q. Determine el campo electrico alinterior y fuera de la esfera.Fuera de la esfera, tenemos

ΦE =

∮~E · d~A =

Qε0,∮

EdA =Qε0, ⇒ E

∮dA =

Qε0,

E4πr2 =Qε0, ⇒ E =

kQr2 .

Finalmente, tenemos

~E =kQr2 r para r > a.



Ejercicio

Al interior de la esfera, tenemos

ΦE =

∮~E · d~A =

qint

ε0,∮

EdA =qint

ε0, ⇒ E

∮dA =

qint

ε0,

E4πr2 =qint

ε0, ⇒ E =

kqint

r2 .

Donde la carga al interior de la esfera gaussiana se obtiene de(ρ constante)

ρ =dqdV

, ⇒ dq = ρdV , ⇒ qint =

∫ρdV ,

qint = ρ

∫dV , ⇒ qint = ρ

4π3

r3.



Ejercicio

Por otro lado, la densidad de carga constante ρ es:

ρ =dqdV

, ⇒ dq = ρdV , ⇒ Q =

∫ρdV ,

Q = ρ

∫dV , ⇒ Q = ρ

4π3

a3 ⇒ ρ =Q

4π3 a3

.

Luego, la carga al interior de la esfera gaussiana es

qint = ρ4π3

r3, ⇒ qint = Qr3

a3 .

Finalmente, el campo electrico al interior de la esfera es:

~E =kQra3 r para 0 ≤ r ≤ a.



Ejercicio

Encuentre el campo electrico a una distancia r de una cargalineal infinita positiva uniforme, cuya carga por unidad delongitud es λ constante.



Ejercicio

Encuentre el campo electrico a una distancia r de una cargalineal infinita positiva uniforme, cuya carga por unidad delongitud es λ constante.

En este caso, usamos la simetrıa cilındrica yaplicamos la ley de Gauss

ΦE =

∮~E · d~A =

qε0.

La integral cerrada se puede separar en tresintegrales considerando las areas d~A1, d~A2 yd~A3, con lo cual∮~E · d~A =

∫~E · d~A1 +

∫~E · d~A2 +

∫~E · d~A3.



Ejercicio

Pero el campo electrico es radial hacia afuera, ~E = Er , luegono hay flujo de campo electrico a traves de las caras circularesdel cilindro, es decir

~E · d~A2 = 0,~E · d~A3 = 0.

Solo tenemos flujo electrico a traves del manto del cilindro,donde d~A1 = dA1r el elemento de area es tambien radial haciaafuera. Luego,

∮~E ·d~A =

∫~E ·d~A1 =

∫Er ·dA1r =

∫EdA1.

En este caso, el campo electrico es constantea una distancia r de la linea de carga, luego



Ejercicio

∮~E · d~A =

∫EdA1 = E

∫dA1 = E2πr`.

y esto tiene que ser igual a la carga neta q encerrada por lasuperficie gaussiana dividido por ε0. Dado que λ es constante

λ =dqd`

⇒ dq = λd` ⇒ q = λ

∫d` = λ`.

ΦE =

∮~E · d~A = E2πr` =

qε0.

Luego,

E =λ

2πrε0⇒ ~E =

2kλr

r .



Ejercicio

Determine el campo electrico debido a una lamina infinita noconductora con carga por unidad de area uniforme σ.



Ejercicio

Determine el campo electrico debido a una lamina infinita noconductora con carga por unidad de area uniforme σ.

En este caso, la superficie gaussiana es uncilindro de radio r y largo `. La ley de Gauss es

ΦE =

∮~E · d~A =

qε0.

La integral cerrada se puede separar en tresintegrales considerando las areas d~A1, d~A2 yd~A3, con lo cual∮~E ·d~A =

∫~E1 ·d~A1 +

∫~E2 ·d~A2 +

∫~E3 ·d~A3.



Ejercicio

Dado la simetrıa, el campo electrico es perpendicular a lasuperficie y apunta hacia afuera del plano. Luego, tenemos

~E1 · d~A1 = E1dA1,~E2 · d~A2 = 0.

~E3 · d~A3 = E3dA3.

⇒∮~E · d~A =

∫E1dA1 +

∫E3dA3.

Ahora, la magnitud del campo electrico es constante, es decirE1 = E3 = E = cte. Luego,

⇒∮~E · d~A = E

∫dA1 + E

∫dA3 = EA1 + EA3 = Eπr2 + Eπr2,

= 2Eπr2.



Ejercicio

La carga encerrada por la superficie gaussiana es

σ =dqdA

⇒ dq = σdA ⇒ q = σ

∫dA = σπr2.

Luego, ∮~E · d~A = 2Eπr2 =

qε0.

⇒ 2Eπr2 =σπr2

ε0.

⇒ E =σ

2ε0.



Ejercicio

Una esfera de radio R rodea a una carga puntual Q localizadaen su centro.

a) Demuestre que el flujo electrico a traves de una tapa circularde medio angulo θ, como aparece en la figura, esta dado por

ΦE =Q

2ε0(1− cosθ).

b) ¿Cual es el flujo para θ = 90◦ y para θ = 180◦?.



Conductores en equilibrio electrostatico

Un conductor en equilibrio electrostatico tiene las siguientespropiedades:

El campo electrico es cero en cualquier punto al interiordel conductor.Cualquier exceso de carga en un conductor aislado deberesidir completamente sobre su superficie.El campo electrico afuera del conductor es perpendicular ala superficie del conductor.



Ejercicio

Un cascaron esferico, conductor y aislado con carga total Q,tiene radio interior a y exterior b. Determine el campo electricoen las zonas 1, 2 y 3, es decir, al interior y al exterior delcascaron esferico.



Ejercicio

Un cascaron esferico, conductor y aislado con carga total Q,tiene radio interior a y exterior b. Determine el campo electricoen las zonas 1, 2 y 3, es decir, al interior y al exterior delcascaron esferico.

Tenemos

E1 = 0, para 0 ≤ r < a,E2 = 0, para a < r < b,

~E3 =kQr2 r , para r > b.



Ejercicio

Una esfera conductora de radio a tiene una carga neta positiva2Q. Un cascaron conductor esferico de radio interno b y radioexterno c es concentrico con la esfera y tiene carga neta −Q.Utilizando la ley de Gauss, determine el campo electrico en lasregiones 1, 2, 3 y 4, y la distribucion de carga sobre elcascaron esferico.



Ejercicio

Una esfera conductora de radio a tiene una carga neta positiva2Q. Un cascaron conductor esferico de radio interno b y radioexterno c es concentrico con la esfera y tiene carga neta −Q.Utilizando la ley de Gauss, determine el campo electrico en lasregiones 1, 2, 3 y 4, y la distribucion de carga sobre elcascaron esferico.

Tenemos

E1 = 0, para 0 ≤ r < a,

E2 =2kQr2 , para a < r < b,

E3 = 0, para b < r < c,

E4 =kQr2 , para r > c.



Ejercicio

Determine el campo electrico generado por una laminaconductora aislada, delgada e infinita con carga total Q.



Ejercicio

Determine el campo electrico generado por una laminaconductora aislada, delgada e infinita con carga total Q.

~E1 = − σε0

i , a la izquierda de la lamina,

~E2 = 0, al interior de la lamina,~E3 =

σ

ε0i , a la derecha de la lamina.



Ejercicio

Considere dos placas conductoras planas e infinitas, una concarga positiva Q y la otra con carga negativa −Q. Determine elcampo electrico a la izquierda, entre y a la derecha de lasplacas, y ademas, al interior de las dos placas conductoras.



Ejercicio

Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde elreposo en un campo electrico uniforme E dirigido a lo largo deleje x, como se muestra en la figura. Describa su movimiento.


F´ısica II CF-342 Ingenier´ıa Plan Com un.´ · Fuerza y Campo Electrico´ Cargas electricas´...

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