FLUJO COMPRESIBLE

La condición de incompresibilidad permite dos simplificaciones importantes:

La densidad se puede tratar como constante en las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía.

El acoplamiento entre las formas de energía mecánica y térmica es débil, lo que permite el uso de una forma especial de la ecuación de energía.

Todos los fluidos, incluso los líquidos, son compresibles. Si los cambios de presión provocan cambios significativos en la densidad, se tiene que abandonar la suposición de flujo incompresible. Es más probable que esto ocurra en un gas que en un líquido.La compresibilidad de un fluido afecta tanto a los flujos internos como externos. Los flujos se pueden considerar como flujo compresible cuando su número de mach es superior a 0,3. Cuando las variaciones de densidad son significativas, la ecuación de estado nos dice que también lo son las de presión y temperatura. Grandes cambios de temperatura implica que la ecuación de la energía no puede obviarse, complicando el problema al pasar de dos ecuaciones a cuatro:

1. Ecuación de continuidad.2. Ecuación de cantidad de movimiento.3. Ecuación de la energía.4. Ecuación de estado.

Propiedades de estancamiento.-

Las propiedades de estancamiento son las propiedades que obtendría el fluido si se llevara a una condición de velocidad cero y elevación cero, en un proceso reversible sin transferencia de calor ni trabajo.

H h0 0

gz

1

S

Ondas de presión y velocidad sónica.Una pequeña onda de presión moviéndose a través de un fluido se propaga debido a las propiedades elásticas del fluido. La propagación del sonido a través de un fluido se realiza por el movimiento de pequeñas ondas de presión en el seno del fluido. Por lo cual la velocidad del sonido es la misma que corresponde alas pequeñas fluctuaciones de presión y depende de las propiedades elásticas del fluido. La velocidad del sonido depende del estado termodinámico del fluido.Consideremos un elemento de fluido con una presión de impulso, moviéndose a través de un fluido con una velocidad c, como muestra la figura.

La presión a la a la izquierda del frente de onda es dP mayor que la presión la derecha, el fluido de la izquierda debe moverse hacia el frente de onda con una velocidad dV para que el frente de onda se mueve dentro del fluido estacionario a una velocidad c. Consideremos un volumen de control que encierre el frente de onda, con un sistema de coordenadas que se mueva con el volumen de control, entonces respecto a este sistema de coordenadas el fluido de la derecha del frente de onda se mueve hacia la izquierda a una velocidad c y el de la izquierda con una velocidad c- dV.Si consideramos que no existe cambio de altura, no hay fricción ni cualquier obstrucción del flujo, por lo que es apropiado suponer flujo isentrópico, para el flujo estable para el volumen de control considerado se tiene:

Ecuación de cantidad de movimiento

(1)

Ecuación de continuidad.(2)

Entonces:

(3)

Como

Despreciando los términos de segundo orden.

(4)

Sustituyendo 4 en 3

(5)

Entonces c, la velocidad acústica es

(6)

En un proceso isentrópico para un gas perfecto:

(7)

(8)

Entonces

(9)

Luego la velocidad del sonido en un gas perfecto es:

(10)

Las propiedades del flujo de un fluido compresible dependen de la razón de la velocidad de la corriente del fluido a la velocidad del sonido.

Numero de Mach

Ecuaciones del flujo estable unidimensional, para un gas perfecto, en términos del número de Mach.

Ecuación de continuidad.

(11)

(12)

(13)

Ecuación de la energía.

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Ecuación de cantidad de movimiento despreciando las fuerzas de gravedad.

(19)

Dividiendo por p

(20)

El término

(21)

Sustituyendo 21 en 20

(22)

Propiedades de estancamiento en función del número de mach. Omitiendo la gravedad.

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Como el proceso entre el estado estático y de estancamiento es isentrópico.

(28)

(29)

2.-Flujo adiabático

Propiedades de los fluidos en el flujo adiabático.

Ecuación de la energía para flujo adiabático sin producción de trabajo.

(2.1)

Para un gas perfecto

(2.2)

(2.3)

(2.4)

También

(2.5)

(2.6)

Sustituyendo 2.4 en 2.6

(2.7)

Para un proceso adiabático T0 constante, la variación de la presión de estancamiento es negativa o cero para el caso de s=0.

(2.8)

Como

(2.9)

(2.10)

La variación de entropía para un proceso adiabático debe ser mayor igual a cero, por lo cual la presión de estancamiento debe decrecer.

También para un gas ideal.

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Dividiendo 2.14 por 2.13

(2.15)

(2.16)

De la ecuación de continuidad:

(2.17)Reemplazando en 2.17 las ecuaciones 2.12 y 2.16

(2.18)

La función impulso.

(2.19)

(2.20)

Utilizando 2.18 y 2.7

(2.21)

Para dos procesos adiabáticos con los mismos límites de número de mach se tiene de:

a) Ecuación 2.4: La variación de temperatura es la misma para cualquier aumento de entropía.

b) Ecuación 2.7: La presión final es menor (expansión y compresión) para el proceso que presente un mayor aumento de entropía.

c) Ecuación 2.10: La presión de estancamiento tiene una mayor disminución en el proceso que presenta un mayor aumento de entropía.

d) Ecuación 2.12: La densidad final es menor (expansión y compresión), en el proceso con mayor aumento de entropía.

e) Ecuación 2.16: La variación de velocidad es independiente del aumento de entropía.

f) Ecuación 2.18: El área debe ser siempre mayor (flujo subsónico o supersónico), para permitir el mismo flujo másico para el caso que presente el mayor aumento de entropía.

g) Ecuación 2.21: El cambio en la función impulso es independiente del aumento de entropía.

Efecto de la variación de área.-

Consideremos un flujo isentrópico a través de una sección recta variable. La ecuación de Bernoulli con dZ=0 es:

(2.22)

De la ecuación de continuidad:

(2.23)

En tal caso

(2.24)

De 2.24 se ve que para pequeños cambios en la densidad, la presión aumenta con el aumento de área, situación esperada en flujos incompresibles. También se debe notar que la presión es función de la velocidad al cuadrado. Cuando la velocidad alcanza valores grandes, los cambios de presión para un área dada son tan grande que no se puede considerar que el cambio de densidad para un fluido compresible es pequeño.

La velocidad del sonido es:

(2.25)

(2.26)

Sustituyendo 2.26 en 2.24

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

Como

(2.32)

Figura 2.3

Para flujo subsónico ( ) La presión aumenta al aumentar el área La densidad aumenta al aumentar el área. La velocidad disminuye al aumentar el área.

Para flujo supersónico La presión disminuye al aumentar el área. La densidad disminuye al aumentar el área La velocidad aumenta al aumentar el área.

Para M=1 las tres ecuaciones muestran que: =0, por lo cual el área debe

ser máxima o mínima, la fig 2.3 muestra que M=1 cuando el área es mínima.

Combinando las ecuaciones 2.31 y 2.32

(2.33)

Por lo tanto, para velocidades cercanas a las sónicas, el cambio en densidad y el cambio en velocidad se compensan.

Estados de referencias.-

Con frecuencia es conveniente expresar el valor de una propiedad en términos de la correspondiente propiedad de estancamiento.

,

Tabla de flujo isentrópico.-Integrando las ecuaciones para flujo adiabático , haciendo ds=0, entre los límites M y M=0 , correspondientes a las propiedades estáticas y de estancamiento respectivamente. Se tiene:

2.34

2.35

2.36

Efecto del cambio de área

ToberasP disminuyeV aumenta

DifusoresP aumentaV disminuye

A menudo es más conveniente expresar las propiedades en función de la propiedad correspondiente al estado en el cual M=1.

, , etc.

2.37

2.38

2.39

2.40

2.41

Para cualquier cambio de entropía, el valor de varía

2.42

También

2.43

2.44

Definiendo

2.45

2.46

2.47

Flujo de masa y estrangulamiento en el flujo isentrópicoEl área no puede ser variada, sin que exista la posibilidad de cambios en las condiciones corriente arriba, o cambios en el flujo de masa o ambos.De la ecuación de continuidad:

2.48

2.49

función del flujo isentrópico, es función únicamente del número de Mach.

Para flujo másico máximo en flujo isentrópico:

Para un flujo isentrópico entre las secciones 1 y 2

2.50

2.51

Cuando una solución es posible, hay dos valores de M2 para la ecuación 2.51, uno subsónico y uno supersónico.

Empuje en el flujo isentrópico.-En un flujo isentrópico, como en cualquier caso de flujo, el empuje desarrollado por el fluido puede ser calculado por el empleo de la función impulso.

Aplicando condiciones isentrópicas a un patrón de flujo se puede determinar el empuje ideal que resultaría al expandir el fluido a una presión más baja a partir de la ecuación:

2.52

2.53

Perdidas en el flujo adiabático.Un flujo adiabático que no produce trabajo, con fricción o arrastre, tiene siempre un incremento de entropía.

2.54

Con un incremento de entropía:

La relación de presiones debe ser menor que la relación ideal.

La relación de densidades debe ser menor que la relación ideal. La relación de áreas debe ser mayor que la relación ideal.

Todas estas propiedades son función también del número de mach, por lo cual la presión de estancamiento da una mejor indicación del incremento de entropía y de las pérdidas del flujo.

2.55

es una medida conveniente de las pérdidas. Debe tener alguna relación con las

eficiencias del flujo.Generalmente se define la eficiencia adiabática de una tobera como:Aumento real de energía cinética del fluidoIncremento ideal para la misma Para una tobera adiabática esto debe ser equivalente a

2.56

Si la velocidad de ingreso es despreciable

2.57

En forma similar, la eficiencia de un difusor se define como:Aumento real de la presión estática.Perdida de presión dinámica

2.58

Puesto que (proceso adiabático con la misma Ecinética).

Como

2.59

Como para la mayoría de los difusores.

2.60

Una definición aceptable de la eficiencia de los difusores es:

2.61

Coeficiente de velocidad de una tobera.

2.62

Coeficiente de descarga

2.63

Flujo adiabático en ducto de sección constante.Para flujo adiabático, de área constante y que no efectúa trabajo, se tiene para flujo estable.

3.1

Como A=cte, por continuidad.

3.2

Luego 3.3

Reemplazando 3.1

3.4

La ecuación 3.4 representa el flujo adiabático de A=cte, tal descripción forma una familia de curvas, llamadas líneas de fanno. Integrando 3.4

3.5

Esta ecuación entrega las variaciones de las líneas de fanno sobre un diagrama

h

h0

aumenta

1/ 1/

Para ver la variación de estado a lo largo de una línea de fanno, se emplea.

3.6

Reemplazando 3.4 en 3.6

3.7

Para el punto sobre la línea de fanno donde s es máximo ds=0

0 3.8

Luego para un punto de máxima entropía sobre una línea de fanno

3.9

Para visualizar las variaciones en las propiedades del fluido a lo largo de una línea de fanno sobre un diagrama h-s o T-s, si el fluido es una sustancia pura, con la ecuación de estado conocida, es posible eliminar dos de las cuatro variables (p,,T,s) d3e la ecuación 3.7 y obtener una ecuación con solo las dos variables deseadas.

M<1

h,T

ds=0 V=c

M>1

S

De 3.9 para entropía máxima M=1 .Para un flujo adiabático la segunda ley de la termodinámica requiere que la entropía vaya en aumento. Esto significa que para un flujo subsónico o supersónico, el estado se aproxima a la condición de velocidad sónica.Cómo la entropía nunca puede disminuir, para las condiciones adiabáticas en un A=cte, un flujo subsónico nunca puede llegar a supersónico y, en ausencia de alguna discontinuidad, un flujo supersónico nunca puede llegar a ser subsónico.

Relaciones de fanno para los gases perfectos.

3.10

Para un flujo adiabático dT0=0

3.11

3.12

Por continuidad y

3.13

La variación de p a lo largo de una línea de fanno.

3.14

3.15

3.16

Para el cambio de entropía

3.17

De la ecuación de estado.

3.18

Similarmente

3.19

3.20

La fricción puede originar un aumento de la entropía en el caso de flujo adiabático a través de un ducto de A=cte, las perdidas internas por arrastre pueden tener un efecto similar.La ecuación de cantidad de movimiento en términos de M.

3.21

Las propiedades del fluido efectúan variaciones debido a los efectos de fricción y

arrastre . Para calcularlos se hace uno de ellos igual a cero y se determinan las variaciones correspondientes en las propiedades del fluido.Por ejemplo, si todo el aumento de entropía se debe a la fricción como es el caso de fluido que se mueve a alta velocidad en un ducto recto, entonces .

3.22

3.23

Sustituyendo dp/p y dT/T

3.24

3.25

Combinando 3.24 y 3.25

3.26

Integrando

3.27

Luego para un M1 dado, hay una longitud máxima que permitirá la existencia de tal flujo, ya que ningún incremento de entropía (o longitud adicional) es posible más allá de la requerida para M=1.

3.28

Similarmente para el incremento de entropía debido a perdidas internas por arrastre, en este caso f=0 y 3.21 queda

3.29

De la ecuación 3.13

3.30

Combinando 3.30 y 3.29

3.31

3.32

Esto indica que la perdida por arrastre es evaluado en términos de los parámetros de flujo corriente arriba a partir de la interrupción del flujo.

Integrando.

3.33

3.34

Reemplazando p/p1 de 3.16

3.35

3.36

Si M=M1

Si M=Cte en un flujo adiabático a través de un área constante con f=0, CD debe ser cero.

Si o , M debe aumentar en el flujo subsónico y disminuir en el

supersónico. Este hecho y relacionándolo con las ecuaciones 3.11, 3.15, 3.18 establecen la siguiente tabla.

Propiedad Ecuación Flujo subsónico Flujo SupersónicoTemperatura 3.11 Disminuye AumentaPresión 3.15 Disminuye Aumenta Densidad 3.18 Disminuye AumentaVelocidad 3.18 Aumenta Disminuye

Estados de Referencia.El estado de referencia más útil es el estado a lo largo de la línea de fanno donde M=1De la ecuación 3.12

3.38

Similarmente

3.39

3.40

3.41

3.42

3.43

Choque normalDadas ciertas condiciones fijas a la frontera sobre un fluido, no siempre es posible que las propiedades varíen en forma uniforme y continua. Por ejemplo en un flujo supersónico en un ducto en el cual la presión de descarga es demasiado alta para permitir que el flujo siga siendo supersónico, experimentará una discontinuidad que es llamada onda de choque. El fluido experimenta un cambio en todas las propiedades físicas a través de la onda de choque y particularmente la discontinuidad en la presión hace posible que el fluido tenga la presión de descarga apropiada. Dichas variaciones no son isentrópica, aunque en flujos que de otra forma podrían serlo.

Ecuaciones fundamentales para el choque normal.Consideremos un volumen de control, especificado para incluir el choque normal y una pequeña cantidad de fluido antes y después de la discontinuidad.

Mx My x y

px py

Vx Vy

Discontinuidad El choque normal es esencialmente adiabático y no se efectúa ningún trabajo, la ecuación de la energía en el volumen de control da:

4.1

La ecuación de continuidad, por ser el área de flujo la misma en ambos lados de la discontinuidad, es:

4.2

La ecuación de cantidad de movimiento es:

4.3

Dividiendo 4.3 porV e integrando (conV=cte).

4.4

4.1, 4.2 y 4.3 están expresadas en función de cuatro variables (p,,V y T), por lo que se requiere de otra relación para expresar las propiedades del fluido de un lado del choque en términos de la del otro lado. Una relación conveniente es la ecuación de estado del fluido.

Ecuaciones de choque normal para un gas ideal.

De 4.1 con y

4.5

4.6

4.7

Multiplicando 4.4 por kg0

4.8

Combinando 4.7 y 4.8

4.9

Como

4.10

4.10 se conoce como la relación de Prandtl (o de Meyer).Como c* es la velocidad sónica en un estado en el cual el fluido se mueve a la velocidad sónica, es evidente que si Vx es mayor que c* , entonces Vy debe ser menor que c* . La solución Vx=Vy=c* es válida matemáticamente, pero es trivial, ya que en este caso no existe discontinuidad.

4.11

es mayor o menor que 1 solo si Mx es mayor o menor que 1.Relación similar se cumple con y My.

Luego los cambios a través de un choque normal deben ser de subsónico a supersónico o de supersónico a subsónico, se verá mas adelante que solo es posible el caso de supersónico a subsónico.De la ecuación 4.10 con y

4.12

4.13

4.14

Tablas para el choque normalPara los gases perfectos, la ecuación de energía aplicada a las condiciones de un choque normal, da:

4.15

Reemplazando 4.14

4.16

La ecuación de cantidad de movimiento aplicada a las condiciones de estado estable de un choque normal da:

4.17

4.18

De la ecuación de estado

4.19

De la ecuación de continuidad.

4.20

Para obtener una medida de la irreversibilidad en una onda de choque, se puede considerar p0y/p0x.

4.21

4.22

4.23

4.24

Imposibilidad de choque de flujo subsónico a supersónico.

De acuerdo a la ecuación 4.14, una solución matemática para el caso de Mx<1 es un My>1, pero esta situación físicamente es imposible, como se demostrara a continuación.

4.25

Integrando para un gas perfecto.

4.26

Bajo condiciones adiabáticas T0x=T0y, el aumento de entropía se puede expresar como:

4.27

Utilizando la ecuación 4.22

4.28

Por lo tanto el aumento de entropía a través de la discontinuidad está expresada en función de k y Mx. Como el flujo es adiabático s debe ser mayor o igual a cero, Mx

debe tener un valor tal que haga positivo el 2º miembro de la ecuación 4.28.

4.29

sR Choques posibles 2

1

0

Choques imposibles

1 2 3 4 5 Mx

Cambio de entropía a través de un choque normal

Flujo con calentamiento o enfriamiento.-Ecuaciones fundamentales, línea de Rayliegh.

Considerando un flujo en estado estable a través de una sección recta con área constante sin fricción y sin pérdida por arrastre, la ecuación de la cantidad de movimiento es:

5.1

Ecuación de continuidad:

Reemplazando en 5.1

5.2

Como la función impulso.

5.3

5.4

Sustituyendo en 5.3

5.5

Integrando

5.6

La línea resultante al graficar p contra 1/se denomina línea de Rayleigh. Cuya

pendiente es .

En un proceso de calentamiento simple en un flujo subsónico, el punto que representa el estado del fluido, se mueve a lo largo de una línea de Rayleigh hacia un aumento de entalpía. Si el calentamiento es lo bastante grande, la entalpía alcanzará un valor máximo. Esto ocurre cuando la línea de entalpía llega a ser tangente a la línea de Rayleigh, en este punto la entalpía tiene el valor máximo que puede alcanzar el fluido, un calentamiento adicional originará una caída de la densidad tan rápidamente que la velocidad deberá incrementarse a una razón mucho mayor. La rapidez del incremento de la energía cinética es igual o mayor que la rapidez del suministro de energía y así la entalpía estática no puede incrementarse, pero puede decrecer conforme el fluido se acelera.De la ecuación 5.5

5.7

5.8

En un diagrama p-1/ las isotermas tienen una pendiente (en valor absoluto) menor que una isentrópica.En un gas perfecto:

A medida que (1/crece y p disminuye las familias de isotermas e isentrópicas se acercan a la horizontal.Luego existe un punto donde la curva isentrópica es tangente a la línea de Rayleigh, esto ocurre a la derecha del punto donde la isoterma es tangente. Así un punto con entropía máxima queda definido a lo largo de la línea de Rayleigh. Si la curva de entropía es tangente, entonces dp/d para una línea de Rayleigh es también válida para entropía constante.

Para el punto de entropía máxima sobre la línea de Rayleigh.

5.9

Luego en este punto

5.10

Este punto es también la condición para una entalpía de estancamiento máxima.

5.11

De 5.1

5.12

A partir de la relación

Para la condición ds=0 (entropía máxima sobre la línea de Rayleigh)

5.13

Así la entalpía de estancamiento es máxima en el mismo punto donde la entropía es máxima. Un intento por aumentar aún más la entalpía por calentamiento cambiará las condiciones corriente arriba.

Como no existe fricción o arrastre interno en los procesos simples de calentamiento o enfriamiento, el cambio de entropía interna es cero, así el cambio de entropía es positivo para el proceso de calentamiento y negativo para el proceso de enfriamiento.La entalpía de estancamiento aumenta en procesos de calentamiento y disminuye en el enfriamiento.

Ecuaciones de Rayleigh para un gas perfecto.-

La ecuación 5.3 expresada en términos de Mach

5.14

Integrando

5.15

5.16

diferenciando

5.17

Para un flujo de A=cte como a lo largo de una línea de Rayleigh

5.18

5.19

Por definición

5.20

5.21

5.22

5.23

Para un flujo estable de área constante.

5.24

5.25

Considerando gas perfecto e integrando.

5.26

5.27

De la ecuación de la energía para un flujo estable sin trabajo externo como a lo largo de una línea de Rayleigh.

5.28Integrando con

5.29

Estado de referencia y tablas de Rayleigh.-

El mejor estado de referencia para este caso es el punto de máxima entropía. Aquí el número de Mach es igual a la unidad.A partir de las ecuaciones 5.16, 5.19, 5.21, 5.23 y 5.24.

5.30

5.31

5.32

5.33

5.34

Flujos isotérmicos en ductos largos.

De la ecuación de estado.

5.35

Combinándolo con la ecuación de continuidad

5.36

Luego 5.37

La ecuación de cantidad de movimiento para flujo estable.

5.38

Dividiendo por p y eliminando V en función de M

5.39

5.40

Cuando la longitud del ducto se incrementa, p disminuye para y aumenta para

valores de . El aumento de p requiere de un movimiento hacia la izquierda en la

figura, ya que debe ser siempre positiva. Luego para el flujo con el punto

se mueve hacia la derecha, (hacia ) y para el punto se mueve hacia la

izquierda (hacia ).

Para que el flujo permanezca a T=cte. Con , T0 debe disminuir.

El cambio de entropía

Como T=cte

5.41

5.42

Con como estado de referencia

5.43

5.44

5.45

Para tubos largos

5.46