FLUJO UNIFORME

1. MOVIMIENTO UNIFORME EN CANALES Y TUBERÍAS

1.1 MOVIMIENTO UNIFORME EN CANALES

El movimiento permanente uniforme es aquel en el que la velocidad del agua es misma en todos los puntos de una sección transversal a lo largo del tiempo pero también en el espacio, es decir, en todas las secciones transversales por las que las que el agua circula.Realmente la velocidad del agua no es la misma en todos los puntos de una misma sección, sino que esta es menor en las paredes del canal y aumenta a medida que nos alejamos de las paredes, pero en la mayoría de los casos el número de Reynolds es muy elevado y por tanto nos encontramos dentro del régimen turbulento (Re > 2.300), pudiéndose aplicar en estos casos la hipótesis de igualdad de velocidad en todos los puntos de una sección transversal. En este movimiento del agua en canales se verifica la ecuación de la continuidad en la que el caudal que pasa por un punto es igual al producto de la sección mojada multiplicada por la velocidad del agua:

Q = constante = S * VS = sección mojadaV = velocidad media del agua

Como nos encontramos en el régimen permanente y uniforme la velocidad es constante a lo largo del tiempo y espacio, por lo que para que se cumpla la ecuación de la continuidad en la que el caudal es constante en el espacio y en el tiempo, la sección mojada también será constante en el espacio y en el tiempo.

Si planteamos la ecuación de Bernouilli al dibujo nos encontramos que: H = z + (P/γ) + (V2/2g) + ∆H

Como el agua se encuentra en contacto con el agua, es decir, en lámina libre la presión atmosférica es cero y por tanto la ecuación se transforma en:

H = z + (V2/2g) + ∆H

En el caso que nos ocupa el canal que se representa tiene una pendiente uniforme y la sección mojada es constante, por tanto tenemos que la línea de energía y la superficie libre del agua son paralelas entre ellas y ambas con la solera del canal, siendo:

H = carga hidráulica originalz = cota geométrica del agua en superficie = y + z’z’ = cota geométrica de la solera del canaly = calado del agua = altura distancia entre la solera del canal y la lámina libre del aguah = línea de energía = y + (V2/2g)∆H = suma de todas las pérdidas de carga entre el punto de inicio y el punto final considerados

Del gráfico se obtiene que las pérdidas de carga en este tipo de canales dependen de la pendiente del mismo y por tanto que:

∆H = i * Li = pendiente del canalL = distancia horizontal entre el punto de inicio y el punto final

De la ecuación de la energía:

h = y + (V2/2g) ó la equivalente h = y + (Q2/2gS2)

Se desprende que sólo dos de las tres variables que hay h, y , Q (ó v) son independientes y que para estudiar el funcionamiento de los canales tenemos una superficie en un espacio de coordenadas h, y, Q (ó v). No obstante el estudio de la ecuación se hará, ó considerando h constante, ó Q constante.

1.2 MOVIMIENTO UNIFORME EN TUBERÍAS

El movimiento permanente uniforme del agua en tuberías se encuentra relacionado con el Número de Reynolds, la Rugosidad, el Radio Hidráulico, la Pérdida de Carga Unitaria y la Presión., por lo que se pretende conseguir es una ecuación que relacione entre sí los distintosfactores que definen el movimiento. En la siguiente figura se representa un perfil hidráulico de una tubería en movimiento uniforme, en la que se ha separado un tramo de longitud L, limitado por las secciones A y B, cuyas presiones son p1 y p2, respectivamente.

El sumando de Bernouilli: v2 / (2 * g), se mantiene constante por ser la velocidad media v constante, según la ecuación de la continuidad, ya que el caudal es constante y la seccióntambién. Pueden verse las líneas piezométricas y de energía y el ángulo α que forma esta última con la horizontal. La altura HB sería la pérdida de carga total habida entre A y B, entre los que la verdadera longitud es L (no la longitud horizontal). De acuerdo con la definición de pérdida de carga unitaria J:

J = HB / L

Que no es ni el seno ni la tangente de la línea de energía ni de la inclinación de la tubería con respecto a la horizontal: es simplemente J, pérdida de carga unitaria. Es la relación entre la energía por unidad de peso disponible y por tanto aprovechada como motriz y mecánicamentepérdida en rozamientos, y la longitud real del conducto, a lo largo de la cual se perdido la energía. J tampoco es pérdida de presión dividida por longitud. J es, insistiendo en ello, la pérdida de carga o de energía unitaria, o sea, la pérdida de carga o energía en metros, por cada metro de longitud real de tubería. J es un número abstracto: un coeficiente sin dimensión que es independiente de la posición (pendiente y cotas) y de la presión interior del agua sobre la tubería.En el régimen uniforme, la línea de energía se mantiene paralela a la línea piezométrica: está desplazada sobre ésta, en el valor : v2 / (2 * g).Las pérdidas de energía, pues, sólo en este régimen, son iguales a las pérdidas de presión o diferencia de niveles piezométricos. Esta es la causa por la que algunos confunden la pérdida de carga con la disminución de presión. Una vez más se dirá que las pérdidas de carga se refieren a alturas bajadas por la línea de energía, que siempre baja, la línea piezométrica, en cambio puede subir. La energía que impulsa al agua, no es el propio desnivel de la tubería, producido por su inclinación o pendiente, pues la conducción puede bajar para volver a subir después, y lo único que ha sucedido

mientras tanto es que la presión y la altura geométrica han variado, compensándose entre sí. En base a un proceso semejante al empleado en canales, se llegaría a deducir una ecuación análoga para calcular la velocidad media en una tubería en régimen permanente uniforme, pero la que tendría que haberse mantenido la variable J, sin haberla sustituido como en canalespor la pendiente i, pues, en tuberías, ya se sabe que i es diferente de J, y además, la pendiente constructiva no tiene ninguna significación hidráulica directa. No obstante, sobre la ecuación que se tiene de la velocidad pueden hacerse operaciones algebraicas para que resulte más cómodo el cálculo particular en tuberías circulares.Se sabe que la ecuación general de CHEZY es:

v = C * Rha * J b

que se transforma en la expresión de BAZIN sustituyendo a y b por 1/2.:v = C * (Rh * J)1/2Q = S * C * (Rh * J)1/2Elevando al cuadrado la segunda expresión:Q2 = S2 * C2 * Rh * JEn secciones circulares de diámetro D la sección y el radio hidráulico son:S = π * D2 / 4Rh = D / 4Sustituyendo los valores de la sección y el radio hidráulico en la ecuacióndel caudal al cuadrado se tiene:Q2 = (π2 * C2 / 64) * D5 * JDespejando J:J = (64 / π2 * C2) * (Q2 / D5)Llamando λ al coeficiente:64 / π2 * C2

se obtiene definitivamente:J = λ * (Q2 / D5)que es la ecuación fundamental del movimiento turbulento uniforme en tuberías, que liga las variables que aparecen en este movimiento y en la cual, como se sabe:J = pérdida de carga unitariaλ = coeficiente de rugosidad que depende del tipo y calidad del materialcon que está fabricado el tuboQ = caudal de circulación en m3/sD = diámetro en metrosNo obstante como se verá más adelante los exponentes del caudal y la velocidad varían ligeramente según los autores que realizan la ecuación experimental.

2. RELACIÓN ENTRE EL CORTE Y LA INCLINACIÓN

2.1 PARA UN CANAL MUY ANCHO

A continuación se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento uniforme.

ESFUERZO DE CORTE EN UN CANAL MUY ANCHO

Donde:F es la componente del peso, de la parte achurada, en la dirección del escurrimiento.h es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de la porción achurada, cuya longitud es . Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medido perpendicularmente al plano del dibujo). Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es: y su peso es:

El producto de la densidad por la aceleración de la gravedad es igual al peso específico .La componente del peso en la dirección del escurrimiento es:Como el ángulo formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño se considera que el seno del ángulo será igual a “S”, entonces:

En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática. Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la dirección del escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo unitario de corte por el área en que actúa.

De donde, la relación entre el corte y la inclinación es:

El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h=0

Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulicoSe llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).

2.2 PARA UN CANAL DE CUALQUIER SECCIÓN TRANSVERSAL

El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la práctica los canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas se esquematizan en la que se muestra a continuación. Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia la dirección del escurrimiento es:

Donde encontramos la densidad del fluido, la aceleración de la gravedad, la sección transversal (A) y la pendiente (S)

ESFUERZO DE CORTE EN UN CANAL DE CUALQUIER SECCIÓN TRANSVERSAL

Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobre el fondo no es constante), que tiene por expresión:

P es el perímetro mojado, to es el esfuerzo de corte sobre el fondo

Igualando la componente del peso y el corte total se obtieneo bien

Observamos que la ecuación para un canal muy ancho y la ecuación para un canal de cualquier sección transversal son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio de corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.

2.3 PARA UNA TUBERÍA DE SECCIÓN CIRCULAR

En la figura se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular de diámetro D

ESFUERZO DE CORTE EN UNA TUBERÍA

La fuerza debida al corte es

Expresión en la que th es el esfuerzo de corte a la distancia h del contorno (en este caso, de la pared de la tubería). La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es:

operando:

pero:

luego:

teniendo en cuenta que :

se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso

que debe ser igual a la fuerza de corte

de donde, la relación entre el corte y la inclinación es

El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h=0

pero la expresión D/4, representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego

Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideraciones análogas

En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es

Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento. Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte. La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en la superficie. En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro en la que es el radio de la tubería.

DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO DE CORTE EN UN CANAL (a) Y EN UNA TUBERÍA (b)

La ecuación de distribución de corte es

3. ECUACIONES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES Y DE LA VELOCIDAD MEDIA DE UN CANAL MUY ANCHO CON MOVIMIENTO LAMINAR

En un canal como el presentado en la figura siguiente se tiene que a una distancia h del contorno existe un valor de la velocidad ( Vh ) y un valor del corte (th), la relación entre Vh y Th depende de que el flujo sea laminar o turbulento.Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conocida y corresponde a la definición de viscosidad:

Combinando esta ecuación con la ecuación de corte e inclinación:

dividiendo entre la densidad:

separando variables:

integrando, resulta:

Expresión en la que Vh es la velocidad a la distancia h del fondo, S es la pendiente de la línea de energía, v es la viscosidad cinemática, y es el tirante, K es una constante de integración.El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es nula en el contorno (h=0 , Vh=0 , K=0), entonces:

que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar. Es una curva parabólica.

DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN UN CANAL CON MOVIMIENTO LAINAR

La velocidad máxima corresponde a la superficie h=y

La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de la ecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución es parabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedades geométricas de la parábola.

Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. q es el gasto específico (por unidad de ancho). Pero también se tiene que:

Luego:

Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y que evidentemente equivale a:

Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia de la pendiente. 

Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración:

4. ECUACIONES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES Y DE LA VELOCIDAD MEDIA PARA UNA TUBERÍA CON MOVIMIENTO LAMINAR

Combinando las ecuaciones siguientes yse obtiene:

de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a:

El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno h=0, Vh=0, K=0, luego:

que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar. La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a h = D/4

En este caso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es la mitad del cilindro circunscrito. Luego:

En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidad máxima; es decir:

que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en función del radio hidráulico, tenemos:

expresión que es muy parecida a la que fue establecida para un canal. Podríamos concluir que cualquier otra sección transversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tubería circular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.

La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación

entonces,

de donde:

y

obteniéndose el valor de la ecuación última. Luego mediante sencillas transformaciones se obtiene que la diferencia de cotas piezométricas separadas por la longitud L a lo largo de la tubería es:

5. ECUACIONES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES PARA EL MOVIMIENTO TURBULENTO EN UN CONTORNO HIDRÁULICAMENTE LISO

El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse, en Delft. La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lo hemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas. Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrir además a información experimental. Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculan en base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entre los que los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse. Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamente una relación entre el corte y la velocidad. Partiendo de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presente en el flujo turbulento y que es:

Donde u ' y V' son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), se considera también la densidad.Prandtl introduce una longitud característica L , a la que llama longitud de mezcla. Esta longitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla es análogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases. Prandtl consideró que:

Luego:

5.1 PARA UN CANAL MUY ANCHO

Debemos establecer para este caso una relación entre L y la profundidad. La condición es que la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Esto puede expresarse por medio de:

K es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos en suspensión). Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación:

obtenemos:

sustituyendo ahora el valor de Th según la ecuación:

simplificando:

separando variables:

Hemos llegado a esta ecuación a partir de una definición de la longitud de mezcla.

La expresión √ gyS que igual a √ ¿p

recibe el nombre de corte

Finalmente tendremos:Siendo ésta ecuación admisible cómo válida solo hasta cierta distancia muy próxima al fondo, sin llegar a él.Consideremos entonces que la constante de integración, cuyo valor estamos tratando de hallar, tiene la forma:

ho representa la distancia del fondo a la cual, la velocidad es cero y reemplazando el valor propuesto para la constante de integración se obtiene:

La imposibilidad de llevar hasta el contorno nos hace pensar que algo ocurre cerca de las paredes. Se supuso y esta es la esencia de la teoría de Prandtl, que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa en la que el flujo es laminar. Es decir, que la distribución de velocidades en esta subcapa es diferente a la que estamos aceptando para el resto de la sección.

En la relación de parámetros adimensionales para el cálculo de la distribución de velocidades se obtiene:

Que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso.

5.2 PARA UNA TUBERÍA

En este caso la longitud de mezcla tiene por expresión:La ecuación:

es, pues, de carácter general para un conducto, canal o tubería, cuyas paredes sean hidráulicamente lisas, demostrándose así que la distribución de velocidades en el flujo turbulento es logarítmica.La ecuación: corresponde a una relación entre dos parámetros adimensionales.

entonces:

6. OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA VELOCIDAD MEDIA EN CONDUCTOS LISOS

En general los contornos pueden ser lisos o rugosos. El contorno hidráulicamente liso es aquel que permite el desarrollo de una subcapa laminar.

6.1 PARA UN CANAL MUY ANCHO

Por integración de la ecuación 2-30 obtenemos el gasto específico para un canal muy ancho. Luego, dividiendo el gasto entre el área obtendremos la velocidad media.

Los límites de la integral los fijamos de acuerdo a la extensión de la validez de la ecuación de Vh. Es decir, para el flujo turbulento despreciamos la pequeñísima porción que corresponde al flujo laminar.

Reemplazando los límites:Se obtiene:

Consideramos ahora que:

que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho con fondo hidráulicamente liso y que evidentemente equivale a:

6.2 PARA UNA TUBERÍA

El gasto es:

el gasto total se obtiene por integración a partir del flujo a través de un pequeño anillo de espesor dh cuya distancia al contorno es h. El perímetro es:

Flujo a través de un anillo

Como límites de la integral fijamos h=s (despreciando así el flujo a través de la subcapa laminar) y h= D/2 (eje de tubería).

la primera integral ya ha sido evaluada, luego

desarrollando y simplificando convenientemente obtenemos

Sustituyendo D=4R

7. ECUACIÓN GENERAL DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES PARA EL MOVIMIENTO TURBULENTO EN UN CONTORNO HIDRÁULICAMENTE RUGOSO

En un contorno hidráulicamente rugoso las asperezas del fondo, o sea las protuberancias de su superficie, son tan grandes que no permiten el desarrollo de una subcapa laminar.Vamos a partir de la ecuación:

cuya validez es genérica e independiente de la naturaleza del fondo (liso o rugoso).Exagerando el tamaño de las asperezas del fondo tendríamos

DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN UN CONTORNO RUGOSO

Se observa en la figura que no es posible que se desarrolle la subcapa laminar.El estudio experimental del comportamiento de las tuberías rugosas fue hecho por Nikuradse, quien utilizó en realidad rugosidad artificial y homogénea. Trabajó con tuberías en cuya superficie interior colocó una capa de arena de diámetro uniforme K. Repitiendo las experiencias para diversos diámetros y valores de K llegó a la conclusión que la ecuación de la cual se parte puede extenderse hasta

Siendo K el tamaño absoluto promedio de las irregularidades (asperezas) del fondo y que tiene un valor particular para cada material. A veces se usa la mitad de este valor como representativo, entonces:

Reemplazando el valor de ho en la ecuación genérica de distribución de velocidades, se tiene:

que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso (tubería o canal).

VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA k

Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por su propia naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos. En las tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto el acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menores a los presentados en la tabla. La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande.

8. OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA VELOCIDAD MEDIA EN CONDUCTOS RUGOSOS8.1 PARA UN CANAL MUY ANCHO

Obtenemos el gasto específico por integración:

considerando como distribución de velocidad la ecuación 2-36 y reemplazando se obtiene:

que equivale a:

que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondo hidráulicamente rugoso.

8.2 PARA UNA TUBERÍA

Se procede como en los casos anteriores:

reemplazando el valor de Vh, según la ecuación:

entonces:

integrando y simplificando se obtiene:

que es la ecuación de la velocidad media en una tubería de fondo hidráulicamente rugoso.

9. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CHEZY

De las ecuaciones de conductos lisos:

Promediando ambas ecuaciones se obtiene:

ésta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia).De las ecuaciones de conductos rugosos

promediando ambas ecuaciones se obtiene:

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso (canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. En el segundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las características del escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar. En cambio en el primer caso, conductos lisos, si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de su espesor. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición. Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos, combinando las ecuaciones promedio obtenidas. Obsérvese que no se trata de una operación algebraica, sino de una adaptación:

10. NOMOGRMA PARA OBTENER EL COEFICIENTE “C” DE CHEZY

Si el valor k de la rugosidad no tiene significación, entonces la fórmula:

Se convierte en la de los conductos lisos; caso contrario a ecuaciones de conductos rugosos

que es la ecuación de Chezy, en la que:

C es el coeficiente de Chezy. Para facilitar el cálculo se verifica en monograma anterior.

11. CONCEPTO DE RUGOSIDAD, CONDUCTOS HIDRÁULICAMENTE LISOS E HIDRÁULICAMENTE RUGOSOS

Cada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que esta hecho y de su estado de conservación. Así por ejemplo, una tubería de concreto es más rugosa que una de acero. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto.Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal, veríamos algo así como lo mostrado en la figura siguiente:

ASPEREZA DEL CONTORNO

Las asperezas tienen diferente forma y tamaño. Dan lugar a la aparición de pequeñas corrientes secundarias (vorticosas). Estas asperezas producen una modificación en las condiciones del escurrimiento. Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad, Nikuradse hizo experiencias en tuberías con rugosidad artificial. Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetro uniforme.

RUGOSIDAD ARTIFICIAL DE NIKURADSE

Se designa por k el diámetro y por a el radio de los granos.Al valor de k (o al de a) se le llama rugosidad absoluta. La influencia de la rugosidad en el escurrimiento depende del tamaño del conducto, es decir del radio de la tubería, tirante o cualquier otra medida característica.Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes:

o sus inversas.Determinar cuál es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil. Existen tablas, gráficos y descripciones, pero en última instancia el factor principal es la experiencia del ingeniero diseñador. De otro lado, debe tenerse en cuenta, como lo

estudiaremos luego en detalle, que la rugosidad cambia con el tiempo. Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguiente rango de rugosidades relativas:

Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grande la influencia de la rugosidad en el escurrimiento. Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad, viscosidad, etc.) y del tamaño, forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que se desarrolle o no, una subcapa laminar. La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de las paredes. Dicho en otras palabras, la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativo de k y s.Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes son hidráulicamente lisas; caso contrario son hidráulicamente rugosas. El valor de la rugosidad absoluta se determina por medio de la tabla citada anteriormente en la que aparece para cada material el valor de la rugosidad absoluta. Debe entenderse que por la propia naturaleza de la rugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculos estos valores no pueden ser rigurosamente exactos. Se dice que un conducto es hidráulicamente liso cuando

Lo que equivale aproximadamente a:Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso cuando:

lo que equivale aproximadamente a:Para valores intermedios:

Se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso y se aplica ésta última ecuación.

12. TRANSFORMACIONES DE LAS ECUACIONES DE KARMAN-PRANDTL

La ecuación que da la distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso puede transformarse de la manera siguiente:

combinando con:

obtenemos:

luego:

de donde:

Reemplazo similar puede hacerse para la ecuación:

que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondo hidráulicamente liso:

restamos las últimas ecuaciones halladas, obtenemos:

La ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso se transforma en:

Y la que corresponde a la velocidad media se transforma en

restando éstas últimas ecuaciones, tenemos:

luego, aceptamos que en un canal sea liso o rugoso se cumple:

Para las tuberías se realiza un desarrollo similar.La ecuación:

se reemplaza, mediante sencillas transformaciones, por su equivalente:Si restamos esta ecuación:

se obtiene:

si la tubería fuera rugosa, se transformaría la ecuación:

en:

Que restada la ecuación:

nos quedaría:

Podemos aceptar que en una tubería el exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad media referida a la velocidad de corte será: