FÍSICA MÉDICA

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CONTENIDOS

Concepto de onda. Clasificación .....................................................................5

Características de una onda armónica ............................................................5

Magnitudes características ........................................................................ 6

Ecuación de una onda mecánica armónica bidimensional ..............................7

Doble periodicidad ..................................................................................... 8

Energía, potencia e intensidad de una onda ...................................................8

Efecto Doppler ...............................................................................................10

Aplicaciones del efecto Doppler en Medicina .......................................... 11


FFFÍÍÍSSSIIICCCAAA MMMÉÉÉDDDIIICCCAAA Tema 3: Ondas Mecánicas

CCCooonnnccceeeppptttooo dddeee ooonnndddaaa... CCClllaaasssiiifffiiicccaaaccciiióóónnn La energía se puede propagar de dos formas diferentes. La primera, mediante el movimiento de las partículas que poseen energía mecánica (cuando una partícula con energía choca contra otra, transfiere parte de ésta o toda ella a la otra partícula). La segunda es mediante ondas, es decir, sería el caso de que las partículas que poseen energía pero no se desplazan. Se puede definir, pues, el movimiento ondulatorio como la transmisión de una perturbación de un punto a otro del espacio sin transporte neto de materia entre ambos. Las ondas se pueden clasificar atendiendo a distintos criterios: Según el tipo de energía que transportan:

Mecánicas: Las ondas necesitan un medio material para propagarse. Transportan energía mecánica. Un ejemplo es el de una onda producida en una cuerda cuando se hace oscilar su extremo, observándose un movimiento sinusoidal de todos los puntos de la cuerda.

Electromagnéticas: Son ondas que se pueden propagar en el vacío. Transportan energía electromagnética, y son campos eléctricos y magnéticos que se transmiten en el espacio sin necesidad de un soporte material y que son originados por cargas eléctricas oscilantes. La luz, por ejemplo, es una onda electromagnética.

Según las direcciones relativas de propagación y de vibración: Longitudinales: Son aquellas en las que ambas direcciones coinciden. Un ejemplo es el

sonido, donde en su vibración las partículas del medio chocan con las contiguas transmitiendo la perturbación pero sin alterar su posición neta.

Transversales: Son aquellas en las que la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración, como ocurre por ejemplo en las ondas generadas en la superficie del agua, donde cada partícula oscila verticalmente y transmite la perturbación a las partículas vecinas sin abandonar su situación.

Nuestro estudio se centrará en ondas mecánicas armónicas, es decir, la propagación en un medio material del movimiento vibratorio armónico simplea (MVAS), y por ende de carácter periódico.

Según las direcciones de propagación: Unidimensionales: si viajan en una única dirección, como por ejemplo las ondas generadas

en una cuerda. Bidimensionales: si se propagan en un plano, como ocurre con las ondas generadas en la

superficie del agua. Tridimensionales: si se propagan en todas las direcciones, como la luz y el sonido.

CCCaaarrraaacccttteeerrríííssstttiiicccaaasss dddeee uuunnnaaa ooonnndddaaa aaarrrmmmóóónnniiicccaaa Para tener una idea de una onda mecánica armónica, supongamos una cuerda atada por uno de sus extremos. Si cogemos el extremo libre y producimos en él un MVAS, agitando regularmente en la dirección perpendicular a la cuerda, vemos que se genera una onda, y al cabo de cierto tiempo, cada punto vibra de acuerdo a un MVAS idéntico al producido en el extremo (figura 3.1).

a El movimiento vibratorio armónico simple es el movimiento de vaivén de una partícula en torno a una posición central denominada de equilibrio. Por ejemplo, cuando estiramos un muelle ideal y dejamos que oscile libremente el movimiento que éste describe es el de un MVAS.

Tema 3: Ondas Mecánicas


Magnitudes características Al extremo donde hemos originado el MVAS lo llamaremos foco, es decir, el punto del medio donde nace la onda. Definimos la fase como el estado de vibración de un punto del medio donde se propaga la onda en cada instante, y que podríamos entender como el conjunto de la posición y velocidad que posee. Se dice que dos puntos están en fase cuando en el mismo instante están en idéntico estado de vibración (por ejemplo ambos en el punto más alto de la vibración), y dos puntos están en oposición de fase si están en situaciones de vibración totalmente opuestas (por ejemplo si uno está en el punto más alto y otro en el punto más bajo). La amplitud (A) es la máxima distancia que separa a una partícula del medio de su posición de equilibrio. Coincidirá pues con la amplitud de su MVAS. Y por tratarse de una distancia, en el S.I. se mide en metros. La longitud de onda (λ) es la distancia a lo largo de la dirección de propagación que separa dos puntos en fase, por ejemplo, la distancia entre dos crestas o dos valles de la onda, e igualmente vendrá en metros en el S.I. El periodo (T) es el tiempo que tarda en formarse una onda completa, es decir, el tiempo que tarda en propagarse la vibración de un punto a otro que esté en fase con él, es decir, el tiempo que tarda la perturbación en propagarse una longitud de onda y coincide entonces con el tiempo que tarda un punto del medio en hacer una vibración completa (por ejemplo desde que está en el punto más alto hasta que vuelve a él), y así una forma para el cálculo del periodo es como el cociente de E 3.1:

esoscilacionn

tiempoT

º (E 3.1)

Por tratarse de un tiempo su unidad S.I. es el segundo. La frecuencia (f) es el número de ondas completas que se forma por unidad de tiempo y por tanto puede calcularse según E 3.2:

Ttiempo

esoscilacionnf

1º (E 3.2)

Coincide pues con la frecuencia del MVAS al que se ve sometido cada punto del medio y sus unidades son Hz (s-1). (el Hz es una unidad muy pequeña y suele emplearse uno de sus múltiplos: el megahertzio (1 Mz = 106 Hz). La velocidad de propagación (v) es la fracción de espacio por unidad de tiempo que recorre perturbación. Luego supuesto un movimiento uniforme podríamos emplear la relación clásica dada por E 3.3:

tiempo

espaciov (E 3.3)

En un periodo, la perturbación se habrá propagado una distancia igual a la longitud de onda, luego se cumple también la relación dada por E 3.4:

Tv

(E 3.4)

Las unidades de la velocidad de propagación son las de m/s. La velocidad de propagación depende de las características elásticas del medio, es decir, de qué facilidad da éste para dejar que a su través se propague un movimiento ondulatorio, y en el caso de ondas electromagnéticas en el vacío se conoce como c=3·108 m·s-1, que es la máxima velocidad posible en nuestro universo. Si consideramos que del mismo foco sale más de una onda bidimensional, supongamos por ejemplo varias cuerdas paralelas (infinitamente juntas, de manera que el foco sea común). Llamamos frente de ondas a la línea imaginaria que une los puntos que están en igualdad de fase. Un caso real en el que el frente de ondas es visible, es el de una perturbación que se propaga en la superficie del agua, cada una de las circunferencias concéntricas es un frente de ondas (figura 3.2)

Figura 3.1: Representación del movimiento ondulatorio observado en una cuerda cuando se agita regularmente su extremo.

λ

A

Física Médica


Los rayos son líneas imaginarias perpendiculares al frente de ondas, luego paralelos a la dirección de propagación de cada onda, y apuntando en la misma dirección

EEEcccuuuaaaccciiióóónnn dddeee uuunnnaaa ooonnndddaaa mmmeeecccááánnniiicccaaa aaarrrmmmóóónnniiicccaaa bbbiiidddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaalll Supongamos de nuevo la cuerda de nuestro ejemplo. La vibración del foco vendrá dada por la función de su MVAS (E 3.5)

0

2sen)(

tT

Aty (E 3.5)

Donde y(t) es la elongación o posición vertical, que es una función del t que es el tiempo que lleva vibrando y φ0 es la denominada fase inicial (en el instante inicial, t=0, esta magnitud constituye el argumento de la función trigonométrica) Un punto que se encuentre más a la derecha en la cuerda llevará menos tiempo vibrando, exactamente llevará vibrando el tiempo en el que se inicio el MVAS del foco menos el tiempo que ha tardado en propagarse la perturbación (t´), con lo que podría escribirse una expresión para su movimiento como E 3.6:

0´)(

2sen)(

ttT

Aty (E 3.6)

Para un punto cualquiera a una distancia x, el tiempo que tarda en llegar la perturbación, teniendo en

cuenta la definición de velocidad vendrá dado por: v

x´t , qué al sustituir en 3.6 junto con 3.4 resulta la

ecuación general para la propagación de ondas:

0

22sen),(

xtT

Atxy (E 3.7)

Por simplicidad consideraremos fase inicial nula (el foco comienza a moverse desde la posición de

equilibrio) y dos nuevas magnitudes denominadas pulsación ( T 2 ) que en el sistema

internacional se mide en rad·s-1 y el número de ondas (2

k ) en rad·m-1 b. Con lo que podemos

reescribir la ecuación general como:

kxtAtxy sen),( (E 3.8)

Observa que la función de una onda nos da la posición de un punto en relación a su distancia (x), con respecto al foco, y al tiempo (t), porque de acuerdo con nuestro modelo, en el mismo instante dos

b La pulsación se puede entender como la velocidad angular de un hipotético movimiento circular uniforme cuya proyección sobre un diámetro de la trayectoria resulta ser un MVAS. El número de ondas es el número de ciclos completos de la onda que caben en una unidad de longitud.

FRENTES DE ONDA

Figura 3.2: Representación de los frentes de onda: planos (a) y circulares (b)

a) b)



puntos de la cuerda no tienen porque estar en la misma posición y tampoco un mismo punto ha de estarlo en dos instantes distintos. No obstante sería más correcto emplear E 3.8, donde se considera el caso de ondas que se propagan en sentido positivo (-) y negativo (+).

kxtAsentxy ),( (E 3.9)

Doble periodicidad Considerando que un movimiento ondulatorio viene definido por una función trigonométrica periódica, resulta obvio que también será periódica la onda, en concreto doblemente periódica: Respecto al espacio: varios puntos de la onda en el mismo instante se encuentran en el mismo

estado de vibración, es decir, en fase y resulta fácil demostrarlo sin más que igualar esta condición física (cuando la distancia se incrementa o se disminuye en un periodo espacial: Pe) con la matemática (una función seno se repite cuando el argumento se incrementa en 2π radianes):

kP

Pk

kxtPxkt

kxtPxkt

kxtAPxktA

e

e

e

e

e

2

2·

2

2sensen

2sensen

Con lo que demostramos la existencia de dicho periodo espacial constante que además resulta ser la longitud de onda Respecto al tiempo: el mismo punto al cabo de un periodo temporal (Pt) volverá al mismo estado de

vibración. Te dejamos como ejercicio que demuestres la existencia de este periodo temporal constante que ha de coincidir con T.

EEEnnneeerrrgggíííaaa,,, pppooottteeennnccciiiaaa eee iiinnnttteeennnsssiiidddaaaddd dddeee uuunnnaaa ooonnndddaaa Hasta ahora hemos considerado el movimiento ondulatorio como la propagación en un medio material del MVAS, pero si nosotros provocamos una vibración en el extremo libre de la cuerda de nuestro ejemplo ¿por qué seguidamente comienzan a vibrar los demás puntos de la cuerda?, la respuesta es que la energía se transmite entre los puntos adyacentes a lo largo de la cuerda, de manera que si nosotros provocamos cierta vibración, transmitimos parte de nuestra energía a la partícula vibrante, y ésta, la cede toda al siguiente punto de la cuerda, que comienza a vibrar para comunicarle su energía al siguiente punto, y así, sucesivamente. Luego la energía (E) transportada por una onda ha de ser igual a la energía del MVAS del foco. De la aplicación de las leyes de Newton de la dinámica, de Hooke y de la conservación de la energía se deduce la expresión dada por:

2222 mAfE (E 3.10)

Luego la energía (medida en Julios, J, en el S.I) es directamente proporcional a la masa (m), al cuadrado de la amplitud y también al cuadrado de la frecuencia, cosa bastante lógica dado que nuestro esfuerzo para iniciar el movimiento ondulatorio en el extremo libre de la cuerda, es mayor si la cuerda es más pesada (m), también si movemos el brazo una distancia mayor (A) y si lo hacemos más rápido (f). La potencia (P) es una magnitud física que se define como la cantidad de energía transmitida por unidad de tiempo:

tE

P (E 3.11)

Física Médica


Y su unidad S.I. es el Wattio (W=J·s-1). De acuerdo con esta definición un calefactor será más o menos potente según si nos calienta más o menos rápido (nos transmite cierta cantidad de energía calorífica en menor o mayor tiempo). En el caso de las ondas, una lámpara (foco emisor de luz, en definitiva, foco emisor de ondas) será más o menos potente, y así también su onda luminosa, cuanta más luz suministre por segundo. La intensidad (I) de una onda es la potencia que desarrolla por unidad de superficie (S) que atraviesa el frente de ondas:

S

PI (E 3.12)

En el S.I. la intensidad se mide en W·m-2. La intensidad del movimiento ondulatorio puede disminuir por dos motivos diferentes: Atenuación: la intensidad disminuye a medida que nos alejamos del foco. La intensidad de la

onda disminuye por el simple hecho de propagarse ésta. Si la onda es tridimensional, por ejemplo el sonido, la superficie por la que se reparte en un medio homogéneo e isótropo es una corteza

esférica y la intensidad será 24 r

P

S

PI

, a medida que aumenta r (distancia al foco), la onda

es menos intensa, lo cual es bastante lógico dado que a medida que aumenta r, la misma energía ha de repartirse por una superficie mayor, en consecuencia, la intensidad de la onda disminuye. Si consideramos dos puntos cuyas distancias respectivas al foco emisor de una onda tridimensional son r1 y r 2, resulta fácil demostrar la relación:

21

22

2

1

r

r

I

I (E 3.13)

Absorción: la intensidad de una onda puede disminuir también debido a que el medio no es perfectamente elástico, es decir, absorbe parte de la energía que transporta la onda, siendo este decaimiento gobernado por la ley de Lamber-Beer:

bi eII ·· (E 3.14)

Que permite el cálculo de la intensidad que emerge (I) cuando una onda incidente con intensidad Ii atraviesa un material de espesor b. El coeficiente α, llamado de absorción presenta un valor característico por cada material, y de alguna forma cuantifica la magnitud del efecto absorbente (figura 3.3)

En el caso particular de las ondas sonoras, para la intensidad suele emplearse el nivel de intensidad (N) en la escala decibélica (dB) c, sobre el que volveremos en los siguientes temas, y que se calcula según:

0

log10I

IN (E 3.15)

Donde I es la intensidad de la onda sonora e I0 representa a un valor de referencia denominado umbral de audición y cuyo valor es de 10-12 W·m-2 y que representa a la menor intensidad sonora que por término medio es perceptible por el oído humanod.

c Aunque el nivel de intensidad sonora se expresa en decibelios, la aplicación de las reglas que vimos en el tema dedicado a las unidades denota que ésta debería ser adimensional. Es un caso parecido al de la unidad radián. d Por otra parte una intensidad de 1 W·m-2 es la del umbral de dolor, es decir, la intensidad que corresponde a un sonido molesto, lo que se denomina ruido.

b

Ii I

Figura 3.3: Fenómeno de absorción al atravesar la onda un medio material de espesor b



EEEfffeeeccctttooo DDDoooppppppllleeerrr Para ilustrarlo recurriremos a una situación qué seguro que todos hemos experimentado. Imagina que estás parado en la acera y de repente oyes que se acerca una ambulancia circulando en servicio de urgencias, seguro que recuerdas una situación parecida y como tienes la sensación de que a medida que la ambulancia se acerca el sonido de la sirena que percibes es más agudo y como una vez que pasa a tu altura, al alejarse, el sonido es más grave. Pues bien este fenómeno es un ejemplo del efecto Doppler, del que vamos a deducir su ecuación:

La velocidad de propagación de una onda viene dada por la ecuación E 3.4, y de acuerdo con la

relación E 3.2 podría reescribirse como fv · , llamemos Sv a la velocidad del sonido, Fv y Ff a la

velocidad y frecuencia medidas para la onda desde el foco emisor (conductor de la ambulancia) y Ov y

Of a las medidas por el observador (nosotros), por tanto se cumplirán las relaciones FF fv · y

OO fv · , despejando la longitud de onda e igualando ambas expresiones:

O

O

F

F

f

v

f

v

FF

OO f

v

vf ·

(E 3.16)

Si nos fijamos en la figura que representa la experiencia (figura 3.4a), resulta que la apreciación del

observador es que el sonido se acerca con su velocidad ( SO vv ) mientras que como la ambulancia,

que viaja con velocidad Fv en el mismo sentido que el sonido, la velocidad relativa a la que se aleja el

sonido es inferior: FSF vvv y al sustituir estos valores en E 3.16 resultaría:

FFS

SO f

vv

vf ·

(E 3.17)

Como el cociente entre velocidades relativas es mayor que la unidad resultaría que la frecuencia percibida por el observador es mayor que la emitida por el foco, es decir el sonido es más agudo. Cuando la ambulancia ya ha pasado y se aleja, la velocidad relativa a la que se aleja el sonido del foco

es mayor (figura 3.4b), en concreto ésta sería FSF vvv y así, al sustituir en E 3.16 resultaría:

FFS

SO f

vv

vf ·

(E 3.18)

Y como ahora el cociente de velocidades es menor que la unidad, la frecuencia percibida por el observador es menor que la emitida por el foco, es decir, el sonido es más grave. Los casos posibles son todas las combinaciones en las que el foco y/o el observador se mueven o no a cierta velocidad con respecto al sonido, y basta con calcular las velocidades relativas respecto a éste y sustituir en E 3.16, así. De forma genérica podemos establecer la siguiente ecuación para el efecto Doppler:

FFS

OSO f

vv

vvf ·

(E 3.19)

Figura 3.4: Fenómeno asociado al efecto Doppler. Variación de la frecuencia percibida por el observador al acercarse (a) y alejarse (b) el foco emisor respecto al observador

Sv

Fv

0Ov

Sv

Fv

0Ov

a) b)

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Aplicaciones del efecto Doppler en Medicina Una aplicación de este efecto en medicina es la de la medida de la velocidad del torrente sanguíneo con ultrasonidos, cuya explicación, curiosamente coincide con la del fundamento de medida de velocidades de vehículos con radares de tráfico. Supongamos una disposición como la de la figura 3.5, en la que una fuente de ultrasonidos (F) dirige éstos hacia un vaso sanguíneo formando un ángulo θ, por donde circula un hematíe (H) a una velocidad v, éste refleja las ondas y se recogen sobre el mismo instrumento El fundamento de la técnica consiste en la existencia de dos efectos Doppler, uno en el que F se comporta como fuente y el hematíe como observador y otro, tras la reflexión, en el que H se comporta como fuente y F como observador, siendo en ambos casos la velocidad a considerar la componente tangencial, en la dirección de

propagación del sonido ( ·cosvvt ). De

manera que de la aplicación de E 3.19:

Incidencia sobre el hematíe: FS

SH f

v

vvf ·

cos

Reflexión por el hematíe: HS

SF f

vv

vf ·

cos

Y sustituyendo el valor de fH de la primera en la segunda ecuación surge:

FS

SF f

vv

vvf ·

cos

cos

(E 3.20)

El desfase Doppler es la diferencia de frecuencias entre la emitida y la recibida por el instrumento:

FF fff (E 3.21)

Y sustituyendo el resultado de E 3.20:

cos

cos1·

·cos

cos

vv

vvff

fvv

vvff

S

SF

FS

SF

FS

fvv

vf ·

cos

cos2

(E 3.22)

Y como la velocidad del ultrasonido es muy superior a la del hematíe podemos aproximar

SS vvv cos , resultando:

FS

fv

vf

cos2 (E 3.23)

Que nos permite el cálculo de la velocidad del hematíe:

cos2

·

F

S

f

fvv

(E 3.24)

F

H v

tv

Figura 3.5: Medición de la velocidad del torrente sanguíneo por aplicación del efecto Doppler.

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