Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-1 Una partcula tiene movimiento oscilatorio cuandose mueve alrededor de una posicin de equilibrio, pasandoalternativamente(enunsentidoyenelcontrario)porsta.Elmovimientodeunpndulo,las vibracionesdeunmuelle,olasoscilacionesdeuncuerpoqueflotaenelaguaconstituyenejemplosde movimientos oscilatorios.

Si las oscilaciones se repiten cada cierto tiempo fijo, se dice quelasoscilacionessonperidicas,yelmovimientoes oscilatorio peridico. Ejemplosdeestemovimientopuedenser,unpndulo simple o un muelle del que colgamos un cuerpo de masa m. Elmovimientooscilatoriodeuncuerposobreunatrayectoriarectaesarmnicosimplecuandoest sometido a la accin de una fuerza de atraccin proporcional al vector de posicin, con origen en su punto de equilibrio o centro de oscilacin, y de sentido contrario. El movimiento armnico simple (se abrevia m.a.s.), es un movimiento peridico que queda descrito enfuncindeltiempoporunafuncinarmnica(senoocoseno),esuncasoparticulardemovimiento oscilatorio peridico. Lo estudiaremos por dos razones:1)Es el ms sencillo de los movimientos oscilatorios.2)Cualquier otro movimiento oscilatorio puede descomponerse en suma de m.a.s. (Anlisis de Fourier). Paradeducirlaecuacindelm.a.s.tendremosencuenta que ste puede considerarse como la proyeccin de un punto que se mueve con m.c.u. de radio A sobre el dimetro vertical (ver figura).Entonces,seobservaqueelmovimientodescritoporlaproyeccin de ese punto es... - ...rectilneo, pues sigue una trayectoria recta (el dimetro). - ...oscilatorio o vibratorio, puesto que la posicin respecto al origen pasa por unvalor mximo y otro mnimo. 8.0 Introduccin 8.1Movimiento oscilatorio. Movimiento armnico simple.8.2 Movimiento ondulatorio. Caractersticas.8.3 Ecuacin del Movimiento Ondulatorio. Ondas armnicas.8.4 Energa en intensidad del Movimiento Ondulatorio. Atenuacin y Absorcin.8.5 Superposicin de ondas; nociones sobre los fenmenos de interferencia.8.6 Ondas Estacionarias.8.7 Principio de Huygens. Refraccin y reflexin 8.8 Difraccin8.9 Sonido. Acstica. Contaminacin sonora. 8.10 Ejercicios Resueltos. 8.11 Ejercicios Propuestos. 8.12 Para saber ms. 8.13 Pruebas de Acceso a la Universidad. 8.0.- Introduccin 8.1.- Movimiento Oscilatorio. Movimiento Armnico Simple 8.1.1.- Cinemtica del M.A.S.Tema 8:Movimiento Ondulatorio Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-2 Si escogemos como eje X el eje vertical, tendremos que si la partcula ha girado inicialmente, para t = 0, un ngulo o, su posicin sobre dicho eje vendr dada por: ( ) ox Asen t e = +Caractersitcas de un M.A.S. Vibracinuoscilacinesladistanciarecorridaporlapartculaenunmovimientocompletode vaivn. Centro de Oscilacin, O, es el punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partcula mvil. Elongacin, x,esladistanciaqueencadainstante separa lapartculadel centrodeoscilacin,O, tomado como origen de las elongaciones. Su valor es positivo o negativo de acuerdo con el criterio cartesiano de signos, derecha positivo e izquierda negativo. En el S.I. se expresa en m. Amplitud, A, es el valor mximo de la elongacin, o separacin mxima con respecto a la posicin de equilibrio de la partcula que vibra u oscila. En el S.I. se expresa en m. Alngulot + selellamafase,determinaelestadodevibracindelobjeto,permitecalcularla elongacinencualquierinstanteysemideenradianes(rad)enelS.I.;oeslafaseinicialo constantedefase,ynosindicaelestadodevibracin delobjetoalcomenzarlamedidadeltiempo (t=0).Segn esto: -Dospuntostienenigualfasesisemuevenenelmismosentidoysuselongaciones son iguales en valor y signo. -Dospuntostienenfaseopuestasisuselongacionessonigualesenvalor,perode signo contrario. Longitud de onda, , es la distancia que separa dos puntos consecutivos que tienen igual fase. Perodo(T)eseltiempoqueelobjetotardaenvolverapasarporlamismaposicin,oeltiempo que tarda en describir una oscilacin completa. 2Tte=Frecuencia (f) se define como el nmero de oscilaciones descritas en un segundo. Su unidad en el S.I. es elhertzio (Hz), y se calcula a partir del perodo mediante la ya conocida expresin: 1fT=Frecuencia angular o pulsacin,e , es el nmero de periodos comprendidos en2t unidades de tiempo y su valor depende de la rapidez con que oscila o vibra el objeto. Se mide en rad/s en el S.I., y est relacionada con el perodo mediante: 22 fTte t = = Las constantes del m.a.s. son los valores de A, y o de cada movimiento concreto. Llamamos oscilador armnico o mecnico a cualquier partcula que describa un m.a.s. OBSERVACIN: La ecuacin del m.a.s. tambin puede escribirse utilizando una funcin coseno: x = A cos (t + o) Se trata, en realidad, de la misma expresin que hemos escrito antes; la nica diferencia es que entre ambas existe un desfase de /2 radianes. Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-3 Medianterelacionestrigonomtricaspodemos transformarlaecuacinconsenoenlaecuacin con coseno, ya que: ( )( )cos2cos2o oo osen t tt sen tte e te e | |+ = + |\ .| |+ = + + |\ . De la misma forma, si trabajamos en el eje y, podemos encontrar que la ecuacin de un m.a.s. puede ser: y = A cos (t + o) Parahallarlavelocidad(instantnea)deunapartculaquesemueveconm.a.s.derivamosla ecuacindemovimiento,quenosindicalaposicinoelongacindelapartculaencualquierinstante,con respecto al tiempo: ( ) ( ) ( ) o odx dv ASen t A Cos tdt dte e e = = + = + Ahora bien, sabemos que sen2 + cos2 = 1;as pues, la velocidad tambin puede expresarse en funcin de la elongacin de la manera siguiente: ( )( )( )2 2 2 2 2 2 1o ov A Sen t A A Sen t A X e e e e e = + = + = De donde podemos deducir: La velocidad de un m.a.s. se repite peridicamente, es decir, vara en funcin del tiempo. El valor de la velocidad depende de la posicin (o elongacin); los dos signos nos indican el sentido del movimiento de acuerdo con el criterio cartesiano de signos (ver dibujo a la derecha). Es decir, la direccin de la velocidad es la de la recta en la que tiene lugar el movimiento, y su sentido es el mismo que el de ste. Ejemplo 8.1.- Una partcula oscila segn un MAS de manera que su posicin viene dada por la ecuacin: . Calcular: a) La posicin en t=3 seg b) La frecuencia y el periodo de su movimiento c) La posicin en el momento inicial d) La ecuacin del movimiento en la forma seno. a) Sustituyendo t=3, tenemos b) La frecuenciay el periodo: c) Para t=0 se tiene 8.1.1.1.- Ecuacin de la velocidad Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-4 Elvalormximodelavelocidad, A e ,sealcanzaenelcentrodelatrayectoria(oposicinde equilibrio) y se anula en los extremos. Esto es lgico, ya que en dichos puntos se invierte el sentido delmovimiento y la velocidad pasa de positiva a negativa, y viceversa. Parahallarlaaceleracin(instantnea)deunapartculaquesemueveconm.a.s. (queserunaaceleracintangencial)derivamoslaecuacindelavelocidadconrespectoal tiempo: ( ) ( ) ( )2 2 o odv da A Cos t A sen t xdt dte e e e e = = + = + = De donde podemos deducir: -La aceleracin de un m.a.s. se repite peridicamente, es decir, en funcin del tiempo. -La velocidad y la aceleracin estn desfasadas un ngulo de/2rad;laposicinylaaceleracinestndesfasadasun nguloderad.As,siserepresentalafaseenelejeXyla elongacin, velocidad y aceleracin en el eje Y, se obtienen unas grficas que representan la variacin de dichas magnitudes en el tiempo(verfiguraadjunta).Vemosquelosvaloresdela elongacin y de la aceleracin se anulan simultneamente en la posicin de equilibrio, siendo sus sentidos opuestos en todo momento; sin embargo, la velocidad es mxima, en uno u otro sentido,cuandolaelongacinesnula,yenlospuntosdemximovalordelaelongacin (extremos de la trayectoria) es donde la velocidad se hace cero. -El hecho de que la aceleracin sea proporcional a la elongacin y de signo contrario esunadelaspropiedadescaractersticasdelm.a.s.(odelososciladoresarmnicos),ynos indicaquelaaceleracinestsiempredirigidahaciaelcentrodelavibracinopuntode equilibrio. -El valor mximo de la aceleracin, 2A e , sealcanzaenlosextremos,yseanulaenelpunto deequilibrio(x=0),talycomosemuestraenla figura de la izquierda. En resumen, en todo M.A.S. se cumple que: Laelongacin,lavelocidadylaaceleracinvaranperidicamenteconeltiempo, pero no estn en fase. La aceleracin del mvil es proporcional a la elongacin, pero de sentido opuesto. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud. Ejemplo8.2.-UncuerpovibraconMASsegnlaecuacin,enunidadesSI.Calcula:a)Elvalordelaelongacin cuando t=s, b) La velocidad del cuerpo cuando t=/2s, c) El periodo y la frecuencia. a) Sustituyendo directamente en la ecuacin, obtenemos; b) La velocidad vendr dada por la derivada de x con respecto al tiempo: Si sustituimos t=/2 , tenemos: c) El periodo, viene dado por:, mientras que la frecuencia ser: 8.1.1.2.- Ecuacin de la Aceleracin Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-5 El m.a.s. es acelerado (a > 0)cuando la partcula que vibra se dirige hacia la posicin de equilibrio, y es retardado (a < 0)cuando la partcula se dirige a los extremos. Ello implica que la fuerza que origina este movimientotiendeallevarlapartculahacialaposicindeequilibrio;atalesfuerzasselesllamafuerzas restauradoras o recuperadoras, y la fuerza elstica es un ejemplo de ellas. La fuerza recuperadora que origina el m.a.s. es directamente proporcional a la elongacin de la partcula y seopone al aumento de dicha elongacin; de acuerdo con la 2 ley de Newton y la ley de Hooke: 2 2 e e t = = = = =k mF ma k x ma k x m x Tm k Laconstanteelsticaorecuperadora,k,escaractersticadecadaoscilador,ysemideenN/m.Aspues, resumiendo,siuncuerpoquesemuevesobreunarectaestsometidoalaaccindeunafuerzaatractivahacia un punto fijo, la cual es directamente proporcional a la distancia que lo separa de l, el cuerpo realizar unmovimiento vibratorio armnico simple cuyo periodo vendr dado por la expresin anterior. Estudiemos algunos casos concretos:

Muelle horizontal sin rozamiento: Es el caso ms simple. La fuerza resultante sobre el cuerpo es la fuerza elstica.

2 e = = = F ma k x ma k x m x De donde: 122e tt= = =k m kT fm k m Muelle en vertical: Ahora incluimos la accin de la fuerza gravitatoria. De partida, alcolgarelcuerpo,cambialaposicindeequilibrio(yeq).Elcuerpoestaraen reposocuando0 + =elF P ,portanto =eqK y mg ydespejandolaposicinde equilibrio, tenemos: =eqm gyk En la posicin de equilibrio el muelle ya est algo estirado. (Deflexin esttica). Eseeselnicoefectoquevaatenerlafuerzagravitatoria,modificarlaposicindeequilibrio.Aldesviarel cuerpo de esta posicin, comenzar a oscilar en torno a ese punto debido a la accin de la fuerza elstica, y lasecuacionesvuelvenaserlasquehemosvisto,siempretomandocomopuntodereferencialanueva posicin de equilibrio. El pndulo simple: Es un sistema ideal formado por una masa puntual, m, suspendida de un hilo inextensible y sin masa, de longitud l. En su posicin de equilibrio, la resultante de las fuerzas que actan sobre la masa es nula. 0 0 = + =F P T Cuandoseseparaelpndulodesuposicindeequilibrio,dicha resultante ya no es nula. El peso tiene dos componentes, de las cuales la perpendicularaladireccindelmovimientosecontrarrestaconla Tensin: cos 0 + = T mg 8.1.2.- Dinmica del M.A.S. Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-6 Y aplicando la segunda ley de Newton, tenemos: = = mgsen ma a g sen Aceleracin que se opone al movimiento. Si suponemos que la oscilacin es de ngulo muy pequeo, podemos aproximar el seno al ngulo: sen . Y la ecuacin quedara: = a g . Adems si escribimos la relacin entre el arco y el ngulo: =s xl l Entonces la aceleracin queda: = xa gl Como en un m.a.s. sabemos que la aceleracin viene dada por la segunda derivada de la elongacin: ( ) ( ) ( )2 2 o odv da A Cos t A sen t xdt dte e e e e = = + = + = Sustituyendo, tenemos:2 e = xx gl De donde despejando la pulsacin, tenemos: e =gl Y de aqu, el periodo ser:22tte= =lTg y la frecuencia:12 2et t= =gfl Noscentraremosenelm.a.s.quedescribeuncuerpounidoaun resortehorizontalsobreunasuperficiesinrozamiento.(Eselcasoms sencillo y el estudio es similar en otros casos.)

Laenergacinticadeunosciladorarmnicovienedadaporla expresin ya conocida por todos: 212cE mv =Sustituyendo v por el valor de la velocidad en un m.a.s.: ( ) ( ) ( ) o odx dv ASen t A Cos tdt dte e e = = + = + Tenemos: 2 2 21E cos ( )2e e = +c om A t Comolavelocidadtambinlapodemosescribircomo: 2 2e A X ,la energa cintica queda: ( )2 2 212e = cE m A X 8.1.3.- Energa asociada a un M.A.S.8.1.3.1.- Energa cintica un oscilador armnico Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-7 Por estar ligado al muelle, el cuerpo tambin posee energa potencial elstica que viene dada por: 212=pE k xSi expresamos k en funcin de la pulsacin y de la masa:e =km, tenemos: 2 21 2e =pE m xY si sustituimos x, por la ecuacin de la elongacin( ) e = +ox Asen t , quedar: ( )2 2 21 2e e = +p oE m A sen t Conocidaslaenergapotencialycinticadeunosciladorarmnicoenunpuntocualquiera,de elongacin x, podemos calcular su energa mecnica. = +M c pE E EPor tanto: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 cos ( ) cos ( ) 2 2 2 2e e e e e e e e = + + + = + + + =M o o o oE m A t m A sen t m A t sen t m ADe donde: Laenergamecnicaqueposseencadainstanteunsistemaquesemueveconunmovimiento armnico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud de la vibracin. Como 22 2 2244 te t u = =T, sustituyendo tenemos: 2 2 22 t u =ME m ADe donde: La energa de una m.a.s. es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia de la vibracin. Al mantenerse constante la EM, tendremos queA = Aelc pE E , es decir, cuando la Ec es mxima, la Ep es nula, y viceversa. La variacin podemos verla enlas siguientes grficas, respecto al tiempo y al desplazamiento. 8.2.3.1.- Energa potencial de un oscilador armnico 8.2.3.1.- Energa Mecnica de un oscilador armnico Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-8 MovimientoOndulatorioesla propagacin de un movimiento oscilatorio en el senodeunmedioelsticoatravsdesus partculas,lascuales,oscilanyobliganaoscilar alaspartculasprximastransmitiendola vibracin de un centro emisor a otro. Engeneralsedenominaondaatoda perturbacinquesepropaga,otambinala posicinqueadoptaencadainstantela perturbacin que se transmite a travs del medio elstico,entendiendoporperturbacinatoda energa que, al ser comunicada a un punto es capaz de propagarse. Desde ahora ha de quedar muy claro que en el movimiento ondulatorio se propaga la energa, pero no las partculas que han recibido esa energa. Asporejemplo:dejandocaerunapiedraenun estanque en el que flotan algunos corchos, se observa que las partculassuperficialesdelagua,juntamenteconloscorchos aellasadheridos,vibranverticalmente,subiendoy bajando, pero sin desplazarse horizontalmente. En cambio lascircunferenciasconcntricas(ondas)queseproducen alrededordelapiedraenformadeelevaciones(crestas)y depresiones(valles)avanzanhorizontalmentehaciala orilla. Es decir, no se propaga la partcula vibrante, sino la energa que posee. Segn la relacin que exista entre la direccin de propagacin del movimiento y la direccin de vibracin de cada partcula, las ondas pueden ser transversales y longitudinales. Son aquellas en las que las partculas vibran en la misma direccin que la propagacin. 8.2.- Movimiento Ondulatorio. Caractersticas 8.2.1.- Tipos de Ondas8.2.1.1.- Ondas Longitudinales Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-9 Son aquellas en las que las partculas vibran perpendicularmente a la direccin de propagacin. Cuandounaondatransversalsepropaga,laperturbacinpuedellevarcualquierdireccin,siempre queforme90conladepropagacin.Estoesloqueocurrenormalmente(conlaluz,porej.,loscampos elctricosymagnticosquecomponenlaperturbacinvancambiandodedireccinaleatoriamente,aunque siempreperpendicularesalapropagacin).Sediceentoncesquelaondanoestpolarizada.Simediante algnprocedimientoconseguimosqueladireccin delaperturbacinsemantengafija,diremosqueha ocurridounapolarizacin.Laondaestar polarizada.Paralaluz,estoseconsiguemedianteunas sustanciasllamadaspolarizadores.Sonsustancias (cristales o plsticos) que por su composicin qumica slopermitenquelosatravieselaluzcuyocampo elctrico vaya en una direccin determinada.De lo contrario la luz es absorbida. Lasondasquevamosaestudiarenelprximoapartadodeltemasonaquellasenlasqueel movimiento de las partculas del medio (la perturbacin) es un m.a.s.Se denominan ondas armnicas. Para estudiar la propagacin de la onda, necesitamos conocer tanto la magnitudes de la perturbacin (del m.a.s. originado en el foco) como las magnitudes de la propagacin por el medio. Son aquellas caractersticas del m.a.s. y que hemos visto con anterioridad:

Periodo:(T)Frecuencia:()Frecuencia angular:()Fase inicial: (0)Amplitud:( A ) Velocidad de propagacin: ( v )Velocidad a la que se transmite la energa de una partcula a otra delmedio.Silascaractersticasdelmediosemantienenconstantes,tambinlavelocidadde propagacin ser una constante. Porseruniformeelmovimientoondulatorio,deladefinicindeperiodosededucelavelocidadde propagacin:relacinentreunespaciorecorridoigualalalongituddeondayeltiempoinvertidoen recorrerlo. u u 1= = =Tv 8.2.1.2.- Ondas Transversales. Polarizacin 8.2.2.- Magnitudes caractersticas de las ondas8.2.2.1.-Magnitudes dependientes del foco emisor 8.2.2.2.-Magnitudes dependientes del medio Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-10 Longitud de onda:()Distanciamscortaentredospuntosdel medioquetienenelmismovalordelaperturbacin.Esdecir,esla distanciaalaqueserepiteelvalordelaperturbacin.EnelS.I.se mide en m. La longitud de onda est relacionada con la velocidad de propagacin mediante las expresiones: v t = v vfu= =Nmerodeonda:(k)Esunamagnitudinversaalalongituddeonda.SuunidadenelS.I.es rad/m.Se calcula mediante la expresin: 2k kvt e= = Llamamosondasarmnicasalasquetienensuorigenenlasperturbacionesproducidasenun medio elstico por un movimiento armnico simple SupongamosunaondaarmnicaunidimensionalquesepropagaalolargodelejeXensentido positivo, como consecuencia de cierta perturbacin peridica producida en el punto O. Laexpresinmatemticaquedescribeel estadodevibracindecadapartculaen funcin del tiempo es: ( )oy Asen t k x e = + Conocida como ecuacin del movimiento ondulatorio armnico o funcin de onda. Lafuncindeonda,y,representaelvalordelaelongacinparacadapuntodelmedioenfuncindel tiempo. Donde: -Y es la elongacin -A es la amplitud -e es la pulsacin o frecuencia angular-K es el nmero de ondas-X es la distancia recorrida. - oes la fase inicial Si sustituimose y k por su valor, obtenemos: 2t xy A senTt (| |= |(\ . Si la onda se propagara en el sentido negativo del eje x, su expresin sera: ( ) y Asen t k x e = + 8.2.2.3.-Magnitudes dependientes tanto del foco como del medio 8.3.- Ecuacin del Movimiento Ondulatorio. Ondas Armnicas Concordancia en fase: Dospuntosdeunaondaestnen concordanciadefasecuandoladiferencia defaseentreellosvale2n,connnmero entero.Encualquierinstantesusentidode vibracin es el mismo, Dos puntos de una onda estn en oposicin defasesiladiferenciaentreellosesde (2n+1). Encualquier instante suestado de vibracin es opuesto. Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-11 Cuandounapartculadelmedioelsticoenquesepropagaelmovimientoondulatoriocomienzaa vibrar, adquiere una cierta energa, que ser: -Cintica solo, en la posicin de equilibrio, cuando la elongacin es cero. -Potencial solo, en los puntos de mxima elongacin. -En parte cintica y en parte potencial, en otro instante cualquiera de la vibracin. Comoenvirtuddel principiode conservacin delaenerga,stadebe permanecercte,vamosacalcularsu valor en el caso ms sencillo: aquel en el que la partcula solo posee energa cintica. La velocidad de la partcula viene dada en funcin de tiempo por: 2cos 2dy A t xvdt T Ttt ( | |= = |(\ . Siendo su valor mximo: TAvt 2max =Su energa ser: max22 2 2 2 2max 21 2 2 2cmE E mv A m f ATtt = = = = Lo que nos permite enunciar: La energa propagada en un movimiento ondulatorio es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia. Ysidividimoslaenergamecnicatotaltransmitidaporunaondaentreeltiempoduranteelcualseha transmitido esta energa, se obtiene el valor de la potencia de la onda, P. 2 2 22 E mA fPt tt= =A A 8.4.- Energa e intensidad del movimiento Oscilatorio. Atenuacin y Absorcin 8.4.1.- Magnitudes caractersticas de las ondas8.4.1.1.- Energa del movimiento Ondulatorio Ejemplo8.3.-LafuncindeondadeunaondaarmnicaenunacuerdavienedadaenunidadesSIpor:. Determina: a) En qu sentido se mueve la onda y con qu velocidad, b) La longitud de onda, el periodo y la frecuencia, c) las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracin en funcin del tiempo para un partcula que se encuentra en el punto x=-3 cm. a) Comparando la funcin de onda dada con la funcin de onda general podemos determinar: A=0,001; =314 rad/s, k=62,8 m-1 y=0.El signo positivo del trmino kx, indica que la partcula se mueve en el sentido negativo del eje X. Para determinar la velocidad, sustituimos en la siguiente expresin los datos del problema: b) La longitud de onda vale:, el periodo ser: y la frecuencia: c) La ecuacin de la velocidad se obtiene derivando la funcin de onda respecto del tiempo:y para x=-0,03 tenemos: La aceleracin es la segunda derivada de y con respecto al tiempo:y para x=-0,03 tenemos: Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-12 Intensidad, I, de un movimiento ondulatorio es la energa que durante 1 segundo pasa por la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la direccin de propagacin de la onda. En el S.I. se mide en J/sm2 que equivale a W/m2 Si el medio es istropo, la energa emitida se propaga mediante ondas esfricas. En este caso la intensidad en un punto situado a la distancia r del foco emisor valdr: 2 4 rPIt=Siendo P la potencia de la onda. Siconsideramoslaintensidadadosdistanciasr1yr2deun mismo foco, tendremos: 222211 4 4rpIrpItt== De donde podemos deducir: 21 222 1I rI r= La intensidad va disminuyendo proporcionalmente al cuadrado de la distancia al foco emisor. Ycomolaenergaesproporcionalalcuadradodelaamplitud,tambindebeserlolaintensidad.Portanto podemos escribir: 21 1 1 222 2 2 1I A A rI A A r= = Acabamosdeverqueenunmediolaintensidaddeunmovimientoondulatoriodisminuye proporcionalmente con la distancia al cuadrado. Enelcasodeondasplanas,sillamamosao coeficientedeabsorcindelmedio, tenemos: lo e I Io = Que constituye la ley general de absorcin del movimiento ondulatorio. 8.4.1.2.- Intensidad del movimiento ondulatorio Ejemplo 8.4.- La potencia emisiva de un foco es de 25W. Cul es la intensidad de la onda a distancias r1=1 m y r2=2m?. qu relacin existe entre las intensidades y las amplitudes de esos puntos?. A un metro del foco:; A dos metros del foco: La relacin entre las intensidades esY entre las amplitudes:

8.4.1.3.- Atenuacin y absorcin de las ondas Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-13 Donde oI eslaintensidadinicialeI laintensidaddelaondadespusdehaberatravesadounmediode espesorl Entodomovimientoondulatoriolaintensidadylaamplitudsevanamortiguandoal aumentar la distancia al foco emisor. Sin embargo la frecuencia de la vibracin se conserva cte. Cuando una onda que se propaga por un cierto medio, se encuentra con un medio diferente (por ejemplo, luz o sonido que se propagan por el aire y se encuentran con agua, o con un cristal). Al llegara la superficie que separa ambosmedios,puedeocurrirqueseabsorbatodalaenerga, desapareciendo totalmente la onda. (Absorcin). Interferenciaeselencuentrodedosomsondascuyasaccionessesuman,dandoorigenenlos puntos de coincidencia a una nueva onda. Esto quiere decir que cada punto recibe una perturbacin que es la suma vectorial de las originadas por cada onda aislada. Una interferencia puede ser constructiva, si las dos ondas poseen elongaciones del mismo sentido, o destructiva, si las elongaciones tienen sentido opuesto. En un puntosituado a la distancia x1 de O1 y x2deO2,lasperturbacionesproducidasporambas ondas son: 11 122 2 2 2x ty A senTx ty A senTtt| |= |\ .| |= |\ . Siendo la perturbacin resultante: 1 21 2 1 2 2 2x x t tY y y A sen A senT Tt t | | | |= + = + ||\ . \ . Cuya amplitud vendr dada por: ( ) | cos 2 cos 22 12221 2 1 2 122212A A A A A A A A A + + = + + = pero como en este caso t 11 2x=y t 22 2x= , resulta quet |2 12x x =Elngulo| esladiferenciadefaseenelpuntoPentrelasdos perturbaciones. Ejemplo 8.5.- El coeficiente de absorcin de un determinado medio es de 0,5 cm-1. Cul ha de ser su espesor para que la intensidad de una onda que lo atraviesa se reduzca a la quinta parte de la incidente?. Teniendoencuentalaleygeneraldelaabsorcin,comoy,sustituyendoresulta:, tomando logaritmos neperianos y despejando L, queda: 8.5.- Interferencias Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-14 A la vista de lo expuesto, se llega a la conclusin de que la amplitud de la perturbacin resultante en un punto determinado depende de la diferencia de fase con que los movimientos llegan a dicho punto. Esta ser mxima cuando1 22 1==t |x xCos Cos , es decir cuandott 2 22 1nx x= (siendo n=0; 1; 2..), de donde se deduce la siguiente condicin para la interferencia constructiva: 2 1n x x = -Laamplitudsermxima) (2 1A A A + = enaquellospuntosdelmedioparaloscualesla diferenciadecaminosesunmltiploenterodelalongituddeonda.Estospuntosson conocidos como vientres o antinodos. Por el contrario, si1 22 1 ==t |x xCos Cos , lo cual sucede cuandott ) 1 2 ( 22 1+ =nx x, es decir si: 2) 1 2 (2 1+ = n x x Obtenemos la condicin para la interferencia destructiva. -La amplitud ser mnima 1 2( ) A A A = enaquellospuntosdelmedioparaloscualesla diferenciademarchaesunmltiploimpardelasemilongituddeonda.Estospuntosson conocidos como nodos o puntos nodales. Laslneasqueunenlosvientressedenominanlneasventrales,mientrasquelasqueunenalos nodos se llaman lneas nodales. Cada lnea ventral o nodal est formado por los puntos cuya diferencia de distancias a los focos de ambas ondas es una constante (x1-x2=Cte) Uncasoparticulardelosfenmenosdeinterferenciaeslaformacindelasllamadasondas estacionarias. Ondaestacionariaeslaondaqueresultadelencuentrodedosondasdeiguallongituddeonday amplitud, que se propagan en la misma direccin, pero en sentidos contrarios. Esta nueva onda resultante da la sensacin de no avanzar, encontrndose estacionada (de ah su nombre) enelespacio,presentandounospuntosinmviles(nodos)yotrosquesemuevendemaneraquealvibrar alcanzan una amplitud mxima (vientres). Vientres, son los puntos (V) donde, por encontrarse las dos ondas en igual fase, se refuerzan haciendo que la amplitud de la onda resultante (onda estacionaria) sea el doble de la de una de ellas. Nodos son los puntos (N) donde al encontrarse ambas ondas en fase opuesta, la amplitud de la onda resultante se anula. Los nodos son puntos fijos inmviles. Supongamos dos ondas de la misma A y de la misma 1 22 2t x t xy Asen y AsenT Tt t | | | |= = + ||\ . \ . La perturbacin resultante en dicho punto ser: 1 22 22 2 2 cost x t x x tY y y A sen sen A senT T Tt tt t ( | | | |= + = + = ||(\ . \ . 8.6.- Ondas Estacionarias Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-15 Por lo tanto, el punto en cuestin vibrar con igual periodo que los movimientos ondulatorios componentes, y con una amplitud resultante: 22 cosrxA At=Que depende de la situacin del punto. La onda estacionaria es armnica de igual frecuencia que las componentes y su amplitud Ar, es independiente del tiempo, pero vara sinusoidalmente con la abscisa x. Porlotanto,exceptoenlospuntos en que la amplitud es nula (los nodos), que no oscilan,todoslospuntosdelaondaoscilan armnicayverticalmenterespectodeOXy alcanzan a la vez la posicin de equilibrio. Puestoquelosnodosseencuentransiempre enreposo,laondaestacionariaparece permanecerfijasobreladireccinde propagacin(deahsunombre),noviaja,y por tanto, no transporta energa. Alnoexistirtransportedeenerga,no podemosconsiderarlasondasestacionarias como ondas en sentido estricto de la palabra. Estasondastienenunavelocidadde propagacin nula. Aunque las ondas que la componen (ondas viajeras) si tienen velocidad de propagacin. La amplitud es nula en aquellos puntos donde02cos =tx, es decir: 2) 1 2 (2 tt+ = nx O sea: Que corresponde a los nodos. Por el contrario la amplitud ser mxima cuando 2cos 1x t= , es decir: ttnx=2 O sea: Que corresponde a la situacin de los vientres. La distancia entre dos nodos o entre dos vientres consecutivos ser: 12n nx x+ = Y la distancia entre vientre y nodo consecutivos ser: con n=(0,1,2,3) con n=(0,1,2,3..) Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-16 4 424) 1 2 ( = + n n Ladistanciaentredosvientresodosnodosconsecutivosesigualamedialongituddeonda.Por tanto, la distancia entre un vientre y un nodo es de un cuarto de longitud de onda. Entre las ondas estacionarias destacan las producidas en una cuerda tensa yflexible, con uno o dos extremosfijos.Comotodaondaestacionaria,lospuntosdelacuerda,exceptuandolosnodos,oscilanal mismotiempoconunmovimientoarmnicodeigualfrecuenciaaunquedeamplitudvariablequedepende de su posicin. Consideremos una cuerda de longitud L fija por sus dos extremos: -Al apartarla de su posicin de equilibrio y soltarla, las fuerzas elsticas de recuperacin la hacen vibrar. -Las ondas que se propagan en sentidos contrarios dan lugar a distintas ondas estacionarias. -Cada una de las ondas estacionarias componentes del movimiento tiene unafrecuencia caracterstica y se denomina modo normal de vibracin. -Los extremos de la cuerda, de abscisas O y L, deben ser nodos, ya que en estos puntos no hay vibracin -Paradeterminarlaslongitudesdeondadecadaunodelosmodosnormalesdevibracin,debemostenerencuentaqueen todaondaestacionarialadistanciaentrenodosconsecutivosvale/2.Porlotanto,laformulacindestarequierequela longitud de la cuerda cumpla: 2 de donde:= 0,1, 2, 3...2LL n con nn = =-Estaexpresinmuestraquesolosonposibleslasondasestacionariascuyaseasubmltiplodeldobledelalongituddela cuerda. -Cada modo normal lleva asociada una frecuencia que depende de la velocidad de propagacin de las ondas en la cuerda. 0,1, 2, 3...2v vf f n con nL = = = Lafrecuenciamenorsedenominafrecuenciafundamentaloprimerarmnico;lasiguiente,segundoarmnico;yas sucesivamente constituyen una serie armnica.

Teniendo en cuenta que la velocidad de propagacin es funcin de la tensin de la cuerda: TV= , donde T es la tensin y la densidad lineal de la cuerda: mL = , podemos calcular la frecuencia de los armnicos en funcin de la tensin:2n TfL = 8.6.1.- Ondas Estacionarias en una Cuerda8.6.1.1.- Cuerda fija en sus dos extremos Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-17 Unaondaestacionaria,notransportaenerga,lo cual es lgico porque los nodos permanecen siempre en reposo. Decimosquedosondasarmnicassoncoherentessi estn en fase o su diferencia de fase es constante. Hemos visto que cuando una perturbacin se transmite a travs de un medio, los puntos alcanzados porlamismavibrandelamismaformaquelohaceelpuntosituadoenelfoco.Todopuntodelmedio alcanzado por una onda se comporta como un foco emisor. PrincipioHuygensparacualquieronda"todopuntodeunfrentedeondaseselorigende una nueva onda que genera un nmero indefinido de frentes de onda. Laenvolventedeestosfrenteseselnuevo frentedelaondaprimitiva.Elnuevofrentedeonda est acompaado de otro que retrocede hacia el foco. Cadafocopuntual"radia"suenergademanera uniforme.Laintensidadesmximaenelsentidodel avancereal.Cuandounfrentedeondaplanose encuentraconunobstculoquetieneunagujero,el frentedeondaqueseobtienedetrsdelmismoes semiesfrico. Cuandounaondavaporunmedioy encuentraensucaminolafronteradeotromedio distinto,sedivideendos:unaquepenetraenel muevo medio y se llama onda refractada y otra que rebota y vuelve al primer medio y recibe el nombre de onda reflejada. Refraccineselcambiode direccin que experimentan las ondas al pasaroblicuamentedeunmedioaotro enelquesepropagancondiferente velocidad. -Rayo incidenteesladireccin enquesepropagala onda enelprimer medioyrayorefractadoeslanueva direccin queadquiereelpenetrar enel otro medio. -Angulodeincidencia(i)eselnguloqueformaelrayoincidenteconla normal a la superficie de separacin de ambos medios, y ngulo de refraccin (r) es el ngulo que forma el rayo refractado con la normal. En la refraccin de ondas se cumple laley de Snell: La razn entre el seno del ngulo de incidencia y el seno del ngulo de refraccin es, para dos medios dados, constante e igual a la razn de las velocidades con que se propaga la onda en ambos medios. 8.7.- Principio de Huygens: Reflexin y refraccin 8.7.1.- Refraccin Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-18 ( )( )1 22 1.sen i v nCtesen r v n= = = Donde n es el ndice de refraccin del medio cnV= , y C es la velocidad de la luz en ese medio, mientras que V es la velocidad de la onda en dicho medio. Reflexineselfenmenoquetienelugarcuandolasondasque avanzanporunmediohomogneochocancontraunobstculoquelas hace retroceder cambiando de direccin y sentido. Sellamangulodeincidencia(i)alnguloqueformala direccinenquellegalaondaconlanormalalasuperficiereflectora,y ngulodereflexin(r)alqueformalanormalconladireccinque sigue la perturbacin despus del choque. Leyes de la reflexin: -El rayo incidente, el reflejado, el refractadoy la normal a la superficie de separacin de los dos medios estn en el mismo plano. -El rayo incidente y el reflejado forman con la normal ngulos iguales -Los senos de los ngulos de incidencia y refraccin son iguales| o sen sen = Reflexin total es el fenmeno que se produce cuando un rayo de luz, atravesando un medio de ndice de refraccin n2 menor que el ndice de refraccin n1 en el que ste se encuentra, se refracta de tal modo que no es capaz de atravesar la superficie entre ambos medios reflejndose completamente. Este fenmeno solo se produce para ngulos de incidencia superiores a un cierto valor lmite, L Para ngulos mayoreslaluzdejadeatravesarlasuperficieyesreflejadainternamentedemaneratotal.Lareflexintotal solamenteocurreenrayos viajandodeun medio dealtondice refractivohaciamedios demenor ndice de refraccin. El ngulo lmite tambin es el ngulo mnimo de incidenciaa partir del cual se produce la reflexintotal. El ngulo de incidencia se mide respecto a la normal de la separacin de los medios. El ngulo lmite viene dado por: 21LnArcsenno| |= |\ . donde n1 y n2 son los ndices de refraccin de los medios con n2 > n1. Vemos que esta ecuacin es una simple aplicacin de la ley de Snell donde el ngulo de refraccin es 90. Eselfenmenodedesviacindeladireccindepropagacindelaondaalencontrarseconun obstculo.Aunqueocurresiempre,sloesapreciableysignificativocuandoelobstculoesdeuntamao parecido a lade la onda que se propaga. El obstculo puede ser tanto un agujero como un cuerpo slido. Cmo se explica la difraccin?. Pues hemos de recordar elprincipio de Huygens. Cada punto del medio se comporta como un foco puntual emisor de nuevas ondas. Normalmente tenemos infinitos puntos, y la superposicin de todos ellos es lo que constituye el frente de onda. En el agujero, el nmero de puntos que vibranesreducido,ypuedeconsiderarseprcticamentecomounfocopuntual.Elfrentedeondaser esfrico.8.7.2.- Reflexin8.8.- Difraccin Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-19 Para el caso del sonido, la longitud de ondala vara entre algunos cm y algunos metros. Estamos rodeados de obstculos de ese tamao, y es natural que apreciemos el fenmeno.

La difraccin permite distinguir entre ondas y partculas, ya que de las partculas no cabe esperar este comportamiento. Un chorro de partculas seguir una trayectoria rectilnea. Este experimento sirvi en 1801 aYoungparacomprobarquelaluzsecomportabacomounaonda,yen1927aDavidsonyGermerpara observar un comportamiento similar en los electrones. Ladiferenciaentreinterferenciaydifraccinesmsunadiferenciadematizqueotracosa.El fenmeno de la difraccin, es la interferencia de partes de un mismo frente de onda. El fenmeno consiste enqueunaondaqueseenfrentaconunaaperturadeamplitudadecuada,obienconunobstculode longitud adecuada, debido a la interferencia entre partes de la propia onda, deja de propagarse en lnea recta, ypuedeserdetectadadetrsdelobstculo,obienenlazonadesombracreadaporlasparedesdela apertura. Se puede demostrar que existe una relacin sencilla entre el ngulo de difraccin,o , la longitud del obstculod ylalongituddeondadelmovimientoondulatorioempleado ,abasedeconsiderarla diferencia de camino recorrido por dos rayos cualesquiera provenientes de dos partes del frente de onda, la relacin es : dsen2o = Observandoestaecuacinsecomprendequehaydifraccin,cuandolalongituddelobstculo, representadapord ,esdelordendelalongituddeondautilizada.Estoexplicaelquepodamosoruna conversacin a travs de la pared. El sonido dobla el obstculo porque las longitudes de onda audibles son del orden del metro, y las dimensiones de los obstculos y aberturas y los obstculos son del mismo orden. Las ondas sonoras las podemos clasificar en los siguientes tipos: 1-Ondas infrasnicas o infrasonidos: son ondas mecnicas cuya frecuencia < 20 Hz. 2-Ondas snicas o sonidos: son ondas mecnicas cuya frecuencia est comprendida dentro de los lmites de audicin. 3-Ondasultrasnicasoultrasonidos:sonondasmecnicascuyafrecuenciaessuperiorallmitede audicin (pueden tener una frecuencia hasta 106 Hz). Entre las muchas aplicaciones que tienen podemos citar: -En sondeos, para medir la profundidad del mar. -Aumentar la velocidad de algunas reacciones qumicas. -En biologa y Medicina. Elmecanismoporelcualseafinanlascuerdasdelosinstrumentosmusicalesaltensarlaso destensarlas.Teniendoencuentaquelavelocidaddepropagacinesfuncindelatensindelacuerda, podemos calcular la frecuencia de los armnicos en funcin de dicha tensin: f = 2n Tl dondeeslamasaporunidaddelongituddelacuerda,conloqueelsonidoemitidoporlascuerdas cambiar al cambiar su tensin, de la misma manera que ocurrir al cambiar la longitud de la misma. Tambinesposibleestablecerondassonorasestacionariasenelextremoabiertodeuntuboque contenga agua en su interior. El fundamento es muy similar al de las ondas estacionarias en cuerdas. 8.9.- Caractersticas de las ondas sonoras 8.9.1.- Instrumentos de Viento Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-20 Lasvibracionesdeundiapasndefrecuenciafsituadocercadelextremo abierto de un tubo producen ondas sonoras en su interior que, al reflejarse enlasuperficiedelagua,puedenproducirlasuperposicindelaonda incidenteyreflejada(interferencia)ydarlugaralestablecimientodeondas estacionarias.Cuandosegeneralaondaestacionaria,seproduceuna resonancia en el interior del tubo y nuestro odo es capaz de percibir la onda sonora. Ahora bien, cundo ocurre esto? Lasmolculasdelairequesehallanencontactoconlasuperficie delaguanopuedendesplazarse,porloqueenesazonaseproduceun nodo de desplazamiento. En el extremo abierto del tubo, por el contrario, se generaunantinodoovientrededesplazamiento.Portanto,comopuede verseenlafigura,sieslalongituddeondacorrespondientealasondas sonorasemitidasporeldiapasn,laprimeraresonanciaeneltubose origina cuandol1 = 41 Puestoquesiemprehabrunnododedesplazamientoenlasuperficiedelaguayunvientreenel extremo abierto, si vamos variando la altura de la columna del aire dejando salir agua (o aadiendo agua de manera continuada), tambin se producirn resonancias cuando: l2 = 43; l3 = 45 .l = (2n + 1) 4 donden = 1, 2, 3 . En el caso analizado, los resultados son, de manera muy aproximada, los reales, siempre y cuando el dimetro del tubo sea muy pequeo en comparacin con la longitud de onda. En caso contrario, el vientre de desplazamiento no se produce exactamente en el extremo abierto. La mayora de los instrumentos de viento emiten sonidos por un mecanismo similar al descrito en la experiencia anterior. As, en el caso de un tubo abierto por donde entra o soplamos aire, y que tiene el otro extremocerrado,loqueocurriresqueenelextremocerradoseformarunnododedesplazamiento, mientrasqueenelabiertohabrunvientre.Porlotanto,aligualqueenelcasoanterior,seestablecern ondas estacionarias en el interior del tubo cuando l = (2n + 1) 4 donden = 1, 2, 3 . Las longitudes de ondas estacionarias que pueden formarse son: = 1 24+ nl y las frecuencias o armnicos permitidos estarn regidos por la expresin:f = (2n + 1) lv4 expresin que indica que slo aparecen armnicos impares. Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-21 La acstica es el estudio de la propagacin del sonido. Sabemos que el sonido consiste en vibraciones del aire (u otro medio) que se propagan longitudinalmente. Su velocidad de propagacin depende del medio, e incluso en el aire vara con la temperatura segn la expresin: RTvM= , donde es una constante que depende de lahumedad del aire, y M es la masa molecular promedio.

Eltono es la caracterstica del sonido que nos indica si ste es agudo (tono alto) o grave (tono bajo). La magnitud fsica que determina el tono es la frecuencia del sonido. Una frecuencia alta significa un sonido agudo. Una frecuencia baja, un sonido grave.

Sinembargo,cuandoescuchamoslamismanotamusical(elmismotono)emitidapordosinstrumentos musicales diferentes (un piano y un violn, por ejemplo), suenan de forma distinta, y podemos distinguir a quinstrumentopertenecen.Todoinstrumentomusical,alvibrar,produceondasestacionariasdemltiples frecuencias(losarmnicos).Elarmnicofundamentaleselquenosdalanotamusical,yelrestodelos armnicosledanalsonidolascaractersticaspropiasdelinstrumento.Estosarmnicossecundarios constituyen el timbre del sonido.

El odo humano es capaz de percibir sonidos comprendidos entre 16 Hz y 20000 Hz de frecuencia.

Por debajo de la frecuencia mnima (infrasonidos), no somos capaces de or las vibraciones. Pueden producirseinfrasonidosintensosporelviento,oenlosmomentospreviosaunterremoto.Sibiennolos omos,estasvibracionespuedenafectararganosinternosyaterminacionesnerviosas,loqueorigina malestar e irritabilidad.

Porencimade20kHzsesitanlosultrasonidos.Existenespeciesanimales(perros,murcilagos, delfines,porejemplo)quesoncapacesdedistinguirfrecuenciasmselevadasqueelhombre.Los ultrasonidos de muy alta frecuencia transmiten mucha energa y pueden concentrarse en un punto con mucha facilidad, por lo que son utilizados en comunicaciones, en medicina (para romper clculos de rin), etc.

La intensidad de una onda es la energa que propaga el frente de onda por cada unidad de superficie. En elS.IsemideenJs-1m-2=W/m2.Yahemosestudiadoque,alampliarseelfrentedeonda,laenergase reparte y, por tanto, la intensidad disminuye.

Paramedirlaintensidadseusaunamagnitud,elniveldeintensidad(),queusaunvalordereferencia (I0=10-12W/m2).Seutilizaunaescalalogartmica,paraevitarlaspotenciasde10.As:10logoII| = La unidad dees el decibelio (dB), en honor a A.G. Bell, inventor del telfono.

Elodohumanoescapazde percibirsonidoenuncierto rangodefrecuencias(entre16Hzy20000Hz).Su sensibilidadestalque,paracadafrecuencia,existeun niveldeintensidadmnimoqueescapazdepercibir (umbraldeaudicin),yunnivelmximo(umbralde dolor),porencimadelcualseproducendaosparael odo. Enelgrficoaparecenestosumbralesparalasdiferentes frecuencias. 8.9.2.- Contaminacin Acstica Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-22

Estcomprobadoqueelruidoafectaalodoyalsistemanervioso.Escausadesordera,trastornos psicolgicos, irritabilidad, estrs, bajo rendimiento, dificultades para dormir...cuando en una zona el nivel deintensidad del rudo es tal que afecta a la salud, se habla de que padece contaminacin sonora.

Eltrfico,lasobras,bares,discotecas,sonfocosdecontaminacinsonora.Unaexposicin continuada a un sonido de intensidad superior a 80 dB produce daosa la salud. Existe una legislacin sobre contaminacin sonora que pretende disminuir el efecto del ruido. Por ejemplo, el horario de cierre de locales de ocio, la insonorizacin de los mismos con materiales absorbentes (no debe salir al exterior una intensidad mayor de 65 dB), regulacin del nivel de vehculos, etc. 1.Alsuspenderuncuerpode0,5kgdelextremolibredeunmuellequecuelga verticalmente,seobservaunalargamientode5cm.Si,acontinuacin,setirahacia abajo del cuerpo, hasta alargar el muelle 2 cm ms, y se suelta, comienza a oscilar.a)Haga un anlisis energtico del problema y escriba la ecuacin del movimiento de la masa.b)Si, en lugar de estirar el muelle 2 cm, se estira 3 cm, cmo se modificara la ecuacin de movimiento del cuerpo? a)Una vez el sistema en equilibrio, estaremos en la posicin O (Energa potencial cero), si tiramos del muelle 2 cm llegaremos a la posicin A y aqu tendremos energapotencialelstica.Cuandosoltemoselcuerpo,elmuelletirardelhaciaarribadeforma quecuandopaseporelpuntoO,todasuenergasehabrtransformadoenenergacintica.Una ve3zsobrepaseelpuntoO,estaenergacinticavolveratransformarsepocoapocoenenerga potencial,deformaqueenelpuntoA,volvemosatenersoloenergapotencial,ahoraelmuelle empujaralcue3rpohaciaabajoyotravezlaenergapotencialelsticasetransformarenenerga cintica que volver a ser mxima cuando el cuerpo pase por la posicin O. Para escribir la ecuacin del movimiento del cuerpo, tenemos que A= 0,02 m porque es lo que estiramos el muelle. Para calcular la constante del muelle, nos fijamos en la posicin de equilibrio, en este punto la suma de fuerzas ser cero, y por un lado tendremos el peso y por otro la ley de Hooke. Por tanto: 0 = = mg k x mg k x Y despejando k, tendremos: 1 0, 59,8198,1 0, 05= = =mgk N mx Calculamos la pulsacin angular mediante: 198,114 0, 5e= = =krad sm De forma que la ecuacin del MAS ser: ( )00,02 14 y sen t = +Solo nos queda calcular la fase inicial: Como al principio (t=0) tenemos que y=-0,02, entonces( )01 sen = y de aqu que 032t = , por tanto la ecuacin del movimiento quedar de la forma: 8.10.- Ejercicios Resueltos Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-23 30,02 142y sen tt | |= + |\ . m b)Siestirramoselmuelle3cmsolocambiaralaamplituddelmovimiento,deformaqueahorala ecuacin sera: 30,03 142y sen tt | |= + |\ . m 2.- La ecuacin de un MAS es:3cos 6004x tt | |= + |\ . donde x est en cm y t en seg. Calcular el periodo, la velocidad, la aceleracin mxima, la posicin y la velocidad en t=0. Sabiendo que la pulsacin es de 600 rads-1, calculamos el periodo de la siguiente forma: 2 20,0104600 300T segt t te= = = = La velocidad la calculamos derivando con respecto al tiempo: 0,03cos 600 18 6004 4dx dv t sen tdt dtt t( | | | |= = + = + ||(\ . \ . La aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo: 18 600 10800cos 6004 4dv da sen t tdt dtt t( | | | |= = + = + ||(\ . \ . Por tanto la aceleracin mxima ser: 210800mxa ms= La posicin y la velocidad en t=0 ser; 13 23cos4 218 9 24oox mv sen mstt| |= = |\ .| |= = |\ . 3.- Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efecta oscilaciones armnicas de 0,1 s de periodo y su energa cintica mxima es de 0,5 J. a)Escriba la ecuacin de movimiento del objeto y determine la constante elstica del resorte. b)Explique cmo cambiaran las caractersticas del movimiento si: i) se sustituye elresorte por otro de constante elstica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble. a)Si el periodo es de 0,1 , entonces su pulsacin ser: 12 2200,1rad sTt tet= = =Si adems su energa cintica mxima es de 0,5J, como la energa cintica viene dada por: 2 2 21E cos ( )2e e = +c om A t Tenemos que: 2 2max1Ec 2e = m A Despejando A, nos queda: Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-24 max22Ec 20,5 50,1120, 2400 20 e= = = = A mm Con todo esto tenemos que la ecuacin del movimiento ser: ( ) 0,112 20ox sen t = + Como no dicen nada de la posicin inicial, supondremos que en t=0, la partcula se encuentra en x=0 y por tanto: ( ) 0,112 20 x sen t = La constante del muelle la obtenemos mediante: e =km De donde, despejando k: 2 1 0, 2400 80 e= = = k m N m b)Si la constante elstica es el doble, entonces la pulsacin sera: 2' 2 2 e e = = =k km m Y por tanto ahora la amplitud sera: max22Ec 20,5 10' 0, 080, 2800 40 2 ' e= = = = A mm As que la ecuacin del movimiento sera: ( )0,08 20 2 x sen t =Si ahora doblamos la masa, la pulsacin sigue siendo la misma, pero lo que vara sera la amplitud. max22Ec 20,5 10' 0, 080, 4400 40 2 ' e= = = = A mm Y la ecuacin del movimiento sera: ( ) 0,08 20 x sen t = 4.- La ecuacin de una onda es: 0,3 (6 ) y sen t x t t = en unidades SI. Calcula: a) Velocidad de propagacin de la onda; b) la velocidad de vibracin del punto que ocupa la posicin x=3 para t=8 s; c) Laaceleracin mxima de dicho punto en su movimiento de vibracin. a)Lavelocidaddepropagacindelaondavienedadapor:vT= ,portantonecesitamoscalcular antesla longituddeondayelperiodo.Porsimpleinspeccindelafuncindeonda,tenemosque6 w t = ycomo 2 2 2 16 3w T sTt t te t= = = = yquek t = ,perocomo 2 2 22 kkt t t t= = = = entonces, sustituyendo tenemos: 126 13v msT= = =b) Para calcular la velocidad de vibracin, derivamos la elongacin con respecto al tiempo: | | 0, 3 (6 ) 1,8 cos(6 )dy dv sen t x t xdt dtt t t t t t = = = Para x=3 m y t= 8 s, tenemos: Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-25 11,8 cos(6 8 3) 1,8 cos 45 5,65 v ms t t t t t= = = c) Para calcular la aceleracin mxima en dicho punto, derivamos la velocidad con respecto al tiempo. | | 1,8cos(6 ) 10,8 (6 )dv da t x sen t xdt dtt t t t = = = La aceleracin ser mxima cuando (6 ) 1 sen t x t t = 2 210,8 106,6 mxa ms t= = 5.- Una onda de 0,3 m de amplitud tiene una frecuencia de 6 Hz y una longitud de onda de 5 m. Calcular:a)el periodo y la velocidad de propagacin de la onda. b)la velocidad de vibracin del punto que ocupa la posicin x=2m para t=10 s. c)la distancia mnima de dos puntos que estn en fase. d)Cul es la distancia mnima para que dos puntos estn en oposicin de fase?. a)Como el periodo es la inversa de la frecuencia: 1 13T sf= =y la velocidad de propagacin es: 1 56 30 v f ms = = = b)Para escribir la funcin de onda necesitamos conocer A, k ye , que pasamos a calcular: 1 12 2 22 12 0, 35k m f rad s A mTt t te t t = = = = = = Por tanto, la funcin de onda ser: 20, 3 12 5xy sen ttt| |= |\ . Hemos supuesto que se desplaza en sentido positivo del eje x y que en t=0 x=0 e y=0. c)Para que dos puntos estn en fase, su posicin debe diferir un nmero entero de longitudes de onda. Por lotantoladistanciamnimaentredospuntosqueestn enfaseesigual alalongituddeonda: 5m. d)Paraquedospuntosdeunaondaestnenoposicindefaseladiferenciaentreelloshadeser (2n+1) 6.-Laecuacindeunaondaplanavienedadaporlaexpresin:( , ) 0,05 600 66y x t sen t xtt t| |= + |\ .en unidades de SI. Halla: a) La amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagacin. b) La velocidad mxima de la vibracin c) La distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase sea 4t Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-26 a)Porsimpleinspeccindelafuncindeonda,vemosqueA=0,05m,yadems,tenemosque 600 w t = ycomo 2 2 2 1600 300w T sTt t te t= = = = yquek t = ,perocomo 2 2 2 16 3kkt t t t= = = =entonces, sustituyendo tenemos: 126 13v msT= = = b)La velocidad la calculamos derivando con respecto al tiempo: 0,05 600 6 30 cos 600 66 6dx dv sen t x t xdt dtt tt t t t t ( | | | |= = + = + ||(\ . \ . La velocidad mxima se alcanzar cuando: cos 600 6 16t xtt t| | + = |\ . Por tanto: 130 mxv ms t= c)La distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase se /4 la calculamos mediante: 1 21 2 2 1 2 114( ) ( ) 0, 25 4K x x x x mkt t = = = = = 7.- Una onda armnica transversal se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje OX. Si A=5 mm, f=200 Hz y10 cm =, y en el instante t=0 la elongacin en x=0 es de 2,5 mm y ese punto se mueve hacia arriba, determina: a) la ecuacin de onda. b) La velocidad mxima en un punto dela cuerda c) En qu instante ser mxima la elongacin en un punto situado a 5 cm del foco emisor a)La expresin general de la funcin de onda en el sentido positivo del eje OX es: ( , ) ( )oy t x Asen t kx e = + Por tanto, debemos determinar k,ey o , para escribir la funcin de onda de este movimiento. Como 12 400 f rad s e t t= =y 12 2200,1k mt tt= =Podemos escribir: ( , ) 0,005 (400 20 )oy t x sen t x t t = +Sabemos que: ( , )2 cos(400 20 )oy t xv t xtt t t c= = +c Sustituimos en ambas expresiones las condiciones iniciales: .30,5 2,510 0,005cos 0 2 cos 0o oo osen sen t = = ` `> > ) ) Dela1ecuacinobtenemos 56 6o oyt t = = ycomocos 0o > ,resultaque 6ot = ,podemos escribir: Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-27 ( , ) 0,005 400 206y t x sen t xtt t| |= + |\ . b)La velocidad ser: 2 cos 400 206v t xtt t t| |= + |\ . Y la velocidad mxima ser: 12 v ms t=c)La elongacin ser mxima cuando: 400 20 16sen t xtt t| | + = |\ . 400 20 2( )6 2t x n nt tt t t + = + eDe donde: 4243400 23 400nt n t+= + = Laprimerasolucincont>0correspondean=0yest=3,310-3s.Paran=1,2,3,obtendramosotras soluciones. 8.-Decierta ondase sabequetiene una amplitud mximade 8m,quese desplaza de izquierda a derecha con una velocidad de 3 m/s, y que la mnima distancia entre dos puntos que vibran en fase es de 10 m.a)Escribe su ecuacin.b)Escribe la ecuacin de otra onda idntica pero desplazndose en sentido contrario. c)Escribelaecuacindelaondaresultantedelainterferenciaqueseproduceentrelasdosondas anteriores e indica sus caractersticas. d)Calcula las posiciones de los nodos y los vientres de esta onda resultante.Haced un dibujo en donde se vean los resultados obtenidos. a)Laecuacindeestemovimientoatiendea:( ) y Asen t kx e = ,puestoquesedesplazadeizquierdaa derecha. Si la amplitud mxima es 8m, tenemos que A=8, si su velocidad de propagacin es de 3 ms-1, como v TT v = = , necesitamos , como nos dicen que la mnima distancia entre dos puntos en fase es 10 metros, en realidad nos estn dando la longitud de onda, as que10m = , 110 103 3mT sv ms= = = . Conocido elperiodocomo 12 2 6 31010 53rad sTt t t te= = = = .Yelnmerodeondaslocalculamosmediante: 12 25k mt t t = = = , as que con todo esto, la ecuacin de la onda queda de la forma: 385 5y sen t xt t | |= |\ .m. b) La ecuacin de otra onda que se desplaza en sentido contrario es igual que la anterior, pero cambiando el signo de kx por el de + kx, as que esta onda ser: 385 5y sen t xt t | |= + |\ . c) Si sumamos estas dos ondas, obtenemos una interferencia, y nos da lugar a una onda estacionaria. Unaondaestacionariaseformaporlainterferenciadedosondasdelamismanaturalezaconigual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a travs de un medio. Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-28 Lasondasestacionariaspermanecenconfinadasenunespacio(cuerda,tuboconaire,membrana,etc.).La amplituddelaoscilacinparacadapuntodependedesuposicin,lafrecuenciaeslamismaparatodosy coincide con la de las ondas que interfieren. Hay puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmviles, estacionarios,mientrasqueotros(vientresoantinodos)lohacenconunaamplituddevibracinmxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energa mxima. El nombre de onda estacionaria provienedelaaparenteinmovilidaddelosnodos.Ladistanciaqueseparadosnodosodosantinodos consecutivos es media longitud de onda. Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada sobre un mismo eje. En un punto cualquiera, la onda resultante es la suma de ambas ondas 1385 5y sen t xt t | |= |\ . 2385 5y sen t xt t | |= + |\ . La perturbacin resultante en dicho punto ser: 1 23 3 38 16cos 5 5 5 5 5 5Y y y sen t x sen t x x sen tt t t t t t( | | | | | | | |= + = + + = ||||(\ . \ . \ . \ . d)Laposicindelosnodos,puntosdeamplitudnula,seencuentrandondelaamplituddeestaonda 16cos5rA xt | |= |\ .es nula, por tanto:0 cos (2 1)5 5 2x x nt t t | |= = |\ ., despejando x, obtenemos: Los nodos se encuentran en1 2, 52 7, 55(2 1) 3 12, 52...............(2 1)2, 5n xn xx n n xn n x n= = = == = = == = metros, donde n=1,2,3,4. La posicin de los vientres o antinodos, puntos de amplitud mxima, se encuentran donde la amplitud de esta onda16cos5rA xt | |= |\ .es mxima, por tanto:1 cos5 5x x kt tt| |= = |\ ., despejando x, obtenemos: Los Vientres se encuentran en0 01 52 1053 15...............5k xk xk xx kk xk k x k= = = = = == == == = metros, donde k=0,1,2,3,4. Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-29 0.- Una partcula vibra segn la ecuacin0,03 102y sen ttt| |= + |\ . (S.I.) Calcular: a)Amplitud, periodo y frecuencia del movimiento.b)Tiempo mnimo que transcurre entre dos instantes en fase.c)Posicin y velocidad iniciales de la partcula.d)Represente posicin y velocidad de dicho movimiento en funcin del tiempo. Solucin:a)A = 0,03 m , T = 0,2 s ,=5 Hz; b) 0,2 s; c) y0=0,03 m, vyo = 0 m/s 1.- De un resorte elstico de constante K = 500 N/m, cuelga una masa puntual de 5 kg. Estando el conjunto en equilibrio, se desplaza la masa 10 cm, dejndola oscilar libremente a continuacin. Calcule:a)Ecuacin de movimiento armnico que describe la masa puntual. b)Puntos en los que la aceleracin de dicha masa es nula.c)Tiempo que transcurre entre dos instantes en oposicin de fase.

Solucin:a) x = 0,1 cos (10 t) m,x = 0,1 sen (10 t +1,57) m ; b) x = 0 m;c)t = T/2 = 0,31 s 2.Unapartculade0,5kg,quedescribeunmovimientoarmnicosimpledefrecuencia5/Hz,tiene inicialmente una energa cintica de 0,2 J, y una energa potencial de 0,8 J.a)Calcule la posicin y velocidad iniciales, as como la amplitud de la oscilacin y la velocidad mxima.b)Hagaunanlisisdelastransformacionesdeenergaquetienenlugarenunciclocompleto.Cul sera el desplazamiento en el instante en que las energas cintica y potencial son iguales? Solucin: a) vI = 0,89 m/s; xI = 0,18 m ;vMX = 2 m/s; b)0,14 m 3.- Un movimiento ondulatorio viene dado, en unidades del S.I., por( ) 5cos 4 10 y t x = + ; con "y" expresada en metros. Calcular:a), , , A.b)Velocidad de propagacin de la onda. c)Perturbacin que sufre un punto situado a 3 m. del foco a los 20 s. d)Expresiones generales de la velocidad y la aceleracin de las partculas afectadas por la onda.

Solucin: a) =0,63 m;=0,64Hz; =4 rad/s; A=5m;b) 0,4m/s;c) y=-5m; d) vy=-20sen (4t+10x); ay=-80cos(4t+10x) 4.- La ecuacin de una onda es y = 2sen [2(5t+0,1x)], en unidades C.G.S. ("y" dada en cm). a)Calcular:, , yvelocidad de propagacin de la onda.b)Culeslavelocidadmximaqueadquirirnlospuntosafectadosporlaonda?Enquinstantes adquirir dicha velocidad un punto situado a 10 cm de la fuente de perturbacin?

Solucin: a) =0,1 m ; =5 Hz ; v=0,5 m/s hacia la izda.; b) vmx=0,628 m/s ;t=(n-2)/10 s 5. La ecuacin de una onda que se propaga por una cuerda es:y(x,t) = 0,5 sen (8 t - 4 x) (S.I.)a)Determinelavelocidaddepropagacindelaondaylavelocidaddeunpuntodelacuerday explique el significado de cada una de ellas.b)Represente grficamente la posicin de los puntos de la cuerda en el instante t = 0, y la elongacin en x= 0 en funcin del tiempo.Solucin: a)v = 2 m/s; vy = 4 cos (8t - 4x) m/s 6.- La ecuacin de un onda transversal es y = 10sen(2t-10z) en el S.I. Calcular:8.11.- Ejercicios Propuestos Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-30 a)Velocidad de propagacin. b), , , T y k. c)Velocidad y aceleracin mximas de las partculas de la cuerda afectadas por la onda Solucin:a) 0,2 m/s;b) =1 Hz ; =2 rad/s ; =0,2 m ; T=1s ; k=10 m-1 c) vmx =20 m/s ; amx =402 m/s2 7.- Escribir la expresin de una onda sinusoidal que se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje OX. La amplitud es 0,02 m, la frecuencia 60 Hz y la velocidad de propagacin 10 m/s. Solucin: y = 0,02 sen(120t - 12x)m 8.- El periodo de un movimiento ondulatorio que se propaga por el eje OX es 310-3 s y la distancia entre los dos puntos ms prximos con diferencia de fase /2 rad. es de 30 cm en el eje X. a)Calcular y la velocidad de propagacin. b)Si el periodo se duplicase qu le ocurrira a las magnitudes del apartado anterior?

Solucin:1,2 m;400 m/s 9.-Unaondasinusoidalsepropagaalolargodeunacuerda.Eltiempoquetranscurreentreelinstantede elongacin mxima y el de elongacin nula en un punto de la cuerda es de 0,17 s.Calcular:a)Periodo y frecuencia de la onda b)Velocidad de propagacin si = 1,4 m. Solucin: a) T=0,68 s ; =1,47 Hz; b)v=2,06 m/s 10.- Una onda armnica se propaga por una cuerda tensa segny = 0,4cos(50t-0,2x) (S.I). Calcular:a)Longitud de onda , y periodo T. b)Velocidad mxima de oscilacin de los puntos de la cuerda.c)Diferencia de fase, en el mismo instante, entre dos puntos separados 7,5 m. Solucin a) = 31,4 m ; T = 0,125 s; b) vmx =20 m/s;c)1,5 rad 11.- Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte en el sentido negativo del eje OX y la distancia ms prxima entre dos puntos en fase es de 20 cm. El foco emisor, fijo a un extremo del resorte, vibra con una amplitud de 3 cm y = 25 Hz. Determinar:a)Velocidad de propagacin de la onda.b)Expresin de la onda sabiendo que la perturbacin en el instante inicial en x = 0 es nula. Represente grficamente la elongacin en funcin de la distancia para el instante inicial.c)Velocidad y aceleracin mximas de un punto del resorte.

Solucin: a) 5 m/s;b)y = 0,03 sen (50t + 10x);c) 4,7 m/s ; 740,22 m/s2 12.-Una onda transversal y sinusoidal tiene una frecuencia de 40 Hz y se desplaza en la direccin negativa delejexconunavelocidadde28,8cm/s.Enelinstanteinicial,lapartculasituadaenelorigentieneun desplazamientode2cmysuvelocidadesde-377cm/s.Encontrarlaecuacindelaonda.Qudatos puedenobtenersedeella?Representegrficamentelaelongacinenfuncindeladistanciaenelinstante inicial.Solucin: y = 0,024 sen(80t + 872,6x - 0,95) m ; = 0,0072 m ;T = 0,025 s 13.-Unaondaestacionariavienedadapory=0,04sen(0,4x)cos(25t)(S.I.).Culessuvelocidadde propagacin?. Calcular , , A y la velocidad de propagacin de las O.V.

Solucin: vOE = 0 m/s ; = 3,97 Hz ; = 15,7 m ; A = 0,02 m ; vOV = 62,36 m/s Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-31 14.- Un alambre vibra segny = 0,5sen(/3x)cos(40t)(C.G.S). Calcular:a), A, y velocidad de propagacin de las ondas viajeras.b)Distancia entre los nodos. c)Velocidad de una partcula del alambre que est en x = 1,5 cm en el instante t = 9/8 s. Solucin: a) = 20 Hz ; A = 0,25 cm ; = 6 cm ; vOV = 1,5 cm/s ;b)3 cm; c)0 cm/s 15.- La ecuacin de una onda transversal en una cuerda es y = 10cos (2x-10t) (C.G.S):a)Escribir la expresin de la onda que, al interferir con ella, producir una O.E. b)Indicar la distancia entre los nodos en la O. E. y la amplitud que tendrn los antinodos. Solucin: a)y = 10 cos (2x + 10t); b) d = 0,5 cm ;A = 20 cm 16.- Una onda viene dada por y = 10cos(/6 x)cos(10t)(C.G.S). Calcular la A de las ondas viajeras y su velocidad de propagacin, la distancia entre nodos y entre un nodo y un vientre.

Solucin: AOV = 5 cm ; vOV = 19,1 cm/s ; dnodos = 6 cm ; dnodo-vientre = 3 cm 17.-Laecuacindeunaondaesy=6cos(0,2x)sen(4t)(S.I).Calcularlaamplituddelaonda estacionariaydelasondascuyasuperposicinpodraoriginarla;laposicindelosnodosyantinodos;yla velocidad de una partcula situada en x = 2 m.

Solucin:AOE= 6 m ;AOV= 3 m ;xnodos = 2,5 m + nl/2 ; xanti = 0 m + n/2 ;vy = 7,4 cos(4t)m/s 18.- La ecuacin de una onda en una cuerda es y = 0,2cos(0,5x)sen(30t)(S.I.).Determinar:a)Magnitudes caractersticas b)En qu instantes ser mxima la velocidad del punto x = 0,5 m? c)Amplitud y velocidad de fase de las ondas cuya superposicin podra producirla. Solucin: a) AOE = 0,2 m ; = 4 m ; = 15 Hz ; T = 0,066 s ; k = 0,5 rad/m;b) t = n/30s.c) A =0,1 m ; v = 60m/s 19.-Calcularlaenergacinticadeunapartculaoscilantede3gdemasaasupasoporlaposicinde equilibrio,siendosuperiodo0,2sysuamplitud4cm.Representardichaenergacinticaenfuncindel tiempo y de la elongacin.Solucin: Ec = 2,37 10-3 J 20.- Al suspender un cuerpo de 0,5 kg del extremo libre de un muelle que cuelga verticalmente, se observa un alargamiento de 5 cm. Si, a continuacin, se tira hacia abajo del cuerpo, hasta alargar el muelle 2 cm ms, y se suelta, comienza a oscilar.a)Haga un anlisis energtico del problema y escriba la ecuacin del movimiento de la masa.b)Si, en lugar de estirar el muelle 2 cm, se estira 3 cm, cmo se modificara la ecuacin de movimiento del cuerpo? Solucin: a) x = 0,02 sen (14,14 t + 3/2) m; b)slo cambia A, que toma el valor 0,03 m. 21.- Una partcula describe un movimiento oscilatorio armnico simple, de forma que su aceleracin mxima es de 18 m/s2 y su velocidad mxima es de 3 m/s. Encontrar: a)La frecuencia de oscilacin de la partcula. b)La amplitud del movimiento. Solucin: 0'955 Hz, 0'5 m (P.A.U. Sep 92) 8.12.- Para saber ms Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-32 22.- Una partcula de 5 g est sometida a una fuerza de tipo F = - kx. En el instante inicial pasa por x=0 con una velocidad de 1 ms-1. La frecuencia del movimiento resultante es de 2/ Hz. Hallar: a)la aceleracin en el punto de mxima elongacin. b)la energa cintica en funcin del tiempo Solucin: 4 ms-2; 00025 cos24t (P.A.U. Sep 93) 23.- Si un reloj de pndulo adelanta, se debe aumentar o disminuir la longitud del pndulo para corregir la desviacin? Razona la respuesta. (P.A.U. Jun 94) 24.- Un punto material de masa 25 g describe un M.A.S. de 10 cm de amplitud y perodo igual a 1 s. En el instante inicial, la elongacin es mxima. Calcular a)La velocidad mxima que puede alcanzar la citada masa y b)El valor de la fuerza recuperadora a cabo de un tiempo igual a 0125 s. Solucin: 063 m/s; 007 N (P.A.U. Sep 94)25.- La energa total de un cuerpo que realiza un M.A.S. es de 3.10-4 J y la fuerza mxima que acta sobre el es 1'5.10-2 N. Si el perodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60, determinar: a)La ecuacin del movimiento de este cuerpo; b)Su velocidad y aceleracin para t = 0. Solucin: x = 0'04 sen(t+/3); v0= 0'0628 m/s; a0= -0'342 m/s2 (P.A.U.) 26.-Laecuacindeunaondatransversalquesepropagaalolargodeunacuerdavienedadaporla expresin:y=25sen[2(0.80t-1.25x)],dondexeyseexpresanencmytensegundos.Determinadla velocidadmximadeoscilacinquepuedetenerunpuntocualquieradelacuerda.(Mayo91;mayo93 Anaya Sel., Extremadura, 89) 27.-Una onda sinusoidal transversal que se propaga de derecha a izquierda tiene una longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de propagacin de 200 m/s. Hallar:a)La ecuacin de la onda.b)Velocidad transversal mxima de un punto alcanzado por la vibracin.c)Aceleracin transversal mxima de un punto del medio en vibracin.d)Definir qu se entiende por onda estacionaria. (Mayo 91; Anaya Sel., Salamanca, 89) Solucin: y=4sen2(t/0.1 - x/20); 80 m/s; 16002 m/s2. 28.-Determinarladiferenciadefasequehabrentrelasvibracionesdedospuntosqueseencuentran, respectivamente,alasdistanciasde10y16mdelcentrodevibracin,sabiendoquelavelocidadde propagacin es de 300 m/s y el perodo es de 0.04 s. Calcula la longitud de onda, el nmero de onda k y la frecuencia f. (Mayo 91; mayo 93; Anaya Sel., Valencia, junio 89).Solucin: rad 29.-Unaondasinusoidalviajaalolargodeunacuerdade1.4mdelongitud,sujetaporsusextremos,y vibrando en su modo fundamental (armnico fundamental, n=1). El tiempo que tarda un punto en pasar de su desplazamiento mximo a su desplazamiento nulo es de 0.17 s. Determinad la frecuencia de vibracin, la velocidad de propagacin de la onda, y la longitud de onda. (Mayo 91; Anaya Sel., Cdiz, 89) Solucin:: 1.47 Hz; 4.116 m/s; 2.8 m. 30.-Una onda transversal se propaga por una cuerda segn la ecuacin y=0.4cos(100t-0.5x) en unidades S.I. Calculad:Amplitud,periodo,frecuenciaylongituddeonda.Determinadlavelocidaddepropagacin. Calculad el estado de vibracin (elongacin, velocidad y aceleracin) de un punto situado a 20 cm del foco en t=0.5 s. (Mayo 93; Anaya Sel., Granada, junio 91)Solucin: 0.4 m; 15.9 Hz; 0.063 s; 4m; 200 m/s; 0.374 m, 14.296 m/s, -3735 m/s2.31.-Se dispone de un cilindro de 5 m de longitud con una de sus bases plateada en forma de espejo plano. El cilindro es transparente y de ndice de refraccin n=2. Si por la base no plateada y perpendicularmente a ella Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-33 penetra un rayo de luz de longitud de onda en el vaco de 610-7 m, determnese el tiempo que tarda en salir el rayo de luz del cilindro y la distancia entre los nodos de las ondas estacionarias que forma la onda incidente y la reflejada en el cilindro. (Mayo 93; Anaya Sel., Crdoba, 89) . Solucin:6.7 10-8 s; 3 10-7 m. 32.-Una onda se propaga por una cuerda segn la ecuacin y=5 sen(10t - 4x), donde x e y vienen medidos en metros y t en segundos.a)Determina la amplitud, frecuencia, longitud de onda, velocidad, direccin y sentido de propagacin de la onda.a)b) Escribe la ecuacin de otra onda que interfiriendo con la anterior produjese una onda estacionaria.b)c) Determina la ecuacin de la onda estacionaria producida.c)d)Calculalavelocidaddevibracindeunpuntodelaprimeraondasituadoax=0.5mdelfoco. dem para la onda estacionaria. (Sept. 97; Selectividad, Universidad de Murcia, 1992)Solucin: 5m; 5 Hz; 0.2 s; 2.5 m/s; 0.5 m; y = 5 sen (10t+4x): y=10cos4xsen10t; 50cos10t; 0 (nodo)33.-En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, de 1 m de longitud, observamos la existencia de una onda estacionaria. La velocidad de propagacin de la perturbacin vale 293,7 m/s, y observamos el armnico cuya frecuenciaesde440Hz.Dequarmnicosetrata:elfundamental,el2,el3,....?Cuntosnodos presenta? Y cuntos vientres? Qu frecuencia tendra el armnico o modo fundamental? (Mayo 98 ; Bruo, 8, 248)Solucin: El3 ; 4 nodos y 3 vientres ; 146.85 Hz 34.-En dos vrtices consecutivos de un cuadrado de 4 cm de lado hay dos focos que emiten ondas idnticas deamplitud3cm,longituddeonda1cmyfrecuencia100Hz.Escribidlasecuacionesdeambasondas. Encontrad la ecuacin de la perturbacin resultante en uno cualquiera de los otros vrtices. Cunto vale la mxima amplitud de la perturbacin obtenida en ese vrtice? Razona, sin hacer ms clculos, cuanto valdr la amplitud resultante en el centro del cuadrado. (Mayo 99)Solucin: 2.83 cm; 6 cm 35.-Unaondasinusoidalde10mdeamplitudsepropagadeizquierdaaderechaconunperiodode12s. Calculalaelongacinenelorigenparat=1sapartirdeliniciodelmovimientodesdelaposicinde equilibrio. En el instante t = 1 s la elongacin se anula en un punto situado a 4 cm a la derecha del origen. Calcula la longitud de onda (Mayo 99; Sel. 88)Solucin: 5 m; 0.48 m 36.-Laecuacindeunaondaarmnicatransversalquesepropagaenunacuerdavienedadaporla expresin y= 0.5 sen [ (x-0.1t- 1/3). Determina:a)La amplitud, el perodo y la longitud de onda.b)La frecuencia y la velocidad angular.c)La velocidad de propagacin.d)La velocidad mxima de un punto en vibracin. (Mayo 91; Anaya Sel., Sevilla, 89) Solucin: 0.5 m; 20 s; 2 m; 0.1 m/s; 0.5 Hz; /10 rdn/s; 0.05 m/s. 37.-Unpuntoestsometidoalaaccindelasperturbacionesproducidasendosfocoscoherentes(que producenondasidnticas)ysituadoa4mdeunoya6mdelotro.Determinalaecuacinquedefinesu estadodevibracinsabiendoqueelmovimientoondulatoriodelosfocossepropagaa1600m/s,conuna amplitud de 10 cm y una frecuencia de 400 Hz. (Mayo 91; Edelvives, X, 212, 3)Solucin: y=0. 38.-Una onda atraviesa la superficie de separacin entre dos medios diferentes. En el segundo la velocidad de propagacin de la onda es el doble que en el primero. Calculad para qu valores del ngulo de incidencia es posible la refraccin. (Mayo 91; mayo 93; Anaya Sel., Valladolid, 89).Solucin: 30 39.- La ecuacin de onda de un movimiento ondulatorio viene dada por la expresin siguiente: y= 2 sen (10 t+x),dondexestencmytensegundos.Determinadelsentidodepropagacin,frecuencia,longitudde Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-34 onda y velocidad de propagacin de la onda. Calculad tambin en qu instante alcanza su velocidad mxima un punto que dista 10 cm de la fuente de ondas. (Mayo 92; Anaya Sel., las Islas Baleares , junio 91). Solucin: 5 Hz; 2 cm; -10 cm/s; t=[0.0817+n0.1] s. 40.- Dos ondas armnicas tienen en el S.I. las ecuaciones y1=10sen(1000t-200x) e y2=10sen(1000t+200x). Determinad la ecuacin de la onda estacionaria resultante, la amplitud en los nodos, y la distancia entre dos vientres consecutivos. (Mayo 93; Schaum, XIV, 303, 32)Solucin:y=20cos200xsen1000t; 0; /200 m. 41.-Dos fuentes vibrantes, A y B, de la misma frecuencia 100 Hz estn en fase, separadas 3 cm, produciendo ambas vibraciones idnticas de 2 mm de amplitud que se propagan a una velocidad de 0.6 m/s. Determina el estadovibratorioylaamplituddeunpuntoPqueestsituadoaunadistanciar2=3.3cmdeAyauna distancia r1=2.4 cm de B. Determina la posicin de los puntos situados en la recta AB queestn inmviles. (Set. 93; Anaya Sel., Barcelona, junio 92)Solucin: y=0; 1.65, 1.95, 2.25, 2.55, 2.85 m. 42.- De cierta onda se sabe que tiene una amplitud mxima de 8 m, que se desplaza de izquierda a derecha conunavelocidadde3m/s,yquelamnimadistanciaentredospuntosquevibranenfaseesde10m. Escribidsuecuacin.Escribidlaecuacindeotraondaidnticaperodesplazndoseensentidocontrario. Escribid la ecuacin de la onda resultante de la interferencia que seproduce entre las dos ondas anteriores. Calculadlasposicionesdelosnodosylosvientresde estaondaresultante.(Mayo97; Crespo,Selectividad, 238, 31)Solucin: y=8sen2(0.3t-0.1x); y=8sen2(0.3t+0.1x); y=16cos(0.2x)sen(0.6t); 2.5, 7.5, 12.5,...; 0, 5, 10,... 43.- Por una cuerda se desplaza una onda cuya ecuacin es y(x,t)=0.03 sen 2(x-0,1t) en el S.I.. Calculad su perodo, frecuencia y longitud de onda. Calculad el desfasaje (en radianes) entre dos puntos alcanzados por la onda separados entre s 2 metros. (Mayo 98)Solucin: m ; 10 s ; 1/10 Hz ; 4 rad 44.- A la onda anterior se le hace una pelcula con una cmara de vdeo que slo graba una pequea porcin de la cuerda, situada a 10 metros del foco. Qu se ver en esa pelcula ? Explicadlo y dibujadlo. Cul ser la ecuacin de lo que se ve? (Mayo 98)Solucin:0.03sen2(10-0.1t) 45.-LaecuacindeunaondavienedadaenelSIpory(x,t)=0.5sen[(/2)(x-12t+2)].Calculadla amplitud, la frecuencia, el perodo, la longitud de onda y la velocidad de propagacin. Calculad su fase inicial enradianes.Calculadelvalordelaperturbacinenelfocoenelinstanteinicial.Calculadlavelocidadde vibracin en el foco en el instante inicial. Comentad los resultados obtenidos. (Mayo 99) Solucin: 0.5 m; 3 Hz; 0.33 s; 12 m/s; rdn ; 0 m; 3 m/s 46.- De una onda estacionaria se sabe que tiene una amplitud mxima de 6 cm, una longitud de onda de 4 m y un perodo de 0.02 s. Escribid su ecuacin y las ecuaciones de las dos ondas que la originaron. Calculad la posicindesustresprimerosnodosydesustresprimerosvientres.Hacedundibujoendondeseveanlos resultados obtenidos. (Mayo 99)Solucin:6cos(2x/4)sen(250t); 3sen2(50t-x/4); 3sen2(50t+x/4); 1, 3, 5...0, 2, 4... m 47.-Laecuacindeunaondatransversalquesepropagalatravsdeunacuerdaesy=0,1sen[2(0,4t6,25x)] (sistema internacional). Determina: a)La amplitud, longitud de onda, frecuencia, constante y velocidad de propagacin. b)Velocidad y aceleracin transversal de las partculas del medio en x = 0, t = T / 2. Solucin:a) A = 0,1 m; = 0,16 m; f = 0,4 Hz; k = 39 rad/m; v = 0,064 m/s; b) v = -0,25 m/s; a = 0 48.-Unaondasetransmitealolargodeunacuerda.Elpuntosituadoenx=0oscilasegnlaecuacin y=0,1cos10t y otro punto situado en x=0,03m oscila segn la ecuacin y=0,1cos(10 t - / 4). Calcula: a)La constante de propagacin, la velocidad de propagacin y la longitud de onda. b)La velocidad de oscilacin de un punto cualquiera de la cuerda. Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-35 Solucin: a) k = 26 rad/m; v = 1,2 m/s; = 0,24 m; b) v = - sen (10 t - 8,33 x) m/s 49.- La funcin de onda que describe la propagacin de un sonido es y(x) = 610-2cos(628t1,90x)(magnitudes en el sistema internacional). Calcula: a)La frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagacin. b)La velocidad y la aceleracin mximas de un punto cualquier del medio en el que se propaga la onda. Solucin: a) f = 100 Hz; = 3,31 m; v = 330 m/s; b) vmx = 40 m/s; amx = 2104 m/s2 50.-Una onda armnica transversal se propaga en la direccin del eje x: y (x, t) = 0,5 sen (4x 6t) (S.I.). Calcula: a)Lalongituddeonda,lafrecuenciaconlaquevibranlaspartculasdelmedioylavelocidadde propagacin de la onda. b)La velocidad de un punto situado en x = 1 m en el instante t = 2 s c)Los valores mximos de la velocidad y la aceleracin. Solucin: a) = 1,6 m; f = 0,96 Hz; v = 1,5 m/s; b) v1 = 0,44 m/s; c) vmx = 3 m/s; amx = 18 m/s2 51.-La ecuacin de propagacin de un movimiento ondulatorio es y(x, t) = 2 sen(8 t 4 x) (S.I.) a)Cul es la amplitud, la frecuencia y la velocidad de propagacin de la onda? b)Cules(enfuncindeltiempo)lavelocidadylaaceleracindeunpuntoparaelquexes constante? Solucin:a) A = 2 m; n = 4 Hz; v = 2 m/s; b) v = 16 cos(8 t- 4 x) m/s; a = -128 2 sen(8 t- 4 x) m/s2 52.-La ecuacin de una onda sonora que se propaga en la direccin del eje X es: y = 4 sen 2 (330 t x) (S.I.). Halla: a)La velocidad de propagacin. b)La velocidad mxima de vibracin de un punto del medio en el que se transmite la onda. c)Define la energa de una onda armnica. Solucin: a) v = 330 ms-1 ; b) vmx = 8,3103 m/s 53.-Por una cuerda tensa se propaga una onda transversal con amplitud 5 cm, frecuencia 50 Hz y velocidad de propagacin 20 m/s. Calcula: a)La ecuacin de onda y(x, t) b)Los valores del tiempo para los que y(x, t) es mxima en la posicin x = 1 m Solucin: a) y = 0,05 sen(100 t 5 x) [m]; b) t = 0,055 +0,02 n [s], (n = 0, 1, 2 ...) 54.-Una onda peridica viene dada por la ecuacin y(t, x) = 10 sen 2(50t 0,2x) en unidades del S.I.Calcula: a)Frecuencia, velocidad de fase y longitud de onda. b)Lavelocidadmximadeunapartculadelmedioylosvaloresdeltiempotparalosqueesa velocidad es mxima (en un punto que dista 50 cm del origen) Solucin: a) f = 50 Hz; = 5,0 m; v = 250 m/s; b) vmx = 3,1 km/s; t = 0,002 + 0,010 n [s], (n = 0, 1, 2 ...) 55.-Una onda plana se propaga en la direccin x positiva con velocidad v = 340 m/s, amplitud A = 5 cm y frecuencia f = 100 Hz (fase inicial 0 = 0) a)Escribe la ecuacin de la onda. b)Calcula la distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase en un instante dado es 2/3. Solucin: a) y = 0,05 sen(200 t 0,588 x) [m]; b) x = 1,13 m 56.- La ecuacin de una onda es y(x, t) = 2 cos 4 (5t - x) (S.I.). Calcula: a)La velocidad de propagacin. b)La diferencia de fase entre dos puntos separados 25 cm. c)En la propagacin de una onda qu se transporta materia o energa? Justifcalo con un ejemplo. Solucin:a) v = 5 m/s; b) = rad Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-36 57.-La ecuacin de una onda transversal es y(t, x) = 0,05 cos(5t 2x) (magnitudes en el S.I.). Calcula: a)Los valores de t para los que un punto situado en x = 10 m tiene velocidad mxima. b)Qu tiempo ha de transcurrir para que la onda recorra una distancia igual a 3? c)Esta onda es estacionaria? Solucin:a) f = 50 Hz; = 5,0 m; v = 250 m/s; b) vmx = 3,1 km/s; t = 0,002 + 0,010 n [s], (n = 0, 1, 2 ...) 58.- La ecuacin de una onda es y(t, x) = 0,2 sen (100 t 0,1 x). Calcula: a)La frecuencia, el nmero de ondas k, la velocidad de propagacin y la longitud de onda. b)Para un tiempo fijo t, qu puntos de la onda estn en fase con el punto que se encuentra en x = 10 m? c)Para una posicin fija x, para qu tiempos el estado de vibracin de ese punto est en fase con la vibracin para t = 1 s? Solucin: a) f = 50 Hz; k = 0,31 rad/m; v = 1,0103 m/s; = 20 m ; b) x = 10+20 n; c) t=1,0+0,020 n 59.-Unaondaarmnicasepropagaendireccinxconvelocidadv=10m/s,amplitudA=3cmy frecuencia f = 50 Hz. Calcula: a)La ecuacin de la onda. b)La velocidad y aceleracin mxima de un punto de la trayectoria. c)Para un tiempo fijo t, qu puntos de la onda estn en fase con el punto x = 10 m? Solucin: a) y = 0,030 sen(100 t 10 x) [m];b) vmax = 9,42 m/s;amax = 2,96103 m/s2; c) x=10+0,2 n 60.-De un resorte elstico de constante k = 500 Nm-1 cuelga una masa puntual de 5 kg. Estando el conjunto en equilibrio, se desplaza la masa 10 cm, dejndola oscilar a continuacin libremente.Calcula: a)La ecuacin del movimiento armnico que describe la masa puntual. b)Los puntos en los que la aceleracin de esta masa es nula. Solucin: a) y = 0,1 cos(10 t) [m], b) y = 0 61.-Unabutacaestmontadasobreunresorte.Cuandosesientaunapersonade75kg,oscilaconuna frecuencia de 1 Hz. Si sobre ella se sienta ahora otra persona de 50 kg, a)Cul ser la nueva frecuencia de vibracin? b)Cunto descender la butaca cuando alcance el equilibrio? DATOS: g = 9,81 ms-2 Solucin: a) f = 0,8 Hz; b) y = 0,2 m 62.- Un objeto de 100 g, unido a un muelle de k = 500 Nm-1, realiza un movimiento armnico simple.La energa total es de 5 J. Calcula: a)La amplitud. b)La velocidad mxima y la frecuencia de la oscilacin. c)Indicacualitativamenteenunagrficacomovaranlaenergatotal,cinticaypotencialconla elongacin x. Solucin: a) A = 0,14 m; b) vmax = 9,9 m/s; f = 11 Hz 63.- Una masa de 0,05 kg realiza un M.A.S. segn la ecuacin x = A cos (t + 0). Sus velocidades son 1 m/s y 2 m/s cuando sus elongaciones son, respectivamente, 0,04 y 0,02 m. Calcula: a)El perodo y la amplitud del movimiento. b)La energa del movimiento oscilatorio y la energa cintica y potencial cuando x = 0,03 m. Solucin: a) T = 0,13 s; A = 0,045 m; b) E = 0,125 J; EP = 0,056 J; Ec = 0,069 J 64.- Un cuerpo de masa 100 gramos est unido a un resorte que oscila en uno plano horizontal. Cuando se estira 10 cm y se suelta, oscila con un perodo de 2 s. Calcula: a)La velocidad cuando se encuentra a 5 cm de su posicin de equilibrio. b)La aceleracin en ese momento. c)La energa mecnica. Solucin: a) v5 = 0,27 m/s, b) a = -0,49 m/s2 ; c) E = 4,9310-3 J Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-37 65.- La fuerza mxima que acta sobre una partcula que realiza un movimiento armnico simple es 210-3 N y la energa total es de 510-4 J. a)Escribe la ecuacin del movimiento de esa partcula si el perodo es de 4 s y la fase inicial es de 30. b)Cunto vale la velocidad al cabo de 1 s de comenzar el movimiento? Solucin: a) x = 0,50 cos( t / 2 + / 6) [m]; b) v1 = -0,68 m/s. 66.-Unamasade0,1kgunidaaunresortedemasadespreciablerealizaoscilacionesalrededordesu posicin de equilibrio con una frecuencia de 4 Hz siendo la energa total del sistema oscilante 1 J. Calcula: a)La constante elstica del resorte y la amplitud de las oscilaciones. b)LaenergacinticaypotencialdelamasaoscilanteenunpuntosituadoadistanciaA/4dela posicin de equilibrio. Solucin: a) k = 63 Nm-1; A = 0,18 m; b) Ep = 6,310-2 J; Ec 0,9 J 67.- Un resorte de masa despreciable se estira 10 cm cuando se le cuelga una masa de 200 g. A continuacin el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano otros 5 cm y se suelta en el instante t = 0 s. Calcula: a)La ecuacin del movimiento que describe el sistema. b)La energa cintica y potencial cuando la elongacin y = 3 cm. Dato g = 9,80 m/s2 Solucin: a) y = 0,05 cos(9,9t) [m]; b) Ec = 15,710-3 J; Ep = 8,810-3 J. 68.- Un resorte de masa despreciable se estira 0,1 m cuando se le aplica una fuerza de 2,45 N. Se fija en su extremolibreunamasade0,085kgyseestira0,15malolargodeunamesahorizontalapartirdesu posicin de equilibrio y se suelta dejndolo oscilar libremente sin rozamiento. Calcula: a)La constante elstica del resorte y el perodo de oscilacin. b)La energa total de la oscilacin y las energas potencial y cintica cuando x = 0,075 m. Solucin: a) k = 24,5 N/m; T = 0,37 s; b) E = 0,28 J; Ep = 0,07 J; Ec = 0,21 J 69.-Unamasade0,01kgrealizaunmovimientoarmnicosimpledeecuaciny=5cos(2t+/6). (Magnitudes en el S.I.). Calcula: a)Posicin, velocidad y aceleracin en t = 1 s. b)Energa potencial en y = 2 m. c)La energa potencial, es negativa en algn instante? Solucin:a) y1 = -4,08 m; v1 = -5,79 m/s; a1 = 16,3 m/s2; b) Ep = 0,08 J 70.-Deunresortede40cmdelongitudsecuelgaunpesode50gdemasay,alcanzadoelequilibrio,la longitud del resorte es de 45 cm. Se estira con la mano el conjunto masa-resorte 6 cm y se suelta. Halla: a)La constante del resorte. b)La ecuacin del M.A.S. que describe el movimiento. c)Deduce la ecuacin de la energa potencial elstica. Dato: g = 9,8 ms-2 Solucin:a) k = 9,8 N/m; b) y = 0,060 cos(14 t) [m] 71.- Una masa de 5 g realiza un movimiento armnico simple de frecuencia 1 Hz y amplitud 10 cm. Si en t=0 la elongacin es la mitad de la amplitud, calcula: a)La ecuacin del movimiento. b)La energa mecnica. c)Enqupuntodelatrayectoriaesmximalaenerga cinticay enculesesmximalaenerga potencial? Solucin: a) x = 0,100 sen(2 t + / 6) [m] b) E = 9,8710-4 J 72.-Unpndulosimpleoscilaconunaelongacinde18dando10oscilacionescadasegundo.Tomando como instante inicial la posicin de equilibrio: a)Escribe su elongacin en funcin del tiempo. Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-38 b)Determina su perodo de oscilacin en la Luna, donde la gravedad es aproximadamente un sexto de la terrestre. Solucin: a) s = 7,8110-4 sen(20 t) [m]; b) TL = 0,245 s. 73.- Una partcula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejndose como mximo 10 cm a un lado y a otro de la posicin de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relacin sencilla entre la aceleracin y la posicin que ocupa en cada instante: a = - 16 2 x. a)Escribalasexpresionesdelaposicinydelavelocidaddelapartculaenfuncindeltiempo, sabiendo que este ltimo se comenz a medir cuando la partcula pasaba por la posicin x = 10 cm. b)Calcule las energas cintica y potencial de la partcula cuando se encuentra a 5 cm de la posicin de equilibrio. 74.-Unbloquede05kgcuelgadelextremoinferiordeunresortedeconstanteelsticak=72N/m.Al desplazar el bloque verticalmente hacia abajo de su posicin de equilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m/s. a)Razone los cambios energticos que se producen en el proceso. b)Determine la amplitud y la frecuencia de oscilacin. 75.-UnacuerdadeguitarradelongitudL=65cmvibraestacionariamenteensumodofundamentalauna frecuenciaf=440Hz.Representagrficamenteelperfildeestaonda,indicandolaposicindenodosy vientres, y calcula la velocidad de propagacin de ondas transversales en esta cuerda. Solucin: 11,30 572 m v ms = = 76.- Sea un tubo de un metro de longitud, abierto por un extremo y cerrado por el otro. Por el procedimiento adecuado se producen ondas estacionarias dentro del tubo y se oye un sonido de 84 Hz, que corresponde a la frecuencia fundamental. Calcula: a) La velocidad del sonido, b) la frecuencia del segundo armnico. Solucin: 12336 252 v ms f Hz= = 77.- Se aplica una tensin de 64 N a una cuerda de 2m de longitud y 20 gr de masa fija por sus dos extremos. Calcula:a)Lavelocidaddepropagacindelasondastransversalesenlacuerda,b)Lafrecuencia fundamental de vibracin de la cuerda, c) La tensin que habra que aplicar sobre ella para que su frecuencia fundamental se duplicara. Solucin: 1)80 ) 20 ) 256 a ms b f Hz c F N= = (97-E) Al suspender un cuerpo de 0,5 kg del extremo libre de un muelle que cuelga verticalmente, se observa un alargamiento de 5 cm. Si a continuacin, se tira hacia abajo del cuerpo, hasta alargar el muelle 2 cm ms, y se suelta, comienza a oscilar. a)Haga un anlisis energtico del problema y escriba la ecuacin del movimiento de la masa. b)Si,enlugardeestirarelmuelle2cm,seestira3cm,cmosemodificaralaecuacindel movimiento del cuerpo? (97-R) Un muelle de constante elstica 250 Nm-1, horizontal y con un extremo fijo, est comprimido 10 cm. Un cuerpo de 0,5 kg situado en su extremo libre, sale despedido al librarse el muelle. a)Explique las variaciones de energadel muelle y del cuerpo, mientras se estira el muelle. b)Calcule la velocidad del cuerpo en el instante de abandonar el muelle. (97-R) Sobre una superficie horizontal se dispone un cuerpo de 0,5 kg, unido a uno de los extremos de un muelle que est fijo por el otro. Cuando se tira del cuerpo hasta alargar el muelle 10 cm y se suelta, comienza a oscilar con un perodo de 2 s. 8.13.- Exmenes Pruebas Acceso a la Universidad UGR 8.13.1.- Movimiento armnico simple. PAU Fsica de 2 Bachillerato Ral Gonzlez Medina 2011 Movimiento OndulatorioVIII-39 a)Haga un anlisis energtico del problema y calcule los valores de las energas cintica y potencial en los puntos extremos de la oscilacin y en el punto de equilibrio. b)Represente la posicin del cuerpo en funcin del tiempo. Cmo cambiara dicha representacin si la masa del cuerpo fuera de 2 kg? (98-E) Una partcula de 0,5 kg, que describe un movimiento armnico simple de frecuencia5t Hz, tiene inicialmente una energa cintica de 0,2 J y una energa potencial de 0,8 J. a)Calculelaposicinylavelocidadiniciales,ascomolaamplituddelaoscilacinylavelocidad mxima. b)Hagaunanlisisdelastransformacionesdeenergaquetienenlugarenunciclocompleto.Cul sera el desplazamiento en el instante en que las energas cintica y potencial son iguales? (98-E) Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m s-1 por una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre de un resorte horizontal, de constante elstica 200 N/m, fijo por el otro extremo. a)Analice las variaciones de energa que tienen lugar a partir deun instante anterior al impacto con el resorte y calcule la mxima compresin del resorte. b)Discutaentrminosenergticoslasmodificacionesrelativasalapartadoa)silasuperficie horizontal tuviera rozamiento. (99-R) Un bloque de 8kg desliza por una superfic