Flechas PreM

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INDICE

21. Introduo

32. Clculo de flechas

32.1. Mtodo da equao elstica

32.1.1. Embasamento terico

102.1.2. Consideraes sobre o mtodo de clculo apresentado

112.2. Mtodo das foras com aplicao do P.T.V.

132.2.2. Consideraes sobre o mtodo de clculo apresentado:

142.3. Mtodo da inrcia equivalente


163. Diagrama de tenses ao longo do poste

184. Bibliografia

CLCULO DE FLECHAS EM ESTRUTURAS PR-MOLDADAS DE CONCRETO ARMADO

Eng. Ronaldo Telles Nunes Magalhes

1. Introduo

O clculo de flechas em estruturas de concreto armado para linhas de transmisso, distribuio e mastros para antenas de telecomunicao uma importante ferramenta de projeto, para avaliar de antemo o comportamento dos suportes sob cargas de projeto que os solicitam dentro de seus respectivos limites elsticos. Esta facilidade permite a atuao com medidas corretivas, quando necessrias, modificando a geometria da estrutura e/ou a taxa de armadura no caso de postes com dimenses padronizadas permitindo obter a inrcia necessria para que as flechas se situem dentro dos padres requeridos pelas normas.

A grande quantidade de operaes numricas que se faz necessria para a determinao das flechas, torna esta tarefa sob medida para programa de computador. Vale destacar, entretanto, que a implementao dos algoritmos pode ser feita em qualquer microcomputador disponvel atualmente no mercado sem que sejam necessrios recursos especiais de hardware.

Para melhor caracterizar a questo em foco, so apresentados neste documento vrios mtodos de clculo, com os respectivos embasamentos tericos e exemplos prticos de aplicao. Convm frisar que os mtodos apresentados so os mais adequados s estruturas singelas usualmente fabricadas para linhas de transmisso de energia, distribuio e mastros para torres de telecomunicao.

apresentada neste documento, uma anlise dos mtodos de clculo, suas dificuldades numricas inerentes e, consideraes sobre o grau de preciso dos resultados obtidos. Desse modo, procura-se fornecer um cenrio comparativo entre as diversas metodologias abordadas, propiciando subsdios para a adoo do processo mais conveniente face disponibilidade de recursos materiais e humanos do usurio.

Na elaborao dos exemplos de aplicao, foram empregados parmetros de resistncia dos materiais freqentemente utilizados pela indstria de artefatos de concreto pr-moldados. Foram selecionados dois suportes com caractersticas geomtricas diferentes, mas que abrangem os principais tipos de pr-moldados utilizados com a finalidade mencionada anteriormente. Assim sendo foi escolhido um poste circular troco-cnico denominado R-3/12m/600 kgf, com 19 cm de dimetro no topo e 43 cm na base. Foi tambm utilizado nos clculos um poste duplo T B/12m /600 Kgf, com seo de topo de 11 x 14 cm. Estas estruturas foram selecionadas por serem os tipos mais fabricados para linhas de distribuio de energia e face disponibilidade de dados geomtricos e de armaduras.

O clculo das flechas efetuado a seguir, considera a aplicao da carga nominal a 10 cm do topo. Esta carga, permite considerar o poste trabalhando dentro do seu limite elstico. Um diagrama de tenses ao longo do poste ser apresentado, com o propsito de indicar onde comearo a ser formadas as primeiras fissuras e a delimitao das zonas de comportamento estrutural. O referido diagrama permitir ainda, observar as regies que podero necessitar de um maior acrscimo de ferragem para evitar a fissurao excessiva e conseqentemente, uma maior contribuio na flecha total do poste.

Os mtodos de clculo que sero utilizados no clculo das flechas so:

a) Diferenas finitas, empregando-se a frmula de Taylor

b) Inrcia equivalente

c) Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV), com a integrao numrica pela frmula de Simpson

Todos os mtodos sero apresentados atravs do clculo manual, com o propsito de fornecer todas as informaes que permitam a converso dos mtodos em programas de computador. Esta prtica permite ainda obter uma maior velocidade nas respostas e uma maior preciso nos clculos numricos.

2. Clculo de flechas

Nos clculos apresentados a seguir, sempre que necessrio, ser fornecido um embasamento terico, seguido de uma aplicao prtica e comentrios finais sobre a limitao de cada mtodo.

2.1. Mtodo da equao elstica

2.1.1. Embasamento terico

Sendo:

E = Mdulo de elasticidade do concreto do poste

I = Momento de inrcia da seo homogeneizada

M = Momento fletor atuante no ponto considerado

R = Raio de curvatura da seo considerada

Para o clculo do momento de inrcia da seo homogeneizada necessrio calcular o coeficiente de equivalncia que a relao entre os mdulos de elasticidade do ao e do concreto. necessrio porm calcular inicialmente o mdulo de elasticidade do concreto, que a funo do seu fck. Segundo o CEB, o mdulo de elasticidade, secante obtido pela seguinte frmula:

Logo: considerando o fck = 32 MPA , empregado no clculo dos postes, tem-se:

Considerando que o poste de seo anelar, torna-se necessrio determinar o CG (Centro de Gravidade) da armadura distribuda.

FIGURA 2.1.1 SEO DO POSTE

Sabendo-se da conicidade do poste e da sua espessura, possvel escrever as equaes da variao do dimetro externo e interno, ao longo do poste.

Logo:e = 0,02x + 19(2.1.3)

i = 0,02x + 8

(2.1.4)

Sendo: x = comprimento, em cm, a partir do topo do poste.

Observa-se que as equaes 2.1.3 e 2.1.4, so vlidas para o poste 12m/600 Kgf/19 - 43.

Da figura 2.1.1, tem-se que:

Calculando o momento de inrcia genrico, para qualquer seo em funo do comprimento do poste, a partir do topo, vem:

Substituindo os valores de e, i e Ycg, respectivamente, das equaes 2.1.3, 2.1.4 e 2.1.5, na equao 2.1.6, teremos o momento de inrcia em funo do comprimento x, a partir do topo, e da rea de ao de cada seo.

Observar que os raios de curvatura, como ser visto adiante, so de algumas dezenas de metros. Por essa razo os ngulos que contm as letras com (linha) apresentam deformaes excessivas, face compactao da figura 2.1.2, que ficou fora de escala. Na verdade, todos os ngulos mencionados so retos (90).

Na figura 2.1.2, esto indicados nas abscissas os valores dos raios de curvatura:

Devido magnitude do raio de curvatura que geralmente ultrapassa 400 a 500m, poderemos considerar, sem erro aprecivel, que o tringulo O( retngulo em A.

Logo: o ngulo AOA = A(O = (1

Para o ponto B e visando uma generalizao do processo, tem-se:

TABELA 2.1 - Clculo de Flecha para o Poste Circular R - 12 m / 600 kgf

Nvel

(cm)Inrcia I

(cm4)E0 x I

Ec = 324.895

(kgf/cm2)Momento Fletor

600 x X

(kgf x cm)Raio de Curvatura

R = EI/M (cm) d i n Ri i =1( di n (cm)

i =1FLECHAS

f i = di . ( di n (cm) Ri i =1

10210.243,53,32806 x 1095,52 x 1046,02909 x 1041,69180 x 10-310101,70872

20414.546,04,72594 x 1091,164 x 1054,06008 x 1042,51226 x 10-39182,30626

30619.991,16,49502 x 1091,776 x 1053,65711 x 1042,78909 x 10-38162,27590

40826.523,28,61724 x 1092,388 x 1053,60856 x 1042,8266 x 10-37142,01820

51034.832,41,13169 x 10103,00 x 1053,77230 x 1042,70392 x 10-36121,65480

61244.463,41,44459 x 10103,612 x 1053,99943 x 1042,55036 x 10-35101,30069

71455.834,81,81404 x 10104,224 x 1054,29461 x 1042,37507 x 10-34089,69028 x 10-1

81668.929,02,23947 x 10104,836 x 1054,63083 x 1042,20263 x 10-33066,74005 x 10-1

91883.438,72,71088 x 10105,448 x 1054,97592 x 1042,04987 x 10-32044,18174 x 10-1

1020100.151,03,25386 x 10106,06 x 1055,36941 x 1041,89965 x 10-31021,93764 x 10-1

FLECHA TOTAL (cm) = 13,5195

Logo: FLECHA = 1,127 % do comprimento do Poste, sob carga nominal


1. Na sistemtica de clculo apresentada importante que o n. de divises ao longo do poste seja tal, que a variao do raio de curvatura entre duas sees consecutivas, no ultrapasse 10 a 15%. Desse modo no seria introduzido erro aprecivel no processo de clculo. evidente que o atendimento a estas condicionantes ficaria tremendamente facilitado com a automatizao do processo de clculo.

2. A carga nominal aplicada ao poste, dever submet-lo a um estado de solicitao elstico. Esta afirmativa fundamenta-se no fato de que a fissurao no capilar s venha ocorrer no intervalo de carga Cn ( F ( 1,4Cn. Esta colocao tem sido convalidada por numerosos ensaios de prottipos.

3. Recomenda-se que o mdulo de elasticidade do concreto, no domnio das cargas de utilizao, seja determinado a partir da resistncia cilndrica compresso, pela frmula preconizada pelo CEB (Comit Europen du Bton), discriminada a seguir:

Vale destacar, entretanto, que o mdulo de elasticidade muito afetado pela maturidade do concreto.

Desse modo, sugere-se que s seja empregada a frmula mencionada, quando o perodo de cura for maior ou igual a 30 dias. Aqum deste perodo sugere-se adotar o mdulo de elasticidade = 210.000 Kgf/cm.

A ttulo de demonstrao da influncia do mdulo de elasticidade na flecha da estrutura, observa-se que o clculo demonstrado na tabela 2.1, foi executado com Ec = 210.000 Kgf/cm, tendo resultado numa flecha final de 19,59 cm, ou seja, 44,91% maior que a inicial.

Convm, por fim, observar que nas proximidades do limite elstico da estrutura, a relao tenso x deformao do concreto, no se mantm linear, fazendo variar o mdulo de elasticidade do concreto.

4. Quando da ocorrncia do mecanismo de fissurao (Estdio II), no se pode mais considerar o momento de inrcia da seo total, homogeneizada, em relao ao seu centro geomtrico. necessrio, no clculo do momento de inrcia, desprezar a rea de concreto que possa estar, ainda, tracionada. Este procedimento evidencia a razo pela qual as deformaes se acentuam aps o incio da fissurao, ou seja: devido a reduo dos momentos de inrcia das sees.

5. No Estdio II, o clculo de flechas requer um enorme volume de clculo numrico, pois os momentos de inrcia devero ser calculados para cada seo em relao a linha neutra, desprezando-se a rea do concreto tracionada.

2.2. Mtodo das foras com aplicao do P.T.V.

Este mtodo utiliza o princpio dos trabalhos virtuais (P.T.V.), que largamente empregado no clculo estrutural.

Por este mtodo a deformao em qualquer ponto da estrutura decorrente do trabalho executado pelos esforos, normais, cortantes e momentos.

No presente caso, por ser o momento a solicitao preponderante, deixaremos de computar as demais deformaes devidas s outras solicitaes, sem que sejam introduzidos erros apreciveis de clculo.

DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES

Estado de Carregamento

Estado de Deslocamento

Mu (kgf x cm)

Md (kgf x cm) Tomando-se n = n. par na equao seguinte:

Sendo:

H = incremento correspondente s abcissas

Yi = valor da funo a ser integrada

Multiplicando-se ambos os termos da equao (2.2.2) por EcJc e sendo:

Jc = 100.151,0 cm

Ec = 324.895 Kgf/cm

A funo y a ser incrementada igual ao produto de duas funes, a saber:

Observe-se que, tendo sido agora considerada, como origem do eixo x, o ponto de aplicao da carga no topo, as equaes que fornecem as medidas do dimetro externo e interno, a partir deste ponto, tornam-se:

e = 0,02 + 19,20cm(2.2.3)

i = 0,02 + 8,20cm(2.2.4)

Calculando tambm Ycg Centro de Gravidade da Armadura, vem:

Logo: os produtos correspondentes a Yi esto calculados na tabela 2.2.1, a seguir:

SeoiM 600x

(Kgf X cm)Jc/JiYi

(Kgf X cm)

100013,6940

916,1206 X 1069,47755,8008 107

822,4482 X 1076,71651,6443 X 108

735,508 X 1074,91242,7058 X 108

649,793 X 1073,71843,6414 X 108

551,5302 X 1082,84174,3483 X 108

462,2034 X 1082,23304,9201 X 108

372,9991 X 1081,78295,3471 X 108

283,9172 X 1081,44755,6702 X 108

194,9577 X 1081,19825,9402 X 108

0106,1206 X 1081,006,1206 X 108

Aplicando a frmula de SIMPSON, vem:

F Ec Jc = 3,8231 X 10 Kgf X cm

2.2.2. Consideraes sobre o mtodo de clculo apresentado:

1- O presente mtodo considerado, teoricamente, exato. A sua preciso pode atender a qualquer exigncia fixada, bastando para isso, aumentar o nmero de divises ao longo da estrutura. Naturalmente que neste caso, sugere-se automatizar os clculos com um computador, evitando o grande trabalho numrico.

2- No que tange s hipteses de clculo assumidas e a influncia da fissurao, no aumento das flechas, valem as mesmas recomendaes feitas em 2.1.2.

3- Observa-se que estes dois primeiros mtodos, foram aplicados a mesma estrutura, apenas para fornecer um parmetro comparativo. Vale dizer que os referidos mtodos so absolutamente gerais e se prestam aplicao para qualquer tipo de seo.

2.3. Mtodo da inrcia equivalente

Este mtodo consiste em obter, atravs de um algoritmo, a inrcia equivalente do poste, tendo sido considerados todos os momentos de inrcia do poste, nas sees selecionadas.

Com o propsito de ampliar a aplicao do mtodo a outros tipos de estrutura, calcularemos, a seguir, a flecha do poste tipo B/12m/600 Kgf.

Vale destacar que o momento de inrcia Jx dever ser sempre calculado para a seo mdia de cada trecho Li-Li-1 e reportando-se a equao do momento de inrcia da seo homogeneizada.

123456

iJposte(cm4)D

(cm)Sf

(cm)(Li3-Li-13)/Jxi

(cm-1)Li

(cm)

1251514,002,621322,7763101

2513716,802,8461126,06202

3891619,603,8851691,88303

41460322,404,37012022,392404

52245125,205,29192138,568505

63286928,005,6922203,491606

74628630,805,9942213,247707

86315133,606,2342188,509808

98393536,406,7602121,348909

1010913039,206,8462069,4991010


1- Valem todas as consideraes anteriores, para o presente mtodo. Convm salientar que a frmula do momento de inrcia do poste duplo T, que foi designada por Jposte, foi calculada por computador e discriminada na coluna 2 da Tabela de Dimensionamento.

2- A preciso do mtodo aumentar em funo do n. de sees do poste, tendendo para um limite.

3- O mtodo absolutamente geral e contempla qualquer seo.

3. Diagrama de tenses ao longo do poste

Com o propsito de mostrar como se desenvolvem as tenses de trao ao longo do poste, devido a flexo e tentando ainda caracterizar as zonas da estrutura que permanecem nos Estdios I e II, quando o poste submetido a carga nominal, vem:

Configurao no Estdio I

A frmula geral, para determinao da tenso na seo anelar, em sua face externa, :

As equaes do dimetro externo e interno, para o poste R-12m/600 Kgf/19-43, a partir do ponto de aplicao da carga nominal, ou seja, a 10cm do topo, sero:

(ex = 0,02x + 19,20 e (ix = 0,02x + 8,2

Da anlise da figura 3.1, observa-se que as maiores tenses ocorrem a 6,30 m do topo, ou a aproximadamente 3,90 m do nvel de engastamento.

Verifica-se tambm que, considerando a tenso limite de trao do concreto como Fck/10, teramos, sob a aplicao da carga nominal, o surgimento da 1 fissura a 50cm do topo. Isso significa que deste ponto em diante a tenso de trao seria excedida e a estrutura passaria ao Estdio II, at o nvel do engaste.

Esta anlise preliminar mostra que nos clculos efetuados anteriormente para a determinao da flecha nas estruturas, dever-se-ia considerar, na regio do Estdio II, o momento de inrcia da seo, desprezando-se a rea tracionada do concreto e naturalmente, considerando a inrcia das armaduras.

Este procedimento, implicaria numa reduo dos momentos de inrcia das sees, resultando em flechas maiores e provavelmente mais prximas da realidade.

Observa-se, por fim, que as evidncias constatadas no invalidam a aplicao dos mtodos de clculo apresentados, que so absolutamente gerais.

4. Bibliografia

1- Schiel, Frederick Introduo Resistncia dos Materiais Escola de Engenharia de So Carlos USP-1970.

2- Leonhardt, Fritz Construes de Concreto Volume 4 Rio de Janeiro, 1979-Editora Intercincia.

3- Avril, Charles Construction des Linhes Ariennes a Haute Tension - Paris, 1974-Edions Eyrolles.

4- Ruggiero, Mrcia a Gomes Clculo Numrico: aspectos tericos e computacionais - So Paulo: Mc Graw H. II. 1988.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

armadura

Y

cobrimento = 2 cm

CG

YCG

0

( i

( e

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 2.1.2 Estrutura defletida c/ respectivos raios de curvatura

d10 = 102 cm

d 2 =

d 1 =

d 3 =

d 6 =

d 4 =

d 5 =

d 7 =

d 8 =

d 9 =

180 cm

( 6

(5

( 4

( 10

( 8

( 9

( 7

(3

(2

(1

i

j

h

g

f

d

c

b

a

e

B

B

A

C

D

E

F

G

H

I

J

R10

R9

R8

R7

R6

R5

R3

R4

R2

R1

H

I

J

G

A

C

D

E

F

G

H

I

J

B

C

D

E

F

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

NVEL 0

(= -10 cm)

1,0 kgf

1,01 x 102

2,02 x 102

3,03 x 102

4,04 x 102

5,05 x 102

6,06 x 102

7,07 x 102

8,08 x 102

9,09 x 102

1,01 x 103

X X

600 kgf

6,06 x 104

1,212 x 105

1,818 x 105

2,424 x 105

3,03 x 105

3,636 x 105

4,242 x 105

4,848 x 105

5,454 x 105

6,06 x 105

X

0,00

101

202

303

404

505

606

707

808

909

1010

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

0,10m

600 kgf

1,80 m

10,10 m

0

X (cm)

L1=101

L2=202

L3=303

L4=404

L5=505

L6=606

L7=707

L8=808

L9=909

L10=1010

L3=303

d

b

X

sf

YCG

2,53

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(e

(i

EMBED Equation.3

Engaste

PAGE 16

_1060602151.unknown

_1061928120.unknown

_1061936416.unknown

_1061936565.unknown

_1061937210.unknown

_1061936109.unknown

_1061509314.unknown

_1061581350.unknown

_1061581407.unknown

_1061583162.unknown

_1061577575.unknown

_1060604302.unknown

_1060605660.unknown

_1060603567.unknown

_1060600547.unknown

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_1060525591.unknown

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