Fisica II - PENDULO SIMPLE (informe de laboratorio)

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  | CORNELIO REYES JHONATAN 1 PENDULO FISICO O COMPUESTO PENDULO FÍSICO O COMPUESTO I. OBJETIVO(S) 1.1. Estudiar el movimiento de un péndulo compuesto 1.2. Medir la ac eleración de la graveda d local utilizando un péndu lo compuesto 1.3. Determinar el radio de giro de un cue rpo rígido y a partir de este el momento de inercia de l mismo 1.4. Verificar la rev ersibilidad del p éndulo comp uesto II. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL 2.1. INTRODUCCION La propiedad fundamental de un cuerpo la cual determi na como es su comportami ento cuando sufre un movimiento de rotación es su momento de inercia (I). Para cualquier cuerpo dado esta cantidad puede determinarse a partir de su distribución de masa, pero su cálculo es muy complicado a excepción de aquellos cuerpos que poseen un alto grado de simetría. Así por ejemplo, el momento de inercia para una esfera con una densidad de masa uniforme que ti ene una masa m y un radio R está dada por = 25 . A veces es mucho más fácil determinar el momento de inercia experimentalmente. Uno de estos experimentos involucra la determinación del momento de inercia de barras de secciones transversales rectangulares aplicando un método que puede ser aplicado a cuerpos de formas irregulares. En este experimento Ud. podrá determinar el radio de giro el cual es una cantidad relacionada con el momento de inercia. Por otro lado, a veces es neces ario determinar la aceleración de la graveda d del lugar en donde se desarrolla los experimentos. Por lo tanto, este experimento nos permite determinar dicha aceleración de la gravedad simplemente suspendiendo un cuerpo de un punto de oscilación y evaluando el período de las pequeñas oscilaciones para los diferentes puntos de oscilación. 2.2. CARACTERÍSICAS DEL PENDULO COMPUESTO Cuando las dimensiones del cuerpo suspendido no son pequeñas en comparación con la distancia del eje de suspensión al centro de gravedad, el péndulo se denomina  péndulo compuesto o péndulo físico.  Un péndulo físico es un cuerpo rígido de masa m instalado de tal manera que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal que pasa por un punto O, distinto de su centro de masa, bajo la acción de la gravedad, tal como se muestra en la figura 3.1. Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotación es I O, se separa de su posición de equilibrio, un ángulo θ y se suelta, un momento restaurador  asociado a la fuerza gravitacional =  le producirá un movimiento oscilatorio. Aplicando la ecuación de la dinámica rotacional se tiene 0 0  M I     (3.1) Dónde:  es el momento o torque alrededor de O, I O es el momento de inercia del cuerpo respecto al punto O y , es la aceleración angular

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FISICA II - PENDULO SIMPLE (informe de laboratorio)

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  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    1 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    PENDULO FSICO O COMPUESTO

    I. OBJETIVO(S)

    1.1. Estudiar el movimiento de un pndulo compuesto

    1.2. Medir la aceleracin de la gravedad local utilizando un pndulo compuesto

    1.3. Determinar el radio de giro de un cuerpo rgido y a partir de este el momento de inercia del

    mismo

    1.4. Verificar la reversibilidad del pndulo compuesto

    II. MARCO TERICO Y CONCEPTUAL

    2.1. INTRODUCCION

    La propiedad fundamental de un cuerpo la cual determina como es su comportamiento cuando

    sufre un movimiento de rotacin es su momento de inercia (I). Para cualquier cuerpo dado esta

    cantidad puede determinarse a partir de su distribucin de masa, pero su clculo es muy

    complicado a excepcin de aquellos cuerpos que poseen un alto grado de simetra. As por

    ejemplo, el momento de inercia para una esfera con una densidad de masa uniforme que tiene

    una masa m y un radio R est dada por = (2 5 )2.

    A veces es mucho ms fcil determinar el momento de inercia experimentalmente. Uno de estos

    experimentos involucra la determinacin del momento de inercia de barras de secciones

    transversales rectangulares aplicando un mtodo que puede ser aplicado a cuerpos de formas

    irregulares. En este experimento Ud. podr determinar el radio de giro el cual es una cantidad

    relacionada con el momento de inercia.

    Por otro lado, a veces es necesario determinar la aceleracin de la gravedad del lugar en donde

    se desarrolla los experimentos. Por lo tanto, este experimento nos permite determinar dicha

    aceleracin de la gravedad simplemente suspendiendo un cuerpo de un punto de oscilacin y

    evaluando el perodo de las pequeas oscilaciones para los diferentes puntos de oscilacin.

    2.2. CARACTERSICAS DEL PENDULO COMPUESTO

    Cuando las dimensiones del cuerpo suspendido no son pequeas en comparacin con la

    distancia del eje de suspensin al centro de gravedad, el pndulo se denomina pndulo

    compuesto o pndulo fsico. Un pndulo fsico es un cuerpo rgido de masa m instalado de tal

    manera que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal que pasa por un punto O,

    distinto de su centro de masa, bajo la accin de la gravedad, tal como se muestra en la figura

    3.1. Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotacin es IO, se separa de

    su posicin de equilibrio, un ngulo y se suelta, un momento restaurador asociado a la

    fuerza gravitacional = le producir un movimiento oscilatorio. Aplicando la ecuacin de la dinmica rotacional se tiene

    0 0M I (3.1) Dnde: es el momento o torque alrededor de O, IO es el momento de inercia del cuerpo respecto al punto O y , es la aceleracin angular

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    2 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    Figura 3.1. Cuerpo rgido de forma irregular suspendido de un ponto O desplazado un ngulo de la vertical, (b) pndulo fsico utilizado en el laboratorio de fsica de la UNASAM

    Para deducir las ecuaciones que gobiernan al pndulo fsico consideremos un cuerpo rgido en

    forma de barra de seccin rectangular AB de masa m, suspendida de un eje transversal que pasa

    por el punto S, tal como se muestra en la figura 3.2a.

    (a) (b)

    Figura 3.3 Pndulo utilizado para determinar las caractersticas de del movimiento pendular.

    Aplicando la ecuacin de movimiento de rotacin al pndulo se tiene

    S SM I

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    3 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    Smghsen I (3.2)

    Dnde: m es la masa del pndulo, h es la distancia del centro de gravedad al punto de

    suspensin, IS es el momento de inercia del pndulo con respecto al punto de suspensin S y es el ngulo respecto a la vertical. La ecuacin (3.2) puede escribirse en la forma

    0S

    mghsen

    I (3.3)

    Esta ecuacin diferencial es no lineal, por lo que no corresponde a una ecuacin diferencial de

    un movimiento armnico.

    Para desplazamientos angulares pequeos, la funcin trigonomtrica , donde se expresa en radianes. Por tanto la ecuacin diferencial (3.3) se escribe

    0S

    mgh

    I (3.4)

    La ecuacin (3.4), es la ecuacin diferencial de un movimiento armnico simple, movimiento

    en el cual la aceleracin angular es directamente proporcional al desplazamiento angular y de

    direccin opuesta. La solucin de dicha ecuacin diferencial es de la forma

    max nt sen t (3.5)

    Donde las constante max y se determinan de las condiciones iniciales y es la frecuencia natural circular expresada por

    2n

    S

    mgh

    T I

    (3.6)

    El perodo del pndulo fsico, es

    2 SI

    Tmgh

    (3.7)

    A veces es conveniente expresar IS en trminos del momento de inercia del cuerpo con respecto

    a un eje que pase por su centro de gravedad IG, para ello se usa el teorema de los ejes paralelos,

    esto es

    2

    S GI I mh (3.8)

    Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por otro lado, el momento de inercia tambin puede

    expresarse en funcin del radio de giro KG, en la forma

    2

    G GI mK (3.9)

    Al remplazar la ecuacin (3.9) en (3.8), resulta

    2 2 2 2S G GI mK mh m K h (3.10)

    Es decir el perodo del pndulo puede expresarse en la forma

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    4 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    (3.11)

    La ecuacin (3.11)* expresa el perodo del pndulo fsico en trminos de la geometra del

    cuerpo. Es decir, el perodo es independiente de la masa, dependiendo slo de la distribucin

    de masa KG. Por otro lado, debido a que el radio de giro de cualquier cuerpo es constante, el

    perodo del pndulo en funcin slo de h. La comparacin de la ecuacin (3.11)* con el perodo

    de un pndulo simple = 2(/) muestra que el perodo de un pndulo fsico suspendido de un eje a una distancia h de su centro de gravedad es igual al perodo de un pndulo simple

    de longitud dada por

    2 2 2

    G GK h KL hh h

    (3.12)

    El pndulo simple cuyo perodo es el mismo que el del pndulo fsico dado, se le denomina

    pndulo simple equivalente.

    Algunas veces es conveniente especificar la localizacin del eje de suspensin S en trminos de

    la distancia d medida desde uno de los extremos de la barra, en lugar de su distancia h medida

    desde el centro de masa.

    Si las distancia d1, d2 y D (figura 3.3b) son medidas desde el extremo superior, la distancia h1

    debe ser considerada negativa ya que h es medida desde el centro de gravedad. De esta forma,

    si D es la distancia fija desde el extremos superior A de la barra al centro de gravedad G,

    1 1

    1 2

    d D h

    d D h

    (3.13)

    Y en general

    d D h (3.14)

    La sustitucin de estas relaciones en la ecuacin que define el perodo, ecuacin (3.11)*, se

    obtiene

    22

    2GK d D

    Tg d D

    (3.15)

    La relacin entre T y d expresada por la ecuacin (3.15), puede mostrarse mejor grficamente.

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    5 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    Figura 3.4. Perodo en funcin de la distancia al centro gravedad

    Cuando el perodo T es trazado como funcin de d, son obtenidas un par de curvas idnticas

    SPQ y SPQ como se muestra en la figura 3.4. El anlisis de estas curvas revela varias propiedades interesantes y observables del pndulo fsico. Empezando en el extremo superior

    A cuando el eje es desplazado desde A hacia B, el perodo disminuye, encontrndose un valor

    mnimo en P, despus del cual se incrementa cuando d se aproxima al centro de gravedad. Las

    dos curvas son asintticas a una lnea perpendicular que pasa por el centro de gravedad G

    indicando que cerca de ah el perodo tiene un valor significativamente grande. Cuando el eje

    de suspensin es desplazado todava an ms desde A (al otro lado de G), el perodo T

    nuevamente disminuye hasta alcanzar el mismo valor mnimo en el segundo punto P, despus del cual nuevamente se incrementa.

    Una lnea horizontal AA correspondiente a valores escogidos del perodo, intersecta la grfica en cuatro puntos indicando que hay cuatro posiciones del eje, dos en cada lado del

    centro de gravedad para los cuales el perodo es el mismo. Estas posiciones son

    simtricamente localizadas con respecto a G. Existe por lo tanto, dos valores numricos de h

    para los cuales el perodo es el mismo, representados por h1 y h2 (figura 3.3). As para

    cualquier eje de suspensin escogido S hay un punto conjugado O al lado opuesto de G tal

    que el perodo alrededor de un eje paralelo que pasa por S y O son iguales. El punto O es

    llamado Centro de oscilaciones con respecto al eje de suspensin que pasa por el punto S.

    Consecuentemente si el centro de oscilacin para cualquier pndulo fsico es localizado, el

    pndulo puede ser invertido y soportado de O sin alterar su perodo. Esta reversibilidad es

    una de las propiedades nicas del pndulo fsico y ha sido la base de un mtodo muy preciso

    para medir la aceleracin de la gravedad g (Pndulo Reversible de Kter).

    Puede mostrarse que la distancia entre S y O es igual a L, la longitud del pndulo simple

    equivalente

    Alrededor de S 2 22

    2 1

    1

    4 GK hTg h

    (3.16)

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    6 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    Alrededor de O, es 2 22

    2 2

    2

    4 GK hTg h

    (3.17)

    Igualando estas ecuaciones se obtiene

    2

    1 2GK h h (3.18)

    Por lo tanto el perodo del pndulo fsico se escribe en la forma

    1 22h h

    Tg

    (3.19)

    De donde se obtiene la longitud del pndulo simpe equivalente a

    1 2L h h (3.20)

    Es decir, la longitud del pndulo simple equivalente es igual a la distancia SO en las figuras

    3.3 y 3.4. De dichas figuras se observa adems que S y O son un segundo par de puntos conjugados, ubicados simtricamente con respecto a S y O respectivamente, teniendo los

    mismos valores de h1 y h2. La figura 3.4, muestra adems que el perodo de vibracin de un

    cuerpo dado no puede ser menos que cierto valor mnimo Tmin, para el cual los cuatro puntos

    de igual perodo se reduce a dos, S y O se combinan en P y S y O se combinan en P, mientras que h1 llega a ser numricamente igual a h2. El valor de h correspondiente al perodo mnimo se encuentra resolviendo las ecuaciones (3.16), (3.17) y (3.20), obtenindose

    2

    1 2GK h h

    Y establece que

    1 2'h h h

    Es decir 2' Gh K

    Remplazando este valor en la ecuacin (3.12), resulta 2' 2 GL K

    S el pndulo simple ms pequeo cuyo perodo es el mismo que el pndulo compuesto tiene

    una longitud L, igual a dos veces el radio de giro del cuerpo respecto al centro de gravedad. Esto es indicado en la figura 3.4, para la lnea PP.

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    III. MATERIAL A UTILIZAR

    Un pndulo fsico - Dos prensas con tornillo - Una prensa con tornillo y cuchilla -

    Un soporte de madera

    Una regla graduada en mm Un cronmetro

    Una balanza Un vernier

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    IV. METODOLOGA

    El pndulo fsico a utilizar en esta prctica consta de una varilla rgida de acero de forma prismtica,

    de seccin transversal rectangular, que posee orificios equidistantes con relacin al centro de

    gravedad, con un sistema de suspensin adecuado para que la varilla pueda oscilar libremente

    alrededor de un eje horizontal (eje de suspensin), con rodamientos para minimizar la friccin como

    se muestra en la figura 3.5

    Figura 3.5. Pndulo fsico utilizado en el laboratorio de fsica de la UNASAM

    Para cumplir con los objetivos planteados siga el siguiente procedimiento:

    1) Usando la balanza determinamos la masa de la barra. 2) Medimos las dimensiones de la barra (el largo con la cinta mtrica y el ancho as como el espesor

    con el vernier). Registramos sus valores con sus respectivos errores en la Tabla I.

    Tabla I. Datos de la geometra y forma de la barra usada como pndulo fsico

    Masa (kg) Largo (m) Ancho (m) Espesor (m)

    1.8968 1.104 0.047 0.00065

    1.8966 1.108 0.048 0.000654

    1.8967 1.105 0.046 0.00065

    3) Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor sujetamos el soporte de madera con las mordazas simples.

    4) Sobre la base menor del soporte de madera, sujetamos la mordaza con cuchilla. 5) Ubicamos el centro de gravedad G de la barra, suspendiendo sta horizontalmente en la cuchilla.

    El punto de apoyo de la barra en equilibrio horizontal ser el centro de gravedad de la barra.

    6) Suspendemos la barra verticalmente en el orificio ms cercano a uno de los extremos (punto A) en el borde de la cuchilla.

    7) Desplazamos lateralmente a la barra un ngulo no mayor a 10, a partir de su posicin de equilibrio vertical y sultela desde el reposo permitiendo que la barra oscile en un plano vertical.

    8) Medimos por triplicado el tiempo transcurrido para diez (10) oscilaciones (mientras ms oscilaciones tome menor ser la incertidumbre en el perodo. Por qu?. Deducimos de estos

    datos el perodo de oscilacin de la barra para el primer punto de oscilacin. Registramos sus

    valores en la Tabla II.

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    9 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    9) Repetimos los pasos (6), (7) y (8) para todos los orificios equidistantes que posee la barra. Registramos los valores obtenidos en la tabla correspondiente.

    10) Retiramos el pndulo del soporte y con una cinta mtrica medimos por triplicado las distancias d1, d2, d3,, para cada uno de los puntos de suspensin desde uno de los extremos de la barra, anotamos estos datos con sus correspondientes perodos en la Tabla II.

    Tabla II. Datos y clculos obtenidos experimentalmente en la prctica Pndulo Fsico.

    N Distancia medida desde el extremo de la

    barra al punto de oscilacin d (cm)

    Tiempo para diez oscilaciones t (s) Perodo T

    (s)

    di1 di2 di3 di,promedio ti1 ti2 ti3 ti, promedio t1/n

    1 4.5 4.7 4.4 4.53 16.91 16.86 16.8 16.86 1.69

    2 9.5 9.4 9.6 9.50 16.46 16.41 16.48 16.45 1.65

    3 14.5 14.3 14.6 14.47 16.22 16 16.5 16.24 1.62

    4 19.5 19.4 19.7 19.53 16.16 15.22 16.5 15.96 1.60

    5 24.5 24.6 24.3 24.47 15.95 15.53 15.7 15.73 1.57

    6 29.5 29.7 29.6 29.60 16.1 16.28 16.2 16.19 1.62

    7 34.4 34.5 34.2 34.37 16.98 16.42 16.6 16.67 1.67

    8 39.5 39.3 39.4 39.40 17.99 17.65 16.85 17.50 1.75

    9 44.4 44.2 44.5 44.37 20.3 19.94 20.5 20.25 2.02

    10 49.5 49.6 49.8 49.63 24.56 24.4 24.6 24.52 2.45

    11 54.3 54.2 54.5 54.33

    12 60.8 60.9 60.7 60.80 25.2 23.64 24.5 24.45 2.44

    13 65.8 65.9 65.7 65.80 20.56 20.41 20.7 20.56 2.06

    14 70.9 71 70.8 70.90 17.82 18.22 17.95 18.00 1.80

    15 75.9 75.7 75.8 75.80 16.54 16.61 16.72 16.62 1.66

    16 80.8 80.7 81 80.83 15.9 16.07 15.82 15.93 1.59

    17 85.9 85.6 85.8 85.77 16 15.78 15.92 15.90 1.59

    18 90.9 91.1 91 91.00 15.81 15.84 15.79 15.81 1.58

    19 95.8 95.6 95.7 95.70 15.92 15.98 15.82 15.91 1.59

    20 100.9 100.6 100.9 100.80 16.5 16.25 16.15 16.30 1.63

    21 105.8 105.8 105.7 105.77 16.67 16.55 16.7 16.64 1.66

    V. CLCULOS Y RESULTADOS 5.1. Con los datos de la Tabla II, trace un grfica similar a la mostrada en la figura 3.4, colocando el

    perodo T, en el eje de las ordenadas y d en el eje de las abscisas. Trace cualquier recta horizontal SS paralela al eje de las abscisas para un perodo mayor que el perodo mnimo. Qu representa los cuatro puntos de interseccin de la recta con las curvas?.

    0.00

    0.50

    1.00

    1.50

    2.00

    2.50

    3.00

    0.00 50.00 100.00 150.00

    t

    d

    t1/n

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    10 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    Los cuatro puntos de interseccin de la recta con las curvas indican que hay cuatro

    posiciones del eje, dos en cada lado del centro de gravedad para los cuales el periodo es el mismo.

    5.2. Utilizando la grfica obtenida en el paso anterior, determine el perodo T mediante la obtencin del

    valor de la ordenada de la recta horizontal trazada. As mismo, mediante el promedio de los valores de SO y SO determine la longitud del pndulo simple equivalente = + y =

    + . A

    partir de estos valores obtenidos y utilizando la ecuacin (3.19), determine la aceleracin de la gravedad g de la ciudad de Huaraz con su respectivo error absoluto y porcentual.

    El periodo para la recta trazada es: para la recta n01 T= 1,70 s para la recta n02 T= 1,65 s

    La longitud del segmento SO = L1 = h1+h2 = 51.1 + 18.5 = 69.6 cm y T= 1,70 s La longitud del segmento SO = L2 = h3+h4 = 44.5 + 21.5 = 66 cm y T= 1,65 s

    Calculo de la aceleracin:

    Utilizando la frmula: 1 22h h

    Tg

    2 iL

    Tg

    22

    4i

    gT

    l

    Reemprendo valores obtenemos: la aceleracin de la gravedad

    L1 = 69.6 cm y T= 1,70 s

    2

    21 2

    0.696(4 )9.51

    1,7mg

    s

    L2 = 66 cm y T= 1,65 s

    2

    22 2

    0.66(4 )9.57

    1,65mg

    s

    Como tenemos dos valores con variaciones mnimas sacamos

    promedio y obtenemos la gravedad mas aproximada.

    1 2

    2

    9.51 9.57

    2

    9.54

    p

    p

    p

    g gg

    g

    mgs

    gravedad de Huaraz (conocida)=9.78 m/s2:

    Clculo del error absoluto: (9.78 9.54)/2 = 0,12

    Error relativo: 0,03 /9.54 = 0.01242

    Error relativo = 1.2422%

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    11 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    5.3. A partir de la grfica T vs d obtenida en (5.1), determine el radio de giro KG de la barra.

    Del grafico se observa que el valor de KG =0.30 m cuyo valor representa la distancia del centro de gravedad a la ubicacin mnima del periodo.

    5.4. Utilizando el valor de la masa de la barra y el radio de giro obtenido en el paso anterior, determine el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad IG usando la ecuacin (3.9).

    La masa de la barra es: 1.8967 kg El radio de giro obtenido anteriormente es KG =0.30 m

    Usando la ecuacin (3.9) calculo el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad IG.

    2

    G GI mK = 1.8967(0.30

    2) = 0.170703

    2

    5.5. Utilice el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia IS con respecto al primer punto de suspensin que pasa por S.

    La distancia del primer punto de suspensin al centro de gravedad es: 54.33 - 4.53 = 49.8 cm = 0.498m

    La masa de la barra es igual a 1.8967 kg El momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de

    gravedad IG es 20.172Kgm

    Utilizando la ecuacin (3.10) calculo el momento de inercia IS

    2

    S GI I mh

    = 0.1707032 + 1.89670.522

    = 0.6448782

    5.6. Con respecto a qu lnea son simtricas las curvas? Cul es el perodo cuando = 0?

    Las curvas son simtricas respecto a una lnea asinttica perpendicular que pasa por el centro de gravedad G indicando que cerca de ah el periodo tiene un valor significativamente grande.

    El periodo resulta ser cero cuando h = 0

    5.7. Cul es el perodo mnimo con el cual el pndulo fsico puede oscilar? Cul es la longitud del pndulo simple que tiene el mismo perodo?

    Segn el grafico T vs d el periodo mnimo con el cual el pndulo fsico puede oscilar es 1.600s.

    La longitud del pndulo simple que tiene el mismo periodo es 60 cm.

    5.8. Por qu se obtiene el mejor valor de la aceleracin de la gravedad, cuando se utiliza un valor de h correspondiente al perodo mnimo?.

    Porque en el punto de inflexin mnimo para ambas curvas obtenemos que SO y SO tienen la misma distancia de 60 cm, para un periodo mnimo de 1.6 s de estas se

    obtendr el mejor valor de la aceleracin de la gravedad sin necesidad de hacer

    correcciones y con una probabilidad mnima de cometer errores (solo para este punto).

  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    12 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    5.9. Con los datos de la Tabla II y utilizando la ecuacin (3.11)*, construya la Tabla III y a partir de ella elabore una grfica h2 vs hT2 de esta grfica determine el valor de la

    aceleracin de la gravedad g y comprela con la reportada para la Ciudad de Huaraz.

    Asimismo, determine el radio de giro del pndulo fsico con respecto al centro de

    gravedad. Comprelo con los obtenidos en los acpites (5.2) y (5.3). En cul de los casos

    se obtiene un mejor resultado: en el obtenido de la grfica T vs d o en sta grfica?. Use el

    ajuste de mnimos cuadrados.

    PARA EL LADO A

    N

    Sobre el lado A

    h1 T T2 h2 = X T2*h = Y

    1 0.5005 1.663 2.765569 0.25050025 1.384167285

    2 0.4508 1.644 2.702736 0.20322064 1.218393389

    3 0.4 1.65 2.7225 0.16 1.089

    4 0.3507 1.619 2.621161 0.12299049 0.919241163

    5 0.3002 1.6 2.56 0.09012004 0.768512

    6 0.25 1.623 2.634129 0.0625 0.65853225

    7 0.2005 1.677 2.812329 0.04020025 0.563871965

    8 0.1507 1.809 3.272481 0.02271049 0.493162887

    9 0.1001 2.091 4.372281 0.01002001 0.437665328

    10 0.0498 2.727 7.436529 0.00248004 0.370339144

    Sea la ecuacin = +

    =

    ()

    = h2 = X T2*h = Y X*Y X2

    0.25050025 1.38416729 0.34673425 0.06275038

    0.20322064 1.21839339 0.24760268 0.04129863

    0.16 1.089 0.17424 0.0256

    0.12299049 0.91924116 0.11305792 0.01512666

    0.09012004 0.768512 0.06925833 0.00812162

    0.0625 0.65853225 0.04115827 0.00390625

    0.04020025 0.56387197 0.02266779 0.00161606

    0.02271049 0.49316289 0.01119997 0.00051577

    0.01002001 0.43766533 0.00438541 0.0001004

    0.00248004 0.37033914 0.00091846 6.1506E-06

    = 0.96474221 7.90288541 1.03122309 0.15904191

    =.

    = .

  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    13 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    ()

    = .

    = .

    = 10

    EN LA FORMULA TENEMOS =..

    .. = .

    = = .

    = .

    = . . .

    = . Luego la recta por mnimos cuadrados ser:

    = . + .

    De la ecuacin (3.11) se tiene:

    2 2

    2 GK h

    Tgh

    2 22 24 G

    K hT

    gh

    2 22 2 2 (* *

    4 4* )GhT K h

    g g

    y = 4.0746x + 0.3972R = 0.9958

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

    .

    HT2

    Lineal (HT2)

    X = h2

    Y = T2*h

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    14 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    DE DONDE POR COMPARACION

    ( = + ) =

    (

    2 22 2 24 4

    GhT K hg g

    )

    = =

    = =42

    1 =42

    1=

    42

    4.07462= 9.6889 /2

    Calculo de radio de giro: 2

    24 intgk erceptog

    2

    22

    9.6889

    40.3972

    /g

    m sk

    Kg = 0.3170m

    PARA EL LADO B

    Sobre el lado B

    N h1 T T2 h2 = X T2*h = Y

    1 0.0493 2.665 7.102225 0.00243049 0.350139693

    2 0.1 2.035 4.141225 0.01 0.4141225

    3 0.1488 1.779 3.164841 0.02214144 0.470928341

    4 0.1992 1.678 2.815684 0.03968064 0.560884253

    5 0.2495 1.624 2.637376 0.06225025 0.658025312

    6 0.299 1.604 2.572816 0.089401 0.769271984

    7 0.348 1.611 2.595321 0.121104 0.903171708

    8 0.3987 1.635 2.673225 0.15896169 1.065814808

    9 0.4477 1.668 2.782224 0.20043529 1.245601685

    10 0.5102 1.679 2.819041 0.26030404 1.438274718

    Sea la ecuacin = +

    =

    ()

    =

  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    15 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    h2 = X T2*h = Y X*Y X2

    0.00243049 0.350139693 0.000851011 5.90728E-06

    0.01 0.4141225 0.004141225 0.0001

    0.02214144 0.470928341 0.010427032 0.000490243

    0.03968064 0.560884253 0.022256246 0.001574553

    0.06225025 0.658025312 0.04096224 0.003875094

    0.089401 0.769271984 0.068773685 0.007992539

    0.121104 0.903171708 0.109377707 0.014666179

    0.15896169 1.065814808 0.169423723 0.025268819

    0.20043529 1.245601685 0.249662535 0.040174305

    0.26030404 1.438274718 0.37438872 0.067758193

    = 0.96670884 7.876235002 1.050264123 0.161905833

    = . 3

    = .

    ()

    = .

    = .

    = 10

    EN LA FORMULA TENEMOS =.3.

    ..

    = .

    =

    = .

    = .

    = . . .

    = . Luego la recta por mnimos cuadrados ser:

    = . + .

  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    16 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    De la ecuacin (3.11) se tiene:

    2 2

    2 GK h

    Tgh

    2 22 24 G

    K hT

    gh

    2 22 2 2 (* *

    4 4* )GhT K h

    g g

    DE DONDE POR COMPARACION

    ( = + ) =

    (

    2 22 2 24 4

    GhT K hg g

    )

    =

    =

    = =42

    1 =42

    1 =42

    4.2052292= 9.6166 /2

    y = 4.2198x + 0.3797R = 0.9962

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

    Series1

    Lineal (Series1)

    X = h2

    Y = T2*h

  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    17 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    Calculo de radio de giro:

    = . + . 2

    24 intgk erceptog

    2

    22 0.3811

    9.6889 /

    4g

    m sk

    Kg = 0.3058m

    5.10. Demuestre que el perodo de un aro delgado colgado de una espiga, es el mismo que el de un pndulo simple cuya longitud es igual al dimetro.

    (a) (b)

    Figura 2.1. (a) Representacin de un pndulo simple, (b) diagrama de cuerpo libre de

    t tF ma (2.1) 2

    2

    d smgsen m

    dt (2.2)

    2 22 2

    d L dm mL mgsen

    dt dt

    (2.3)

    0g

    senL

    (2.4)

    Esta es ecuacin diferencial no lineal, cuya solucin exacta es un desarrollo en serie de infinitos

    trminos. Sin embargo, si las oscilaciones son pequeas, es decir el ngulo es pequeo, se puede utilizar la aproximacin , donde el ngulo se expresa en radianes. Por lo tanto la ecuacin diferencial (2.4) se escribe

    0g

    L (2.5)

    Ecuacin (2.3) es la ecuacin deferencial de un movimiento armnico simple, es decir, m describe

    un M.A.S. y la solucin de la ecuacin (2.5) es de la forma

    0sen t (2.6) Donde 0 es el mximo desplazamiento angular, es el desfasaje y es la frecuencia natural circular, la misma que queda expresada como

    2 g

    T L

    (2.7)

  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    18 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    El perodo del movimiento pendular est dado por

    2L

    Tg

    (2.8)*

    5.11. Muestre algunas aplicaciones del pndulo fsico.

    a). Mediciones de tiempo.

    Debido a la igualdad de duracin de todas las oscilaciones, el pndulo es de gran aplicacin en la

    construccin de relojes, que son mecanismos destinados a contar las oscilaciones, de un pndulo,

    traduciendo despus el resultado de ese recuento a segundos, minutos y horas.

    b) Determinacin de la aceleracin de la gravedad.

    Sabemos que:

    Elevando al cuadrado miembro a miembro es:

    y despejando g, es:

    en esta igualdad es: numero pi (constante=3.1415), y l: medible fcilmente, T: se determina con un buen

    cronmetro.

    Por lo que esta ultima expresin nos permite calcular con relativa facilidad la aceleracin de la gravedad

    en un lugar determinado.

    Esto constituye la aplicacin cientfica de mayor importancia del pndulo. Para estas determinaciones se

    emplean pndulos reversibles, es decir, pndulos que pueden oscilar primero alrededor de un eje y

    despus alrededor de otro. Colocado de tal modo que en cada una de esas posiciones el pndulo posea la

    misma longitud, y por lo tanto las oscilaciones son iscronas (igual tiempo de oscilacin).

    As se logran valores de gran precisin. Se debe tener en cuenta en estas determinaciones la temperatura,

    amplitud de las oscilaciones y las influencias del rozamiento del aire y del soporte del pndulo.

    El mtodo de medicin de g, con el pndulo, lo imagin y expres Huygens, y fue aplicado por el fsico

    matemtico Borda.

    c) Determinacin del movimiento de rotacin de la Tierra.

    Si disponemos de un pndulo suspendido de un alambre como indica la figura, y procedemos a sacarlo de

    su posicin de equilibrio, observaremos que el plano de oscilacin del pndulo no vara al girar el

    alambre sostn.

  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    19 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    Por tanto: El plano de oscilacin de un pndulo se mantiene invariable al modificarse la posicin del

    plano sostn.

    Foucault, haciendo uso de esa propiedad, pudo demostrar la existencia del movimiento de rotacin de la

    Tierra. Emple un pndulo que constaba de una esfera de cobre de 25 kilogramos provista de un fiel y

    suspendida de la cpula del Panten (Pars) por medio de un alambre de acero de 79 m de largo.

    En el suelo dispuso una capa de arena hmeda en la cual el fiel de la esfera pendular marcaba los trazos

    de sus oscilaciones.

    As se pudo ver que, a medida que transcurra el tiempo, esas marcas se iban modificando. Como el plano

    de oscilacin es constante, significaba ello que lo variable era el plano del soporte, es decir, el Panten o,

    lo que es igual, la Tierra. En realidad, este experimento puede realizarse en

    una sala ordinaria con pndulo ms corto.

    J. BI. Foucault: Fsico francs, nacido y muerto en Pars (1819-68). Entre sus

    trabajos recordamos la invencin del giroscopio, con el que puede

    determinarse la direccin del meridiano del lugar sin necesidad de la

    observacin astronc5mica, el mtodo para calcular la velocidad de la luz en

    el aire y en el agua, as como la demostracin del movimiento de rotacin de

    la Tierra valiendose del pendulo.

    d) Medicin del tiempo: Huygens fue quien ide un mecanismo para poder

    medir el tiempo. Sabemos que, para determinada longitud, el pndulo cumple

    una oscilacin simple en un segundo. Por tanto, dando a un pndulo esa

    longitud, nos indicar, para cada oscilacin, un tiempo igual a un segundo.

    En otras palabras, si construimos un pndulo que efecte en un da solar medio 86.400 oscilaciones, cada

    una de stas nos indica un segundo. Un pndulo que rena estas condiciones, aplicado a un mecanismo

    motor (cuerda o pesas, que harn mover el pndulo) y a un sistema destinado a contar las oscilaciones, o

    sea, los segundos, constituye un reloj de pndulo.(figura izquierda)

    En los relojes porttiles (de bolsillo, despertadores, etc.) el pndulo est reemplazado por el volante

    (rueda) que produce el movimiento oscilatorio del pndulo.

    Cristian Huygens: Matemtico y astrnomo holands (1629-1695). Fue un verdadero

    genio de su siglo. Inventa el reloj de pndulo, y luego, el resorte espiral, para los de

    bolsillo. Enunci la teora ondulatoria de la luz, esboz lo que hoy llamamos teorema de las fuerzas vivas; haciendo girar una esfera de arcilla, dedujo que la Tierra no poda ser

    esfrica.

  • | CORNELIO REYES JHONATAN

    20 PENDULO FISICO O COMPUESTO

    VI. CONCLUSIONES:

    6.1. Se estudi satisfactoriamente el movimiento de un pndulo compuesto o fsico

    6.2. Se logr Medir y demostrar la aceleracin de la gravedad local utilizando un pndulo

    compuesto

    6.3. satisfactoriamente Se logr determinar el radio de giro de un cuerpo rgido y a partir de este se

    calcul el momento de inercia del mismo

    6.4. durante la prctica se resalt algunas aplicaciones del pndulo compuesto.

    6.5. SE Verifico la reversibilidad del pndulo compuesto

    VII. BBLIOGRAFA

    1. GOLDEMBERG, J. Fsica General y Experimental. Vol. I. Edit. Interamericana. Mxico 1972. 2. MEINERS, H. W, EPPENSTEIN. Experimentos de Fsica. Edit. Limusa. Mxico 1980 3. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG. Fsica Universitaria. Vol. I. Edit. Addison Wesley Ibe. USA

    2005

    4. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Fsica Vol. I. Edit. CECSA. Mxico-

    2006

    5. SERWAY RAYMOND. Fsica. Vol. II. Edit. Mc Graw - Hill Mxico 2005.

    6. TIPLER A. PAUL. Fsica para la Ciencia y la Tecnologa. Vol. I. Edit. Reverte, S.A. Espaa

    2000.