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PLANTEO DE ECUACIONES

PROBLEMAS RESUELTOS

1. La mitad, de un nmero aumentado en 1 es igual a la tercera parte, de otro nmero aumentado en 6El doble del primero, aumentado en 8 es igual al triple, del segundo disminuido en 6. Hallar el primero de dichos nmeros.a)15.5 b)15.6c)15.8 d)15.4e)Ms de 16Solucin:Sean x, y las variables

Rpta c

2. El doble de un nmero, aumentado en uno es igual al triple de otro nmero, disminuido en 5. El triple, del primero aumentado en 5 es igual al sxtuplo, del segundo disminuido en 2.Calcular el nmero mayor:a)10b) 12c) 15d) 18e) 20Solucin:Sean los nmeros x, y

# mayor: 15

Rpta. C70

3. Carlos le dice a Jos: Dame 18 soles y as tendr doble de dinero que t. Jos le contesta: Ms justo es que t me des 15 soles y as tendremos cantidades iguales Cunto tiene Carlos?a)48 solesb) 114 solesc)36 solesd) 54 solese)72 solesSolucin:Carlos: x solesJos: y soles

Carlos: 114 solesRpta: b

4. El triple de lo que tiene A es once veces lo que tiene B. Si A le da a B 20 soles, lo que le queda a A excede en 10 soles al triple de lo que entonces tiene B. Cunto tiene A?a)solesb) 495 solesc)660 solesd) 825 solese)440 solesSolucin:

Rpta: b

5. 144 manzanas cuestan tantos soles como manzanas dan por 169 soles. Cuntos valen dos docenas de manzanas?a)16 solesb) 24 solesc)26 solesd) 48 solese)52 solesSolucin:1 manzana: x soles144 manzanas: 144x solespor 169 soles me darn:

por dato:

de donde:

valor pedido: Rpta: c

E D A D E S

Recomendaciones (para desarrollar problemas) Se pueden resolver haciendo uso del planteo de una ecuacin. Estos problemas se relacionan con sujetos, edades y tiempos (pasado, presente y futuro).Sujetos:Los protagonistas pueden ser personas, animales, plantas, etc.

Edades:Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto.

Tiempos:Pueden ser presente, pasado y futuro.Tiempo pasadoTiempo presenteTiempo futuro

ExpresionesHace, tenas, tuve, era, etcTengo, tienes, tenemos, es, etcDentro de, tendrs, ser, etc

Nota: Cuando interviene un sujeto.

Cuando intervienen las edades de varios sujetosSe utiliza el cuadro de edades relacionados a, sujetos y tiempos.

1) La diferencia de edades de 2 personas es constante en cualquier tiempo.a b = m n = r s2) La suma en aspa de valores extremos simtricos es constante.a + n = b +mm + s = n + r3) Relacionamos4) Si la persona ya cumpli aos71

Si la persona an no cumple aos.

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PROBLEMAS RESUELTOS

1. Federico dice: Ya no soy tan joven porque paso los 60 pero todava no me pueden llamar noventn. Cada una de mis hijas me ha dado tantas nietas como hermanas tienen y mi edad es el triple del nmero de hijas y nietas Qu edad tiene Federico?a)66 aosb) 72 aosc)75 aosd) 81 aose)N.A.Solucin:Edad de Federico: N aos# de hijas: xcada hija tiene (x 1) hermanascada hija le ha dado a Federico (x 1) nietasLuego el total de nietas: x(x 1)por dato: N = 3[x + x(x 1)]

se deduce: x = 5 N = 75 aosRpta: c

2. Si al doble de la edad de Antonio se resta 17 aos resulta menor que 35, pero si a la mitad de su edad se suma 3 aos resulta mayor que 15. Hallar la edad de Andrs que naci 11 aos antes que Antonio.a)36 aosb) 25 aosc)14 aosd) 30 aose)24 aosSolucin:edad de Antonio: x aos2x 17 < 53 x < 26

x > 24luego: x = 25 aosAndrs: 25 + 11 = 36 aosRpta: a3. La edad de Pedro es mayor en 7 que el cuadrado de un nmero N y menor en 4 que el cuadrado del nmero siguiente a N. Hallar la edad de Pedro.a)40 aosb) 42 aosc)24 aosd) 20 aose)32 aosSolucin:Edad de Pedro: x aos

Igualando: de donde: N = 5

edad de Pedro: Rpta: e

4. La preguntaron a una persona por su edad y contest: Mi edad ms el doble de ella, ms el triple de ella y as sucesivamente hasta tantas veces mi edad suman en total 13950. Cul es su edad?a)15 aosb) 20 aosc)25 aosd) 30aose)N.A.Solucin:Edad de la persona: x aospor datos:x + 2x + 3x + ... + x.x = 13950x.x.(x + 1) = 27900x.x.(x + 1) = 30.30.31de donde: x = 30 aosRpta: d

5. La edad de Jos es el doble de la edad de Carlos, pero hace 18 aos era el triple. Qu edad tiene Jos?a)72 aosb) 36 aosc)90 aosd) 45 aose)N.A.Solucin:

por dato: 2x 18 = 3(x 18)de donde: x = 36edad de Jos: 72 aosRpta: a

6. Hace 7 aos tu edad era a mi edad como 3 es a 1, dentro de 4 aos dicha relacin ser como 10 a 7. Cuntos aos tengo actualmente?a)7 aosb) 8 aosc)10 aosd) 12 aose)15 aosSolucin:

por dato: de donde: x = 3mi edad: 3 + 7 = 10 aos

7. Las edades de 3 hermanos hace 2 aos estaban en la misma relacin que 3, 4 y 5 y dentro de 2 aos ser como 5; 6 y 7. Qu edad tiene el mayor?a)10 aosb) 12 aosc)14 aosd) 16 aose)18 aosSolucin:

por datos: para hallar el valor de x basta considerar 2 expresiones cualesquiera

de donde: x = 2edad mayor:5.2 + 2 = 12 aosRpta: b

RAZONAMIENTO LGICO

El razonamiento lgico es una parte muy importante de la Actitud Acadmica. Miden las Habilidades de deduccin lgica, creativa a travs de los problemas.

Observaciones:

a) En relacin de das tenemos:

Ejemplo:A qu ser equivalente el ayer del anteayer del ayer del pasado maana del pasado maana de maana

Solucin:Segn el cuadro anterior tenemos:

Piden:-1 2 1 + 2 +2+ 1 = +1 Maana Respuesta Maanab) En los problemas que nos hablen de nietos, madres, bisabuelos, bisnietos, etc. Se trabaja por la parte ltima (tipo cangrejo).

c) De un total de varias bolas que tienen un mismo tamao, color y peso; como encontrar una bola ligeramente ms pesada mediante una balanza de dos platillos.Se generaliza:

PROBLEMAS SOBRE CALENDARIOS

CalendarioEs un sistema de divisin del tiempo.

Es un cuadro de los das, meses, estaciones y fiestas del ao.

Calendario Gregoriano:Establecido en 1582 por el papa Gregorio XIII; no cuenta como bisiesto el ao de cada siglo, excepto cuando caen en decena de siglo.

AoTiempo que emplea la tierra en recorrer su rbita alrededor del sol.

Ao comn:365 das (12 meses o 52 semanas) febrero trae 28 das.

Ao bisiesto:366 das; febrero 29 das; este ao se repite cada 4 aos a excepcin del ltimo de cada siglo.

La semana tiene 7 das y termina un da inmediato anterior al que empez.74

PLANTEO DE ECUACIONES

1. El precio por enviar un telegrama es de cierta cantidad por cada una de las x primeras palabras y otra cantidad por cada palabra adicional. Un telegrama de 16 palabras cuesta S/. 60 y uno de 20 palabras cuesta S/. 72. Cunto costar enviar un telegrama de 26 palabras, sabiendo que x < 12?A) S/.10 B) S/.50 C) S/.90 D) S/.80 E) S/.120

2. Un ciego entr en una tertulia de seoras; qued un momento a la escucha y luego dijo:- Saludo a las 24 damas aqu presentes No somos 24, le respondi una de ellas.- Pero si fusemos cuatro veces ms de las que somos, seramos tantas ms de 24 como tantas menos somos en este momento.Cuntas seoras haba en la tertulia?A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

3. Anglica viaja en el ltimo vagn de un tren, el cual tiene 9 vagones. Cuando avanza de un vagn a otro tiene que pagar 16 soles y cuando retrocede le devuelven 12 soles. Si para llegar al primer vagn realiz 24 cambios. Calcule la suma de lo que cobro y pagoA) S/. 398 B) S/. 379 C) S/. 352D) S/. 355 E) S/. 389

4. Se tiene dos depsitos de vino de diferente calidad. El primero contiene 20 L y el segundo 30 L Si se saca de cada uno la misma cantidad y se hecha al primero lo que se saca del segundo y viceversa. Qu cantidad ha pasado de un depsito a otro, si el contenido de los dos ha resultado de la misma calidad?A) 12 L B) 10 L C) 11 L D) 13 L E) 15 L5. Juan y sus amigos desean entrar al cine, por lo cual deben pagar en total S/. 200, pero al juntar el monto, 5 de ellos no tienen dinero para la entrada, por lo cual los dems deben aportar S/. 2 ms de lo previsto. Cunto aportar Juan?A) S/. 12 B) S/. 14 C) S/. 8 D) S/. 9 E) S/. 10

6. En un autobs se observa que hay 56 personas de las cuales 22 estn sentadas. Los varones que estn sentados son tantos como las damas que estn paradas, y la cantidad de damas que estn sentadas es la mitad de los varones que estn parados. Cuntos varones hay en el autobs?A) 40 B) 26 C) 38 D) 42 E) 34

7. Qu nmero es tantas veces ms que 6, como 36 es tantas veces dicho nmero?A) 6 B) 4 C) 18 D) 12 E) 3

8. Cinco veces el producto de las edades de Ronaldo y Walter es igual a 11 veces ms que la suma de dichas edades. Cinco veces el producto de las edades de Walter y Alfredo es igual a 18 veces la suma de dichas edades, y 13 veces el producto de las edades de Ronaldo y Alfredo es igual a 35 veces ms que la suma de sus edades. En cuanto excede la edad de Alfredo a la edad de Walter?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

9. Se arroja tres dados. El nmero que sali en el primero se multiplica por 2 y se le suma 5, a este resultado se le multiplica por 5; luego se le suma lo que sali en el segundo dado, y a todo se le multiplica por 10, finalmente se le suma lo que sali en el tercer dado, y se obtiene 763. Cundo sali en cada dado?A) 5; 1 y 3 B) 4; 2 y 6 C) 2; 3 y 4 D) 2; 1 y 6 E) 3; 1 y 4

10. Un vendedor de frutas, tiene un cierto nmero de naranjas, las cuales quiere disponer de modo que se tenga un cuadro. Si el cuadro fuera compacto, sobraran 88 naranjas, pero si el centro estuviera vaco, podra colocar cuatro naranjas ms en cada columna y fila exterior, sin que sobre ninguna. Si se sabe que para llenar el cuadro vaco se necesitan 144 naranjas, calcule el nmero de naranjas que tena en total?A) 815 B) 816 C) 817 D) 818 E) 820

11. En una fiesta, un grupo de personas se saludan de la forma siguiente: cada vez que se saludan dos varones se dan un apretn de manos; pero cada vez que se saludan dos mujeres o una mujer y un varn, se dan un beso en la mejilla. Si en total hubieron 21 apretones de manos y 34 besos. Calcule la diferencia entre el nmero de varones y mujeres en dicha fiesta.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. Tres cirios de una misma calidad y dimetro con duracin para 2h, 4h y 6h, respectivamente, se prenden simultneamente, repentinamente se apag el primero observndose que lo consumido hasta ese momento por los tres era 90 cm; 1.5 h despus la altura de la mayor era la mitad de lo consumido por los otros dos. Cul era la altura del primer y tercer cirio inicialmente?A) 24 y 72 cm B) 64 y 192 cm C) 88 y 264 cm D) 32 y 96 cm E) 12 y 36 cm

CUATRO OPERACIONES

En este capitulo estudiaremos el tema de planteo de ecuaciones haciendo uso de los diferentes mtodos aplicativos como: cangrejo, rombo, rectngulo, regla de conjunta y algoritmo de la divisin segn corresponda el caso del problema.Mtodo de Exhaustin (Cangrejo)

1. Cangrejo Simple: Se utiliza cuando se presenta varias operaciones, se trabaja del valor final hacia el valor inicial haciendo operaciones contrarias a las que me indica el esquema ( el problema).En todos los casos se trabaja en funcin a lo que queda.Ejemplito:Cul es el nmero, que elevado al cuadrado, sumarle 5, restarle 10, dividirlo entre 4, multiplicado por 9, sumarle 4 y sacarle la raz cuadrada, se obtiene 7?Solucin:

2. Cangrejo Compuesto: Se utiliza cundo los datos del problema se presentan por medio de fracciones, se trabaja con los valores que le faltan a dichas fracciones para que sean la unidad, siendo estas las operaciones directas las cuales son multiplicaciones, luego se procede al igual que en el caso simple: Grficamente tenemos el complemento y replemento de una fraccin en base a un total. (la unidad).

Complemento:

Replemento:91

Dato:

Observacin: En base a la unidad tenemos

Ejemplito:Robertito fue de compras a la Barraca (centro comercial): primero gast 1/4 de su dinero en ropa, luego con los 2/3 del resto compr un reloj, ms tarde compro un objeto de S/. 10, finalmente con los 3/7 del ltimo resto compr un regalo para su seora, si se qued con solamente S/. 16 para el cine. De cunto dinero dispona Roberto?Solucin:

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Problemas Mediante Cuadros(Usando Cangrejo Mediante Columnas)

1. Tres jugadoras Anita, Betty y Carmen acuerdan que despus de cada partida la perdedora duplicar el dinero de las otras dos. Habiendo perdido cada jugadora una partida en el orden indicado, resulta que la 1ra tiene 24 soles, la 2da 28 soles y la 3ra 14 soles. Cunto perdi Anita?Solucin:La palabra duplicar es la operacin directa x2, luego procederemos a trabajar con la operacin inversa 2

2. A y B juegan 3 partidos de pker. Si B pierde, A recibir la mitad de lo que tena B, si A pierde, le pagar la quinta parte de lo que tiene a B.Si A y B acaban con 1920 y 1580 soles respectivamente y B slo perdi la primera partida. Cunto perdi A?

Solucin:

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i)

ii)

iii)Luego A perdi 2500 1920 = 580

Mtodo de Falsa Suposicin (Rombo)

Se utiliza cuando se presentan dos incgnitas, que presentan un valor numrico producido por la suma de dos incgnitas (nmero total de elementos), un valor unitario de cada una de las incgnitas; adems debe tener otro valor numrico producido por el nmero total de elementos.Grficamente tenemos:

Nota: Para hallar el menor valor o mayor valor se procede en sentido contrario a lo que me indica el esquema esto es:

Ejemplos:1. Cuntas monedas de S/. 2 debo entregar para pagar una deuda de S/. 29, si tengo 10 monedas de S/. 5 y S/. 2?Solucin:

2. Sandrita es una coleccionista de estampillas. Ella tiene 490 soles en 77 estampillas de 8 y 5 soles. Cuntas tiene de 8 soles?

Mtodo del Rectngulo

Se utiliza cuando intervienen dos cantidades una de ellas produce un sobrante y la otra un faltante, para la solucin procedemos de la siguiente manera:

i) Representa tambin Costo por unidad # de personas etcii) Hallando el monto total (Cant.I)(Dqfalta) sobrante = x (Cant.II)(Dq falta)faltante= xSiendo "x la solucin

Nota: Si ambas cantidades producen sobrantes o faltantes diferentes se toma la diferencia de ellos, y se divide con la diferencia de las cantidades para hallar el dato que falta.

Ejemplos:1. Una persona quiere repartir cierto nmero de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 11 caramelos a cada uno, le sobra 116, y si les da 24 caramelos a cada uno le falta 27 caramelos. Cuntos caramelos quiere repartir?

Hallando el nmero de caramelos*11(11) + 116 = 237*24(11) 27 = 237Rpta: 237 caramelos

2. Si se posaran 4 palomas en cada poste faltarn 3 postes, pero si se posaran 2 palomas en cada poste sobrarn 36 palomas. Cul es la cantidad de palomas?

hallando el total de palomas4(12) + 12 = 602(12) + 36 = 60Rpta: 60 palomas

Mtodo Regla de Conjunta (Equivalencia)

Se utiliza cuando se presentan varias equivalencias (igualdades), se colocan uno debajo de la otra cuidando que las unidades no se repitan; si esto sucede se intercambia la igualdad. A continuacin el resultado es otra nueva equivalencia siendo esta la multiplicacin de la primera columna igual a la multiplicacin de la segunda columna.7995

Ejemplo:En una feria agropecuaria 7 gallinas valen lo mismo que 2 pavos, 28 patos cuestan lo mismo que 10 pavos, 6 conejos tienen el mismo precio que 16 patos. Cunto costar 2 gallinas si un conejo cuesta 30 soles?Solucin:

Algoritmo de la Divisin

Divisin Entera

i) Exacta

ii) Inexacta

Tambin tenemos si r0 dq