Flujo Turbulento - Capitulo1

DAIMF - UNMSM FLUJO TURBULENTO

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Capítulo 1

Introducción General y Definiciones

1.1 INTRODUCCIÓN

La mayoría de los flujos encontrados en la ingeniería práctica y en la naturaleza son turbulentos. Así por ejemplo, el flujo en la capa límite sobre las alas de un avión es turbulento; el flujo en la capa límite atmosférica (cerca de la superficie de la tierra) es turbulento; el flujo de agua en los ríos es turbulento y las grandes corrientes oceánicas son turbulentas. A pesar de nuestra experiencia diaria con flujos turbulentos, la turbulencia no es fácil de entender ni definir con precisión. En realidad, hay una tendencia a confundir flujos turbulentos con “flujos aleatorios”; [sin embargo, como se verá más adelante, existen diferencias entre estos dos tipos de flujo]. Con algo de humor, LESIEUR (1987) dice que “la turbulencia es un tópico peligroso que origina serios enfrentamientos en encuentros científicos puesto que ésta representa puntos de vista extremadamente diferentes, que tienen todos en común su complejidad, así como la incapacidad para resolver el problema. Es difícil concordar exactamente sobre cuál es el problema a resolver.” (KUNDU, 1990, p, 417).

En este curso se discutirán las ideas y los conceptos básicos acerca de la dinámica del flujo turbulento. Se verá que tales flujos no permiten realizar un estudio analítico estricto, y un estudio de éstos depende fuertemente de la intuición física y de argumentos dimensionales.

1.2 RÉGIMEN DE FLUJOS DE FLUIDOS REALES: EXPERIMENTO DE REYNOLDS

Al estudiar microscópicamente un flujo de fluido real se puede distinguir 2 regímenes bien marcados que describen el estado del movimiento del fluido: régimen laminar y régimen turbulento. Estos 2 regímenes es un resultado propiamente de la viscosidad del fluido; y no habría distinción entre ambos en ausencia de la viscosidad.

Este tema ahora fácil de entender no lo fue así cuando los pioneros investigadores como Hagen, Poiseuille, Darcy y Reynolds iniciaron sus trabajos de investigación. Según la historia, el año 1839 Hagen1 en América, y en 1841 Poiseuille2 en Francia, demostraron

Gotthilf H. Ludwing Hagen

(1797-1884)

analítica y experimentalmente que cuando el agua fluía a velocidades relativamente bajas a través de tuberías delgadas, la caída de presión era directamente propor-cional a la velocidad media del flujo e inversamente proporcional al cuadrado del diámetro interno del tubo. Sin embargo, Darcy3, en 1857, publicó una nueva forma de la ecuación de Prony4, basado en sus experimentos en diferentes

Jean Louis Marie Poiseuille

(1779-1869)

1 Gotthilf Heinrich Ludwing Hagen (1797-1884), físico e ingeniero hidráulico alemán. 2 Jean Louis Marie Poiseuille (1779-1869), físico y médico francés, recordado por la ley que rige la circulación

laminar de fluidos viscosos en tubos cilíndricos. 3 Henry Philibert Gaspard Darcy (1803-1858), científico francés que hizo importantes contribuciones a la hidráulica,

principalmente en flujo y pérdidas por fricción en tuberías, y flujo a través de columnas de suelo. 4 Gaspar Clair François Marie Riche de Prony (1755-1839), antiguo estudiante de Chezy, inventor del freno Prony.


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tipos de tubería entre 0.012 y 0.50 m de diámetro y un amplio rango de velocidades (tuberías más gruesas que las usadas por Poiseuille y a velocidades más altas), demostrando que la caída de presión variaba aproximadamente con el cuadrado de la velocidad, e inversamente con el diámetro interno de la tubería. Estas dos leyes aparentemente contradictorias, tuvieron que esperar hasta 1883 cuando Reynolds5 realizó su clásico experimento que explicó esta aparente paradoja y posibilitó la reconciliación de los 2 descubrimientos experimentales (DUCKWORTH, 1977, p, 156).

Figura 1.1:

Laboratorio de Reynolds

Henry Ph. G. Darcy

(1803 - 1858)

Las leyes de caída de presión (o mejor, pérdida de carga) que ocurre en flujo laminar y turbulento en tuberías, se puede demostrar con el siguiente experimento (ver esquema en la figura 1.2):

Si se mide la pérdida de carga en una longitud dada de un tubo uniforme a diferentes valores de velocidad media del flujo (U ), se encontrará que, mientras que la velocidad es suficientemente baja para asegurar flujo laminar,

Osborne Reynolds

(1842 – 1912)

la pérdida de carga por fricción ( fh ), será directamente proporcional a la velocidad (ver

figura 1.3). Pero con el incremento de velocidad, en algún punto B, donde la observación visual en un tubo transparente mostraría que el flujo cambia de laminar a turbulento, habrá un abrupto incremento en la tasa de variación de la pérdida de carga.

Si se grafican los logaritmos de U y fh sobre una escala lineal, o si estos valores son

graficados directamente sobre un papel logarítmico, se obtiene, después de pasar una cierta región de transición, líneas con pendientes en el rango de 1.75 á 2.0, tal como muestra la figura 1.2. Se ve así que para flujo laminar la pérdida de carga debido a la fricción varía con U , mientras que para flujo turbulento dicha pérdida varía con n

U , donde n está aproximadamente en el rango de 1.75 á 2.0 De estos, el valor inferior de

5 OSBORNE REYNOLDS (1842-1912), matemático inglés nacido en Belfast (Irlanda).


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1.75 corresponde para flujo turbulento en tubos con paredes muy lisas; cuando la rugosidad de la pared del tubo incrementa, el valor de n aumenta hasta su máximo valor de 2.

Figura 1.2: Arreglo para medir pérdida

de carga en una tubería (Fuente: DUCKWORTH, 1977, p, 168)

Los puntos en la figura 1.3 fueron ploteados directamente de las mediciones de Reynolds, y estos muestran curvas evidentes en la zona de transición donde los valores de n son hasta mayores que 2. Ahora bien, si se realiza el proceso inverso, es decir, si la velocidad es reducida gradualmente desde un valor alto que corresponde a flujo turbulento, la línea BC no se volverá a trazar. En este caso, los puntos se emplazarán a lo largo de la curva CA. El punto B es conocido como el punto crítico superior y el punto A como el punto crítico inferior.

Sin embargo, se debe tener en cuenta que la velocidad no es el único factor que determina si el flujo es laminar o turbulento en el experimento descrito. El criterio es el parámetro denominado Número de Reynolds, definido por la fórmula (1.1).

Fotografía de diversos regímenes de flujo en el tanque de

Reynolds (Fuente: R. BALLESTEROS, 2004)

Figura 1.3: Gráfico log-log para flujo en un tubo circular recto.

(Fuente: DAUGHERTY & FRANZINI, 1977, p, 192)


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1.3 NÚMERO DE REYNOLDS CRÍTICO PARA FLUJO EN TUBERÍAS

Como se ha dicho, de acuerdo a los puntos de la figura 1.3, al número de Reynolds que corresponde al punto B se denomina número de Reynolds crítico superior; y al que corresponde al punto A, número de Reynolds crítico inferior.

De estos 2 valores, el número de Reynolds crítico superior es realmente indeterminado y depende del cuidado tomado para prevenir alguna perturbación inicial que pueda afectar al flujo. Su valor es normalmente alrededor de 4000, pero en tuberías circulares se ha mantenido flujo laminar hasta valores de Número de Reynolds tan altos como 50,000. Sin embargo, en tales casos este flujo es de por sí inestable, y a la mínima perturbación se transformará instantáneamente en flujo turbulento. En cambio, es prácticamente imposible mantener flujo turbulento en un tubo recto para valores de número de Reynolds por debajo de 2000, por que cualquier perturbación que surja será amortiguada por la fricción viscosa. Este valor inferior es mucho más definido que el valor superior y es realmente el punto que divide entre los 2 regímenes de flujo. Por lo tanto, este valor inferior es definido como el verdadero número de Reynolds crítico (Rec) para flujo en tuberías circulares rectas.

En otras palabras, repitiendo el experimento de Reynolds, si se tuviera un tubo circular recto con flujo turbulento en la que paulatinamente se disminuye la velocidad, llegará un momento en el que el flujo se hace laminar. Esto ocurre con número de Reynolds de aproximadamente 2000, y no depende de la rugosidad de las paredes de la tubería. En cambio, si se procede en el sentido inverso, es decir, desde un flujo laminar se va aumentando progresivamente la velocidad, llegará un momento en el que el flujo se hace turbulento. Para este caso no hay un límite definido; puede ocurrir para un número de Reynolds de 5,000, 10,000 ó más, dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores y también de la rugosidad de las paredes de la tubería.

De nuevo en la figura 1.3, el sentido de la variación paulatina de la velocidad durante la experimentación muestra las flechas. Como puede observarse, en la zona de transición se forman 2 curvas claramente distintas: la curva ABC durante el incremento de la velocidad y la curva CA durante la disminución. Es decir, cuando la velocidad se reduce gradualmente desde un valor alto, no se volverá a trazar la línea BC; en cambio, los puntos se emplazarán a lo largo de la curva CA.

Lo anteriormente expuesto corresponde a experimentos en laboratorio. En las instalaciones usuales, el flujo cambiará de laminar a turbulento en el intervalo de número de Reynolds entre 2,000 y 4,000 (STREETER, 2000, p, 261). Otros autores consignan valores ligeramente diferentes de estos límites. Así, según GERHART et al. (1995, p, 514) para número de Reynolds entre 2,300 y 4,000, el flujo es impredecible y a veces pulsa o cambia de laminar a turbulento y viceversa. Este tipo de flujos se denomina flujo de transición. Para estos autores, si el número de Reynolds es mayor que 4,000, el flujo es generalmente turbulento y para 300,2=eR el flujo es laminar. Expresado de otro

modo, en una tubería 300,2≈eR es el máximo para flujo laminar, y 000,4≈eR es el mínimo para flujo turbulento estable.

Finalmente, con respecto al valor del número de Reynolds crítico inferior, es importante tomar nota la siguiente acotación que hacen DAUGHERTY & FRANZINI (1977, p, 193): “Sin embargo, este valor [del número de Reynolds] crítico inferior está sujeto a pequeñas variaciones. Su valor será más alto en una tubería convergente y más bajo en una tubería divergente comparado con el valor para una tubería recta. También, para una tubería curva será menor que para una tubería recta, y aún para una tubería uniforme y recta puede resultar tan bajo como 1000 cuando hay un excesivo grado de rugosidad. Sin embargo, para casos normales de flujo en tuberías rectas de diámetro uniforme y rugosidad usual, el valor del número de Reynolds crítico inferior puede ser tomado como 2,000.”


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El experimento de Reynolds se puede repetir con otros fluidos: aceite, alcohol, aire, etc. (es decir, ν variable) y con diversos diámetros de tubería (D variable). Reynolds experimentó con tuberías de diversos diámetros. Todo lo cual demuestra, como ya se indicó al final de la sección 1.2, que no es un cierto valor de la viscosidad del fluido (ν) o de la velocidad U lo que condiciona el paso de régimen laminar a turbulento, sino un cierto valor de Re. El número de Reynolds ( eR ) para el experimento, como ya fue

mencionado, fue definido por:

ν

UDRe = (1.1)

donde U es velocidad media del flujo en el tubo circular de diámetro D constante, y ν es viscosidad cinemática del fluido. En esta definición D representa a la longitud característica.

Se pueden tomar otras distancias como longitud característica, entonces los números críticos tomarán otros valores. Así por ejemplo, si se tomara el radio hidráulico (Rh) como la longitud característica (lo cual no es usual para flujo en tuberías) el número crítico inferior sería 500, ya que para un tubo circular

4

DhR = .

Por último, tratándose de flujo en tuberías de sección transversal no circular, por ejemplo cuadrangular, rectangular, triangular, exagonal, etc., el número de Reynolds se calcula con la fórmula (1.1) sustituyendo D por 4Rh; y el régimen del flujo se define considerando los valores de número de Reynolds crítico para tuberías circulares rectas.

Ejemplo 1: Determinar régimen de flujo en una tubería

En un tubo de 2.067 in de diámetro interno y 0.02330 ft2 de área de sección transversal, fluye agua a razón de 50 gpm (galones por minuto). Si la temperatura es 86 ºF, determinar si el flujo es laminar, turbulento o transicional.

Solución

Conociendo la sección del tubo, el caudal y la temperatura del agua, se requiere calcular

eR . De tablas, o diagramas, para agua a 86ºF se obtiene los datos de densidad y

viscosidad dinámica, de modo que se tiene lo siguiente:

Datos: Factores de conversión:

D = 2.067 in = 0.17225 ft 1 grm cm-3 = 62.43 lbm ft-3

A = 0.02330 ft2 1 cP = 6.72x10-4 lbm ft-1 s-1

ρ = 0.99568 grm cm-3 = 62.16 lbm ft-3 7.48 galones = 1 ft3

µ = 0.8007 cP (centipoise) = 5.381x10-4 lbm ft-1 s-1

Q = 50 gpm = 0.1114 ft3 s-1

Entonces, de la definición de velocidad media, y luego con la fórmula (1.1) se obtiene:

78.402330.0

1114.0===

A

QU ft s-1 , y

4

41051.9130,95

1038.5

)16.62()78.4()17225.0(×==

×==

−µ

ρDURe .

Comentario:

Como ece RR >> , el flujo en la tubería indicada es turbulento.


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1.4 NUMERO DE REYNOLDS CRITICO PARA OTROS TIPOS DE FLUJO

a).- Flujo en Canales

Para caso de flujo en canales, la longitud característica es el radio hidráulico ( hR ), y el

número de Reynolds se calcula con la siguiente fórmula:

νh

e

URR = (1.2)

A diferencia de flujo en tuberías, el rango transicional de Re no es muy bien definido. El número de Reynolds crítico inferior depende de alguna manera de la forma del canal. Su valor varía de 500 á 600.

Para propósitos prácticos, el rango transicional de Re para flujo en canales puede suponerse que está entre 500 á 2,000. Sin embargo, se debe notar que el valor superior es arbitrario, puesto que no hay límite superior definido para todas las condiciones de flujo (CHOW, 1959, p, 9).

Ejemplo 2: Determinar régimen de flujo en un canal

Un canal rectangular de laboratorio de 2.76 ft de ancho conduce una descarga de 0.06326 ft3 s-1 de agua a una temperatura de 68ºF (21ºC) con una profundidad de 0.1104 ft. Determinar el régimen de la corriente en el canal.

Solución

Conociendo la sección del canal, el caudal y la temperatura del agua, se requiere calcular eR . De tablas, o diagramas, se obtiene que la viscosidad cinemática del agua.

Entonces, se tiene lo siguiente:

Datos:

B = 2.76 ft

h = 0.1104 ft

Q = 0.06326 ft3 s-1

ν = 1.059x10-5 ft2 s-1

Según las definiciones, el radio hidráulico de la sección y la velocidad media del flujo son:

1022.0)1104.0)(2(76.2

)1104.0()76.2(

2=

+=

+==

hB

hB

P

AR

m

h ft

2076.0)1104.0()76.2(

06326.0===

A

QU ft s-1

Luego, con la fórmula (1.2) se obtiene:

003,210059.1

)1022.0()2076.0(5

=×

==−ν

he

URR .

Comentario:

Como ece RR > , el flujo de agua en el canal es turbulento.


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b).- Flujo en Capa Límite Sobre Placas Planas

Para el caso general de flujo de capa límite (boundary layer flow, en inglés) o flujo dentro de la capa límite, como por ejemplo un flujo tangencial a una superficie plana sólida tal como se esquematiza en la figura 1.4, el número de Reynolds se define como:

ν

xVRe

∞= (1.3)

donde x es la distancia desde el borde de ataque de la placa plana, V∞ velocidad uniforme de la corriente libre (fuera de la capa límite) y ν la viscosidad cinemática del fluido.

Figura 1.4:

Flujo en capa límite sobre una placa plana (escalas muy distorsionadas)

La transición de flujo laminar a turbulento en la capa límite sobre una placa plana depende de muchos factores. Los más importantes se relacionan a continuación (SHAMES, 1967, p, 381):

1.- Del número de Reynolds, dado por (1.3), 2.- De la turbulencia de la corriente libre, 3.- De la rugosidad de la placa, 4.- Del calor transferido a, o tomado de, la placa.

• Para mostrar la dependencia con el número de Reynolds, en la figura 1.5(a) se

muestra un gráfico del espesor de la capa límite dado por ∞

V

xνδ (nótese que el

denominador no es el número de Reynolds) en función del número de Reynolds, obtenido de datos experimentales de HANSEN para flujo sobre una placa plana lisa.

En el gráfico, se observa que la ordenada es constante hasta que se alcanza 5

102.3 ×=eR , en cuyo momento hay una súbita variación de la ordenada que a

partir de este punto crece rápidamente. Podemos tomar este punto como punto de transición a lo largo de la placa, después del cual se encuentra flujo turbulento con su capa límite más gruesa. Como se verá en la asignatura de capa límite, para superficies lisas y una turbulencia media de la corriente, este número de Reynolds crítico puede considerarse análogo al valor 2,300 para el flujo en tuberías. Así, para un fluido y una velocidad de aproximación dados se puede calcular la posición x a lo largo de la placa en que aparecerá más probablemente la transición para las condiciones expuestas.

Algunos autores, entre ellos BRODKEY & HERSHEY (1988, p, 202), consideran que el punto exacto de transición es de por sí inestable y varía aleatoriamente con el tiempo sobre un rango pequeño de x . Para el caso de una placa plana lisa, la transición ocurre en el rango de 5x105 á 5x106.


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Figura 1.5(a):

Variación del espesor de la capa límite con Re local para un flujo

sobre una placa plana lisa. (Fuente: HANSEN, NACA TM 585, 1930 en SHAMES, 1967, p, 381)

• Para mostrar el efecto de la turbulencia de la corriente libre, introduciremos el

concepto de porcentaje de turbulencia, como se verá más adelante, dado por:

100'

% ×=u

uTurb (1.4)

donde 'u es la media temporal del módulo de la fluctuación de la velocidad en un

punto, y u es velocidad media temporal en dicho punto. El efecto de la turbulencia de la corriente principal sobre la transición se ha indicado en la figura 1.5(b), donde se reflejan los datos de SCHUBAUER & SKRAMSTAD.

El número de Reynolds local se dibuja en función del porcentaje de turbulencia de la corriente principal para algunas condiciones de transición. Esto es, la curva inferior da el número de Reynolds más elevado, para una turbulencia dada de la corriente libre, para el que debe existir flujo laminar. La curva superior da el número de Reynolds mínimo, para una turbulencia dada de la corriente libre, sobre el que debe existir flujo turbulento. En la región entre esas curvas extremas puede existir en cualquier instante flujo laminar o turbulento. En realidad existe una oscilación de la región de transición en la zona de números de Reynolds entre las curvas. Resulta claro del diagrama que la turbulencia de la corriente principal juega un papel importante en la transición, cuando es mayor de un 0.15%. De estos estudios puede llagarse a la conclusión que los datos más antiguos de HANSEN de 5

102.3 × para el número de Reynolds crítico corresponden a un porcentaje de turbulencia de 1 y 2 [que no es evidente a partir de los datos indicados en la figura 1.5(b)].


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Figura 1.5(b): Efecto de la turbulencia de la corriente libre sobre la

transición para un flujo sobre una placa plana. (Fuente: SCHUBAUER & SKRAMSTAD en SHAMES, 1967, p, 383)

• En cuanto al efecto de la rugosidad en la transición de flujo laminar a turbulento en la capa límite sobre una placa plana, debe observarse que la rugosidad de la superficie de la placa producirá una transición antes de lo que podía esperarse. Al respecto, BRODKEY & HERSHEY (1988, p, 202) hacen la siguiente precisión: “Si el borde de ataque de la placa plana se hace rugoso, entonces la capa limite laminar puede ser “inducido” a convertirse turbulenta inmediatamente.”

• Por último, en lo que respecta al efecto del calor, conforme sostiene SHAMES (1967, p, 381), calentando la placa en la región laminar se acelerará la transición o régimen turbulento.

De todo lo expuesto, para cuestiones prácticas, conforme sostienen POTTER & WIGGERT (1998, p, 99), es importante tener en cuenta que, en la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería suponemos una pared áspera o un alto nivel de turbulencia de la corriente libre, con un número de Reynolds crítico de aproximadamente 5

103× .

Espesor de capa límite sobre una placa plana lisa:

Según la figura 1.5(a), el hecho de que ∞Vx /νδ sea constante en la zona laminar de

la capa límite sobre una placa plana lisa, permite plantear la siguiente ecuación:

CVx

=∞/ν

δ (1.5)

de donde

2/1−

∞

== eRCxV

Cx

νδ (1.6)

que es una expresión del resultado de la solución exacta de Blasius para un flujo laminar, y la solución aproximada del método de von Kármán.

De este modo, de acuerdo a la teoría del desarrollo de la capa límite, el espesor de la capa límite laminar ( Lδ ) viene dado por la siguiente fórmula de Blasius:


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5.0

5

e

LR

x=δ (1.7)

donde x y eR son, respectivamente, la distancia medida desde el borde ataque y el número de Reynolds para el punto en el cual se calcula Lδ .

Asimismo, el espesor de la capa límite turbulenta ( Tδ ) se determina con la siguiente fórmula aproximada, obtenida empleando el método de la integral de momentum de von Kármán con el perfil de velocidad turbulenta dado por la Ley de Potencia 1/7

2.0

376.0

e

TR

x=δ (1.8)

En la figura 1.6 se comparan los perfiles de las capas límite turbulenta y laminar, para flujos que pasan sobre una placa plana y tienen el mismo número de Reynolds,

5105 ×=eR , es decir, el número de

Reynolds crítico ( ecR ), para el cual se presenta algunas veces la turbulencia, y donde se puede encontrar una capa límite laminar o turbulenta. Además se ilustra el marcado efecto que tiene la turbulencia en el incremento del espesor de la capa límite. En este ejemplo,

9.3=L

T

δ

δ

Figura 1.6

Ejemplo 3: Cálculo de ubicación de la transición de flujo laminar a turbulento

Calcular la distancia a lo largo de una placa plana donde se esperaría que ocurra la transición de flujo laminar a turbulento dentro de la capa límite para una velocidad libre de 4.78 ft s-1 de corriente de agua a 86ºF.

Solución

Conociendo la velocidad libre del flujo y las características físicas de éste, se requiere calcular la ubicación del punto de transición de flujo laminar a flujo turbulento dentro de la capa límite sobre una placa plana lisa.

De tablas, o diagramas, la viscosidad cinemática del agua a 86 ºF es: 610657.8

−×=ν ft2

s-1. Entonces, de (1.3), considerando el límite inferior del rango transicional, dado por BRODKEY & HERSHEY (1988, p, 202), se tiene:

91.078.4

)10657.8()105(65

=××

==−

∞V

Rx ecν ft

Comentario:

La transición iniciaría aproximadamente a 0.91 ft. Sin embargo, si se toma el límite superior del rango transicional, es decir 5x106, el valor de x resulta 9.1 ft (10 veces mayor).


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Ejemplo 4: Cálculo de extensión de la capa límite laminar

Agua con una viscosidad de 10-6 m2 s-1 fluye a una velocidad uniforme de 2.5 m s-1. El flujo es paralelo. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente. Calcular la longitud de la porción laminar de la capa límite formada. Calcular también el espesor de la capa límite a 5 cm y 1m del borde de ataque.

Solución

Conociendo las características físicas y la velocidad del flujo de agua, paralelo a una placa plana lisa, se desea determinar el tramo laminar de la capa límite y el espesor de ésta en diferente puntos a lo largo de la placa.

Hipótesis:

Teniendo en cuenta el límite inferior, la transición se produce para 5105 ×==∞

ecRxV

ν.

Cálculos:

De la ecuación anterior, 2.05.2

)10()105()105(655

=×

=×

=−

∞Vx

ν m.

Discusión:

Es decir, la longitud de la porción laminar de la capa límite es 20 cm. En consecuencia, para 5=x cm (menor que 20 cm) su espesor se calcula con la fórmula (1.7), para ello,

5

61025.1

10

)05.0)(5.2(×===

−ν

xVRe , con el cual,

a).- 4

5.055.01007.7

)1025.1(

)05.0)(5(5 −×=×

==e

LR

xδ m.

b).- En cambio, a la distancia de 1.0 m del borde de ataque (mayor que 20 cm) la capa límite será turbulenta, por lo que su espesor se calcula con la fórmula (1.8), para ello,

6

6105.2

10

)1()5.2(×===

−ν

xVRe , con el cual,

01975.0)105.2(

)1()376.0(376.02.062.0

=×

==e

TR

xδ m ≈ 2 cm.

c).- Flujos Externos

Para el caso de cuerpos sumergidos en una corriente tales como esferas, cilindros y discos, el número de Reynolds se define como:

ν

dVRe = (1.9)

donde d es el diámetro de la esfera, cilindro o disco; V velocidad de aproximación de la corriente y ν la viscosidad cinemática del fluido. Sobre este tipo de cuerpos sumergidos actúa una fuerza de arrastre ( DF ) en la dirección del flujo, cuya magnitud está dada por:

AV

CF DD2

2

ρ= (1.10)

siendo DC el coeficiente de arrastre (total); ρ la densidad del fluido; V velocidad de aproximación de la corriente y A área proyectada por el cuerpo en un plano vertical perpendicular al flujo.


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Para el caso particular de esferas, la figura 1.7 muestra la variación de DC con el

número de Reynolds ( eR ); de este modo, la fuerza de arrastre ( DF ) sobre la esfera

también varía con eR .

Como puede observarse en esta figura, el coeficiente de arrastre sufre una caída brusca para un eR de aproximadamente 5

102× . Esta caída tiene que ver con el cambio de

régimen del flujo dentro de la capa límite que rodea a la esfera. Así, conforme sostienen ÇENGEL & CIMBALA (2006, p, 584), el número de Reynolds crítico para flujo a través de una esfera o un cilindro circular es más o menos 5

102 ×≅ecR . Esto es: la capa límite

permanece laminar para casi 5102 ×<eR y se vuelve turbulenta para 5

102 ×>eR .

La transición de flujo laminar a turbulento dentro de la capa límite puede ser afectada por la rugosidad de la superficie de la esfera y la intensidad de turbulencia de la corriente. Por tanto, la reducción de la fuerza de arrastre sobre la esfera, asociada con la turbulencia en la capa límite, no ocurre en un único valor de número de Reynolds. Experimentos con esferas lisas en un flujo con baja intensidad de turbulencia muestran que la transición puede ser retardado para número de Reynolds crítico ( ecR ) de aproximadamente 4x105. En cambio, para esferas con superficie rugosa y/o corrientes turbulentas de flujo, la transición puede ocurrir para un número de Reynolds crítico tan bajo como 1x105 (FOX & McDONALD, 1973, p, 408).

Figura 1.7: Coeficiente de arrastre de una esfera como una función del número de Reynolds

(Fuente: FOX & McDONALD, 1973, p, 406)

Cerca del número de Reynolds crítico el coeficiente de arrastre en flujo de capa límite turbulenta es aproximadamente 5 veces menor que para flujo laminar. La correspondiente reducción en la fuerza de arrastre puede afectar apreciablemente el alcance de una esfera. Así, los “hoyuelos” sobre una pelota de golf son diseñados para garantizar flujo de capa límite turbulento y mínima fuerza de arrastre, por consiguiente mayor alcance. Por ejemplo, en 50 tiros, una pelota de golf alcanzó 196.6 m, mientras que una pelota similar pero lisa alcanzó apenas 114.3 m (un poco más de la mitad).


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1.5 DEFINICION DE TURBULENCIA

No existe una definición única y estricta de turbulencia, cada estudioso de este fenómeno aporta algo de su propio punto de vista. En 1937, G. I. Taylor y T. von Kármán dieron la siguiente definición: “Turbulencia es un movimiento irregular que en general se presenta cuando los fluidos, gaseosos y líquidos, se mueven próximo a superficies sólidas o cuando corrientes contiguas del mismo fluido fluyen próximos o inciden mutuamente”. De acuerdo a esta definición, el flujo turbulento tiene que satisfacer la condición de ser irregular. Esta condición es un rasgo muy importante del movimiento turbulento. Debido a la irregularidad es imposible describir el movimiento en

GEOFFREY INGRAM TAYLOR

(London 1886 – Cambridge 1975)

todos sus detalles como una función del tiempo y las coordenadas espaciales. Sin embargo, afortunada-mente, el movimiento es irregular en el sentido que es posible describir por las leyes probabilísticas. Esto posibilita revelar los valores promedios de las magnitu-des físicas tales como: velocidad, presión, tempera-tura, etc.

THEODORE VON KÁRMÁN

(Budapest, 1881 – Aquisgrán 1963)

HINZE (1959, pp, 1-2), basado en la condición de irregularidad, da la siguiente definición clásica de turbulencia: “Movimiento turbulento de un fluido es una condición irregular del flujo en la cual las diferentes magnitudes muestran una variación aleatoria con el tiempo y las coordenadas espaciales, pero de tal manera que estadísticamente se pueden distinguir los diferentes valores promedios”.

La turbulencia puede también definirse como un movimiento vortiginoso que tiene un amplio espectro de tamaños de remolinos (ver figuras 1.8a-b) y el correspondiente espectro de frecuencias de fluctuación. El movimiento es siempre rotacional. Las formas de los remolinos grandes (de frecuencias de fluctuación relativamente pequeñas) son usualmente determinadas por las dimensiones características del contorno del problema, mientras que las formas de los remolinos pequeños (de mayores frecuencias de fluctuación) son determinadas por las fuerzas viscosas.

Figura 1.8 (a): Representación esquemática de los remolinos de un campo de flujo turbulento. Se muestra el perfil de velocidad promedio, los remolinos grandes del orden de L y los

remolinos más pequeños del orden de 0λ .

Figura 1.8 (b): Visualización de flujo de un chorro

turbulento, hecho mediante fluorescencia inducida por láser. El chorro muestra un amplio rango de escalas de longitud, una

importante característica de flujo turbulento.

La definición moderna de la turbulencia está asociada al empleo de los métodos numéricos computacionales para modelar la turbulencia. Así, la definición dada por la


1 - 14

Dinámica de Fluidos Computacional (DFC) dice: “La turbulencia es simplemente todo fenómeno debido al movimiento irregular que ocurre a escalas por debajo de aquellas que son posibles de resolver sobre una malla usada para propósitos computacionales”. Así, desde este punto de vista, la definición de la turbulencia es relativa al tamaño de la malla que emplea cada modelador. De este modo, lo que es turbulencia para un modelador que usa malla gruesa, puede constituir un flujo de fluido calculable para otro modelador que usa una malla más fina.

1.6 CARACTERISTICAS DE LA TURBULENCIA

Las teorías clásicas, en vez de dar una definición formal de la turbulencia, prefieren abordar el fenómeno partiendo de las características o propiedades observadas en la naturaleza; así como una enfermedad puede ser reconocida por sus síntomas, la turbulencia puede ser detectada por sus manifestaciones. Entre estas características las más importantes, con la salvedad de que algunas de ellas no son encontradas en cada flujo turbulento, son (KUNDU, 1990, p, 417; PANTON, 1984, pp, 705-709; ABBOTT & BASCO, 1989, pp, 303-304):

a).- Irregularidad

El flujo turbulento es demasiado complicado e irregular, que no se puede seguir ni describir completamente de un modo “económicamente razonable”.

El flujo turbulento parece irregular, caótico e impredecible. A esta característica, algunos autores denominan aleatoriedad. Por ejemplo, los flujos turbulentos tienen fluctuaciones de velocidad en las 3 direcciones. La intensidad de las fluctuaciones es variable, pero habitualmente es el 10%, o menos, de la velocidad media. Un registro en el tiempo de la velocidad en un punto se parece a una señal aleatoria. Sin embargo, hay una estructura para las fluctuaciones, y no es absolutamente cierto decir que las fluctuaciones son aleatorias (los matemáticos tienen una definición del término “variable aleatoria”, la cual las irregularidades turbulentas no reúnen).

b).- Vorticidad

La turbulencia se caracteriza por tener altos niveles de vorticidad fluctuante; es decir, la turbulencia se caracteriza por las fluctuaciones, no sólo de la velocidad, sino también del vector vorticidad (ver sección 1.9-f). Las irregularidades en el campo de la velocidad tienen una cierta estructura espacial conocido como remolino o torbellino. Remolino (eddy o whirl, en inglés) es un término vago que se aplica a un cierto patrón espacial de flujo (de un bloque de moléculas o “pedazo” macroscópico de fluido -GERHART et al., 1995, p, 390) que persiste por un tiempo corto. Un remolino puede ser como un vórtice, un chorro sumergido, o alguna otra forma identificable. Los remolinos no son aislados; pequeños remolinos existen dentro de grandes remolinos; a su vez, remolinos aún más pequeños existen dentro de los pequeños. Una de las características más importantes de un flujo turbulento es una continua distribución de tamaños de remolino. Una visualización de flujos turbulentos muestra varias estructuras: coalescencia (aglutinamiento o fusión), división, expansión y sobre todo movimiento giratorio.

c).- No Linealidad

Los flujos turbulentos son sumamente no lineales. La no linealidad sirve para dos propósitos: primero, causa la correspondiente no linealidad de parámetros, por decir Número de Reynolds (Re), Número de Rayleigh (Ra) o la inversa del Número de Richardson ( 1−

iR ), a exceder un valor crítico. En flujos inestables, pequeñas perturbacio-

nes crecen espontáneamente y se equilibran frecuentemente como perturbaciones de amplitud finita. Posteriormente, superando el criterio de estabilidad, el nuevo estado


1 - 15

puede volverse inestable para otras perturbaciones más complicadas, y así, eventualmente, el flujo puede alcanzar un estado caótico. Segundo, la no linealidad de un flujo turbulento causa el estiramiento de los vórtices (ver sección 1.9-f), un proceso clave debido al cual los flujos turbulentos tridimensionales mantienen su vorticidad (KUNDU, 1990, p, 417).

d).- Difusividad

Debido a la mezcla macroscópica de partículas fluidas, los flujos turbulentos se caracterizan por una alta tasa de difusión de momentum, masa y calor. El término difusión de remolino (eddy difusión, en inglés) es frecuentemente usado para distinguir este efecto de la difusión molecular. Según PANTON (1984), la difusión de remolino puede ser 10 á 100 veces más fuerte que la difusión molecular.

e).- Cambio de Escala

Los flujos turbulentos involucran procesos que cambian la escala de los remolinos. Estos procesos actúan en ambos sentidos: Un remolino pequeño crece y se transforma en remolino grande, o viceversa. En el caso de reducción, continuamente son formados remolinos con escala cada vez más pequeña, hasta cuando la extensión espacial de los remolinos se vuelve muy pequeña y las fuerzas viscosas se vuelven importantes por la fuerte gradiente de velocidad y tienden a destruir a los remolinos pequeños. La generación de movimientos de escala pequeña a partir de los de escalas mayores puede explicarse mediante el estiramiento de los vórtices (BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, 465), ver sección 1.9-f.

f).- Autosostenimiento

La turbulencia en un flujo es autosostenida (self-sustaining, en inglés). Ocurren procesos que generan más turbulencia y mantienen el movimiento irregular. Una vez que el flujo se vuelve inestable y se desarrolla la turbulencia, ésta no se extingue sino continúa y perdura sin disminuir. Para que la turbulencia sea autosostenida debe existir un esfuerzo cortante o tangencial promedio, y por lo tanto, debe existir gradiente de la velocidad promedio. En este caso, el autosostenimiento es en el sentido de que la turbulencia se desarrolla como una consecuencia de los esfuerzos tangenciales, los que a su vez persisten como consecuencia de las fluctuaciones turbulentas. La turbulencia no puede surgir ni persistir en la ausencia de esfuerzos tangenciales.

g).- Disipación

Debido a que los remolinos de pequeña escala de los flujos turbulentos tienen gradientes de velocidad muy fuerte, la disipación generada por flujos turbulentos es mucho mayor que la disipación viscosa en un flujo real. La energía disipada en los pequeños remolinos domina a la energía disipada dentro de los remolinos grandes y en el flujo medio. Puesto que los remolinos pequeños al disipar energía tienden a autodestruirse, el proceso de cambio de escala, que produce remolinos pequeños, es un elemento necesario para el autosostenimiento de la turbulencia.

Desde el punto de vista de energía, la turbulencia es un proceso de transferencia en el cual los remolinos grandes, originados por el flujo medio, transfieren energía de rotación (que es abastecida por la energía potencial del flujo medio) a lo largo de una serie continua de remolinos pequeños [proceso conocido como cascada de energía, ver sección 1.7]. La energía mecánica no es apreciablemente disipada en forma de calor durante la disolución de remolinos grandes en remolinos cada vez más pequeños, pero esta energía no es aprovechable para el mantenimiento de la presión o para vencer la resistencia al flujo, y no tiene importancia para propósitos prácticos. Esta energía mecánica es finalmente convertida en calor cuando los remolinos más pequeños (de diámetros <10 mm) son destruidas por la acción viscosa (McCABE et al., 1987, pp, 44-


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45). El flujo dentro de los remolinos más pequeños ya no es turbulento sino viscoso, y los efectos moleculares son dominantes.

h).- Tridireccionalidad (trimensionalidad)

La turbulencia es siempre tridireccional, aun cuando el flujo medio es predominantemente uni o bidireccional. Las fluctuaciones del flujo siempre tienen componente en las tres direcciones (ver figura 1.9).

Figura 1.9:

Velocidad local instantánea en flujo turbulento. (Fuente: DAUGHERTY & FRANZINI, 1977, p, 192)

i).- Otras características

El fluido debe ser considerado como un medio continuo. La turbulencia es una característica de un flujo de fluido que ocurre a altos valores de número de Reynolds y no es una propiedad del fluido en particular.


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1.7 ESCALAS DE TURBULENCIA

En la literatura especializada, a las longitudes y tiempos característicos que tienen lugar en un flujo turbulento se les denomina genéricamente escalas de turbulencia6 y a los movimientos que tienen lugar en dichas escalas, como ya se ha descrito en la sección 1.6-b, se les conoce como remolinos o torbellinos (eddies o whirls, en inglés). Los conceptos de escala y remolino, aunque son ambiguos en gran medida, se usan con profusión en la literatura para describir de forma cualitativa la física de la turbulencia.

A grandes rasgos, se observa que los remolinos mayores poseen una longitud característica del orden de la longitud característica del dominio fluido, por ejemplo, el diámetro característico de la sección en el caso del movimiento turbulento en un conducto o en un chorro, el tamaño característico del objeto para el caso de un flujo externo alrededor del mismo, etc.; el tiempo característico de variación de dichos remolinos puede estimarse a partir de su longitud característica y la velocidad característica del flujo, determinada por las condiciones de contorno impuestas al sistema, tales como el caudal, diferencias de presiones, etc.

Al ser el número de Reynolds siempre alto en los flujos turbulentos, los efectos viscosos son muy pequeños para el movimiento en los grandes remolinos y, por la característica de cambio de escala (sección 1.6-e), mecanismo aún no bien conocido, se hacen inestables frente a perturbaciones dando lugar a un proceso de generación de remolinos cada vez de menor tamaño, hasta que la longitud característica de los mismos es tan pequeña que las fuerzas de viscosidad entran en juego y detienen el proceso. De esta forma, y como puede observarse en algunos casos cotidianos, partículas fluidas que en cierto instante se mueven en remolinos grandes se arremolinan en instantes sucesivos en remolinos cada vez más pequeños hasta que disipan una fracción importante de su energía cinética en forma de calor en los más pequeños. Puesto que los remolinos grandes coexisten con los pequeños, debe producirse un suministro continuo de energía, denominado cascada de energía (sección 1.6-g), desde el movimiento de gran escala, hacia el movimiento en escalas pequeñas, en tanto que el movimiento en las escalas grandes debe adquirir su energía del exterior a través de las condiciones iniciales y/o de contorno impuestas al sistema. De hecho, la turbulencia es extraordinariamente disipativa, siendo una experiencia común que para que un flujo turbulento pueda mantenerse necesita un suministro suficiente y continuo de energía externa, de otra forma la disipación que tiene lugar en las pequeñas escalas disminuirá pronto la energía cinética del flujo y la turbulencia desaparecería. Esta noción de cascada de energía, descrita primero de forma cualitativa (y poética) por RICHARDSON y, más tarde, de forma cuantitativa por KOLMOGÓROV, ha producido resultados muy fructíferos en el estudio de la turbulencia, tanto para su entendimiento físico como para su tratamiento analítico y numérico.

LEWIS FRY RICHARDSON

(Newcastle, Eng., 11/10/1881 – Kilmun, Scotland, 30/09/1953)

(Fuente: S. HOYAS, U. P. Valencia)

6 Denominada también “escalas turbulentas”; ver BARRERO & PÉREZ-SABORID (2005, p, 461).


1 - 18

En particular, la teoría de KOLMOGÓROV permite estimar los valores característicos correspondientes a los remolinos más pequeños que pueden observarse en un flujo turbulento. En efecto, como se ha señalado líneas arriba, si la longitud típica del dominio fluido es L y la velocidad característica impuesta por las condiciones de contorno es 0U , entonces, el tiempo característico de variación para el movimiento en los grandes remolinos ( 0T ) es del orden

de 0U

L. De este modo, es aceptable suponer que este

es el orden de magnitud del tiempo que, en media, las partículas fluidas tardan en pasar desde los grandes remolinos a otros más pequeños, lo que proporciona una energía cinética por unidad de masa ( k ) que

entra en el flujo turbulento del orden de 2

0U (es decir,

k ~ 2

0U ), y se disipa en los pequeños torbellinos. De este modo, la tasa de disipación de energía será:

ANDRÉI NIKOLÁIEVICH KOLMOGÓROV (Tambov, 25/04/1903 – Moscú, 20/10/1987)

0T

k ~

L

U

UL

U

T

U3

0

0

2

0

0

2

0

/== (1.11)

Por otra parte, si 0u y 0λ representan la velocidad y longitud características de los

remolinos más pequeños, la tasa de energía mecánica por unidad de masa disipada en los mismos puede estimarse como

ε ~ ):(1

Vl

rrrr∇τ

ρ ~

2

0

2

0

λν

u (1.12)

donde ])([Tl

VVrrrrrv

∇+∇= µτ es el tensor esfuerzo viscoso, y el resultado del producto (:)

de los tensores lτrr

y Vrr

∇ es un escalar (ver, por ejemplo, BIRD et al., 1973, p, A-4).

De (1.11) y (1.12) (dado que la energía cinética que entra se disipa), se tiene

ε ~ 2

0

2

0

λν

u ~

L

U3

0 (1.13)

Además, puesto que los efectos no estacionarios son del mismo orden que los advectivos [y difusivos] para todas las escalas turbulentas, para la escala pequeña deben verificarse las relaciones

t

V

∂

∂r

ρ ~ VVrrr

)( ∇⋅ρ ~ Vr

2∇µ (1.14)

Si 0τ denota el tiempo característico de variación en la escala pequeña, las relaciones (1.14) proporcionan las siguientes órdenes de magnitud

0

0

τ

u ~

0

2

0

λ

u ~

2

0

0

λν

u (1.15)

En consecuencia, las órdenes de magnitud de 0u , 0λ y 0τ , se pueden hallar de la

siguiente manera: De la relación (1.15), 0

2

0

λ

u ~

2

0

0

λν

u, de donde,

0u ~ 0λ

ν ⇒

ν

λ00u ~ 1 (1.16)


1 - 19

es decir, en la escala de Kolmogórov el número de Reynolds tiene orden de magnitud de 1, el cual indica que las fuerzas viscosas, que provocan la disipación, son del mismo

orden de magnitud de las fuerzas de inercia. Asimismo, de la relación (1.13) ε ~ 2

0

2

0

λν

u;

en donde, εν ~ 2

0200

2

0

2

0

2

02

)(

uu

uu

ν

λλν = ~ 4

0u (teniendo en cuenta 1.16); del cual se obtiene:

0u ~ 4/1

)(νε (1.17)

Similarmente, de (1.16): 0λ ~ 0u

ν. Entonces, teniendo en cuenta (1.17), se tiene

0λ ~ 4/1

3

)(ε

ν (1.18)

Por otro lado, por definición: 0τ ~ 0

0

u

λ; por tanto, dividiendo (1.18) entre (1.17), resulta

0τ ~ 2/1

)(ε

ν (1.19)

Los valores relativos de 0u , 0λ y 0τ respecto a los valores característicos de la escala grande, se obtienen de la siguiente manera: De (1.17), teniendo en cuenta (1.13),

0u ~ 4/1

04/1

0

4

04/1

0

4

04/13

04/1)()()()(

eR

U

LU

U

LU

U

L

U====

ν

νννε ,

de donde,

0

0

U

u ~

4/1−eR (1.20)

Asimismo, de (1.13), 2

0

2

0

λν

u ~

L

U3

0 , de donde, L

0λ~

3

0

2

0

0 U

u

λ

ν. Pero, de (1.16), 0

0

u=λ

ν;

entonces, L

0λ ~ 3

0

0

3

0

3

0 )(U

u

U

u= . Por último, teniendo en cuenta (1.20), resulta

L

0λ ~

4/3−eR (1.21)

Finalmente, 0

0

T

τ ~

0

00

0

00

/

/

u

U

LUL

u λλ= ; de donde, teniendo en cuenta (1.20) y (1.21), resulta

0

0

T

τ ~

2/1−eR (1.22)

En las relaciones (1.20) á (1.22), ν

LUR o

e = y 0

0U

LT = son el número de Reynolds y el

tiempo característico para la escala grande.


1 - 20

1.8 TIPOS DE TURBULENCIA

No todos los flujos turbulentos son semejantes. Así, las características universales de un chorro turbulento y aquellas de un flujo en tubería muestran ciertas diferencias. A grosso modo, los flujos turbulentos se pueden clasificar en 3 grandes grupos (PANTON, 1984):

a).- Turbulencia de Grilla

La turbulencia de grilla (gridlike flows, en inglés) es un tipo especial de turbulencia que viola la definición por que no es autosostenida. Para crear este flujo, se coloca una rejilla (por ejemplo de varillas cilíndricas) perpendiculares a una corriente uniforme. Los remolinos generados por las varillas interactúan, y después de una cierta distancia aguas abajo se tiene un campo de flujo turbulento homogéneo e isotrópico. Muchas experiencias en laboratorio han sido llevadas a cabo en este tipo de turbulencia.

Figura 1.10:

Turbulencia aguas abajo de una grilla

b).- Turbulencia de Pared7

La presencia de una pared rígida tiene un efecto dominante sobre el proceso de formación de una región con gradiente de velocidad transversal próxima a la superficie (wall shear layers, en inglés) donde se genera la turbulencia. Pertenecen a este grupo, por ejemplo, las capas límites y todos los flujos internos (flujo en tuberías).

Figura 1.11: Desarrollo de turbulencia de pared en una tubería

(escalas muy distorsionadas) (Fuente: DAUGHERTY & FRANZINI, 1977, p, 205)

c).- Turbulencia Libre

La turbulencia libre (free shear layers, en inglés) incluye no solo a las típicas turbulencias por mezcla de capas de dos flujos a diferente velocidad, sino también a toda clase de chorros y estelas. Una región de transición, cerca del origen de estos

7 “Turbulencia parietal”, ver BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p, 484.


1 - 21

flujos, precede a la región turbulenta. Aguas abajo, la extensión de la región turbulenta es siempre creciente.

Figura 1.12: Chorro turbulento (Fuente: KUNDU, 1990, p, 443; R. BALLESTEROS, 2004)

Figura 1.13: Estela detrás de un cuerpo rígido

(Fuente: KUNDU, 1990, p, 443) Figura 1.14: Zona o capa de mezcla en fluidos

(Fuente: KUNDU, 1990, p, 443)

Figura 1.15: Esquema de un penacho [flujo ascensional de aire caliente]

(Fuente: CRESPO, 2008, p, 488)

1.9 DEFINICIONES RELACIONADAS CON LA ESTRUCTURA DE LA TURBULENCIA DEL CAMPO DE FLUJO

a).- Turbulencia Homogénea

Cuando la turbulencia tiene cuantitativamente la misma estructura en todas las partes del campo de flujo se dice que la turbulencia es homogénea. Dicho de otro modo, la turbulencia homogénea es independiente de las coordenadas de posición. En términos de intensidad de turbulencia, la homogeneidad significa que los componentes de la intensidad no dependen de la posición en el espacio.

b).- Turbulencia Isotrópica

Se denomina turbulencia isotrópica si sus características estadísticas no tienen preferencia por alguna dirección, de modo que prevalece un perfecto desorden. En otras palabras, la turbulencia isotrópica es independiente de la dirección. En flujo turbulento isotrópico, no puede ocurrir ningún esfuerzo cortante promedio y, consecuentemente, ningún gradiente de velocidad promedio (HINZE, 1959, pp, 2 y 27). Por lo tanto, esta turbulencia no es autosostenida. Turbulencia aproximadamente isotrópica ocurre, por ejemplo, en el eje central de una tubería o fuera del espesor de la capa límite.


1 - 22

En todos los casos donde la velocidad promedio muestra un gradiente de velocidad, la turbulencia será no isotrópica, o sea, anisotrópica. Dado que este gradiente de la velocidad promedio está asociada con la ocurrencia de un esfuerzo cortante promedio, la expresión “turbulencia de flujo cizallante” (shear-flow turbulence, en inglés) es siempre usado para designar esta clase de flujo. La turbulencia originada por una pared rígida y la turbulencia libre anisotrópica pertenecen a esta clase de turbulencia no isotrópica.

c).- Turbulencia Homóloga

El concepto de turbulencia homóloga (homologous turbulence, en inglés) fue introducido por von Kármán para designar el caso de un esfuerzo cortante promedio constante a través del campo de flujo (HINZE, 1959, p, 2).

d).- Pseudo Turbulencia

La expresión “pseudo turbulencia” (pseudo turbulence, en inglés) es usada frecuentemente para referirse al hipotético caso de un campo de flujo con un patrón regular que muestra una periodicidad diferente constante en tiempo y espacio. La diferencia entre pseudo turbulencia y turbulencia real es notoria si se compara fotografías tomadas de estos dos tipos de flujo. La fotografía de la seudo turbulencia muestra un patrón de flujo regular con periodicidades constantes a través de todo el campo, mientras que la fotografía de una turbulencia real puede mostrar esta condición sólo en un instante (el próximo instante el patrón puede haber cambiado en forma y magnitud).

Los campos de flujo pseudo-turbulento pueden ser muy útiles para simular campos turbulentos reales, para ellos puede ser más viable un tratamiento teórico; es relativamente fácil, por ejemplo, calcular la disipación de energía cinética por efectos viscosos en campos de flujo pseudo-turbulento. Sin embargo, al hacer el estudio en este tipo de campo se debe poner mucho cuidado en la interpretación de los resultados para los campos de turbulencia real (HINZE, 1959, pp, 2-3).

e).- Campo de Flujo Cuasi-Permanente

La expresión “campo de flujo cuasi-permanente” (quasi-steady flow field, en inglés) es empleada por HINZE (1959, p, 28) para designar “un campo donde el patrón de flujo promedio no cambia con el tiempo”. Por otro lado, en estudios de turbulencia, el término “flujo medio”, o “flujo promedio” (“mean flow", o “average flow", en inglés)8 es el que resulta del flujo si las fluctuaciones turbulentas son filtradas (ver, por ejemplo, EIGER, 1989, p, 89). En consecuencia, en un flujo turbulento cuasi-permanente los valores promedios de las magnitudes, tal como velocidad media, densidad media, presión media, etc., no presentarán variación con el tiempo aún cuando las magnitudes instantáneas y sus fluctuaciones sí varían con el tiempo. Un oscilograma de una magnitud de un flujo turbulento cuasi-permanente se esquematiza en la figura 2.2(a).

Asimismo, HINZE (1959, p, 6) hace la siguiente precisión: “Los rasgos característicos de la turbulencia: irregularidad y el estado de desorden, involucran la impermanencia de las diferentes frecuencias y también de las diferentes periodicidades y escalas. Por esta razón hemos usado el adjetivo “cuasi”. En adelante, si tenemos en mente este carácter impermanente, podemos por conveniencia omitir el “cuasi”.”

De este modo, en esta separata los términos “cuasi-permanente” y “permanente” (o “estacionario”) serán empleados indistintamente.

8 Ver, por ejemplo, RODI (1993, p, 2).


1 - 23

f).- Vorticidad, Estiramiento de Vórtices y Tridimensionalidad de la turbulencia

Los flujos turbulentos no son nunca irrotacionales, sino que se caracterizan por niveles muy altos de las fluctuaciones de la vorticidad, o rotacional de velocidad, V

rrr×∇=ω .

Estas fluctuaciones no se podrían mantener en un flujo bidimensional ya que el principal mecanismo que genera vorticidad es el estiramiento de los vórtices (vortex stretching, en inglés). Dicho mecanismo está asociado al término V

rrr∇.ω de la siguiente ecuación

de vorticidad

VDt

D rrrr

∇⋅=ρ

ω

ρ

ω)( (1.23)

y puede explicarse teniendo en cuenta que, como enuncia la segunda ley de Helmholtz, un elemento infinitesimal de línea fluida9 0xd

r inicialmente paralelo al vector vorticidad,

ωr

, se mantiene paralelo al mismo en su movimiento supuesto éste barótropo10, con fuerzas másicas que derivan de un potencial y efectos viscosos despreciables, lo que sucede excepto para las escalas más pequeñas; además, la longitud de dicho elemento infinitesimal de línea fluida es proporcional al modulo de vorticidad, esto es,

ωω

xdxdrr

=0

0 (1.24)

Por tanto, si, debido a una fluctuación turbulenta, un elemento de un tubo de [vorticidad]11 se estrecha, aumentará localmente su vorticidad y, con ello, los gradientes de velocidad, lo que significa que se habrá generado movimiento en una escala menor que la original. Por otra parte, si dicho elemento se acorta, su vorticidad disminuye dando lugar a un proceso inverso de generación de una escala mayor a partir de otra menor. No obstante, el fenómeno no es estrictamente reversible y, en media, la generación de movimiento de escalas pequeñas predomina sobre el proceso inverso como se observa en la figura 1.16. En efecto, a medida que se genera vorticidad ésta se disipa por efectos viscosos cuando la escala del movimiento es suficientemente pequeña y el término w

r2∇ν (…) se hace importante y (1.24) deja de ser válida; por tanto, no toda la vorticidad presente en las escalas pequeñas está disponible para generar movimiento de escalas mayores.

Conviene indicar que el mecanismo de estiramiento de vórtices no puede operar en flujos bidimensionales, para los que se tiene:

22121211ˆ),,(ˆ),,( etxxuetxxuV +=

r, 3

2

1

1

2 ˆ)( ex

u

x

uw

∂

∂−

∂

∂=

r y, por tanto, 0. =∇Vw

rrr;

de esta forma, se pone de manifiesto el carácter esencialmente tridimensional de la turbulencia.

9 Si un conjunto de puntos materiales forman inicialmente una línea, por continuidad, seguirán formando parte de ella en

instantes posteriores; una línea tal se denomina línea de fluida )(tL f (BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p, 40).

10 El movimiento es barotrópico si ),( tpρρ = . Según KUNDU (1990, p, 106) un flujo en el cual )( pρρ = es llamado flujo

barotrópico, del cual el flujo isotermal y el flujo isentrópico ( constpk =ρ/ , siendo vp cck /= ) son casos especiales.

11 Una línea de vorticidad es aquella curva que es tangente al vector vorticidad en todos sus puntos. Un tubo de vorticidad está constituido por la familia de líneas de vorticidad que pasan por una curva cerrada (BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p, 206; FERNÁNDEZ, 2005, p, 292).


1 - 24

Figura 1.16:

Generación de movimiento de escalas peque-ñas en la evolución de dos líneas fluidas inicialmente paralelas visualizadas en el movimiento turbulento detrás de una rejilla. (Fuente: BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p, 465)

Figura 1.17: Tubo de vorticidad

Formada por la familia de líneas de vorticidad, siendo éstas tangente al vector vorticidad.

(Fuente: FERNÁNDEZ, 2005, p, 203)

Figura 1.18: Fotografía de un tornado

La nube giratoria es una visualización de un tubo de vorticidad muy estrecho donde la vorticidad es muy intensa que muere en las nubes de la tormenta. Cuando las nubes superiores se mueven, el tornado se dobla, es decir, el tubo de corriente es convectado por el flujo aumentando la vorticidad en gran parte del tornado al estrecharse la sección transversal del tubo de corriente.

(Fuente: BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p, 208)

Flujo Turbulento - Capitulo1

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