Florencia Clerici Vanessa Díaz
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Florencia Clerici
Vanessa Díaz
Proyecto PMME
Física General 1 – curso 2008
Instituto de Física – Facultad de Ingeniería
Universidad de la República
Objetivo principal Problema y su representación Propósitos del problema Conceptos básicos Ecuaciones del movimiento Resolución del problema Comportamiento al variar los parámetros Interpretaciones de las gráficas
Índice:
Objetivo principal:
Observar que sucede con el movimiento del sistema al variar los parámetros.
Planteo del problema:
Un golero (Juan) patea la pelota hacia adelante y hacia arriba (desde el pasto) con velocidad inicial v0
y un ángulo α respecto a la cancha. En ese instante, un mediocampista (Pedro) que se encuentra a una distancia D delante del golero comienza a correr con velocidad v1 hacia delante.
Representación del problema:
Juan Pedro
V0
V1
Esquema del problema:
v0
y máxima
Juan
α v1
Pedro
D
Propósitos del problema:
La posición final de la pelota con respecto a Pedro.
Ver cuanto tiempo estuvo la pelota en el aire.
Hallar la altura máxima que alcanza la pelota.
Conceptos básicos:
jgta )(
Movimiento de un proyectil
Ecuación de la aceleración (constante)
velocidad en t=0 (v0)
forma un ángulo con la horizontal
Proyectil comienza su vuelo en t=0
jsenvivtv )()cos()0( 00
jvtgiv
)sin()cos((t)v 00
No hay aceleración
Componente horizontal
Velocidad es constante
Componente vertical
Aceleración constante
Velocidad cambia
jtvtg
itvtr
sin
2)cos()( 0
2
0
Origen del sistema de coordenadas
Donde el proyectil comienza su vuelo
x0=y0=0
Ecuaciones del movimiento:
de la pelota respecto a Juan:
jgta
)()(
jvtgiv
)sin()cos((t)v 00
jtvtg
itvtr
sin
2)cos()( 0
2
0
de Pedro respecto a Juan:
0)( ta
ivtv
)()( 1
iDtvtr
)()( 1
Resolución del problema
0)( ty pelota
00 tg
vt
sin2 01 donde:
La pelota llaga al piso
Posición en el eje y es
cero
Resolvemos:
jig
vtr pelota
0
sincos2)(
20
1
jig
Dgvvtr Pedro
0
sin2)( 10
1
Restando obtenemos la posición de la pelota respecto a Pedro:
Dg
vvvtr
)cos(sin2)(' 100
1
g
vt
sin2 01
La pelota estuvo en el aire hasta t=t1
0)( tvy g
vt
sin02
Altura máxima
La velocidad respecto al eje y es cero
t=t2 la pelota se
encuentra en su altura máxima
Resolvemos:
g
vty
2
sin)(
220
2
Posición de la pelota respecto al
eje y en t2
altura máxima
Variación de parámetros: Estudiamos el comportamiento del sistema para
diferentes relaciones entre las velocidades de los jugadores y diferentes ángulos α.
La pelota cae en los pies de Pedro cuando:
0)(' 1 tr
sin2cos
001 v
Dgvv Entonces:
ver imagen
Graficamos la velocidad de pedro en función de la velocidad de la pelota (cuando D=2,0 m):
0
10
20
30
40
50
60
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
velocidad de la pelota (m/s)
velo
cid
ad d
e P
edro
(m
/s)
α=30º α=45º α=60º
v0 v0
v0
D
v1
Interpretación de la grafica:
Graficamos la velocidad de Pedro en función de la distancia a la que se encuentra Pedro de Juan “D” (cuando V0=10m/s):
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
D (m)
velo
cida
d de
Ped
ro (
m/s)
α=30º α=45º α=60º
v0
D
v1
D
v1
Interpretación de la grafica:
Graficamos la velocidad de Pedro en función del ángulo de la velocidad inicial de la pelota (cuando D=2,0m):
-10
-5
0
5
10
15
10 20 30 40 50 60 70 80 90
alfa (grados)
velo
cida
d de
Ped
ro (
m/s
)
V0=5 m/s V0=10 m/s V0=15m/s
v0
v0
v0
v1
v1
v1
D
Interpretación de la grafica:
Dttvt retrasoPedrox 1)(
Pedro comienza a correr luego de que Juan patea
la pelota
ecuación de la posición de la pelota
sigue siendo la misma
ecuación de Pedro cambia
Estudiamos el problema cuando Pedro comienza a correr después de que Juan patea la pelota.
tvtxpelota cos)( 0
ver imagen
Ahora vamos a estudiar que sucede con la altura máxima de la pelota cuando variamos la velocidad inicial y el ángulo que esta forma con la horizontal.
Variación de parámetros:
g
senvty
2)(
220
2
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
velocidad de la pelota (m/s)
altu
ra m
áxi
ma
(m
)
α=30º α=45º α=60º α=90º
Graficamos la altura máxima de la pelota en función de la velocidad inicial (v0)
0
2
4
6
8
10
12
14
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
alfa (grados)
altura
máxim
a (
m)
V0=5,0m/s V0=10m/s V0=15m/s
Graficamos la altura máxima de la pelota en función del ángulo de la velocidad inicial (α)
y máxima
y máxima
y máxima
v0
v0
v0
Interpretación de las graficas:
v0
D
v1
volver
y máxima
v0
volver