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Física II: Termodinámica, ondas y fluidos

Índice

5 - MOVIMIENTO PERIÓDICO........................................................................................................................ 2

5.1 OSCILACIÓN: DESCRIPCIÓN Y DEFINICIÓN.................................................................................................. 2 5.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO S IMPLE (MAS).................................................................................................. 4

Ej. 5.1 Resorte sin fricción................................................................................................................................ 6 5.3 DESPLAZAMIENTO , VELOCIDAD Y ACELERACIÓN...................................................................................... 7

Ej. 5.2 Resorte sin fricción del Ej. 5.1 ............................................................................................................... 8 5.4 ENERGÍA DEL MAS ........................................................................................................................................ 9

Ej. 5.3 Resorte sin fricción de Ej. 5.1, con 0.02mx = ................................ ................................ ................ 10 Ej. 5.4 Energía y momento en el MAS ............................................................................................................. 11

Masa vertical ................................................................................................................................................... 12 Ej. 5.5 Un coche viejo con amortiguadores gastados....................................................................................... 12

Masa angular: reloj mecánico...................................................................................................................... 13 Ej. 5.6 Molécula de Argón ............................................................................................................................. 15

5.5 PÉNDULO SIMPLE.......................................................................................................................................... 16 5.6 PÉNDULO FÍSICO........................................................................................................................................... 17

Ej. 5.7 Péndulo físico vs simple...................................................................................................................... 18 Ej. 5.8 Modelo de caminar de los animales .................................................................................................... 18

5.7 OSCILACIONES AMORTIGUADAS................................................................................................................. 19 5.8 OSCILACIONES FORZADAS, RESONANCIA Y CAOS..................................................................................... 21

Oscilaciones caóticas...................................................................................................................................... 22 PROBLEMAS ........................................................................................................................................................ 23

2

5 - Movimiento periódico

5.1 Oscilación: descripción y definición

Movimiento periódico u oscilación = movimiento que se repite en un ciclo regular

Ej. Vibración de un cristal de cuarzo (reloj)

Péndulo oscilante

Sonido

Un cuerpo que tiene un movimiento periódico siempre tiene una posición de equilibrio instable + fuerza para volver al equilibrio + una energía cinética para pasar el punto de equilibrio .

Caso 1: un cuerpo con masa m se mueve sobre un guía horizontal sin fricción.

Una fuerza restauradora (resorte) tiende a regresar el sistema al equilibrio.

Si no hay fricción, entonces .E cte= y el movimiento se repetirá eternamente.

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Definiciones:

• Amplitud A : magnitud máxima del desplazamiento respecto al equilibrio. Unidad [ ] mA =

• Ciclo : viaje completo de ida y vuelta

• Periodo T : el tiempo que tarde un ciclo. Unidad [ ] sT =

• Frecuencia f : numero de ciclos en unidad de tiempo: Unidad Hertz, [ ] 1sf =

1 ciclo 11 Hertz 1Hz

s s= = =

• Frecuencia angular ω : 2 fω π= ; Unidad [ ] rads

ω =

Relación entre periodo y frecuencia:

(5.1) 1f

T= o 1

Tf

=

(5.2) 22 f

Tπ

ω π= =

Vibración rápida y f ω⇒ grandes T⇒ pequeño

Ej: Un transductor (porta voz) ultrasónico oscila con frecuencia de 6.7MHz .

76

1 11.5 10 s

6.7 10 HzT

f−= = = ×

×, 7 rad

2 4.2 10s

fω π= = ×

4

5.2 Movimiento Armónico Simple (MAS)

Cuando la fuerza restaurado es proporcional al desplazamiento, el movimiento es armónico simple (MAS).

(5.3) F kx= − donde [ ] 2

N kgm s

k = =

Aceleración no es constante:

(5.4) 2

2

d x ka xdt m

= = −

Cuerpo en MAS = oscilador armónico

En general por 0A → , las oscilación pueden ser considerada como un MAS.

Ecuaciones del MAS:

Consideramos un fasor, un vector en rotación con velocidad angular .cteω =

Seguimos la proyección del vector amplit ud A sobre el eje x. La componente x del fasor en el instante t:

(5.5) cosx A θ=

La aceleración del punto del fasor, Q , es qa y es siempre dirigida hacia el origen.

(5.6) 2 2 2

2q

v Aa AA A

ω ω= − = − = −

5

La componente x de qa es la aceleración de la sombra de Q sobre el eje x:

(5.7) 2 2cos cosx qa a A xθ ω θ ω= = − = −

Característica del MAS: la aceleración es proporcional al desplazamiento y siempre al signo opuesto.

Comparando con (5.4) 2ka x x

mω= − = −

(5.8) 2 k km m

ω ω= ⇒ =

Cuando un cuerpo comienza a oscilar, ω es predeterminada por k y m.

Consistente con unidad: [ ]2kg s 1

kg skm

ω

= = =

Según (5.2):

(5.9) 1

2 2k

fm

ωπ π

= =

(5.10) 1 22

mT

f kπ

πω

= = =

Para un cuerpo con m mayor, mayor es la inercia y menor es la aceleración. El cuerpo tarda, por tanto, más tiempo a completar un ciclo.

Un resorte más ríg ido ejerce una fuerza mayor y por tanto, el cuerpo completa su ciclo más rápidamente.

En el MAS, el periodo y la frecuencia no depende de la amplitud.

Diapasón: siempre vibra a la misma frecuencia cual sea la amplitud. Por esto el diapasón es un estándar por tono musical.

6

Ej. 5.1 Resorte sin fricción.

Una fuerza de 6NF = hace avanzar el resorte de 0.03mx =

a) 6N N200

0.03m mresorteF

kx

− −= − = − =

Conectamos un cuerpo de 0.5kgm = al punto 0.02mx =

b) 2200kg s rad20

0.5kg skm

ω = = =

20rad s3.2Hz

2 2f

ωπ π

⇒ = = = e 10.31sT

f= =

7

5.3 Desplazamiento, velocidad y aceleración

Si en 0t = el fasor forma el ángulo φ con el eje x: tθ ω φ⇒ = +

(5.11) cos( )x A tω φ= +

También podremos haber escrito (5.11) en té rmino de una función senoidal del tiempo:

2cos( ) sen( )πα α= +

En MAS, la posición es una función periódica senoidal del tiempo.

El valor del coseno siempre es entre –1 y 1, por lo tanto x varia entre –A y A.

De (5.11) deducimos la velocidad y aceleración:

(5.12) sen( )dx

v A tdt

ω ω φ= = − +

(5.13) 2

22 cos( )dv d xa A t

dt dtω ω φ= = = − +

v oscila de maxv Aω= ±

La componente x es desplazado de 14 T , relativa a v y 1

2 T relativa a a .

En el punto de equilibrio: 0x = , maxv v= ± y 0a =

En el punto máxima: x A= ± , 0v = y maxa a= ∓

8

Si conocemos la posición y velocidad iniciales, 0x y 0v , podemos determinar A y φ .

(5.14) 0 cos( )x A φ= y 0 sen( )v Aω φ= −

0

0

sen( )tan( )

A cos( )v Ax

ω φω φ

φ−

⇒ = = −

(5.15) 0

0

arctanvx

φω

= −

Como 2 2 20 cos ( )x A φ= y

22 20

2 sen ( )v A φω

=

(5.16) 2

2 00 2

vA x

ω= +

Ej. 5.2 Resorte sin fricción del Ej. 5.1

Posiciones iniciales: 0 0.015mx = + y m0 s0.4v = +

a) 0.31sT = y rads20ω =

2 2m2 2 s00 2 2rad

s

(0.4 )(0.015m) 0.025m(20 )

vA xω

⇒ = + = + =

ms0

rads0

0.4arctan( ) arctan( ) 53 0.93rad

20 0.15mvx

φω− −

⇒ = = = − = −o

b) 2 mmax s3

2

sen( ) 0.5v Aπ

πω= − = ∓ y

22 m

max scos( ) 10

2a A

πω

π= − = ±

9

5.4 Energía del MAS

Como la fuerza del resorte es conservativa .E cte=

Energía cinética: 212K mv=

Energía potencial: 212U kx=

(5.17) 2 21 12 2E K U mv kx= + = +

Cuando x A= ± , 0v = y 212E kA cte= =

De modo que:

(5.18) 2 2 21 1 12 2 2E mv kx kA= + =

Podemos verificar esta relación usando las ecuaciones de la posición y veloc idad:

( ) ( )2 21 12 2 sen( t+ ) cos( )E m A k A tω ω φ ω φ⇒ = − + +

Recordamos que 2 km

ω =

2 2 2 2 21 1 12 2 2 sen ( t+ ) cos ( )E kA kA t kAω φ ω φ⇒ = + + =

Usando 5.18 podemos determinar la velocidad:

(5.19) 2 2kv A x

m= ± −

El signo ± significa que en un valor de x dado el cuerpo se puede estar moviendo en cualquiera de las direcciones.

Ej. 2A

x = ± 34

kv A

m⇒ = ±

También podemos encontrar la rapidez máxima, cuando 0x = max

kv A A

mω⇒ = =

10

Ej. 5.3 Resorte sin fricción de Ej. 5.1, con 0.02mx =

a) Nm m

max s

200 0.02 0.40.5kg

kv A mm

= ± = ± = ±

b) 2max

N200 m m( ) 0.02m 8.0 s0.5kgk

a Am

= − ± = =∓ ∓

c) A la mitad del camino (dirección positiva): 2A

x =

ms0.35v⇒ = − y 24 m

sa = −

d) La energía total tiene el mismo valor en todos los puntos durante el movimiento:

2 21 1 Nm2 2 (200 )(0.02m) 0.04JE kA= = =

2 21 1 Nm2 2 (200 )(0.01m) 0.01JU kx= = =

2 21 1 ms2 2 (0.5kg)( 0.35 ) 0.03JK mv= = − =

11

Ej. 5.4 Energía y momento en el MAS

Un bloc de masa M, conectado a un resorte horizontal con constante de fuerza k , se mueve como un MAS.

a) Cuando pasa por el punto de equilibrio, una masilla m es agregada a la masa

b) La masilla es agregada solamente al punto de máxima amplitud

a) Antes 211 12E kA=

Porque la posición es el del equilibrio y 1 0U = e 2 21 11 12 2Mv kA= 1 1

kv A

m⇒ =

La cantidad de movimiento en x, es conservada .P cte=

1 2 2 10 ( )M

Mv m M m v v vM m

⇒ + ⋅ = + ⇒ = +

La energía cinética es reducida:

( )2

2 2 21 1 12 2 1 1 12 2 2

M M ME M m v v Mv E

M m M m M m = + = = = + + +

Como 2 21 12 2 12 2

ME kA kAM m

= = + 2 1

MA A

M m⇒ =

+

Mayor es m, y menor es A2. También cambia el periodo: 2 2M m

Tk

π+

=

Los cambios son consistentes con un cambio de inercia del sistema.

b) En este secundo caso, 0P =

La energía y amplitud no cambia: 212 1 12E E kA= =

Pero el periodo si cambia: 2 2 ( /T M m kπ= +

12

5.5 Ejemplos de diferentes MAS

Masa vertical

Al equilibrio: k l mg∆ =

Sea 0x = la posición del equilibrio en dirección 0x > arriba, la distancia por encima del equilibrio = extensión = l x∆ − y la fuerza neta:

( ) ( )netaF k l x mg kx= ∆ − + − = −

Cuando la masa es debajo de la posición de equilibrio, netaF kx= +

masa oscila con MAS k mω⇒ ⇒ =

Mismo se pasa cuando un peso se coloca sobre un resorte compresible.

Ej. 5.5 Un coche viejo con amortiguadores gastados

Cuando sube una persona de 980N coche baja de 2.8cm

4 Nm

980N3.5 10

0.028mF

kx

⇒ = − = − = ×−

Cuando el coche golpea bache, comienza a oscilar como MAS

Masa de la persona: 2

ms

980N100kg

9.8wg

= = , Masa total: 1000kg 100kg 1100kg+ =

Periodo de oscilación: 2 1.11M

T sk

π= =

13

Masa angular: reloj mecánico

Momento de inercia I alrededor de su eje e equivalente a la masa en la segunda ley de Newton.

Momento de torsión de restitución τ proporcional al desplazamiento, es equivalente a la fuerza.

τ κθ= − , donde κ es la constante de tensión.

La segunda ley de Newton:

2 2 2

2 2 2

d d dI I Idt dt dt I

θ θ θ κτ α κθ θ= = ⇒ − = ⇒ = −∑

Forma es idéntica a la ecuación (5.4): x θ→ y km I

κ=

(5.20) Iκ

ω = y 1

2f

Iκ

π=

Ecuación del movimiento MAS: cos( )tθ ω φ= Θ +

Donde Θ es la amplitud angular.

14

Vibraciones de moléculas:

Consideramos 2 átomos separados por unos cuantos diámetros atómicos.

Tiene una fuerza de atracción y cuando se acerca una fuerza de repulsión. Entre los límites hay una distancia de equilibrio en la que los átomos forman una molécula.

Un ligero desplazamiento de los átomos hace vibrar la molécula.

La fuerza es descrita con interacción de van der Waals. Tomemos el centro de un átomo con origen y colocamos el otro a una distancia r. La distancia al equilibrio es 0r R= .

(5.21) 12 6

0 00 2R RU U

r r

= −

Donde 0 0U cte= > y [ ]0 JU =

A grande separación, 0U = y a 0 0r R U U= ⇒ = −

La fuerza:

(5.22) 13 712 6

0 0 0 0 00 13 7

0

12 62 12R R U R RdUF Udr r r R r r

= − = − = −

Consideramos un desplazamiento al equilibrio: 0 0x r R r R x= − ⇒ = +

(5.23) 13 7

0 0 0 013 7

0 0 0 0

0 0

1 112 12

1 1

U R R UFR R x R x R x x

R R

= − = − + + + +

Si consideramos solamente pequeña amplitud 0

1 MASx

R⇒=

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Según el teorema del binomio:

( ) ( ) ( )2 31 1 ( 2)1 1

2! 3!n n n n n n

u nu u u− − −

+ = + + + +⋅⋅ ⋅

13

130 0

0

1 1 1 ( 13)

1

x xR Rx

R

−

⇒ = + ≈ + − +

7

70 0

0

1 1 1 ( 7)

1

x xR Rx

R

−

⇒ = + ≈ + − +

Donde guardamos solamente los dos primeros términos

( ) ( )0 02

0 0 0 0

12 1 13 1 7 72U Ux x

F xR R R R

⇒ ≈ + − − + − = −

Esto es similar a la ley de Hook para un resorte con 020

72U

kR

=

Modelo de 2 átomos es como 2 masas ligados por un resorte horizontal.

Ej. 5.6 Molécula de Argón

210 1.68 10 JU −= × , y 10

0 3.82 10 mR −= × .

Para pequeña oscilaciones: 02 20

J N72 0.829 0.829

m mU

kR

⇒ = = =

Ésta es comparable a la constante de fuerza de los resortes de los juguetes poco rígidos.

De la tabla periódica: -27 26kg39.948u 1.66 10 6.63 10 kg

uArm −= ⋅ × = ×

1112 5.63 10 Hz

kf

mπ⇒ = = ×

En realidad, ambos átomos deben oscilar: 2m

m → 112 7.96 10 Hzf f⇒ → ×;

Esta frecuencia es la misma que cuando se usa la MQ.

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5.5 Péndulo simple

La fuerza restaurador es la componente tangencial:

(5.24) sen F mg θ= −

El movimiento no es MAS

Sin embargo, si senθ es pequeño, podemos usar senθ θ≈ . Por ejemplo, para 0.1rad sen 0.0998θ θ= ⇒ ; una diferencia de 0.2%.

Para pequeña amplitud:

x mgF mg mg x kx

L Lθ= − = − = − = −

gL

ω⇒ = , 12

gf

Lπ= y 2 LTg

π=

Nota que no aparece la masa. Esto es porque la masa aparece en ambos lado de F ma=∑r r

y se cancela. Es el mismo principio físico que hace que dos cuerpos de diferentes masas caen con la misma aceleración.

Cuando la amplitud de la oscilación no es pequeña puede demostrarse que la ecuación general del periodo es:

(5.25) 2 2 2

2 4max max1 1 32 1 sen sen2 2 2 4 2

LTg

θ θπ = + + +⋅⋅ ⋅

Para max 15θ = o el periodo es más largo en menos de 0.5%.

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La grande utilidad del péndulo es que el periodo no depende de la amplitud. Así en un

reloj, si el péndulo pierde su impulso (menor amplitud) esto no afecta el periodo.

El péndulo permite medir variación del campo de gravitación (g ) con grande precisión.

Este principio es usado en geofísica para poder encontrar depósitos de mineros y petróleo.

5.6 Péndulo físico

Péndulo con cuerpo real de tamaño finito.

Momento de torsión:

(5.26) senmgdτ θ= −

Donde d , es la distancia al pívot del centro de masa.

Para pequeña oscilación:

mgdτ θ= −

La ecuación del movimiento: 2 2

2 2

d d mgdI mgd Idt dt I

θ θτ α θ θ= ⇒ − = ⇒ = −∑

(5.27) mgd

Iω =

(5.28) 2 ITmgd

π=

La ecuación 5.28 es a la base de un método para medir el momento de inercia de cuerpo de forma compleja:

1. Localice el centro de masa por balanceo;

2. Suspende el cuerpo de modo que oscile libremente alrededor del eje (d);

3. Mide el periodo T

Este método se usa en biomecánica para calcular momentos de inercia de miembros de animales.

18

Ej. 5.7 Péndulo físico vs simple

Una varilla uniforma de masa M y longitud L que pivota en un extremo.

Momento de inercia: 213I ML=

Distancia al pívot del centro de gravedad: 2d L=

213 2

2 22 3

ML LT

MgL gπ π⇒ = =

El periodo es menor por un factor 23

que el periodo de un péndulo simple.

Ej. 5.8 Modelo de caminar de los animales

Supongamos que el paso natural de caminar es igual al periodo de la pierna. Asumimos que la pierna es similar a una varilla uniforme de longitud L con pívot en la cadera.

223

LTg

π⇒ =

Como cada paso corresponde a 2 pasos, el ritmo de caminar es igual a 2 f .

Los animales con patas menores caminan a un ritmo más rápido que los animales con piernas largas.

Consideramos Tiranosaurus Rex: con L = 3.1m y una distancia de zancada S = 4.0m

22 2.93

LT sg

π= = y la rapidez m km1.4 5

s hS

vT

= = =

Más o menos la rapidez de camino de una persona.

Para obtener un modelo más real debemos tomar en cuenta que las patas de los animales son ahusadas: hay más masa entre la cadena y rodilla. El centro de masa no esta a una distancia 2d L> , pero talvez 4L .

El momento de inercia tan poco es real. Deberé ser más pequeño, talvez 2

15ML∼

2 15 42 2 1.5s

4 15ML L

TMg L g

π π⇒ = = =

La velocidad es por tanto más grande: 4.0m m km2.7 9.6

1.5s s hv = = =

19

5.7 Oscilaciones amortiguadas

En los sistemas reales siempre hay una fuerza disipativa. En este caso, E cte≠ y la amplitud disminuye con el tiempo; amortiguación

Las oscilaciones son amortiguadas.

Consideramos un oscilador armónico con una fuerza de fricción proporcional a la velocidad (Ej. Amortiguadores con flujo de fluidos viscosos).

(5.29) fF bv= − donde dxv

dt= y b es una constante que depende en la intensidad de la

fuerza

F kx bv kx bv ma⇒ = − − ⇒ − − =∑

(5.30) 2

2

dx d xkx b m

dt dt− − = o

2

2 0d x b dx k

xdt m dt m

+ + =

La ecuación 5.30 es una ecuación diferencial de segundo orden. La solución es:

(5.31) ( )2 cos 'b

tmx Ae tω φ

− = +

Verificamos que 5.31 es solución de 5.30 a la condición que:

(5.32) 2

2'4

k bm m

ω = −

Donde 'ω es la frecuencia natural del sistema.

20

La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo. Mayor es b , más rápidamente disminuye la amplitud.

Para ' 0ω = , 2b km= . Esto es la condición de amortiguación crítica. El sistema regresa al equilibrio sin oscilar.

Para 2b km> , tampoco a oscilación, el sistema esta sobreamortiguado y vuelva al equilibrio más lentamente que en el caso de amortiguación crítica.

La solución en este caso es:

(5.33) 1 21 2

a t a tx C e C e− −= + donde 1 2 y C C son constante que dependen de las

condiciones iniciales y 1 2 y a a son constante que depende de , y m k b .

Para 2b km< , el sistema esta subamortiguado y oscila a la frecuencia natural 'ω .

En un coche, los amortiguadores son amortiguados de manera crítica o ligeramente subamortiguados.

Porque E cte≠ , la pierda de energía 2 21 12 2

E mv kx= + por unidad de tiempo:

( )dE dv dx

mv kx v ma kxdt dt dt

= + = +

Por la ecuación (5.30), dxma kx b bv

dt+ = − = −

La potencia amortiguador por tanto es igual a:

(5.34) 2dEbv

dt= −

21

5.8 Oscilaciones forzadas, resonancia y caos

Una fuerza impulsora es una fuerza variable y periódica que se aplica a un oscilador amortiguado para poder mantener la amplitud constante.

Cuando aplicamos una fuerza impulsora que varia con una frecuencia dω , el sistema se mete a oscilar a la misma frecuencia.

Esto es una oscilación forzada.

Cuando 'dω ω→ , la amplitud aumenta.

Consideramos una fuerza ( ) ( )max cos dF t F tω= .

Puede mostrarse (usando ecuaciones diferenciales) que la amplitud varia como:

(5.35) ( )

max

22 2 2d d

FA

k m bω ω=

− +

Si 2 0dk mω− = , la amplitud es máxima y lejos de d kmω = , la amplitud es proporcional

a 1b

. Para 0dω = , maxFA

k=

El fenómeno físico que hace que hay un pico de amplitud máxima cuando la frecuencia impulsora es cerca de la frecuencia natural se llama: resonancia

El fenómeno de resonancia es muy frecuente en la naturaleza.

Ej. Una vibración a partir de una cierta rapidez en un coche; el ruido de altavoz cuando la nota es cerca de la frecuencia natural de la caja; un circuito sintonizador de radio y televisión.

22

Oscilaciones caóticas

Un péndulo es formado por una masa m unida a una varilla ligera de longitud L libre para girar. Aplicamos una fuerza impulsora ( ) max cos dF t F tω= que hace oscilar la varilla a la

frecuencia 2d

gL

ω = y 2d

d

Tπ

ω= .

• Si maxF aumenta, A, aumenta;

• Si maxF no es grande, péndulo oscila a frecuencia dω ;

• Cuando maxF mg→ , tenemos una duplicación del periodo 2 dT T= ;

• Cuando max 1.5F mg∼ la masa describe un circulo completo;

• Para max 1.5F mg> , 4 dT T= ;

• Para max 2F mg∼ , T →∞ el movimiento parece aleatorio.

El movimiento es caótico y el comportamiento es el caos.

Muchos sistemas físicos pueden exhibir un comportamiento caótico:

Ej. El agua que gota de un grito;

Un flujo turbulento de fluido;

Una masa que rebota sobre un pistón oscilando verticalmente.

23

Problemas

24

25

26

27