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CONTROL OPTIMIZANTE PARA REGULACIN DEL CONSUMO DE FLOCULANTE EN ESPESADORES DE RELAVES

Reynaldo Mayorca Castillo Giancarlo Sotelo Cabrera ABB Per S.A.

reynaldo.mayorca@pe.abb.com giancarlo.sotelo@pe.abb.com

Resumen

En el presente trabajo se desarrolla una estrategia de control optimal para la regulacin de la densidad de descarga y turbidez del agua clarificada en una espesador de relave a travs de la dosificacin eficiente de floculante. La estructura de control presentada toma en cuenta los criterios de desempeo que es una medida de la calidad del comportamiento o evolucin de las variables. Uno de los criterios de desempeo utilizado es el de tiempo mnimo, es decir, se busca la accin de control que produzca la trayectoria tal que el tiempo en alcanzar la referencia de densidad y turbidez sea el mnimo posible conllevando a un menor consumo de floculante. Asimismo se atribuye una penalidad a las transiciones de estado que se alejan demasiado de los valores de referencia o setpoint, con lo cual se trata de satisfacer un error aceptable en alcanzar las referencias. Para el desarrollo de la estrategia de control se han obtenido modelos del sistema basado en la respuesta transitoria a los cambios de flujo de floculante. Los modelos han sido tratados para determinar las ganancias del controlador ptimo y se realizan simulaciones para verificar su funcionalidad e implementacin.

Abstract

In this article an optimal control strategy is developed for regulation of underflow density and clarified water turbidity in tail thickener across efficient flocculant dosage. The control structure take account the performance criteria that is a measurement of behavior quality and variables evolution. One of the performance criteria is the minimum time, that means, the operational control action that produces the path such that the time to reach the reference density or turbidity is minimized leading to a lower consumption of flocculant. It also attaches a penalty to the state transitions that are very different from the reference values or setpoint, which is satisfying to reach an acceptable error. For the development of the control strategy, models are obtained based system transient response to changes in flow of flocculant. The models have been treated to determine the optimal controller gains and perform simulations to verify functionality and implementation.

INTRODUCCIN

La optimizacin y control de sistemas de espesamiento continuo sigue siendo un problema vigente, la recuperacin de agua en procesamiento mineras, el costo de los reactivos floculantes e insumos son problemas actuales que se agudizarn en el futuro.

Es bien conocido el efecto de los floculantesen la velocidad de sedimentacin diversas concentraciones de slido y cantidades de floculante.

La experiencia ha demostrado que hay numerosos espesadores en muchas empresas mineras nacionales que no operan en forma eficiente y que requieren, para mejorar su eficiencia, de un estudio de optimizacin. Este trabajo requiere el estudio de los parmetros de espesamiento de la pulpa, de la cuantificacin de reactivos floculantes y su adicin, de la forma de alimentacin y dispersin del floculante, de la autodilucin, de la forma de la descarga, de la reologa del sedimento y del funcionamiento de las rastras, de la medicin de variables como concentracin de descarga, de presin del fondo, de nivel del sedimento, de turbidez de agua.

Las estrategias de control tradicionalesbasan en considerar la mayor cantidad dvariables con que se cuenta: densidad de la pulpa de descarga, densidad y flujo msico de la pulpa que ingresa, nivel de sedimento, torque de la rastra, presin en las paredes, turbidez del agua clarificada, etc; se configura y se prueban controladores basados en las estrategias de lazo cerrado PID y sus variantes, lgica difusa y funciones de pertenencia, etc. El presente trabajo presenta una estrategia basada en un controlador optimal la cual se obtiene mediante el uso de modelos de respuesta dinmica dparmetros de operacin normal de un espesador de prueba.

La estrategia LQR (Linear QuadraRegulator) El controlador LQR es un control por realimentacin del vector de estado de forma:

Donde K es el controlador, que se obtiene resolviendo un problema de optimizacin, concretamente minimizando el siguiente funcional de coste:

La optimizacin y control de sistemas de ue siendo un problema

vigente, la recuperacin de agua en plantas de procesamiento mineras, el costo de los reactivos

problemas actuales

Es bien conocido el efecto de los floculantes en la velocidad de sedimentacin del slido a

e slido y cantidades

La experiencia ha demostrado que hay numerosos espesadores en muchas empresas mineras nacionales que no operan en forma

, para mejorar su eficiencia, de un estudio de optimizacin. Este

o requiere el estudio de los parmetros de espesamiento de la pulpa, de la cuantificacin de

y su adicin, de la forma de alimentacin y dispersin del floculante, de la autodilucin, de la forma de la descarga, de la

imento y del funcionamiento de las rastras, de la medicin de variables como concentracin de descarga, de presin del fondo, de nivel del sedimento, de turbidez de agua.

s de control tradicionales se en considerar la mayor cantidad de

variables con que se cuenta: densidad de la pulpa de descarga, densidad y flujo msico de la pulpa que ingresa, nivel de sedimento, torque de la rastra, presin en las paredes, turbidez del agua clarificada, etc; se configura y se prueban

asados en las estrategias de lazo cerrado PID y sus variantes, lgica difusa y funciones de pertenencia, etc. El presente trabajo presenta una estrategia basada en un controlador optimal la cual se obtiene mediante el uso de modelos de respuesta dinmica dentro de los parmetros de operacin normal de un espesador

(Linear Quadratic

El controlador LQR es un control por realimentacin del vector de estado de forma:

(Eq. 1) es el controlador, que se obtiene

resolviendo un problema de optimizacin, concretamente minimizando el siguiente funcional

Donde la matriz Q penaliza el estado y R, la que pondera el esfuerzo de el caso de horizonte infinito puede calcularse a partir de la resolucin de la ecuacin de Ricatti.

LQR se utiliza para calcular estados llevando el sistema al punto de equilibrio.

LQI (Linear-Quadratic

LQI calcula la matriz ganancia ptima dado un modelo espacio estado y dado las matrices de peso Q, R y N. Al emplear control ptimo basado en estados a fin de llevar el sistema a una referencia establecida

Figura 1: Diagrama de Bloques de la estructura de realimentacin con LQI.

La ley de control establecida para este lazo de control es de la forma:

Donde: K es un vector ptima y un integradorcontrol asegura que la salida realice un proceso de seguimiento a la seal de referencia

La seal de control coste:

Las matrices de peso seleccionarse para penalizar ciertos estados/entradas ms que otros. Como veremos, las matrices S y N positivas, y la R definida positiva.

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(Eq. 2)

Donde la matriz Q penaliza el estado y R, la que pondera el esfuerzo de control. La solucin para el caso de horizonte infinito puede calcularse a partir de la resolucin de la ecuacin de Ricatti.

LQR se utiliza para calcular la realimentacin de estados llevando el sistema al punto de equilibrio.

Quadratic-Integral)

LQI calcula la matriz ganancia ptima dado un modelo espacio estado y dado las matrices de

. Al emplear LQI se realiza un ptimo basado en realimentacin de

llevar el sistema a una referencia

Diagrama de Bloques de la estructura de realimentacin con LQI.

La ley de control establecida para este lazo de

; (Eq. 3) es un vector que contiene la ganancia

ptima y un integrador para cada estado. Este control asegura que la salida realice un proceso

iento a la seal de referencia r.

La seal de control u minimiza la funcin de

2 (Eq. 4)

Las matrices de peso S, N y R pueden seleccionarse para penalizar ciertos estados/entradas ms que otros. Como veremos,

deben ser semi-definidas definida positiva.

Modelo de la dinmica de Espesamiento

Hoy en da la dinmica de sedimentacin al interior de un espesador es de vital importancia para procesos mineros. El tiempo necesario para que la suspensin sedimente ensu defecto en un alto porcentajedeterminante a fin de extraer, del relaveporcentaje de agua en el menor tiempo posible

En sntesis, la cantidad de agua recuperada derelave representa la cantidad de agua que podr ser reutilizada en procesos posteriores. proceso de sedimentacin puede realizarse de forma natural (sedimentacin natural)embargo, requiere un tiempo considerable sedimentar y debido a ello es necesaqumicos a fin de acelerar la reaccin en la suspensin.

La dosificacin de floculante al interiorespesador tiene la finalidad de acelreaccin de sedimentacin espesador; sin embargo, el uso del mismrepresenta un alto costo que no genal sector minero; por lo tanto, es necesario optimizar la dosificacin del floculante en base a un modelo de control ptimo, con la obtener un alto porcentaje de agua reel menor tiempo posible y un menor costo de dosificacin de floculante.

En este punto es necesario especificar las variables que afectan la dinmica del sistema a fin de optimizar la cantidad de floculante a utilizar, en la figura 2 se muestra una vista general del proceso operativo de espesamiento de relave.

La operacin de espesamiento consiste en alimentar relave al espesador midiendo densidad y flujo para calcular el flujomasa y tonelaje de relave slido, las variables de salida son la densidad de descarga en el underflow y la turbidez del agua recuperada, otras variables importantes son el torque de la rastra y el bedmass.

Modelo de la dinmica de Espesamiento

a dinmica de sedimentacin al es de vital importancia

El tiempo necesario para que la suspensin sedimente en su totalidad o en su defecto en un alto porcentaje, es un factor

del relave, un alto en el menor tiempo posible.

cantidad de agua recuperada de relave representa la cantidad de agua que podr

en procesos posteriores. El proceso de sedimentacin puede realizarse de

(sedimentacin natural); sin considerable para

y debido a ello es necesario el uso de acelerar la reaccin en la

n de floculante al interior del espesador tiene la finalidad de acelerar la reaccin de sedimentacin al interior del

el uso del mismo, representa un alto costo que no genera ganancias

por lo tanto, es necesario culante en base a

, con la finalidad de un alto porcentaje de agua recuperada en

y un menor costo de

En este punto es necesario especificar las variables que afectan la dinmica del sistema a fin de optimizar la cantidad de floculante a utilizar,

se muestra una vista general del proceso operativo de espesamiento de relave.

espesamiento consiste en alimentar relave al espesador midiendo densidad y flujo para calcular el flujomasa y tonelaje de relave slido, las variables de salida son la densidad de descarga en el underflow y la turbidez del agua recuperada, otras variables importantes son el torque de la rastra y el

Figura 2: Variables de proceso en la operacin de espesamiento de relaves.

Desarrollo de los modeloFloculante.

Las consideraciones modelo se basan en la continuidad de la operacin del espesador y son:

- El proceso de espesamiento es continuo y la estrategia de control ptima se desenvuelve a partir de condiciones operativas normales.

- Se cumple la fenomenologa del proceso y las condiciones de mezcla entre el floculante y la alimentacin son perturbaciones que no estn includas en el modelo.

- Para la densidad, eentrada-salida por lo se considera la densidad de descarga del espesador densidades.

- Para la turbidez, el modelo tambin es de entrada-salida por lo que se considera la turbidez en el punto de acopio de agua clarificada.

Los modelos a desarrollar tienemostrada en la figura 3

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: Variables de proceso en la operacin de espesamiento de relaves.

modelos Densidad-Turbidez-

Las consideraciones para la obtencin del modelo se basan en la continuidad de la operacin del espesador y son:

El proceso de espesamiento es continuo y la estrategia de control ptima se desenvuelve a partir de condiciones operativas normales.

Se cumple la fenomenologa del proceso y las condiciones de mezcla entre el floculante y la alimentacin son perturbaciones que no estn includas en el modelo.

Para la densidad, el modelo es del tipo salida por lo se considera la densidad

del espesador y no el perfil de

el modelo tambin es de salida por lo que se considera la

turbidez en el punto de acopio de agua

a desarrollar tienen la dinmica a 3 y 4

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Figura 3: Respuesta transitoria en lazo abierto de la densidad de descarga al cambio de flujo de floculante, densidad (g/l), dosificacin de floculante (l/min)

Figura 4: Respuesta transitoria en lazo abierto de la turbidez del agua clarificada al cambio de flujo de floculante, turbidez (%),dosificacin de floculante (l/min)

La dinmica descrita por cada variable en especfico representa una respuesta al escaln, donde la amplitud de inicio y la amplitud final del escaln, cuantifican la variacin de dosificacin de flujo de floculante (m3/hr) a fin de llevar los estados a un punto de referencia deseado.

Considrese el siguiente modelo de primer orden descrito por Eq. 3.

.!"#$

%&' (Eq. 3)

Calculando los parmetros K, L, T de la Eq. 3. para las variables densidad y turbidez respectivamente, se obtiene:

Modelo Densidad de descarga-Floculante:

( '.!")*$

++%&' (Eq. 4)

Modelo Turbidez-Floculante:

+.,.!"-*$

./%&' (Eq. 5)

La estrategia de control ptima se aplicar al sistema discretizado, por lo cual es necesario discretizar el sistema antes de aplicar la estrategia de control. La discretizacin del sistema se realizar por intermedio de la herramienta de programacin MATLAB.

Estrategia de control

La estrategia de control a utilizar comienza con el clculo de ganancias ptimas con la finalidad de obtener la trayectoria ptima de la seal de control a fin de minimizar la dosificacin de floculante.

R: matriz que penaliza la seal de control. X1: Densidad de relave (g/l) X2: Turbidez de agua clarificada (%) K: Ganancia de realimentacin de estado ptima Ki: Integrador.

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R([X1,X2]) [5000;90000] K Ki

X1 1.9679 -0.0283 X2 1.9832 -0.0067

R([X1,X2]) [5000;120000] K Ki

X1 1.9679 -0.0283 X2 1.9831 -0.0058

R([X1,X2]) [2000;90000] K Ki

X1 1.9753 -0.0447 X2 1.9832 -0.0067

Al obtener los valores de K y Ki se simula el sistema empleando el modelo SIMULINK de la figura 5

Resultados

Cada grupo de valores de K y Ki se simula para obtener un resultado del valor de los estados dando la referencia a uno de ellos.

Fig 5: Modelo SIMULINK para la determinacin de la respuesta del sistema con ganancias ptimas e integrador.

Con R[X1,X2] :[5000;90000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar valores no aceptables. Figura 6.

El consumo totalizado de floculante en esta simulacin es aproximadamente 44 l durante el transitorio, luego el consumo es constante.

Con R[X1,X2] :[5000;120000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar valores aceptables. Figura 7.

El consumo totalizado de floculante en esta simulacin es aproximadamente 134 l durante el transitorio, luego el consumo es constante.

Con R[X1,X2] :[2000;90000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar valores no aceptables. Figura 8.

CONCLUSIONES

La construccin del modelo de control optimal basado en el empleo de una funcin costo, permite analizar el comportamiento del sistema de espesamiento de relaves en funcin a la prioridad del proceso es decir si la prioridad fuera el control de la turbidez se penalizara mas el error entre la referencia de turbidez y su estado.

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Las conclusiones se basan en el cambio de la matriz de pesos R, se obtienen diferentes comportamientos cuando se regula las matrices Q y N, encontrando diferentes esquemas de penalizacin de la seal de control.

Fig 6: Curva de simulacin de la respuesta de X1: Densidad (grfica superior) y X2: Turbidez (Grfica inferior), considerando R[X1,X2] :[5000;90000].

Fig 7: Curva de simulacin de la respuesta de X1: Densidad (grfica superior) y X2: Turbidez (Grfica inferior), considerando R[X1,X2] :[5000;120000].

Fig 8: Curva de simulacin de la respuesta de X1: Densidad (grfica superior) y X2: Turbidez (Grfica inferior), considerando R[X1,X2] : 2000;90000].

La funcin costo permite al sistema equilibrar los objetivos dado que asigna pesos relativos a cada una de las variables del sistema.

El empleo de la estrategia de control optimal presenta una clara ventaja respecto a estrategias de control basadas en acciones derivativas e integrativas ya que no tienen la posibilidad de asignar un costo o penalidad a los errores o a la seal de control.

En el proceso de espesamiento de relaves donde no se requiere un ajuste exacto en los parmetros de proceso (densidad y turbidez) el control optimal resulta ser una alternativa con la que se puede equilibrar estas dos variables racionalizando el consumo de floculante para mantener ambas en niveles aceptables.

El consumo de floculante depende de cmo se calcule las ganancias ptimas y esto depende de los valores de las matrices de peso y de penalidades.

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REFERENCIAS

1. M. C. BUSTOS, F. PAIVA, AND W. WENDLAND, Control of continuous sedimentation as an initial and boundary value problem.

2. Brger, R., Concha, F., 1998. Mathematical model and numerical simulation of the settling of flocculated suspensions. Int. J. Multiph. Flow 24, 10051023.

3. Brger, R., Ariel Narvez, 2007. Steady-state, control, and capacity calculations for flocculated suspensions in clarifierthickeners.

4. Daniel Lovera, Amelia Coronado, Pedro Lpez, 2005. Modelling and simulation of metallurgical processes: flotation, filtration, leaching and thickening.

5. P. Garrido, R. Burgos, F. Concha, R. Burger, 2002. Software for the design and simulation of gravity thickeners. Institute of Applied Analysis and Numerical Simulation, University of Stuttgart, Pfaffenwaldring 57, D-70569 Stuttgart, Germany