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FÍSICA. PRUEBA ACCESO A UNIVERSIDAD +25 TEMA 3: Dinámica

Si dejamos caer una pelota hasta que llega al suelo y rebota, observaremos que en su movimiento se dan cam-bios en rapidez y sentido e incluso podemos observar cambios en la forma de la pelota ¿cuál es la causa de estos cambios? Este fenómeno forma parte de nuestra vida cotidiana y damos explicaciones basadas en nuestra expe-riencia y en las observaciones que percibimos por nuestros sentidos; sin embargo, es preciso dar explicaciones basadas en un modelo general que nos permita explicar no sólo este fenómeno sino todos aquellos en los que los cuerpos cambien de movimiento. Este modelo se basa en el concepto de interacción entre cuerpos y que se ma-nifiesta mediante las fuerzas (acciones). En la actualidad se conocen cuatro tipos de interacción: Gravitatoria, electromagnética, fuerte y débil. Las dos últimas son necesarias para explicar fenómenos del mundo microscópico que se dan en el núcleo de los átomos. Para el estudio del mundo macroscópico nos bastará con conocer las in-teracciones gravitatoria y electromagnética. Antes de continuar es preciso aclarar unas cuantas ideas:

La interacción o acción mutua entre dos cuerpos se manifiesta mediante dos fuerzas, una sobre cada cuerpo. Esta idea constituye el tercer principio de la Dinámica: A toda fuerza (acción) le corresponde otra fuerza (reacción) de la misma dirección e intensidad pero de sentido contrario. A menudo suponemos que es sólo uno de los cuerpos el que ejerce acción (fuerza) sobre el otro; así por ejemplo decimos que la Tierra atrae a la tiza siendo esta la razón que damos para explicar que caiga la tiza. También decimos que el caballo tira del carro para explicar el desplazamiento del carro, pero obviamos que el carro también tira del caballo. Por lo general se tiende a pensar que sólo ejercen acciones (fuerzas) los seres vivos; así, si sujetamos una bola metálica con la mano no caerá por que le ejercemos una acción (fuerza) con la mano, pero la bola también ejerce una acción (reacción) sobre la mano.

El lenguaje cotidiano se presta a confusiones a la hora de utilizar el concepto de fuerza; así decimos que tal deportista “tiene” mucha fuerza cuando lo que queremos decir es que tal deportista ejerce o aplica una gran fuerza. La fuerza no es algo que se tenga sino que se ejerce o se aplica, lo que manifestamos con di-versos verbos que denotan acción: tirar, empujar, arrastrar, sostener, etc.

El efecto que una fuerza ejerce en el cuerpo sobre el que actúa depende, además de la intensidad, de la dirección y el sentido en el que se aplique por lo que debemos considerar a la fuerza como una magnitud vectorial y la representaremos mediante un vector.

Interacción gravitatoria Isaac Newton (1642-1727) estudió el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. Supuso que la trayectoria de la Luna es una circunferencia y al ser este un movimiento variado debía de actuar sobre la Luna una fuerza dirigida hacia el centro de la Tierra cuyo valor debía de ser: i) directa-mente proporcional al producto de las masas de ambos cuerpos; ii) inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que los separa. La generalización de este estudio entre la Tierra y la Luna a cualquier otro par de objetos, constituye la ley de la gravitación universal que hoy en día expresamos: Dados dos cuerpos cualesquiera de masas m1 y m2 situados a una distancia r entre sus centros1 se atraen mutuamente mediante fuerzas de la misma dirección, la de la línea que un sus centros, sentidos opuestos y módulos iguales.

2221

21 ur

mmGF

12

2112 u

rmmGF

El módulo de las fuerzas es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente propor-cional a la distancia, entre los centros de los cuerpos, al cuadrado.

1 En realidad Newton utilizó masas puntuales y después demostró que el resultado también es válido para cuerpos extensos cuya masa podemos considerar concentrada en su centro.

12F

21F

1m 2m1u2u

r

12F

21F

1m 2m1u2u

r

2

Obsérvese que el módulo de ambas fuerzas vale lo mismo 221

rmmGF

1u y 2u son dos vectores unitarios, que por convenio, se toman de sentido contrario a la fuerza, lo que in-dica el signo –

Ambas fuerza son opuestas 2112 FF

pero aplicadas en cuerpos diferentes. La unidad de fuerza en el SI es el newton (kg m/s2) cuyo símbolo es N G es la constante de gravitación Universal cuyo valor solo depende de las unidades que le asignemos a

las otras magnitudes y que en el SI toma el valor 6,67x10-11 N m2/kg2. Como podemos observar es un va-lor pequeño por lo que las fuerzas entre masas pequeñas serán muy pequeñas, no así entre masas gran-des, astros, planetas, etc. que serán grandes.

A.1) El gráfico representa tres cuerpos de masas iguales. Dibuja las fuer-zas sobre los cuerpos B y C y dales nombre. A.2) El gráfico representa tres cuerpos, B y C de igual masa y A de menor masa y que se encuentran a igual distancia. Dibuja las fuerzas entre ellos y dales nombre. A.3) Un cuerpo A de 60 kg de masa se encuentra a 200 cm de otro cuerpo B de 30 kg. G= 6,67x10-11 N m2/kg2 a) Determina el valor la fuerza que A hace sobre B y el de B sobre A. (Sol: 3x10-8 N) b) Si duplicamos la distancia entre ambos cuerpos ¿cuál será ahora la fuerza que hace el cuerpo B sobre el cuerpo A? (Sol: 7,5x10-9 N) A.4) Una masa puntual de 2 kg está situada en el punto (0,0) y otra de 4 kg en el punto (6,4). Calcula la fuerza sobre ambas masas si las distancias están tomadas en SI. (Sol: jiF

12121,2 105,5103,8 N;

1,22,1 FF

) Cuando una de las masas es el planeta Tierra y la otra masa m se encuentra en su superficie de la Tierra, el valor de la fuerza (módulo) que ejerce la Tierra sobre el cuerpo de masa m será:

2T

T

rmMGF

pero si tenemos en cuenta que la masa de la Tierra es MT=6x1024 kg y que el radio de la Tierra

es rT=6,4x106 m la expresión anterior la podemos escribir mmF

8,9

104,61061067,6 26

2411 . El valor 9,8

N/kg es conocido como la intensidad del campo gravitatorio de la Tierra en su superficie g ( 2T

T

rMGg ). Por su

parte a esta fuerza que la Tierra ejerce sobre los cuerpos se la conoce como peso del cuerpo p de tal manera que podemos calcular el peso de los cuerpos de una manera simplificada gmp donde m es la masa del cuerpo y g=9,8 N/kg. No podemos olvidar:

Que las fuerzas son magnitudes vectoriales y tendríamos que escribir gmp , luego el peso de los cuerpos es una fuerza dirigida hacia el centro de la Tierra.

Que el valor de g=9,8 N/kg sólo es válido en la superficie de la Tierra y que por encima de la superficie de la Tierra o en otros astros tomará otro valor.

Que la masa y el peso son dos conceptos distintos.

A.5) El gráfico representa varios cuerpos en las proximidades de la Tierra. Dibuja las fuerzas que la Tierra ejerce sobre ellos. (Observa que hay uno en movimiento alrededor de la Tierra) A.6) Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Luna y de Marte. (Sol: gL=1,6 N/kg; gM=3,7 N/kg) DATOS:

RAstro (km) MASA (kg) Luna 1737.4 7.35x1022 Marte 3397.2 6.42x1023

A

B C

A

B C

A B CA B C

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A.7) ¿A qué distancia habrá que colocar dos cuerpo de 100 kg para que se atraigan con fuerzas de 0,667 N? DATOS: G=6,67x10-11 N m2/kg2 (Sol: 1 mm) 7.b) ¿Con qué fuerzas se atraerán si las separamos a una distancia triple de la anterior? (Sol: 0,074 N) A.8.a) En la Tierra colgamos un cuerpo A de un dinamómetro y éste mide 40 N ¿cuál es la masa de esa piedra? (Sol: 4 kg) 8.b) En la Luna se cuelga otra piedra B del mismo dinamómetro y éste marca también 40 N ¿qué podemos decir de las masas de ambas piedras? (Sol: gT>gL y mA< mB) Interacción electromagnética La causa de esta interacción es una propiedad general de la materia llamada carga eléctrica. Todos los objetos que manejamos tienen cargas eléctricas y cuando se encuentran muy próximos (en contacto) se dan en-tre ellos interacciones que denominamos electromagnéticas; así, un libro apoyado sobre la mesa interacciona con ella mediante fuerzas que denominamos electromagnéticas. En prin-cipio no tenemos necesidad de calcular las fuerzas electromagnéticas pues las deduciremos a través de los principios de la Dinámica. Veamos el ejemplo de un objeto apoyado sobre una superficie. El objeto está sometido a dos2 interacciones: i) interacción gravitatoria con el astro en el que se encuentra (si no se dice lo contrario supondremos que estamos en el planeta Tierra) y ii) la interacción electromagnética con la superficie en que se apoya. El diagrama del al lado representa estas interacciones. La interacción gravitatoria se manifiesta mediante las fuerzas OTF ,

, fuerza que ejerce la

Tierra sobre el objeto, y su pareja TOF ,

, que es la fuerza que ejerce el objeto sobre la Tierra

y que se encuentra aplicada en el centro de la Tierra. El valor (módulo) de ambas fuerzas es el mismo y lo podemos calcular con la expresión gmp . La interacción electromagnéti-

ca se manifiesta mediante las fuerzas SOF ,

, que es la fuerza que ejerce el objeto sobre la

superficie, y la fuerza que ejerce la superficie sobre el objeto OSF ,

que es su pareja. Para calcular el valor de es-

tas fuerzas nos ayudaremos del primer principio de la Dinámica (principio de inercia): Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o la suma de estas es nula, el cuerpo no cambia de movimiento. Como el objeto está parado (no cambia su movimiento), la suma de las fuerzas que actúan sobre el debe ser nula; es decir, las fuerzas OTF ,

y

OSF ,

son opuestas (tienen el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario)

A.9) Sobre una superficie horizontal se encuentra apoyado un cuerpo de 5 kg. Construye la ecuación (vector) de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. (Sol: jp

49 ; jN

49 ) Fuerzas de rozamiento La causa de estas fuerzas son las interacciones electromagnéticas entre los cuerpos que se encuentran en con-tacto. Las situaciones físicas en las que aparecen estas fuerzas son diversas; así, cuando arrastramos un cuerpo sólido sobre una superficie sólida, o cuando rodamos una superficie sólida sobre otra superficie sólida, o cuando un cuerpo sólido se desplaza en el seno de un fluido (gas o líquidos), etc. Sólo estudiaremos las fuerzas de roza-miento entre superficies planas sólidas. Los estudios experimentales ponen de manifiesto:

La fuerza de rozamiento se pone de manifiesto cuando el cuerpo se desplaza o cuando estando en repo-so, hay una fuerza que trata de desplazarlo.

La fuerza de rozamiento es de sentido opuesto al desplazamiento o a la fuerza que trata de desplazar al cuerpo.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal N (perpendicular) entre las superficies. NFroz siendo el coeficiente de rozamiento cuyo valor depende del tipo de superficies en con-

tacto (madera-madera, madera-hierro, etc.) y de su estado de pulimentación. Cuando tratamos de desplazar un cuerpo, la fuerza de rozamiento es mayor cuando está en reposo que

cuando se pone en movimiento definiéndose dos coeficientes de rozamientos: estático S cuando está

en reposo y dinámico D cuando está en movimiento. En general DS

2 En realidad el objeto sufre más interacciones (con el aire y otros objetos que pueda haber en sus proximidades) pero estas interacciones serán insignificantes comparadas con la gravitatoria del planeta Tierra y la electromagnética con la superficie sobre la que se apoya por lo que no las tendremos en cuenta.

OTF ,

TOF ,

OSF ,

SOF ,

OTF ,

TOF ,

OSF ,

SOF ,

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La fuerza de rozamiento es nula cuando el cuerpo está en reposo y no hay fuerza que trate de desplazar el cuerpo.

La fuerza de rozamiento es independiente de la rapidez del movimiento. La fuerza de rozamiento no depende del área de contacto de las superficies en contacto.

A.10) A un cuerpo de 8 kg sobre una superficie horizontal se le aplica una fuerza horizontal de 8 N sin que se des-place. 10.a) Haz un diagrama de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y calcula la fuerza de rozamiento. (Sol: 8 N) 10.b) Calcula el coeficiente de rozamiento. (Sol: 0,1) A.11) Un cuerpo de 8 kg se desplaza sobre una superficie horizontal de manera uniforme bajo la acción de una fuerza horizontal de 7,5 N. 11.a) Haz un diagrama de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y calcula la fuerza de rozamiento. (Sol: 7,5 N) 11.b) Calcula el coeficiente de rozamiento. (Sol: 0,095) Finalmente, no debemos interpretar que existen dos interacciones electromagnéticas (fuerza de rozamiento y fuer-za normal) entre el cuerpo y la superficie sobre la que se apoya, ¡no! La interac-ción electromagnética del cuerpo con la superficie es única, pero la descompo-nemos en dos. Supongamos que un cuerpo se desplaza sobre una superficie horizontal como indica el diagrama; la fuerza F

es la que corresponde a la inter-

acción electromagnética de la superficie sobre el cuerpo y se descompone en otras dos: i) la normal (perpendicular) N

y rozF

la denominada fuerza de roza-miento que es de sentido contrario al desplazamiento. Es frecuente considerar ambas fuerzas por separado, pero se trata de una interacción única. Fuerza elástica

Existen ciertos materiales que al aplicarle una fuerza se deforman pero recuperan la forma original al cesar la fuerza deformadora. A esta deformación se le denomina elástica y con los materiales elásticos se pueden construir dispositivos como un muelle, un resorte, una goma elástica, etc. La deformación elástica fue estudiada por Robert Hooke (1635-1703) y su versión actual es conocida como la ley de Hooke:

0yyKFe

El signo – indica que la fuerza elástica es de sentido contrario al desplazamiento. K es la constante elástica del muelle, su valor depende de las características del

muelle (material, geometría, etc.) y nos indica la fuerza que hay que aplicar al muelle para que se alargue una unidad de longitud siendo su unidad N/m en el SI.

A.12) Un muelle se alarga 2 cm cuando de el se cuelga un cuerpo de 0,5 kg. 12.a) Calcula la constante elástica del muelle. (Sol: 245 N/m) 12.b) ¿Qué masa habrá que colgar para que se alargue 6 cm? (Sol: 1,5 kg) Identificando y calculando fuerzas Cuando tengas que identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo:

Piensa que estas fuerzas responden a interacciones con otros cuerpos (gravitatorias o electromagnéticas) Identifica sólo las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión y dibújalas sobre el cuerpo.

F

N

rozF

mov

F

N

rozF

mov

y0y

y

p

eF

y0y

y

p

eF

5

A.13) Identifica, dibuja (mediante vectores), ponles nombre y calcula el valor (módulo) de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 2 kg en las siguientes situaciones.

Cuerpo en reposo Cuerpo en MRU Cuerpo colgado

N2N2

En reposo sobre plano inclinado Desciende con MRU Dos cuerpos en una polea

º30º30

º30

MRU

º30º30

MRUMRU

A.13b) Identifica, dibuja y ponles nombre a las fuerzas sobre el cuerpo en las siguientes situaciones:

Pelota Péndulo Bola en un cuenco arriba

baja

sube

bota

arriba

baja

sube

bota

arriba

baja

sube

bota

arriba

baja

sube

bota

Dinámica

Es la parte de la Física que trata de explicar el movimiento de un cuerpo teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre él. Centraremos nuestro estudio en la dinámica de cuerpos de nuestro entorno. Para ello nos bastará con aplicar la Dinámica clásica o Newtoniana que se basa en tres consideraciones previas:

Los cuerpos son considerados masas puntuales. Para un cuerpo cualquiera podemos considerar que toda su masa se encuentra concentrada en el centro de masa.

El sistema de referencia es inercial; es decir, está en reposo o con MRU. Las masas puntuales se mueven a velocidades mucho menores que la luz c=3x108 m/s.

La Dinámica se basa en tres principios, dos de ellos antes mencionados:

Tercer principio de la Dinámica: A toda fuerza (acción) le corresponde otra fuerza (reacción) de la mis-ma dirección e intensidad pero de sentido contrario (ambas fuerzas están aplicadas en dos cuerpos dife-rentes)

Primer principio de la Dinámica (principio de inercia): Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o la suma de estas es nula, el cuerpo no cambia de movimiento.

Segundo principio de la Dinámica

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Este principio establece la relación entre la fuerza total sobre un cuerpo y la aceleración que éste sufre y que se expresa:

mFa

o bien amF

F

es la fuerza total sobre el cuerpo y resulta de la suma (vectorial) de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

La fuerza y la aceleración tienen la misma dirección y sentido pues la masa es un valor escalar positivo. De la primera expresión podemos deducir que otra unidad para medir la aceleración en el SI es N/kg.

A.14) El dibujo representa a un hombre de 80 kg sobre un peso de baño que sostiene median-te una polea un paquete de 20 kg. 14.a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre el paquete y sobre el hombre. 14.b) Deduce la ecuación vectorial de cada fuerza. A.15) Un cuerpo de 2 kg cuelga del techo mediante una cuerda. 15.a) Calcula la fuerza horizontal que hay que aplicarle para que la cuerda forme un ángulo de 20º con la vertical. (Sol: 7,1 N) 15.b) Calcula la tensión de la cuerda T en esa situación. (Sol: 21 N)

A.16) Sobre un plano inclinado de 30º se encuentra un cuerpo de 10 kg atado mediante una cuerda a la parte superior del plano y en reposo. Si no hay rozamiento: 16.a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. 16.b) Calcula el valor de todas las fuerzas. (Sol: p=98 N; N=85 N; T=49 N) 16.c) ¿Cuánto debe valer el coeficiente de rozamiento para que al soltar la cuerda el cuer-po no descienda por el plano inclinado? (Sol: 0,58)

A.17) El dibujo representa un sistema en reposo siendo la masa de A 7 kg y la de B 2 kg. 17.a) Calcula la fuerza de rozamiento de A con la superficie y calcula el coeficiente de rozamiento. (Sol: 19,6 N; 0,29) 17.b) Calcula la tensión de la cuerda. Explícate. (Sol: 19,6 N) A.18) Un taco de madera de 3 kg es arrastrado por una superficie horizontal mediante una fuerza horizontal de 100 N. El coeficiente de rozamiento de las superficies es de 0,2. 18.a) Haz un esquema de la situación dinámica. 18.b) Calcula la aceleración del taco de madera. (Sol: 31 m/s2) A.19) Un taco de madera de 3 kg es arrastrado por una superficie horizontal mediante una fuerza de 100 N que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento de las superficies es de 0,2. 19.a) Haz un esquema con las fuerzas que actúan sobre el taco de madera. 19.b) Calcula la aceleración del taco de madera. (Sol: 27,5 m/s2) A.20) Dada la situación representada en el dibujo de al lado, la masa del cuerpo A es de 6 kg, la del cuerpo B es de 3 kg y =0,15 Calcula: 20.a) La aceleración del movimiento del sistema. (Sol: 2,3 m/s2) 20.b) La tensión de la cuerda.(Sol: 23 N) A.21) Sobre un plano inclinado de 30º se coloca un cuerpo de 6 kg unido a una cuerda que

pasa por una polea arriba del plano inclinado de la que cuelga un cuerpo de 4 kg. Suponiendo que el coeficien-te de rozamiento es µ=0,1. 21.a) Haz un diagrama con las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. 21.b) Calcula la aceleración del sistema.(Sol: 0,48 m/s2) 21.c) Calcula la tensión de la cuerda. (Sol: 37 N)

A.22) El dibujo representa una polea de la que cuelgan dos cuerpos A de 20 kg y B de 15 kg. Calcula: 22.a) La aceleración del movimiento del sistema. (Sol: 1,4 m/s2) 22.b) La tensión de la cuerda. (Sol: 168 N) A.23) Una persona de 70 kg se encuentra sobre una báscula de baño (marca la masa) en el inter-ior de un ascensor. Determina lo que marcará la báscula en las siguientes situaciones: 23.a) Cuando el ascensor está en reposo. (Sol: 686 N) 23.b) Cuando el ascensor comienza a subir con aceleración de 1,5 m/s2. (Sol: 791 N)

A

B

A

B

A

B

A

B

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23.c) Cuando el ascensor sube con movimiento uniforme. (686 N) 23.d) Cuando el ascensor se detiene con aceleración de 1,5 m/s2. (Sol: 581 N) A.24) Dos tacos de madera, A de 2 kg y B de 3 kg, están unidos mediante una cuerda y son arrastrados con una fuerza F de 80 N. El coeficiente de rozamiento de los tacos es 0,15. 24.a) Haz un esquema con las fuerzas que actúan sobre cada taco. 24.b) Calcula la aceleración del movimiento de ambos tacos. (Sol: 14,5 m/s2) 24.c) Calcula la tensión de la cuerda. (Sol: 32 N) Momento lineal o cantidad de movimiento Para describir el movimiento de un cuerpo no hemos tenido en cuenta ninguna de sus características; sin embargo, aunque una bicicleta y un coche se muevan con la misma velocidad y aceleración ambos movimientos son diferentes ya que para provocar un mismo cambio hay que aplicar diferentes fuerzas. El estado dinámico de un cuerpo se caracteriza por su momento lineal o cantidad de movimiento

vmp

Las unidades del momento lineal en el SI son kg m/s El vector momento lineal p tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad v por lo que tam-

bién será tangente a la trayectoria. Si el móvil varía su movimiento (cambia su velocidad), también varía su momento lineal:

vmp o también )( 00 vvmpp

La variación del momento lineal p puede ser más rápida o más lenta en el tiempo:

mm Famtvm

tp

es decir, la causa de que varíe el momento lineal es la fuerza. En este caso es la fuerza media que actúa sobre el cuerpo durante el intervalo ∆t. De la expresión anterior se deduce: ItFp m

valor conocido como impulso

lineal o mecánico. A.25) Una pelota de 200 g impacta horizontalmente sobre una pared vertical a 80 m/s y rebota a la misma rapidez y en la misma dirección. (Los sentidos los pones tú) 25.a) Determina la variación de momento lineal que sufre. (Sol: i

32 kg m/s)

25.b) Si el impacto dura 0,01s ¿qué fuerza media actúa sobre la pelota? (Sol: i

3200 N) A.26) Un vehículo de 1200 kg acelera de manera uniforme de 0 a 20 m/s y después se detiene. 26.a) Haz un esquema de la situación y dibuja las fuerzas que actúan sobre el vehículo en ambos casos. 26.b) Calcula la variación de la cantidad de movimiento en ambos casos. (Sol: i

24000 kg m/s; i

24000 kg m/s)

Hasta ahora hemos realizado el estudio dinámico sobre sistemas físicos formados por una sola masa puntual. Supongamos ahora un sistema formado por varias masas puntuales m1, m2, m3,… El momento lineal del sistema será:

321 ppppsistema y la variación del momento lineal será:

)()()( 033330222201111321 vmvmvmvmvmvmppppsistema

Si el sistema en su conjunto está aislado de toda fuerza exterior, o si la fuerza exterior total sobre el siste-ma es nula, se verificará que:

0 sistemap y por tanto 0)()()( 033330222201111 vmvmvmvmvmvm

Esta conclusión constituye el enunciado de principio de conservación del momento lineal y es interesante para sistemas formados por dos masas, por ejemplo: fusil-bala, cañón-obús, avión-aire, calamar-agua, nave espacial-combustible propulsor, etc. En estos casos:

0)()( 0222201111 vmvmvmvm o lo que es igual 021 pp

o bien 21 pp

y como estas variaciones de momento lineal se dan en un intervalo de tiempo ∆t, concluimos que:

tp

tp

21

es decir 2,11,2 FF

A B F

A B F

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Lo que constituye el tercer principio de la Dinámica. A.27) Una persona de 80 kg que se encuentra sobre una barca de 65 kg, ambos en reposo, salta hacia el embar-cadero con una velocidad de 8 m/s. Calcula: 27.a) La variación del momento lineal de la barca. (Sol: i

640 kg m/s)

27.b) La velocidad de la barca inmediatamente después del salto. (Sol: i

8,9 m/s) 27.c) El impulso mecánico sobre la barca. (Sol: i

640 kg m/s)

A.28) Sobre una pista de hielo (no hay rozamiento) se encuentran dos patinadores A y B de 45 y 60 kg respecti-vamente. Si el patinador A empuja al B con una fuerza horizontal y constante de 50 N durante 0,5 s. 28.a) ¿Qué sucederá? Calcula la variación de momento lineal y la aceleración que sufre cada patinador. 28.b) ¿Cuál será la variación de momento lineal total? (Sol: i

25 kg m/s; i

25 kg m/s; i

1,1 m/s2; i

78,0 m/s2; 0

kg m/s) A.29) Dos cuerpos de 2 y 5 kg se desplazan en la misma dirección y sentido contrario con rapidez respectivas de 3 y 4 m/s. Si después del impacto quedan unidos ¿cuál será su velocidad? (Sol: i

2 m/s)

A.30) Un arma de fuego de 5 kg dispara un proyectil de 20 g a una velocidad de 450 m/s ¿Cuál será la velocidad de retroceso del arma? (Sol: i

8,1 m/s)

A.31) Una técnica utilizada en balística para determinar la velocidad de una bala consiste en disparar sobre un bloque de madera y observar el movimiento del bloque después del impacto. Se dispara horizontalmente una bala de 16 g sobre un bloque de 1600 g; tras incrustarse en él, el conjunto bala-bloque se mueve con una rapidez de 0,7 m/s. En ausencia de rozamientos, calcula la rapidez de la bala antes del impacto. (Sol: 71 m/s) Dinámica del movimiento circular Los movimientos circulares cumplen las mismas leyes de la Dinámica que los movimientos rectilíneos pero con algunas particularidades. Los movimientos circulares uniformes MCU son acelerados pues la velocidad v cambia de dirección (pero no de módulo) de tal manera que 0ta pero 0na y aplicando el segundo principio:

cn Fam

Siendo cF

la fuerza normal, central o centrípeta y cuyo módulo vale:

rmr

rmrvmamF nc

2

22 )(

A.32) Un fórmula1 toma una curva de 50 m de radio a 180 km/h. 32.a) Calcula la aceleración normal que sufre la cabeza del piloto. (Sol: 50 m/s2) 32.b) Si la masa de la cabeza del piloto, con el casco, es de 9 kg, calcula la fuerza que soporta el cuello del piloto. (Sol: 459 N) A.33) La ISS gira alrededor de la Tierra en una órbita de 400 km sobre su superficie. 32.a) Haz un esquema con la(s) fuerza(s) que actúan sobre la ISS. 32.b) Calcula la aceleración normal la ISS. (Sol: 8,7 m/s2) 32.c) Calcula la velocidad (v) la ISS. (Sol: 27690 km/h) 32.d) Calcula el periodo de revolución la ISS. (Sol: 1h, 32 minutos, 35 s) DATOS: G=6,67x10-11 N m2/kg2; MT=6x1024 kg; RT= 6400 km Dinámica de los movimientos armónicos simples (MAS) Como hemos visto el MAS es un movimiento variado. Ahora nos planteamos deducir que tipo de fuerza produce el MAS. Sobre una masa puntual que oscila verticalmente sujeta por un muelle actúan dos fuerzas: la fuerza peso del cuerpo, debida a la acción gravitatoria de la Tierra, cuyo valor es gmp y la fuerza elástica eF

del muelle que fue estudiada por Hooke y que es proporcional al desplazamiento y (alargamiento)

yKFe

El signo – indica que eF

y y son de sentido contrario. Siendo K la constante elástica del resorte medi-do en N/m y cuyo valor depende de las características físicas del resorte.

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Dado que eF

es proporcional al desplazamiento y , su valor será máximo en los extremos y nulo en la posición de equilibrio, centro de la trayectoria.

La suma de una fuerza constante p y una fuerza variable eF

dará una fuerza total variable:

Situación A: Tengamos un resorte cuyo extremo está en la posición yo=0. Situación B: Colgamos del resorte un cuerpo de masa m y peso p=mg que se alarga hasta la posición y apare-ciendo la fuerza elástica cuyo módulo es Felástica= K·∆y. En esta situación de equilibrio, ambas fuerzas tienen el mismo módulo por lo que:

yKgm de donde ygmK

expresión que podemos utilizar para calcular la constante elástica K. Situación C: Aplicamos un fuerza exterior Fext por lo que el resorte se alarga hasta la posición y´ y el módulo de la fuerza elástica será Felástica= K∆y´. Situación D: Dejamos de aplicar (soltamos) Fext y en esta situación el módulo de la fuerza total será: F= Felástica– p= K∆y+ K∆y´- K∆y = K∆y´ o como yo=0 entonces F=Ky´. En consecuencia el cuerpo inicia el despla-zamiento hacia la posición de equilibrio. Situación E: El cuerpo alcanza la posición de equilibrio (Felástica=p) pero con movimiento hacia arriba. A partir de este punto, la Felástica decrece en módulo de tal manera que la fuerza resultante será: F= p - Felástica y de sentido contrario al movimiento. Situación F: El cuerpo se detiene y la fuerza total toma el mismo valor que en la situación D pero de sentido con-trario lo que desplaza el cuerpo hacia abajo. Situación F: Igual que la situación B. Situación G: Igual que la situación D. Etc. Como podemos ver la fuerza resultante es proporcional al desplazamiento y dirigida hacia el centro de oscilación por lo que el cuerpo realiza un MAS para el que se ha demostrado que ya 2 . En cualquier posición y, la fuerza total será yKF . El segundo principio de la dinámica establece que amF que para este caso podemos expresar:

)( 2 ymF

Finalmente igualando ambas expresiones: ymyK 2 , se deduce que 2 mK y si tenemos en

cuenta que T

2

finalmente se concluye que KmT 2 . Como podemos ver, el periodo de la oscilación

no depende ni de la longitud del resorte ni de la amplitud del movimiento. A.34) Un resorte de K=50 N/m oscila con una masa de 650 g. Determina el periodo y la frecuencia de oscilación. Si cambiamos la masa por otra de 325 g ¿cuál será ahora la frecuencia de oscilación? (Sol: T=0,72 s; N=1,4 Hz; 2 Hz)

10

A.35) Un resorte se alarga 4 cm cuando se cuelga de él un cuerpo de 10 kg. A continuación se tira 3 cm más y se deja oscilar libremente. 35.a) Determina K, T y la pulsación ω. (Sol: K=2450 N/m; T=0,4 s; ω=5π 1/s) 35.b) Determina y, v, a y F a los 2 s. (Sol: y=0,03Sen(10π + 3π/2)=-0,03 m; v=0 m/s; a=7,4 m/s2)

11

Ayudas para la resolución de los ejercicios del texto

Hay distintos tipos de cuestiones; en algunas te piden una definición que podrás buscar en el texto; en otras te piden que evalúes la variación de una magnitud cuando varia otra con la que está relacionada mediante alguna ley física (ecuación o fórmula) para lo cual tendrás evaluar cualitativamente dicha ley. Por ejemplo: para Ec=mv2/2, al duplicar la rapidez v, la energía cinética aumenta cuadruplicándose.

Para resolver los problemas: o Lee atentamente el problema e identifica las magnitudes y los valores que te dan en los datos, ten

en cuenta que algunos datos vienen dados de manera implícita, por ejemplo si el cuerpo se para significa v=0.

o Ayúdate de un esquema que represente la situación que te plantean. o Identifica las leyes físicas (una o varias ecuaciones) que sintetizan la situación física. o Sustituye los datos en las ecuaciones teniendo cuidado que las unidades sean del SI. o Después resuelve los cálculos y evalúa físicamente el resultado; es decir, el resultado tiene que

ser verosímil; por ejemplo, la energía cinética no puede ser negativa. Si tienes dificultad con el planteamiento físico del ejercicio, consulta la ayuda correspondiente, pero antes

inténtalo tú. Si no consigues resolver el ejercicio, plantéale al Profesor tus dificultades el próximo día (no al cabo de

una semana o de un mes) A.1 Sobre el cuerpo B ejercen fuerzas los cuerpos A y C, luego sobre B actúan dos fuerzas. Sobre el cuerpo C ejercen fuerzas los cuerpos A y B, luego sobre C actúan dos fuerzas. Observe que al estar C a doble distancia de A que de B, pero las masas son iguales, la fuerza que hace A sobre C será cuatro veces menor que la que hace B sobre C. Las fuerzas que actúan sobre B tiene el mismo módulo porque las ejercen cuerpos de igual masa que están a la misma dis-tancia. Evidentemente, el hecho de que B esté entre A y C no impide que estas dos masas interaccionen gravitatoriamente. A.2 Por ejemplo, BAF ,

se lee fuerza que ejerce A sobre B.

A.3)

a) Aplica 2rmmGF BA

¡Atención! Cuando tengas que aplicar una ley en la que aparezca una constante, en este caso G, fíjate en las unidades de la constante porque te dice las unidades en las que tienes que medir las otras magnitudes que aparecen en la ley. En este caso las unidades de G son N m2/kg2, lo que te indica que las masas debes medirlas en kg, las longitudes en m y las fuerzas en N. b) Puedes hacer dos cosas: i) repetir los cálculos con la distancia doble. ii) Pensar que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, por lo que la fuerza se hará cuatro veces menor. A.4 Comienza por hacer un esquema de la situación utilizando un eje de coordenadas cartesianas. Por otra parte, te piden calcular fuerzas, que son vectores. Ambas fuerzas corresponden a la misma interacción por lo que una es la opuesta de la otra. Vamos a calcular 1,2F

y para ello debes recordar que podemos

construir la ecuación de un vector a partir de su módulo y del án-gulo que forma con +X.

jsenFiFF 1,21,21,2 cos

Para calcular el módulo aplica: 221

1,2 rmmGF

donde r es la

distancia entre los centros de ambas masas. Para calcular r aplica Pitágoras. Para calcular α aplica trigonometría tgα=4/6 de modo que con la calculadora [tg]-1(4/6)]=α

BAF ,

CBF ,

BCF ,

CAF ,

AA BB CCBAF ,

CBF ,

BCF ,

CAF ,

AAAA BBBB CCCC

A

B C

A

B CBCF ,

BAF ,

ABF ,

ACF ,

CAF ,

CBF ,

A

B C

A

B CBCF ,

BAF ,

ABF ,

ACF ,

CAF ,

CBF ,

1m

2m2,1F

1,2F

4

61m

2m2,1F

1,2F

4

6

12

A.5) Recuerda que la única interacción que existe es la gravitatoria y que la dirección es la de la línea que sus centros.

A.6) Aplica 2T

T

rmMGF

pero para la Luna y para Marte.

A.7)

a) Aplica 221

rmmGF

para calcular r.

b) Piensa que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. A.8.a) El dinamómetro es un aparato para medir fuerzas (se utiliza mucho en la venta ambulante). En este caso el dinamómetro mide el peso de un cuerpo gmp y de aquí deducimos que en la Tierra la masa del cuerpo

es kg

smN

gpm 1,4

8,9

40

2

es la masa del cuerpo A.

b) Si aplicamos 2rM

Gg en la Luna resulta que LT gg por lo que para un

mismo peso resultará que AB mm A.9) El cuerpo interacciona, gravitatoria con la Tierra y electromagnética con la su-perficie de contacto. Estas dos interacciones determinan que sobre el cuerpo actúen dos fuerzas; p que es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el cuerpo y

N

que es la fuerza que ejerce la superficie sobre el cuerpo. Las ecuaciones vecto-riales ambas fuerzas serán: jjjgmjpp 49)(8,95)()(

N

Si tenemos en cuenta que el cuerpo no cambia de movimiento, el primer principio de la dinámica establece que es debido a que la suma de todas las fuerzas (dos en este caso) es nula, por lo que N

es la opuesta de p ; es decir, jN 49

N

A.10) a) Sobre el cuerpo actúan la Tierra, la superficie y la fuerza horizontal, pero no se des-plaza (no cambia de movimiento) lo que significa que su suma es nula. La fuerza que hace la superficie sobre el cuerpo la descomponemos en dos perpendiculares entre si ( rozfN

). La fuerza de rozamiento y la fuerza horizontal son opuestas por lo que tie-

nen el mismo valor 8 N. b) Aplica NFroz siendo que el valor de N=p=m g A.11) a) El diagrama de fuerzas es semejante al anterior por que las interacciones son las mismas y dado que se des-plaza con MRU (el movimiento no cambia) la suma de las fuerzas también tiene que ser nula. b) Igual que antes. A.12) a) Dado que las fuerzas y los desplazamiento se dan en la misma dirección podemos simplificar y utilizar el calculo escalar (no vectorial). Aplica 0yyKFe para calcular K teniendo en cuenta que y-y0 es el alargamiento de muelle. b) Cuando pongamos la masa m, el muelle se alarga hasta que gmpFe y de aquí puedes deducir m. A.14) El dibujo representa a un hombre de 80 kg sobre un peso de baño que sostiene mediante una polea un paquete de 20 kg. 14.a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre el paquete y sobre el hombre. 14.b) jjjgmF PT

196)(8,920))((, N; dado que el paquete no cambia de

movimiento jF PC

196, N. El peso del hombre jjF HT

784)(8,980, N;

PCHC FF ,,

. Finalmente para calcular HBF ,

ten en cuenta que el hombre no cambia

de movimiento.

p

N

p

N

p

N

p

N

horizontalF

rozF

pp

NN

pp

NN

horizontalF

rozF

PTF ,

PCF ,

HTF ,

HBF ,

HCF ,

PTF ,

PCF ,

HTF ,

HBF ,

HCF ,

13

A.13) No piden la ecuación vectorial de la fuerza sino el valor de su módulo.

Cuerpo en reposo Cuerpo en MRU Cuerpo colgado

Ngmp 6,198,92

NN 6,19

Ngmp 6,198,92

NN 6,19

Observa que en planos horizontales N=p

N2

Np 6,19

NN 6,19

Nf roz 2 N2N2

Np 6,19

NN 6,19

Nf roz 2

NT 6,19

Np 6,19

NT 6,19

Np 6,19

En reposo sobre plano inclinado Desciende con MRU Dos cuerpos en una polea

º30º30

p

N

xp

yp

rozf gmp

ypN

º30cosº30cos gmpp y

º30º30 sengmsenppx

xroz pf

º30º30

p

N

xp

yp

rozf gmp

ypN

º30cosº30cos gmpp y

º30º30 sengmsenppx

xroz pf

Observa que en planos inclinados N≠p

Igual que el de la izquierda

T

pp

TT

pp

T

A.13b)

Pelota Péndulo Bola en un cuenco arriba

baja

sube

bota

p

p

p

p

N

arriba

baja

sube

bota

p

p

p

p

N

pp

p

TT T

pp

p

TT T

p

p

p

NN

N

p

p

p

NN

N

A.15) a) Comienza por hacer un esquema de la situación e identifica las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Observa que aparece un triángulo en el que puedes demostrar tus habilidades en trigonometría. b) Ten en cuenta que el cuerpo no cambia de movimiento en esa posición.

A.16) 16.a) Comienza por hacer un esquema de la situación e identifica las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: p, N y T. 16.b) Empieza por calcular p=mg y fíjate que hay un triángulo rectángulo en el que puedes demostrar tus habilidades en trigo-

º20

º20

p

f

Tº20

º20

p

f

T

º30

º30

p

N

xp

yp

º30

º30

p

N

T

º30 º30

º30 º30

p

N

xp

xp

yp

yp

º30 º30

º30 º30

p

N

T

14

nometría. N vale lo mismo que py y como el cuerpo no cambia de movimiento, T vale lo mismo que px. 16.c) Si quitamos la cuerda y el cuerpo no cambia de movimiento, debe aparecer la fuerza de rozamiento que valdrá lo mismo que px y como froz=µN puedes calcular µ. A.17 17.a.b) Comienza por hacer un esquema de la situación e identifica las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Observa que pB, T y froz actúan sobre el sistema en la misma dirección. Dado que A no cambia de movimiento, la suma de las fuerzas sobre él debe ser nula. La tensión de la cuerda es la misma en los dos extremos y dado que B tampoco cambia de movimiento resulta que gmpTf BBroz

Nf roz y como gmpN AA A.18) Una vez identificadas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, habrá que calcular

sus valores y sumarlas (teniendo en cuenta que son vec-tores) para calcular el valor de la fuerza total. Cuando la fuerza total es distinta de cero, el cuerpo cambia de mo-vimiento y tiene aceleración amF según el segundo principio de la dinámica. A.19) Identificamos y hacemos un esquema con las fuerza que actúan sobre el taco. Pero observa que la fuerza de arrastre no es paralela a los ejes por lo que debemos descom-

ponerla en dos fuerzas que estén en la dirección de los ejes fx y fy. Para calcu-larlas observa que hay un triángulo rectángulo. Otra cosa que debes observar es que N es más pequeña y que ahora se verifica que p=N+fy de donde puedes deducir el valor de N que te servirá para calcular froz. Cuando tengas calculadas todas las fuerzas tendrás que sumarlas (recuerda que son vectores) y obtener la fuerza resultante o total para aplicar el segundo principio de la dinámica F=m a para obtener la aceleración. A.20.a) El esquema de la situación es semejante a A.17 pero en este caso la suma de todas las fuerzas (fuerza resultante) es distinta de cero por lo que el sistema cambiará de movimiento sufriendo una aceleración. Por otra parte, ten en cuenta que el sistema está for-mado por dos masas por lo que su masa total será BA mm 20.b) Para resolver este apartado considera el sistema formado por la masa B que se mueve con una aceleración a que has calculado antes. Según el segundo principio de la dinámica, amTp BB de donde puedes deducir T. A.21) 21.a) Observa que pB, T, froz y pAx actúan sobre el sistema en la misma dirección y que pAy y N se anulan entre si. 21.b) Calcula y suma (como vectores) todas las fuerza para obtener la fuerza resultante que según el segundo principio de la dinámica, si es distinto de cero, producirá una acelera-ción: F=m a. 21.c) Para calcular T, piensa (no copies) como en 20.b) A.22.a) Observa que todas las fuerzas actúan sobre el sis-

tema en la misma dirección. Calcula el valor de las fuerzas y súmalas (como vectores) para obtener la fuerza resultante y aplica el segundo principio de la dinámica teniendo en cuenta la masa del sis-tema. 22.b) Para calcular T piensa como en 20.b y 21.c. A.23) La báscula marcará la masa que corresponde al peso (fuerza) que el hombre hace sobre ella. Por otra parte, sobre el hombre actúan dos fuerzas: La fuerza gravitatoria de la

Tierra sobre el Hombre FT,H (el peso del hombre) y la fuerza que ejerce la báscula sobre el hombre FB,H . La fuerza que ejerce la Tierra sobre el hombre tiene un valor fijo (consideramos fijo el valor de g) pero la fuer-za que la báscula ejerce sobre el hombre es variable. 23.a) En esta situación ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario por lo que se anulan y el hombre no cambia de movimiento, como está parado sigue

A

B

rozf

N

T

T

Bp

Ap

A

B

rozf

N

T

T

Bp

Ap

p

N

arrastrefrozf

p

N

arrastrefrozf

p

N arrastref

rozfyf

xfº30

p

N arrastref

rozfyf

xfº30

A

B

Ap

N

T T

Axp

Ayp

rozf

Bp

A

B

Ap

N

T T

Axp

Ayp

rozf

Bp

Bp

Ap

T

T

Bp

Ap

T

T

básculabásculabáscula báscula

HTF ,HTF , HTF ,HTF ,

HBF , HBF ,HBF ,

HBF ,

básculabásculabásculabásculabásculabásculabásculabásculabáscula básculabásculabáscula

HTF ,HTF , HTF ,HTF ,

HBF , HBF ,HBF ,

HBF ,

15

parado. La báscula marcará la masa que corresponde a la fuerza que el hombre ejerce sobre ella y que es igual que la que la Tierra ejerce sobre el hombre. Marcará 70 kg. 23.b) Cuando el ascensor comienza a subir con aceleración, el hombre también. Y si el hombre sufre aceleración es porque la suma de las fuerzas que actúan sobre él no es nula. En este caso FB,H > FTH de tal manera que FB,H - FTH = m a de donde FB,H = m a+ FTH y de donde FBH=791 N que corresponde a una masa de 81 kg. 23.c) Esta situación es similar a la del apartado 23.a) ya que el hombre no cambia de movimiento porque las dos fuerza que actúan sobre él son opuestas. 23.d) Esta situación es similar a la del apartado 23.b) pero considerando que la aceleración es -1,5 m/s2, resultan-do que FBH=581 N que corresponde a una masa de 59 kg. A.24) 24.a) Las fuerzas sobre el sistema actúan en dos direcciones per-pendiculares entre si. 24.b) Tendrás que calcular las fuerzas necesarias para determinar la fuerza total o resultante para aplicar el segundo principio de la diná-mica que te permite calcular la aceleración a. Ten en cuenta que el sistema está formado por dos masas. 24.c) Si te fijas solo en el cuerpo B amfTF BrozBarrastre A.25) 25.a) Construye las ecuaciones vectoriales de la velocidad antes y después. Después aplica )( 0vvmp

25.b) Aplica mFtp

A.26) Como no te imponen ninguna dirección y sentido, lo eliges tú. 26.a) 26.b) Aplica )( 0vvmp

para los dos intervalos. Tendrás que construir las ecuaciones de los vectores v . A.27) 27.a) Dado que no hay fuerza exterior al sistema hombre-barca, la variación del momento lineal del sistema será nulo.

0 barcaHombresistema ppp de donde barcaHombre pp

Tienes que calcular barcap pero sólo tienes datos para calcular Hombrep . Tienes que construir las ecuaciones de v para el hombre, la dirección y sentidos del salto las pones tú. 27.b) En el apartado anterior has calculado barcap ahora aplica BBBBbarca vmvmp 0

para calcular la velo-cidad de la barca después del salto. 27.c) Recuerda que Ip

para la barca. A.28) 28.a) Recuerda que las interacciones son mutuas, si empuja a B, B también empuja a A, por la que ambos patina-dores se pondrán en movimiento en sentido contrario. Tomando como dirección el eje X, construye la ecuación vectorial de ambas fuerzas y aplica tfp

; para calcular la aceleración aplica el segundo principio de la dinámica. 29.b) Sobre los patinadores no actúa ninguna fuerza exterior por lo que el momento lineal del sistema formado por los dos patinadores será nulo. A.29) No existe fuerza exterior a ellos por lo que 00 ppp o lo que es lo mismo pp 0 y ten en cuenta que el sistema está formado por dos cuerpos. Supón que se mueven en la dirección del eje X y uno en sentido contrario al otro. A.30) Ten en cuenta que inicialmente ambos cuerpos (arma (1) y proyectil (2)) están en reposo. Toma la dirección del eje X y los sentidos que te parezcan y aplica 0)()( 0222201111 vmvmvmvm

A.31) Es muy parecido al anterior, pero sin vectores.

A BA BT

Bp

T

Ap

AN BN

arrastreFrozAf

rozBf

A BA BT

Bp

T

Ap

AN BN

arrastreFrozAf

rozBf

0vv 0vv

p

rozf

p

N N

motorfrozf

p

rozf

p

N N

motorfrozf

16

A.32) Aplica rvman

2

y luego nc amF

A.33) 33.a) La única fuerza que actúa sobre la ISS es la fuerza gravitatoria de la Tierra (su peso)

33.b) Como la ISS realiza un MCU, 2hr

MGgaT

Tn

33.c) Aplica rvman

2

teniendo en cuenta que r=rT+h

34.d) El periodo es el tiempo (T) que tarda la ISS en dar una vuelta completa a la Tie-

rra. Suponiendo que la ISS realiza un movimiento uniforme tssv 0

y como en una

vuelta completa recorre 2πr podemos deducir t.

A.34) Aplica KmT 2 y N=1/T

A.35) 35.a) Con el cuerpo colgado en reposo eFp o sea yKgm de donde podemos deducir K. Después apli-

ca KmT 2 para deducir el periodo. Finalmente

T

2

35.b) Tendrá que construir la ecuación del MAS, recuerda

)()( 0 tsenAty donde A=0,03 m, lo has calculado antes y 2

30

Después )cos( 0 tAv y )( 02 tsenAa

Finalmente calcula sus valores para t=2 s.

Trh

Trh

p

eF

MAS 0

23

2

p

eF

MAS 0

23

2