Flexión de Una Viga en Voladizo

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  • 7/25/2019 Flexin de Una Viga en Voladizo

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    Flexin de una viga en voladizo

    En esta pgina, simularemos una experiencia de laboratorio de fcil diseo que nos

    permite determinar elmdulo de Youngde un determinado material.

    Se usar una barra empotrada de un determinado material, de longitudL, de

    anchura ay de espesor b. Se fijar uno de sus extremos y se aplicar una fuerza en su

    extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo librey(L) o flecha en funcin

    de la fuerza aplicadaF, comprobando su relacin de proporcionalidad, mientras que la

    flexin de la barra sea pequea.

    A continuacin, examinaremos la teora de la flexin de una viga en voladizo en

    detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza

    en dicho extremo que produce una flexin considerable.

    Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numricos aplicados al

    Clculo de la raz de una ecuacin.

    Integral definida.

    Una viga o una barra delgada son

    slidos homogneos e istropos cuya

    longitud es grande comparada con las

    dimensiones de su seccin trasversal.

    Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen

    algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una

    lnea, denominada neutra, que no se acorta ni se alarga. Esta lnea se encuentra en el

    centro de gravedad de la seccin trasversal y es la que representaremos en las

    simulaciones que vienen en esta pgina y en la siguiente.

    Pequeas flexiones

    Consideremos una barra delgada de longitud Len posicin horizontal, empotrada por un

    extremo y sometida a una fuera vertical Fen el extremo libre. Determinaremos la forma de la

    barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre para pequeas flexiones de la barra.

    http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm#Fundamentos%20f%C3%ADsicoshttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm#Fundamentos%20f%C3%ADsicoshttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm#Fundamentos%20f%C3%ADsicoshttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm#Fundamentos%20f%C3%ADsicos
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    Supondremos que

    La barra tiene una longitud Lmucho mayor que las dimensiones de su seccin

    trasversal, y que la deformacin debida a su propio peso es despreciable.

    Que la seccin de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra

    es pequeo comparado con el radio de curvatura, la seccin trasversal cambia muy

    poco.

    Que en estas condiciones es aplicable la ecuacin de Euler-Bernoulli que relaciona el

    momento flector Mde la fuerza aplicada y el radio de curvatura de la barra deformada

    Elradio de curvaturade una funcin y(x) es

    Para pequeas pendientes (dy/dx)20

    Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza Faplicada en el extremo

    libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)F(L-x)

    Que integramos dos veces con las siguientes condiciones inicialesx=0, y=0, dy/dx=0.

    El desplazamiento yfdel extremo librex=L es proporcional a la fuerza Faplicada

    http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvatura
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    Yes el mdulo de Young del material

    I se denomina momento de inercia de la seccin trasversal respecto de la fibra neutra

    Se considera que la aproximacin de pequeas flexiones: el desplazamientoydel

    extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerzaFaplicada, produce resultados

    aceptables hasta un cierto valor delparmetro adimensional

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    7. Cuando se ha recolectado suficientemente nmero de datos se pulsa en el

    botn Grfica. El programa representa los datos "experimentales" y la recta que

    describe el comportamiento del extremo libre de la barra cuando se aplica una

    fuerza F en dicho extremo. En la parte superior del applet, se muestra el valor de la

    pendiente de dicha recta.

    Cuando la fuerzaFaplicada, es mayor que la fuerza mximaFm=2YI0.375/L2 el

    programa interactivo no permite colgar del extremo libre pesas adicionales, ya que se

    supone que la aproximacin de pequeas flexiones deja de ser aplicable.

    Ejemplo:

    Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra

    Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra

    La anchura a=0.03 m est fijada por el programa interactivo y no se puede cambiar

    Elegimos como material, el Acero

    Despus de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviacin

    del extremo librey(L) con la fuerza aplicadaFen dicho extremo es

    m=3.683 cm/N=0.03683 m/N

    El momento de inerciaIvale

    Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad deF) calculamos el mdulo de

    Young Y

    Podemos comparar nuestros clculos de Ycon los proporcionados por el programa

    interactivo pulsando en el botn titulado Respuesta.

    Arrastrar con el ratn la pesa hasta que cuelgue del extremo libre de la

    barra

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    Estudio de la flexin de una viga en voladizo

    Consideremos una barra delgada de

    longitud Len posicin horizontal,

    empotrada por un extremo y sometida a

    una fuera vertical Fen el extremo libre.

    Determinaremos la forma de la barra y las

    coordenadas (xf, yf) del extremo libre para

    grandes flexiones de la barra.

    Supondremos que

    La barra tiene una longitud Lmucho mayor que las dimensiones de su seccin

    trasversal, y que la deformacin debida a su propio peso es despreciable.

    Que la seccin de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la

    barra es pequeo comparado con el radio de curvatura, la seccin trasversal

    cambia muy poco.

    Que en estas condiciones es aplicable la ecuacin de Euler-Bernoulli que relaciona el

    momento flector Mde la fuerza aplicada y el radio de curvatura de la barra deformada

    donde Yes el mdulo de Young del material e Ies el momento de inercia de la seccin

    trasversal respecto del eje neutro.

    Elradio de curvatura =ds/d

    http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvatura
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    El momento flector Mde la fuerza Faplicada en el extremo libre de la barra respecto del

    punto P (x, y) es M=F(xf-x)

    Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cos=dx/ds

    Para determinar (s) se resuelve la ecuacin diferencial con las siguientes condiciones

    iniciales:

    Para obtener una solucin de la ecuacin diferencial, multiplicamos por d/dsla ecuacin

    diferencial

    La constante de integracin la determinamos a partir de las condiciones iniciales

    especificadas anteriormente

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    La LongitudLde la barra y las coordenadasxeyde cada uno de los puntos de la

    misma se obtienen

    Dada la fuerzaFaplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitudLde

    la barra, se resuelve la primera ecuacin para calcular el ngulo 0, que forma la

    recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal

    X

    Una vez que se conoce este ngulo 0, se calcula la abscisaxdando valores al

    ngulo en el intervalo (0, 0)

    El clculo de la ordenadayes ms complicado, ya que para cada valor del

    ngulo hay que hallar una integral definida en el intervalo (0, ) empleando

    procedimientos numricos.

    Clculo numrico

    Las ecuaciones anteriores las podemos expresar

    Donde es un parmetro adimensional que engloba las caractersticas geomtricas

    de la barra, del material del que est hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo

    libre

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    Clculo de 0.

    Empezamos con la primera ecuacin que nos determina el ngulo 0que forma la

    recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal

    X, tal como se ve en la figura

    Requiere dos pasos:

    1. Hallar la integral

    2. Calcular la raz de la ecuacin

    f(0)=0

    La integral se puede expresar en trminos de la suma de dos integrales elpticas de

    primera especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es =+/2

    El segundo cambio de variable es

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    Finalmente, calculamos la raz de la ecuacin

    El programa interactivo al final de esta pgina, calcula las integrales elpticas de

    primera especieE(k, /2) yE(k, ) mediante el procedimiento de

    Carlson. VaseNumerical Recipes in C,Special functions. Captulo 6. La raz de la

    ecuacin se obtiene por el procedimiento del punto medio.

    Clculo de las coordenadas (x/L , y/L ) de cada punto de la barra deformada

    El clculo dex/Lno reviste dificultad alguna. Conocido 0, se calculax/Lpara cada

    ngulo en el intervalo (0, 0). La posicinxfdel extremo libre es

    El clculo dey/Les ms problemtico. Conocido 0, se determina laordenaday/Lpara cada ngulo en el intervalo (0, 0) calculando la integral

    definida,

    por el procedimiento numrico de Simpson

    Cuando 0el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula

    correctamente la ordenadayf/Ldel extremo libre de la barra cuando =0. Parasolucionar este inconveniente, empleamos el procedimiento de interpolacin que se

    muestra en la figura.

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    Calculamos las coordenadas (x/L, y/L) para el ngulo =0-,siendo un

    ngulo pequeo

    Calculamos la abscisaxf/Lpara el ngulo 0

    La ordenadayf/Lse obtiene resolviendo el tringulo rectngulo de la figura

    Aproximacin de pequeas flexiones

    Para pequeas flexiones cuando el ngulo 0es pequeo. Sustituimos seny

    escribimos la ecuacin que calcula 0.

    El resultado es0=

    Las coordenadas (x, y) de cada punto de la barra se aproximan a

    Para el extremos libre de la barra, cuando =0=,xf=L, lo que implica que en la

    aproximacin de pequeas flexiones, no hay desplazamiento horizontal del extremo

    libre de la barra.

    La ordenadayla podemos aproximar

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    Integrando por partes y despus de hacer algunas simplificaciones obtenemos la

    siguiente expresin

    Las coordenadasxey, las hemos expresado en funcin del parmetro , eliminando

    el parmetro obtenemos la funciny=f(x) que describe la flexin de la barra cuando

    se aplica una fuerzaFen su extremo libre.

    Para el extremos libre de la barra, cuando =0=,x=L,

    Lmite de la aproximacin de pequeas flexiones

    En la figura, se muestra la desviaciny/Ldel extremo libre de la barra en funcin

    del parmetro adimensional .

    En color rojo, los resultados del clculo, empleando procedimientos numricos,

    descrito en el apartado anterior

    En color azul, la recta y/L=2/3, aproximacin de pequeas flexiones

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    Podemos considerar, que la aproximacin lineal produce resultados aceptables hasta

    un cierto valor lmite del parmetro mo bien, hasta un cierto valor mximo de la

    fuerza aplicadaFmen el extremos libre de la barra

    Actividades

    Se introduce

    El parmetro adimensional , proporcional a la fuerza Fsobre el extremo libre,

    actuando en la barra de desplazamiento titulada Fuerza

    Se pulsa el botn titulado Calcular

    Se representa una barra de longitud L=1 m deformada por la fuerza Faplicada en su

    extremo libre. Se proporcionan los datos de las coordenadas (xf, yf) de dicho punto y el

    ngulo 0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje horizontal

    X.

    Ejemplo:

    Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, seccin rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm.

    El mdulo de Young es Y=2.061011N/m2

    El momento de inercia Ivale

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    Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que =0.25, es decir

    observamos en el programa interactivo que se encuentra enxf/L=0.98 e yf/L=0.16, es decir,

    axf=29 cm, e yf=4.8 cm del extremo fijo.

    Aplicando la aproximacin de pequeas flexiones

    En la aproximacin de pequeas flexionesxfL, no hay desviacin apreciable en sentido

    horizontal y la desviacin en sentido vertical yfes proporcional a la fuerza Faplicada en el

    extremo libre.

    Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que =1.25, es decir

    observamos en el programa interactivo que se encuentra enxf/L=0.79 e yf/L=0.56, es decir,

    axf=24 cm, e yf=17 cm del extremo fijo.

    Aplicando la aproximacin de pequeas flexiones

    En la aproximacin de pequeas flexiones deja de ser vlida ya que hay una desviacin

    apreciable en sentido horizontal y la desviacin en sentido vertical yfya no es proporcional

    al a la fuerza Faplicada en el extremo libre.

    Se sugiere al lector, representar tres grficas: en el eje X, del parmetro adimensional ,

    en eje Y:

    1. El ngulo 0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje

    horizontal

    2.

    La desviacin del extremo libre a lo largo del eje X, x=1.0-xf

    3.

    La desviacin del extremo libre a lo largo del eje Y, y=yf